中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练(一元一次方程)

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中考数学专题复习一元一次方程(含解析)

中考备考专题复习：一元一次方程一、单选题1、（2016•大连）方程2x+3=7的解是（）A、x=5B、x=4C、x=3.5D、x=22、（2016•梧州）一元一次方程3x﹣3=0的解是（）A、x=1B、x=﹣1C、x=D、x=03、若关于x的方程（k-1）x2+x-1=0是一元一次方程.则k=( )A、0B、1C、2D、34、（2016•泰安）当1≤x≤4时.mx﹣4＜0.则m的取值范围是（）A、m＞1B、m＜1C、m＞4D、m＜45、已知方程2x-3=+x的解满足|x|-1=0.则m的值是（）A、-6B、-12C、-6与-12D、任何数6、若2（a+3）的值与4互为相反数.则a的值为（）A、﹣1B、﹣C、﹣5D、7、下列各式中.是方程的个数为（）（1）－3－3＝－7 （2）3x－5＝2x＋1 （3）2x＋6（4）x－y＝0 （5）a＋b>3 （6）a2＋a－6＝0A、1个B、2个C、3个D、4个8、如果等式ax=b成立.则下列等式恒成立的是（）．A、abx=abB、x=C、b-ax=a-bD、b+ax=b+b9、已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0) . 则a－b的值为（）.A、-1B、0C、1D、210、在如图的2016年6月份的月历表中.任意框出表中竖列上三个相邻的数.这三个数的和不可能是（）A、27B、51C、69D、7211、互联网“微商”经营已成为大众创业新途径.某微信平台上一件商品标价为200元.按标价的五折销售.仍可获利20元.则这件商品的进价为（）A、120元B、100元C、80元D、60元12、某场音乐会贩卖的座位分成一楼与二楼两个区域．若一楼售出与未售出的座位数比为4：3.二楼售出与未售出的座位数比为3：2.且此场音乐会一、二楼未售出的座位数相等.则此场音乐会售出与未售出的座位数比为何？（）A、2：1B、7：5C、17：12D、24：1713、某车间有26名工人.每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母.为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉.则下面所列方程正确的是（）A、2×1000（26﹣x）=800xB、1000（13﹣x）=800xC、1000（26﹣x）=2×800xD、1000（26﹣x）=800x14、8月份是新学期开学准备季.东风和百惠两书店对学习用品和工具实施优惠销售．优惠方案分别是：在东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后.超出部分按50%收费.在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费50元后.超出部分按60%收费.郝爱同学准备买价值300元的学习用品和工具书.她在哪家书店消费更优惠（）A、东风B、百惠C、两家一样D、不能确定15、在解方程时.方程两边同时乘以6.去分母后.正确的是（）A、2x﹣1+6x=3（3x+1）B、2（x﹣1）+6x=3（3x+1）C、2（x﹣1）+x=3（3x+1）D、（x﹣1）+x=3（x+1）二、填空题16、已知方程（a-2）x|a|-1=1是一元一次方程.则a=________.x=________ ．17、如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根.那么实数k的值是________．18、一件服装的标价为300元.打八折销售后可获利60元.则该件服装的成本价是________元．19、为了改善办学条件.学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台.已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台.则购置的笔记本电脑有________台．20、书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元.不享受打折优惠.②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折.③一次性购书200元一律打七折．小丽在这次活动中.两次购书总共付款229.4元.第二次购书原价是第一次购书原价的3倍.那么小丽这两次购书原价的总和是________元．三、计算题21、先化简：÷ + .再求当x+1与x+6互为相反数时代数式的值．四、解答题22、在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中.七年级和八年级共收到征文118篇.且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇.求七年级收到的征文有多少篇？23、世界读书日.某书店举办“书香”图书展.已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元.《汉语成语大词典》按标价的50%出售.《中华上下五千年》按标价的60%出售.小明花80元买了这两本书.求这两本书的标价各多少元．五、综合题24、在纪念中国抗日战争胜利70周年之际.某公司决定组织员工观看抗日战争题材的影片.门票有甲乙两种.甲种票比乙种票每张贵6元.买甲种票10张.乙种票15张共用去660元．(1)求甲、乙两种门票每张各多少元？(2)如果公司准备购买35张门票且购票费用不超过1000元.那么最多可购买多少张甲种票？25、如图是一根可伸缩的鱼竿.鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩.完全收缩后.鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时.可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm.第2节套管长46cm.以此类推.每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时.为了使相邻两节套管连接并固定.每相邻两节套管间均有相同长度的重叠.设其长度为xcm．(1)请直接写出第5节套管的长度.(2)当这根鱼竿完全拉伸时.其长度为311cm.求x的值．26、随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进.拥有的养老床位不断增加．(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个.求该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率.(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心.其中规划建造三类养老专用房间共100间.这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位）.双人间（2个养老床位）.三人间（3个养老床位）.因实际需要.单人间房间数在10至30之间（包括10和30）.且双人间的房间数是单人间的2倍.设规划建造单人间的房间数为t．①若该养老中心建成后可提供养老床位200个.求t的值.答案解析部分一、单选题1、【答案】 D【考点】一元一次方程的解【解析】【解答】解：2x+3=7. 移项合并得：2x=4.解得：x=2.故选D【分析】方程移项合并.把x系数化为1.即可求出解．此题考查了一元一次方程的解.方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．2、【答案】 A【考点】一元一次方程的解【解析】【解答】解：3x﹣3=0.3x=3.x=1.故选：A．【分析】直接移项.再两边同时除以3即可．此题主要考查了一元一次方程的解.关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3、【答案】B【考点】一元一次方程的定义【解析】【解答】根据题意得：k-1=0.解得：k=1．故答案是：B．【分析】只含有一个未知数（元).并且未知数的指数是1（次)的方程叫做一元一次方程.它的一般形式是ax+b=0（a.b是常数且a≠0).高于一次的项系数是0．据此可得出关于k的方程.继而可求出k的值．4、【答案】 B【考点】一元一次方程的解【解析】【解答】解：设y=mx﹣4.由题意得.当x=1时.y＜0.即m﹣4＜0.解得m＜4.当x=4时.y＜0.即4m﹣4＜0.解得.m＜1.则m的取值范围是m＜1.故选：B．【分析】设y=mx﹣4.根据题意列出一元一次不等式.解不等式即可．本题考查的是含字母系数的一元一次不等式的解法.正确利用函数思想、数形结合思想是解题的关键．5、【答案】 C【考点】一元一次方程的解.含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】∵|x|-1=0∴x=±1当x=1时.把x=1代入方程2x-3=+x2-3=+1∴m=-6.当x=-1时.把x=-1代入方程2x-3=+x-2-3=-1∴m=-12∴m的值是-6与-12．【分析】根据方程的解满足|x|-1=0就可得到x=±1.即±1是方程的解．把x=±1分别代入方程2x-3= m 3 +x就得到关于m的方程.从而求出m的值．本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法.在以后的学习中.常用此法求函数解析式．6、【答案】C【考点】相反数.解一元一次方程【解析】【解答】解：∵2（a+3）的值与4互为相反数.∴2（a+3）+4=0.∴a=﹣5.故选C【分析】先根据相反数的意义列出方程.解方程即可．此题是解一元一次方程.主要考查了相反数的意义.一元一次方程的解法.掌握相反数的意义是解本题的关键．7、【答案】C【考点】一元一次方程的定义.二元一次方程的定义.一元二次方程的定义【解析】【解答】根据方程的定义依次分析即可。

2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练(一元一次不等式及其应用)[001]

2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练一元一次不等式及其应用◆知识讲解1．一元一次不等式的概念类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1•的不等式叫做一元一次不等式．2．不等式的解和解集不等式的解：与方程类似，我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有的解的集合叫做这个不等式的解集．它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴来表示．3．不等式的性质性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a>b，那么a±c>b±c．性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或ac>bc）．性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a>b，c<0，那么ac<bc（或ac>bc）．不等式的其他性质：①若a>b，则b<a；②若a>b，b>c，则a>c；③若a≥b，且b≥a，•则a=b；④若a≤0，则a=0．4．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，•但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．5．一元一次不等式的应用列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要．◆例题解析例1解不等式2110136x x++-≥54x-5，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形．【解答】去分母，得4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60．去括号，得8x-4-20x-2≥15x-60移项合并同类项，得-27x≥-54系数化为1，得x≤2．在数轴上表示解集如图所示．【点评】①分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号．同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；②不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；③在数轴上表示不等式的解集，当解集是x<a或x>时，不包括数轴上a这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是x≤a或x≥a时，包括数轴上a这一点，则这一点用黑圆点表示；•④解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握．例2若实数a<1，则实数M=a，N=23a+，P=213a+的大小关系为（）A．P>N>M B．M>N>P C．N>P>M D．M>P>N【分析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：其一，由于选项是确定的，我们可以用特值法，取a>1内的任意值即可；其二，•用作差法和不等式的传递性可得M，N，P的关系．【解答】方法一：取a=2，则M=2，N=43，P=53，由此知M>P>N，应选D．方法二：由a>1知a-1>0．又M-P=a-213a+=13a->0，∴M>P；P-N=213a+-23a+=13a->0，∴P>N．∴M>P>N，应选D．【点评】应用特值法来解题的条件是答案必须确定．如，当a>1时，A与2a-2•的大小关系不确定，当1<a<2时，当a>2a-2；当a=2时，a=2a-2；当a>2时，a<2a-2，因此，•此时a与2a-2的大小关系不能用特征法．例3 若不等式-3x+n>0的解集是x<2，则不等式-3x+n<0的解集是_______．【分析】一方面可从已知不等式中求出它的解集，•再利用解集的等价性求出n 的值，进而得到另一不等式的解集．【解答】∵-3x+n>0，∴x<3n ，∴3n =2 即n=6代入-3x+n<0得：-3x+6<0，∴x>2例4某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．•现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？【解析】（1）可设购买甲种机器x 台，然后用x 表示出购买甲，•乙两种机器的实际费用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过24万元”列不等式求解．（2）分别算出（1）中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于380个”与“节约资金”两个条件选择购买方案．解（1）设购买甲种机器x 台，则购买乙种机器（6-x ）台，则7x+5（6-x ）≤34解得x ≤2又x ≥0∴0≤x ≤2∴整数x=0，1，2∴可得三种购买方案：方案一：购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台．（2）列表如下：由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；•方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二．【点评】①部分实际问题的解通常为整数；②方案的各种情况可以用表格的形式表达．例5某童装加工企业今年五月份，•工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．•改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．（1）•为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．•工人小X争取六月份工资不少于1200元，问小X在六月份应至少加工多少套童装？【分析】（1）五月份工人加工的最少套数为150×60%，若设平均每套奖励x元，则该工人的新工资为（200+150×60%x），由题意得200+150×60%x≥450；（2）六月份的工资由基本工资200元和奖励工资两部分组成，•若设小X六月份加工了y套，则依题意可得200+5y≥1200．【解答】（1）设企业每套奖励x元，由题意得：200+60%×150x≥450．解得：x≥2.78．因此，该企业每套至少应奖励2.78元；（2）设小X在六月份加工y套，由题意得：200+5y≥1200，解得y≥200．【点评】本题重点考查学生从生活实际中理解不等关系的能力，对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的关键．◆强化训练一、填空题1．若不等式ax<a的解集是x>1，则a的取值X围是______．2．不等式x+3>12x的负整数解是_______．3．不等式5x-9≤3（x+1）的解集是______．4．不等式4（x+1）≥6x-3的正整数解为______．5．已知3x+4≤6+2（x-2），则│x+1│的最小值等于______．6．若不等式a（x-1）>x-2a+1的解集为x<-1，则a的取值X围是______．7．满足22x+≥213x-的x的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于______．8．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，•每支钢笔5元，那么小明最多能买______支钢笔．9．某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打______折出售此商品．10．有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，•已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，•则最多只能安排_______人种甲种蔬菜．二、选择题11．不等式-x-5≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A B C D12．如图所示，O是原点，实数a，b，c•在数轴上对应的点分别为A，B，C，则下列结论错误的是（）A．a-b>0 B．ab<0 C．a+b<0 D．b（a-c）>013．如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过A，B两点，则不等式kx+b>0•的解集是（）A．x>0 B．x>2 C．x>-3 D．-3<x<214．如果不等式213x++1>13ax-的解集是x<53，则a的取值X围是（）A．a>5 B．a=5 C．a>-5 D．a=-515．关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示，则a的取值是（）A．0 B．-3C．-2 D．-116．初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一X彩色底片0.68元，扩印一X照片0.50元，每人分一X，将收来的钱尽量用掉的前提下，•这X照片上的同学最少有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个17．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如图所示，则他们的体重大小关系是（）A．P>R>S>Q B．Q>S>P>RC．S>P>Q>R D．S>P>R>Q18．某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表：三好学生优秀学生干部优秀团员市级 3 2 3校级 18 6 12已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有13人，那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为（）A．3项 B．4项 C．5项 D．6项三、解答题19．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）342163x x--≤；（2）x-3≥354x-．20．王女士看中的商品在甲，乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同：在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？21．甲，乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，•各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，•超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超过部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x>300）．（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．22．福林制衣厂现有24名制作服装工人，•每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条．（1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？（2）已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，•若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？23．某零件制造车间有工人20名，•已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，•每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，•其余工人制造乙种零件．（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的关系式；（2）若要使每天所获利润不低于24000元，•你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？24．足球比赛的记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1•场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛8场，负了1场，得17分，请问：（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？（2）这支球队打满了14场比赛，最高能得多少分？（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛得分不低于29分，•就可以达到预期目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？25．宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加，去年达到550名，•其中面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可以招20%，•“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名？答案:1．a<0 2．-5，-4，-3，-2，-13．x≤6 4．1，2，3 5．1 6．a<1 7．-198．13 9．7 10．411．B 12．B 13．C 14．B 15．D 16．C 17．D 18．B19．（1）x≥-2 （2）x≥7 数轴上表示略20．设她在甲商场购物x元（x>100），就比在乙商场购物优惠，由题意得：100+0.8（x-100）<50+0.9（x-50）∴x>150答：她在甲商场购物超过150元就比在乙商场购物优惠．21．（1）在甲超市购物所付的费用是：300+0.8（x-300）=（0.8x+60）元；在乙超市购物所付的费用是：200+0.85（x-200）=（0.85x+30）元．（2）当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600．∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；当0.8x+60>0.85x+30时，解得x<600，而x>300，∴300<x<600．即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；当0.8x+60<0.85x+30时，解得x>600，即当顾客购物超过600元时，•到甲超市更优惠．22．（1）设应安排x名工人制作衬衫，由题意得：3x=5×（24-x）∴x=15∴24-x=24-15=9答：应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子．（2）设应安排y名工人制作衬衫，由题意得：3×30y+5×16×（24-y）≥2100∴y≥18答：至少应安排18名工人制作衬衫．23．（1）依题意，得y=150×6x+260×5（20-x）=-400x+26000（0≤x≤20）．word11 / 11 （2）依题意得，-400x+26000≥24000．解得x ≤5，20-x=20-5=15．答：至少要派15名工人去制作乙种零件才合适．24．（1）设这支球队胜x 场，则平了（8-1-x ）场，依题意得：3x+（8-1-x ）=17，解得x=5．答：前8场比赛中这支球队共胜了5场．（2）最高分即后面的比赛全胜，因此最高得分为：17+3×（14-8）=35（分）．答：这个球打完14场最高得分为35分．（3）设胜x 场，平y 场，总分不低于29分，可得17+3x+y ≥29，3x+y ≥12，x+y ≤6∵x ，y 为非负整数，∴x=4时，能保证不低于12分；x=3，y=3时，也能保证不低于12分．所以，在以后的比赛中至少要胜3场才能有可能达到预期目标．25．设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名．由条件得：550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y=550-x 代入不等式，可解得x ≥100．于是（1+10%）x ≥110，答：今年最少可招收“宏志班”学生110名．。

