高中数学教学论文趣说数学与文学(近体诗词音律的数学解释)

趣说数学与文学
通常情况下，人们认为数学与文学完全毫不相干，要把高度抽象形式化的数学和形象化艺术性的文学扯在一起，似乎有点不可思议。

然而，在种种表面无关甚至完全不同的现象背后，隐匿着数学与文学极其丰富、深刻而美妙的联系。

就拿诗歌来说，是所有文学式样中最具代表性的一种。

诗的形式是简练的，表达的思想情感是概括的，并且相对抽象，这与数学追求以最简练的形式抽象概括最深刻最具一般性的规律，是极为相似的。

我国的格律诗词有非常复杂的格式样式，但不是没有法则可依，任意而为。

其实“格律”本身就是指的“规律”—客观存在不依赖于人的主观意志的规定性。

而这些规定又充分显示出必然与合理性。

近体诗中，律诗与绝句的平仄变化很复杂，规定也很多，但从数学观点去认识，却是一种具有简单运算规则的数学模式，其中蕴含着以简驭繁的奥秘，尽显数学美。

以五言诗声调的平仄为例，有以下四个基本类型：
仄起仄收：仄仄平平仄，
平起平收：平平仄仄平；
平起仄收：平平平仄仄，
仄起平收：仄仄仄平平。

将这四种类型的句子按一定的规则再排列，就能得到五言绝句的四种标准式样。

但其中许多规则用文字语言叙述起来，总是显得很复杂。

比如说，五言诗的每一句都基本符合上述四种类型。

但不是绝对的，有四种基本“变格”，变格的一个原则是“一三不论，二四分明”。

意思是，每一句的第一、三个字可以不论平仄，但第二、四字必须符合规则，最后一个字则主要要求押韵合辙，加之押韵也讲求第一、三句不要求，二、四句必须押韵，且押平声韵。

再一个是“粘对”原则。

这里面的意思较复杂，“粘”有一句当中相邻两字同声调的意思，句与句之间的关系是，每上下两句组成的一联，须符合平仄相“对”，即平对仄，仄对平，联与联之间则须相“粘”。

这些规则条件只能让人知道大概，很难记忆和运用。

下面仍以五言诗为例，用数学方法（优选法或称排除法）分析用这些法则得到的结果和法则建立的缘由如下：
1.因为所有汉字的声调分为“平、仄”两类，不妨记为p和z，那么每一个五字
种。

句的不同声调排列数，就是两类元素在5个位置上的排列数，即5232
2.按“平仄均沾”原则，即平声与仄声字数在句子（整首诗）中应尽可能均等，
将5p,4p1z,1p4z,5z 的组合形式去掉，剩下3p2z 和2p3z 两种组合形式，共有25220
P =种排列。

如用“1”表示“平”，用“0”表示“仄”，则3p2z 组合有（11100）、（11001）、（10011）……等10种排列，同样2p3z 组合也有相应10种。

3.第二原则是，平仄要双叠，凡出现孤平孤仄者（首尾除外）不要，如（10101）；凡出现三平三仄者（句首除外）也不要，如（01110）。

这样，3p2z 组合中，孤平孤仄者5种，三平三仄者3种，筛选结果有10-5-3=2种；同理，2p3z 组合也剩下2种。

因此，从32种排列中优选出来的标准句式有四种，简记为（00110）（11001）（11100）（00011）
将以上四种基本句型分别作为矩阵的一行，可组成一个4×5的矩阵①。

将矩阵①中的第1、2行与第3、4行对调，就得到矩阵②，这两个属于首句仄声不押韵类；还有一类首句平声押韵，那么矩阵①②的后三行保持不变，分别用它们的第四行“置换”第一行，分别得到矩阵③④，恰好符合“一三不论，二四分明”的一般原则和句与句、联与联的“粘对”原则。

注意到这4个矩阵都是中间一列（第三列）打破“粘对”原则，正好“逆反”。

于是，五言绝句的4种基本平仄格式用4个4×5的矩阵表示如下。

①00110110011110000011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭②11100000110011011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭③00011110011110000011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭④11001000110011011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 两首五言绝句加起来便成一首五律，因此五律有8种基本格式。

在五律的每句前加两字，变成七律，于是知道共有16种格式。

五律的平仄矩阵是8×5，七律的平仄矩阵是8×7，长律的平仄规律可以按此规律推出，这里就不一一列出。

原本认为错综复杂，难以记忆的诗词平仄规则，用矩阵表示，只要记住四种基本句式，所有绝句律诗的平仄矩阵就可通过变换得到，可以说十分简洁而优美。

以下列举王之涣的《登鹳雀楼》、王维的《送别》、王安石的《梅花》、皇甫冉的《婕妤怨》分别对应四种基本格式。

① 001101100111100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪白日依山尽
黄河入海流
②
③
④
诗句之间复杂的音韵规定，用矩阵变换中简单的“换行”，就基本可以概括。

