三角函数

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三角函数公式(最全)

三角函数公式(最全)

3a
cos3a =cos(2a+a) =cos^2acosa-sin^2asina =( 2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a3cosa
sin3 a =3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =
4sina[( √3/2)-sina][( √3/2)+sina] =4sina(系
2 、商数关系
3 、平方关系 2
1、设 α为为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 2、设 α为为任意角, π+ α与 α的三角函数值之间的关系: 3、设 α为为任意角, — α与α的三角函数值之间的关系: 4、设 α为为任意角, π—α与α的三角函数值之间的关系: 5、设 α为为任意角, 2π—α与α的三角函数值之间的关系:
x7/(2*4*6*7)
…… ∈],(x-1,1)
arctan x = x - x3/3 + x5/5 -
∈(- ∞,1…) , x
sinh x = x+x3/3!+x^/5!+
… +x2k-1/(2k-1)!+ ∈ R … , x
cosh x = 1+x2/2!+x^4/4!+
… +x2k/(2k)!+∈ R … , x
tan( α+β+γ)=(tan α+tan β+tan γ-tan α· tanβ· tanγ) ÷ (1tan α· tanβ-tan β· tanγ-tan γ· tanα)
5 、幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=

三角函数公式大全

三角函数公式大全

一二三四三角函数公式大全 三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。

本文将三角函数公式列举出来,方便大家查阅。

两角和三角函数公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB倍角三角函数公式三倍角三角函数公式半角三角函数公式五六七和差化积三角函数公式积化和差三角函数公式诱导三角函数公式八九十万能三角函数公式其他三角函数公式双曲函数公式十一01020304其他三角函数公式三角函数公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα三角函数公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα三角函数公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα三角函数公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα0506 cot(π-α)= -cotα三角函数公式五: 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα三角函数公式六:07 公式七:。

三角函数的定义与性质

三角函数的定义与性质

三角函数的定义与性质一、三角函数的定义三角函数是解析几何和三角学中非常重要的一类函数。

它们以三角形内的角度作为自变量,返回一个对应于角度的函数值。

在这里,我将介绍三角函数的定义及其性质。

三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)和余割函数(csc)。

它们的定义如下:1. 正弦函数(sin):对于任意角θ,正弦函数的值定义为三角形中与角θ相对的边的长度与斜边长度的比值。

即sinθ = 对边/斜边。

2. 余弦函数(cos):对于任意角θ,余弦函数的值定义为三角形中与角θ相邻的边的长度与斜边长度的比值。

即cosθ = 邻边 / 斜边。

3. 正切函数(tan):对于任意角θ,正切函数的值定义为正弦函数与余弦函数的比值。

即tanθ = sinθ / cosθ。

4. 余切函数(cot):对于任意角θ,余切函数的值定义为余弦函数与正弦函数的比值。

即cotθ = cosθ / sinθ。

5. 正割函数(sec):对于任意角θ,正割函数的值定义为斜边与邻边的比值。

即secθ = 1 / cosθ。

6. 余割函数(csc):对于任意角θ,余割函数的值定义为斜边与对边的比值。

即cscθ = 1 / sinθ。

以上是三角函数的定义。

它们是以三角形中的长度比值构建的,可以用于解决各种与三角角度有关的问题。

二、三角函数的性质三角函数具有许多重要的性质,包括周期性、偶奇性、界值和定义域等。

1. 周期性:三角函数的周期性是它们最基本的性质之一。

正弦函数和余弦函数的周期都是2π,即sin(x + 2π) = sinx,cos(x + 2π) = cosx。

而正切函数和余切函数的周期是π,即tan(x + π) = tanx,cot(x + π) = cotx。

这意味着在一个周期内,三角函数的值重复出现。

2. 偶奇性:正弦函数和余切函数是奇函数,而余弦函数和正切函数是偶函数。

三角函数公式大全

三角函数公式大全

三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取..一点,记:),(y x P 22y x r +=,正弦:r y =αsin 余弦:r x=αcos 正切:x y =αtan 余切:yx =αcot 正割:xr =αsec 余割:yr =αcsc 注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的有向..线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系:1csc sin =⋅αα,1sec cos =⋅αα,1cot tan =⋅αα。

商数关系:αααcos sin tan =,αααsin cos cot =。

平方关系:,,。

1cos sin 22=+αααα22sec tan 1=+αα22csc cot 1=+三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α−、απ+、απ−、απ−2的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。

(口诀:函数名不变,符号看象限)⑵απ+2、απ−2、απ+23、απ−23的三角函数值,等于α的异名函数值,前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。

(口诀:函数名改变,符号看象限)四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅−⋅=−βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅−⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=− βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅−+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+−=−五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos −=−=−=…)(∗ ααα2tan 1tan 22tan −=二倍角的余弦公式)(∗有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=−2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα−=−六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)ααα2tan 1tan 22sin +=,ααα22tan 1tan 12cos +−=,ααα2tan 1tan 22tan −=。

三角函数入门课

三角函数入门课

三角函数入门课一、三角函数的定义三角函数是以弧度或角度作为自变量的单调函数。

它由三角关系引出,可以用来描述平面图形的变化和解决角的折线关系问题。

一般的三角函数有正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、正割(cot)、余割(sec)和余切(csc)等函数,它们分别等于弧度或角度在它们相应三角图形中可以得到的比值。

