2017年人教版九年级数学下册锐角三角函数试卷
2017-2018 人教版数学九年级下册 第28章 锐角三角函数 单元测试卷 含答案
人教版数学九年级下册 第28章 锐角三角函数 单元测试卷(时间:120分钟 满分:120分)一、选择题(3分×10=30分)1.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC =1,AB =2,则下列结论正确的是( ) A .sinA =32B .tanA =12C .cosB =32D .tanB = 32.在Rt △ABC 中,∠C =90°,若∠B =2∠A ,则tanA 的值为( ) A. 3 B .33C .32D .123.如图,点A 为∠α边上任意一点,作AC ⊥BC 于点C ,CD ⊥AB 于点D ,下列用线段比表示cos α的值,错误的是( )A.BD BC B .BC AB C .AD ACD .CD AC4.如果∠B 是锐角,且sinB =0.7,那么∠B 的范围是( ) A .0°<∠B <30° B .30°<∠B <45° C .45°<∠B <60°D .60°<∠B <90°5.计算:cos 245°+tan60°·cos30°=( ) A .1 B . 2 C .2D . 36.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(2,1)和点B(3,0),则sin ∠AOB 的值等于( ) A.55 B .52C .32D .127.如图所示,渔船在A 处看到灯塔C 在北偏东60°方向上,渔船向正东方向航行了12海里到达B 处,在B 处看到灯塔C 在正北方向上,这时渔船与灯塔C 的距离是( )A .123海里B .63海里C .6海里D .43海里8.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B 处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4m ,测得仰角为60°,已知小敏同学身高(AB)为1.6m ,则这棵树的高度为________(结果精确到0.1m ,3≈1.73)( )A .3.5mB .3.6mC .4.3mD .5.1m9.如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB ,cosA =35,AE =3,则tan ∠DBE 的值是( )A.12 B .2 C .52D .5510.如图,在直角△BAD 中,延长斜边BD 到点C ,使DC =12BD ,连接AC ,若tanB=53,则tan ∠CAD 的值( )A.33 B .35C .13D .15二、填空题(3分×8=24分)11.△ABC 中,AB =17,BC =8,AC =15,则cosA 、tanB 的值分别 为 . 12.在△ABC 中,如果cosA -32+|2sinB -1|=0,那么∠C = .13.在Rt △ABC 中,∠C =90°,已知斜边c 和∠B ,可用关系式: ,求出∠A ;可用关系式: ,求出a. 14.如图,某登山运动员从营地A 沿坡角为30°的斜坡AB 到达山顶B ,如果AB =2000米,则他实际上升了 米.15.如图,AB 是⊙O 的直径,C 、D 是圆上的两点(不与A 、B 重合),已知BC =2,tan ∠ADC =34,则AB = .16.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =2BC ,现给出下列结论:①sinA =32;②cosB =12;③tanA =33;④tanB =3,其中正确的结论是17.在某国道的改造工程中,需沿AC 方向开山修路(如图所示),为了加快施工速度,需要在小山的另一边同时施工.从AC 上的一点B 取∠ABD =140°,BD =1000m ,∠D =50°.为了使开挖点E 在直线AC 上,那么DE =m .(供选用的三角函数值:sin50°≈0.7660,cos50°≈0.6428,tan50°≈1.1918)18.在平面直角坐标系中,OABC 是正方形,点C 的坐标是(0,4),点P 为边AB 上一点,∠CPB =60°,沿CP 折叠正方形,折叠后,点B 落在平面内点B′处,则B′点的坐标为 .三、解答题(共66分) 19.(8分)计算:(1)|-2|+2sin30°-(-3)2+(tan45°)-1; (2)sin 245°+tan60°·sin60°-3tan 230°+4cos 260°.20.(10分)在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,根据下列条件进行计算: (1)b =20,∠B =45°,求a 、c ; (2)a =503,b =50,求∠A 、∠B.21.(8分)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,∠BAC 的平分线AD =1633.求∠B 及AB 、BC 的值.22.(9分)如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退,红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截,红方行驶1000米到达C 处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D 处成功拦截蓝方,求拦截点D 处到公路的距离(结果不取近似值).23.(9分)如图,小俊在A 处利用高为1.5米的测角仪AB 测得楼EF 顶部E 的仰角为30°,然后前进12米到达C 处,又测得楼顶E 的仰角为60°,求楼EF 的高度.(结果精确到0.1米)24.(10分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,点P 在⊙O 上,∠1=∠BCD.(1)求证:CB ∥PD ;(2)若BC =3,sin ∠BPD =35,求⊙O 的直径.25.(12分)小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2.使用时为了散热,她在底板下垫入散热架ACO′后,电脑转到AO′B′位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O′C⊥OA于点C,O′C=12cm.(1)求∠CAO′的度数.(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少?(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度?答案: 一、1---10 DBCBC ADDBD 二、 11. 1517、15812. 120°13. ∠A +∠B =90° cosB =ac14. 1000 15. 5216. ②③④ 17. 642.8 18. (2,4-23) 三、19. 解:(1)原式=2+2×12-3+1=1;(2)原式=(22)2+3×32-3×(33)2+4×(12)2=2. 20. 解:(1)在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =45°,∴∠A =45°,∴∠A =∠B ,∴a =b =20.又∵a 2+b 2=c 2,∴c =a 2+b 2=202;(2)∵a =503,b =50,∴c =a 2+b 2=100.又∵sinA =a c =503100=32,∴∠A=60°,∠B =90°-∠A =30°.21. 解:在Rt △ACD 中,AC =8,AD =1633,∠C =90°,由cos∠DAC =AC AD =32得∠DAC =30°,又AD 平分∠BAC ,∴∠BAC =60°,∠B =30°,AB =2AC =16.∴BC =AB·sin∠BAC =16·sin 60°=83.22. 解:过点C 作CE⊥AB 于点E ,CF⊥AD 于点F ,由题意知∠ABC =30°,∠FCD =45°,CD =CB =1000,在Rt △BCE 中,CE =BC·sin 30°=1000×12=500(米),在Rt △DCF ,DF =CD·sin 45°=1000×22=5002(米),∵四边形AFCE 为矩形,∴AF =CE ,∴AD =AF +FD =CE +FD =500+5002(米),故拦截点D 处到公路的距离是(500+5002)米.23. 解:设楼EF 的高为x 米,可得EG =EF -GF =(x -1.5)米,依题意得:EF⊥AF ,DC⊥AF ,BA⊥AF ,BD⊥EF (设垂足为G ),在Rt △EGD 中,DG =EG tan∠EDG =33(x-1.5)米,在Rt △EGB 中,BG =3(x -1.5)米,∴CA =DB =BG -DG = 233(x -1.5)米,∵CA =12米,∴233(x -1.5)=12,解得:x =63+1.5≈11.9,则楼EF 的高度约为11.9米.24. 证明:(1)∵,∴∠BCD =∠BPD ,又∵∠1=∠BCD ,∴∠1=∠BPD ,∴CB ∥PD ;(2)如图,连接AC ,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =90°.又∵CD⊥AB ,∴,∴∠A =∠BPD ,∴sinA =sinP.在Rt △ABC 中,sinA =BCAB ,∵sinP=35,∴BC AB =35,又∵BC =3,∴AB =5,即⊙O 的直径为5.25. 解:(1)∵O′C⊥OA 于C ,OA =OB =24cm ,∴sin∠CAO′=O′C O′A =O′C OA =1224=12,∴∠CAO′=30°; (2)过点B 作BD⊥AO 交AO 的延长线于D ,∵sin∠BOD =BDOB,∴BD =OB·sin∠BOD ,∵∠AOB =120°,∴∠BOD =60°,∴BD =OB·sin∠BOD =24×32=123,∵O′C⊥OA ,∠CAO′=30°,∴∠AO′C =60°,∵∠AO′B′=120°,∴∠AO′B′+∠AO′C =180°,∴O′B′+O′C -BD =24+12-123=36-123,∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36-123)cm ;(3)显示屏O′B 应绕点O′按顺时针方向旋转30°,理由:电脑显示屏O′B 绕点O′接顺时针方向旋转α度至O′E 处,过O′点作O′F ∥OA ,∴∠FO′A =∠CAO′=30°,∵显示屏O′B 与水平线的夹角仍保持120°,∴∠EO′F =120°,∴∠FO′A =∠CAO′=30°,∵∠AO′B′=120°,∴∠EO′B′=∠FO′A =30°,即α为30°,∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.。
人教版数学九年级下28.1《锐角三角函数》测试(含答案)
锐角三角函数测试时间:100分钟总分:100题号一二三四总分得分一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)1.如图,在△AAA中,AAAA=90∘,AA=AA=4,将△AAA折叠,使点A落在BC边上的点D处,EF为折痕,若AA=3,则sin AAAA的值为( )A. 13B. 2√23C. √24D. 352.如图,在AA△AAA中,AAAA=90∘,AA⊥AA于D,下列式子正确的是()A. sin A=AAAA B. cos A=AAAAC. cot A=AAAD. tan A=AAAA3.如图,在AA△AAA中,斜边AB的长为m,AA=35∘,则直角边BC的长是()A. A sin35∘B. A cos35∘C. Asin35∘D. Acos35∘4.如图是一个3×2的长方形网格,组成网格的小长方形长为宽的2倍,△AAA的顶点都是网格中的格点,则sin AAAA的值()第1页/共13页A. 6√1365B. 5√1378C. √1313D. 5√13265.如图,在AA△AAA中,AA=90∘,A=4,AA=5,则cos A的值是()A. 35B. 45C. 34D. 436.在AA△AAA中,cos A=12,那么sin A的值是()A. √22B. √32C. √33D. 127.在钝角△AAA中,A是钝角,sin A=311,现在拿一个放大三倍的放大镜置于AA上方,则放大镜中的AA的正弦值为()A. 311B. 911C. 611D. 条件不足,无法确定8.在△AAA中,AAAA=90∘,AA=1,AA=2,则下列正确的是()A. sin A=2√55B. tan A=√55C. cos A=√55D. tan A=129.如图,在4×4的正方形方格网中,小正方形的顶点称为格点,△AAA的顶点都在格点上,则图中AAAA的余弦值是()A. √55B. 2√55C. 12D. 210.在AA △AAA中,AA=90∘,AA=13,AA=5,则sin A的值为()A. 513B. 1213C. 512D. 125二、填空题(本大题共10小题,共30.0分)11.如图,正方形ABCD的边长为1,以AB为直径作半圆,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连结DQ,给出如下结论:AAA=1;A AAAA =32;AA△AAA=18;A cos AAAA=35,其中正确结论是______(填写序号)12.如图,网格中的每一个正方形的边长都是1,△AA的每一个顶点都在网格的交点处,则sin A=______ .13.已知CD是AA△AAA斜边上的高线,且AA=10,若AA=8,则cos AAAA=______ .第3页/共13页14.如图,在△AAA中,AA=90∘,AA=5,AA=3,则cos A的值是______.15.如图,在半径为3的⊙A中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AA=2,则tan A= ______ .16.如图,正方形DEFG内接于AA△AAA,AA=90∘,AA=4,AA=9,则tan A=______ .17.如图,在AA△AA中,AA=90∘,AA=13,A=7,则cos A=______.18.如图,AAAA放置在正方形网格中,则AAAA的正切值是______ .19.如图,已知△AAA的三个顶点均在格点上,则cos A的值为______ .20.用不等号“>”或“<”连接:sin50∘______cos50∘.三、计算题(本大题共4小题,共24.0分)21.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,AA=3AA,试求sin AAAA的值.22.如图,已知AB是⊙A的弦,半径AA=2AA,AAA=120∘.(1)求tan AAAA的值;(2)计算A△AAA;第5页/共13页(3)⊙A上一动点P从A点出发,沿逆时针方向运动,当A△AAA=A△AAA时,求P点所经过的弧长.(不考虑点P与点B 重合的情形)23.如图,点E,C在BF上,AA=AA,AAAA=AAAA=45∘,AA=AA=90∘.(1)求证:AA=AA;(2)若AC交DE于M,且AA=√3,AA=√2,将线段CE绕点C顺时针旋转,使点E旋转到AB上的G处,求旋转角AAAA 的度数.24.如图,在四边形ABCD中,BD平分AAA,AAAA=AA=90∘,cos AAAA=4,5的值.求A△AAAA△AA四、解答题(本大题共2小题,共16.0分)25.如图,已知AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,连接AC,BC,过点O作AA⊥AA于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接BD并延长交AE于点F.(1)求证:AA⋅AA=AA⋅AA;(2)若半圆O的直径为10,sin AAAA=3,求AF的长.526.如图,将含30∘角的直角三角板AAA(AA=30∘)绕其直角顶点C顺时针旋转A角(0∘<A<90∘),得到AA△A′A′A,A′A与AB交于点D,过点D作AA//A′A′交AA′于点E,连接AA.易知,在旋转过程中,△AAA为直角三角形.设AA=1,AA=A,△AAA的面积为S.(1)当A=30∘时,求x的值.(2)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围;第7页/共13页(3)以点E为圆心,BE为半径作⊙A,当A=14A△AAA时,判断⊙A与′A的位置关系,并求相应的tan A值.答案和解析【答案】1. A2. A3. A4. A5. B6. B7. A8. C9. A10. B11. AAA12. 3513. 4514. 4515. 2√216. 3217. 71318. 1219. 2√5520. >21. 