线性代数检测_1_及参考答案
线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
线性代数测试试卷及答案
线性代数测试试卷及答案线性代数（A 卷）⼀﹑选择题(每⼩题3分,共15分)1. 设A ﹑B 是任意n 阶阵,那么下列等式必成⽴的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+2. 如果n 元齐次线性程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )(A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4. 设实⼆次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ??= ? ?-的矩阵为A ,那么( )(A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ?-?? (D) 1001A ??=5. 若阵A 的⾏列式0A =，则( ) (A) A 的⾏向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的⾏向量组线性相关,列向量组线性⽆关 (C) A 的⾏向量组和列向量组均线性⽆关 (D)A 的列向量组线性相关,⾏向量组线性⽆关⼆﹑填空题(每⼩题3分,共30分)1 如果⾏列式D 有两列的元对应成⽐例,那么该⾏列式等于；2. 设100210341A -?? ?=- ? ?-??，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ；3. 设α,β是⾮齐次线性程组AX b =的解,若λαµβ+也是它的解, 那么λµ+= ；4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；5. 设A 为正交矩阵,则A = ；6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则⾏列式222111ab c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关，则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为； 9. 若⼆次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的，则t 的取值围为；10. 设A 为n 阶阵,且满⾜2240A A I +-=,这⾥I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题（每⼩题9分，共27分）1. 已知210121012A ?? ?= ? ，100100B ?? ?= ? ???，求矩阵X 使之满⾜AX X B =+.2. 求⾏列式1234234134124123的值.3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的⼀个最⼤⽆关组和秩.四﹑(10分)设有齐次线性程组123123123(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=??-++=??++-=? 问当λ取值时, 上述程组(1)有唯⼀的零解﹔(2)有⽆穷多个解,并求出这些解. 五﹑(12分)求⼀个正交变换X PY =,把下列⼆次型化成标准形:222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.六﹑(6分)已知平⾯上三条不同直线的程分别为123: 230,: 230,: 230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于⼀点的充分必要条件为0a b c ++=.线性代数（A 卷）答案⼀﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A⼆﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-16. ()()()c a c b b a ---7. 08. 111,,23---9. 405t -<< 10. 1142A I +三﹑1. 解由AX X B =+得1()X A I B -=-. (2分) 下⾯求1()A I --. 由于110111011A I ?? ?-= ? ???(4分)⽽1()A I --=011111110-?? ?- ? ?-??. (7分)所以10111001()11101111100011X A I B --?????? ??? ?=-=-=- ??? ? ??? ?--??????. (9分)2. 解1234234134124123=10234103411041210123123413411014121123= (4分) 123401131000440004-=-- (8分) 160= (9分) .3. 解由于3112341234011301131301053307330733r r ------ - ------324212345011300212700424r r r r -??---+ ?--?? 43123401132002120000r r -??-- +(6分) 故向量组的秩是 3 ，123,,ααα是它的⼀个最⼤⽆关组。
线性代数复习题带参考答案(一)
线性代数考试题库及答案第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。