二、三角函数的基本概念1.正弦定义:sin(θ)= Opposite / Hypotenuse = Y/R2.余弦定义:cos(θ)= Adjacent /Hypotenuse = X/R3.正切定义:tan(θ)= Opposite / Adjacent = Y/X4.余割定义:sec(θ)= Hypotenuse / Adjacent = R/X5.余切定义:csc(θ)= Hypotenuse / Opposite = R/Y6.正割定义:cot(θ)= Adjacent /Opposite = X/Y三、三角函数的运算法则1.正弦公式:sin(a)=sin(A + B)=sin A x cos B + cos A x sin B2.余弦公式:cos(a)=cos(A + B)=cos A x cos B - sin A x sin B3.正切公式:tan(a)=tan(A + B)=(tan A + tanB) / (1 - tanA · tanB)4.余割公式:sec(a)=sec(A + B)=(sec A · sec B - 1) / (sec A · tanB + sec B · tanA)5.余切公式:csc(a)=csc(A + B)=(csc A · csc B - 1) / (csc A · tanB + csc B · tanA)6.正割公式:cot(a)=cot(A + B)=(cot A - cot B) / (1 + cot A · cot B)四、三角函数的重要性三角函数的重要性非常大,它是数学中的重要一环,常被应用在多种领域,如几何学中有用于计算角度,用于解决止角和平行线问题,物理学中用来计算定向和速度,引擎动力学中用来计算角动量,天体物理学中用来计算地球和行星的运行与轨道,测绘学中也gu用来解决大地测量定位和解止角问题;机械设计学中也用到了它们,以计算曲线和轮阶的参数关系;建筑学中用三角函数来计算建筑物的架空;电子科学中则用它们解决电位的变换;水文学中也有应用它们,如流速等关系都与三角函数有关系。

三角函数所有的公式

三角函数所有的公式

三角函数公式汇总常见角三角函数值:sin 0o =0 cos 0o =1 tan 0o =0 cot 0o 不存在 sin 30o =21 cos 30o =23 tan 30o =33cot 30o =3 sin 60o =23 cos 60o =21 tan 60o =3 cot 60o =33 sin 45o =22cos 45o =22tan 45o =1cot 45o =1 sin 90o =1 cos 90o =0 tan 90o 不存在cot 90o =0 任意角三角函数:sin(2k ℼ+α)= sin αcos(2k ℼ+α)= cos αtan(2k ℼ+α)= tan αsin(ℼ+α)= - sin αcos(ℼ+α)= - cos αtan (ℼ+α)= tan αsin(ℼ-α)=sin αcos(ℼ-α)= - cos αtan (ℼ-α)= - tan αsin(2ℼ-α)= - sin αcos(2ℼ-α)=cos αtan (2ℼ-α)= - tan αSin (2π-α)=cos α cos (2π-α)=sin αSin (2π+α)=cos α cos (2π+α)=-sin αSin (23π-α)= - cos α cos (23π-α)= - sin α Sin (23π+α)= - cos α cos (23π+α)=sin α 两角和差三角函数:sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A- B)=sinAcosB- cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB- sinAsinBcos(A- B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=B tan A tan B tan A tan -+1 tan(A- B)=Btan A tan B tan A tan +-1 cot(A+B)=Bcot A cot B cot A cot +-1 cot(A-B)=Bcot -A cot B cot A cot 1+ 三角函数半角公式: sin(2A )=2A cos -1 cos(2A )=2A cos 1+ tan(2A )=Acos A cos 1+-1=A sin A cos -1=A cos A sin +1 cot(2A )=A cos Acos 1-+1三角函数平方公式:sin 2α+cos 2α=11+tan 2α=sec 2α1+cot 2α=csc 2αsin 2α=221αcos - cos 2α=αtan 211+=221αcos + tan 2α=αtan tan 212- 三角函数2倍角公式:sin2α=2sinαcosαcos2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos 2α-1 tan2α=αtan αtan 212- tan tan2α1=2αcos αsin +1=αsin αcos -1 3倍角三角函数公式: sin3α=3sin α-4sin 3α =4sin αsin(60o +α)sin(60o -α) sos3α=4cos 3α-3cos α =4cos αcos(60o -α)cos(60o +α) tan3α=tan αtan(60o -α)tan(60o +α) 三角函数万能公式:sin α=2αtan 212αtan+2 cos α=2αtan 212αtan +-21 tan α=2αtan 212αtan -2三角函数和差化积公式: sinA+sinB=2sin 2B A +cos 2B A - sinA- sinB=2sin 2B A -cos 2B A + cosA+cosB=2cos 2B A +cos 2B A - cosA- cosB= -2sin 2B A +sin 2B A - tanA+tanB=Bcos A cos )B A sin(+ tanA - tanB=Bcos A cos )B A sin(- cotA+cotB=Bsin A sin )B A sin(+ cotA - cotB=Bsin A sin )B A sin(- tanA - cotB= - B sin A cos )B A cos(+三角函数积化和差公式: sinAsinB= -21[cos(A+B)-cos(A-B)] cosAcosB=21[cos(A+B)+cos(A-B)] sinAcosB=21[sin(A+B)+sin(A-B)] cosAsinB=21[sin(A+B)-sin(A-B)] 辅助角公式:asin α+bcos α=b 2a 2 sin(α+ѱ) (公式中tan ѱ=a b ) 正弦定理:A sin a =B sin b =C sin c =2R (R 为△ABC 外接圆半径)余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc ·cosAb 2=a 2+c 2-2ac ·cosBc 2=a 2+b 2-2ab ·cosC整理不易,请勿盗版。