2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练(方程和方程组的应用)

2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练方程和方程组的应用◆知识讲解1．行程问题的几种类型及等量关系:（1）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（2）追及问题：若甲为快者，则被追路程=甲走的路程－乙走的路程．（3）流水问题：船速+水速，逆流航速=船速－水速．2．工程问题的基本等量关系:甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量，•工程问题通常把总工作量看作“1”，解工程问题的关键是先找出单位时间内的工作效率．3．浓度问题的基本等量关系:浓度=溶质质量溶液质量×100% 溶液质量=溶质质量+溶剂质量．4．数学问题的等量关系: n位数12na a a=a1×10n－1+a2×10n－2+…+a n．5．增长率等量关系: 增长率=（增量÷基础量）×100%．6．利润问题:利润=销售价－进货价；利润率=利润进货价；销售价=（1+利润率）×进货价．7．利息问题: 利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息．8．其他经济类问题◆例题解析例1 （2004，黄冈市）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过500元，其中500元以下部分（包括500元）给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小X决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付多少元？【分析】首先要求出小李两次去超市购物付款198元和554元的实际购物所值金额，因为付款198元时，小李购物可能不超过200元，也可能超过200元，而付款554元时，小李购物肯定超过554元，所以小李两次购物中，第一次购物有两种情况，•因此本题应分类求解．【解答】（1）小李第一次购物付款198元．①当小李购买的物品不超过200元时，不予优惠，此时实际购买198元的物品；②当小李购买的物品超过200元时，设小李购买x元的物品，依题意可得：x×90%=198，解之，得x=220即小李实际购买220元的物品．（2）小李第二次购物付款554元，因为554>500，故第二次小李购物超过500元，•设第二次小李购物y元，依题意可得：（y－500）×80%+500×90%=554，解之得y=630，即小李实际购买630元的物品．当小X决定一次性购买和小李分两次购买同样多的物品时，•小X应购买的物品为：198+630=828（元）或者220+630=850（元），此时应付款为：500×90%+（828－500）×（元）或者：500×90%+（850－500）×80%=730（元）答：．【点评】解答本例要注意三点：（1）由于超市实际购物优惠，•所以顾客购买物品时，所付金额数与购物金额数不一定相等；（2）•要根据付款金额数正确确定顾客购物时所符合的优惠条款，从而利用该条款求出该顾客的购物金额；（3）•若顾客所付金额数属于两种或两种以上优惠条款时，应分情况讨论求解，切忌遗漏．例2 （2004，某某市）某通信器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，•出厂价分别为甲种手机每部1800元，乙种手机每部600元，丙种手机每部1200元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买；（2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，•请你求出商场每种型号的手机的购买数量．【分析】（1）题中将60000元恰好用完容易理解，•即所选的两种手机的总钱数等于60000元；共有三种不同型号的手机，购其中两种不同型号的手机共40部，需要分三种情况考虑：①选甲，丙两种手机共40部；②选甲，丙两种手机共40部；③选乙，丙两种手机共40部；（2）题中告诉了乙种手机买数的X 围，•可得乙种手机的购买数量可能的取值为6，7，8，若设甲种手机购x 部，丙种手机购y 部，则可列3个不同的方程组，即①64018006006120060000x y x y ++=⎧⎨+⨯+=⎩②74018006007120060000x y x y ++=⎧⎨+⨯+=⎩ ③74018006008120060000x y x y ++=⎧⎨+⨯+=⎩【解答】（1）①选购甲，乙两种型号的手机，设甲种手机购x 部，乙种手机购y 部．依题意：40180060060000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得30,10.x y =⎧⎨=⎩②选购甲，丙两种型号的手机，设甲种手机购a 部，丙种手机购b 部．依题意，得401800120060000a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组，得20,20.a b =⎧⎨=⎩③选购乙，丙两种型号的手机，设购乙种手机m 部，购丙种手机n 部，依题意得 40600120060000m n m n +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得20,60.m n =-⎧⎨=⎩（不合实际，舍去）．答：有两种购买方案：①甲种手机购30部，乙种手机购买10部；②甲种手机购20部，丙种手机购20部．（2）由乙种手机的购买数量不少于6部且不多于8部，则乙种手机的购买数量有三种可能，即6部，7部，8部．设购甲种手机x 部，丙种手机y 部，由以上分析可列三个方程组：①64018006006120060000x y x y ++=⎧⎨+⨯+=⎩ ②74018006007120060000x y x y ++=⎧⎨+⨯+=⎩ ③74018006008120060000x y x y ++=⎧⎨+⨯+=⎩解方程组①得：268x y =⎧⎨=⎩，解方程组②：得276x y =⎧⎨=⎩，解方程组③得：284x y =⎧⎨=⎩．答：若购买乙种手机6部，则甲种手机购26部，丙种手机购8部；•若购买乙种手机7部，则甲种手机购27部，丙种手机购6部；若购买乙种手机8部，则甲种手机购28部，•丙种手机购4部．【点评】在现有的可能条件下，运用所学知识探寻最佳、最优方案，以获取最佳效益，是每个经营者所追求的目标，也是每个学生走进社会后所应具备的基本素质，这类题体现了素质教育的要求，必奖是今后中考的热点题型．同时，本题只有题设条件，结论不具体、不唯一，这对解题思路的探寻也是一种挑战，解题者必须具备创造性思维，不能囿于传统解法的限制．本例的解题关键在于依题合理分类考虑，不能漏掉存在的任何一种可能，其次是对所得的结果检验，看其是否满足生活实际．例3 为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市．某校甲，乙两班师生前往郊区参加植树活动．已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天，求甲，乙两班每天各植树多少棵？【分析】这是一道工程问题．本题提供的关键信息有：①甲班种150•棵树所用的天数=乙班种120棵树所用的天数+2天；②甲班每天植树的棵树+10棵=•乙班每天植树的棵树．我们可以从不同的角度入手．【解答】（1）从工作时间入手，寻求解题的途径（直接设解法）：设甲班每天植树x棵，那么乙班每天植树（x+10）棵．由①中的数量关系列方程，得150x=12010x++2．150（x+10）=120x+2x（x+10）．150x+1500=120x+2x+20x．2x2－10x－1500=0．x2－5x－750=0．（x－30）（x+25）=0，x1=30，x2=－25．经检验知：x1=30，x2=－25都是原方程的解．但x=－25不符合题意舍去．∴当x=30时，x+10=40．（2）从工作效率入手，寻求解题途径（间接设解法）：设乙班植树x天，那么甲班植树（x+2）天，甲班每天植树1502x+棵，乙班每天植树120x棵．由②中的数量关系列方程得1502x++10=120x．去分母，整理，得x2+5x－24=0．解得x1=－8，x2=3，经检验：x1=－8，x2=3都是原方程的解．又∵x>0，∴x=－8舍去，只取x=3．∴1502x+=30（棵），120x=40（棵）．答：甲班每天植树30棵；乙班每天植树40棵．◆强化训练一、填空题1．某班学生为希望工程共捐款131元，比每人平均2元还多35元，设这个班的学生有x 人，根据题意，列方程为_______．2．一种药品经过两次降价后，，那么平均每次降价的百分率是_______．3．轮船顺水航行40km所需的时间和逆水航行30km所需的时间相同，•已知水流速度为3km/h，设轮船在静水中的速度xkm/h，可列方程_______．4．杉杉打火机厂生产某种型号的打火机．每只的成本为2元，毛利润为25%．•工厂通过改进工艺，降低成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，•则这种打火机每只的成本降低了_____元（，毛利率=-售价成本成本×100%）．5．高温煅烧石灰石（CCO3）可以制取生石灰（CaO）和二氧化碳（CO2），•如果不考虑杂质及损耗，生产生石灰14t就需要煅烧石灰石25t．那么生产生石灰224t，•需要石灰石_______t．6．为了绿色，市在执行严格的机动车尾气排放标准，同时正在不断设法减少工业及民用燃料所造成的污染．随着每年10亿m3的天然气输到，•每年将少烧300万t煤，这样，到2006年底，的空气质量将会基本达到发达国家城市水平．某单位1个月用煤30t，若改用天然气，1年大约要用_______m2的天然气．7．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．解题方案设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示：（1）李明原计划读完这本书需用_____天；（2）改变计划时，已读了_____页，还剩____页；（3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需______天；（4）根据问题中的相等关系，列出相应方程________；（5）李明原计划平均每天读书_______页（用数字作答）．8．依法纳税是公民应尽的义务，根据我国税法规定，工资所得不超过1600元不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表累加计算：全月应纳税所得额税率不超过500元部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%………，则他本月的工资收入为______元．二、选择题9．一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元．•设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（）A．x×40%×80%=240 B．x（1+40%）×80%=240C．240×40%×80%=x D．x×40%=240×80%10．X刚同学买了两种不同的贺卡共8X，单价分别是1元和2元，共用10元，•设X刚买的两种贺卡分别为xX，yX，则下面的方程组正确的是（）A．1028yxx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩B．128210x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩C．1028x yx y+=⎧⎨+=⎩D．8210x yx y+=⎧⎨+=⎩11．小萍要在一幅长90cm，宽40cm的风景画的四周外围，•镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图（图4－5），使风景画的面积是整个挂图面积的54%．•设金色纸边的宽为xcm，根据题意所列方程为（）A．（90+x）（40+x）×54%=90×40B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40D．（90+2x）（40+x）×54%=90×4012．，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x，则依题意列方程为（）A．25（1+x）2=82.75 B．C．25+75x=82.75 D．25[1+（1+x）+（1+x）13．为了贫困家庭子女能完成初中作业，国家给他们免费提供教科书，•下表是某中学免费提供教科书补助的部分情况：若设获得免费提供教科书补助的七年级为x人，八年级为y人，根据题意列出方程组为（）A．4012010994190010095x yx y++=⎧⎨++=⎩B．1201099410095x yx y+=⎧⎨+=⎩C．40109941900x yx y+=⎧⎨+=⎩D．1099440120190010095x yx y++=⎧⎨++=⎩14．古代有这样一个寓言故事：驴和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的．驴抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，•那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴原来所驮货物的袋数是（）A．5 B．6 C．7 D．815．A，B两地相距450km，甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120km/h，乙车速度为80km/h，经过th两车相距50km，则t的值是（）A．2或2.5 B．2或0 C．10或12.5 D．16．某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：（1）一次购买金额不超过1万元，不予优惠；（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，给九折优惠；（3）一次购买超过3万元的，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠．某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买原料付示7800•元，•第二次购买付款26100元，如果他是一次购买同样数量的原料，可少付金额为（）A．1460元B．1540元C．1560元D．2000元三、解答题17．（2005，某某市）2004年年底，东南亚地区发生海啸，给当地人民带来了极大的灾难，听到这个消息，某校初中毕业班中的30名同学踊跃捐款，支援灾区人民．其中女同学共捐款150元，男同学共捐款120元，男同学比女同学平均每人少捐款2元，男，•女同学平均每人各捐款多少元？18．（2008，某某）某皮鞋专卖店老板对第一季度男女皮鞋的销售收入进行统计，•并绘制了扇形统计图（图4－6），由于三月份开展促销活动，男，女皮鞋的销售收入分别比二月份增长了40%，64%，已知第一季度男女皮鞋的销售总收入为200万元．（1）一月份销售收入___万元，二月份销售收入____•万元，•三月份销售收入____万元；（2）二月份男，女皮鞋的销售收入各是多少万元？19．（2005，某某省）在当地农业技术部门指导下，小明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收．图4－7所示是小明爸爸，妈妈的一段对话．请你用学过的知识帮助小明算出他们家今年菠萝的收入．（收入－投资=净赚）20．（2005，某某市）某某江汉一桥维修工程中，拟由甲，乙两个工程队共同完成某项目．从两个工程队的资料可以知道：若两个工程队合做24天恰好完成；•若两个工程队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：（1）甲，乙两个工程队单独完成该项目各需多少天？（2），乙工程队每天的施工费为0.35•万元，要使该项目总的施工费不超过22万元，则乙工程队最少施工多少天？21．（2008，某某）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲，乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，•该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，，，恰好按时完成了这项任务．（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？（2）现要将这批帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A，B两地，•由于两市通往A，B 两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同，已知运送帐篷每千顶所需的车辆数，两地所急需的帐篷数如表所示：A地B地请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少．说明理由，并求出最少车辆总数．22．（2008，某某市）2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30km 远的郊区进行抢修．维修工骑摩托车先走，15min 后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．，求这两种车的速度．答案1．2x+35=131 2．10% 3．403x +=303x - 4．0.21 5．400 6．×1057．（1）200x （2）5x ，200－5x （3）20055x x -+（4）200x －（20055x x -++5）=1 （5）208．3101 9．B 10．D 11．B 12．D 13．A 14．A 15．A 16．A17．设男同学平均每人捐款x 元，则女同学平均每人捐款为（x+2）元依题得：1501202x x++=30 化简得：x 2－7x －8=0解之得x=－1或x=8经检验它们都是原方程的根，但x=－1<0（舍去）答：男同学平均每人捐款8元，女同学平均每人捐款10元．18．（1）50；60；90（2）解：设二月份男，女皮鞋的销售收入分别为x 万元，y 万元，根据题意，得 60(140%)(164%)90x y x y +=⎧⎨+++=⎩解得3525x y =⎧⎨=⎩答：二月份男，女皮鞋的销售收入分别为35万元，25万元．19．设小明家去年种植菠萝的收入为x 元，投资y 元，依题意，得8000(135%)(110%)11800x y x y -=⎧⎨+-+=⎩解方程组，得120004000x y =⎧⎨=⎩ ∴小明家今年菠萝的收入应为：（1+35%）×12000=16200元20．（1）设甲工程队单独完成该项目需x 天，乙工程队单独完成该项目需y 天．依题意得242411818101x y x y x⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解之得4060x y =⎧⎨=⎩ 经检验4060x y =⎧⎨=⎩是原方程的解，并且符合题意．答：甲，乙两工程队单独完成此项目各需40天，60天．（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天时总的施工费用不超过22万元，根据题意得140600.60.3522a b a b ⎧+=⎪⎨⎪+≤⎩解之得b ≥40答：要使该项目总的施工费用不超过22万元，乙工程队最少施工40天．21．（1）设总厂原来每周制作帐篷x 千顶，分厂原来每周制作帐篷y 千顶．由题意，得9,1.6 1.514,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得5,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以1.6x=8（千顶），1.5y=6（千顶）．答：在赶制帐篷的一周内，总厂，分厂各生产帐篷8千顶，6千顶．（2）设从（甲市）总厂调配m 千顶帐篷到灾区的A 地，则总厂调配到灾区B•地的帐篷为（8－m ）千顶，（乙市）分厂调配到灾区，A ，B 两地的帐篷分别为（9－m ）千顶和（m －3）千顶．甲，乙两市所需运送帐篷的车辆总数为n 辆．由题意，得n=4m+7（8－m ）+3（9－m ）+5（m －3）（3≤m ≤8），即n=－m+68（3≤m ≤8）．因为－1<0，所以n 随m 的增大而减小．所以，当m=8时，n 有最小值60．答：从总厂运送到灾区A地帐篷8千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为1千顶，5千顶时所用车辆最少，最少的车辆为60辆．22．设抢修车的速度为xkm/h，则吉普车的速度为1．5xkm/h．由题意得1515151.560x x-=，解得x=20．经检验，x=20是原方程的解，且x=20，1.5x=30都符合题意．答：抢修车的速度为20km/h，吉普车的速度为30km/h．。