成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。
个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ ）14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（ ）)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是（ ）)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（ ）T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α，()T2,1,3,02=α，()T 14,7,0,33=α，()T0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（ ）321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（ ）;,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。
线性代数检测(1)参考答案
《线性代数》检测题一. 填空、选择题（每小题3分，共24分）1. 已知α，β，γ为三维列向量，行列式D=|α β γ|=2, 则行列式|3β γ α+β|= ___________。
2. 设三阶方阵A 的特征值为-1,1,3，则1*, .A A -==3. 实二次型2221231231213(,,)222f x x x x x x tx x x x =++-+正定时，t 应满足的 条件是 .4. 设矩阵()nm ija A ⨯=，则0=Ax 仅有零解的充分必要条件是【 】(A) A 的行向量组线性相关 (B) A 的行向量组线性无关 (C) A 的列向量组线性相关 (D) A 的列向量组线性无关 5. 设,A B 为可逆矩阵，则下列说法中不正确的是【 】 (A) ()11AA --= (B) ()111A B A B ---+=+ (C) ()()1110A A λλλ--=≠ (D) ()111AB B A ---=6．设三阶方阵,A B 满足16,A BA A BA -=+且131417A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则()B = (A) 321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 347⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D) 743⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7.设A 、B 都为n 阶非零矩阵，且AB=0,则A 和B 的秩【 】A. 必有一个等于零.B. 都小于n.C. 一个小于n,一个等于n.D. 都等于n.8. 设12,,,r ααα 为n 维列向量，下列命题不正确的是【 】A. 若对任意的不全为零的数12,,,r k k k ，都有10ri ii k α=≠∑，则12,,,r ααα 线性无关.B. 若12,,,r ααα 线性相关，对任意一组不全为零的数12,,,r k k k ，都有10ri ii k α==∑.C. 12,,,r ααα 线性无关的充要条件是矩阵（12,,,r ααα ）的秩等于r.D. 若12,,,r ααα 线性无关，则其中任意两个向量都线性无关. 二．解答题（每小题10分，共40分）1．计算行列式11111234149161827642．已知101210,325A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭求()1E A --.3. 设1,P AP -=Λ其中1410,,1102P ---⎛⎫⎛⎫=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求()32.A A A E ϕ=+- 4. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求：（1）向量组1234,,,αααα的秩；（2）向量组1234,,,αααα的一个最大无关组；（3）将最大无关组之外的其余向量用此最大无关组线性表示.三．（13分）当a 为何值时，1232312341333(1)0x x x ax x x x a x --+=⎧⎪-=⎨⎪+++=⎩无解、有唯一解、有无穷多解？并在有解时求其所有解。
线性代数试题1及答案
线性代数试题1及答案一. 填空题（每空3分，共15分）1. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111c b a c b a c b a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A 20 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围是44 t -3. A 为3阶方阵，且21=A ，则=--*12)3(A A 2716-4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是0,21====n n λλλ5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 n二. 选择题（每题3分，共15分）6. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322313221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（A ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（C ）成立(A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A8. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则（C ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （D ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ⨯矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（B ） （A ）任意r 个列向量线性无关 (B) 必有某r 个列向量线性无关(C) 任意r 个列向量均构成极大线性无关组(D) 任意1个列向量均可由其余n －1个列向量线性表示三. 计算题（每题7分，共21分）11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300041003A 。
线性代数试题库(1)答案 (2)
线性代数试题库（1）答案一、选择题：（3×7=21分）1.n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =M ij B 。
A ij =(-1) n M ij C 。
A ij =(-1)j i +M ij D 。
A ij =-M ij2．设A 是数域F 上m x n 矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A ． 当m < n 时，有非零解 B ．当m > n 时，无解C ．当m=n 时，只有零解D ．当m=n 时，只有非零解 3．在n 维向量空间V 中，如果σ，τ∈L （V ）关于V 的一个基{n αα,,1 }的矩阵分别为A ，B.那么对于a ，b ∈F ，a σ+b τ关于基{n αα,,1 }的矩阵是（ C ）A ．A+B B ．aA+BC ．aA+bBD ．A+Bb 4．已知数域F 上的向量321,,ααα 线性无关，下列不正确的是（ D ）A 1α，2α线性无关B ．32,αα线性无关C ．13,αα线性无关D ．321,,ααα中必有一个向量是其余向量的线性组合。
5．R n 中下列子集，哪个不是子空间（ C ） A ．RnB ．∑===∈ni i i n a n i R a a a 11}0,,1,|),,{(且C ．∑===∈ni i i n a n i R a a a 11}1,,1,|),,{(且 D ．{0}6．两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（ A ）A 。
相似B ．合同C ．相等D ．互为逆矩阵 7．向量空间R 3的如下变换中，为线性变换的是（ C ） A ．)1,1|,(|),,(1321x x x x =σB ．),,1(),,(321321x x x x x x +=σC ．)0,,(),,(32321x x x x x =σD ．),,(),,(232221321x x x x x x =σ二．填空题（3X10=30分）1．当且仅当k=（-1或3）时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++09030322132`1321x k x x kx x x x x x 有非零解2．设A=()0,,,0321321≠=≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b b b B a a a ,则秩（AB ）为（1）。
线性代数习题及答案1
线性代数测试题（线性代数测试题（--）一、单项选择题（每小题3分，共15分。
）1.1.已知已知B A ,是同阶方阵，下列等式中正确的是 【【 】 A. ||||||B A AB = ； B. T T T B A AB =)(； C.111)(---=B A AB ； D. kk k B A AB =)(.2.2.设设A 是n m ´矩阵，齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是 【 】A.n A r =)(；B.n A r <)(；C.0||=A ；D.n m > .3.3.设设A 是45´矩阵矩阵,,则下列命题正确的是 【 】A.A 的行向量组线性无关；B.A 的行向量组线性相关；C.A 的列向量组线性无关；D.A 的列向量组线性相关的列向量组线性相关..4.4.设设A 是n 阶可逆矩阵，l 是A 的一个特征值，则*A 的一个特征值是 【 】 A.n A ||1-l ； B.||1A -l ； C.||A l ； D.n A ||l .5.5.设设n 阶方阵A 与B 相似，则下列命题不正确的是 【 】A.A 与B 有相同的特征值；B.)()(B r A r =；C.||||B A =；D.A 与B 有相同的特征向量有相同的特征向量. .二、填空题（每小题3分，共15分。