三角函数公式大全

三角函数公式大全

三角函数公式大全1.三角函数的基本定义:- 正弦函数:sinθ = 对边/斜边- 余弦函数:cosθ = 邻边/斜边- 正切函数:tanθ = 对边/邻边- 余切函数:cotθ = 1/tanθ- 正割函数:secθ = 1/cosθ- 余割函数:cscθ = 1/sinθ2.三角函数的周期性:- 正弦函数的周期为2π:sin(θ+2π) = sinθ- 余弦函数的周期为2π:cos(θ+2π) = cosθ- 正切函数的周期为π:tan(θ+π) = tanθ3.三角函数的平方和差公式:- 正弦函数的平方和差公式:sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB - 余弦函数的平方和差公式:cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB - 正切函数的平方和差公式:tan(A±B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓tanAtanB)4.三角函数的倍角公式:- 正弦函数的倍角公式:sin2θ = 2sinθcosθ- 余弦函数的倍角公式:cos2θ = cos²θ - sin²θ- 正切函数的倍角公式:tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)5.三角函数的半角公式:- 正弦函数的半角公式:sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/2)- 余弦函数的半角公式:cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ)/2)- 正切函数的半角公式:tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/(1 +cosθ))6.三角函数的和差化积公式:- 正弦函数的和差化积公式:sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)- 余弦函数的和差化积公式:cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)- 正弦函数的差化积公式:sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)- 余弦函数的差化积公式:cosA - cosB = 2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)7.其他重要公式:- 三角函数的平方公式:sin²θ + cos²θ = 1- 三角函数的倒数公式:sin(π/2 - θ) = cosθ,cos(π/2 - θ) = sinθ,tan(π/2 - θ) = cotθ- 三角函数的和差化差公式:cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB,cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB这些是三角函数中一些重要的公式,对于理解和应用三角函数有很大的帮助。

所有三角函数的公式大全

所有三角函数的公式大全

所有三角函数的公式大全在学习三角函数的过程中,公式是很重要的基础之一。

掌握了三角函数的公式,我们就能够更好地理解三角函数的性质,从而更好地解题。

以下是所有三角函数的公式大全。

一、正弦函数(sin)1. 定义:在一个直角三角形中,正弦函数的值等于其对边的长度与斜边的长度的比值。

2. 周期性:sin(x + 2π) = sin(x),其中π为圆周率。

3. 奇偶性:sin(-x) = -sin(x),即sin函数是奇函数。

4. 余角公式:sin(π - x) = sin(x)sin(π + x) = -sin(x)sin(2π - x) = -sin(x)5. 和差公式:sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y)6. 二倍角公式:sin(2x) = 2sin(x) cos(x)sin²(x) = (1 - cos(2x)) / 27. 三倍角公式:sin(3x) = 3sin(x) - 4sin³(x)8. 多倍角公式:sin(nx) = 2^(n-1) sin(x) cos(x) cos(2x) ...cos((n-1)x)9. 单位圆上的正弦函数:sin(x) = y,其中x为角度,称为弧度制下的角度。

在单位圆上,角度为x对应的点的y坐标即为sin(x)的值。

二、余弦函数(cos)1. 定义:在一个直角三角形中,余弦函数的值等于其邻边的长度与斜边的长度的比值。

2. 周期性:cos(x + 2π) = cos(x),其中π为圆周率。

3. 奇偶性:cos(-x) = cos(x),即cos函数是偶函数。

4. 余角公式:cos(π - x) = -cos(x)cos(π + x) = -cos(x)cos(2π - x) = cos(x)5. 和差公式:cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y)6. 二倍角公式:cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2cos²(x) - 1 = 1 - 2sin²(x)7. 三倍角公式:cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x)8. 多倍角公式:cos(nx) = 2^(n-2) cos²(x) - 2^(n-4) cos⁴(x) ...(-1)^(n-1) cos((n-1)x)9. 单位圆上的余弦函数:cos(x) = x,其中x为角度,称为弧度制下的角度。

三角函数大全

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三角函数大全1.诱导公式sin(-a) = - sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2 - a) = cos(a)cos(π/2 - a) = sin(a)sin(π/2 + a) = cos(a)cos(π/2 + a) = - sin(a)sin(π - a) = sin(a)cos(π - a) = - cos(a)sin(π + a) = - sin(a)cos(π + a) = - cos(a)2.两角和与差的三角函数sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(α)sin(b)cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)tan(a + b) = [tan(a) + tan(b)] / [1 - tan(a)tan(b)]tan(a - b) = [tan(a) - tan(b)] / [1 + tan(a)tan(b)]3.和差化积公式sin(a) + sin(b) = 2sin[(a + b)/2]cos[(a - b)/2]sin(a) - sin(b) = 2sin[(a - b)/2]cos[(a + b)/2] cos(a) + cos(b) = 2cos[(a + b)/2]cos[(a - b)/2] cos(a) - cos(b) = - 2sin[(a + b)/2]sin[(a - b)/2] 4.积化和差公式sin(a)sin(b) = - 1/2[cos(a + b) - cos(a - b)]cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a + b) + cos(a -b)]sin(a)cos(b) = 1/2[sin(a + b) + sin(a - b)]5.二倍角公式sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos 2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1= 1 - 2sin2a6.半角公式sin2a = (1 – cos 2a)/ 2cos2a = (1 + cos 2a)/ 2tan a = [1 – cos 2a] /sin 2a = sin 2a / [1 + cos 2a ]7.万能公式sin(a) = 2tan(a/2) / [1+tan2(a/2)]cos(a) = [1-tan2(a/2)] / [1+tan2(a/2)]tan(a) = 2tan(a/2) / [1-tan2(a/2)]N倍角公式半角公式两角和公式同角三角函数的基本关系倒数关系:tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα·secα=1商的关系:sinα/cosα=tanα=secα/cscα平方关系:平常针对不同条件的常用的两个公式一个特殊公式(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)证明:(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]=sin(a+θ)*sin(a-θ)坡度公式我们通常把坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比),用字母i表示,即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角),那么i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦:sinα=∠α的对边/∠α 的斜边余弦:cosα=∠α的邻边/∠α的斜边正切:tanα=∠α的对边/∠α的邻边余切:cotα=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦正切tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))三倍角公式三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sin^3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa-1)cosa-2(1-cos^a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sina)=4sina[(√3/2)-sina]=4sina(sin60°-sina)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosa[cosa-(√3/2)^2]=4cosa(cosa-cos30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)现列出公式如下:sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tanα )cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用,包括在一些图像问题和函数问题中三倍角公式sin3α=3sinα-4sinα=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan(α/2)]cosα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan&s(α/2)]其他sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tan A^6)八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tan A^6+tanA^8)九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*ta nA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式sin10A = 2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sin A^4))cos10A = ((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A = -2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tan A^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)N倍角公式根据棣美弗定理,(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ)为方便描述,令sinθ=s,cosθ=c考虑n为正整数的情形:cos(nθ)+ i sin(nθ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n- 4)*(i s)^4 + ... …+C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... …=>比较两边的实部与虚部实部:cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... …i*(虚部):i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... …对所有的自然数n:1. cos(nθ):公式中出现的s都是偶次方,而s^2=1-c^2(平方关系),因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。

