高中数学 第二章 算法初步 算法的基本思想课件3 北师大版必修3
高中数学北师大版必修3第二章《算法初步》ppt小结课件
• 任意给定一个正实数，设计一个算法求以 这个数为半径的圆的面积。
• 任意给定一个大于1的正整数n，设计一个 算法求出n的所有的因数。
表1-2
程序框
1. 1.2流程图（程序框图）
名称
功能
终端框（起止框） 表示一个算法的起始和结束
输入、输出框 表示一个算法输入和输 出的信息。
处理框（执行框）赋值、计算
点评：这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基 本的方法
例1的程序框图
例2 用二分法设计一个求方程x2-2=0的近似根的算法。
算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与
精确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：
第一步：令 f(x)= x2-2.因为f(1)<0,f(2)>0,所以设
按照这样的理解，我们可以设计出很多数 学问题的算法。下面看几个例子。
例 1 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序 或步骤对n是否为质数做出判定。
算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：
第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2, 则执行第二步。
第二步：依次从2～（n-1）检验是不是n的因数，即 整除n的数。若有这样的数，则n不是质数；若 没有这样的数，则n是质数。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
2017-2018学年高中数学北师大版必修3 ppt课件 第二章 算法初步2.1算法的基本思想(30张)
类型二 算法的设计 [例2] 所谓正整数p为素数是指：p的所有约数只有1和p.例 如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素 数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整 数n(n>1)是否为素数的算法．
解析：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有 限的步骤．①②都各表达了一种算法；③只是一个纯数学问题，不 是一个明确步骤；④的步骤是无穷的，与算法的有穷性矛盾． 答案：A
2．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正 确的是( ) A．只能设计一种算法 B．可以设计多种算法 C．不能设计算法 D．不能根据解题过程设计算法
方法归纳 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤： (1)认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来.
跟踪训练 何设计？
2
判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如
解析：第一步，给定大于2的整数n. 第二步，令i＝2. 第三步，用i除n，得到余数r. 第四步，判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束 算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示． 第五步，判断“i>(n－1)”是否成立．若是，则n是质数，结束 算法；否则，返回第三步.
【课标要求】 1.通过分析解决具体问题的过程与步骤，体会算法的基本思想. 2.了解算法的含义和特征. 3.能用自然语言描述解决具体问题的算法.
自主学习
新版高中数学北师大版必修3课件：第二章算法初步 2.1
知识梳理
【做一做】 下列语句描述的是算法的个数是( )
①从广州到北京旅游,先坐火车,再坐飞机抵达; ②方程x2-1=0有两个实根; ③求1+2+3+4的值,先计算1+2=3,再由3+3=6,6+4=10得最终结
果10. A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①中说明了从广州到北京的行程安排,完成了任务;③中给 出了求1+2+3+4的一个过程,最终得出结果.对于②,并没有说明如 何去算,故①③是算法,②不是算法.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
【变式训练1】 下列关于算法的说法,正确的个数是 ( )
①求解某一问题的算法是唯一的; ②算法必须在有限步操作之后停止; ③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义和模糊; ④算法执行后一定产生确定的结果.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①不正确,因为同一问题可以有多种算法,②③④正确.
2.将
a=1,b=-2,c=-3
代入公式
x=
-������±
������2-4������������ 2������
,
得x1=3,x2=-1.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
非数值问题的算法 【例3】 写出求a,b,c中最小值的算法. 分析:先比较a,b的大小,取其中的较小值为“最小值”,再比较“最小 值”和c的大小,从而找出a,b,c中的最小值. 解:算法步骤如下. 1.比较a,b的大小,当a>b时,令“最小值”为b;否则,令“最小值”为a. 2.比较第1步中的“最小值”与c的大小,当“最小值”大于c时,令“最 小值”为c;否则,“最小值”不变. 3.“最小值”就是a,b,c中的最小值,输出“最小值”.
