旋转的复习

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九年级上册第23章旋转小结、复习、习题(新人教版)优秀课件省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

探究: 等边三角形绕它旳中心至少需要旋转多少度才干和本身重叠? 正方形呢？正角为 360 n
圆旳旋转角是任意角度
已知线段AB和点O，请画
旋转作图出线段AB绕点O按逆时针
旋转1000后旳图形. （1）拟定旋转中心；（2）拟定图形中旳M B′ 关键点；
；
2、点P（-1，3）绕着原点旋转90o后
与P'重叠，则P'旳坐标为
。
3、下列漂亮旳图案，既是轴对称图形又是中
心对称图形旳个数是( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.移动一块正方形（1）使得到图形只是轴对称图形；（2）使得到图形只是中心对称图形；（3）既是轴对称图形又是中心对称图形：
（3）作出将关键点沿指定旳方向旋转指
A′ N B
定旳角度后旳相应点；
（4）连结各点，得
到所需图形. 线段A′B′即O
为所求旳线段。
A
⑴如图,画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转900后旳相应三角形;
（2）.假如AD=1cm,那么点D旋转过旳途径是多少cm?
C B'
C' D
△AB′C′即为所求旳D三' 角形。
①具有某种性质旳一种图形 ②对称点在一种图形上
若把中心对称图形旳两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把中联络心对称旳两个图形看作一种整体，则成为中心对称图形。
中心对称和中心对称图形旳比较
由
.
非
由
有关原点中心对称旳性质
有关x轴对称旳点：横坐标不变,纵坐标互为相反数.
有关y轴对称旳点：横坐标互为相反数,纵坐标不变.
（4）请写出经过线段A1B1中点，并与直线AB平行旳直线旳解析式；（5）试猜测直线AB与直线A1B1旳位置关系，并阐明理由；

2019九年级数学上册知识点旋转复习

2019九年级数学上册知识点旋转复习
九年级数学上册知识点旋转复习
一、旋转
1、定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等。

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

⑶旋转前后的图形全等。

二、中心对称
1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质：1)关于中心对称的两个图形是全等形。

2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

5、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P’(-x，-y)
6、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P(x，y)关于x轴的对称点为P’(x，-y)。

7、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P(x，y)关于y轴的对称点为P’(-x，y)。

章复习第23章旋转

章复习第23章旋转（学案）一、旋转的定义及特征⑴定义：把一个图形____某一点0____________的图形变换叫做旋转，点O叫做________，转动的角叫做________．注：①图形的旋转是由________和________决定的；②________在旋转过程中是不动的；③旋转不改变图形的______________。

⑵特征：①________到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的________等于________；③旋转前、后的图形________．二、旋转作图的基本步骤⑴根据题意，确定________及________、________；⑵找出图形的关键点（如________）；⑶连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到这些关键点的对应点；⑷依次连接这些关键点的对应点，得到旋转后的图形．三、中心对称及中心对称图形⑴中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转________，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．注：①关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过________，而且被________所平分；②关于中心对称的两个图形是全等图形。

⑵中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

注1：常见的中心对称图形有：①线段；②相交直线；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦正六边形；⑧圆。

以上图形除平行四边形外，其余图形也是轴对称图形．注2：中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别，又有联系。

区别：(1)中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形；(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

(完整版)人教版九年级数学上册《旋转》知识点及复习题

第三单元旋转一、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

考点五、坐标系中对称点的特征（3分）1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）2、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）3、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）单元测试1．下列正确描述旋转特征的说法是（）A．旋转后得到的图形与原图形形状与大小都发生变化．B．旋转后得到的图形与原图形形状不变，大小发生变化．C．旋转后得到的图形与原图形形状发生变化，大小不变．D．旋转后得到的图形与原图形形状与大小都没有变化．2．下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（）A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分3．4．下列图形中即是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（）A．（l）（2）B．（l）（2）（3）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3（4）5．下列图形中，是中心对称的图形有（）①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形。

旋转复习

旋转：一.旋转的定义及其有关概念在平面内，将一个图形绕，这样的图形运动称为旋转，称为旋转中心，称为旋转角; 叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时针转动090得到B A '',这就是旋转, 就是旋转中心, 都是旋转角决定旋转的因素有三个:一是 ;二是 ;三是 .二.旋转的性质旋转不改变，旋转前后的两个图形是 . ⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同转动了相同的；⑵ 都是旋转角； ⑶对应点到的距离相等；.⑷ 相等，相等（即图形全等）.三:旋转作图1.明确作图的条件:(1)已知旋转中心;(2)已知旋转方向与旋转角.2.可以使用量角器，也可以用尺规作图（每个点都要满足连个条件：到旋转中心的距离相等；到相应对应点的距离相同）旋转作图的具体步骤为:（1）分析题目的要求,找出旋转中心、旋转角；（2）分析所作的图形，找出构造图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，旋转各个关键点。