中考数学复习考点知识与题型专题讲解3--- 一元一次方程(解析版)

中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题03一元一次方程【思维导图】【知识要点】知识点一一元一次方程的基础等式的概念：用等号表示相等关系的式子。

注意：1.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等。

2.不能将等式和代数式概念混淆，等式含有等号，表示两个式子相等关系，而代数式不含等号，你只能作为等式的一边。

方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。

特征：它含有未知数，同时又是—个等式。

一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是已知数且a≠0）【特征】1. 只含有一个未知数x2. 未知数x的次数都是13. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。

方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。

一元方程的解又叫根。

知识点二等式的性质（解一元一次方程的基础）等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

表示为：如果a=b，则a±c=b±c等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。

表示为：如果 a=b，那么ac = bc如果 a=b(c≠0)，那么 =【注意事项】1．等式两边都要参加运算，并且是同一种运算。

2．等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。

3．等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.4.等式左右两边互换，所得结果仍是等式。

知识点三解一元一次方程合并同类项把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。

移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

（依据：等式的性质1）去括号括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。

去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。

去分母时不要漏乘不含分母的项。

当分母中含有小数时，先将小数化成整数。

解一元一次方程的基本步骤：知识点四实际问题与一元一次方程用方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解;验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.【考查题型】考查题型一一元一次方程概念的应用【解题思路】关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．典例1．（2021·四川中考真题）关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1，可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选：C ．变式1-1．（2021·内蒙古中考真题）关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程，则其解为_____．【详解】解：关于x 的方程2m 1mx m 1x 20+﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程，2m 11∴﹣＝，即m 1＝或m 0＝，方程为x 20﹣＝或x 20--＝，解得：x 2＝或x 2=-，当2m-1=0，即m=12时，方程为112022x --= 解得：x=-3，故答案为：x=2或x=-2或x=-3．变式1-2．（2021·四川南充市·中考真题）关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（） A ．9 B ．8C ．5D ．4【答案】C【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1，可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C ．考查题型二解一元一次方程【解题思路】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x ＝a 形式转化．典例2．（2021·重庆中考真题）解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（）A ．3(1)12x x +=-B ．2(1)13x x +=-C ．2(1)63x x +=-D ．3(1)62x x +=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ，故选：D ．变式2-1．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（）． A ．1- B ．1 C ．0 D ．2【答案】C【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．【详解】解：由题意知：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆， ∴11x +=， ∴0x =．故选：C ．变式2-2．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．【详解】解：221123x x x ---=- ()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x =27x =考查题型三配套问题和工程问题【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系，依次作为列方程的依据.【工程问题解题关键】常把总工作量看做1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题典例3．（2021·哈尔滨市模拟）某车间有27名工人，每个工人每天生产64个螺母或者22个螺栓，每个螺栓配套两个螺母，若分配x个工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程中正确的是（）A．22x＝64（27﹣x）B．2×22x＝64（27﹣x）C．64x＝22（27﹣x）D．2×64x＝22（27﹣x）【答案】B【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺母数量=2倍的螺栓数量，可得出方程．【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母64个或螺栓22个，∴可得2×22x＝64（27﹣x）．故选：B．变式3-1．（2021·黑哈尔滨市二模）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方程为（）A．1200x＝2000（22﹣x）B．1200x＝2×2000（22﹣x）C．1200（22﹣x）＝2000x D．2×1200x＝2000（22﹣x）【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母，可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程．【详解】解：设每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000（22-x），即2×1200x=2000（22-x），故选D．变式3-2．（2021·山西阳泉市模拟）在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱. 问共有多少人家，每头牛的价钱是多少元？若设有x户人家，则可列方程为（）A．1902703303079x x+=-B．1902703303079x x-=+C．7190927033030x x⨯⨯+=-D．7190927033030x x⨯⨯-=+【答案】A【分析】根据“如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱”，可得每头牛的价钱是1903307x+或270309x-，即可得出关于x的方程.【详解】解：∵如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱，∴每头牛的价钱是1903307x+；∵如果每9家共出270元，又多了30元钱，∴每头牛的价钱又可以表示为270309x-，∴可列方程为：19027033030 79x x+=-，故选A.变式3-3．（2021·广西南宁市一模）某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（）A．120350506x x+-=+B．350506x x-=+C．120350506x x+-=+D．120350650x x+-=+【答案】C【分析】关系式为：零件任务÷原计划每天生产的零件个数-（零件任务+120）÷实际每天生产的零件个数=3，把相关数值代入即可求解．【详解】解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6，所以根据时间列的方程为：12035050+6x x +-= 故选C ．变式3-4．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x 人，则（） A ．237230x xB ．327230x xB ．C ．233072x xD ．323072x x【答案】D【分析】先设男生x 人，根据题意可得323072x x .【详解】男生x 人，则女生有(30－x)人，由题意得：323072x x，故选D.变式3-5．（2021·哈尔滨市模拟）甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的13，应从乙队调多少人去甲队？如果设应从乙队调x 人到甲队，列出的方程正确的是（） A ．1(96)723x x -=-B ．196723x x ⨯-=-C ．1(96)723x x +=-D ．196(72)3x x +=-【答案】C【分析】根据等量关系：乙队调动后的人数=13甲队调动后的人数，列出一元一次方程即可．【详解】设应从乙队调x 人到甲队，此时甲队有（96+x ）人，乙队有（72-x ）人，根据题意可得：13（96+x ）=72-x ．故选C ．考查题型四销售盈亏问题销售金额=售价×数量利润= 商品售价-商品进价利润率=（利润÷商品进价）×100%现售价 = 标价×折扣售价 = 进价×（1+利润率）典例4．（2021·长沙市一模）随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（）A．180 B．170 C．160 D．150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，由题意得：80%x﹣120=20%×120，解得：x=180．即该超市该品牌粽子的标价为180元．故选：A．变式4-1．（2021·广东深圳市模拟）某商贩在一次买卖中，以每件135元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，在这次买卖中，该商贩（）A．不赔不赚B．赚9元C．赔18元D．赚18元【答案】C【分析】设盈利上衣成本x元，亏本上衣成本y元，由题意得:135-x=25%x;y-135=25%y；求出成本可得.【详解】设盈利上衣成本x元，亏本上衣成本y元，由题意得135-x=25%xy-135=25%y解方程组，得x=108元，y=180元135+135-108-180=-18亏本18元故选：C变式4-2．（2021·长沙市二模）中国总理李克强2021年6月1日考察山东时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．市场、企业、个体工商户活起来，生存下去，再发展起来，国家才能更好！为了响应党中央、国务院的号召，各地有序开放了“地摊经济”、“马路经济”，长沙某地摊摊主将进价为10元的小商品提价100%后再6折销售，该小商品的利润率（）A．40% B．20% C．60% D．30%【答案】B【分析】设该小商品的利润率为x，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设该小商品的利润率为x，依题意，得：10×（1+100%）×0.6﹣10＝10x，解得：x＝0.2＝20%．故选：B．考查题型五比赛积分问题比赛总场数=胜场数+负场数+平场数比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分典例5．（2021·大庆市模拟）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】解答此题可设该队获胜x场，则负了（6-x）场，根据总分=3×获胜场数+1×负了的场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设该队获胜x场，则负了(6－x)场．根据题意得3x＋(6－x)＝12，解得x＝3.经检验x＝3符合题意.故该队获胜3场．故选B.变式5-1．（2021·武汉市模拟）一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（）A．17道B．18道C．19道D．20道【答案】C【分析】设作对了x道，则错了（25-x）道，根据题意列出方程进行求解.【详解】设作对了x道，则错了（25-x）道，依题意得4x-(25-x)=70，解得x=19故选C.变式5-2．（2021·广东深圳市模拟）在2018﹣2021赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败．共取得了74个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x场，则可列方程为（）A．3x+（30﹣x）＝74 B．x+3 （30﹣x）＝74C．3x+（26﹣x）＝74 D．x+3 （26﹣x）＝74【答案】C【分析】根据题意分析，可以设曼城队一共胜了x场，则平了（30-x-4）场，找出等量关系：总积分=3×获胜场数+1×踢平场数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】设曼城队一共胜了x场，则平了（30﹣x﹣4）场，依题意，得：3x+（30﹣x﹣4）＝74，即3x+（26﹣x）＝74．故选：C．考查题型六方案选择问题结合实际，分情况讨论，给出合理建议。

一元一次方程概念及求解专题复习(知识点+基础应用+能力提高+中考真题).doc

一元一次方程一.等式和方程1.等式：含有的式子2.等式的性质①等式两边都同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

②等式两边都同一个数（除数不能是0）,所得结果仍是等式。

3.方程：含有未知数的等式叫方程。

（1）能够使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解。

要检验未知数的某一个值是不是方程的解，就把这个值代入方程，看左、右两边的值是否相等。

必须注意方程的解和解方程这两个概念的区别。

方程的解是演算的结果，即求出的适合方程的未知数的值；解方程是求方程的解的演算过程。

4.方程的解一--使得方程左右两边相等的未知数的值5.检验：把未知数的值分别代入方程的左右两边。

6.等式的性质等式的性质①等式两边加（或减）同一个数（或式），结果仍相等。

即如果a = b,那么a±c = b±c等式的性质②等式两边乘同一个数，或除以同一不为0的数，结果仍相等。

即如果a=b,那么ac=bca _b如果a=b （cHO）那么c c二.一元一次方程的解法和应用（一）元一次方程的求解（1）一元一次方程：①只有一个未知数，②未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