解:设AA=,则AA=3A,AA=4A,AA=2A,AA=4A,∴AA=√(3A)2+(4A)2=5A,AA=√A2+(2A)2=√5A,AA=√(2A)2+ (4A)2=2√5A,∴AA2+AA2=AA2,∴△AAA是直角三角形,∴sin AAAA=AAAA =√55.第9页/共13页22. 解:(1)作AA ⊥AA . ∵AAAA =120∘, ∴AAAA =60∘. ∴AA =1,AA =√3. ∴tan AAAA =√33.(2)AA =√3,∴AA =2√3.∴A △AAA =2√3×1÷2=√3(AA 2).(3)如图,延长BO 交⊙A 于点A 1, ∵点O 是直径AA 1的中点, A △AA1A =12AA ×A 1A ,A △AAA =12AA ×AA ,∵A 1A =AA ,∴A △A1AA =A △AAA ,AAAA 1=60∘. ∴AA ⏜1的长度为23A (A ). 作点A 关于直径AA 1的对称点A 2,连接AA 2,AA 2,AA 3,易得A △A2AA =A △AAA ,AAAA 2=120∘. ∴AA ⏜2的长度为43A (AA ). 过点B 作AA 3//AA 交⊙A 于点A 3,则A 2A 3直径,易得A △A3AA =A △AAA , ∴AA⏜3的长度=300A ×2180=103A (AA ).23. (1)证明:∵AA =AA , ∴AA =AA ,又∵AAAA =AAAA ,AA =AA , ∴△AAA ≌△AAA , ∴AA =AA .(2)解:∵AAAA =AA =45∘, ∴A //AA ,∴AAAA =AA =90∘,∴AA =AA =√3,AA =AA =√2,∴在AA △AAA 中,AA =√AA 2+A 2=√(√2)2+(√2)2=2, ∴AA =AA =2,在AA △AAA 中,cos AAAA =AA AA=√32, ∴AAAA =30∘,∴AAAA =AAAA −AAAA =45∘−30∘=15∘. 24. 解:∵AA 平分AAAA ,∴AAAA =AAA . 又∵AAAA =AA =90∘, ∴△AAA ∽△AAA . ∴A △AAA A △AAA=(A AA)2,第11页/共13页在AA △AAA 中,∵cos AAAA =AA AA =45, ∴A △AAA A △AAA =(45)2=1625. 25. (1)证明:∵AA 为半圆O 的直径, ∴AA =90∘,∵A ⊥AA ,∴AAAA +AAAA =90∘,AAAA =AA =90∘, ∵AA 是切线,∴A ⊥AA ,∴AA +AAAA =90∘,∴A =AAAA ,∴△AAA ∽△AAA ,∴AA :AA =AA :BC ,∴AA ⋅A =AA ⋅AA .(2)解:作AA ⊥A 于M ,∵半圆O 的直径为10,sin AAAA =35, ∴AA =AA ⋅sin AAAA =6,∴AA =√AA 2−AA 2=8,∵AA ⊥AA ,∴AA =12AA =4,AA =12AA =3, ∴sin AAAA =A AA =35, ∵sin AAAA =sin AAA =AAAA , ∴A =125,AA =√AA 2−AA 2=√42−(125)2=165,AA =AA −AA=345,∵AA//AA,∴AAA =AAAA,∴AA=6017.26. 解:(1)∵AA=A=30∘,又∵AAAA=90∘,∴AAAA=AAAA=60∘.∴AA=AA=AA=1.∴A=1;(2)∵AAAA=90∘,AAAA=60∘,∴AA=AAAA=30∘.∴AA=√3AA=√3,AA=2AA=2.由旋转性质可知:AA=A′A,AA=A′A,AAAA=AAAA,∴△AA∽△AAA,∴AAAA =AAAA,∴AA=√33A.∵AA=2−A,∴A=12×√33A(2−A)=−√36A2+√33A.(0<A<2)(3)∵=14A△AAA第13页/共13页 ∴−√36A 2+√33A =√38, ∴4A 2−8A +3=0, ∴A 1=12,A 2=32. A 当A =12时,AA =2−12=32,AA =√33×12=√36. ∴AA =√AA 2+AA 2=13√21. ∵AA //A′A′,∴AAAA =AA′=AA =30∘. ∴AA =12AA =16√21>AA , ∴此时⊙A 与A′A 相离. 过D 作AA ⊥AA 于F ,则AA =12A =14,AA =√3AA =√34. ∴AA =√3−√34=34√3. ∴tan A =AAAA=√39. (12分) A 当A =32时,AA =2−32=12,AA =√32. ∴AA =√AA 2+AA 2=1, ∴AA =12AA =12<AA , ∴此时⊙A 与相交.同理可求出tan A =3414√3=√3.。
2017年秋人教版九年级下第28章锐角三角函数检测试卷含答案
6.将如图所示三角板的直角顶点放置在直线 AB 上的点 O 处,使斜边
CD∥AB ,则∠α 的正弦值为( )
1
3
2
A. 2 B. 2 C. 2 D.1
第 6 题图
7.在等腰△ ABC
中,AB=AC =10cm,BC=12cm,则
A cos2
的值是(
) 343 5
A. 5 B.5 C.4 D.4
8.如图, 在边长为 1 的小正方形组成的网格中, △ABC 的三个顶点均 在格点上,则 sin∠ABC 的值为( )
=∠ DBC,∴∠ ABD =∠ CDB,∴AB ∥CD.同理 AD ∥BC,∴四边形 ABC
D 是平行四边形.又∵ AB=AD ,∴四边形 ABCD 是菱形. (9 分)连接 AC 交 BD 于 O,则 AC ⊥BD,AO =CO,BO=DO= 6,(10 分)∴OC=
BC2-BO2= 3,∴ AC=2 3.(12 分)
25.(12 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠ BCD 是钝角, AB =AD ,BD 平分∠ ABC.若 CD=3,BD=2 6,sin∠DBC= 33,求对角线 AC 的长.
26.(14 分)如图,在南北方向的海岸线 MN 上,有 A、B 两艘巡逻船, 现均收到故障船 C 的求救信号.已知 A、B 两船相距 100( 3+1)海里,船 C 在船 A 的北偏东 60°方向上,船 C 在船 B 的东南方向上, MN 上有一观 测点 D,测得船 C 正好在观测点 D 的南偏东 75°方向上.
10.A 11.D 12.A
13. 3
12 14. 5
15.60°
16.45
17.35
则2D3C=D11(2891)..=原3238解式3233:==;(3进(128)3而原33),n2在式+-…△=12,×C3则×解D2线12析3D+3段:2+12中在=D,2△3n2D-有2An-B+D2C21+1×D=中122=,2=32=72∠32-3nAC+3CD+21B1..(12==1-09分02°33) =2,,12∠;同B理(5=可分3得0) °D, 20.解:∵∠ ACB =90°, BC=3,AC=4,∴ AB =5.(2 分)∵CD⊥A
【3套】九年级数学人教版《锐角三角函数》单元测试题(Word版有答案)
九年级数学人教版《锐角三角函数》单元测试题(Word 版有答案)一、选择题(本大题有16个小题,共42分.1~10小题各3分,11~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,各边都扩大2倍,则锐角A 的正弦值( )A .扩大2倍B .缩小12 C .不变 D .无法确定2.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =5,BC =3,则∠A 的余弦值是( )A.35B.34C.43D.453.已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =α,BC =2,那么AB 的长等于( )A.2sin α B .2sin α C.2cos αD .2cos α 4.在Rt △ABC 中,∠C =90°,sinA =45,AC =6 cm ,则BC 的长度为( )A .6 cmB .7 cmC .8 cmD .9 cm 5.在Rt △ABC 中,∠B =90°,tanA =512,则cosA =( )A.125 B.1213 C.513 D.5126.三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则最小角的正切值是( )A .1 B.22 C.33D. 3 7.(-sin60°,cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )A .(32,12) B .(-32,12) C .(-32,-12) D .(-12,-32) 8.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A ,B ,C 都在格点上,则∠ABC 的正切值是( )A .2 B.255 C.55 D.129.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为D.若AC =62,∠C =45°,tan ∠ABC =3,则BD 等于( )A .2B .3C .3 2D .2 310.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于点D ,则下列结论不正确的是( )A .sinB =AD AB B .sinB =ACBCC .sinB =AD AC D .sinB =CDAC11.将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状,那么折痕PQ 的长是( )A.23 3 cm B.433 cm C. 5 cm D .2 cm12.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动,如图,在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°,然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13 m 至坡顶B 处,再沿水平方向行走6 m 至大树脚底点D 处,斜面AB 的坡度(或坡比)i =1∶2.4,那么大树CD 的高度约为(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)( )A .8.1 mB .17.2 mC .19.7 mD .25.5 m13.如图,在矩形ABCD 中,点E 是CD 的中点,点F 是BC 上一点,且FC =2BF ,连接AE ,EF.若AB =2,AD =3,则cos ∠AEF 的值是( )A. 3B.32 C.22 D.1214.如图,以坐标原点O 为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A ,B 两点,P 是AB ︵上一点(不与A ,B 重合),连接OP ,设∠POB =α,则点P 的坐标是( )A .(sin α,sin α)B .(cos α,cos α)C .(sin α,cos α)D .(cos α,sin α)15.如图,已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上),某同学从点C 出发,沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处,斜坡CD 的坡度(或坡比)i =1∶2.4,在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°,则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米,参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)( )A .29.1米B .31.9米C .45.9米D .95.9米16.如图,在四边形ABCD 中,∠BAD =∠ADC =90°,AB =AD =22,CD =2,点P 在四边形ABCD 的边上,若点P 到BD 的距离为32,则点P 的个数为( )A .1B .2C .3D .4二、填空题(本大题有3个小题,共12分.17~18小题各3分;19小题有2个空,每空3分.把答案写在题中横线上)17.计算:cos 245°+3tan60°+cos30°+2sin30°-2tan45°= .18.张丽不慎将一道数学题沾上了污渍,变为“如图,在△ABC 中,∠B =60°,AB =63,tanC =,求BC 的长度”.张丽翻看答案后,得知BC =6+33,则部分为 . 19.如图,把n 个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan ∠BA 1C =1,tan ∠BA 2C =13,tan∠BA 3C =17,计算tan ∠BA 4C =113,…,按此规律,写出tan ∠BA n C = .(用含n 的代数式表示)三、解答题(本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20.(本小题满分8分)Rt△ABC中,∠C=90°,c=0.8,b=0.4,解这个直角三角形.解:21.(本小题满分9分)△ABC中,(3·tanA-3)2+|2cosB-3|=0.(1) 判断△ABC的形状;(2) 若AB=10,求BC,AC的长.解:22.(本小题满分9分)如图,在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE,在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°,∠CAD=60°,在屋顶C处测得∠DCA=90°.若房屋的高BC=6 m.求树高DE.解:23.(本小题满分9分)如图,某船由西向东航行,在点A处测得小岛O在北偏东60°方向,船航行了10海里后到达点B,这时测得小岛O在北偏东45°方向,船继续航行到点C时,测得小岛O恰好在船的正北方,求此时船到小岛的距离.24.(本小题满分10分)如图,为了固定一棵珍贵的古树AD,在树干A处向地面引钢管AB,与地面夹角为60°,向高1. 5 m 的建筑物CE 引钢管AC ,与水平面夹角为30°,建筑物CE 离古树的距离ED 为6 m ,求钢管AB 的长.(结果保留整数,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)解:25.(本小题满分10分)一副直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,AB ∥CF ,∠F =∠ACB =90°, ∠E =45°,∠A =60°,AC =10,试求BC ,CD 的长.解:26.(本小题满分11分)阅读下面材料:(1)小红遇到这样一个问题:如图1,在四边形ABCD 中,∠A =∠C =90°,∠D =60°,AB =43,BC =3,求AD 的长.小红发现,延长AB 与DC 相交于点E ,通过构造Rt △ADE ,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).请回答:AD 的长为6;(2)参考小红思考问题的方法,解决问题: 如图3,在四边形ABCD 中,tanA =12,∠B =∠C =135°,AB =9,CD =3,求BC 和AD 的长.解:答案一、选择题二、填空题 172+52.18.32.19.=1n 2-n +1.(用含n 的代数式表示)解析:作CH ⊥BA 4于点H ,由勾股定理得,BA 4=42+12=17,A 4C =10,△BA 4C 的面积=4-2-32=12,∴12×17×CH =12,解得CH =1717. 则A 4H =A 4C 2-CH 2=131717.∴tan ∠BA 4C =CH A 4H =113. ∵1=12-1+1,3=22-2+1,7=32-3+1,∴tan ∠BA n C =1n 2-n +1.三、解答题 20.解:∵sinB =b c =12,∴∠B =30°.∴∠A =60°,a =c 2-b 2=25 3.21.解:(1)由题意,得tanA =3,cosB =32,∴∠A =60°,∠B =30°.∴∠C =90°.∴△ABC 为直角三角形.(2)由(1),得BC =AB ·sinA =10×sin60°=53,AC =AB ·sinB =10×sin30°=5. 22.解:在Rt △ABC 中,∠CAB =45°,BC =6 m , ∴AC =BCsin ∠CAB=6 2 m.在Rt △ACD 中,∠CAD =60°,∴AD =ACcos ∠CAD=12 2 m.在Rt △DEA 中,∠EAD =60°,∴DE =AD ·sin60°=122·32=6 6 (m). 答:树DE 的高为6 6 m. 23.解:设此时船到小岛的距离为x 海里.在Rt △BOC 中,∠OBC =45°,∴OC =BC =x 海里.