第二章 第九节 函数的图像

法二：当a＝1,0<b<2时，g(x)＝f(x)＋b，由图可知，g(2) ＝f(2)＋b＝0＋b>0，g(c)＝f(c)＋b<－2＋b<0， 所以当x∈(2，c)，必有g(x)＝0，故B正确． 答案：B
考点三
用
图
已知函数f(x)＝|x2－4x＋3| (1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性； (2)若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，
则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时 a＝－1； 当 直 线 y ＝ x ＋ a 与 抛 物 线 y ＝ － x2 ＋ 4x － 3 相 切 时 ， 由
y＝x＋a y＝－x2＋4x－3
⇒x2－3x＋a＋3＝0.
由 Δ＝9－4(3＋a)＝0. 3 得 a＝－ . 4 3 由图象知当 a∈[－1，－ ]时方程至少有三个不等实根． 4
1．函数y＝x|x|的图象大致是
(
)
x2，x≥0 解析：y＝x|x|＝ －x2，x<0
.
答案：A
2．如图是张大爷晨练时所走的离家距
离(y)与行走时间(x)之间的函数关系
的图象，若用黑点表示张大爷家的 位置，则张大爷散步行走的路线可能是 ( )
解析：由图可知，在AB段，张大爷晨练时所走的离家距 离y值不变，则他散步行走的路线只能是选项D中的圆弧
解：函数 y＝|x2－4x＋3|＝
x－22－1 x≥3或x≤1， －x－22＋1 1<x<3.
又设 y＝ax－4a＋2， 即 y－2＝a(x－4)， 恒过定点 P(4,2)，
保持例3条件不变，若 f(x)＝ax－4a＋2有四 个不同实根，求实数 a的取值范围.
在同一坐标系中作出 y＝|x2－4x＋3|和
ln|x| 2．函数 y＝ 的大致图象是 x
(
)
解析：由题知，此函数为奇函数，故排除A、B.当x取 大于e的数时，函数值大于0. 答案：D
3． (2010· 湖南高考)用 min{a， b}表示 a， 两数中的最小值． b 若 1 函数 f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线 x＝－ 对称，则 2 t 的值为 A．－2 C．－1 B．2 D．1 ( )
y＝ax－4a＋2的图象，如图所示，直线l1和曲线有3个交点，
设此时 a＝k1，直线 l2 和曲线也有 3 个交点，设此时 a＝k2， 2 要使直线和曲线有四个交点， k1<a<k2， 则 由图形易得 k2＝ ， 3
y＝－x－22＋1 再由 y＝k1x－4＋2
⇒x2＋(k1－4)x＋5－4k1＝0，
[规范解答] a、b、c 互不相等，不妨设 a<b<c， ∵f(a)＝f(b)＝f(c)， 由图象可知 0<a<1,1<b<10,10<c<12.
∵f(a)＝f(b)，∴|lga|＝|lgb|， 1 1 ∴lga＝－lgb，即 lga＝lgb⇒a＝b， ∴ab＝1,10<abc＝c<12.
[答案] C
令 Δ＝0，则 k1＝－4± 5， 2 ∵k1>0，∴k1＝－4＋2 5. ∴要使方程有四个不同实根， 2 则 a 的取值范围是－4＋2 5<a< . 3
已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值； (2)作出函数f(x)的图象； (3)根据图象指出f(x)的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；
(2)对称变换(在f(－x)有意义的前提下) ①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象 关于y轴 对称；
②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象 关于x轴 对称； ③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象 关于坐标原点 对称；
④作y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部 分 关于x轴翻转180° ，其余部分不变； ⑤作y＝f(|x|)的图象可先作出y＝f(x)当x≥0时的图象，
答案： ②③
函数图象的画法
1．描点法作图 通过 列表 、 描点 、 连线 三个步骤画出函数的图象． 2．图象变换法作图 (1)平移变换 ①y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得到函数y＝f(x ＋a)的图象． ②y＝f(x－b)(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移b 个单位得到．
作出下列函数的图象． (1)y＝10lgx；(2)y＝x2－|2x－1|；(3)y＝2|x 1|.