三角函数公式及求导公式

三角函数公式及求导公式

三角函数公式及求导公式三角函数(trigonometric functions)是数学中常用的一类函数。

三角函数包括正弦函数(sine)、余弦函数(cosine)、正切函数(tangent)、余切函数(cotangent)、正割函数(secant)和余割函数(cosecant),它们的定义涉及面积比、直角三角形的边长比以及点的坐标等几何概念。

以下是常见的三角函数以及它们的定义:1. 正弦函数(sin):正弦函数的定义式为:sin(x) = (opposite/hypotenuse),其中x表示一个角的弧度,opposite表示角对边的长度,hypotenuse表示斜边的长度。

2. 余弦函数(cos):余弦函数的定义式为:cos(x) = (adjacent/hypotenuse),其中x表示一个角的弧度,adjacent表示角邻边的长度,hypotenuse表示斜边的长度。

3. 正切函数(tan):正切函数的定义式为:tan(x) = (opposite/adjacent),其中x表示一个角的弧度,opposite表示角对边的长度,adjacent表示角邻边的长度。

4. 余切函数(cot):余切函数的定义式为:cot(x) = (adjacent/opposite),其中x表示一个角的弧度,adjacent表示角邻边的长度,opposite表示角对边的长度。

5. 正割函数(sec):正割函数的定义式为:sec(x) = 1/cos(x),其中x表示一个角的弧度。

6. 余割函数(csc):余割函数的定义式为:csc(x) = 1/sin(x),其中x表示一个角的弧度。

三角函数的求导公式(derivative)是在微积分中使用的重要工具。

以下是常见的三角函数求导公式:1.正弦函数的导数:(d/dx)sin(x) = cos(x)2.余弦函数的导数:(d/dx)cos(x) = -sin(x)3.正切函数的导数:(d/dx)tan(x) = sec^2(x)4.余切函数的导数:(d/dx)cot(x) = -csc^2(x)5.正割函数的导数:(d/dx)sec(x) = sec(x)tan(x)6.余割函数的导数:(d/dx)csc(x) = -csc(x)cot(x)三角函数的导数公式可以通过一些基本的求导规则推导得出,如链式法则、乘法法则和常数倍数法则。

三角函数公式大全详解

三角函数公式大全详解

三角函数公式大全详解一、什么是三角函数?三角函数是一类函数,它们以三角形为基本图形,通过三角形任意两条边和它们之间的夹角代表某一比例关系。

它们是以平面角度(θ)来描述某一比例关系,可以将角度θ在特定范围内运用到具有实际意义的函数中,比如描述的是三角形的大小或形状。

二、三角函数的九大公式(正弦定理、余弦定理、正切定理)1. 正弦定理:a2=b2+c2-2bccosA(a、b、c分别表示三角形的三边的长度,A表示夹角);2. 余弦定理:a2=b2+c2-2accosB(a、b、c分别表示三角形的三边的长度,B表示夹角);3. 正切定理:tanA/tanB=tan(A+B)/tan(A-B)(A、B分别表示三角形两个内角的大小);4. 正弦函数:y=sinx(x为角度,sinx表示一个三角形的第三边与夹角的长度的比率);5. 余弦函数:y=cosx(x为角度,cosx表示一个三角形的第二边与夹角的长度的比率);6. 正切函数:y=tanx(x为角度,tanx表示一个三角形第一边与夹角的长度的比率);7. 余切函数:y=cotx(x为角度,cotx表示一个三角形第一边与夹角的长度相反的比率);8. 正割函数:y=secx(x为角度,secx表示一个三角形第二边与夹角的长度的比值的倒数);9. 余割函数:y=cscx(x为角度,cscx表示一个三角形第三边与夹角的长度的比值的倒数)。

三、三角函数的反函数1. 反正弦函数:y=arcsinx(x表示一个三角形的第三边与夹角的长度之比,arcsinx表示求三角形夹角的大小θ);2. 反余弦函数:y=arccosx(x表示一个三角形的第二边与夹角的长度之比,arccosx表示求三角形夹角的大小θ);3. 反正切函数:y=arctanx(x表示一个三角形第一边与夹角的长度之比,arctanx表示求三角形夹角的大小θ);4. 反余切函数:y=arccotx(x表示一个三角形第一边与夹角的长度相反的比率,arccotx表示求三角形夹角的大小θ);5. 反正割函数:y=arcsecx(x表示一个三角形第二边与夹角的长度的倒数,arcsecx表示求三角形夹角的大小θ);6. 反余割函数:y=arccscx(x表示一个三角形第三边与夹角的长度的倒数,arccscx表示求三角形夹角的大小θ)。

12种三角函数

12种三角函数

12种三角函数
三角函数是数学中常见的一类函数,主要用于描述角度和边长之间的关系。

常见的三角函数有以下12种:
1. 正弦函数(sine function):sin(x)
2. 余弦函数(cosine function):cos(x)
3. 正切函数(tangent function):tan(x)
4. 反正弦函数(arcsine function):asin(x)
5. 反余弦函数(arccosine function):acos(x)
6. 反正切函数(arctangent function):atan(x)
7. 正割函数(secant function):sec(x)
8. 余割函数(cosecant function):csc(x)
9. 反正割函数(arcsecant function):asec(x)
10. 反余割函数(arccosecant function):acsc(x)
11. 双曲正切函数(hyperbolic tangent function):tanh(x)
12. 双曲余切函数(hyperbolic cotangent function):coth(x)
这些函数在三角学、计算机图形学、物理学等领域都有广泛的应用。