在Rt △AOC 中,∠OAC =30°,tan ∠OAC =OC AC ,即tan30°=x10+x .∴33=xx +10,解得x =53+5. 答:此时船到小岛的距离为(53+5)海里. 24.解:过点C 作CF ⊥AD 于点F ,可得矩形CEDF. ∴CF =DE =6 m ,AF =CF ·tan30°=6×33=2 3 (m). ∴AD =AF +DF =(23+1.5)m.在Rt △ABD 中,AB =AD sin60°=(23+1.5)÷32=4+3≈6 (m).答:钢管AB 的长约为6 m. 25.解:在△ACB 中,∠ACB =90°, ∠A =60°,AC =10, ∴∠ABC =30°, BC =AC ·tan60°=10 3.过点B 作BM ⊥FD 于点M.∵AB ∥CF ,∴∠BCM =30°.∴BM =BC ·sin30°=103×12=53,CM =BC ·cos30°=103×32=15.在△EFD 中,∠F =90°, ∠E =45°,∴∠EDF =45°. ∴MD =BM =5 3.∴CD =CM -MD =15-5 3.26.解:(1)延长AB 与DC 相交于点E ,在△ADE 中,∵∠A =90°,∠D =60°,∴∠E =30°. 在Rt △BEC 中,∵∠BCE =90°,∠E =30°,BC =3, ∴BE =2BC =2 3.∴AE =AB +BE =43+23=6 3.在Rt △ADE 中,∵A =90°,∠E =30°,AE =63, ∴AD =AE ·tanE =63×33=6. (2)延长AB 与DC 相交于点E ,∵∠ABC =∠BCD =135°,∴∠EBC =∠ECB =45°. ∴BE =CE ,∠E =90°. 设BE =CE =x ,则BC =2x ,AE =9+x ,DE =3+x. 在Rt △ADE 中,∠E =90°,∵tanA =12,∴DE AE =12,即3+x 9+x =12.∴x =3.经检验x=3是所列方程的解,且符合题意.∴BC=32,AE=12,DE=6.∴AD=AE2+DE2=122+62=6 5.人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数单元练习题(含答案)含答案一、选择题1.已知sinα=,求α,若用计算器计算且结果为“30”,最后按键()A.AC10NB.SHIETC.MODED.SHIFT2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则sin A的值为()A.B.C.D.3.已知α是锐角,cosα=,则tanα的值是()A.B.2C.3D.4.在某次海上搜救工作中,A船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物,同时在A船正东10 km处的B船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向,此时,B船到该漂浮物的距离是() A.5kmB.10kmC.10 kmD.20 km5..如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔40海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则海轮行驶的路程AB为()A.(40+40)海里B.(80)海里C.(40+20)海里D.80海里6.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60 m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,≈1.7,结果精确到1 m,则该楼的高度CD为()A.47 mB.51 mC.53 mD.54 m7.将一矩形纸片ABCD沿CE折叠,B点恰好落在AD边上的F处,若AB∶BC=4∶5,则cos ∠AFE 的值为()A.4∶5B.3∶5C.3∶4D.8.已知tanα=6.866,用计算器求锐角α(精确到1″),按键顺序正确的是()A.B.C.D.9.cos 60°的值等于()A.B.1C.D.10.如图,边长为1的小正方形网格中,⊙O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是()A.B.1C.D.二、填空题11.若cos A>cos 60°,则锐角A的取值范围是________.12.比较下列三角函数值的大小:sin 40°__________ sin 50°.13.已知,△ABC中,AB=5,BC=4,S△ABC=8,则tan C=________________.14.△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=3,那么sin B=________.15.计算:sin 45°+cos 45°-tan 30°sin 60°=____________.16.已知不等臂跷跷板AB长为3米,当AB的一端点A碰到地面时(如图1),AB与地面的夹角为30°;当AB的另一端点B碰到地面时(如图2),AB与地面的夹角的正弦值为,那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=____________米.17.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°,测角仪高AD为1 m,则旗杆高BC为____________m(结果保留根号).18.如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图,已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心,支架CD与水平面AE垂直,AB=150厘米,∠BAC=30°,另一根辅助支架DE=76厘米,∠CED=60°.则垂直支架CD的长度为________厘米(结果保留根号).19.已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍,那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为____________.20.用计算器求下列三角函数(保留四位小数):sin 38°19′=________;cos 78°43′16″=________;tan 57°26′=__________.三、解答题21.在△ABC中,已知∠A=60°,∠B为锐角,且tan A,cos B恰为一元二次方程2x2-3mx+3=0的两个实数根.求m的值并判断△ABC的形状.22.已知α是锐角,且sin (α+15°)=,计算-4cosα-(π-3.14)0+tanα+-1的值.23.如图,某同学在测量建筑物AB的高度时,在地面的C处测得点A的仰角为30°,向前走60米到达D处,在D处测得点A的仰角为45°,求建筑物AB的高度.24.某太阳能热水器的横截面示意图如图所示,已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O,且OB=OD,支架CD与水平线AE垂直,∠BAC=∠CDE=30°,DE=80 cm,AC=165 cm.(1)求支架CD的长;(2)求真空热水管AB的长.(结果保留根号)25.小敏家对面新建了一幢图书大厦,小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°,大厦底部的仰角为30°,如图所示,量得两幢楼之间的距离为20米.(1)求出大厦的高度BD;(2)求出小敏家的高度AE.26.在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,求sin A,cos A,tan A的值.27.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是BC边上的一点,CD=6,cos ∠ADC=,tan B =,求BD的长.28.计算下列各式(1)tan 30°×sin 45°+tan 60°×cos 60°(2)sin230°+2sin 60°+tan 45°-tan 60°+cos230°.答案解析1.【答案】D【解析】本题要求熟练应用计算器.“SHIFT”表示使用该键上方的对应的功能.故选D.2.【答案】B【解析】∵在Rt△ABC中,由勾股定理得,BC==12,∴sin A==,故选B.3.【答案】B【解析】如图,设∠A=α,由于cosα=,则可设AC=k,AB=3k,由勾股定理,得BC===k,∴tanα=tan A===2.故选B.4.【答案】B【解析】∵△ABC中,∠ABC=90°-60°=30°,∠CAB=30°+90°=120°,∴∠C=30°,∴∠C=∠ABC,∴AB=AC=10 km.作AD⊥BC于点D,则BC=2BD.在直角△ABD中,BD=AB·cos 30°=5(km).则BC=10(km).故选B.5.【答案】A【解析】根据题意,得PA=40海里,∠A=45°,∠B=30°,∵在Rt△PAC中,AC=PC=PA·cos 45°=40×=40(海里),在Rt△PBC中,BC===40(海里),∴AB=AC+BC=40+40(海里).故选A.6.【答案】B【解析】根据题意,得∠A=30°,∠DBC=60°,DC⊥AC,∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°,∴∠ADB=∠A=30°,∴BD=AB=60 m,∴CD=BD·sin 60°=60×=30≈51(m).故选B.7.【答案】D【解析】∵∠AFE+∠CFD=90°,∴cos ∠AFE=sin ∠CFD=,由折叠可知,CB=CF,矩形ABCD中,AB=CD,sin ∠CFD===.故选D.8.【答案】D【解析】由tanα=6.866,得2nd tan 6.866,故选D.9.【答案】D【解析】cos 60°=,故选D.10.【答案】D【解析】由圆周角定理,得∠AED=∠ABD.在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC==,cos ∠AED=cos ∠ABC===,故选D.11.【答案】0°<A<60°【解析】由cos A>cos 60°,得0°<A<60°,故答案为0°<A<60°.12.【答案】<【解析】∵当0<α<90°,sinα随α的增大而增大,又∵40°<50°,∴sin 40°<sin 50°.13.【答案】4或【解析】设AD是BC边上的高,如图.∵BC=4,S△ABC=8,∴×4AD=8,∴AD=4,∴BD===3.若高AD在△ABC内部,如图1,∵CD=BC-BD=1,∴tan C===4;若高AD在△ABC外部,如图2,∵CD=BC+BD=7,∴tan C==.故答案为4或.14.【答案】【解析】∵在△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=3,∴AB===,∴sin B===.15.【答案】-【解析】原式=+-×=-.16.【答案】【解析】设OH=x,∵当AB的一端点A碰到地面时,AB与地面的夹角为30°,∴AO=2x m,∵当AB的另一端点B碰到地面时,AB与地面的夹角的正弦值为,∴BO=3x m,则AO+BO=2x+3x=3,解得x=.17.【答案】10+1【解析】如图,过点A作AE∥DC,交BC于点E,则AE=CD=10 m,CE=AD=1 m,∵在Rt△BAE中,∠BAE=60°,∴BE=AE·tan 60°=10(m),∴BC=CE+BE=10+1.∴旗杆高BC为(10+1) m.18.【答案】38【解析】∵支架CD与水平面AE垂直,∴∠DCE=90°,在Rt△DCE中,∠DCE=90°,∠CED=60°,DE=76厘米,∴CD=DE·sin ∠CED=76×sin 60°=38(厘米).19.【答案】或【解析】(1)当直角三角形的斜边等于一条直角边的长度的2倍时,设直角三角形的斜边等于2,则一条直角边的长度等于1,另一条直角边的长度是=,则这个直角三角形中较小锐角的正切值为=.(2)当直角三角形的一条直角边的长度等于另一条直角边的长度的2倍时,设一条直角边的长度等于1,则一条直角边的长度等于2,则这个直角三角形中较小锐角的正切值为,故答案为或.20.【答案】0.61930.6193 1.5657【解析】直接使用计算器解答.1、按MODE,出现:DEG,按sin ,38,“.”,19,“.”,=,显示:0.6193;2、按MODE,出现:DEG,按cos ,78,“.”,43,“.”,16,“.”=,显示:0.6193;3、按MODE,出现:DEG,按tan ,50,“.”,26,“.”,=,显示:1.5657.21.【答案】解∵∠A=60°,∴tan A=.把x=代入方程2x2-3mx+3=0,得2()2-3m+3=0,解得m=.把m=代入方程2x2-3mx+3=0得2x2-3mx+3=0,解得x1=,x2=.∴cos B=,即∠B=30°.∴∠C=180°-∠A-∠B=90°,即△ABC是直角三角形.【解析】先求出一元二次方程的解,再根据特殊角的三角函数值求出各角的度数,判断三角形的形状.22.【答案】解∵sin 60°=,∴α+15°=60°,∴α=45°,∴原式=2-4×-1+1+3=3.【解析】根据特殊角的三角函数值得出α,然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简,根据实数运算法则即可计算出结果.23.【答案】解设建筑物AB的高度为x米.在Rt△ABD中,∠ADB=45°,∴AB=DB=x.∴BC=DB+CD=x+60.在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∴tan ∠ACB=,∴tan 30°=,∴=,3x=(x+60)=x+60,(3-)x=60,x==30+30,∴x=30+30.经检验,x=30+30是分式方程的解.∴建筑物AB的高度为(30+30)米.【解析】设建筑物AB的高度为x米,在Rt△ABD中可得出AB=DB=x,在Rt△ABC中根据tan ∠ACB的值可求出x的值.24.【答案】解(1)在Rt△CDE中,∠CDE=30°,DE=80 cm,∴CD=80×cos 30°=80×=40(cm).(2)在Rt△OAC中,∠BAC=30°,AC=165 cm,∴OC=AC×tan 30°=165×=55(cm),∴OD=OC-CD=55-40=15(cm),∴AB=AO-OB=AO-OD=55×2-15=95(cm).【解析】(1)在Rt△CDE中,根据∠CDE=30°,DE=80 cm,求出支架CD的长是多少即可.(2)首先在Rt△OAC中,根据∠BAC=30°,AC=165 cm,求出OC的长是多少,进而求出OD 的长是多少;然后求出OA的长是多少,即可求出真空热水管AB的长是多少.25.【答案】解(1)如题图,∵AC⊥BD,∴BD⊥DE,AE⊥DE,∴四边形AEDC是矩形,∴AC=DE=20米,∵在Rt△ABC中,∠BAC=45°,∴BC=AC=20米,在Rt△ACD中,tan 30°=,∴CD=AC·tan 30°=20×=20(米),∴BD=BC+CD=20+20(米);∴大厦的高度BD为(20+20)米;(2)∵四边形AEDC是矩形,∴AE=CD=20米.∴小敏家的高度AE为20米.【解析】(1)易得四边形AEDC是矩形,即可求得AC的长,然后分别在Rt△ABC与Rt△ACD 中,利用三角函数的知识求得BC与CD的长,继而求得答案;(2)结合(1),由四边形AEDC是矩形,即可求得小敏家的高度AE.26.【答案】解∵Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,∴AC==4,∴sin A==,cos A==,tan A==.【解析】首先利用勾股定理求得AC的长度;然后利用锐角三角函数的定义解答.27.【答案】解在Rt△ACD中,∵cos ∠ADC==,∴AD=×6=10,∴AC===8,在Rt△ABC中,∵tan B==,∴BC=×8=20,∴BD=BC-CD=20-6=14.【解析】在Rt△ACD中,利用∠ADC的余弦可计算出AD=10,再利用勾股定理计算出AC =8,然后在Rt△ABC中,利用∠B的正切计算出BC=20,于是根据BD=BC-CD求解.28.【答案】解(1)原式=×+×=+;(2)原式=2+2×+1+2=++1+=2.【解析】(1)首先代入特殊角的三角函数值,然后化简二次根式即可;(2)首先代入特殊角的三角函数值,然后化简二次根式即可.人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 单元提优卷人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 单元提优卷一、选择题1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,若将各边长度都扩大为原来的5倍,则∠A 的正弦值( D ) A .