） 1.1.已知已知)1,3,2(),1,1,1(),,2,1(321=-==a a a t ，当t t 时，时，321,,a a a 线性无关线性无关.. 2.yy y y y y f 212112)(---=中3y 的系数是的系数是 .3. .3. .3.设设A 为3阶方阵，A 的特征值为的特征值为-1-1-1，，1，2，则|3|1-A = . 4.设321,,a a a 是三元线性方程组b Ax =的三个解，且2)(=A r ，÷÷÷øöçççèæ=+40221a a ，÷÷÷øöçççèæ=-11132a a ，则b Ax =的通解为 5.设二次型31212322212224x x x tx x x x f ++++=是正定的，则t 的范围是的范围是三、（本题10分）已知÷÷÷øöçççèæ-=221011324A ，矩阵X满足X A AX 2+=，求矩阵X四、（本题10分）求下列向量组的秩和一个最大无关组求下列向量组的秩和一个最大无关组. .)3,4,3,4(,)3,2,1,1(,)1,1,3,2(,)1,1,1,1(4321-=-=--==a a a a . 五、（本题14分） 已知线性方程组ïïîïïíì=+-=-=-=-.,,,41433221k kx x k x kx k x kx k x kx (1)(8分)k 为何值时，方程组有惟一解为何值时，方程组有惟一解? ? ? 无解？无穷多解？无解？无穷多解？无解？无穷多解？(2)(6分)在有无穷多解的情况下求出其通解.六、（本题10分）已知三阶方阵A 的特征值为的特征值为-1-1-1，，1，2.2.设设3223A A I B +-=. (1)(5分)求矩阵A 的行列式及A 的秩；的秩；(2)(5分)求矩阵B 的特征值及其相似对角矩阵的特征值及其相似对角矩阵. .七、（本题14分）设úúúûùêêêëé=011101110A ，求正交矩阵P 使得L =-AP P 1为对角矩阵为对角矩阵. . 八、证明题（本大题2小题，每小题6分，共12分）分）1.1.向量组向量组321,,a a a 线性无关，试证向量组32121132,2,a a a a a a +++ 线性无关线性无关.. 2.2.设设A 为n m ´矩阵矩阵,,B 为m n ´矩阵矩阵,,且n m >. . 证明：证明：.0||=AB线性代数测试题答案线性代数测试题答案((一)一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.A 1.A；； 2.B 2.B；； 3.B 3.B；； 4.B 4.B；； 5.D. 二、填空题（每小题3分，共15分）1.2¹t； 2.-4 2.-4；； 3.227-； 4.)()1,1,1()2,0,1(R k k T T Î+； 5.22<<-t .三、（10分）解：由X A AX 2+=得A X I A =-）（2 （（1分）分）30210113222=--=-|I A | （（2分）所以A I A X 12--=）（ （2分）分）÷÷÷øöçççèæ--=--3423111012021//I A ）（ （（3分）故÷÷÷øöçççèæ--=35432230241//X . . （（2分）分） 四、（10分）解：对A 进行初等行变换进行初等行变换÷÷÷÷÷øöçççççèæ-@÷÷÷÷÷øöçççççèæ----=00001100011041213311421131314121A （（5分）此向量组的秩为：分）此向量组的秩为：3 3 3 （（2分）分） 它的一个最大无关组为.,,321a a a （（3分）分）五、（14分）解：解：(1)(1)(1)系数矩阵系数矩阵A 的行列式为的行列式为10011000100014-=----=k kk k k |A | （（5分）当1±¹k 时，方程组有惟一解；时，方程组有惟一解； （（1分）分） 当1=k 时，4)(,3)(==Ab r A r ，方程组无解；，方程组无解； （1分）当1-=k 时，3)()(==Ab r A r ，方程组有无穷多解；（1分）分）(2)(2)对增广矩阵进行行初等变换：对增广矩阵进行行初等变换：÷÷÷÷øöççççèæ-@÷÷÷÷øöççççèæ------------=0000011100010101100111001111001011010011)Ab （ （（3分）分） \原方程组的通解为：)R k (),,,(k ),,,(x T T Î--+=11110101 （（3分）分）六、（10分）解：解：(1)(1)2-=A （3分）3=)A (r （（2分）分） (2)(2)设设l 为A 的特征值，x 为A 的对应于l 的特征向量，则：的特征向量，则： x x A A I Bx )231()23(3232l l +-=+-=B \的特征值为的特征值为-4-4-4，，0，5 5 （（4分）分）B 的相似对角矩阵为：÷÷÷øöçççèæ-504 . . （（1分）分） 七、解：0)2()1(1111112=+-+=---=-l l l l l l I A 得到特征值2,121=-=l l （3分）11-=l 时，÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ=+000000111~111111111I A ，对应于11-=l 的两个正交的特征向量为÷÷÷øöçççèæ-÷÷÷øöçççèæ-101,121 ，单位化得÷÷÷øöçççèæ-÷÷÷øöçççèæ-10121,12161 （6分）22=l 时，÷÷÷øöçççèæ--÷÷÷øöçççèæ---=-000110101~2111211122I A ，对应于22=l 的一个特征向量为÷÷÷øöçççèæ111，位化得÷÷÷øöçççèæ11131（3分）正交阵÷÷÷÷øöççççèæ--=3/12/16/13/106/23/12/16/1P . . （（2分）分）八、（共 12分）1.1.证：令证：令0)32()2(321321211=+++++a a a a a a x x x （（2分）分）整理得：03)22()(332321321=+++++a a a x x x x x x(1分) 由于321,,a a a 线性无关，所以有：.0,0,0321===x x x （2分）则向量组32121132,2,a a a a a a +++线性无关线性无关. . . （（1分）分） 证：A 为n m ´矩阵，B 为m n ´矩阵，且n m >，n AB r n B r n A r £££\)(,)(,)( （4分）分） 又AB 为m 阶方阵，则0||=AB . （2分）分）。