（2）一元一次方程的最简形式2. （3）解一元一次方程的一般步骤。

一元一次方程的应用（二）一元一次方程的应用“1、类型：1.销售、利润问题2.工程问题3.行程问题4•比例问题5.其他问题（数字问题、等积变形、日历问题、人数问题、储蓄问题等）2、列方程解应用题的一般步骤：①审题，弄清题意找出题屮的等量关系②设未知数③列出方程④解方程⑤检验⑥答元一次方程常见题型类型一:利用方程的有关概念，等式性质等解决问题7. 如果Q 与一3互为相反数，那么Q 等于( )•c. 138. ___________________________________________________________ 求作一个一元一次方程使它的解为x=-2,这个一元一次方程为 ________________________________________【能力提高】1.己知方程(m+l)x lml 4-3-0.是关于x 的一元一次方程，则m 的值是( )A. ± 1B. 1C.-1D.O 或 12. 使(«-l)x-6 = 0为关于兀的一元一次方程的 ______________ (写出一个你喜欢的数即可).3. 若关于兀的方程U-2)/-,l +5^ = O 是一元一次方程，则“ _____________ .C. x=0 丄二12x + 33. 下列方程小是一元一次方程的是( A. 2x = 3yB. 7% + 5 = 6(x-l)C ・ X 2= 1D. --2 = xX4•下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y 二9X 2—3x=l— = 1 x2x=l 3x - 5 3+7=10x 2+x=l5.根据下列条件列出方程(1)比x 大2的数等于7(2) x 比它的2倍小34 5(3) x 比它的上大丄5 166•只列方程，不解方程1) 3x + 5的值等于3, 求x 的值2) 当x 取何值时，3x + 5与4 —x 的值相等3) 当a 为何值量，式子2(3a-4)的值比2a + 7的值大34) 3x4-5与3-x 互为相反数，x 取何值A. 3B. —3 1. 【基础练习】下列各式不是方程的是( )A. y2_y=4B. m - 2nC. p 2-2pq + q 2D. x = 02. 下列等式中是一元一次方程的是(A. S=Xab2B. x —y=04.若关于x的方程伙+ 2庆+4尬-5£ =()是一元一次方程，则方程的解x二___________・5.已知(2加一3庆一(2-3加)兀=1是关于x的一元一次方程，则加= _______ .6. 已知方程（ci - 2）丿"卜’ +4 = 0是一元一次方程，则a = ___ ； x = _______ .7. 若关于兀的方程伙-2）』刊+5" 0是一元一次方程，贝〃二 __________ .若关于x 的方程（k + 2）x 2 + 4kx-5k = 0是一元一次方程，则方程的解兀二 ______ . &如果@ + 1）』“珂_2 = 0是一元一次方程，那么。

专题06 一元一次方程(解析版)-备战2024年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练

专题06一元一次方程【专题目录】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【题型】一、一元一次方程概念【题型】二、一元一次方程的解法【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题【考纲要求】1、了解等式、方程、一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质．2、掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程的解法．3、会列方程(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次方程【注意】一元一次方程的特征1.只含有一个未知数x2.未知数x 的次数都是13.等式两边都是整式，分母中不含未知数。