－
解：(1)y＝10lgx＝x(x>0)， 图象如图(1)所示．
(2)y＝x2－|2x－1| 1 2 x －2x＋1，x≥ 2 ＝ x2＋2x－1，x<1 2 该函数为分段函数，图象如图(2)所示． (3)先作出 y＝2x 图象，保留 y 轴右侧部分，再作关于 y 轴对称， 得到 y＝2|x|，然后向右移动 1 个单位长度，得到 y＝2|x－1|的图 象，如图(3)所示．

f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数， 其图象如图所示．令g(x)＝af(x)＋b， 则下列关于函数g(x)的叙述正确的是( )
A．若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称
B．若a＝1,0<b<2，则方程g(x)＝0有大于2的实根 C．若a＝－2，b＝0，则函数g(x)的图象关于y轴对称 D．若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有三个实根
部分．
答案：D
3．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图，则函数y＝ f(x)· g(x)的图象可能是 ( )
解析：∵g(x)在x＝0处无定义，
∴y＝f(x)g(x)在x＝0处也无定义，排除C、D； f(x)是定义域上的偶函数， g(x)是定义域上的奇函数， ∴y＝f(x)g(x)是定义域上的奇函数，
(5)求当x∈[1,5)时函数的值域．
解：(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即 m＝4. (2)f(x)＝x|x－4|
xx－4＝x－22－4，x≥4， ＝ －xx－4＝－x－22＋4，x<4.
f(x)的图象如右图所示． (3)f(x)的减区间是[2,4]． (4)由图象可知 f(x)>0 的解集为{x|0<x<4 或 x>4}． (5)∵f(5)＝5>4， 由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模
型，利用这一函数模型来分析解决问题．
3．用图 (1)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、 最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，
因此常用函数的图象研究函数的性质．
(2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解． (3)方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问 题来求解．
函数图象的识别以及利用函数图象研究函数的性质、 方程、不等式的解是高考的热点，多以选择题或填空题 的形式考查，其中与函数性质、方程和不等式相结合的
综合问题仍是高考的一种重要考向．
[考题印证] (2010· 新课标全国卷)已知函数 f(x)＝ |lgx|，0<x≤10， 1 若 a，b，c 互不相等，且 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 －2x＋6，x>10. abc 的取值范围是 A．(1,10) C．(10,12) B．(5,6) D．(20,24) ( )
考点一
作
图
作出下列函数的图象： x3 (1)y＝ ； |x| x＋2 (2)y＝ ； x－1 (3)y＝|log2x－1|.
[自主解答]
x2， x>0， (1)首先要化简解析式， y＝ －x2，x<0.
x3 因 y＝ |x|
为奇函数，作出 y＝x2，x>0 的图象后，再根据奇函数的图象关 于原点对称，作出 y 轴左边的图象，如图(1)．
fx2－fx1 解析： f(x2)－f(x1)＞x2－x1， 由 可得 ＞1， 即两点(x1， x2－x1 f(x1))与(x2， 2))连线的斜率大于 1， f(x 显然①不正确； x2f(x1) 由 fx1 fx2 ＞x1f(x2)得 ＞ ，即表示两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))与 x1 x2 原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图 象，容易判断③的结论是正确的．
考点二
识
图
)
(1)(2010· 山东高考)函数y＝2x－x2的图象大致是(
(2)(2010· 湖南高考)函数 y＝ax2 ＋bx 与 y＝ log b x(ab≠0，
a
|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是
(
)
[自主解答] (1)画出函数y＝2x，y＝x2的图象可知两个函
数图象有三个交点，所以函数y＝2x－x2的图象与x轴有 三个交点，故排除B、C；当x→－∞时2x－x2<0，排除D. (2)从对数的底数入手进行讨论，再结合抛物线过原点， 然后从抛物线对称轴的取值范围进行判断，故选D. [答案] (1)A (2)D
再利用偶函数的图象关于y轴对称，作出 x<0 的图象．
(3)伸缩变换 ①y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点 的 纵坐标 变为原来的A倍，横坐标不变而得到； ②y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点 横坐标 变为原来的 1 倍， 纵坐标 不变而得到． 的 a
1． (2011· 天津滨海区质检)如图中的图象所表示的函数的解析式 为 3 A．y＝ |x－1|(0≤x≤2) 2 3 3 B．y＝ － |x－1|(0≤x≤2) 2 2 3 C．y＝ －|x－1|(0≤x≤2) 2 D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2) ( )
解析：特值法即可，代入x＝1，排除A、D；代入 x＝2，排除C. 答案：B
排除B.
答案：A