线性代数试卷及其答案
试卷一一、判断题。
在每小题后面的小括号内打“√”号或“×”号1．任何实对称矩阵都可以表成一系列初等矩阵的乘积。
（ ） 2．方阵A 与其转置阵 T A 有相同的特征值，因此有相同的特征向量。
（ ） 3.设ij A 为n 阶行列式||ij a D =中元素ij a 的代数余子式，若ij ij A a -=),,2,1,(n j i =，则0≠D 。
（ ）4．若r ηηη,,,21 为线性方程组0=AX 的基础解系，则与r ηηη,,,21 等价的向量组也为此方程组的基础解系。
（ ） 5． 设c b a ,,是互不相等的数，则向量组),,,1(32a a a ，),,,1(32b b b ，),,,1(32c c c是线性无关的。
（ ）二、单项选择题1. 设n 阶方阵C B A ,, 满足关系式E ABC =，则 成立。
A. E ACB =； B. E CBA =； C. E BAC =； D. E BCA =.2. 设n 维向量)(,,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维向量m βββ,,,21 线性无关的充要条件为 。
A. 向量组m ααα,,,21 可由向量组m βββ,,,21 线性表示；B. 向量组m βββ,,,21 可由向量组m ααα,,,21 线性表示；C. 向量组m ααα,,,21 与向量组m βββ,,,21 等价；D. 矩阵=A （m ααα,,,21 ）与矩阵=B （m βββ,,,21 ）等价。
3．设非齐次线性方程组b AX =的两个不同解为21,ββ，它的导出组的一个基础解系为21,αα，则线性方程组b AX =的通解X = (其中21,k k 为任意常数)。
A. )(21)(2121211ββααα-+++k k ；B. )(21)(2121211ββααα++-+k k ；C. )(21)(2121211ββββα-+++k k ；D. )(21)(2121211ββββα++-+k k .4. 设B A ,均为)2(≥n n 阶方阵，则必有 。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案**线性代数考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 可交换D. 不可交换答案：B2. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. s ≤ nB. s > nC. s ≥ nD. s < n答案：A4. 矩阵A的特征值是（）A. 矩阵A的行最简形式B. 矩阵A的列最简形式C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λE|=0的λ值答案：D5. 矩阵A和B相等的充要条件是（）A. A和B的对应元素相等B. A和B的行向量组相同C. A和B的列向量组相同D. A和B的秩相等答案：A6. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）A. |A|≠0B. A的秩为nC. A的行列式为1D. A的转置矩阵可逆答案：AA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：C8. 向量组α1，α2，…，αn线性相关，则（）A. 存在不全为0的k个向量，使得k个向量线性组合等于0B. 存在不全为0的n个向量，使得n个向量线性组合等于0C. 存在不全为0的n+1个向量，使得n+1个向量线性组合等于0D. 存在不全为0的m个向量，使得m个向量线性组合等于0，其中1≤m≤n答案：DA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：B10. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|= _ 。
线性代数课后习题答案
习题答案习题1（参考答案）1．程序与算法的概念及二者的区别是什么？程序：为了实现特定目标或解决特定问题而用计算机语言偏写的指令序列，它由算法和数据结构组成。
算法：（Algorithm）是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。
通俗地讲，就是计算机解题的步骤。
算法与程序的区别：计算机程序是算法的一个实例，同一个算法可以用不同的计算机语言来表达。
2．简述程序设计语言发展的过程程序设计语言经过最初的机器代码到今天接近自然语言的表达，经过了四代的演变。
一般认为机器语言是第一代，符号语言即汇编语言为第二代，面向过程的高级语言为第三代，面对象的编程语言为第四代。
3．简述高级程序设计语言中面向过程与面向对象的概念。
“面向过程”是一种以过程为中心的编程思想。
首先分析出解决问题所需要的步骤，然后用函数把这些步骤一步一步地实现，使用的时候依次调用函数即可。
一般的面向过程是从上往下步步求精，所以面向过程最重要的是模块化的思想方法。
“面向对象”是一种以事物为中心的编程思想。
面向对象的方法主要是将事物对象化，对象包括属性与行为。