它们的定义和性质可以通过数学分析和几何推导来研究和证明。

三角函数大全

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三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取..一点),(y x P ,记:22yx r +=,正弦:r y =αsin 余弦:rx =αcos 正切:x y =αtan 余切:y x =αcot 正割:xr =αsec余割:yr =αcsc注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的有向..线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系:1csc sin =⋅αα,1sec cos =⋅αα,1cot tan =⋅αα。

商数关系:αααcos sin tan =,αααsin cos cot =。

平方关系:1cos sin 22=+αα,αα22sec tan 1=+,αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。

(口诀:函数名不变,符号看象限)⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值,等于α的异名函数值,前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。

(口诀:函数名改变,符号看象限)四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)ααα2tan 1tan 22sin +=,ααα22tan 1tan 12cos +-=,ααα2tan 1tan 22tan -=。

三角函数公式大全

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三角函数公式三角函数是数学中属于中的的一类函数。

它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

其定义城为整个城。

另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷敖列的和的解,将其定义扩展到复数系。

公式分类锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式sin2A=2sinA?cosAcos2A=cosA;方-sinA方;A=1-2sin²A=2cos²A-1tan2A=(2tanA)÷(1-tan^2A)三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2co sαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二:设α为任意角,π+α的与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:cos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五:利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanαcot(2π-α)= -cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)= sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} ? sin{ωt + arcsin[ (A?sinθ+B?sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }√表示根号,包括{……}中的内容诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限万能公式其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)[]内容规律三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

三角函数公式大全

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三角函数公式大全一、基本定义及性质1. 正弦函数(sin):sin A = 对边 / 斜边cos A = 临边 / 斜边tan A = 对边 / 临边余切函数(cot):cot A = 临边 / 对边2.零度三角函数:sin 0° = 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0, cot 0° = ∞3.π/6弧度三角函数:sin (π/6) = 1/2, cos (π/6) = √3/2, tan (π/6) = 1/√3, cot (π/6) = √34.π/4弧度三角函数:sin (π/4) = √2/2, cos (π/4) = √2/2, tan (π/4) = 1, cot (π/4) = 15.π/3弧度三角函数:sin (π/3) = √3/2, cos (π/3) = 1/2, tan (π/3) = √3, cot (π/3) = 1/√36.相反角关系:sin (-A) = -sin A, cos (-A) = cos A, tan (-A) = -tan A, cot (-A) = -cot A7.90°三角函数:sin 90° = 1, cos 90° = 0, tan 90° = ∞, cot 90° = 08.π/2弧度三角函数:sin (π/2) = 1, cos (π/2) = 0, tan (π/2) = ∞, cot (π/2) = 09.倒数关系:sin (π - A) = sin A, cos (π - A) = -cos A, tan (π - A) = -tan A, cot (π - A) = -cot A10.余角关系:sin (π/2 - A) = cos A, cos (π/2 - A) = sin A, tan (π/2 -A) = cot A, cot (π/2 - A) = tan A二、和差与倍角公式1.和差公式:sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin Bcos (A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin Btan (A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)2.二倍角公式:sin 2A = 2 sin A cos Acos 2A = cos^2 A - sin^2 A = 2 cos^2 A - 1 = 1 - 2 sin^2 A tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan^2 A)三、万能角公式(三角函数的倒数、减角公式、二倍角公式的推广形式)1.正弦函数倒数公式:csc A = 1 / sin A2.余弦函数倒数公式:sec A = 1 / cos A3.正切函数倒数公式:cot A = 1 / tan A4.减角公式:sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin Bcos (A - B) = cos A cos B + sin A sin Btan (A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)5.二倍角公式推广形式:sin 2A = 2 sin A cos Acos 2A = cos^2 A - sin^2 A = 2 cos^2 A - 1 = 1 - 2 sin^2 A tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan^2 A)四、积和差公式1.积公式:sin A sin B = (1/2)[cos(A-B) - cos(A+B)]cos A cos B = (1/2)[cos(A-B) + cos(A+B)]sin A cos B = (1/2)[sin(A-B) + sin(A+B)]2.差公式:sin A - sin B = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2]cos A - cos B = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2]sin A + sin B = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]cos A + cos B = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]五、其他重要性质1. 正弦函数的周期:2π,即sin (x + 2π) = sin x余弦函数的周期:2π,即cos (x + 2π) = cos x2.正弦函数的奇偶性:sin (-x) = -sin x,即 sin 函数是奇函数sin (π + x) = -sin x,即 sin 函数是周期为2π的周期函数3.余弦函数的奇偶性:cos (-x) = cos x,即 cos 函数是偶函数cos (π + x) = -cos x,即 cos 函数是周期为2π的周期函数4.正弦函数和余弦函数的间接关系:sin^2 x + cos^2 x = 1。

(完整版)三角函数公式大全

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三角函数公式一、任意角的三角函数在角α的终边上任取..一点),(y x P ,记:22y x r +=,正弦函数:r y =αsin 余弦函数:r x =αcos 正切函数:x y=αtan 余切函数:y x =αcot 正割函数:xr=αsec 余割函数:y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”倒数关系:1csc sin =⋅x x ,1sec cos =⋅x x ,1cot tan =⋅x x 。