高中数学 第2章 算法初步 1 算法的基本思想课件 北师大版必修3
2．看下面的四段话，其中不是算法的是( ) A．从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达 B．解一元二次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并 同类项，系数化为 1 C．方程 x2－1＝0 有两个实根 D．按顺序进行下列运算：1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，…， 99＋1＝100 解析：选 C.算法强调的是解决一类问题的一系列的方法或步 骤，选项 C 只是陈述了有两个根的事实，没有写出如何求这 两个根的步骤或方法，所以不能看成是算法．
算法与数学中的解法的联系和区别 (1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体 的关系，算法的获取要借助一般意义上具体问题的求解方法， 而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法解决． (2)区别：算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称， 也可以理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个 具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．
3．下列各式中 S 值不可以用算法求解的是( )
A．S＝1＋2＋3＋4
B．S＝12＋22＋32＋…＋1002
C．S＝1＋12＋…＋10
1 000
D．S＝1＋2＋3＋4＋…
解析：选 D.由算法的有限性知，D 不正确，而 A、B、C 都
可以通过有限步步骤操作，输出确定结果，故选 D.
4．已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，求直线 AB 的斜率的一个算法 如下： 1．输入 x1、y1、x2、y2 的值． 2．计算Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1. 3．若Δx＝0，则输出斜率不存在，否则(Δx≠0)， k＝__①__． 4．输出斜率 k. 则①处应填________． 答案：ΔΔxy
探究点二 算法的设计 写出解方程 x2－2x－3＝0 的一个算法．
[解] 法一：算法如下． 1．将方程左边因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0.① 2．由①得 x－3＝0，②或 x＋1＝0.③ 3．解②得 x＝3，解③得 x＝－1.
北师大数学必修三课件：第二章 算法初步 §2.1
[看名师·疑难剖析] 1．对算法含义的理解 (1)算法是机械的 算法的设计要“面面俱到”不能省略任何一个小小的步骤，有时可能要 进行大量重复计算，但只要按步骤一步一步地执行，总能得到结果．算法的 这种机械化的特点，在设计出算法后，便于把具体过程交给计算机去完成． (2)算法是普遍存在的 实际上处理任何问题都需要算法，如国际象棋的棋谱、走法、胜负的评 判标准，邮寄物品的相关手续，求一个二元一次方程组的解等等．
后解决问题．
(3)_□0_4__逻_辑__性__：即我们设计的算法要符合逻辑规律，能从头到尾运行下去．
课前新知预习 课堂师生共研 规范答题思维 检测学业达标 课后梯度测评
(4)___□_0_5_普__遍__性___：我们所设计的算法必须能够解决一类问题，而不是某
一个问题．
(5)_□0_6__不_唯__一__性__：算法不是唯一的，可有另外不同的设计方法．
答案
解析 本题是在熟练掌握算法概念的基础上的一个跃升，即对算法概念 进行进一步的挖掘，理解其内涵．从而借助概念分析、解决问题．由于算法 具有有穷性、确定性和可执行性，因而②③④正确．解决问题的算法不一定 是唯一的，从而①错，故选 C.
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§2.1 算法的基本思 想
Байду номын сангаас
课前新知 预习
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
[航向标·学习目标] 1．理解算法的概念与特点． 2．学会用自然语言描述算法． 3．通过解决具体问题的实例感受理解算法的特点，体会算法的基本思想， 学会借助已有数学问题的解决方法和步骤设计算法．
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课堂讲义同步系列高中数学北师大版必修三课件：第二章 算法初步 §1算法的基本思想
④求 1×2×3×4 的值，先计算 1×2 ＝ 2 ，再计算 2×3 ＝ 6 ， 6 × 4 ＝
24，得最终结果为24；
1 ⑤2x＞2x＋4.
解析 ①说明了从上海到拉萨的行程安排. ②给出了解一元一次不等式这类问题的解法. ③给出了求线段的中垂线的方法及步骤. ④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果. 故①②③④都是算法.
(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少.
(3)要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.
【预习评价】
写出一个算法，求任意给出的a，b，c，d这4个数的平均数.
提示
第一步，输入 a，b，c，d 这 4 个数的值.
第二步，计算 S＝a＋b＋c＋d. S 第三步，计算 V＝ . 4 第四步，输出 V 的值.
题型一 算法的概念
而解决某类问题的算法不一定唯一，从而(1)错.
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
知识点2
算法的设计
1.设计算法的目的 设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机 来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用 计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执 行的目的. 2.设计算法的要求 (1)写出的算法必须能解决一类问题.
