高一数学 初升高衔接班 第八讲 集合综合复习讲义

第八讲集合综合复习
教学目标：
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用
重点、难点：集合的运算以及集合在其他知识中的应用
【要点精讲】
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合
a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A
b∉；
记作A
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R。

2．集合的包含关系：
（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；
（2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n
个子集（其中2n
－1个真子集）； 3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；
（2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。

交集}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且。

（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质：
（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ （2）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ （3）);()(B A B A ⋃⊆⋂
（4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；
（5）S C （A ∩B ）=（S C A ）∪（S C B ），S C （A ∪B ）=（S C A ）∩（S C B ）。

【典例解析】
题型1：集合的概念
(湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ __ 例1．（广东卷理）已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和
{21,1,2,}N x x k k ==-=L 的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的
集合的元素共有 ( )
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 无穷多个
例2．(山东卷理)集合{}0,2,A a =,{}
21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值为
( )
A.0
B.1
C.2
D.4 题型2：集合的性质 随堂练习
1.( 广东)设全集U=R ，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R ︱x 2
+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）
A ．{2}
B ．{3}
C ．{－3，2}
D ．{－2，3}
例4．已知全集3
2
{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由
变式题：已知集合2
{,,2},{,,}A m m d m d B m mq mq =++=，0m ≠其中,A B =且,求q 的值。

题型3：集合的运算 例5．已知集合{}{}
2
2
0,60,,A x x
bx c B x x
mx A B B A
=
++==
++=⋃=且B ⋂={}2，求实数
b,c,m 的值．
例6．（宁夏海南卷理）已知集合}{
{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A∩=B C U ( ) A.}{
1,5,7 B.}{3,5,7 C.}{1,3,9 D.}{
1,2,3
例7．设集合P={m|－1＜m ≤0}，Q={m ∈R |mx 2
+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 （ ）
A.P Q
B.Q P
C.P=Q
D.P ∩Q=Q
题型4：图解法解集合问题
例8．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果 赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人。

问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
例9．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
例10．（上海）设集合A ={x ||x －a |<2}，B ={x |2
1
2+-x x <1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围。

变式题：解答下述问题：
（Ⅰ）设集合},0|{},0422|{2
<==++-=x x B m x x x A ，φ≠⋂B A 若,求实数m 的取值范围.
（Ⅱ）已知两个正整数集合
A ={a 1,a 2,a 3,a 4},43212
4232221},,,,{a a a a a a a a B <<<=其中
A B A a a a a B A 求集合的所有元素之和是且且若,124,10},,{4141⋃=+=⋂、B .
练习：
1．设A={x|x≤4}，a=17，则下列结论中正确的是（ ） （A ）{a} A （B ）a ⊆A （C ）{a}∈A （D ）a ∉A 2．若{1，2}
A ⊆{1，2，3，4，5}，则集合A 的个数是（ ）
（A ）8 （B ）7 （C ）4 （D ）3 3．下面表示同一集合的是（ ）
（A ）M={（1，2）}，N={（2，1）} （B ）M={1，2}，N={（1，2）} （C ）M=Φ，N={Φ} （D ）M={x|2
210}x x -+=,N={1}
4．若P ⊆U ，Q ⊆U ，且x∈C U （P∩Q），则（ ）
（A ）x ∉P 且x ∉Q （B ）x ∉P 或x ∉Q （C ）x∈C U (P∪Q) （D ）x∈C U P 5． 若M ⊆U ，N ⊆U ，且M ⊆N ，则（ ）
（A ）M∩N=N （B ）M∪N=M （C ）C U N ⊆C U M （D ）C U M ⊆C U N 6．已知集合M={y|y=－x 2
+1,x∈R}，N={y|y=x 2
,x∈R},全集I=R ，则M∪N 等于（ ） （A ）{(x,y)|x=21,,}22
y x y R ±
=
∈， （B ）{(x,y)|x 21,,,}22
y x y R ≠±
≠
∈
（C ）{y|y≤0,或y≥1} （D ）{y|y<0, 或y>1}
7．50名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格40人和31人,两项测试均不及格的有4人,则两项测试成绩都及格的人数是( )
（A ）35 （B ）25 （C ）28 （D ）15 8．设x,y ∈R,A={}(,)x y y x =,B= {
}
(,)
1y x y x
=,则A 、B 间的关系为（ ）
（A ）A B （B ）B A （C ）A=B （D ）A∩B=Φ
9． 设全集为R ，若M={}1x x ≥ ，N= {}05x x ≤<，则（C U M ）∪（C U N ）是（ ） （A ）{}0x x ≥ （B ） {}15x x x <≥或 （C ）{}15x x x ≤>或 （D ） {}05x x x <≥或 10．已知集合{|31,},{|32,}M x x m m Z N y y n n Z ==+∈==+∈，若00,,x M y N ∈∈ 则
00y x 与集合,M N 的关系是 （ ） （A ）00y x M ∈但N ∉（B ）00y x N ∈但M ∉（C ）00y x M ∉且N ∉（D ）00y x M ∈且N ∈
11．集合U ，M ，N ，P 如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） （A ）M∩（N∪P） （B ）M ∩C U （N∪P） （C ）M∪C U （N∩P） （D ）M∪C U （N∪P）
12．设I 为全集，A ⊆I,B A,则下列结论错误的是（ ）
（A ）C I A
C I B （B ）A∩B=B （C ）A∩C I B =Φ （
D ） C I A∩B=Φ
13．已知x∈{1，2，x 2
}，则实数x=__________．
14．已知集合M={a,0}，N={1，2}，且M∩N={1}，那么M∪N 的真子集有 个．
15．已知A={－1，2，3，4}；B={y|y=x 2
－2x+2,x∈A},若用列举法表示集合B ，则B= ． 16．设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}2,3A B =I ，则称(,)A B 为一个“理
想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是 ．（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”）
N
U P
M
17．已知全集U={0，1，2，…，9}，若(C U A)∩(C U B)={0，4，5}，A∩(C U B)={1，2，8}，A∩B={9}， 试求A∪B．
18．设全集U=R,集合A={}14x x -<<,B={}1,y y x x A =+∈,试求C U B, A∪B, A∩B,A∩(C U B), ( C U A) ∩(C U B)．
19．设集合A={x|2x 2+3px+2=0}；B={x|2x 2
+x+q=0}，其中p ，q ，x∈R，当A∩B={}
12
时，求
p 的值 和A∪B．
20．设集合A={2
(,)
46
2x y y x x a
=++{}(,)2x y y x a =+,问：
(1) a 为何值时,集合A∩B 有两个元素； (2) a 为何值时,集合A∩B 至多有一个元素．
21．已知集合A={}1234,,,a a a a ，B={
}2
2
2
2
1234
,,,a a a a ，其中1
2
3
4
,,,a a a a
均为正整数，且
1234a a a a <<<，A∩B={a 1,a 4}, a 1+a 4=10, A∪B 的所有元素之和为124,求集合A 和B ．
22．已知集合A={x|x2－3x+2=0},B={x|x2－ax+3a－5},若A∩B=B，求实数a的值．。