整式方程一元一次方程概念只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。

其一般形式是ax +b =0(a,b 为常数，且a ≠0).解法解法依据是等式的基本性质.性质①：若a =b ，则a ±m =b ±m ；性质②：若a =b ，则am =bm ；若a =b ，则db d a (d ≠0).解法的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.【技巧归纳】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值【类型】一、利用一元一次方程的定义求字母系数的值1．已知方程(m －2)x |m|－1＋16＝0是关于x 的一元一次方程，求m 的值及方程的解．2．已知方程(3a ＋2b)x 2＋ax ＋b ＝0是关于x 的一元一次方程，求方程的解．3．已知(m 2－1)x 2－(m ＋1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程，求式子199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17的值．【类型】一、利用方程的解求字母系数的值题型1：利用方程的解的定义求字母系数的值4．关于x 的方程a(x －a)＋b(x ＋b)＝0有无穷多个解，则()A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D .a b＝05．关于x 的方程(2a ＋b)x －1＝0无解，则ab 是()A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数6．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＋14有整数解，那么满足条件的整数k ＝__________．7．已知x ＝12是方程6(2x ＋m)＝3m ＋2的解，求关于y 的方程my ＋2＝m(1－2y)的解．8．当m 取什么整数时，关于x 的方程12mx －53＝题型2：利用两个方程同解或解具有已知倍数关系确定字母系数的值9．如果方程x －43－8＝－x ＋22的解与关于x 的方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20的解相同，确定字母a 的值．题型3：利用方程的错解确定字母系数的值10．小马虎解方程2x －13＝x ＋a 2－1，去分母时，方程右边的－1忘记乘6，其他步骤都正确，这时方程的解为x ＝2，试求a 的值，并正确解方程．参考答案1．解：－1＝1，－2≠0，所以m ＝－2.将m ＝－2代入原方程，得－4x ＋16＝0，解得x ＝4.2.解：＋2b ＝0，，所以3a ＝－2b ，即a ＝－23b.当3a ＋2b ＝0时，原方程可化为ax ＋b ＝0，则x ＝－b a.将a ＝－23b 代入方程的解中，得x ＝－b a ＝32.3．解：2－1＝0，＋1≠0，所以m ＝1.当m ＝1时，原方程可化为－2x ＋8＝0，解得x ＝4.当m ＝1，x ＝4时，199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17＝199×5×2＋9×1＋17＝2016.4．A 5.B 6.8，－8，10或267．解：将x ＝12代入方程6(2x ＋m)＝3m ＋2，得2×12＋3m ＋2，解得m ＝－43.将m ＝－43代入方程my ＋2＝m(1－2y)，得－43y ＋2＝－43(1－2y)，解得y ＝56.点拨：已知一元一次方程的解，确定关于某一个未知数的方程中另外一个字母的值，只需把未知数的值(方程的解)代入原方程，即可得出含另一个字母的方程，通过求解确定另一个字母的值，从而进行关于其他字母的计算．8．解：原方程可化为12mx －53＝12x －23，所以12(m －1)x ＝1，所以(m －1)x ＝2.因为x 必须为正整数且m 为整数，故m －1＝1或2.当m －1＝1，即m ＝2时，x ＝2；当m －1＝2，即m ＝3时，x ＝1.所以当m ＝2或3时，方程的解为正整数．9．解：x －43－8＝－x ＋22，去分母，得2(x －4)－48＝－3(x ＋2)．去括号、移项、合并同类项，得5x ＝50.系数化为1，得x ＝10.把x ＝10代入方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20，得2a×10－(3a ＋5)＝5×10＋12a ＋20，去括号、移项，得20a －3a －12a ＝5＋50＋20.合并同类项，得5a ＝75，系数化为1，得a ＝15.10．解：由题意得4x －2＝3x ＋3a －1，移项、合并同类项，得x ＝3a ＋1.因为x ＝2，所以2＝3a ＋1，则a ＝13.当a ＝13时，原方程为2x －13＝x ＋132－1，解得x ＝－3.技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【类型】一、分子、分母含小数的一元一次方程题型1：巧化分母为11．解方程：4x －1.60.5－3x －5.40.2＝1.8－x 0.1.2．解方程：2x ＋10.25－x －20.5＝－10.题型2：巧化同分母3．解方程：x 0.6－0.16－0.5x 0.06＝1.题型3：巧约分去分母4．解方程：4－6x 0.01－6.5＝0.02－2x 0.02－7.5.【类型】二、分子、分母为整数的一元一次方程题型1：巧用拆分法5．解方程：x －12－2x －36＝6－x 3.6．解方程：x 2＋x 6＋x 12＋x 20＝1.题型2：巧用对消法7．解方程：x 3＋x －25＝337－6－3x 15.题型3：巧通分8．解方程：x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.【类型】三、含括号的一元一次方程题型1：利用倒数关系去括号92－x ＝2.题型2：整体合并去括号10．解方程：x －13x －13（x －9）＝19(x －9)．题型3：整体合并去分母11．解方程：13(x －5)＝3－23(x －5)．题型4：不去括号反而添括号12．解方程：12x －12（x －1）＝23(x －1)．题型5：由外向内去括号13－6＋2＝0.题型6：由内向外去括号14．解方程：243x ＝34x.参考答案1．解：去分母，得2(4x －1.6)－5(3x －5.4)＝10(1.8－x)．去括号、移项、合并同类项，得3x ＝－5.8.系数化为1，得x ＝－2915.点拨：本题将各分数分母化为整数1，从而巧妙地去掉了分母，给解题带来了方便.2．解：去分母、去括号，得8x ＋4－2x ＋4＝－10.移项、合并同类项，得6x ＝－18.系数化为1，得x ＝－3.点拨：由0.25×4＝1，0.5×2＝1，可巧妙地将分母化为整数1.3．解：化为同分母，得0.1x 0.06－0.16－0.5x 0.06＝0.060.06.去分母，得0.1x －0.16＋0.5x ＝0.06.解得x ＝1130.4．解：原方程可化为4－6x 0.01＋1＝0.01－x 0.01.去分母，得4－6x ＋0.01＝0.01－x.解得x ＝45.点拨：本题将第二个分数通过约分处理后，使两个分数的分母相同，便于去分母．5．解：拆项，得x 2－12－x 3＋12＝2－x 3.移项、合并同类项，得x 2＝2.系数化为1，得x ＝4.点拨：方程通过拆项处理后，便于合并同类项，使复杂方程简单化．6．解：x 1.整理得x －x 5＝1.解得x ＝54.点拨：因为x 2＝x －x 2，x 6＝x 2－x 3，x 12＝x 3－x 4，x 20＝x 4－x 5，所以把方程的左边每一项拆项分解后再合并就很简便.7．解：原方程可化为x 3＋x －25＝247＋x －25，即x 3＝247.所以x ＝727.点拨：此题不要急于去分母，通过观察发现－6－3x 15＝x －25，两边消去这一项可避免去分母运算．8．解：方程两边分别通分后相加，得5（x ＋3）－7（x ＋2）35＝2（x ＋1）－3（x ＋4）12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012.解得x ＝－36211.点拨：本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．9．解：去括号，得x 4－1－3－x ＝2.移项、合并同类项，得－34x ＝6.系数化为1，得x ＝－8.点拨：观察方程特点，由于32与23互为倒数，因此让32乘以括号内的每一项，则可先去中括号，同时又去小括号，非常简便．10．解：原方程可化为x －13x ＋19(x －9)－19(x －9)＝0.合并同类项，得23x ＝0.系数化为1，得x ＝0.11．解：移项，得13(x －5)＋23(x －5)＝3.合并同类项，得x －5＝3.解得x ＝8.点拨：本题将x －5看成一个整体，通过移项、合并同类项进行解答，这样避免了去分母，给解题带来简便．12．解：原方程可化为12[(x －1)＋1－12(x －1)]＝23(x －1)．去中括号，得12(x －1)＋12－14(x －1)＝23(x －1)．移项、合并同类项，得－512(x －1)＝－12.解得x ＝115.13．解：－2＋2＝0.[来源:学科网]去小括号，得136x －112＝0.移项，得136x ＝112.系数化为1，得x ＝3.14．解：去小括号，得2[43x －23x ＋12]＝34x.去中括号，得43x ＋1＝34x.移项，合并同类项，得712x ＝－1.系数化为1，得x ＝－127.【题型讲解】【题型】一、一元一次方程概念例1、关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1，可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选：C ．【题型】二、一元一次方程的解法例2、解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（）A ．3(1)12x x +=-B ．2(1)13x x+=-C ．2(1)63x x +=-D ．3(1)62x x+=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ，故选：D ．例3、解方程：221123x x x ---=-【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．【详解】解：221123x x x ---=-()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+634662x x x -+=-+72x =27x =【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题例4、某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x 名工人生产螺钉，依题意列方程为（）A ．1200x ＝2000（22﹣x ）B ．1200x ＝2×2000（22﹣x ）C ．1200（22﹣x ）＝2000xD ．2×1200x ＝2000（22﹣x ）【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母，可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程．【详解】解：设每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000（22-x ），即2×1200x=2000（22-x ），故选D ．【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题例5、随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（）A ．180B ．170C ．160D ．150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元，由题意得：80%x ﹣120=20%×120，解得：x =180．即该超市该品牌粽子的标价为180元．故选：A ．【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题例6、一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（）A ．17道B ．18道C ．19道D ．20道【答案】C 【分析】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，根据题意列出方程进行求解.【详解】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，依题意得4x-(25-x)=70，解得x=19故选C.一元一次方程（达标训练）一、单选题1．（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①253-+=；②235=3x x x -+；③211x +=；④21=x ；⑤23x +；⑥4x =．其中是一元一次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可【详解】解：①不含未知数，故错②未知数的最高次数为2，故错③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对④左边不是整式，故错⑤不是等式，故错⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对故选：B【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键2．（2022·浙江温州·三模）解方程2233522x x x x x--+=--，以下去分母正确的是（）A ．22335x x x ---=B ．22335x x x --+=C ．()223352x x x x ---=-D ．()223352x x x x --+=-【答案】D【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘()2x -即可．【详解】A ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意．B ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意．C ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意．D ，()223352,x x x x +--=-故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式方程去分母，根据等式的性质在分式方程两边分别乘以分母的最简公分母，熟练掌握等式的性质是解此题的关键．3．（2022·重庆沙坪坝·一模）若关于x 的方程25x a +=的解是2x =，则a 的值为（）A ．9-B ．9C ．1-D ．1【答案】D【分析】把2x =代入方程计算即可求出a 的值．【详解】解：把2x =代入方程得：45a +=，解得1a =．故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．（2022·河北石家庄·二模）1x =是下列哪个方程的解（）A ．65x=-B ．2233+=+x x C ．21133x x x x -=--D ．2x x =【答案】D【分析】把x ＝1代入各选项进行验算即可得解．【详解】解：A 、5−1＝4≠6，故本选项错误；B 、2124⨯+=，3136⨯+=，4≠6，故本选项错误；C 、当x =1时，x -1=0即分式的分母为0，故本选项错误；D 、211=，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的概念，使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解．5．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则m 的值是（）A ．5B ．3C ．1-D ．2-【答案】A 【分析】根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解．【详解】解：设幻方正中间的数字为a ，依题意得：124a m a ++=++，解得：5m =．故选A ．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．二、填空题6．（2022·四川达州·二模）方程2x -3=5的解为________.【答案】x =4【分析】根据解一元一次方程的解法求解即可得．【详解】解：2x -3=5，移项得2x =8，系数化为1得：x =4，故答案为：x =4．【点睛】题目主要考查解一元一次方程，熟练掌握方法是解题关键．7．（2022·四川广元·二模）已知：A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且2(4)|12|0a b ++-=．若点C 点在数轴上且满足3AC BC =，则C 点对应的数为________．【答案】8或20##20或8【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，分C 点在线段AB 上和线段AB 的延长线上两种情况讨论，即可求解．【详解】解：∵2(4)|12|0a b ++-=∴a ＋4＝0，b −12＝0解得：a ＝−4，b ＝12∴A 表示的数是−4，B 表示的数是12设数轴上点C 表示的数为c∵AC ＝3BC∴|c ＋4|＝3|c −12|当点C 在线段AB 上时则c ＋4＝3（12−c ）解得：c ＝8当点C 在AB 的延长线上时则c ＋4＝3（c −12）解得：c ＝20综上可知：C 对应的数为8或20．【点睛】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴两点之间的距离，运用分类讨论思想方程思想和数形结合思想是解本题的关键．三、解答题8．（2022·四川广元·一模）解方程：2(1)13x x x --=-．【答案】12x =-【分析】先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案.【详解】解：去括号，得2213x x x -+=-.移项及合并同类项，得21x =-.系数化为1，得12x =-.【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键.9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）“小口罩，大温暖”，为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A ，B 两种不同款型，其中A 型口罩单价100元，B 型口罩单价80元．(1)先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A ，B 两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A 型口罩和B 型口罩各多少盒？(2)我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A ，B 两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（328m-）盒．求该街道社区人口总数．【答案】(1)免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒(2)该街道社区人口总数为50000人【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意可得3286040m m-=，从而得到m=12，即可求解．(1)解：设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，依题意得：100100809200x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：6040xy=⎧⎨=⎩．答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．(2)解：依题意得：328 6040m m-=，解得：m=12，∴m+3m−28=20．∴该街道社区人口总数=200020×500=50000（人）．答：该街道社区人口总数为50000人．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．一元一次方程（提升测评）一、单选题1．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x ，则可列方程（）A ．54573x x +=+B ．54573x x -=-C ．45357x x +=+D ．45357x x -=+【答案】A【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．【详解】解：设合伙人数为x ，则可列方程为54573x x +=+；故选：A【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．2．（2022·浙江温州·二模）若代数式()()2132x x +++的值为8，则代数式()()2231x x -+-的值为（）A ．0B ．11C ．7-D ．15-【答案】C【分析】由()()2132x x +++的值为8，求得x =0，再将x =0代入计算可得．【详解】解：∵()()2132x x +++的值为8，∴2x +2+3x +6=8，∴x =0，当x =0时，()()2231x x -+-=2×(-2)+3×(-1)=-7．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知m n =，下列等式不成立的是（）A ．2m n m +=B ．0-=m nC ．22m x n x -=-D ．235m n n-=【答案】D【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断．【详解】由m n =，得2m n m m m +=+=，故A 成立；0m n m m -=-=，故B 成立；根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，22m x n x -=-，故C 成立；2323m n n n n -=-=-，故D 不成立；故选D ．【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项，熟记运算法则是解题的关键．4．（2022·河北保定·一模）已知分式：341(32a a a a -+---■的某一项被污染，但化简的结果等于2a +，被污染的项应为（）A ．0B ．1C ．23a a --D ．32a a --【答案】B【分析】设被污染的部分为p ，然后根据等式的性质解关于p 的方程，求出p 的表达式即可．【详解】解：设被污染的部分为p ，则341()(232a a p a a a -+-=+--，∴241()232a p a a a --=+--，∴()()()132222a p a a a a --=+⨯--+，∴3122a p a a -=+--，∴22a p a -=-，∴1p =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是根据等式的性质解方程和掌握分式混合运算顺序和运算法则．5．（2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（）①关于x 、y 的方程24107x y +=存在整数解．②若两个不等实数a 、b 满足()()244222a b a b +=+，则a 、b 互为相反数．③若2()4()()0a c a b b c ---=-，则2b a c =+．④若222x yz y xz z xy ---==，则x y z ==．A ．①④B ．②③C ．①②④D ．②③④【答案】B【分析】将24x y +提公因式2得2(2)x y +，由x 、y 为整数，则2(3)x y +为偶数，因为107为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将442222()()a b a b +=+，整理得222()0a b -=，即得出22a b =，由于实数a 、b 不相等，即得出a 、b 互为相反数，故可判断②；2()4()()0a c a b b c ---=-整理得2(2)0a c b +-=，即得20a c b +-=，即2a c b +=，故可判断③；由222x yz y xz z xy ---==，得出2222x xz y yz y xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩，即可变形为222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，可以得出x y z ==或0x y z ++=，故可判断④．【详解】解：∵262(3)x y x y +=+，∴如果x 、y 为整数，那么2(3)x y +为偶数，∵107为奇数，∴24107x y +=不存在整数解，故①错误；442222()()a b a b +=+444422222a b a b a b +++=442220a b a b +-=222()0a b -=∴22a b =，∵实数a 、b 不相等，∴a 、b 互为相反数，故②正确；2()4()()0a c ab bc ---=-222244440a ac c ab ac b bc -+-++-=()()22440a cb ac b +-++=2(2)0a cb +-=∴20ac b +-=，即2a c b +=，故③正确；∵222x yz y xz z xy---==∴2222x xz y yz y xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩，∴2222222211441144x xz z y yz z y xy x z xz x ⎧++=++⎪⎪⎨⎪++=++⎪⎩，即222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，∴11()2211()22x z y z y x z x ⎧+=±+⎪⎪⎨⎪+=±+⎪⎩，∴x y z ==或0x y z ++=，故④不一定正确．综上可知正确的有②③．故选B ．【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键．二、填空题6．（2022·山东临沂·一模）如图，用一块长7.5cm 、宽3cm 的长方形纸板，和一块长6cm 、宽1.5cm 的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是______cm ，拼成的大正方形的面积是______cm 2．【答案】 4.581【分析】设小正方形的边长为x cm ，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．【详解】解：设小正方形的边长为x cm ，则大正方形的边长为(6+7.5-x ）cm 或（x +3+1.5）cm ，根据题意得：6+7.5-x =x +3+1.5，解得：x =4.5，则大正方形的边长为6+7.5-x =6+7.5-4.5=9(cm ）,大正方形的面积为92=81(cm 2),故答案为：4.5；81．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．7．（2022·上海静安·1=的解是________．【答案】x =1【分析】首先方程两边同时平方，把无理方程化为有理方程，再解方程即可求得【详解】解：方程两边同时平方，得3x -2=1，解得x =1，经检验，x =1是原方程的解，所以，原方程的解为x =1．故答案为：x =1．【点睛】本题考查了无理方程的解法，熟练掌握和运用无理方程的解法是解决本题的关键，注意要检验．三、解答题8．（2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a 、b 、c 三个数所对应的点分别为A 、B 、C ，已知b 是最小的正整数，且a 、c 满足2(6)20c a -++＝．(1)①直接写出数a 、c 的值，；②求代数式222a c ac +-的值；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，求与点B 重合的点表示的数；(3)请在数轴上确定一点D ，使得AD ＝2BD ，则D 表示的数是．【答案】(1)①-2，6；②64(2)3(3)4或0【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性即可求出a 和c ，②把a 和c 的值代入222a c ac +-求值即可；（2）根据题意，求出b 的值，然后求出线段AC 的中点，即可求出结论；（3）设点D 表示的数为x ，然后根据点D 的位置分类讨论，分别根据2AD BD =列出方程即可分别求出结论．（1）解：①∵()2620c a -++=，∴20a +=，60c -=，解得2a =-，6c =．故答案为：-2，6．②把2a =-，6c =代入222a c ac +-，2224362464a c ac +-=++=；（2）解：∵b 是最小的正整数，∴1b =，∴线段AC 的中点为()2622-+÷=，设与点B 重合的点表示的数为n ，则(1+n )÷2=2，解得：n =3．∴与点B 重合的点表示的数是3．故答案为：3．（3）解：因为a =-2，b =1，c =6，设点D 表示的数为x ，若2AD BD =，分三种情况讨论：①若点D 在点A 的左侧，则x <-2且()221x x --=-，解得4x =(不符合题意，舍去)；②若点D 在点A 、B 之间，则-2<x <1且()()221x x --=-，解得0x =；③若点D 在点B 右侧，则x >1且x -(-2)=2(x -1)，解得：x =4．综上所述，点D 表示的数是0或4．故答案为：0或4．【点睛】此题考查了非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系．。

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—一次方程(组)及其应用(含解析)

