广东省揭阳市届高三数学第二次模拟考试试题文

揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合}1,0,1{-=A ，}032|{2<--=x x x B ，则=B A（A ）}1,0,1{- （B ）}0{（C ）)1,1(-（D ）)3,1(-（2）已知复数2a iz i+=(其中i 为虚数单位)的虚部与实部相等，则实数a 的值为 （A ）1 （B ）12 （C ）1- （D ）12- （3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为12，甲赢棋的概率为13，则甲输棋的概率为 （A ）56 （B ）23 （C ）16 （D ）12（5）图1是一个算法流程图，则输出的x 值为（A ）95 （B ）47 （C ）23 （D ）11 （6）某棱柱的三视图如图2示，则该棱柱的体积为 （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）12俯视图侧视图图2图3图4（7）已知等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=，则5a =（A ）1 （B ）12 （C ）14（D ）4（8）已知01a b c <<<<，则（A ）baa a > （B ）abc c > （C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（9）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，点A 、F 分别为其右顶点和右焦点12(0,),(0,)B b B b -，若12B F B A ⊥，则该双曲线的离心率为 （A）1 （B）12 （C）12（D1 （10）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若 2z x y =-+的最大值为3，则a 的值为（A ）1 （B ）23（C ）2 （D ）37 （11）中国古代数学家赵爽设计的弦图（图3）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图4所示的菱形，已知弦图中， 大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图4中菱形的一个锐 角的正弦值为 （A ）2425（B ）35（C ）45（D ）725（12）已知函数21352,(1)4()1log .(1)4x x x f x x x ⎧-+-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩()|2|sin g x A x =-⋅()x R ∈，若对任意的1x 、2x R ∈，都有12()()f x g x ≤，则实数A 的取值范围为（A ）9(,]4-∞ （B ）7[,)4+∞ （C ）79[,]44 （D ）7(,]4-∞9[,)4+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上． （13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-满足||||a b a b ⋅=-⋅，则 x = . （14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且35a =，642S =，则9S = . （15）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 .（16）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC ∆的面积为B ac cos ，BC 的中点为D ．(Ⅰ) 求B cos 的值；(Ⅱ) 若2=c ，C c A a sin 5sin =，求AD 的长． (18)（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．(Ⅰ)求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值；(Ⅱ)规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率； (Ⅲ)已知小明在某四次游戏中所过关数为{2,2,3,4}，小聪在某四次游戏中所过关数为{3,3,4,5}，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．（19）（本小题满分12）已知图6中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //， CD EF //，AB DM ⊥于M 、交EF 于点N，DN =MN =，现将梯形ABCD 沿EF 折起，记折起后C 、D 为'C 、'D 且使62'=M D ，如图7示．(Ⅰ)证明：M D '⊥平面ABFE ；,(Ⅱ)若图6中，60A ∠= ，求点M 到平面'AED 的距离．（20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M到y 轴的距离等于1||2-MF ，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围．(21)（本小题满分12分）已知0<a ，曲线c bx ax x f ++=22)(与曲线x a x x g ln )(2+=在公共点))1(,1(f 处的切线相同．(Ⅰ)试求a c -的值；(Ⅱ)若1)()(++≤a x g x f 恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．ABD CFE ABC ´D ´ EF MMN图6图7(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：(10) 如右图，当直线y x z 2+-=即221zx y +=过点(2,)A a a -时，截距2z最大，z 取得最大值3，即a a 223++-=，得1=a ．（11）设围成弦图的直角三角形的三边长分别为,,a b c ，c a b >>，依题意10c =，22100a b +=，2()4a b -=，解得8,6a b ==，设小边b 所对的角为θ，则63sin 105θ==，4cos 5θ=，24sin 22sin cos 25θθθ==. （12）对任意的1x 、2x R ∈，都有12()()f x g x ≤max min ()()f x g x ⇔≤，注意到max 1()(1)4f x f ==-，又()|2|sin |2|g x A x A =-≥--，故1179|2||2|4444A A A --≥-⇒-≤⇒≤≤二、填空题：（16）以投影面为底面，易得正方体的高为6=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=.三、解答题：（17）解：(Ⅰ) 由B ac B ac S ABC cos sin 21==∆，------------------------1分 得B B cos 2sin =，----------------------------------①------------2分 ∵0B π<< ∴sin 0B > 故0cos >B ，--------------------3分又1cos sin 22=+B B ，----------------------------② ①代入②得51cos 2=B ，∴51cos =B=5；-----------------5分 (Ⅱ)由C c A a sin 5sin =及正弦定理得225c a =，---------------------7分∵2=c ，∴52=a ，521==a BD ，------------------------9分 在△ABD 中，由余弦定理得：55125254cos 2222=⨯⨯-+=⋅⋅-+=B c BD BD c AD ，------11分∴5=AD ．