面向过程与面向对象的区别：在面向过程的程序设计中，程序员把精力放在计算机具体执行操作的过程上，编程关注的是如何使用函数去实现既定的功能；而在面向对象的程序设计中，技术人员将注意力集中在对象上，把对象看做程序运行时的基本成分。
编程关注的是如何把相关的功能（包括函数和数据）有组织地捆绑到一个对象身上。
4．C语言程序的特点是什么？（1）C语言非常紧凑、简洁，使用方便、灵活，有32个关键字，有9种流程控制语句。
（2）C语言运算符丰富，共有45个标准运算符，具有很强的表达式功能，同一功能表达式往往可以采用多种形式来实现。
（3）数据类型丰富。
C语言的数据类型有整型、实型、字符型、数组类型、结构类型、共用类型和指针类型，而且还可以用它们来组成更复杂的数据结构，加之C语言提供了功能强大的控制结构，因而使用C语言能非常方便地进行结构化和模块化程序设计，适合于大型程序的编写、调试。
线性代数第6版习题1答案
线性代数第6版习题1答案线性代数是一门重要的数学学科，它研究的是向量空间和线性变换等概念。
在学习线性代数的过程中，习题是非常重要的一部分，通过做习题可以加深对概念和理论的理解，并培养解决问题的能力。
本文将针对《线性代数第6版》的习题1进行详细解答。
习题1是关于向量空间的基本概念的练习题。
首先，我们需要明确向量空间的定义和性质。
向量空间是指由一组向量构成的集合，具有加法和数乘两种运算，并满足一定的性质。
接下来，我们将逐个解答习题。
1. 证明零向量是唯一的。
解答：假设存在两个零向量0和0'，则有0 + 0' = 0' + 0 = 0。
根据向量加法的交换律，可得0 + 0' = 0' + 0，进一步推导可得0 = 0'，即零向量是唯一的。
2. 证明对于任意向量v，有0v = 0。
解答：根据向量的数乘定义，0v = (0 + 0)v = 0v + 0v。
再根据向量加法的结合律，可得0v + 0v = 0v。
进一步推导可得0v = 0。
3. 证明对于任意标量k，有k0 = 0。
解答：根据标量与向量的数乘定义，k0 = k(0 + 0) = k0 + k0。
再根据向量加法的结合律，可得k0 + k0 = k0。
进一步推导可得k0 = 0。
4. 证明对于任意向量v，有(-1)v = -v。
解答：根据标量与向量的数乘定义，(-1)v + v = (-1)v + 1v = (-1 + 1)v = 0v = 0。
根据向量加法的逆元素定义，可得(-1)v = -v。
5. 证明对于任意标量k，有k(-v) = -kv。
解答：根据标量与向量的数乘定义，k(-v) + kv = k(-v + v) = k0 = 0。
根据向量加法的逆元素定义，可得k(-v) = -kv。
通过以上习题的解答，我们巩固了向量空间的基本概念和性质，并学会了运用这些性质进行证明。
线性代数的习题解答不仅仅是简单的计算，更重要的是培养逻辑思维和推理能力。
线性代数试卷1(完整版带答案,可直接作为考试卷)
（3）当 时，增广矩阵为
～
，此方程组有无穷多解。。。。。。。。。。12分
4、解： ）= ～ …….6分
所以 是最大无关组(8分)，且 ， ……..12分
5.解因 ,故对应的齐次方程组Ax=0的基础解系由
1个非零解构成，且 都是Ax=0的解， 即是Ax=0的基础解系，
所以Ax=b的通解为 （共12分，酌情给分）
1、 ，
2、
3、1，—34、 5、-32,0
二、选择题：（每小题4分，共20分）
1、 2、 3、A4、A5、B
三.计算题（每题12分，共60分）
1解
以上步骤每步3分，共12分。
2.
以上步骤每步4分，共12分。
3、解：因，方程组有唯一解；。。。。。。。。。4分
（2）当 时，方程组的增广矩阵为
1.齐次线性方程组 只有零解，则 应满足条件______。
（A） (B) (C) (D)
2．设A是4阶矩阵，且 ，则 。
（A）16 (B)32 (C)8 (D) 0
3.已知非齐次线性方程组 无解，则a=______。
（A）-1 (B)0 (C)2 (D) 3
4.已知方阵A的列向量组 线性无关，下列结论中正确的是_______。
（A）向量组 的任一部分向量组都线性无关；
（B）向量组 中存在两个向量分量对应成比例；
（C）齐次方程组 有非零解；
（D）向量组 中有一个是零向量
5.设 是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵 有一个特征值为_______。
（A）1 (B) (C)2 (D) 3
三．计算题（每题12分，共60分）
1．计算n阶行列式。
2.解矩阵方程
线性代数考试题库及答案(一)
线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。
项。
4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。
(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。
2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。
改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
大一线性代数试卷1含答案
111
3. 设 A 为方阵,满足 A2 A 2E 0 ,则 A1 _________。 4. A, B,C 同阶方阵, A 0 ,若 AB AC ,必有 B C ,则 A 应为_______矩阵。
5. 设 A 为 n 阶方阵, Ax 0 有非零解,则 A 必有一个特征值为_________。
2 2 4
3 1 3
X
2 5
13
1 2 3
3 0 1
求X ?
