常微分方程 第16讲

本讲要点： 本讲要点：
1、 非齐次通解=对应齐次通解+非齐次一 个特解 2、常数变易法适用于：先求出（LH）的基 ~ 本解矩阵 Φ (x) ,再令 Y = Φ ( x)C ( x) 为 （NH）的特解.代入（NH）确定 或 C (x ) 者求出 Φ −1 ( x) 直接求（NH）的特解：
x ~ Y ( x ) = ∫ Φ ( x )Φ −1 (t ) F (t ) dt x0
拉格朗日常数变易法
′ ′ ′ y11 ( x) y12 ( x) ⋯ y1n ( x) y ′ ( x) y ′ ( x) ⋯ y ′ ( x) 22 2n Φ ′( x) = 21 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ′ ′ n y n1 ( x) y ′ 2 ( x) ⋯ y nn ( x)
中央民族大学数学与计算机学院
第十六讲
第五章线性微分方程组
非齐次线性方程组（NH）的一般理论 非齐次线性方程组（ ） 拉格朗日常数变易法 常系数线性微分方程组 拉普拉斯变换法
非齐次线性方程组（ ） 非齐次线性方程组（NH）的一般理论
本节研究一阶线性非齐次方程组（NH）：
dY = A( x )Y + F ( x ) dx
x
拉格朗日常数变易法
例1 求解方程组
ɺ x = y − 5 cos t , ɺ y = 2x + y
向量函数组 x1 e −t x2 e 2t
y = −t , y = 2t 1 − e 2 2e
是对应齐次线性方程组的基本解组.现在求非齐次 方程组形如 ： ~ −t 2t
e e x ~ = c1(t) −t +c2 (t) 2t 2e −e y
的特解，此时(5.4.4)的纯量形式为：
拉格朗日常数变易法
′ c1 (t )e − t + c 2 (t )e 2t = −5 cos t ′ ′ − c1 (t )e −t + 2c 2 (t )e 2t = 0 ′
C ( x) = ∫x Φ −1 (t ) F (t ) dt + C 积分得 0
x
我们取 C = 0 将其代入(5.4.3)得到:
x ~ Y ( x) = ∫ Φ ( x)Φ −1 (t ) F (t )dt x0
~ 显然 Y ( x )是(NH)的一个特解
拉格朗日常数变易法
于是得到非齐次线性方程组(NH)的通解 式：Y ( x) = Φ ( x)C + ∫ x Φ ( x)Φ −1 (t ) F (t )dt (5.4.5)
Y ( x) = c1Y1 ( x) + c2Y2 ( x) + ⋯ + cnYn ( x) + Y ( x)
这里 c1 , c 2 , ⋯, c n 是任意常数.
非齐次线性方程组（ ） 非齐次线性方程组（NH）的一般理论
~ 上述定理还可以表述为：若 Y（x） 是非齐次线 Φ 性方程组(NH)的一个解， (x)是对应齐次线 性方程组(LH)的一个基本解矩阵，则含有 任意常数向量C的表达式 ~ Y ( x ) = Φ ( x )C + Y ( x )
y ( n ) + a1 ( x ) y ( n −1) + ⋯ + a n −1 ( x ) y ′ + a n ( x ) y = f ( x )
y ′ = y1 , y ′′ = y 2 , ⋯ , y ( n −1) = y n −1 方程就可以化成 令 一阶方程组：
dy dx = y1 dy1 = y 2 dx ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ dy n − 2 = y n −1 dx dy n −1 = − a1 ( x) y n −1 − ⋯ − a n −1 ( x) y1 − a n ( x) y + f ( x) dx
x0
我们称（5.4.5）为非齐次线性方程组(NH) ~ 的常数变易公式，这种求特解 Y ( x ) 的方法叫 常数变易公式， 常数变易公式 做拉格朗日常数变易法，简称为常数变易法. 而满足初始条件 Y ( x0 ) = Y0 非齐次线性方程组 (NH)的解可表为：
Y = Φ ( x)Φ −1 ( x0 )Y0 + ∫x Φ ( x)Φ −1 (t ) F (t )dt 0
因为 Φ (x) 是(LH)的基本解矩阵，所以有 Φ ′( x ) = A( x )Φ ( x ) 从而，上式变为: Φ ( x )C ′( x ) = F ( x ) 由于Φ (x) 是非奇异矩阵，故
Φ −1 ( x)
存在，于是
拉格朗日常数变易法
C ′( x) = Φ −1 ( x) F ( x)
的通解结构与常数变易法.
非齐次线性方程组（ ） 非齐次线性方程组（NH）的一般理论
定理5.8 定理 (NH)的解，而 Y0 ( x)是其对应齐次线性方 ~ 程组(LH)的解，则 Y 0 ( x ) + Y ( x ) 是非齐次 线性方程组(NH)的解. 定理5.9 非齐次线性方程组(NH)的任意 定理 两个解之差是其对应齐次线性方程组(LH) 的解.
~ Y ( x ) 是非齐次线性方程组 如果
非齐次线性方程组（ ） 非齐次线性方程组（NH）的一般理论
定理5.10非齐次线性方程组(NH)的通解 定理 等于其对应的齐次线性方程组(LH)的通解 与非齐次线性方程组(NH)的一个特解之和. ~ Y ( x ) 是 非齐次线性方程组(NH)的一个 即若 (x 特解，Y1 ( x ), Y2 ( x ), ⋯ , Yn ( x ) 是相应齐次线性 (LH)的一个基本解组，则方程组(NH)的通 解为： ~
解之得 从而
10 t 5 ′ e cos t , c 2 (t ) = − e − 2t cos t 3 3 5 1 c1 (t ) = − e t (cos t + + sin t ), c 2 (t ) = e − 2t ( 2 cos t − sin t ) 3 3 ′ c1 (t ) = −
是(NH)所有解的共同表达式.
拉格朗日常数变易法
在第二章我们介绍了对于一阶非齐次线性方 程，可用常数变易法求其通解.现在，对于 非齐次线性方程组，自然要问，是否也有常 数变易法求其通解呢?事实上，定理5.10告 诉我们，为了求解非齐次线性方程组(NH)， 只需求出它的一个特解和对应齐次线性方程 组(LH)的一个基本解矩阵.而当(LH)的基 本解组已知时，类似于一阶方程式，有下面 的常数变易法可以求得(NH)的一个特解.
拉格朗日常数变易法
~ 现在求(NH)的形如 Y ( x ) = Φ ( x )C ( x )
(5.4.3)
的解，其中
c1(x) c (x) C(x) = 2 ⋮ cn(x)
为待定向量函数. 将(5.4.3)代入(NH)有
Φ ′( x )C ( x ) + Φ ( x )C ′( x ) = A( x )Φ ( x )C ( x ) + F ( x )Biblioteka 最后可得该方程组的通解为：
x (t ) = c1e − t + c 2 e 2t − cos t − 2 sin t y (t ) = −c1e −t + c 2 e 2t + 3 cos t + sin t
一阶线性微分方程组与前面讲过的n 阶线性微分方程 有着密切的关系，即可以把前者化成后者，而且二者 是等价的，这样就可以把前者作为后者的特例加以处 理.在方程