答案 ①②③④
规律方法
算法实际上是解决问题的一种程序性方法 ， 它通常解决
某一个或某一类问题 ， 在用算法解决问题时 ， 体现了特殊与一般的 数学思想.
【训练1】
算法的有穷性是指(
)
A.算法必须包含输出 B.算法中的每个步骤都是可执行的 C.算法的步骤必须有限且在执行有限步操作后结束 D.以上说法都不正确
解
算法如下：
第一步，给出任意一个正整数n(n＞1).
高中数学 第二章 算法初步 2.1 算法的基本思想素材 北师大版必修3(2021年最新整理)
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1算法的基本思想分治算法一、基本概念在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。
字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换（快速傅立叶变换）……任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
例如,对于n个元素的排序问题,当n=1时，不需任何计算。
n=2时，只要作一次比较即可排好序。
n=3时只要作3次比较即可，…。
而当n较大时，问题就不那么容易处理了.要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
二、基本思想及策略分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破,分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小)则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
高中数学 第二章 算法初步 2_1 算法的基本思想教案 北师大版必修31
第二章算法初步算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础．随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并融入社会生活的方方面面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养．需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想．在这一章中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验算法框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计算法框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力．算法作为新名词，在以前的数学教科书中没有出现过，但是算法本身，同学们并不陌生．解方程的算法、解不等式的算法、因式分解的算法，都是同学们熟知的内容．只是算法的基本思想、特点，学习算法的必要性等问题没有专门涉及．因此，本章中的算法的基本思想，将针对同学们熟悉的一些问题，分析解决这些具体问题的算理，整理出相应问题的解决步骤，然后抽象概括出更具一般意义的算法．通过这个过程，让学生体会算法的程序化思想．同时，针对同样的问题，我们给出不同的算法，让同学们意识到：同一个问题可能存在着多种算法，算法之间有优劣之分．接下来，通过求方程近似解，让同学们意识到学习算法的必要性——将问题的解决过程即算法交给计算机完成，能够极大地提高效率．接下来，介绍算法的基本结构．顺序结构和选择结构是学生比较容易接受的，循环结构则比较难以理解．分析造成理解困难的原因之一是变量以及对变量的处理——赋值．在循环结构的学习中，总结了循环结构的三个要素——循环变量、循环体和循环的终止条件，并提供了可供学生模仿、操作的算法算法框图．排序算法可以说是应用最广泛的算法了，而且又易于理解，便于接受，是算法教学的良好素材．教科书选择这个问题作为专题来讨论，给学生提供了一个完整的分析、设计算法的过程，也给了学生一个应用前面所学的关于变量和结构的知识的机会．在前面的学习中，我们分别用自然语言和算法框图来描述算法，这两种方式各有优缺点．要将算法最终交给计算机执行，需要用程序语言来表述算法，程序语言有很多种，但是有一些基本语句是这些语言都要用到的：输入输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，在本章的最后介绍了这几种基本语句．值得注意的是：1．注重对算法基本思想的理解．算法是高中数学课程中的新内容，其思想非常重要，但并不神秘．例如，运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程本质上就是算法．本模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系，形式化地表示算法，在条件允许的学校，使其能在计算机上实现．为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成算法框图；为了能在计算机上实现，还需要将自然语言或算法框图翻译成计算机语言．本模块的主要目的是使学生体会算法的思想，提高逻辑思维能力．不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计．2．算法教学必须通过实例进行．使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句．有条件的学校，应鼓励学生上机尝试运行程序．在实例的选择中，我们要把握这样一些原则：亲和原则：选取的例子要贴近学生，或者来自学生的生活实践，或者是学生所学过的数学知识．趣味性原则：选取的实例一般要有丰富的背景，本身要有趣味性．基础性原则：问题本身的算理并不难，只要蕴涵丰富的算法思想即可．可操作性原则：所选取问题的算法一般能在计算机上实现．3.算法教学要注意循序渐进，先具体再抽象，先了解算理，再描述算法．通常，我们说一个算法越是抽象，有一般意义，应用就越广泛，越能体现算法本身的应用价值．但是，作为教学意义上的算法则不同，一定要从具体问题出发分析算法的算理及算法步骤，然后抽象概括出一般意义的算法，画出算法算法框图，并在这个过程中，学习使用变量、赋值，学习更好地表述算法，以便在计算机上操作执行．算法的教学中，变量的理解、赋值的应用、循环结构的理解是重点和难点，教师要注意分散这些难点．学生对算法思想的认识、概念的把握、知识的灵活应用及能力的形成不是一次完成的，而是要把这些作为教学目标渗透在整章的学习中．整体设计教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但其没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“算法是解决某一类问题的步骤和程序．”