----------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)小明的过关数与奖品数如下表：------------2分小明在这十次游戏中所得奖品数的均值为4)11618243221(101=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯；------------------------------------4分 (Ⅱ)小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率约为4.010112=++；---------------6分 (Ⅲ)小明在四次游戏中所得奖品数为{2,2,4,8}，--------------------------------------7分小聪在四次游戏中所得奖品数为{4,4,8,16}，-------------------------------------8分 现从中各选一次游戏，奖品总数如下表：---------10分共16个基本事件，总数超过10的有8个基本事件，故所求的概率为21168=．----12分 （19）解：(Ⅰ) 可知AB EF //，∴N D '⊥EF 、MN ⊥EF ，-------------------1分ABDCFE ABC ´D ´EF MMNN又N MN N D = '，得EF ⊥平面'MND ，--------------------3分 得M D EF '⊥，--------------------4分∵222'27'D M MN D N +== ∴MN M D ⊥'，--------------------------5分又MN EF N =，∴M D '⊥平面ABFE ．--------------------------------------6分(Ⅱ) 设点M 到平面'AED 的距离为h ，由AEM D AED M V V --=''，得M D S h S AEM AED '3131'⋅=⋅∆∆，① ∵2sin 60MN AE ==，6sin 60DNDE ==，------------------------7分∴8AD =,4AM =,-------------------------------------------8分在MA D Rt '∆中，40''222=+=AM M D A D ，又6'=E D ，2=AE ，得222''AE E D A D +=，∴AE E D ⊥'，-----------------------------------------------10分'1'62AED S AE D E ∆=⋅=，又3221=⋅=∆MN AM S AEM ，代入①式，得123h =⨯h =∴点M 到平面'AED 的距离为---------------------------------12分 (20)解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，---------------1分 得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由抛物线的定义及25||2=QF ，得251=+Q x ， 又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-----------------------------------4分由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 切线在x 轴上的截距为k m x -=，又92->-=-m km， ∴切线在x 轴上的截距的取值范围是)0,9(-．----------------------------------12分 （21）解：(Ⅰ) b ax x f +=4)('，xax x g +=2)('，--------------------------1分 由已知得)1()1(g f =，且)1(')1('g f =， 即12=++c b a ，且a b a +=+24，所以23=+b a ，1-=-a c ；-------------------------------------------------4分 (Ⅱ)设1)()()(---=a x g x f x h ，则0>∀x ，0)(≤x h 恒成立，∵2ln )32()12()(2---+-=x a x a x a x h ，------------------------------5分 ∴xaa x a x h --+-=32)12(2)('，-------------------------------------------6分 法一：由0<a ，知x a y )12(2-=和xa-在),0(∞+上单调递减， 得xaa x a x h --+-=32)12(2)('在),0(∞+上单调递减，----------------7分 又032)12(2)1('=--+-=a a a h ，得当)1,0(∈x 时，0)('>x h ，当),1(∞+∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 在)1,0(上单调递增，在),1(∞+上单调递减，----------------------9分 得a h x h --==1)1()(max ，由题意知0)(max ≤x h ，得1-≥a ，----------11分 所以)0,1[-∈a ．---------------------------------------------------------------------------12分【法二：xa x a x a x h --+-=)32()24()('2[(42)](1)a x a x x -+-=，-------8分由0<a ，0>x ，知(42)0a x a -+<，得当)1,0(∈x 时，0)('>x h ，当),1(∞+∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 在)1,0(上单调递增，在),1(∞+上单调递减，-----------------------10分 得a h x h --==1)1()(max ，由题意知0)(max ≤x h ，得1-≥a ，所以)0,1[-∈a ．----------------------------------------------------12分】 选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈-----------------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分 其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分 可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆ |cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α，∴△OAB的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】 （23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分11 （Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+-- ()()2211m n =--------------------------------------7分 因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+ 又显然10mn +≥，故1m n m n+≤+．-------------------------------------------------1 0分 【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+， 故1m n mn +≤+．------------------------------------------------------------------10分】。