浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第23练导数与函数的单调性极值最

第23练 导数与函数的单调性、极值、最值

[明晰考情] 1.命题角度：讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考的热点.2.题目难度：偏难题．

考点一 利用导数研究函数的单调性

方法技巧 (1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在此区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在此区间内单调递减．

(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：若可导函数f (x )在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f (x )在这个区间内f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验)． (3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解．

1．已知函数f (x )＝e x

＋1ax (a ≠0，x ≠0)在x ＝1处的切线与直线(e －1)x －y ＋2018＝0平行，求a 的值并

讨论函数y ＝f (x )在(－∞，0)上的单调性． 解 ∵f ′(x )＝e x

－1ax2，f ′(1)＝e －1

a

＝e －1， ∴a ＝1.

∴f ′(x )＝e x

－1x2＝x2ex －1x2

，

令h (x )＝x 2e x

－1，则h ′(x )＝(2x ＋x 2

)e x

，

∴当x ∈(－∞，－2)时，h ′(x )>0；当x ∈(－2,0)时，h ′(x )<0. 则h (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减． ∴当x ∈(－∞，0)时，h (x )≤h (－2)＝4

e2－1<0，

即当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递减．

2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ln x ＋4－x2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0,2)上的单调性． 解 因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k x －4－x2x2＝－(x －k )⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －4k x 2(x >0，k >0)．

①当0k >0，且4

k

>2，

所以当x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，当x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0，

所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数； ②当k ＝2时，4

k ＝k ＝2，f ′(x )<0在(0,2)上恒成立，

所以f (x )在(0,2)上是减函数； ③当k >2时，0<4k <2，k >4

k

，

所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4k 时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫4k ，2时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4k 上是减函数，在⎝ ⎛⎭

⎪⎫4k ，2上是增函数． 综上可知，当0

在(k ，2)上是增函数；当k ＝2时，f (x )在(0,2)上是减函数；当k >2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4k 上是减函数，在⎝ ⎛⎭

⎪

⎫4k ，2上是增函数．

3．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2

，讨论f (x )在定义域上的单调性．

解 f ′(x )＝a x ＋1－a －2x ＝－2x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋

2＋a 2x ＋1

，

令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋2

2，

又f (x )的定义域为(－1，＋∞)， ①当－a ＋22

≤－1，即当a ≥0时，

若x ∈(－1,0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减． ②当－1＜－a ＋2

2

＜0，即－2＜a ＜0时，

若x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1，－a ＋22，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减； 若x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－a ＋22，0，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；

若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减． ③当－a ＋22

＝0，即a ＝－2时，

f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．

④当－a ＋22

＞0，即a ＜－2时，

若x ∈(－1,0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；

若x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，－a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 若x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－a ＋22，＋∞，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．

综上，当a ≥0时，f (x )在(－1,0)上单调递增， 在(0，＋∞)上单调递减；

当－2＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1，－a ＋22上单调递减，

在⎝ ⎛⎭

⎪⎫－a ＋22，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；

当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减； 当a ＜－2时，f (x )在(－1,0)上单调递减， 在⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，－a ＋22上单调递增，

在⎝ ⎛⎭

⎪⎫－a ＋22，＋∞上单调递减．

考点二 利用函数的单调性求参数范围

方法技巧 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围．

(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解．

4．已知函数f (x )＝(x 2

＋bx ＋b )·1－2x(b ∈R )，若f (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．

解 f ′(x )＝－x[5x ＋(3b －2)]1－2x

⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＜12，

因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x

＜0，

依题意得当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，

从而53＋(3b －2)≤0，b ≤19.

所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，19.

5．设函数f (x )＝3x2＋ax

ex

(a ∈R )．

(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝

(6x ＋a )e x

－(3x 2

＋ax )e x

(e x )2＝－3x2＋(6－a )x ＋a

e

x

，