为了让学生更好地理解这一概念，教科书用5个例子来说明算法的实质．教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固．三维目标1．正确理解算法的概念，掌握算法的基本特点．2．通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路．3．通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣． 重点难点教学重点：算法的含义及应用．教学难点：写出解决一类问题的算法．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊．此人如何将动物完好地转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法．思路 2.大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念．思路 3.算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算科学的重要基础．在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具．如听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据都能通过计算机实现，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．推进新课新知探究提出问题1．解二元一次方程组有几种方法？2．结合实例⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1，② 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤． 3．结合实例⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1，② 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤．4．请写出解一般二元一次方程组的步骤．5．根据上述实例谈谈你对算法的理解．6．请同学们总结算法的特征．7．请思考我们学习算法的意义．讨论结果：1．代入消元法和加减消元法．2．回顾二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1②的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：第一步，①＋②×2，得5x ＝1.③第二步，解③，得x ＝15. 第三步，②－①×2，得5y ＝3.④第四步，解④，得y ＝35. 第五步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝35.3．用代入消元法解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1，②我们可以归纳出以下步骤： 第一步，由①得x ＝2y －1.③第二步，把③代入②，得2(2y －1)＋y ＝1.④第三步，解④得y ＝35.⑤ 第四步，把⑤代入③，得x ＝2×35－1＝15. 第五步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝35.4．对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2， ①②其中a 1b 2－a 2b 1≠0，可以写出类似的求解步骤：第一步，①×b 2－②×b 1，得(a 1b 2－a 2b 1)x ＝b 2c 1－b 1c 2.③第二步，解③，得x ＝b 2c 1－b 1c 2a 1b 2－a 2b 1. 第三步，②×a 1－①×a 2，得(a 1b 2－a 2b 1)y ＝a 1c 2－a 2c 1.④第四步，解④，得y ＝a 1c 2－a 2c 1a 1b 2－a 2b 1.第五步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝b 2c 1－b 1c 2a 1b 2－a 2b 1，y ＝a 1c 2－a 2c 1a 1b 2－a 2b 1.5．算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法，等等．在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤．现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．6．算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”．“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务．②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续．③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行．7．在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法．也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法．算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果．因此算法是计算科学的重要基础．应用示例思路11在给定素数表的条件下，设计算法，将936分解成素因数的乘积．(4 000以内的素数表见教科书附录1)分析：1.查表判断936是否为素数：(1)如果936是素数，则分解结束；(2)如果936不是素数，则进行第2步．2．确定936的最小素因数：2. 936＝2×468.3．查表判断468是否为素数：(1)如果468是素数，则分解结束；(2)如果468不是素数，则重复上述步骤，确定468的最小素因数．重复进行上述步骤，直到找出936的所有素因数．解：算法步骤如下：1．判断936是否为素数：否．2．确定936的最小素因数：2. 936＝2×468.3．判断468是否为素数：否．4．确定468的最小素因数：2. 936＝2×2×234.5．判断234是否为素数：否．6．确定234的最小素因数：2 936＝2×2×2×117.7．判断117是否为素数：否．8．确定117的最小素因数：3. 936＝2×2×2×3×39.9．判断39是否为素数：否．10．确定39的最小素因数：3. 936＝2×2×2×3×3×13.11．判断13是否为素数：13是素数，所以分解结束．分解结果是936＝2×2×2×3×3×13.点评：以上步骤是解决素因数分解问题的一个过程，只要依照这一系列步骤，都能解决这个问题．我们把这一系列步骤称为解决这个问题的一个算法.