四. (10 分)设向量组 A:
1 1,4,1,0,2 2,1,1,3,3 1,0,3,1,4 0,2,6,3
求向量组 A 的秩及一个最大无关组.
五. 12 分)讨论方程组的解的情况
x1 x1
x2 x2
x3 x3
9. 二次型 f 5x2 6 y2 4z2 4xy 4xz 的正定性为________。
1 10.若 A 2
0 2
1 3 ,且
RA
3
,则 t
_________。
1 3 t
二. (8 分)计算 2n 阶行列式
a
b
a
0
b
0
ab
0
D2n
cd
c
0
d
c
d
三. (8 分)解矩阵方程
1 2 3
1 (1, 1, 0)T 2
3
3
3, 2 2,2
2
(0,
1, 1)T
，标准化3
1 (0, 1, 1)T 2
因而 P (1 ,2 ,3 ) ，且 f 3 y22 3 y32
九. 令
1
2
3
n
1 1 1 1
2 2
2
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案1
{
x1 + x2 + x3 = 0, 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0, xi ∈ R} ，则 dim V =
3．已知向量组 α1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 线性无关，而向量组 β 1 = 4α 1 + α 2 ， β 2 = α 2 + α 3 ，
β 3 = α 3 + α 4 ， β 4 = α 4 + 2λα 1 线性相关，则 λ =
经正交变换化为标准形
2
2
2
f ( y1 , y 2 , y3 ) = 2 y1 + 5 y 2 + 5 y3
2
2
2
， 求参数 a ，b 及用的正交变换。
⎛2 ⎜ ⎜1 六、 （6 分） 已知四阶方阵 A ，X 满足关系式 AXA − 2 A = XA ， 且A=⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
2
5 3 0 0
0 0 4 7
（1） a ≠ −2 且 a ≠ 1 时，有唯一解 （2） a = −2 时，因为： R ( A) ≠ R( B) ，所以方程组无解。 （3） a = 1 时，因为： R ( A) = R( B) =1<3，所以方程组有无穷多解。
⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 其通解为 ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + k1 ⎜ 1 ⎟ + k 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
3n + 1 3 L 3 3 3n + 1 3 L 3 3 c1 + c 2 3n + 1 4 L 3 3 r2 − r1 0 1 L 0 0 c1 + c3 L L L L L r3 − r1 L L L L L = 3n + 1 二 解： Dn 3n + 1 3 L 4 3 0 0 L 1 0 M M 0 L 0 1 c1 + c n 3n + 1 3 L 3 4 rn − r1 0
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条件是
.
( ) 4. 设矩阵 A = aij m×n ，则 Ax = 0 仅有零解的充分必要条件是【 】
(A) A 的行向量组线性相关
(B) A 的行向量组线性无关
(C) A 的列向量组线性相关
(D) A 的列向量组线性无关
5. 设 A, B 为可逆矩阵，则下列说法中不正确的是【 】
( ) (A) A−1 −1 = A
∑r
A. 若对任意的不全为零的数 k1, k2,⋯, kr ，都有 kiαi ≠ 0 ，则α1,α2,⋯,αr 线性
i=1
无关.
B. 若 α1,α2,⋯,αr 线 性 相 关 ， 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 k1, k2,⋯, kr ， 都 有
∑r
kiαi = 0 .
i=1
C. α1,α2,⋯,αr 线性无关的充要条件是矩阵（α1,α2,⋯,αr ）的秩等于 r. D. 若α1,α2,⋯,αr 线性无关，则其中任意两个向量都线性无关.
2
1
=
3
4 .
0 0 ⋯ 1
五、(1)
(b1
,
b2
,⋯,
bs
)
=
(a1,
a2
,⋯,
as
)
⋮ 0
⋮ 1
⋯
1⋮ , 记为 B=AK, 则|K|≠0, K 可
1 1 ⋯ 1
逆，所以 R(B)=R(A)=s,从而 B 组向量线性无关.
(2) （见教材）.
3
(B)
4 7
1
(C)
2 3
7
(D)
4 3
7.设 A、B 都为 n 阶非零矩阵，且 AB=0,则 A 和 B 的秩【 】
A. 必有一个等于零.
B. 都小于 n.
C. 一个小于 n,一个等于 n.
D. 都等于 n.
8. 设α1,α2,⋯,αr 为 n 维列向量，下列命题不正确的是【 】
2. -1/3,9; 3. |t|<1; 4. D; 5. B; 6. A; 7.B; 8. B.