商数关系:x x x cos sin tan =,xxx sin cos cot =。

平方关系:1cos sin 22=+x x ,x x 22sec tan 1=+,x x 22csc cot 1=+。

积的关系:sinx=tanx·cosx cosx=sinx·cotx tanx=sinx·secxcotx=cosx·cscx secx=tanx·cscx cscx=secx·cotx三、诱导公式公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin (2kπ+α)=sinα cos (2kπ+α)=cosαtan (2kπ+α)=tanα cot (2kπ+α)=cotα (其中k ∈Z)公式二:设α为任意角,π+α的三角函数的值与α的三角函数值之间的关系: sin (π+α)=-sinα cos (π+α)=-cosα tan (π+α)=tanα cot (π+α)=cotα公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin (-α)=-sinα cos (-α)=cosα tan (-α)=-tanα cot (-α)=-cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin (π-α)=sinα cos (π-α)=-cosα tan (π-α)=-tanα cot (π-α)=-cotα 公式五:απ-2与α的三角函数值之间的关系:sin (απ-2)=cosα cos (απ-2)=sinα tan (απ-2)=cotα cot (απ-2)=tanα公式六:απ+2与α的三角函数值之间的关系:sin (απ+2)=cosα cos (απ+2)=-sinα tan (απ+2)=-cotα cot (απ+2)=-tanα公式七:απ-23与α的三角函数值之间的关系: sin (απ-23)=-cosα cos (απ-23)=-sinαtan (απ-23)=cotα cot (απ-23)=tanα公式八:απ+23与α的三角函数值之间的关系:sin (απ+23)=-cosα cos (απ+23)=sinαtan (απ+23)=-cotα cot (απ+23)=-tanα公式九:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin (2π-α)=-sinα cos (2π-α)=cosα tan (2π-α)=-tanα cot (2π-α)=-cotα⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。

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三角函数公式大全本文主要介绍三角函数公式的大全,包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、弧度制、角度制等,共计52个公式。

三角函数是初等数学中重要的一部分,以它为基础可以推导出很多数学公式,也是物理、化学等自然科学中常用的数学工具。

1、正弦(sin)与余弦(cos)的关系公式sin θ = cos(90° - θ)cos θ = sin(90° - θ)2、正弦(sin)与余切(ctg)的关系公式sin θ = 1 / ctg θctg θ = 1 / sin θ3、正弦(sin)与正割(sec)的关系公式sin θ = 1 / sec(90° - θ)sec θ = 1 / sin(90° - θ)4、余弦(cos)与正切(tan)的关系公式cos θ = 1 / tan(90° - θ)tan θ = 1 / cos(90° - θ)5、余弦(cos)与余切(cot)的关系公式cos θ = 1 / cot(90° - θ)cot θ = 1 / cos(90° - θ)6、余弦(cos)与余割(cosec)的关系公式c os θ = 1 / cosec(90° - θ)cosec θ = 1 / cos(90° - θ)7、正切(tan)与余切(cot)的关系公式tan θ = 1 / cot θcot θ = 1 / tan θ8、正切(tan)与正割(sec)的关系公式tan θ = 1 / sec(90° - θ)sec θ = 1 / cot(90° - θ)9、正切(tan)与余割(cosec)的关系公式tan θ = 1 / cosec(90° - θ)cosec θ = 1 / cot(90° - θ)10、余切(cot)与正割(sec)的关系公式cot θ = 1 / sec θsec θ = 1 / cot θ11、余切(cot)与余割(cosec)的关系公式cot θ = 1 / cosec(90° - θ)cosec θ = 1 / tan(90° - θ)12、正割(sec)与余割(cosec)的关系公式sec θ = 1 / cosec(90° - θ)cosec θ = 1 / sec(90° - θ)13、正弦(sin)的倒数公式sin(-θ) = -sin θsin(θ ± 360°) = sin θ14、余弦(cos)的倒数公式cos(-θ) = cos θcos(θ ± 360°) = cos θ15、正切(tan)的倒数公式tan(-θ) = -tan θtan(θ ± 180°) = tan θ16、余切(cot)的倒数公式cot(-θ) = -cot θcot(θ ± 180°) = cot θ17、正割(sec)的倒数公式sec(-θ) = sec θsec(θ ± 360°) = sec θ18、余割(cosec)的倒数公式cosec(-θ) = -cosec θcosec(θ ± 360°) = cosec θ19、正弦(sin)的平方公式sin² θ + cos² θ = 11 - sin² θ = cos² θsin² θ = 1 - cos² θ20、余弦(cos)的平方公式sin² θ + cos² θ = 11 - cos² θ = sin² θcos² θ = 1 - sin² θ21、正切(tan)的平方公式tan² θ + 1 = sec² θ1 + cot² θ = cosec² θtan² θ = sec² θ - 122、余切(cot)的平方公式cot² θ + 1 = cosec² θ1 + tan² θ = sec² θcot² θ = cosec² θ - 123、正弦(sin)的角和公式sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin Bsin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B 24、余弦(cos)的角和公式cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B 25、正弦(sin)的二倍角公式sin 2A = 2 sin A cos A26、余弦(cos)的二倍角公式cos 2A = cos² A - sin² A27、正切(tan)的二倍角公式tan 2A = 2 tan A / (1 - tan² A)28、余切(cot)的二倍角公式cot 2A = (cot² A - 1) / 2 cot A29、正割(sec)的二倍角公式sec 2A = (sec² A + 1) / (2 sec A)30、余割(cosec)的二倍角公式cosec 2A = (cosec² A + 1) / (2 cosec A) 31、正弦(sin)的三倍角公式sin 3A = 3 sin A - 4 sin³ A32、余弦(cos)的三倍角公式cos 3A = 4 cos³ A - 3 cos A33、正切(tan)的三倍角公式tan 3A = (3 tan A - tan³ A) / (1 - 3 tan² A) 34、余切(cot)的三倍角公式cot 3A = (3 cot A - cot³ A) / (3 cot² A - 1) 35、正弦(sin)的四倍角公式sin 4A = 4 sin A cos A (2 cos² A - 1) 36、余弦(cos)的四倍角公式cos 4A = cos² 2A - sin² 2A37、正切(tan)的四倍角公式tan 4A = (4 tan A - 4 tan³ A) / (1 - 6 tan² A + tan⁴ A) 38、余切(cot)的四倍角公式cot 4A = (cot² 2A - 1) / 2 cot 2A39、正弦(sin)的半角公式sin (A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]40、余弦(cos)的半角公式cos (A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]41、正切(tan)的半角公式tan (A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]42、余切(cot)的半角公式cot (A/2) = ±√[(1 + cos A) / (1 - cos A)]43、正割(sec)的半角公式sec (A/2) = ±√[(1 + cos A) / (1 - cos A)]44、余割(cosec)的半角公式cosec (A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]45、正弦(sin)的万能公式a sin x +b cos x = √(a² + b²) sin(x + atan(b/a))46、余弦(cos)的万能公式a cos x -b sin x = √(a² + b²) cos(x + atan(b/a))47、正切(tan)的万能公式a tan x -b cot x = atan[(a sin x - b cos x)/(a cos x + b sin x)]48、余切(cot)的万能公式a cot x -b tan x = atan[(b sin x - a cos x)/(a sin x + b cos x)]49、正割(sec)的万能公式a sec x +b cosec x = 2 √(a² + b²) / [sin(2x + atan(b/a)) + sin(2x - atan(b/a))]50、余割(cosec)的万能公式a cosec x +b sec x = 2 √(a² + b²) / [sin(2x + atan(b/a)) - sin(2x - atan(b/a))]51、弧度制与角度制的转换公式弧度制 = 角度制× π / 180角度制 = 弧度制× 180 / π52、三角函数的图像正弦(sin)的图像:余弦(cos)的图像:正切(tan)的图像:余切(cot)的图像:正割(sec)的图像:余割(cosec)的图像:以上是三角函数公式的大全,通过掌握这些公式可以更深入地了解三角函数的性质和应用,有助于提高数学水平。