如果将矩阵转置，居然可以通过新矩阵是否满秩，来检查“拗救”后的诗句是否仍出现格律中“孤平”或“孤仄”的禁忌！更令人惊喜的是，在排列平仄时，5p,4p1z,3p2z,2p3z,1p4z,5z 的对称形式，突然让我联想到杨辉三角、二项式展开式！
请看，五言诗句的平仄规律：
()
50514123232341455555555p z C p C p z C p z C p z C p z C z +=+++++的中间项系数非常精准地刻画了五言诗句的所有平仄排列数。

如此以来，七言诗句的平仄规律尽在()707343434777777p z C p C p z C p z C z +=+++++之中！
当我惊喜地发现这些规律时，我不得不由衷感叹古代诗人的智慧和理性精神，他们可能不知道什么是数学，也肯定没学习过排列组合、二项式定理、线性代数之类，但那种洞悉变换规律，自然地运用数学思想的能力，让人惊叹。

正如17世纪以前就有杰出的画家运用透视原理，来处理由于不同方位光线照射而形成的绘画立体效果，山中相送罢
日暮掩柴扉
春草明年绿
11100000110011011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭墙角数枝梅
凌寒独自开
遥知不是雪 0001111001111000
0011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭花枝出建章
凤管发昭阳
借问承恩者 1100100011001101
1001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
是他们的杰出工作，衍生出后来数学中的射影几何。

相信数学与文学之间还有许多隐匿状态的更加奇妙的联系。

看来，数学能帮助诗人作诗，帮画家作画，帮歌者谱曲是毫无疑问的了。

两个月前，我随同上海市双名工程中学数学二组的其他11名学员赴哈尔滨学习交流，途中偶想起数学家华罗庚先生早年所作一幅对联:“妙人儿倪家少女，搞弓长张府高才”。

联中“倪”指华先生在参加一次学术活动时专职的护理医生倪女士，“张”指当时在场的数学家张广厚，当时在场的人都称奇不已。

此对巧在结构上，“妙”字拆成“少女”，“搞”字拆成“高才”，“人儿”合为“倪”，“弓长”合为“张”。

不仅讲究传统对联的对仗，更讲究词字的拆分组合，左右呼应、对称，隐含了丰富的数学思想。

我受此启发，尝试将本组的14名学员和两位导师的姓名共42个字融合在一起，按以上格式题写六副对联。

用形意分类组合、优选等方法，把14人的姓名都组合嵌入联中，且最大可能地表达实际情形。

作出的对子，自己感觉满意，于是拿出来与大家共享。

看是否能从对联中看到数学的身影，以进一步说明数学与文学联袂时，将会出现别样的艺术审美效果。

因对联中用的都是真实姓名，所以此处只列出两联，其余只在同事间传阅把玩，以避刻意颂扬之嫌。

先看第一联：
挥羽公翁氏帅才
倚口天吴地奇人
“挥”可拆为“军、才”，统军之人即为帅，“羽、公”叠加为主持人翁昌来的姓氏，同时用“挥羽公”暗喻诸葛孔明。

倚可拆为“奇、人”，口天吴是吴卫国的姓氏，他是崇明人，博学多才，因称吴地奇人。

第二联：
思迎霞胡琴心田
梦瑾怡阮瑟林夕
上一联只考虑姓，而此联中将胡迎霞、阮瑾怡的姓名完全嵌入，相对难度比上一联高，胡琴、阮瑟均为乐器，“思心田”与“梦林夕”对仗工整，拆拼合理，整幅对联的意境雅致清新，十分幽美。

其余几联，都各有变化，但基本是按照“句内拆字合意，句间对仗合情”的原则来作。

这样的对联与传统楹联的要求不同，主要是为了用有限的几个字，而且意义要符合实情，关键是在诸多条件（义、形、声）限制下，进行排列组合。

要兼顾“义”与“形”，对音韵的限制只好放宽甚至基本放弃了。

不讲平仄不能成为对联，我不以为然，因为对应、拆分、组合、对称等数学观念方法的运用，实现了多条件限制、复杂结构的文字组合。

尽管在诵读的音调方面，少了点朗朗上口的感觉，但在意蕴和结构上却多了许多意趣。

这也算是将数学思想方法融入文学创作的新尝试。

语言艺术与数学有深刻的联系，由此可见一斑。

从此，我还进一步猜想，上文所列的一些诗词音韵矩阵，如果进行一些列与列之间的变化，甚至把某列缩放（声音的抑扬顿挫轻重缓急）后叠加到另一列，……，这样的运算变换，是否有可能演绎出更美的诗词样式呢？那将是前无古人的创举，是令人神往的科学艺术创造。