二、1. 12（提示：范德蒙行列式）；
0 2 0
2.
(E
−
A)−1
=
−
1 4
142
3 0
2 0
;
12 16
3.
−4
−8
4. (1) R=3; (2) α1,α2,α3; （3） α4 = −2α1 + 2α2 + α3.
=
0
无解、有唯一解、有无穷多解？并
在有解时求其所有解。
3 −1 0
四．(13
分)求一个正交相似变换矩阵，将对称阵
A
=
−1 0
2 −1
−31 化为对角阵。
五．（10 分）（1）设 b1 = as , b2 = as−1 + as , ⋯, bs = a1 + a2 +⋯ + as , 且向量组 a1, a2,⋯, as 线性无关,证明向量组 b1, b2, ⋯, bs 线性无关.
3
c2 + c1,c3 − c1 . 】； 特 征 值 ： λ =1,3,4 ； 对 应 的 特 征 向 量 ：
ξ1T = (1, 2,1)T ,ξ2T = (1, 0, −1)T ,ξ3T = (1, −1,1)T .
正交相似变换矩阵 P =
1
1
2
6 1
3 0 −3
−
2
2 ， PT AP
(B) ( ) A + B −1 = A−1 + B−1
(C)
(λ )A −1
=
1 λ
A−1
(λ
≠
0)
( ) (D) AB −1 = B−1 A−1
1
3
6．设三阶方阵
A,
B
满足
A−1BA
=
6
A
+
BA,
且
A
=
1 4
,则
B
=
(
)
1 7
3
(A)
2 1
二．解答题（每小题 10 分，共 40 分）
1
11 1 1
12 3 4
1．计算行列式
1 4 9 16
1 8 27 64
1 0 1
2．已知
A
=
2 −3
1 2
0 −5
,
求
(
E
−
)A −1
.
3.
设 P−1 AP = Λ, 其中 P
=
−1
−4
,
Λ
=
−1
0
,
求ϕ
（2）设实对称阵 A 的两个不同的特征值为 λ1, λ2 ，对应的特征向量为ξ1,ξ2 ，证明： ξ1 与 ξ2 正交。
2
【参考答案】注意：请对自己的解答（如方程的解、逆矩阵、特征向量等）
作必要的验证后再对答案！ c3 − c1
一、1. 6【| 3β γ α + β |= 3 | β γ α + β | ==== 3 | β γ α |= 3 |α β γ |= 6. 】
三、当 a=1 时，该方程组无解；
当 a=-3 时，原方程有无穷多解： xT = k(5, −1,1)T + (3, −1,0)T , k ∈ R.
当 a ≠ 1且 a ≠ −3时，原方程有唯一解： xT = 1 (a +10, −3, −1)T . 1− a)(4-λ)【计算过程:① r1 − r2 − r3 ；②
求：（1）向量组α1,α2 ,α3,α4 的秩； （2）向量组α1,α2 ,α3,α4 的一个最大无关组；
（3）将最大无关组之外的其余向量用此最大无关组线性表示.
−x1 − 4x2 + x3 = 1
三．（13
分）当
a
为何值时， x1
+
ax2 − 3x3 = 3 3x2 + (a +1)x3
(
A)
=
A3
+
A
−
2E.
1 1 0 2
1
2
1
3
4.
设 α1
=
4
1 0
,
α2
=
9
− −
1 3
,
α3
=
0
− −
3 1
,
α4
=
10
− −
7 7
.
《线性代数》检测题（1）
一. 填空、选择题（每小题 3 分，共 24 分）
1. 已知α，β，γ为三维列向量，行列式 D=|α β γ|=2, 则行列式
|3β γ α+β|= ___________。
2. 设三阶方阵 A 的特征值为-1,1,3，则 A−1 =
, A* =
.
3. 实二次型 f (x1, x2 , x3 ) = 2x12 + x22 + x32 − 2tx1x2 + 2x1x3 正定时， t 应满足的