三角函数公式大全

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三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取..一点),(y x P ,记:22y x r +=, 正弦:ry=αsin 余弦:r x =αcos正切:xy=αtan 余切:y x =αcot正割:xr=αsec 余割:y r =αcsc注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的有向..线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系:1csc sin =⋅αα,1sec cos =⋅αα,1cot tan =⋅αα。

商数关系:αααcos sin tan =,αααsin cos cot =。

平方关系:1cos sin 22=+αα,αα22sec tan 1=+,αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。

(口诀:函数名不变,符号看象限)⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值,等于α的异名函数值,前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。

(口诀:函数名改变,符号看象限)四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)ααα2tan 1tan 22sin +=,ααα22tan 1tan 12cos +-=,ααα2tan 1tan 22tan -=。

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三角函数: 正弦, 余弦, 正切, 正割, 余割, 余切三角函数维基百科,自由的百科全书在数学中,三角函数(也叫做圆函数)是角的函数;它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。

三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率,也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。

更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们扩展到任意正数和负数值,甚至是复数值。

三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。

它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

由于三角函数具有周期性,所以并不具有单射函数(亦称为单调函数)意义上的反函数。

三角函数在复数中有重要的应用,在物理学中也是常用的工具。

三角函数一般用于计算三角形(通常为直角三角形)中未知长度的边和未知的角度,在导航系统,工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

其在基本物理中的一个常见用途是将矢量转换到笛卡尔坐标系中。

现代比较常用的三角函数有6个,其中Sin 和Cos 还常用于模拟周期函数现象,比如说声波和光波,谐振子的位置和速度,光照强度和白昼长度,过去一年中的平均气温变化等等。

目录1 基本函数■2 罕见函数■3 历史■4 直角三角定义■ 4.1 直角三角形中■4.2 直角坐标系中■5 单位圆定义■6 级数定义■ 6.1 与指数函数和复数的联系■7 微分方程定义■7.1 弧度的重要性■8 恒等式■8.1 微积分■8.2 利用函数方程定义三角函数■9 计算■9.1 三角函数的特殊值■10 反三角函数■11 性质和应用■11.1 正弦定理■11.2 余弦定理■11.3 正切定理■直角三角形。

11.4 周期函数■12 注释■13 参考文献■14 参见■15 外部链接■基本函数如右图,当平面上的三点A 、B 、C 的连线,、、,,其中为与的而言斜边(hypotenuse )函数英语简写定义关系正弦Sinesin 余弦Cosinecos余切Cotangentcot 正割Secantsec注:中国大陆早期教科书中多将正切、余切写作tg,ctg,现已废弃不用。

罕见函数除了上述六个基本函数,历史上还有下列几个罕见的函数:正矢余矢半正矢半余矢外正割历史早期对于三角函数的研究可以追溯到古代,现今使用的三角函数发展于欧洲的中世纪时期。

Sin和Cos 的使用最早可以追溯到印度笈多王朝的天文学时期,然后经由梵文翻译成阿拉伯文,再由阿拉伯文翻译成拉丁文。

a, b, h 为角A 的对边、邻边和斜边随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率,就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。

就是说对于任何相似三角形,(比如)斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。

如果斜边变为两倍长,其他边也要变为两倍长。

三角函数表达的就是这些比率。

研究三角函数的有伊兹尼克的喜帕恰斯(公元前180-125年)、埃及的托勒密(公元90-180年)、阿里亚哈塔(公元476-550年)、伐罗诃密希罗、婆罗摩笈多、花拉子密、阿布·瓦法、欧玛尔·海亚姆、婆什迦罗第二、纳西尔·艾德丁·图西、Ghiyath al-Kashi (14世纪)、兀鲁伯(14世纪)、约翰·缪勒(1464)、瑞提克斯和瑞提克斯的学生Valentin Otho 。