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—一次方程（组）及其应用（含解析）1、掌握等式的基本性质掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组．2、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.3、经历用一次方程组解应用题的过程，提高分析问题和解决问题的能力【题型1：等式的性质】【典例1】（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（）A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝bC．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2【答案】A【解答】解：A、若＝，则a＝b，故A符合题意；B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；故选：A．1．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（）A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质2【答案】B【解答】解：将等式I＝，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的基本性质2．故选：B．2．（2021•安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且b＝a+c，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．a﹣b＝4（b﹣c）D．a﹣c＝5（a﹣b）【答案】D【解答】解：∵b＝a+c，∴5b＝4a+c，在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c．故选：D．【题型2：一次方程（组）的相关概念】【典例2】（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（）A．3B．﹣3C．7D．﹣7【答案】A【解答】解：∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解，∴2×1+m＝5，∴m＝3，故选：A．【典例3】（2023•眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组为，①﹣②，得：2x﹣2y＝2m+6，∴x﹣y＝m+3，∵x﹣y＝4，∴m+3＝4，∴m＝1．故选：B．1．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x【答案】D【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括号得：﹣4x﹣2＝x，故选：D．2．（2021•聊城）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2解的取值范围为（）A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5【答案】A【解答】解：x+a＝2，x＝﹣a+2，∵﹣3＜a≤3，∴﹣3≤﹣a＜3，∴﹣1≤﹣a+2＜5，∴﹣1≤x＜5，故选：A．3．（2020•重庆）解一元一次方程（x+1）＝1﹣x时，去分母正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3xC．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x【答案】D【解答】解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，故选：D．4．（2023•朝阳）已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为2．【答案】2．【解答】解：，①﹣②得：x﹣y＝a+2，又∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，∴a+2＝4，∴a＝2．故答案为：2．【题型3：一次方程（组）的解法】【典例4】（2021•广元）解方程：+＝4．【答案】x＝7．【解答】解：+＝4，3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，3x﹣9+2x﹣2＝24，3x+2x＝24+9+2，5x＝35，x＝7．【典例5】（2023•乐山）解二元一次方程组：．【答案】．【解答】解：，①×2得：2x﹣2y＝2③，②+③得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，解得：y＝1，∴原方程组的解为：．1．（2023•河南）方程组的解为．【答案】．【解答】解：，①+②，得4x+4y＝12，∴x+y＝3③．①﹣③，得2x＝2，∴x＝1．②﹣①，得2y＝4，∴y＝2．∴原方程组的解为．故答案为：．2．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【答案】见试题解答内容【解答】解：4x﹣1＝2x+5，4x﹣2x＝5+1，2x＝6，x＝3．3．（2023•常德）解方程组：．【答案】．【解答】解：①×2+②得：5x＝25，解得：x＝5，将x＝5代入①得：5﹣2y＝1，解得：y＝2，所以原方程组的解是．4．（2023•衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：解：2×7x＝（4x﹣1）+1，…（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．（2）写出你的解答过程．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】解：（1）如图：（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，去括号：14x＝4x﹣1+6，移项：14x﹣4x＝﹣1+6，合并同类项：10x＝5，系数化1：x＝．【题型4：一次方程（组）的应用】【典例6】（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．（1）求A，B玩具的单价；（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？【答案】（1）A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；（2）100个．【解答】解：（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元，根据题意得：2（x+25）+x＝200，解得：x＝50，可得x+25＝50+25＝75，则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；（2）设商场可以购置A玩具y个，根据题意得：50y+75×2y≤20000，解得：y≤100，则最多可以购置A玩具100个．1．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．【答案】该客车的载客量为40人．【解答】解：设该客车的载客量为x人，根据题意得：4x+30＝5x﹣10，解得：x＝40．答：该客车的载客量为40人．2．（2023•陕西）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？【答案】学校这次共买了81棵树苗．【解答】解：设学校这次共买了x棵树苗，则：＝，解得：x＝81，答：学校这次共买了81棵树苗．3．（2023•北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm．【解答】解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，根据题意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，解得x＝4，答：边的宽为4cm，天头长为24cm．4．（2023•安徽）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．【答案】调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元．【解答】解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，由题意得：，解得：，答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元．5．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B 种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，依题意得：，解得：．答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．（2）∵该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，∴购买B种跳绳（45﹣m）根．依题意得：，解得：23≤m≤25.4，又∵m为整数，∴m可以取23，24，25，∴共有3种购买方案，方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．（3）设购买跳绳所需总费用为w元，则w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．∵﹣5＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550．答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元．1．（2023•青县校级模拟）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（）A．x+y＝0B．＝C．x﹣2＝y﹣2D．x+7＝y﹣7【答案】C【解答】解：A、由x＝y，得到x﹣y＝0，原变形错误，故此选项不符合题意；B、由x＝y，得到＝，原变形错误，故此选项不符合题意；C、由x＝y，得到x﹣2＝y﹣2，原变形正确，故此选项符合题意；D、由x＝y，得到x+7＝y+7，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：C．2．（2022秋•昆都仑区校级期末）为做好疫情防控工作，学校把一批口罩分给值班人员，如果每人分3个，则剩余20个；如果每人分4个，则还缺25个，设值班人员有x人，下列方程正确的是（）A．3x+20＝4x﹣25B．3x﹣25＝4x+20C．4x﹣3x＝25﹣20D．3x﹣20＝4x+25【答案】A【解答】解：由题意得3x+20＝4x﹣25．故选：A．3．（2023秋•瓦房店市校级期中）若x＝﹣4是方程a+3x＝﹣15的解，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣5D．﹣3【答案】D【解答】解：把x＝﹣4代入方程得：a﹣12＝﹣15，解得：a＝﹣3．故选：D．4．（2023秋•南宁期中）一元一次方程2x+1＝5的解为（）A．x＝3B．x＝4C．x＝2D．x＝0【答案】C【解答】解：移项和合并同类项，可得：2x＝4，系数化为1，可得：x＝2．故选：C．5．（2022秋•乐亭县期末）解方程，去分母正确的是（）A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1）B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1）【答案】C【解答】解：，去分母得2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）．故选：C．6．（2022秋•丰宁县校级期末）若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．0【答案】B【解答】解：解2x＝8，得x＝4．由同解方程，得4a+2×4＝4．解得a＝﹣1，故选：B．7．（2022秋•凤翔县期末）已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（）A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m＝2【答案】A【解答】解：根据题意得|m|＝1且m+1≠0，所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，所以m＝1．故选：A．8．（2023春•莒南县期末）已知是方程组的解，则a+b＝（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【答案】B【解答】解：∵是方程组的解∴将代入①，得a+2＝﹣1，∴a＝﹣3．把代入②，得2﹣2b＝0，∴b＝1．∴a+b＝﹣3+1＝﹣2．故选：B．9．（2023春•西城区校级期中）已知是二元一次方程y﹣kx＝7的解，则k的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【答案】D【解答】解：根据题意得，﹣1﹣2k＝7，解得：k＝﹣4．故选：D．10．（2023•江山市模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，∴x﹣y＝4.5；∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，∴．∴所列方程组为．故选：B．11．（2023春•天元区校级期末）若解得x，y的值互为相反数，则k的值为（）A．4B．﹣1C．2D．﹣5【答案】D【解答】解：由题意可知：x+y＝0，∴，解得：，将代入2x﹣ky＝6，得2×（﹣2）﹣2k＝6，解得：k＝﹣5．故选：D．二．解答题（共5小题）12．（2023•渝北区校级自主招生）解下列方程：（1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x）；（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x），去括号得：2x﹣3x+3＝5﹣5x，移项得：2x﹣3x+5x＝5﹣3，合并同类项得：4x＝2，把系数化为1得：x＝．（2）1﹣＝，去分母得：15﹣3（x﹣3）＝5（4﹣x），去括号得：15﹣3x+9＝20﹣5x，移项得：﹣3x+5x＝20﹣15﹣9，合并同类项得：2x＝﹣4，把系数化为1得：x＝﹣2．13．（2023秋•靖江市校级期中）已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．（1）求k的值；（2）若已知方程与方程3x＝4﹣5x的解相同，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，∴k＝﹣3；（2）3x＝4﹣5x，3x+5x＝4，x＝，原方程为：6x+2m+1＝0，把x＝代入：3+2m+1＝0，m＝﹣2．14．（2022秋•莲池区校级期末）解下列方程组：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）②﹣①得：4y＝16，解得：y＝4，把y＝4代入②得：x+4＝6，解得：x＝2，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，②×2﹣①得：5x＝12，解得：x＝，把x＝代入②得：﹣y＝8，解得：y＝，则方程组的解为．15．（2022秋•榆阳区校级期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）求调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？【答案】（1）调入6名工人；（2）10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．【解答】解：（1）设调入x名工人，根据题意得：16+x＝3x+4，解得x＝6，∴调入6名工人；（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名），设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母，∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，∴240y×2＝400（22﹣y），解得y＝10，∴22﹣y＝22﹣10＝12，答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．16．（2023春•铁锋区期末）列方程（组）或不等式（组）解应用题：学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的3倍，请问最多能购买多少支羽毛球拍？【答案】（1）每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元；（2）最多能购买20支羽毛球拍．【解答】解：（1）设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，依题意得：，解得：．答：每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元．（2）设购买m支羽毛球拍，则购买3m支乒乓球拍，依题意得：80m+60×3m≤5300，解得：m≤．又∵m为整数，∴m的最大值为20．答：最多能购买20支羽毛球拍．1．（2023秋•秦淮区期中）如果方程（a﹣2）x|a﹣1|+3＝9是关于x的一元一次方程，则a的值为（）A．0B．2C．6D．0或2【答案】A【解答】解：由题意得：|a﹣1|＝1且a﹣2≠0，解得a＝0．故选：A．2．（2023秋•工业园区校级期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（）A．4B．5C．21D．5或21【答案】B【解答】解：若x≥3，3x﹣3＝12，解得x＝5；若x＜3，x﹣9＝12，解得x＝21（不符合题意，舍去）．综上，x＝5，故选：B．3．（2022秋•颍州区校级期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产600个螺钉或1000螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有x名工人生产螺钉，可列方程为（）A．2×600x＝1000（22﹣x）B．2×1000x＝600（22﹣x）C．600x＝2×1000（22﹣x）D．1000x＝2×600（22﹣x）【答案】A【解答】解：设安排x名工人生产螺钉，则（22﹣x）人生产螺母，由题意得：2×600x＝1000（22﹣x），故选：A．4．（2023秋•洛龙区期中）下列运用等式变形错误的是（）A．由a＝b，得a+6＝b+6B．由a＝b，得C．由，得a＝b D．由﹣2a＝﹣2b，得a＝﹣b【答案】D【解答】解：A．∵a＝b，∴a+6＝b+6，故本选项不符合题意；B．∵a＝b，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵＝，∴a＝b，故本选项不符合题意；D．∵﹣2a＝﹣2b，∴a＝b，故本选项符合题意．故选：D．5．（2023秋•新市区校级期中）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（）A．49B．60C．84D．105【答案】D【解答】解：设中间的数为x，则上一行3个数分别是x﹣8，x﹣7，x﹣6，下一行3个数分别是x+8，x+7，x+6，则这7个数的和为x﹣8+x﹣7+x﹣6+x+x+8+x+7+x+6＝7x，A．若7x＝49，则x＝7，不符合题意；B．若7x＝60，则，不符合题意；C．若7x＝84，则x＝12，不符合题意；D．若7x＝105，则x＝15，符合题意；故选：D．6．（2023秋•蔡甸区期中）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率恰好为10%，则该商品可以打（）折（利润率＝×100%）A．7B．7.5C．8D．8.8【答案】D【解答】解：设这种商品可以按x折销售，则售价为（5×0.1x）元，那么利润为（5×0.1x﹣4）元，所以相应的关系式为5×0.1x﹣4＝4×10%，解得：x＝8.8．答：该商品可以打8.8折，故选：D．7．（2023•九龙坡区校级开学）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟．现乙从B地先发出1分钟后，甲才从A地出发，问多久后甲、乙相遇？设乙出发x分钟时，甲、乙相遇，则可列方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟，∴甲的速度是，乙的速度是，由题意得．故选：A．8．（2023秋•雁塔区校级期中）若关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1的一组解为x＝3，y＝1，则a的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1【答案】A【解答】解：把x＝3，y＝1代入关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1得：2a﹣1＝3+2×1，2a﹣1＝5，2a＝6，a＝3，故选：A．9．（2023秋•深圳期中）关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设m+n＝x'，m﹣n＝y'，则关于m，n的二元一次方程组可以转化为，∵关于x、y的二元一次方程组的解为，∴关于x'、y'的二元一次方程组的解，∴，①+②得：2m＝6，解得m＝3，将m＝3代入①得：n＝﹣2，∴．故选：D．10．（2022秋•溧阳市期末）完全相同的4个白色小长方形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n 的大长方形则图中阴影部分的周长是（）A．4n B．2m+n C．2m+2n D．3m﹣n【答案】A【解答】解：设白色小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：x+2y＝m，∵大长方形的长、宽分别为m、n，∴左边阴影部分的长为（m﹣2y），宽为（n﹣2y），右边阴影部分的长为2y，宽为（n﹣x），∴阴影部分的周长＝2[（m﹣2y）+（n﹣2y）]+2[2y+（n﹣x）]＝2（m+n﹣4y）+2（2y+n﹣x）＝2（m+n﹣4y+2y+n﹣x）＝2（m+2n﹣2y﹣x）＝2[m+2n﹣（2y+x）]＝2（m+2n﹣m）＝4n，故选：A．11．（2023春•富县期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（）A．k≤1B．k≤2C．k≤﹣1D．k≤﹣2【答案】A【解答】解：两方程相加，得3x+3y＝5k﹣1，∴，∵，∴，解得：k≤1，故选：A．12．（2022春•朝天区期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（）①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y，则y＝﹣；A．①②B．②③C．②③④D．①③④【答案】D【解答】解：关于x，y的二元一次方程组，①+②得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a，（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确，（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确，（3）方程组，解得，∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，因此③是正确的，（4）方程组，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），即；y＝﹣+因此④是正确的，故选：D．13．（2022秋•成都期末）已知关于x，y的二元一次方程组为，则3x+2y的值为7．【答案】7．【解答】解：，①+②得：3x+2y＝7．14．（2023春•海林市校级期中）已知方程组和有相同的解，求a、b的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：先解方程组，解得：，将x＝2、y＝3代入另两个方程，得方程组：，解得：．15．（2023春•兖州区期末）如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元．求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨，根据题意得：，解得：．答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨．（2）8000×20﹣2000×50﹣960﹣1900＝57140（元）．16．（2023春•罗山县期末）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每辆小客车能坐m名学生，每辆大客车能坐n名学生根据题意，得，解得，m+n＝20+45＝65，答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．（2）①由题意得：20a+45b＝400，∴b＝，∵a、b为非负整数，∴或或，∴租车方案有三种：方案一：小客车20车、大客车0辆，方案二：小客车11辆，大客车4辆，方案三：小客车2辆，大客车8辆；②方案一租金：200×20＝4000（元），方案二租金：200×11+380×4＝3720（元），方案三租金：200×2+380×8＝3440（元），∵3720＞3440，∴方案三租金最少，最少租金为3440元．答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元．17．（2023春•围场县期末）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅．（1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；（2）当销售总收入为16760元时，①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮；②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值．【答案】（1）a的值为20；（2）①圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36篮；②b的值为9或18．【解答】解：（1）由题意，得160a+270a＝8600，解得：a＝20，答：a的值为20．（2）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y篮，由题意，得，解得：，答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36篮．②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，则，解这个关于m和n的方程组，可得：，∵n为正整数，∴＞0，且b应为9的倍数，解得：，又∵b＞0，∴b的值为9或18．答：b的值为9或18．1．（2023•衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A．当x＝1，y＝2时，方程左边＝2×1+3×2＝8，方程右边＝8，∴方程左边＝方程右边，选项A符合题意；B．当x＝2，y＝1时，方程左边＝2×2+3×1＝7，方程右边＝8，7≠8，∴方程左边≠方程右边，选项B不符合题意；C．当x＝﹣1，y＝2时，方程左边＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右边＝8，4≠8，∴方程左边≠方程右边，选项C不符合题意；D．当x＝2，y＝4时，方程左边＝2×2+3×4＝16，方程右边＝8，16≠8，∴方程左边≠方程右边，选项D不符合题意．故选：A．2．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7【答案】C【解答】解：移项得：3x﹣2x＝7，合并同类项得：x＝7．故选：C．3．（2023•南通）若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（）A．3B．C．2D．【答案】D【解答】解：由题意可得，解得：，则﹣2xy+1＝﹣2××+1＝﹣+1＝﹣+1＝﹣+1＝﹣+≤，∵3＞＞2＞，∴A，B，C不符合题意，D符合题意，故选：D．4．（2021•重庆）若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为3．【答案】3．【解答】解：把x＝2代入方程+a＝4得：+a＝4，解得：a＝3，故答案为：3．5．（2021•枣庄）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m 的值为1．【答案】1．【解答】解：依题意，得：6+m+8＝15，解得：m＝1．故答案为：1．6．（2023•连云港）解方程组．【答案】．【解答】解：，①+②得：5x＝15，解得：x＝3，将x＝3代入①得：3×3+y＝8，解得：y＝﹣1，故原方程组的解为：．7．（2022•荆州）已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．【答案】k＜2．【解答】解：①+②得：2x＝4，∴x＝2，①﹣②得：2y＝2，∴y＝1，代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，∴k＜2．答：k的取值范围为：k＜2．8．（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？【答案】（1）A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．（2）至多可以购买B种跳绳20根．【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．根据题意得：，解得：，答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（46﹣a）根，由题意得：30（46﹣a）+50a≤1780，解得：a≤20，答：至多可以购买B种跳绳20根．9．（2023•河北）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如下：投中位置A区B区脱靶一次计分（分）31﹣2在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次．脱靶4次．（1）求珍珍第一局的得分；（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k 的值．【答案】（1）6分；（2）k的值为6．【解答】解：（1）由题意可得：4×3+2×1+4×（﹣2）＝6（分），答：珍珍第一局的得分为6分；（2）由题意可得：3k+3×1+（10﹣k﹣3）×（﹣2）＝6+13，解得：k＝6．∴k的值为6．10．（2023•张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4560租金（元/辆）200300（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？【答案】（1）参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；（2）租用14辆45座客车更合算．【解答】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．根据题意，得，解得．答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），∵2800＜3000，∴租用14辆45座客车更合算．。