四. 中心对称与中心对称图形① 中心对称：这两个图形关于这个点对称或中心对称。

其中，叫做对称中心、叫做对称点。

② 中心对称图形：，则这个图形叫做中心对称图形。

其中，这个点叫做该图形的。

③常见的中心对称图形有：。

④关于原点对称的点的坐标之间的关系： .五.旋转的典型类型1.正三角形类型在正ΔABC 中，P 为ΔABC 内一点，将ΔABP 绕A 点按逆时针方向旋转600，使得AB 与AC 重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（1-1-b ）中的个ΔP'CP 中，此时ΔP'A 为。

（二）正方形类型在正方形ABCD 中，P 为正方形ABCD 内一点，将ΔABP 绕B 点按顺时针方向旋转900，使得BA 与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（2-1-b ）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP' 为。

23.1图形的旋转(复习课)

姓名：23.1 图形的旋转(复习课)学习内容1．复习旋转的有关概念：旋转，旋转中心，旋转方向，旋转角．2．复习旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应到与旋转中心连线的夹角都等于旋转角；（3）旋转前后的两个图形是全等形．3．利用旋转解决有关的几何问题与实际运用．学习目标了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用．重难点1．重点：图形的旋转的基本性质及其应用．2．难点与关键：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质．学习过程一、复习导学1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？什么叫旋转的对应点？（画图或举实例说明）2．请独立完成：如图，正六边形ABCDEF能否看做是正三角形OAB通过怎样的若干次旋转所形成的图形？3、以点O作为旋转中心把△ABC旋转到△A′B′C′的位置．（1）线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？（2）∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？（3）△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？归纳：综合以上的实验操作和上题的三个问题你能总结出一些有关旋转的性质吗?（1）；（2）；（3）．二、知识运用：例1．以点O为旋转中心，，画出△ABC绕O点顺时针旋转60°后的图形，（1）点O在三角形内；（2）点O在点C上；（3）点0在三角形外CC(O) C例2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE=14， △ABF 是△ADE 的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF 的长度是多少？（4）如果连结EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？三、应用拓展例3．如图，正方形ABCD 中，一个以A 为顶点的45°的角绕点A 旋转，在旋转过程各角的边分别交直线BC 、CD 于点E 、F ，连结EF ，（1）当点E 、F 分别在边BC 、CD 边上时，试探究BE+•DF•与EF 的关系．（2）当点E 、F 分别在边BC 、CD 的延长线上时（如图2），还有（1）的关系吗？如果有，请说明理由，如果没有，请探究它们之间的关系，并说明理由。

第23章旋转复习课课件

B C
对应点到旋转中心的距离相等; 对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角.
用“旋转”来分析图案的形成过程.
如图:1.是由
为基本图案,
2.绕
旋转
次得到.
3.旋转角分别是:
。
4.这个图案至少绕中心点旋转才能与原图案重合。
度，
试一试
(2)如图,香港特别行政区区旗中央的紫荆花图案由 5 个相同的花瓣组成,它是由其中一个花瓣经过几次旋转得到的? 其中旋转角多少度?
3．写出函数y=- 3
x
与y=
3 x
具有的一个共同
性质________（用对称的观点写）．
☆归纳
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点O的对称点P/（-x,-y）．
☆练一练
1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（）
A．y= 1
x
B．y=2x+1
C．y=-2x+1
D．以上三种都不可能
2．如果点P（-3，1），那么点P（-3，1）关于原点的对称点P/的坐标是P/_______．
3
旋转后与另一图形重合
有一条对称轴—线
图形沿轴对折180
°
°
翻折后与另一图形重合
名称
线段
角
图形
等腰三角形
平行四边形
中心对称轴对称图对称中心，对称轴
图形Hale Waihona Puke 形线段中点是
是线段的中垂线和
线段本身所在的
直线
不是是
角平分线所在的直线
不是
是底边的中垂线
是不是对角线交点
名称
矩形
菱形正方形圆

旋转的单元复习

问题2、中心对称图形有什么特点？你能举出一些中心对称图形的例子吗？中心对称图形有哪些应用价值？中心对称图形指绕着中心点旋转180度后能与自身重合的图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。