扩大为原来的5倍 B .缩小为原来的15C .扩大为原来的10倍D .不变2.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D 处后进球.已知小明与篮框底的距离BC=5米,眼睛与地面的距离AB=1.7米,视线AD 与水平线AE 的夹角为a ,如图所示.若tana=310,则点D 到地面的距离CD 是( C )A.2.7米B.3.0米C.3.2米D.3.4米3.如图,已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ,tan α=,则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A . 144 cmB . 180 cmC . 240 cmD . 360 cm4.在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =1,AC =,则∠A 的度数是( A )A . 30°B . 45°C . 60°D . 70°5.如图,有两个全等的正方形ABCD 和BEFC ,则tan(∠BAF +∠AFB)=( A )A.1B.56 C. 23D. 6.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得到Rt △A ′B ′C ′,那么锐角∠A 、∠A ′的余弦值的关系是( B )A .cosA =cosA ′B .cosA =3cosA ′C .3cosA =cosA ′D .不能确定7.如图,小岛在港口P 的北偏西60°方向,距港口56海里的A 处,货船从港口P 出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口,4小时后货船在小岛的正东方向,则货船的航行速度是( A )海里/时 海里/时 海里/时 /时 8.如图,在△ABC 中,AB =2,BC =4,∠ABC =30°,以点B 为圆心,AB 长为半径画弧,交BC 于点D ,则图中阴影部分的面积是( A ) A.B.C.D.9.如图,△ABD 和△BDC 都是直角三角形,且∠ABD=∠BDC=90°,∠BAD=30°,∠DBC=45°,则tan ∠DAC 的值为( C )A.3 B. 33+ C. 413+ D. 310.如图,一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ,坝顶宽10米,坝高12米,斜坡AB 的坡度i=1∶1.5,则坝底AD 的长度为( D )A .26米B .28米 C.30米 D .46米11.如图,△ABC 内接于⊙0,AD 为⊙0的直径,交BC 于点E ,若DE=2,0E=3,则tan ∠ACB ·tan ∠ABC=( C )A.2B.3C.4D.5 二、填空题12.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC ∶BC =1∶2,则sinB =________. [答案] 3413.如图,在半径为3的⊙0中,直径AB 与弦CD 相交于点E ,连接AC ,BD ,若AC=2,则tanD=____.[答案]14.已知对任意锐角α,β均有cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β,则cos75°=________.【答案】6-2415.如图,在△ABC 中,AB=AC=10,点D 是边上一动点(不与B ,C 重合),∠ADE=∠B=a ,DE 交AC 于点E ,且cosa=45,则线段CE 的最大值为____.【答案】6.416.一个人由山脚爬到山顶,须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D ,再爬倾斜角为60度的山坡200米,这座山的高度为______________(结果保留根号)【答案】(150+100)米17.如图所示,小明在家里楼顶上的点A处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°,在点A处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为20 m,则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1).(参考数据:≈1.414≈1.732)【答案】54.618.如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为_____米.【答案】5三、解答题19.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin B=,求cos A的值.【答案】解在△ABC中,∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴cos A=sin B=.20.被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“玉米楼”)坐落在风景如画的如意湖畔,是来郑州观光的游客留影的最佳景点.学完了三角函数知识后,刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度.如图,刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°,王华在高台上的D处测得楼顶的仰角为40°.若高台DE的高为5米,点D到点C的水平距离EC为47.4米,A,C,E三点共线,求“玉米楼”AB的高度.(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,结果保留整数)【解析】如图,过点D 作DM ⊥AB 于点M ,交BC 于点F ,过点C 作CG ⊥DM 于点G ,设BM=x 米,由题意,得DG=47.4米,CG=5米,∠BFM=45°,∠BDM=40°,则FM=BM=x 米,GF=CG=5米,∴DF=DG +GF=52.4米,∴DM=BM tan BDM ∠=x tan 40︒≈x0.84(米),∵DM -FM=DF ,∴x0.84-x=52.4,解得x≈275.1,∴AB=BM +AM=BM +DE ≈280米. 答:“玉米楼”AB 的高约为280米.21.计算:sin 45°+cos 230°+2sin 60°. 【答案】解 原式=×+2+2×=++=1+.22.如图,AB 是⊙O 的直径,延长AB 至P ,使BP=OB ,BD 垂直于弦BC ,垂足为点B ,点D 在PC 上,设∠PCB=α,∠P0C=β,求证tan α·tan β=13【解析】如图,连接AC ,则∠A=12∠POC=2β. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴tan 2β=BCAC.∵BD ⊥BC ,tan α=BD BC ,BD ∥AC ,∴△PBD ∽△PAC ,∴BD AC =PBPA.∵PB=OB=OA ,∴PB PA =13.∴BD AC =13.∴tan α·tan 2β=BD BC ·BC AC =BD AC =13.23.某课桌生产厂家研究发现,倾斜12°~24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势.根据这一研究,厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面.新桌面的设计图如图1,AB 可绕点A 旋转,在点C 处安装一根可旋转的支撑臂CD ,AC =30 cm.(1)如图2,当∠BAC =24°时,CD ⊥AB ,求支撑臂CD 的长; (2)如图3,当∠BAC =12°时,求AD 的长.(结果保留根号)(参考数据:sin 24°≈0.40,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.46,sin 12°≈0.20)【答案】解 (1)∵∠BAC =24°,CD ⊥AB , ∴sin 24°=,∴CD =AC sin 24°=30×0.40=12 cm ; ∴支撑臂CD 的长为12 cm ; (2)过点C 作CE ⊥AB ,于点E , 当∠BAC =12°时, ∴sin 12°==,∴CE =30×0.20=6 cm , ∵CD =12, ∴DE =6,∴AE ==12cm , ∴AD 的长为(12+6)cm 或(12-6) cm.24.小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M 处出发,向前走3米到达A 处,测得树顶端E 的仰角为30°,他又继续走下台阶到达C 处,测得树的顶端E 的仰角是60°,再继续向前走到大树底D 处,测得食堂楼顶N 的仰角为45°.已知A 点离地面的高度AB=2米,∠BCA=30°,且B 、C 、D 三点在同一直线上. (1)求树DE 的高度; (2求食堂MN 的高度.【解析】(1)设DE=x 米,∵DF=AB=2米,∴EF=DE -DF=(x -2)米. ∵∠EAF=30°,∴EF AF 2)tan EAF ===-∠米.又DE CD x tan DCE 3==∠米,A B B C 3t a n A C ==∠,∴BD=BC +3x)米. 由AF=BD-x ,解得x=6. 故树DE 的高度为6米.(2)如图,延长NM 交DB 的延长线于点P ,则BP=AM=3米. 由(1)知米,米,∴PD=BP +BC +CD=3+2+2=(3+4)米.∵∠NDP=45°,∴NP=PD=(3+米.∵MP=AB=2米,∴NM=NP -MP=3+2=(1+米.故食堂MN 的高度为(1+)米.25. 如图所示,已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,D 是BC 边上的一点,AC =2,CD =1,记∠CAD =α.(1)试写出α的三个三角函数值; (2)若∠B =α,求BD 的长. 解:(1)sin α=55,cos α=255,tan α=12; (2)BC =AC tan α=212=4,∴BD =BC -CD =4-1=3.。
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步测试题及答案
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步测试题及答案任务一 求锐角三角函数值子任务1 利用参数法求锐角三角函数值母题1 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3AC ,则tan B=( )A .13B .3C .√1010 D .3√1010变式练1:在直角三角形ABC 中,若2AB=AC ,则cos C 的值为( )A .12或2√35B .12或2√55 C .√32或2√55 D .√32或2√35子任务2 构造直角三角形求锐角三角函数值母题2 如图,已知钝角三角形ABC ,点D 在BC 的延长线上,连接AD ,若∠DAB=90°,∠ACB=2∠D ,AD=2,AC=32,求tan D 的值.变式练2:如图,△ABC与△BDC均为直角三角形,若∠ACB=30°,∠DBC=45°,求∠ADB的正切值.母题3如图,在△ABC中,CA=CB=4,cos C=14,则sin B的值为()A.√102B.√153C.√64D.√104变式练3:如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC.若tan B=53,则tan∠CAD的值为.子任务3利用等角转换法求锐角三角函数值母题4如图,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tan D=()A.2√2B.√24C.13D.2√23【关键点拨】变式练4:如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=1∠BAC,求sin∠BPC.2子任务4利用网格求锐角三角函数值母题5如图,这是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是.【关键点拨】变式练5:如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC=()A.√1313B.√66C.√2613D.√2626子任务5在折叠问题中求锐角三角函数值母题6如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D 处,EF为折痕,若AE=3,则sin∠BFD的值为.【关键点拨】变式练6:直角三角形纸片ABC,两直角边BC=4,AC=8,现将△ABC纸片按图中方式折叠,使点A 与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是()A.12B.34C.1D.43任务二 由一个锐角的三角函数值求三角形的边长母题7 在Rt △ABC 中,∠C=90°,sin A=35,AC=8 cm,则BC 的长度为( )A .3 cmB .4 cmC .5 cmD .6 cm变式练7:已知∠A 是锐角,sin A=35,则cos A 的值为( )A .35B .45C .34D .54任务三 由一个锐角的三角函数值求三角形的面积母题8 已知△ABC 中,tan B=23,BC=6,过点A 作BC 边上的高,垂足为点D ,且满足BD ∶CD=2∶1,则△ABC 面积的所有可能值为 .变式练8:在△ABC 中,AB=3√6,AC=6,∠B=45°,则BC= .任务四 锐角三角函数的探究问题母题9 如图1,在Rt △ABC 中,以下是小亮探究asinA 与bsinB 之间关系的方法:∵sin A=a c ,sin B=b c , ∴c=a sinA ,c=bsinB ∴asinA =bsinB .根据你掌握的三角函数知识,在图2的锐角三角形ABC 中,探究asinA ,bsinB ,csinC 之间的关系,并写出探究过程.图1 图2变式练9:把(sin α)2记作sin 2α,根据图完成下列各题:图1图2(1)如图1,sin 2A 1+cos 2A 1= ,sin 2A 2+cos 2A 2= sin 2A 3+cos 2A 3= .(2)观察上述等式后猜想:在Rt △ABC 中,∠C=90°,总有sin 2A+cos 2A= . (3)如图2,在Rt △ABC 中证明(2)题中的猜想.(4)已知在△ABC 中,∠A+∠B=90°,且sin A=1213,求cos A 的值.参考答案母题1 A 提示:在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3AC∴tan B=AC BC =AC 3AC =13.故选A .变式练1 C 提示:①当AC 为直角边时∵2AB=AC∴BC=√AB 2+AC 2=√5AB∴cos C=AC BC =2AB √5AB =2√55;②当AC 为斜边时 ∵2AB=AC∴BC=√AC 2-AB 2=√3AB∴cos C=BC AC =√3AB 2AB=√32. 综上,cos C=2√55或√32. 故选C .母题2 解:∵∠ACB=∠D+∠CAD ,∠ACB=2∠D∴∠CAD=∠D∴CA=CD. ∵∠DAB=90°∴∠B+∠D=90°,∠BAC+∠CAD=90° ∴∠B=∠BAC ∴AC=CB∴BD=2AC=2×32=3. 在Rt △ABD 中,∵∠DAB=90°,AD=2∴AB=√32-22=√5∴tan D=AB AD =√52.变式练2解:如图,过点A 作DB 延长线的垂线,垂足为点E 则∠E=90°,∠ABE=45°,AE=BE.设AE=BE=x ,则AB=√2x ,BC=√6x ,BD=CD=√3x∴DE=√3x+x ,∴tan ∠ADB=AE DE =(√3+1)x =√3+1=√3-12.母题3 D 提示:如图,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D在Rt △ACD 中,CD=CA ·cos C=1∴AD=√AC 2-CD 2=√15.在Rt △ABD 中,BD=CB-CD=3,AD=√15.∴AB=√BD 2+AD 2=2√6.∴sin B=AD AB =√104.故选D . 变式练3 15 提示:如图,延长AD ,过点C 作CE ⊥AD ,垂足为E.在Rt △BAD 中,tan B=AD AB =53. 可设AD=5x ,则AB=3x.∵∠CDE=∠BDA ,∠CED=∠BAD ∴△CDE ∽△BDA∴CE AB =DE AD =CD BD =12 ∴CE=32x ,DE=52x ∴AE=AD+DE=152x ∴在Rt △AEC 中,tan ∠CAD=CE AE =15.