变式训练设计一个算法，求840与1 764的最大公因数．分析：我们已经学习了对自然数进行素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的．解答这个问题需要按以下思路进行．首先，对两个数分别进行素因数分解：840＝23×3×5×7， 1 764＝22×32×72.其次，确定两数的公共素因数：2,3,7.接着，确定公共素因数的指数：对于公共素因数2,22是1 764的因数，23是840的因数，因此22是这两个数的公因数，这样就确定了公共素因数2的指数为2.同样，可以确定出公因数3和7的指数均为1.这样，就确定了840与1 764的最大公因数为22×31×71＝84.解：算法步骤如下：1．先将840进行素因数分解：840＝23×3×5×7；2．然后将1 764进行素因数分解：1 764＝22×32×72；3．确定它们的公共素因数：2,3,7；4．确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1；5．最大公因数为22×31×71＝84.例2 一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元．你能用天平(不用砝码)将假银元找出来吗？分析：最容易想到的解决这个问题的一种方法是：把9枚银元按顺序排成一列，先称前2枚，若不平衡，则可找出假银元；若平衡，则2枚银元都是真的，再依次与剩下的银元比较，就能找出假银元．图1解：按照下列步骤，就能将假银元找出来：1．任取2枚银元分别放在天平的两边．如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第2步．2．取下右边的银元，放在一边，然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．这种算法最少要称1次，最多要称7次．是不是还有更好的办法，使得称量次数少一些？我们可以采用下面的方法：图21．把银元分成3组，每组3枚．2．先将两组分别放在天平的两边．如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里．3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．点评：经分析发现，后一种算法只需称量2次，这种做法要明显好于前一种做法．当然，这两种方法都具有一般性，同样适用于n枚银元的情形．这是信息论中的一个模型，可以帮助我们找出某些特殊信息．从上面的问题中可以看出，同一个问题可能存在着多种算法，其中一些可能要比另一些好．在实际问题和算法理论中，找出好的算法是一项重要的工作．思路2例1 (1)设计一个算法，判断7是否为质数；(2)设计一个算法，判断35是否为质数．分析：(1)根据质数的定义，可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．解：(1)①用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.②用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.③用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.④用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.⑤用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数．(2)类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：①用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.②用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.③用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.④用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数．点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1 997是否为质数就比较麻烦了，因此，我们需要寻找更实用的算法步骤.变式训练请写出判断n(n＞2)是否为质数的算法．分析：对于任意的整数n(n＞2)，若用i表示2～(n－1)中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i除n，得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，再执行同样的操作．这个操作一直要进行到i的值等于(n－1)为止．解：1.给定大于2的整数n.2．令i＝2.3．用i除n，得到余数r.4．判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．5．判断“i＞(n－1)”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第3步.例2 写出用“二分法”求方程x2－2＝0 (x＞0)的近似解的算法．分析：令f(x)＝x2－2，则方程x2－2＝0 (x＞0)的解就是函数f(x)的零点．“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间[a，b]〔满足f(a)·f(b)＜0〕“一分为二”，得到[a，m]和[m，b]．根据“f(a)·f(m)＜0”是否成立，取出零点所在的区间[a，m]或[m，b]，仍记为[a，b]．对所得的区间[a，b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a，b]“足够小”，则[a，b]内的数可以作为方程的近似解．解：1.令f(x)＝x2－2，给定精度d.2．确定区间[a，b]，满足f(a)·f(b)＜0.3．取区间中点m＝a＋b 2.4．若f(a)·f(m)＜0，则含零点的区间为[a，m]；否则，含零点的区间为[m，b]．将新得到的含零点的区间仍记为[a，b]．5．判断[a，b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步．当d近似解．实际上，上述步骤也是求2的近似解的一个算法．点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”．数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法．如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……变式训练求方程f(x)＝x3＋x2－1＝0在区间[0,1]上的近似解，精度为0.01.