Madhava of Sangamagramma (约1400年)以无穷级数的方式做了三角函数的分析的早期研究。

欧拉的《无穷微量解析入门》(Introductio in Analysin Infinitorum )(1748年)对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献,他定义三角函数为无穷级数,并表述了欧拉公式,还有使用接近现代的简写 sin.、cos.、tang.、cot.、sec. 和 cosec.。

直角三角定义直角三角形中在直角三角形中仅有锐角三角函数的定义。

一个锐角的余弦是它的邻边与斜边的比值。

在图中,cos A =邻边/斜边=b /h 。

1.一个锐角的正弦是它的对边与斜边的比值。

在图中,sin A =对边/斜边=a /h 。

2.一个锐角的正切是它的对边与邻边的比值。

在图中,tan A =对边/邻边=a /b 。

3.根据欧几里德几何原理,三角形的三个内角的总度数为180°。

因此在一个直角三角形中, 其它两个不为直角的内角和为 90°,其中每个不为直角的内角取值范围都是 0° – 90°。

直角坐标系中设α是平面直角坐标系xOy 中的一个象限角,是是P 到原点O 的距离,则α的六个三角函数定义为:函数名定义函数名定义正弦余余切余单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。

单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形。

但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。

它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了。

根据勾股定理,单位圆的等式是:单位圆在笛卡尔平面上 f (x ) = sin(x ) 和 f (x ) = cos(x ) 函数的图像。

在笛卡尔平面上 f (x ) = tan(x )函数的图像。

y /1 和 cos θ = x /1。

单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于 2π 或小于 −2π 的角度,可直接继续绕单位圆旋转。

在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数:在正切函数的图像中,在角 k π 附近变化缓慢,而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速。

正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐近线。

这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷,而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷。

另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义,类似于历史上使用的几何定义。

特别是,对于这个圆的弦 AB ,这里的 θ 是对向角的一半,sin(θ) 是 AC (半弦),这是印度的 Aryabhata (AD 476–550)介入的定义。

cos(θ) 是水平距离 OC ,versin (θ) = 1 − cos(θ) 是 CD 。

tan(θ) 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度,所以这个函数才叫正切。

cot(θ) 是另一个切线段 AF 。

sec(θ) = OE和 csc(θ) = OF 是割线(与圆相交于两点)的线段,所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。

DE 是 exsec (θ) = sec(θ) − 1(正割在圆外的部分)。

通过这些构造,容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2(90 度)的时候发散,而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

级数定义角 θ的所有三角函数在几何上可以依据以O 点为圆心的单位圆来构造。

正弦函数(蓝色)十分接近于它的 5 次泰勒级数(粉红色)。

只使用几何和极限的性质,可以证明正弦的导数是余弦,余弦的导数是负的正弦。

(在微积分中,所有角度都以弧度来度量)。

我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数 x都成立:这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。

它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点(比如,在傅立叶级数中),因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来,不需要任何几何方面的考虑。

这样,这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。

其他级数可见于:[1]这里的是是(下在这种形式的表达中,分母是对应的阶乘,而分子叫做“正割数”,有组合解释:它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。

从复分析的一个定理得出,这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。

它们有同样的泰勒级数,所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。

与指数函数和复数的联系可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分:这个联系首先由欧拉注意到,叫做欧拉公式。

在这种方式下,三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。

例如,通过上述恒等式,如果考虑在复平面中e i x所定义的单位圆,同上面一样,我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化,复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。

进一步的,这样就可以定义对复自变量z的三角函数:这里的i2 = −1。

还有对于纯实数x,我们还知道,这种指数过程与周期行为有密切的联系。

)zsin()zcos()ztan()zcot()zsec(复平面中的三角函数。

微分方程定义正弦和余弦函数都满足微分方程意满足初始条件y(0) = 0 的唯一解。

有一个非常有趣的形象证明,证明了正切函数满足这个微分方程;参见 Needham 的《Visual Complex Analysis》。

[2]弧度的重要性弧度通过测量沿着单位圆的路径的长度而指定一个角,并构成正弦和余弦函数的特定辐角。

特别是,只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程。

如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的则导数将正比于“振幅”。

.这意味着使用度的正弦的二阶导数不满足微分方程,;更常见的写法是在正弦和余弦符号之后加“2”次幂:另一个关键的联系是和差公式,它根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和与差的正弦和余弦。

它们可以用几何的方法使用托勒密的论证方法推导出来;还可以用代数方法使用欧拉公式得出。

当两个角相同的时候,和公式简化为更简单的等式,称为二倍角公式(或倍角公式)。

这些等式还可以用来推导积化和差恒等式,以前曾用它把两个数的积变换成两个数的和而像对数那样使运算更加快速。

(利用制好的三角函数表)微积分三角函数的积分和导数可参见导数表、积分表和三角函数积分表。

下面是六个基本三角函数的导数和积分的列表。

利用函数方程定义三角函数在数学分析中,可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程来定义三角函数。

例如,取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式,可以证明只有两个实函数满足这些条件。

即存在唯一的一对实函数sin和cos使得对于所有实数x和y,下列方程成立:并满足附加条件.从其他函数方程开始的推导也是可能的,这种推导可以扩展到复数。

作为例子,这个推导可以用来定义伽罗瓦域中的三角学。

计算三角函数的计算是个复杂的主题,由于计算机和提供对任何角度的内置三角函数的科学计算器的广泛使用,现在大多数人都不需要了。

本节中将描述它在三个重要背景下的计算详情:历史上三角函数表的使用,计算机使用的现代技术,以及容易找到简单精确值的一些“重要”角度。

(下面只考虑一个角度小范围,比如 0 到π/2,因为通过三角函数的周期性和对称性,所有其他角度可以化简到这个范围内。

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