故答案为15.母题4 A 提示:如图,连接BC.∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. ∵☉O 的半径为3,∴AB=6 ∴BC=√AB 2-AC 2=√62-22=4√2∴tan D=tan A=BC AC =4√22=2√2. 故选A .变式练4 解:如图,作AD ⊥BC 于点D.∵AB=AC=5,BC=8∴BD=CD=4,∠BAD=12∠BAC. ∵∠ADB=90°,∴sin ∠BAD=BD AB =45.又∵∠BPC=12∠BAC∴∠BPC=∠BAD ∴sin ∠BPC=45. 母题5 2 提示:如图,过点Q 作QC ∥BA ,连接PC∴∠QMB=∠CQP. 由题意得CQ 2=22+22=8 PC 2=42+42=32 PQ 2=22+62=40∴PC 2+CQ 2=PQ 2∴△PCQ 是直角三角形 ∴∠PCQ=90°∴tan ∠CQP=PC CQ =√22√2=2∴tan ∠QMB=tan ∠CQP=2. 故答案为2.变式练5 D 提示:如图,延长AC 到点D ,连接BE 交CD 于点O∴BE ⊥CD ,AB=√22+32=√13,OB=12BE=12√12+12=√22∴sin ∠BAC=OB AB =√22√13=√2626. 故选D .母题6 13 提示:∵在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4∴∠A=∠B.由折叠的性质得到△AEF ≌△DEF∴∠EDF=∠A ∴∠EDF=∠B∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180° ∴∠CDE=∠BFD. 又∵AE=DE=3∴CE=4-3=1.在直角△ECD 中,sin ∠CDE=CEED =13∴sin ∠BFD=13. 故答案为13.变式练6 B 提示:根据题意,BE=AE.设BE=x ,则CE=8-x. 在Rt △BCE 中,x 2=(8-x )2+42 解得x=5∴CE=8-5=3∴tan ∠CBE=CE CB =34.故选B .母题7 D 提示:∵sin A=BCAB =35∴设BC=3x ,AB=5x. 又∵AC 2+BC 2=AB 2∴82+(3x )2=(5x )2解得x=2或x=-2(舍去)∴BC=3x=6 cm . 故选D .变式练7 B 提示:∵sin 2A+cos 2A=1∴cos A=√1−(35) 2=45. 故选B .母题8 8或24 提示:如图1所示∵BC=6,BD ∶CD=2∶1∴BD=4.∵AD ⊥BC ,tan B=23∴AD BD =23∴AD=23BD=83∴S △ABC =12BC •AD=12×6×83=8. 如图2所示∵BC=6,BD ∶CD=2∶1,∴BD=12.∵AD ⊥BC ,tan B=23,∴AD BD =23,∴AD=23BD=8 ∴S △ABC =12BC •AD=12×6×8=24. 综上所述,△ABC 面积的所有可能值为8或24. 故答案为8或24.图1 图2变式练8 3√3+3或3√3-3 提示:①当△ABC 为锐角三角形时 过点A 作AD ⊥BC 于点D ,如图1.图1∵AB=3√6,∠B=45°∴AD=BD=AB ·sin 45°=3√3∴CD=√AC 2-AD 2=3,∴BC=BD+CD=3√3+3. ②当△ABC 为钝角三角形时过点A 作AD ⊥BC 交BC 延长线于点D ,如图2.图2∵AB=3√6,∠B=45°∴AD=BD=AB ·sin 45°=3√3∴CD=√AC 2-AD 2=3∴BC=BD-CD=3√3-3.综上,BC 的长为3√3+3或3√3-3.故答案为3√3+3或3√3-3.母题9 解:a sinA =b sinB =c sinC .理由如下:如图,过点A 作AD ⊥BC ,过点B 作BE ⊥AC在Rt △ABD 中,sin B=AD c ,即AD=c sin B 在Rt △ADC 中,sin C=AD b ,即AD=b sin C∴c sin B=b sin C ,即b sinB =c sinC 同理可得a sinA =c sinC则a sinA =b sinB =c sinC .变式练9 解:(1)1;1;1 提示:sin 2A 1+cos 2A 1=122+√322=14+34=1 sin 2A 2+cos 2A 2=1√22+1√22=12+12=1 sin 2A 3+cos 2A 3=352+452=925+1625=1.故答案为1;1;1.(2)1.(3)在题图2中,∵sin A=a c ,cos A=b c ,且a 2+b 2=c 2 则sin 2A+cos 2A=a c 2+b c 2=a 2c 2+b 2c 2=a 2+b 2c 2=c 2c 2=1 即sin 2A+cos 2A=1.(4)在△ABC 中,∠A+∠B=90°,∴∠C=90°. ∵sin 2A+cos 2A=1,∴12132+cos 2A=1 解得cos A=513或cos A=-513(舍去),∴cos A=513.。
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》综合测试卷 (含答案)
人教版数学九年级下册 第28章 锐角三角函数综合测试卷(时间90分钟,满分120分)一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.cos60°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D.322.如果∠α是等边三角形的一个内角,那么cosα的值等于( ) A. 12 B. 22C.32D .1 3.如图,延长Rt △ABC 斜边AB 到点D ,使BD =AB ,连结CD.若tan ∠BCD =13,则tan A=( )A.13B.23 C .1 D.324.如图所示,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AC ⊥AB ,AD =CD ,cos ∠DCA =45,BC =10,则AB 的长是( ) A .3B .6C .8D .95.如图,A ,B ,C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′,则tan B′的值为( ) A.12 B.13C.14D.246. 已知a 为锐角,sina=cos500则a 等于( ) A.200 B.300 C.400 D.5007.如图所示,△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ,若BD :AD=1:4,则tan ∠BCD 的值是( )A. 14B. 13C. 12D .28.某铁路路基的横截面为等腰三角形,已知路基高5 m ,坡长10 m ,则坡度为( ) A .1∶2 B .1∶12C .1∶ 3D .1∶339.等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2,则等腰三角形顶角的度数为( ) A .30°B .50°C .60°或120°D .30°或150°10.如图,已知△ABC 中,∠C =90°,tanA =12,D 是AC 上一点,∠CBD =∠A ,则sin ∠ABD 等于( ) A.35 B.105 C.310 D.31010二.填空题(共8小题,3*8=24) 11.在△ABC 中,若│sinA -1│+(32-cosB )=0,则∠C=_______度.12.如图,一架梯子斜靠在墙上.若梯子底端到墙的距离AC =3 m ,cos ∠BAC =34,则梯子长AB =_______ m.13.如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在边DC 上,M ,N 两点关于对角线AC 所在的直线对称,若DM =1,则tan ∠ADN =________.14. cos 2(50°+α)+cos 2(40°-α)-tan(30°-α)tan(60°+α)= ;15.如图所示,在△ABC 中,∠A=30°,tanB=13,BC=10,则AB 的长为________.16.如图,在高度是21 m 的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°,底部D 处的俯角为45°,则这个建筑物的高度CD =____________.(结果保留根号)17.为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固,如图,加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB =12米,背水坡面CD =123米,∠B =60°,加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ,tanE =3133,则CE 的长为________米.18.一次函数的图象经过点(tan 45°,tan 60°)和(-cos 60°,-6tan 30°),则此一次函数的解析式为___________________.三.解答题(共7小题,66分)19.(8分) 已知tanα的值是方程x 2-x -2=0的一个根,求式子3sinα-cosα2cosα+sinα的值.20.(8分) 如图,海面上B ,C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向.一艘船从A 岛出发,以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛,此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°.求A ,B 两岛之间的距离.(结果精确到0.1海里)(参考数据:sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)21.(8分) 如图,房屋顶呈人字形(等腰三角形),AC =BC =8 m ,∠A =30°,CD ⊥AB 于点D.(1)求∠ACB 的大小; (2)求AB 的长度.22.(10分)在△ABC中,∠C=90°.(1)已知c=83,∠A=60°,求∠B,a,b;(2)已知a=36,∠A=45°,求∠B,b,c.23.(10分) 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点坐标为O(0,0),A(23,0),B(23,2),把矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转α度,使点B正好落在y轴正半轴上,得到矩形OA1B1C1.(1)求角α的度数;(2)求直线A1B1的函数关系式,并判断直线A1B1是否经过点B,为什么?24.(10分) 如图,为了测量山顶铁塔AE 的高,小明在27 m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°,在楼顶C 测得塔顶A 的仰角为36°52′.已知山高BE 为56 m ,楼的底部D 与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin 36°52′≈0.60,tan 36°52′≈0.75)25.(12分) 如图,四边形ABCD 为正方形,点E 为BC 上一点.将正方形折叠,使点A 与点E 重合,折痕为MN.若tan ∠AEN =13,DC +CE =10.(1)求△ANE 的面积; (2)求sin ∠ENB 的值.参考答案:1-5 AADBB 6-10CCCDA 11. 60 12. 4 13. 4314. 0 15.3+ 3 16. (73+21)m 17.818. y =23x -3 19. 解:解方程x 2-x -2=0 得x 1=2,x 2=-1. 又∵tanα>0,∴tanα=2, 又∵tanα=sinαcosα,∴原式=3tanα-12+tanα=3×2-12+2=5420. 解:由题意,得AC =18×2=36(海里),∠ACB =43°.在Rt △ABC 中, ∵∠A =90°,∴AB =AC•tan ∠ACB =36×0.93≈33.5(海里). 故A ,B 两岛之间的距离约为33.5海里. 21. 解:(1)∵AC =BC =8 m ,∠A =30°, ∴∠B =∠A =30°,∴∠ACB =120°. (2)∵AB =AC ,CD ⊥AB , ∴AD =BD ,AD =AC·cos30°=8×32=4 3(m),∴AB =2AD =8 3 m. 22. 解:(1)∵∠C =90°,∠A =60°, ∴∠B =30°.∵sin A =a c ,sin B =bc ,∴a =c·sin A =83×32=12. b =c·sin B =83×12=4 3.(2)∵∠C =90°,∠A =45°, ∴∠B =45°. ∴b =a =3 6. ∴c =a 2+b 2=6 3.23. 解:(1)∵OA 1=23,A 1B 1=2,∴tan ∠A 1OB 1=223=33,∴锐角∠A 1OB 1=30°,∴∠α=60°(2)由点A 1(3,3),B 1(0,4)得直线A 1B 1表达式为y =-33x +4, 当x =23时,y =-33×23+4=2, ∴点B(23,2)在直线A 1B 1上24.解:如图,过点C 作CF ⊥AB 于点F.设塔高AE =x m ,由题意得EF =BE -CD =56-27=29(m),AF =AE +EF =(x +29)m. 在Rt △AFC 中,∠ACF =36°52′,AF =(x +29)m , 则CF =AFtan 36°52′≈x +290.75=43x +1163(m),在Rt △ABD 中,∠ADB =45°,AB =(x +56)m , 则BD =AB =(x +56)m , ∵CF =BD ,∴x +56≈43x +1163,解得x≈52.答:该铁塔的高AE 约为52 m.25. 解:(1)∵tan ∠AEN =tan ∠EAN =13,故若设BE =a ,则AB =3a ,CE =2a.∵DC +CE =10,∴3a +2a =10,∴a =2.∴BE =2,AB =6,CE =4. ∵AE =AB 2+BE 2=4+36=2 10,∴AG =10.∵tan ∠EAN =NG AG =13,∴NG =103.∴AN =⎝⎛⎭⎫1032+(10)2=103.∴S △ANE =12AN·BE =12×103×2=103(或S △ANE =12AE·GN =12×2 10×103=103).(2)sin ∠ENB =EB NE =2103=35.。