一元一次方程的解法（基础）知识讲解及巩固练习

⼀元⼀次⽅程的解法（基础）知识讲解及巩固练习1．（2015?⼴州）解⽅程：5x=3（x ﹣4）【答案与解析】解：⽅程去括号得：5x=3x ﹣12，移项合并得：2x=﹣12，解得：x=﹣6．【总结升华】⽅法规律：解较简单的⼀元⼀次⽅程的⼀般步骤：(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．(2)合并：即通过合并将⽅程化为ax ＝b (a ≠0)的形式．(3)系数化为1：即根据等式性质2：⽅程两边都除以未知数系数a ，即得⽅程的解b x a =．举⼀反三：【变式】下列⽅程变形正确的是( )．A ．由2x -3＝-x -4，得2x+x ＝-4-3B ．由x+3＝2-4x ，得5x ＝5C ．由2332x -=，得x ＝-1 D ．由3＝x -2，得-x ＝-2-3【答案】D类型⼆、去括号解⼀元⼀次⽅程2．解⽅程：【思路点拨】⽅程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从⽽解出⽅程．【答案与解析】（1）去括号得：42107x x +=+移项合并得：65x -=解得：56x =- （2）去括号得：32226x x --=-移项合并得：47x -=-解得：74x = 【总结升华】去括号时，要注意括号前⾯的符号，括号前⾯是“+”号，不变号；括号前⾯是“-”，各项均变号．举⼀反三：【变式】解⽅程： 5(x -5)+2x ＝-4．【答案】解：去括号得：5x -25+2x ＝-4．移项合并得： 7x ＝21．解得： x ＝3．类型三、解含分母的⼀元⼀次⽅程()()1221107x x +=+()()()232123x x -+=-3．解⽅程：4343431 623x x x+++++=．【答案与解析】解法1：去分母，得(4x+3)+3(4x+3)+2(4x+3)＝6．去括号，得4x+3+12x+9+8x+6＝6．移项合并，得24x＝-12，系数化为1，得12x=-．解法2：将“4x+3”看作整体，直接合并，得6(4x+3)＝6，即4x+3＝1，移项，得4x＝-2，系数化为1，得12x=-．【总结升华】对于解法l：(1)去分母时，“1”不要漏乘分母的最⼩公倍数“6”；(2)注意适时添括号3(4x+3)防⽌出现3×4x+3．对于解法2：先将“4x+3”看作⼀个整体来解，最后求x．举⼀反三：【变式】（2015?岳池县模拟）解⽅程：x+=﹣．【答案】解：去分母得：12x+30=24x﹣8﹣3x+24，移项合并得：﹣9x=﹣14，解得：x=．类型四、解较复杂的⼀元⼀次⽅程4．解⽅程：0.170.21 0.70.03x x--=【思路点拨】先将⽅程中的⼩数化成整数，再去分母，这样可避免⼩数运算带来的失误．【答案与解析】原⽅程可以化成：1017201 73x x-去分母，得：30x-7(17-20x)＝21．去括号、移项、合并同类项，得：170x＝140．系数化成1，得：1417x=．【总结升华】解此题的第⼀步是利⽤分数基本性质把分母、分⼦同时扩⼤相同的倍数，以使分母化整，与去分母⽅程两边都乘以分母的最⼩公倍数要区分开．5. 解⽅程：112 [(1)](1) 223x x x--=-【答案与解析】解法1：先去⼩括号得：11122 ()22233 x x x-+=-再去中括号得：11122 24433 x x x-+=-移项，合并得：511 1212x-=-系数化为1，得：115 x=解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23x x x--=-去⼩括号，并移项合并得：51166x-=-，解得：解法3：原⽅程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223x x x-+--=-去中括号，得1112 (1)(1)(1) 2243x x x-+--=-移项、合并，得51(1)122x--=-解得115 x=【总结升华】解含有括号的⼀元⼀次⽅程时，⼀般⽅法是由⾥到外或由外到内逐层去括号，但有时根据⽅程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的⽅法3：⽅程左、右两边都含(x-1)，因此将⽅程左边括号内的⼀项x变为(x-1)后，把(x-1)视为⼀个整体运算．举⼀反三：【变式】32[(1)2]2 234xx---=【答案】解：去中括号得：3(1)22 42xx--?-=去⼩括号，移项合并得：3-=，解得x＝-8类型五、解含绝对值的⽅程6．解⽅程|x|-2＝0【答案与解析】解：原⽅程可化为：2x=当x≥0时，得x=2，当x＜0时，得-x=2，即，x＝-2．所以原⽅程的解是x＝2或x＝-2．【总结升华】此类问题⼀般先把⽅程化为ax b=的形式，再根据ax的正负分类讨论，注意不要漏解．【巩固练习】⼀、选择题1．（2014春?唐河县期末）⽅程|2x ﹣1|=2的解是（） A. x= B. x=﹣ C. x=或x=﹣ D. x=﹣2．下列解⽅程的过程中，移项错误的是( )．A ．⽅程2x+6＝-3变形为2x ＝-3+6B ．⽅程2x -6＝-3变形为2x ＝-3+6C ．⽅程3x ＝4-x 变形为3x+x ＝4D ．⽅程4-x ＝3x 变形为x+3x ＝4 3. ⽅程1143x =的解是（）． A ．12x = B ．112x = C ．43x = D ．34x = 4．对⽅程2(2x -1)-(x -3)＝1，去括号正确的是( )．A ．4x -1-x -3＝1B ．4x -1-x+3＝1C ．4x -2-x -3＝1D ．4x -2-x+3＝15．⽅程1302x --=可变形为( )． A ．3-x -1＝0 B ．6-x -1＝0 C ．6-x+1＝0 D ．6-x+1＝2 6．3x -12的值与13-互为倒数，则x 的值为( )．A ．3B ．-3C ．5D ．-57．解⽅程21101136x x ++-=时，去分母，去括号后，正确结果是( )． A ．4x+1-10x+1＝1 B ．4x+2-10x -1＝1 C ．4x+2-10x -1＝6D ．4x+2-10x+1＝68. （2011⼭东⽇照）某道路⼀侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36⽶，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70⽶，则需更换的新型节能灯有（）．A ．54盏B ．55盏C ．56盏D ．57盏⼆、填空题9．(1)⽅程2x+3＝3x -2，利⽤________可变形为2x -3x ＝-2-3，这种变形叫________．(2)⽅程-3x ＝5，利⽤________，把⽅程两边都_______，把x 的系数化为1，得x ＝________．10．⽅程2x -kx+1＝5x -2的解是x ＝-1，k 的值是_______．11．（2014秋?铜陵期末）如果|a+3|=1，那么a= ．12．将⽅程1111124396x x x x +++=去分母后得到⽅程________． 13．(黔东南州)在有理数范围内定义⼀种运算“※”，其规则为a ※b ＝a -b ．根据这个规则，求⽅程(x -2)※1＝0的解为________．14．⼀列长为150m 的⽕车，以15m/s 的速度通过600m 的隧道，则这列⽕车完全通过此隧道所需时间是________s ．三、解答题15．解下列⽅程：(1)4(2x -1)-3(5x+2)＝3(2-x )；(2)12323x x x ---=-； (3)0.10.2130.020.5x x -+-= ． 16.（2015春?宜阳县期中）当k 取何值时，关于x 的⽅程2（2x ﹣3）=1﹣2x 和8﹣k=2（x+）的解相同？17．⼩明的练习册上有⼀道⽅程题，其中⼀个数字被墨汁污染了，成为31155x x ++?=-，他翻看了书后的答案，知道了这个⽅程的解是14，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把⼩明的计算过程写出来．【答案与解析】⼀、选择题1.【答案】C.【解析】由题意，2x ﹣1=2，或2x ﹣1=﹣2，解这两个⽅程得：x=，或x=﹣2. 【答案】A【解析】A 中移项未改变符号．3. 【答案】C【解析】系数化为1，两边同乘以4即可．4. 【答案】D【解析】A 中，去掉第1个括号时第⼆项漏乘，去掉第2个括号时，-3没变号；B 中，去掉第1个括号时第⼆项漏乘；C 中，去掉第2个括号时，-3没变号．5．【答案】C【解析】A 中，去分母时3没有乘以2，-1没变号；B 中，去分母时-1没变号；D 中，等号右边0乘以2应是0，⽽不应是2．6．【答案】A【解析】-3x-12与13-互为倒数，所以3x -12＝-3，x ＝3． 7. 【答案】C【解析】两边同乘以6得：2(21)(101)6x x +-+=，再去括号得：421016x x +--=．8. 【答案】B【解析】设有x 盏，则有(1)x -个灯距，由题意可得：36(1061)70(1)x -=-，解得：55x =．⼆、填空题9．【答案】(1)等式性质1，移项； (2)等式性质2，除以-3， 53-10．【答案】k ＝-6【解析】将1x =-代⼊得：2152k -++=--，解得：6k =-．11.【答案】﹣2或﹣4．【解析】∵|a+3|=1，∴a+3=1或a+3=﹣1，∴a=﹣2或﹣4．12．【答案】43x ＝6【解析】将⽅程两边乘以36，得18x+9x+12x+4x ＝6．13．【答案】x ＝3【解析】根据规则得：x -2-1＝0，x ＝3．14．【答案】50 【解析】6001505015+=(秒) ．三、解答题15．【解析】解：(1)8x -4-15x -6＝6-3x8x -15x+3x ＝6+4+6-4x ＝16x ＝-4(2)12323x x x ---=- 6x -3(1-x )＝18-2(x -2)11x ＝252511x = (3)原⽅程可化为：10201010325x x -+-=，约分得：5x -10-(2x+2)＝3，去括号得5x -10-2x -2＝3，移项及合并，得3x ＝15，系数化为1，得x ＝5．16.【解析】解2（2x ﹣3）=1﹣2x ，得x=，把x=代⼊8﹣k=2（x+），得8﹣k=2（+），解得k=4，当k=4时，关于x 的⽅程2（2x ﹣3）=1﹣2x 和8﹣k=2（x+）的解相同．17．【解析】解：将14x =代⼊，得： 113144155++=-．解得：3?=．所以被污染的数字为3．。

2024河南中考数学复习化归思想：解一元一次方程与不等式强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习化归思想：解一元一次方程与不等式强化精练基础题1.(2022青海省卷)根据等式的性质，下列格式变形正确的是()A.若a c ＝b c，则a ＝b B.若ac ＝bc ，则a ＝bC.若a 2＝b 2，则a ＝bD.若－13x ＝6，则x ＝－22.(2022包头)若m ＞n ，则下列不等式中正确的是()A.m －2＜n －2B.－12m ＞－12nC.n －m ＞0D.1－2m ＜1－2n3.(2023台州)不等式x ＋1≥2的解集在数轴上表示为()4.[新考法——纠错改错注重计算过程]小明解方程x ＋12－1＝x －23的步骤如下：解：①方程两边同乘6，得3(x ＋1)－1＝2(x －2)，②去括号，得3x ＋3－1＝2x －2，③移项，得3x －2x ＝－2－3＋1，④合并同类项，得x ＝－4，以上解题步骤中，开始出错的一步是()A.① B.② C.③D.④5.(北师七上P153第13题改编)方程3x －2＝4的解是()A.x ＝－2B.x ＝2C.x ＝－7D.x ＝76.(2023永州)关于x 的一元一次方程2x ＋m ＝5的解为x ＝1，则m 的值为()A.3 B.－3C.7D.－77.(2023陕西)解不等式：3x －52＞2x .8.(2023临沂)解不等式5－2x＜1－x2，并在数轴上表示解集．拔高题9.(2022滨州)在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝UR，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是()A.等式的性质1B.等式的性质2C.分式的基本性质D.不等式的性质210.(2023怀化)定义新运算：(a，b)·(c，d)＝ac＋bd，其中a，b，c，d为实数．例如：(1，2)·(3，4)＝1×3＋2×4＝11.如果(2x，3)·(3，－1)＝3，那么x＝________．参考答案与解析1.A2.D【解析】A.m－2>n－2，∴不符合题意；B.－12m<－12n，∴不符合题意；C.m－n>0，∴不符合题意；D.∵m>n，∴－2m<－2n，∴1－2m<1－2n，∴符合题意．3.B4.A【解析】方程两边同乘6应为3(x＋1)－6＝2(x－2)，∴开始出错的步骤为①.5.B【解析】移项得3x＝6，解得x＝2.6.A【解析】当x＝1时，2＋m＝5，∴m＝3.7.解：去分母，得3x－5＞4x，移项，得3x－4x＞5，合并同类项，得－x＞5，不等式的两边都除以－1，得x＜－5.8.解：去分母，得10－4x<1－x，移项、合并同类项，得－3x<－9，系数化为1，得x>3，在数轴上表示解集x>3如解图．第8题解图9.B【解析】将等式I＝UR，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的性质2.10.1【解析】由题意知(2x，3)·(3，－1)＝2x·3＋3×(－1)＝6x－3＝3，∴x＝1.。

