一元二次方程根与系数的关系说课稿

一元二次方程根与系数的关系说课稿

尊敬的各位评委，各位老师，大家好！我叫杨东笑，来自峨山县小街中学。今天我说课的课题是“一元二次方程根与系数的关系”。现代数学教育观认为：教学活动是师生积极参与，交往互动，共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是组织者、引导者与合作者。在此理念的指导下，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学方法、教学过程等几个方面向各位评委介绍我对本节课的教学设计。

一、教材分析

“一元二次方程根与系数的关系”是人教版数学九年级上册第二十一章2.4节的内容。此内容为选学内容。一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理）是在学习了一元二次方程的解法及根的判别式之后来进一步揭示根与系数的关系，是对前面知识的巩固与深化，又为今后继续研究一元二次方程根的情况作下一个铺垫，因此虽为选学内容，但却起着承上启下的重要作用。同时，在教学内容中体现的数学方法和数学思想对学生数学能力的培养起到非常重要的作用。

二、学情分析

本节课的教学对象是九年级学生，在此之前，他们已经学习了一元二次方程的解法及根的判别式，虽然学生的学习能力有差异，但大部分学生已经会解一元二次方程。同时，这一年龄阶段学生的思维正从形象思维向抽象思维过渡，已经具备一定的归纳推理能力和团结协作意识，相信在教师的引导下应该能很好地完成本节教学内容。

三、教学目标

根据《课程标准》的要求，结合九年级学生的年龄特征，我将教学目标制定如下：

1.知识与能力

（1）掌握一元二次方程根与系数的关系；

（2）会利用定理求解已知一元二次方程的两根之和及两根之积；

2.过程与方法

（1）经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察、猜想、证明、归纳概括能力；

（2）在运用一元二次方程根与系数关系解决数学问题的过程中，培养学生解决问题的能力，渗透特殊到一般的数学思想。

3.情感态度与价值观

（1）通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的自信心；

（2）让学生感受到数学有很多有价值的规律等待我们去探索，激发学生的学习兴趣和探究欲望。

4.问题解决

从探究具体实例入手，由学生观察、动手操作并发现一元二次方程根与系数的关系，让学生主动探索和讨论交流，对定理再严格加以证明，从而达到解决数学问题的目的。

教学重点：一元二次方程根与系数的关系及运用。

教学难点：一元二次方程根与系数的关系的推导及运用。

（为突破此难点，我采用引导启发，合作探究的教学方法。让学生在教师引导下分小组探究，通过观察、动手实践、大胆猜想、推理论证几个步骤得出数学结论。这样既能使他们很好地理解根与系数的关系的由来，又能使他们记忆深刻。）

四、教学方法

引导启发式，合作探究式。学生在教师引导下分小组探究，合作交流.

（《课程标准》提出，教学活动应将过去的教师教，学生被动接受学习转变为学生在教师的引导下自主探究，合作交流，大胆猜想，动手实践，用已有的数学知识和方法解决数学问题。）

五、教具准备

本节内容的多媒体课件。

六、教学过程

（一）创设情境，引入新课

我曾经的一名学生向我讲了他学习中发生的一个小故事。他说这件小事让他叩开了数学殿堂之门。大家想听听吗？故事是：这名学生在做一道解方程题目时，不小心打翻了墨水瓶，把题目污染成了下列样子：22x x=0，当时他很

着急，不过他还记得老师说这个方程的两根是1和3

2

。于是，他根据已知的两根

仔细探究，把污染的系数补了出来。你们知道他是怎样做到的吗？（学习了今天的知识，同学们将会找到问题的答案。）

其实，生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大

的定理，比如：八年级所学的勾股定理。那么一元二次方程中的根与系数到底存在怎样的规律呢？今天我们共同去探究，感受一次当科学家的味道。

【设计意图】: 让学生感受到数学来源于生活，生活中有很多有价值的规律，

等待我们去探索和发现，从而激发学生的学习数学的兴趣和探

究欲望。

（二）启发探究，获得新知

先填空，再找规律：

观察上面的表格，你能得到什么结论？

（1）关于x 的方程220 (40)x px q p q p q ++=-≥、为常数,的两根1x ，2x 与系数,p q 之间有什么关系？

（2）关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

活 动：学生先自行计算出方程的两个根，然后在规定时间内分小组进行讨论，并派代表陈述本小组观点。教师对发言学生给予鼓励和赞扬。

根与系数关系：

（1）关于x 的方程220 (40)x px q p q p q ++=-≥、为常数,的两根1x ，2x 与系数p ，q 的关系是：12x x p +=-， 12x x q =。

引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？

（2）形如20(0)ax bx c a ++=≠的方程，如果240b ac -≥，两根为1x ，2x ，引导学生利用上面的结论猜想1x ，2x 与各项系数a 、b 、c 之间有何关系。

然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程20(0)ax bx c a ++=≠

∵0a ≠

∴20b c x x a a

++= ∴12b x x a +=-，12c x x a

=

【设计意图】: 通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，

启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的数学思

想。

（三）推理证明，加深理解

学生通过小组讨论，得出了一元二次方程根与系数的关系：

12b x x a +=- 12c x x a

⋅= 这个结论是否正确呢？我们能否对这个结论加以证明？

（教师引导学生利用求根公式给出证明。）

请一名学生在黑板上书写自己的证明过程，其余学生在练习本上做。

证明：∵20(0)ax bx c a ++=≠，当2

40b ac ∆=-≥时根为：x =

设1x =，2x =，则

∴1222b b x x a a

-+=+==-

221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a

-+----⋅=⋅=== 12b x x a +=- 12c x x a

⋅= （提 示：在推导12c x x a

⋅=过程中运用到平方差公式，这是证明的难点） 【设计意图】:让学生加深对一元二次方程根与系数的关系这一结论的理解，并

通过推理证明定理获得成功的体验，增强学习数学的自信心。

（四）运用新知，体验成功