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一.选择题(共10小题,满分30分)1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos A=( )A.B.C.D.2.在边长相等的小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上( )A.B.C.D.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,那么tan B的值是( )A.B.C.D.4.∠β为锐角,且2cosβ﹣1=0,则∠β=( )A.30°B.60°C.45°D.37.5°5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,则tan A的值是( )A.B.C.D.6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,则sin B=( )A.B.2C.D.7.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′,按键顺序正确的是( )A.B.C.D.8.如图,AD是△ABC的高,AB=4,tan∠CAD=,则BC的长为( )A. +1B.2+2C.2+1D. +49.如图,半径为3的⊙O内有一点A,OA=,当∠OPA最大时,S△OPA等于( )A.B.C.D.110.如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,右边是它的部分示意图,∠C=42°,AB=60( )A.60sin50°B.C.60cos50°D.60tan50°二.填空题(共10小题,满分30分)11.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A= .12.用科学计算器计算: tan16°15′≈ (结果精确到0.01)13.在△ABC中,若,∠A,∠B都是锐角 三角形.14.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,那么AB的长为 .15.比较大小:sin80° tan50°(填“>”或“<”).16.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A= .17.在△ABC中,若|sin A﹣|+(﹣cos B)2=0,则∠C的度数是 .18.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,AC=6,则tan A的值为 .19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,连接CD,过点B作CD的垂线,tan A=,则cos∠DBE的值为 .20.如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),水平宽度AC=m 米.三.解答题(共7小题,满分6021.已知cos45°=,求cos21°+cos22°+…+cos289°的值.22.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.求sin A,cos A和tan A.23.如图,在Rt△ABC中,∠C=90˚,BC=6,求AC的长和sin A的值.24.计算:cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°.25.计算:(1);(2)sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°.26.2022年8月21日,重庆市北碚区缙云山突发山火,山火无情,各地消防迅速出动,冲锋在前,然后沿着坡比为5:12的斜坡前进104米到达B处平台,继续前进到达C,沿斜坡CD前行800米到达着火点D.(1)求着火点D距离山脚的垂直高度;(2)已知消防员在平地的平均速度为4m/s,求消防员通过平台BC的时间.(保留一位小数)(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈,≈1.732)27.如图,已知∠ABC和射线BD P(点P与点B不重合),且点P到BA、BC的距离为PE、PF.(1)若∠EBP=40°,∠FBP=20°,PB=m;(2)若∠EBP=α,∠FBP=β,α,β都是锐角,并给出证明.参考答案与试题解析一.选择题(共10小题,满分30分)1.解:如图,∵∠C=90°,∴设AC=5k,AB=13k,根据勾股定理得,BC==,所以,sin A===.故选:D.2.解:设点C到AB的距离为h,由勾股定理可知:AC==2=,由于S△ABC=32﹣×6×2﹣×7×3=9﹣8﹣3=4.∴AB•h=4,∴h=,∴sin∠BAC==,∴cos∠BAC=,故选:A.3.解:∵∠C=90°,∴tan B===.故选:D.4.解:∵∠β为锐角,且2cosβ﹣1=8,∴cosβ=,∴∠β=60°.故选:B.5.解:∵∠C=90°,AB=5,∴AC===4,∴tan A==,故选:D.6.解:∵∠C=90°,tan A=2,∴BC=2AC,∴,∴,故C正确.故选:C.7.解:若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′,按键顺序正确的是.故选:C.8.解:∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD中,cos∠BAD=,∴cos60°=,sin60°=,∴AD=4cos60°=7×=5=4,在Rt△ADC中,tan∠CAD=,∴=,解得CD=1,∴BC=BD+CD=2+1.故选:C.9.解:如图所示:∵OA、OP是定值,∴PA⊥OA时,∠OPA最大,在直角三角形OPA中,OA=,∴PA==,∴S△OPA=OA•AP=××=.故选:B.10.解:过点A作AD⊥BC于点D,如图所示:∵∠BAC=88°,∠C=42°,∴∠B=180°﹣88°﹣42°=50°,在Rt△ABD中,AD=AB×sin60×sin50°,∴点A到BC的距离为60sin50°,故A正确.故选:A.二.填空题(共10小题,满分30分)11.解:由sin A=知,可设a=6x,b=3x.∴tan A=.故答案为:.12.解: tan16°15′≈0.71,故答案为:4.71.13.解:∵,∴sin A=,cos B=,∴∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.故答案为:等边.14.解:∵cos A==,AC=7,∴AB==8,故答案为:8.15.解:∵tan50°>tan45°,tan45°=1,∴tan50°>1,又sin80°<2,∴sin80°<tan50°;故答案为:<.16.解:∵在△ABC中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴sin B=cos A=.故答案为:.17.解:∵|sin A﹣|+(2=2,∴sin A﹣=4,,即sin A=,cos B=,∴∠A=30°,∠B=45°,∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°.故答案为:105°.18.解:在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∴AB=2CD=10,∵AC=6,∴BC===8,∴tan A===,故答案为:.19.解:过点C作CF⊥AB,垂足为F,在Rt△ABC中,AC=3a=,∴BC=4a,AB=5a,∵D是AB的中点,∴CD=AB=a,∵△ABC的面积=AB•CF=,∴AB•CF=AC•CB,∴5aCF=3a×4a,∴CF=a,∴cos∠DCF==,∵BE⊥CD,∴∠E=90°,∴∠EDB+∠EBD=90°,∵∠FCD+∠CDF=90°,∠CDF=∠BDE,∴∠EBD=∠DCF,∴cos∠DBE=cos∠DCF=,故答案为:.20.解:∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:,AC=m,∴=,∴BC=AC==3(m),在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB==,故答案为:6.三.解答题(共7小题,满分60分)21.解:原式=(cos21°+cos289°)+(cos22°+cos588°)+…+(cos244°+cos246°)+cos445=(sin21°+cos51°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin844°+cos244°)+cos245=44+()2=44.22.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.∴AB===13,∴sin A==,cos A==,tan A==.23.解:∵△ABC中,tan A=,∴=,∴AC=8,∴AB===10,∴sin A==24.解:原式=﹣4×()6+×()2﹣=﹣2×+×﹣=﹣2+﹣=﹣.25.解:(1)=﹣4﹣7+1=﹣4;(2)sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°===.26.(1)如图所示,过点B,C,D分别作水平线的垂线,F,G,延长BC交AG于点H,BHGE是矩形,依题意,,AB=104米,CD=800米,在Rt△ABE中,,设BE=8k米,∴AB=13k,∵AB=104米,∴k=8,∴BE=5×2=40(米),AE=12×8=96(米),在Rt△DCH中,CD=800米,∴DG=DH+HG=DH+BE=480+40=520(米),即着火点D距离山脚的垂直高度为520米;(2)依题意,∠DAG=30°,∴米,∵Rt△DCH中,CH=cos37°×CD=≈0.8×800=640(米),又AE=96米,∴(米),∵消防员在平地的平均速度为4m/s,∴消防员通过平台BC的时间为(秒).27.解:(1)在Rt△BPE中,sin∠EBP=在Rt△BPF中,sin∠FBP=又sin40°>sin20°∴PE>PF;(2)根据(1)得sin∠EBP==sinα=sinβ又∵α>β∴sinα>sinβ∴PE>PF.。
人教版九年级下册第二十八章 《锐角三角函数》单元练习题(含答案)
人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元练习题(含答案)一、选择题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A的值等于()A.B.C.D.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cos B=,则BC的长为()A.4B.2C.D.3.已知∠A为锐角,且tan A=,则∠A的取值范围是()A.0°<∠A<30°B.30°<∠A<45°C.45°<∠A<60°D.60°<∠A<90°4.把Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′,则锐角A、A′的余弦值之间的关系是()A.cos A=cos A′B.cos A=5cos A′C.5cos A=cos A′D.不能确定5.Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,AC=6 cm,那么BC等于()A.8 cmB.cmC.cmD.cm6.在△ABC中,∠C=90°,已知tan A=,则cos B的值等于()A.B.C.D.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cos B=,则BC的长为()A.B.4C.2D.58.已知∠A为锐角,且sin A<,那么∠A的取值范围是()A.0°<∠A<30°B.30°<∠A<60°C.60°<∠A<90°D.30°<∠A<90°分卷II二、填空题9.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=10,若△ABC的面积为,则∠A=________.10.若tan (x+10°)=1,则锐角x的度数为__________.11.在△ABC中,∠C=90°,如果tan B=3,则cos A=__________.12.如图,一天,我国一渔政船航行到A处时,发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船,正在以20海里/小时的速度向西北方向航行,我渔政船立即沿北偏东60°方向航行,1.5小时后,在我领海区域的C处截获可疑渔船,我渔政船的航行路程是________海里.13.如图,某电视塔AB和楼CD的水平距离为100 m,从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°,试求塔高为__________,楼高为__________.14.在Rt△ABC中,∠C=90°,且tan A=3,则cos B的值为__________.15.如图,将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上,则tan A 的值是__________.16.△ABC中,∠C=90°,cos ∠A=0.3,AB=10,则AC=__________.三、解答题17.如图,某公园内有座桥,桥的高度是5米,CB⊥DB,坡面AC的倾斜角为45°,为方便老人过桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面DC的坡度为i=∶3.若新坡角外需留下2米宽的人行道,问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽?(参考数据:≈1.414,≈1.732)18.课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦,余弦和正切函数,与此类似,在Rt△ABC 中,∠C=90°,把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cot A=.(1)若∠A=45°,则cot 45°=__________;若∠A=60°,则cot 60°=__________;(2)探究tan A·cot A的值.19.已知Rt△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,∠C=90°,a:c=2:3,求tan A 的值.20.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=5,解这个直角三角形.21.如图1是一种折叠椅,忽略其支架等的宽度,得到他的侧面简化结构图(图2),支架与坐板均用线段表示,若座板DF平行于地面MN,前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF 交于点E、D,现测得DE=20厘米,DC=40厘米,∠AED=58°,∠ADE=76°.(1)求椅子的高度(即椅子的座板DF与地面MN之间的距离)(精确到1厘米)(2)求椅子两脚B、C之间的距离(精确到1厘米)(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60,sin 76°≈0.97.cos 76°≈0.24,tan 76°≈4.00)第二十八章《锐角三角函数》单元练习题答案解析1.【答案】D【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴AB===5.∴cos A==,故选D.2.【答案】A【解析】如图,∵∠C=90°,∴cos B=,∴BC=AB cos B=6×=4,故选A.3.【答案】C【解析】∵tan 45°=1,tan 60°=,锐角的正切值随角增大而增大,又1<<,∴45°<∠A<60°.故选C.4.【答案】【解析】∵Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′,∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′,∴∠A=∠A′,∴cos A=cos A′.故选A.5.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,AC=6 cm,∴tan A===,解得BC=8,故选A.6.【答案】A【解析】设BC=2x,∵tan A=,∴AC=x,∴AB=3,∴cos B==,故选A.7.【答案】B【解析】∵cos B=,∴BC=AB·cos B=6×=4.故选B.8.【答案】A【解析】∵∠A为锐角,且sin 30°=,又∵当∠A是锐角时,其正弦随角度的增大而增大,∴0°<A<30°,故选A.9.【答案】60°【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=10,若△ABC的面积为,∴S=AC·BC=,∴AC=,∵tan A===,∴∠A=60°.10.【答案】20°【解析】∵tan (x+10°)=1,∴tan (x+10°)==,∴x+10°=30°,∴x=20°.11.【答案】【解析】由tan B=3,可以设∠B的对边是3k,邻边是k,则根据勾股定理,得斜边是k=k,故cos A=.12.【答案】30【解析】作CD⊥AB于点D,垂足为D,在Rt△BCD中,∵BC=20×1.5=30(海里),∠CBD=45°,∴CD=BC·sin 45°=30×=15(海里),则在Rt△ACD中,AC==15×2=30(海里).13.【答案】100m(100-100)m【解析】设CD=x m,则∵CE=BD=100,∠ACE=45°,∴AE=CE·tan 45°=100.∴AB=100+x.在Rt△ADB中,∵∠ADB=60°,∠ABD=90°,∴tan 60°=,∴AB=BD,即x+100=100,∴x=100-100,即楼高100-100 m,塔高100m.14.【答案】【解析】解法1:利用三角函数的定义及勾股定理求解.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=3,设a=3x,b=x,则c=x,∴cos B===.解法2:利用同角、互为余角的三角函数关系式求解.又∵tan A==3,∴sin A=3cos A.又sin2A+cos2A=1,∴cos A=.∵A、B互为余角,∴cos B=sin (90°-B)=sin A=.15.【答案】【解析】作BD⊥AC于点D,∵BC=2,AC==3,点A到BC的距离为3,AB==,∴=,即=,解得BD=,∴AD===2,∴tan A===.16.【答案】3【解析】∵∠C=90°,AB=10,∴cos A===0.3,∴AC=3.17.