中考数学复习考点知识与典型题专题讲解3---一元一次方程

中考数学复习考点知识与典型题专题讲解一元一次方程
内容包括以下 5 个方面考点知识点梳理+典型例题解析一、方程的意义二、一元一次方程的解法三、实际问题与一元一次方程（一）四、实际问题与一元一次方程（二）五、《一元一次方程》全章复习与巩固
一、方程的意义基础知识讲解
【学习目标】 1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系； 2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解； 3. 理解并掌握等式的两个基本性质. 【要点梳理】要点一、方程的有关概念
的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元
一次方程.
要点诠释： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
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2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是
方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程
3
3
(2)如果 ax+by＝-c，那么 ax＝-c+________； (3)如果 − 4 t = 3 ，那么 t ＝________．
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【答案与解析】

2024年中考数学一轮复习考点精讲专题训练—一次方程(组)

2024年中考数学一轮复习考点精讲专题训练—一次方程(组）→➊考点精析←一、方程和方程的解的概念1．等式的性质（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．2．方程:含有未知数的等式叫做方程．3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．二、一元一次方程及其解法1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤变形名称具体做法去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解为bx a=-注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．三、二元一次方程（组）及解的概念1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．解二元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．5．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．四、一次方程（组）的应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．→➋真题精讲←考向一一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是0ax b +=（,a b 是常数且0a ≠）．1．（2019·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程，则其解为_____．2x ＝2x =-21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝211m ∴﹣＝1m ＝0m ＝20x ﹣＝20x --＝2x ＝2x =-12112022x --=考向二解一元一次方程解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1．2．（2020·浙江杭州·中考真题）以下是圆圆解方程1323+--x x ＝1的解答过程．解：去分母，得3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝1．去括号，得3x +1﹣2x +3＝1．移项，合并同类项，得x ＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．3．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（）．A ．1-B ．1C ．0D ．22211☆=+-=+x x x 21x =☆11x +=0x =4.（2020·广西玉林·中考真题）观察下列按一定规律排列的n 个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n 等于（）A ．499B ．500C ．501D ．1002考向三新定义、阅读理解、规律问题5．（2020·西藏中考真题）观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n 个相同的数是103，则n 等于（）A ．18B ．19C ．20D ．21⋯n6(1)165n n -+=-n1061=⨯+7161=⨯+13261=⨯+19361=⨯+⋯n6(1)165n n -+=-65103n -=18n =nnA6．（2018·湖南常德·中考真题）阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a b cd称为22⨯阶行列式，并且规定：a b a d b c cd=⨯-⨯，例如：323(2)2(1)62412=⨯--⨯-=-+=---.二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为：x y D x DD y D ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；其中1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组213212x y x y +=⎧⎨-=⎩时，下面说法错误的是（）A ．21732D ==--B ．14x D =-C ．27y D =D ．方程组的解为23x y =⎧⎨=-⎩2132-11122-21312147x DD-=-217y D D =-7．（2020·湖北中考真题）对于实数,m n ，定义运算2*(2)2m n m n =+-．若2*4*(3)a =-，则a =_____．13-2*a4*(3)-2*4*(3)a =-2*(2)2m n m n=+-()22222162a a a *=+-=-()()()243422342*-=+-⨯-=2*4*(3)a =-16242a -=13a =-13-考向四一元一次方程的应用列方程解实际应用题的一般步骤：（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设：恰当设出关键未知数；（3）列：找出适当等量关系，列方程；（4）解：解方程；（5）验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义；（6）答：规范作答，注意单位名称．8．（2023·浙江温州·统考中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g ．设蛋白质、脂肪的含量分别为()g x ，()g y ，可列出方程为（）A ．5302x y +=B ．5302x y +=C ．3302x y +=D ．3302x y +=【答案】A【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g 列方程．【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为g x ，g y ，则碳水化合物含量为(1.5)g x ，则： 1.530x x y ++=，即5302x y +=，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．9．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm 的导线，将其全部截成10cm 和20cm 两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（）A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种【答案】C【分析】设10cm 和20cm 两种长度的导线分别为,x y 根，根据题意，得出152xy -=，进而根据,x y 为正整数，即可求解．【详解】解：设10cm 和20cm 两种长度的导线分别为,x y 根，根据题意得，1020150x y +=，即152xy -=，∵,x y 为正整数，∴1,3,5,7,9,11,13x =则7,6,5,4,3,2,1y =，故有7种方案，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键．10．（2019·贵州黔东南·中考真题）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.考向五二元一次方程（组）的定义（1）二元一次方程应满足：①含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程．（2）由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．11.(2020.湖北省中考模拟)下列方程中，是二元一次方程组的是A．4237x yx y+=⎧⎨+=⎩B．23225412a bx c-=⎧⎨-=⎩C．245xx y⎧=⎨+=⎩D．75x yxy+=⎧⎨=⎩4237x yx y+=⎧⎨+=⎩23225412a bx c-=⎧⎨-=⎩245xx y⎧=⎨+=⎩2x275x yx y+=⎧⎨-=⎩xy12．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组2x yA+=⎧⎨=⎩的解为11xy=⎧⎨=⎩，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．11xy=⎧⎨=⎩11xy=⎧⎨=⎩2x yA+=⎧⎨=⎩11xy=⎧⎨=⎩考向六解二元一次方程组二元一次方程组的两种解法：①加减消元法；②代入消元法．13．（广西桂林·中考真题）若|321|0x y--=，则x，y的值为（）A．14xy=⎧⎨=⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．2xy=⎧⎨=⎩D．11xy=⎧⎨=⎩32120x y x y--++-=321020x yx y--⎧⎨+-⎩＝＝32=1=2xyxy-⎧⎨+⎩①②11xy=⎧⎨=⎩14．（2019·四川内江·中考真题）若,,x y z为实数，且2421x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩，则代数式2223x yz-+的最大值是_____．2223x y z-+()()241212x yzxy z⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩1y z=+1y z=+2x z=-()()()222222223231101526x y z z z z z z z-+=--++=--+=-++5z=-2223x y z-+15．（2023·江苏连云港·统考中考真题）解方程组3827x yx y+=⎧⎨-=⎩【答案】31xy=⎧⎨=-⎩【分析】方程组运用加减消元法求解即可．【详解】解：3827x y x y +=⎧⎨-=⎩①②①+②得515x =，解得3x =，将3x =代入①得338y ⨯+=，解得1y =-．∴原方程组的解为3,1.x y =⎧⎨=-⎩【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．16．（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：213423x y x y -=⎧⎨+=⎩①②【答案】52x y =⎧⎨=⎩【分析】方程组利用加减消元法求解即可．【详解】解：将①2⨯得：242x y -=③+②③得：5x =将5x =代入①得：2y =所以52x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．17．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x ，y 的方程组321x y m x y n +=-⎧⎨-=⎩的解满足1x y +=，则42m n ÷的值是（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【分析】法一：利用加减法解方程组，用,n m 表示出,x y ，再将求得的代数式代入+1x y =，得到,m n 的关系，最后将42m n ÷变形，即可解答．法二：321x y m x y n +=-⎧⎨-=⎩①②中①-②得到()221m n x y -=++，再根据1x y +=求出23m n -=代入代数式进行求解即可.【详解】解：法一：321x y m x y n +=-⎧⎨-=⎩①②，+①②得421x m n =+-，解得214m n x +-=，将214m n x +-=代入②，解得2314m n y --=，1x y =+ ，21231144m n m n +---∴+=，得到23m n -=，2234222228m n m n m n -∴÷=÷===，法二：321x y m x y n +=-⎧⎨-=⎩①②①-②得：2221x y m n +=--，即：()221m n x y -=++，∵1x y +=，∴22113m n -=⨯+=，2234222228m n m n m n -∴÷=÷===，故选：D ．【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出,m n 的关系是解题的关键．18．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若21a b =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x ＋2y 的算术平方根为（）A ．3B ．3，－3CD21a b =⎧⎨=⎩21a b =⎧⎨=⎩3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩3522+=⎧⎨-=⎩x y x y 75x =75x =45y =7415223555+=+⨯==x y 319．（山东滨州·中考真题）若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b+--⎧⎨++-=⎩的解是_______．3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=⎩3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩12a b a b +=⎧⎨-=⎩3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=⎩12x y =⎧⎨=⎩3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩()()()()3=526a b m a b a b n a b ⎧+--⎪⎨++-=⎪⎩42546a b a +=⎧⎨=⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=⎩3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩12a b a b +=⎧⎨-=⎩12a b a b +=⎧⎨-=⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩考向七二元一次方程组的应用由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤：①弄清题意；②找准题中的两个等量关系；③设出合适的未知数；④根据找到的等量关系列出两个方程并联立成二元一次方程组．20．（2023·湖南·统考中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x 只鸡，y 只兔．依题意，可列方程组为（）A ．35,4294x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．94,4235x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．35,2494x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．94,2435x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】C【分析】根据等量关系“鸡的只数+兔的只数35=”和“2⨯鸡的只数4+⨯兔的只数94=”即可列出方程组．【详解】解：设有x 只鸡，y 只兔，由题意可得：352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：C ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系．21．（2023·黑龙江·统考中考真题）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A ，B ，C 三种图书，A 种每本30元，B 种每本25元，C 种每本20元，其中A 种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种【答案】B【分析】设采购A 种图书x 本，B 种图书y 本，C 种图书z 本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x 的数量分两种情况讨论求解即可．【详解】解：设采购A 种图书x 本，B 种图书y 本，C 种图书z 本，其中56,0,0,x y z ≤≤>>且,,x y z 均为整数，根据题意得，302520500x y z ++=，整理得，654100x y z ++=，①当5x =时，6554100y z ⨯++=，∴704,5zy -=∵0,0,y z >>且,y z 均为整数，∴当70410z -=时，2y =，∴15z =；当70430z -=时，6y =，∴10z =；当70450z -=时，10y =，∴5z =；②当6x =时，6654100y z ⨯++=，∴644,5zy -=∵0,0,y z >>且,y z 均为整数，∴当64420z -=时，4y =，∴11z =；当64440z -=时，8y =，∴6z =；当64460z -=时，12y =，∴1z =；综上，此次共有6种采购方案，故选：B ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键．22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4560租金（元/辆）200300(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？(2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？【答案】(1)参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；(2)租14辆45座客车较合算【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）由（1）结论求出所需费用比较即可．【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆依题意得4515 60(3)y xy x+=⎧⎨-=⎩解得：60013xy=⎧⎨=⎩，答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；（2）∵要使每位师生都有座位，∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，142002800⨯=，103003000⨯=，∵28003000<∴租14辆45座客车较合算．【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．23．（2023·四川广安·统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A B、两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B 种盐皮蛋共需310元．(1)A 种盐皮蛋、B 种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？(2)若某公司购买A B 、两种盐皮蛋共30箱，且A 种的数量至少比B 种的数量多5箱，又不超过B 种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【答案】(1)A 种盐皮蛋每箱价格是30元，B 种盐皮蛋每箱价格是20元；(2)购买A 种盐皮蛋18箱，B 种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元【分析】（1）设A 种盐皮蛋每箱价格是x 元，B 种盐皮蛋每箱价格是y 元，根据题意建立方程组，解方程组即可得；（2）设购买A 种盐皮蛋m 箱，则购买B 种盐皮蛋()30m -箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得m 的取值范围，再结合m 为正整数可得m 所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可．【详解】（1）解：设A 种盐皮蛋每箱价格是x 元，B 种盐皮蛋每箱价格是y 元，由题意得：9639058310x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3020x y =⎧⎨=⎩，答：A 种盐皮蛋每箱价格是30元，B 种盐皮蛋每箱价格是20元．（2）解：设购买A 种盐皮蛋m 箱，则购买B 种盐皮蛋()30m -箱，购买A 种的数量至少比B 种的数量多5箱，又不超过B 种的2倍，()()305230m m m m ⎧--≥⎪∴⎨≤-⎪⎩，解得35202m ≤≤，又m 为正整数，m ∴所有可能的取值为18，19，20，①当18m =，3012m -=时，购买总费用为30182012780⨯+⨯=（元），②当19m =，3011m -=时，购买总费用为30192011790⨯+⨯=（元），③当20m =，3010m -=时，购买总费用为30202010800⨯+⨯=（元），所以购买A 种盐皮蛋18箱，B 种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．。