武汉大学2002年度研究生入学考试量子力学试题选解

学好计算机编程离不开数学，这里我收集了大量数学资料与编程算法与大家一起分享，希望大家能对大家提高编程技术和数学水平有所帮助！
武汉大学2002年度研究生入学考试量子力学试题选解

一． 名词解释（4分×5题）
1．德布罗意假设：微观粒子也具有波粒二象性，粒子的能量E和动量P与波的频率和波长之间的关系，正像光子和光波的关系一样，为：

2.波函数：描述微观体系的状态的一个函数称之为波函数，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。
3．基本量子条件：
4.电子自旋：电子的内禀特性之一：①在非相对论量子力学中。电子自旋是作为假定由Uhlenbeck和Goudsmit提出的：每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：；每个电子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角动量的关系式： 。②在相对论量子力学中，自旋象粒子的其他性质-样包含在波动方程中，不需另作假定。
5.全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。
二． 计算题（20分×4题）
1.粒子以能量E由左向右对阶梯势入射，求透射系数。讨论如下三种情况：
（1）－U00；（3）E>0,但由右向左入射。
解： ⑴ －U0 写出分区薛定谔方程为：

令：，可将上述方程简化为：

一般解可写为：

由 有限，得 B＝0
由波函数连接条件，有：

解得：
据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数



满足 R+D＝1
可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x<0的区域找到电子的几率不为零。类似于光的"全内反射"。
⑵ E>0
写出分区薛定谔方程为：

令：，可将上述方程简化为：

一般解可写为：

考虑到没有从右向左的入射波，B'＝0
由波函数连接条件，有：

解得：
据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数



满足 R+D＝1
可见，尽管E>0，但仍有粒子被反射。
⑶ E>0,粒子从右向左入射
仿⑵，有

但 B'为入射波系数，B为反

射波系数，A'为透射波系数，A＝0.
由波函数的标准条件，有

解得：

据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数



满足 R+D＝1
可见，仍有粒子被反射。
2.一维谐振子在t＝0时处于归一化波函数
所描述的态中，式中均为一维谐振子的归一化定态波函数，求：
（1） 待定系数C；
（2） t＝0时，体系能量的可能取值及相应的几率；
（3） t>0时，体系的状态波函数。
（4） t＝0与t>0时体系的。
　解：用Dirac算符

⑴ 由 ，可求得
⑵ 能量可能取值 ，，
相应的几率 1/2， 1/5， 3/10
因为n＝0,2,4都为偶数，故宇称为偶
⑶
⑷ 利用 ，有

＝0

3.若试探波函数取为，其中N为归一化波函数，为变分参数，试用变分法求氢原子的基态能量与基态波函数。
解： 先将波函数归一化


而氢原子的哈米顿为

所以


＋－

＝－
－
＝＝
＝
令 ，得到
所以：，
精确解为：
变分值略大于精确值。
基态波函数为

4.两个自旋s=1/2的电子束缚在一维无限深方势阱(0≤x≤a)内，忽略两电子间的相互作用，试写出该全同粒子体系基态及第一激发态的能量和状态波函数，并讨论能量的简并度。


学好计算机编程离不开数学，这里我收集了大量数学资料与编程算法与大家一起分享，希望大家能对大家提高编程技术和数学水平有所帮助！
解： 忽略相互作用时，体系的能量本征值为
（n1，n2＝1,2,3,...）
体系的总波函数是反对称的：

⑴ 基态n1＝n2＝1，基态能量为
基态波函数为

可见基态能级不简并。
⑵ 第一激发态， （n1，n2）＝1,2 或 （n1，n2）＝2,1
激发态能量为
利用

可形成如下态：
单态；
三重态：


学好计算机编程离不开数学，这里我收集了大量数学资料与编程算法与大家一起分享，希望大家能对大家提高编程技术和数学水平有所帮助！