【答案】解不需要移栽,理由:∵CB⊥AB,∠CAB=45°,∴△ABC为等腰直角三角形,∴AB=BC=5米,在Rt△BCD中,新坡面DC的坡度为i=∶3,即∠CDB=30°,∴DC=2BC=10米,BD=BC=5米,∴AD=BD-AB=(5-5)米≈3.66米,∵2+3.66=5.66<6,∴不需要移栽.【解析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形,求出AB的长,在直角三角形BCD中,根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30,利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长,再利用勾股定理求出DB的长,由DB-AB求出AD的长,然后将AD+2与6进行比较,若大于则需要移栽,反之不需要移栽.18.【答案】解(1)由题意得:cot 45°=1,cot 60°=;(2)∵tan A=,cot A=,∴tan A·cot A=·=1.【解析】(1)根据题目所给的信息求解即可;(2)根据tan A=,cotA=,求出tan A·cot A的值即可.19.【答案】解设a=2k,c=3k.由勾股定理得b===k.则tan A===.【解析】设a=2k,c=3k,依据勾股定理可求得b的长度,然后依据锐角三角函数的定义解答即可.20.【答案】解在Rt△ABC中,∠B=90°-∠A=60°,∵tan B=,∴b=a×tan B=5×tan 60°=5,由勾股定理,得c==10.【解析】直角三角形的两个锐角互余,并且Rt△ABC中,∠C=90°则∠A=90-∠B=60°,解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角,三边中的未知的元素.21.【答案】解(1)如图,作DP⊥MN于点P,即∠DPC=90°,∵DE∥MN,∴∠DCP=∠ADE=76°,则在Rt△CDP中,DP=CD sin ∠DCP=40×sin 76°≈39(cm),答:椅子的高度约为39厘米;(2)作EQ⊥MN于点Q,∴∠DPQ=∠EQP=90°,∴DP∥EQ,又∵DF∥MN,∠AED=58°,∠ADE=76°,∴四边形DEQP是矩形,∠DCP=∠ADE=76°,∠EBQ=∠AED=58°,∴DE=PQ=20,EQ=DP=39,又∵CP=CD cos ∠DCP=40×cos 76°≈9.6(cm),BQ==≈24.4(cm),∴BC=BQ+PQ+CP=24.4+20+9.6≈54(cm),答:椅子两脚B、C之间的距离约为54 cm.【解析】(1)作DP⊥MN于点P,即∠DPC=90°,由DE∥MN知,∠DCP=∠ADE=76°,根据DP=CD sin ∠DCP可得答案;(2)作EQ⊥MN于点Q可得四边形DEQP是矩形,知DE=PQ=20,EQ=DP=39,再分别求出BQ、CP的长可得答案.人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 章末专题训练人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 章末专题训练一、选择题1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,若将各边长度都扩大为原来的5倍,则∠A 的正弦值( D )A .扩大为原来的5倍B .缩小为原来的15C .扩大为原来的10倍D .不变2. 下列式子错误的是( D )A .cos40°=sin50°B .tan15°·tan75°=1 C.sin 225°+cos 225°=1 D .sin60°=2sin30°3. 如图所示,AB 为斜坡,D 是斜坡AB 上一点,斜坡AB 的坡度为i ,坡角为α,AC ⊥BM 于C ,下列式子:①i =AC ∶AB ;②i =(AC -DE)∶EC ;③i =tan α=DE BE;④AC =i ·BC.其中正确的有( C )A .1个B .2个C .3个D .4个4.河堤横断面如图所示,堤高BC =5米,迎水坡AB 的坡度是(坡度是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比),则AC 的长是 ( A ) A.米B.米C. 15米D. 10米5.△ABC 在网格中的位置如图K -17-2所示(每个小正方形的边长都为1),AD ⊥BC 于点D ,下列选项中,错误..的是( C )图K-17-2A.sinα=cosα B.tanC=2C.sinβ=cosβ D.tanα=16.把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角∠A、∠A′的余弦值的关系是( B )A.cosA=cosA′B.cosA=3cosA′C.3cosA=cosA′D.不能确定7. 如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2米,且与灯柱BC成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直。
人教版九年级数学下《第二十八章锐角三角函数》单元练习题含答案
第二十八章锐角三角函数一、选择题1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cos B=,则BC的长为()A. 4B. 2C.D.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则sin A等于()A.B.C.D.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=1,b=,则∠A等于()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4.如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB=α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A.B.C.D.h·cosα5.如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=,则小车上升的高度是()A. 5米B. 6米C. 6.5米D. 12米6.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则sin B的值为()A.B.C.D.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,AC=4,则cos A的值是()A.B.C.D.8.如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,C离海岸线l的距离(即CD的长)为2,从A 测得船C在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则AB的长()A. 2 kmB. (2+)kmC. (4-2) kmD. (4-) km9.在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α,那么楼底到该目标的水平距离是() A. 100tanα米B. 100cotα米C. 100sinα米D. 100cosα米10.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的余弦函数值()A.不变B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍D.不能确定二、填空题11.若2cosα-=0,则锐角α=____________度.12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sin A=;②cos B=;③tan A=;④tan B=,其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)13.如图,已知点A(0,1),B(0,-1),以点A为圆心,AB为半径作圆,交x轴的正半轴于点C,则sin ∠BAC=____________.14.已知∠A的补角是120°,则tan A=________.15.如图是一斜坡的横截面,某人沿着斜坡从P处出发,走了13米到达M处,此时在铅垂方向上上升了5米,那么该斜坡的坡度是____________.16.汽车沿着坡度为1∶7的斜坡向上行驶了50米,则汽车升高了____________米.17.已知0°<θ<30°,且sinθ=km+(k为常数且k<O),则m的取值范围是__________.18.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,sin A=,那么AB=__________.19.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则sin ∠ABC=________.20.如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米,那么该建筑物的高度BC约为________米.(精确到1米,参考数据:≈1.73)三、解答题21.如图,初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°.朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°,已知A点的高度AB为2米,台阶AC的坡度为(即AB∶BC=),且B,C,E三点在同一条直线上,请根据以上条件求出树DE的高度.(测量器的高度忽略不计)22.南海是我国的南大门,如图所示,某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航,在A处测得北偏东30°方向上,距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行,便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查,经过一段时间后,在C处成功拦截不明船只,问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?(参考数据:cos 75°=0.2588,sin 75°=0.9659,tan 75°=3.732,=1.732,=1.414)23.如图,图①是某电脑液晶显示器的侧面图,显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度.研究表明:显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②),人观看屏幕最舒适.此时测得∠BAO=15°,AO=30 cm,∠OBC=45°,求AB的长度.(结果精确到0.1 cm)(参考数据:sin 15°≈0.259,cos 15°≈0.966,tan 15°≈0.268,≈1.414)24.小明周日在广场放风筝,如图,小明为了计算风筝离地面的高度,他测得风筝的仰角为60°,已知风筝线BC的长为20米,小明的身高AB为1.75米,请你帮小明计算出风筝离地面的高度.(结果精确到0.1米,参考数据≈1.41,≈1.73)25.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.(1)在图中画出点B,并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数);(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置.(参考数据:sin 53°=0.80,cos 53°=0.60,tan 53°=0.33,=1.41)26.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,M是直角边AC上一点,MN⊥AB于点N,AN=3,AM=4,求cos B的值.27.如图是某小区的一个健身器材,已知BC=0.15 m,AB=2.70 m,∠BOD=70°,求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m).(参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)28.在△ABC中,∠C=90°,AC=7,BC=24,求sin A,sin B的值.答案解析1.【答案】A【解析】如图,∵∠C=90°,∴cos B=,∴BC=AB cos B=6×=4,故选A.2.【答案】B【解析】sin A==,故选B.3.【答案】A【解析】如图所示:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,a=1,b=,∴tan A==.∴∠A=30°,故选A.4.【答案】B【解析】∵∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠CAD=∠BCD,在Rt△BCD中,∵cos ∠BCD=,∴BC==,故选B.5.【答案】A【解析】在如图AC=13,作CB⊥AB,∵cosα==,∴AB=12,∴BC===5,∴小车上升的高度是5 m.故选A.6.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,∴sin B==.故选A.7.【答案】B【解析】cos A===.故选B.8.【答案】C【解析】在CD上取一点E,使BD=DE,可得∠EBD=45°,AD=DC=2,∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向,∴∠BCE=∠CBE=22.5°,∴BE=EC.设AB=x,则DE=BD=AD-AB=2-x,∴EC=BE=BD=(2-x),∵DE+EC=CD,∴2-x+(2-x)=2,解得x=4-2,即AB=4-2.故选C.9.【答案】B【解析】∵∠BAC=α,BC=100 m,∴AB=BC·cotα=100cotαm.故选B.10.【答案】A【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,故锐角A的余弦函数值也不变.故选A.11.【答案】45°【解析】∵2cosα-=0,∴cosα=,又∵cos 45°=,∴锐角α=45°.12.【答案】②③④【解析】如图所示:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,∴sin A==,故①错误;∴∠A=30°,∴∠B=60°,∴cos B=cos 60°=,故②正确;∵∠A=30°,∴tan A=tan 30°=,故③正确;∵∠B=60°,∴tan B=tan 60°=,故④正确.故答案为②③④.13.【答案】【解析】∵A(0,1),B(0,-1),∴AB=2,OA=1,∴AC=2,由勾股定理,得OC==,∴在Rt△AOC中,sin ∠OAC=sin ∠BAC==.14.【答案】【解析】∵∠A的补角是120°,∴∠A=180°-120°=60°,∴tan A=tan 60°=.15.【答案】5∶12【解析】如图所示,由题意可知,PM=13 m,MC=5米,∴PC==12,∴MC∶PC=5∶12,故答案为5∶12.16.【答案】5【解析】∵坡度为1∶7,∴设坡角是α,则sinα==,∴上升的高度是50×=5(米).17.【答案】<m<【解析】∵0°<θ<30°,∴sin 0°<sinθ<sin 30°,即0<km+<,∴<km<,∴<m<.18.【答案】18【解析】在Rt△ABC中,∵∠C=90°,sin A==,∴AB=3×6=18.19.【答案】【解析】∵小正方形边长为1,∴AB2=8,BC2=10,AC2=2;∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形,且∠CAB=90°,∴sin ∠ABC===.20.【答案】208【解析】由题意可得:tan 30°===,解得:BD=30,tan 60°===,解得DC=90,故该建筑物的高度为BC=BD+DC=120≈208(m).21.【答案】解∵AF⊥AB,AB⊥BE,DE⊥BE,∴四边形ABEF为矩形,∴AF=BE,EF=AB=2,设DE=x,在Rt△CDE中,CE===x,在Rt△ABC中,∵=,AB=2,∴BC=2,在Rt△AFD中,DF=DE-EF=x-2,∴AF===(x-2),∵AF=BE=BC+CE.∴(x-2)=2+x,解得x=6.答:树DE的高度为6米.【解析】由于AF⊥AB,则四边形ABEF为矩形,设DE=x,在Rt△CDE中,CE===x,在Rt△ABC中,得到=,求出BC,在Rt△AFD中,求出AF,由AF=BC+CE 即可求出x的长.22.