解：根据上述分析，可以通过下列步骤求得方程的近似解：1．因为f(0)＝－1，f(1)＝1，f(0)·f(1)＜0，则区间[0,1]为有解区间，精度1－0＝1＞0.01；2．取[0,1]的区间中点0.5；3．计算f(0.5)＝－0.625；4．由于f(0.5)·f(1)＜0，可得新的有解区间[0.5,1]，精度1－0.5＝0.5＞0.01；5．取[0.5,1]的区间中点0.75；6．计算f(0.75)＝－0.015 625；7．由于f(0.75)·f(1)＜0，可得新的有解区间[0.75,1]，精度1－0.75＝0.25＞0.01；……当得到新的有解区间[0.75,0.757 82]时，由于|0.757 82－0.75|＝0.007 82＜0.01，该区间精度已满足要求，所以取区间[0.75,0.757 82]的中点0.753 91，它是方程的一个近似解.例3 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊．此人如何将动物转移过河？请设计算法．分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中应尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势．解：具体算法如下：算法步骤：1．人带两只狼过河，并自己返回．2．人带一只狼过河，自己返回．3．人带两只羚羊过河，并带两只狼返回．4．人带一只羚羊过河，自己返回．5．人带两只狼过河．点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的．这就要求我们在写算法时应精练、简洁、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性．本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的问题经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使问题变得简单，而且可以提高工作效率.变式训练喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．如何安排这几个步骤？请给出两种算法，并加以比较．分析：本题主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题．解：算法一：1．洗刷水壶．2．烧水．3．洗刷茶具．4．沏茶．算法二：1．洗刷水壶．2．烧水，烧水的过程当中洗刷茶具．3．沏茶．上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学．点评：解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法.知能训练设计算法判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有实数根．解：算法步骤如下：1．输入一元二次方程的系数：a，b，c.2．计算Δ＝b2－4ac的值．3．判断Δ≥0是否成立．若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法．点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法，并且具有确定性、逻辑性、有穷性．拓展提升中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算．设通话时间为t(分钟)，通话费用为y(元)，如何设计一个程序，计算通话的费用？解：算法分析：数学模型实际上为y 关于t 的分段函数．关系式如下：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.22，0<t ≤3，0.22＋0.1t －3，t >3，t ∈Z ，0.22＋0.1[t －3]＋1，t >3，t ∉Z .其中[t －3]表示取不大于t －3的整数部分．算法步骤如下：1．输入通话时间t .2．如果t ≤3，那么y ＝ 0.22；否则判断t ∈Z 是否成立，若成立执行y ＝ 0.2＋0.1× (t －3)；否则执行y ＝ 0.2＋0.1×( [t －3]＋1)．3．输出通话费用y .课堂小结1．正确理解算法这一概念．2．结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法．作业课本本节练习1、练习2.设计感想本节的引入精彩独特，让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习．算法是本章的重点也是本章的基础，是一个较难理解的概念．为了让学生正确理解这一概念，本节设置了大量学生熟悉的事例，让学生仔细体会反复训练．本节的事例有古老的经典算法，也有几何算法等，因此这是一节很好的课例．备课资料备选习题中国古代有一个著名的算法案例：鸡兔49个头，100条腿往地里走，问鸡兔各多少？请写出计算鸡兔数的算法．分析：求解鸡兔的问题简单直观，却包含着深刻的算法思想．应用解二元一次方程组的方法来求解鸡兔同笼问题．解：算法如下：1．设有鸡x 只，兔y 只，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝49，2x ＋4y ＝100.①② 2．将方程组中的第一个方程两边乘以－2加到第二个方程中去，得到⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝49，4－2y ＝100－49×2，解得y ＝1.3．将y ＝1代入①，得x ＝48.因此鸡有48只，兔有1只．欢迎您的下载，资料仅供参考！。
课件类：北师大版高中数学必修3第二章《算法初步复习》PPT课件
人数/人
550 500 450
350 300
200
100
50
身高/cm
145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
输入A1、 A2 … Am i=4, s=0 i=i+1
否
输出s
结束
s=s+Ai
是
拓展训练
2、在一个不透明的口袋里装有外观相同的白球和黑球共20 个，某学习小组做摸球试验，试验方法如下面的所示，试验 得到了下表的一组统计数据:
x≤5?
否
y1 x
输出y 结束
强化训练
3、 按如图所示的程序框图运算。 若输入x=8，则输出k= 4 ； 若输出k=2，则输入x的取值范围 是 x >28 。
开始
输入x
k=0
k=k+1
x≤115?
否
输出k
x=2x+1
是
结束
强化训练
4、如图所示的程序框图，记输出的sum值为S1。若把 其中“sum=sum+i”和“i=i+2”的位置对调，输出的 sum值记为S2，那么S1，S2的关系为 S2= S1 +98 。
步骤n 步骤n+1
顺序结构
满足条件?
是 步骤A
否 步骤B
判断结构
循环体
循环结构
否
满足条件?
是
直到型
循环体 是 满足条件? 否
当型
强化训练
1、为确保信息安全，信息需加密传 输，发送方由明文→密文(加密)，接 收方由密文→明文(解密)，已知加密 规则如图所示，例如，明文1，2，3 ，4对应密文5，7，18，16。 当接 收方收到密文14，9，23，28时，则 解密得到的明文为 6，4，1，7 。
高中数学 2.1 算法的基本思想课件 北师大版必修3
【解题(jiě tí)探究】1.题(1)相当于哪个变量为-1,执行哪一点? 2.题(2)按照算法的步骤一步一步进行下去,得出一个怎样的函 数?输入值与输出值相等说明什么? 【探究提示】1.本题相当于x=-1,执行y=-x. 2.按照算法一步一步进行下去,发现该算法给出一个分段函数;输 入值与输出值相等说明函数式中的x与y相等.
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【要点探究】 知识点 算法的含义与作用 1.算法与解法的区别与关系(guān xì)
(1)区别
解法:解决某一个问题的一种(yī zhǒnɡ)方法,有局限性.
(2)关系(guān xì):一般与特殊,抽象与具体.
算法:解决某一类问题的步骤,有普遍性.
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2.算法的五个特征 (1)确定性:算法中每一步都是确定的,并且能有效地执行且得到确定的 结果. (2)有限性:一个算法的步骤是有限的,不能无限地进行下去,它能在有限 步的操作(cāozuò)后解决问题. (3)有序性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每个步骤只能有 一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进 行下一步.
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【即时练】 1.下列说法正确的是 ( ) A.算法就是某个问题的解题过程 B.算法执行后可以产生不同(bù tónɡ)的结论 C.解决某一个具体问题,算法不同(bù tónɡ)所得的结果不同(bù tónɡ) D.算法执行步骤的次数不可以很大,否则无法实施
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【解析】选B.如判断(pànduàn)一个整数是否为偶数,结果为 “是偶数”和“不是偶数”两种,所以B对.而A项算法不等同于 解法,故不正确.C项,解决某一个具体问题,算法不同所得的结果 应该相同,否则算法不正确.D项,算法可以为很多次,但不可以为 无限次. 2.选C.只有C项能按一定的程序或步骤完成,故选C.
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0 . 53 w c 50 0.53 ( w 50) 0.85
• 计算行李的托运费 c 。 （w为行李重量）
w 50 w 50
50 将 40 的结果 15 与 6 相加得 21 60 输出结果 21
n( n 1) 公 式 ：1 2 n 2
算法如下：
输入
（1）输入 n = 6
（2）计算 n( n 1) 2 （3）输出结果
运算
输出
探 究
写出求 y x 2 2 x 3 的最大值的一个算法
者放入 A 中 ,记为 a（代替第一个数）
• （3）第三个数到第十个数与A中数比较 ， • 大者记为a , 重复（2）的操作 • （4）输出比较结果 a 。
练习：设计一个算法
1、已知两点 A(1 , 0) , B(2 , 3) ，求直线 AB 的方程。 2、某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客 托运行李的费用为：
算法的基本思想
教学内容：算法的基本内容 教学目的：通过对具体实例的解决过程与
步骤的分析，体会算法的思
想，了算法的含义
教学重点：1、算法的思想和含义
2、了解算法的具体过程
教学器材：多媒体电脑
探究
给出求 1＋2＋3＋4＋5＋6 的一个算法
10 计算 1＋2 得 3 20 将 10 的结果 3 与 3 相加得 6 30 将 20 的结果 6 与 4 相加得 10 40 将 30 的结果 10 与 5 相加得 15
解法一：
（1）配方得
y ( x 1) 4
2
解法二：
（1）输入 a , b , c
（2）计算
（2）ymax = 4
4ac b 2 m ax 4a
（3）输出最大值 4
（3）输出 max
探究
从10个数中找出最大的数
解析（1）先任选 1 个数放在一个盒子A中
（2）将第二个数与A中的数比较，大