【答案】解过B作BD⊥AC,∵∠BAC=75°-30°=45°,∴在Rt△ABD中,∠BAD=∠ABD=45°,∠ADB=90°,由勾股定理,得BD=AD=×20=10(海里),在Rt△BCD中,∠C=15°,∠CBD=75°,∴tan ∠CBD=,即CD=10×3.732=52.77048,则AC=AD+DC=10+10×3.732=66.91048≈67(海里),即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里.【解析】过B作BD⊥AC,在直角三角形ABD中,利用勾股定理求出BD与AD的长,在直角三角形BCD中,求出CD的长,由AD+DC求出AC的长即可.23.【答案】解过O点作OD⊥AB交AB于D点.在Rt△ADO中,∵∠A=15°,AO=30,∴OD=AO·sin 15°≈30×0.259≈7.77(cm)AD=AO·co s 15°≈30×0.966≈28.98(cm)又∵在Rt△BDO中,∠OBC=45°,∴BD=OD=7.77(cm),∴AB=AD+BD=36.75≈36.8(cm).答:AB的长度为36.8 cm.【解析】过O点作OD⊥AB交AB于D点,根据∠A=15°,AO=30可知OD=AO·sin 15°,AD=AO·cos 15°,在Rt△BDO中根据∠OBC=45°可知,BD=OD,再根据AB=AD+BD即可得出结论.24.【答案】解∵在Rt△CBE中,sin 60°=,∴CE=BC·sin 60°=20×≈17.3 m,∴CD=CE+ED=17.3+1.75=19.05≈19.1 m.答:风筝离地面的高度是19.1 m.【解析】先根据锐角三角函数的定义求出CE的长,再由CD=CE+ED即可得出结论.25.【答案】解(1)如图,作PC⊥AB于C,在Rt△PAC中,∵PA=100,∠PAC=53°,∴PC=PA·sin ∠PAC=100×0.80=80,在Rt△PBC中,∵PC=80,∠PBC=∠BPC=45°,∴PB=PC=1.41×80≈113,即B处与灯塔P的距离约为113海里;(2)∵∠CBP=45°,PB≈113海里,∴灯塔P位于B处北偏西45°方向,且距离B处约113海里.【解析】(1)根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B,作PC⊥AB于C,先解Rt△PAC,得出PC=PA·sin ∠PAC=80,再解Rt△PBC,得出PB=PC=1.41×80≈113;(2)由∠CBP=45°,PB≈113海里,即可得到灯塔P位于B处北偏西45°方向,且距离B处约113海里.26.【答案】解∵∠C=90°,MN⊥AB,∴∠C=∠ANM=90°,∴∠A+∠B=90°,∠A+∠AMN=90°,∴∠B=∠AMN,又AN=3,AM=4,∴MN==,∴cos B=cos ∠AMN==.【解析】根据“同角的余角相等”,可得∠B=∠AMN,又AN=3,AM=4,由勾股定理得MN=,故 cos B=cos ∠AMN.27.【答案】解作AE⊥CD于E,BF⊥AE于F,则四边形EFBC是矩形,∵OD⊥CD,∠BOD=70°,∴AE∥OD,∴∠A=∠BOD=70°,在Rt△AFB中,∵AB=2.7,∴AF=2.7×cos 70°≈2.7×0.34=0.918,∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1 m,答:端点A到地面CD的距离是1.1 m.【解析】作AE⊥CD于E,BF⊥AE于F,则四边形EFBC是矩形,求出AF、EF即可解决问题.28.【答案】解在△ABC中,∠C=90°,AC=7,BC=24,由勾股定理,得AB===25,sin A==,sin B==.【解析】根据勾股定理,可得AC的长,根据锐角的正弦为对边比斜边,可得答案.。
人教版九年级数学下册锐角三角函数单元测试卷
(2)当轮船从 处继续向东航行时,一艘快艇从灯塔 处同时前往 处,尽管快艇速度是轮船速度的2倍,但快艇还是比轮船晚15分钟到达 处,问轮船每小时航行多少海里?(结果保留到个位)
23.要求tan30°的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算:作Rt△ABC,使∠C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC= ,∠ABC=30°,tan30°= = = .在此图的基础上通过添加适当的辅助线,可求出tan15°的值.请你写出添加辅助线的方法,并求出tan1求出BC得长,再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可.
【详解】
如图,根据勾股定理得,BC= =12,
∴sinA= .
故选C.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理,熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键.
2.B
【分析】
根据三角函数的定义,cosB= 代入各数值可得BC的值.
7.如图,在 中, , 于点 ,则下列结论不正确的是( ).
A. B.
C. D.
8.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1:2,AC=3 米,坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB=10米,则旗杆BC的高度为( )
A.5米B.6米C.8米D.(3+ )米
9.已知 为锐角,且 tan2 -(1+ )tan +1=0,则 的度数为( )
【详解】
解:在Rt△ABC中,cosB=
则BC = AB cosB = 8 cos30 =8 = .
故选B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义,牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.
3.C
【分析】
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2017年人教版九年级数学下册:锐角三角函数试卷
一、选择题。
1.一段公路的坡度为1︰3,某人沿这段公路路面前进100米,那么他上升的最大高度是( )
A.30米
B.10米
C.1030米
D. 1010米
2.如图,坡角为30 的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ,则两树间的坡面距离AB 为( )
A .4
m B
C .
3
D . 3.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A 处) 在她家北偏东60度500m 处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是( )
A.250m
B .
C
D . 4.如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,已知CD =2,AC =3,则sinB 的值是( )
A . 2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4
3
( 第2题 ) ( 第3题) ( 第4题) 5.如果∠A 是锐角,且A
cos A sin =,那么∠A=( )
A. 30°
B. 45°
C. 60° 6. 等腰三角形的一腰长为cm 6,底边长为cm 36,则其底角为( ) A.030 B.060 C.090
D.0120
7.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15,它们的夹角为60°,则平行四边形的面积是( ) A .150 B .375 C . 9 D . 7 8.在△ABC 中,∠C=90°,BC=2,2
sin 3A =,则边AC 的长是( ) A B .3
C .4
3
D 9.如图,两条宽度均为40 m 的公路相交成α角,那么这两条公路在相交处的公共部分(图
中阴影部分)的路面面积是( )
A.
αsin 1600(m 2) B.α
cos 1600(m 2
) C.1600sin α(m 2) D.1600cos α(m 2) 10.如图,延长Rt △ABC 斜边AB 到D 点,使BD =AB ,连结CD ,若 tan ∠BCD =3
1
,则tanA =( )
A.1
B. 31
C. 23
D.3
2
二、填空题。
1.已知α为锐角, sin(α-090)=0.625, 则cos α=___ 。
A
O B
东 北 C A
B D
2.如图,一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离AC=3米,cos∠BAC=
4
,则梯子长
AB = 米。
3.一棵树因雪灾于A处折断,如图所示,测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米,∠ABC约45°,树干AC垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为米(答案可保留根号)。
4.如图,张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30 ,旗杆底部B点的俯角为45 .若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9 米,旗杆台阶高1米,则旗杆顶点A离地面的高度为米(结果保留根号)。
2题图2题图 3题图三、解答题。
1.如图所示,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行,请你根据图中数据计算回答:小敏身高1.78米,她乘电梯会有碰头危险吗?
(参考数值:sin27°=0.45,cos27°=0.89,tan27°=0.51)
2.如图,甲船在港口P的北偏西60 方向,距港口80海里的A处,沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P.乙船从港口P出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,现两船同时出发,2小时后
乙船在甲船的正东方向。
求乙船的航行速度。
(精确到0.1
海里/时,参考数据
1.41,
1.73)
3、梯形
ABCD是拦水坝的横断面图,(图中i=DE与水平宽度CE的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面
ABCD的面积。
(结果保留三位有效数字,参考数据:
1.732
=
1.414
=)
A
B
C
二楼
一楼
4m
A 4m
4m
B
27°
C
A
P 东
北
45
60
4.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A 、B 相距 3 米,探测线与地面的夹角分别是30°和 60°(如图),试确定生命所在点 C 的深度.(结
果精确到0.1 1.41 1.73≈≈)
5.已知:如图,在距旗杆25m 的A 处,用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°,已知测角仪AB 的高为1.5m ,求旗杆CD 的高(精确到0.1m).
6.已知:如图,一艘渔船正在港口A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业,突然接到通知,要该船前往C 岛运送一批物资到A 港,已知C 岛在A 港的北偏东60°方向,且在B 的北偏西45°方向.问该船从B 处出发,以平均每小时20海里的速度行驶,需要多少时间才能把这批物资送到A 港(精确到1小时)(该船在C 岛停留半个小时)?)45.26,73.13,41.12(≈≈≈
7.如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度,他们在斜坡上D 处测得大树顶端 B 的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处,在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°, 若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留整数,参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,
≈1.73)
8.如图,热气球的探测器显示,从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底部C 的俯角为60°,热气球A与高楼的水平距离为120m,这栋高楼BC的高度为多少?
9.海上有一个小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A 在北偏东60º方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30 °方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?
10.如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为多少米?(结果保留根号)
11、在2014年6月23日第十届保护韩江母亲河徒步节上,如图所示,某同学为了测得一段南北流向
的河段的宽,在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得C在A北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行40米到达B处,测得C在B北偏西45°的方向上,请你根据以上数据,求这段河段
3)
的宽度。
(参考数值:tan31°≈
5
12、如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA=37°.因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路。
(1)求改直后的公路AB的长;
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米?(精确到0.1)
(sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)
13、如图,一棵大树在一次强台风中折断倒下,未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系,而折断部分AC与未折断树杆AB形成53°的夹角。
树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE,测得BE=6米,塔高DE=9米.在某一时刻的太阳照射下,未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米,且点F、B、C、E在同一条直线上,点F、A、D也在同一条直线上.求这棵大树没有折断前的高度。
(参考数据:sin53°≈0.8,cos53
°≈0.6,tan53°≈1.33)
14、如图,港口O在观测站P的正东方向,PO=60km.某商船从港口O出发,沿北偏东15︒方向航行一段时间后到达A处,此时从观测站P测得该商船位于北偏东60︒的方向。
(1)求PAO
∠的度数;
(2)求该商船从港口O到A处航行的距离。
15、派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险,飞机在距地面450米上空的P点,测得A村的俯角为
30︒,B村的俯角为60︒(如图)。
求A
、B两个村庄间的距离。
(结果精确到米,参考数据
1.414 1.732
==
)
B
Q
B C
P
A
450
60︒
30︒
16、如图,Rt △ABC 中,∠B=30°,∠ACB=90°,CD ⊥AB 交AB 于D ,以CD 为较短的直角边向 △CDB 的同侧作Rt △DEC ,满足∠E=30°,∠DCE=90°,再用同样的方法作Rt △FGC ,∠FCG=90°,继续用同样的方法作Rt △HCI ,∠HCI=90°,若AC=a ,求CI 的长。
17、如图,一艘海监船位于钓鱼岛D 的北偏东60°方向,与钓鱼岛D 的距离为16海里的A 处,它沿正南方向航行,航行1小时后,发现此时海监船位于钓鱼岛的南偏东45°方向上的B 处。
(1)求此时这艘海监船所在的B 处与钓鱼岛D 的距离(结果保留根号) (2)求这艘海监船的速度。
(结果精确到0.1) (参考数据:2≈1.41, 3≈1.73, 6≈2.44)
B
45°
60°
B
D
东
A。