常见的中心对称图形有平行四边形，菱形，正方形，圆等。

问题3、什么是中心对称？中心对称与中心对称图形有什么区别？中心对称：在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果它能够与另一个图形互相重合，那么这两个图形叫做关于这个点中心对称，这个点叫做它的对称中心。

这两个图形中的对应点叫关于中心的对称点。

区别：中心对称是指两个图形可完全重合，对称点在两个图形上；中心对称图形是一个特殊的图形，对称点在一个图形上。

问题4、在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么关系？两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′的坐标为（-x，-y）【师生活动】：教师引导学生思考以上问题，师生共同回顾本章的知识要点。

学生独自构建知识结构图。

【设计意图】：通过以上问题的解决，使学生对本章所涉及的知识点有了系统的认识，构建了知识体系。

同时也培养学生归纳总结的能力。

我们通过知识回顾，已经明确了相关的知识要点，灵活应用知识是检验是否学扎实学透彻的关键，现在让我们一起来研究下面的问题。

三、新知研学，重组建构【思路点拨】追问: 哪个角是旋转角？旋转角是多少度？答：∠ACA1 或∠BCB1 是旋转角。

旋转角是150°【解答过程】准确的找到对应角，利用三角形的内角和性质得：∠A1CB=∠B1CB-∠A1CB1=150°-30°=120°【小结归纳】应用旋转的性质计算角度。

针对练习：1.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB'C'，则等于（）A.60°B.105°C.120°D.135°【解答过程】由题意可得∠BA B′=60°，∠BAC=45，所以=105°2.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将三角形AOB绕点O逆时针旋转90°得到三角形COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为________．【解答过程】阴影部分的面积为9π4例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【思路点拔】（1）根据题意，找准旋转中心，旋转方向及旋转角度，补全图形即可；（2）由旋转的性质得∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS 得到△BDC与△EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【师生活动】学生独立解决问题，小组内交流结果，教师参与学生活动，适当引导。

第23章旋转小结与复习课件

所连线段都经过对称中心，并且被对称中心__平___分__．
3. 中心对称图形把一个图形绕某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与本来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
第23章小结与复习
4．关于原点对称的点的坐标
两点关于原点对称时，它们的对应坐标互为相反数，即点 P(x ，y) 关于原点的对称点为 P′(－x ，－y )．
(2) 旋转作图时要明确三个方面：旋转中心、旋转角度及旋转方向 (顺时针或逆时针)．
第23章小结与复习
考点二旋转变换例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE = BC，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90° 后得 CF，连接 EF．（1）补充完成图形；（2）若 EF∥CD，求证：∠BDC = 90°．
A2
易错提示：旋转作图不要搞错方向.
B2
第23章小结与复习考点三中心对称
例 5．(2021·黄冈中考)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( A ) A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
第23章小结与复习
例 6．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( C )
第23章小结与复习
解析：(1) 因为旋转角 90°，故用直角三角板及圆规可快速确定
对应点的位置；(2) 先根据关于原点对称的点的坐标确定对称顶点
的坐标，再依次连接得到所要画的图形.
解：(1) 如图所示.
y
A1
B
(2) 如图所示，
点 A2 的坐标为(－3，－2)，

九年级数学旋转复习教案

九年级数学旋转复习教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握旋转的定义、性质及运用，能够运用旋转解决一些实际问题。

2. 过程与方法：通过复习，让学生进一步理解旋转在现实生活中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：旋转的定义、性质及运用。

2. 教学难点：如何运用旋转解决实际问题。

三、教学过程：1. 复习导入：回顾旋转的定义和性质，引导学生思考旋转在现实生活中的应用。

2. 实例分析：出示一些实际问题，让学生运用旋转的知识解决，如图形变换、物体运动等。

四、教学策略：1. 情境创设：通过生活实例，激发学生学习兴趣，引导学生主动参与。

2. 问题驱动：提出实际问题，激发学生思考，培养学生解决问题的能力。

3. 分组合作：组织学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

五、课后作业：1. 完成练习题：巩固旋转的基本知识，提高运用旋转解决实际问题的能力。

2. 创新实践：让学生运用旋转的知识解决生活中的问题，培养学生的创新能力。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组合作中的表现，了解学生的学习状态。

2. 作业评价：通过学生完成的练习题和创新实践作业，评估学生对旋转知识的掌握程度以及运用能力。

3. 学生自评与互评：鼓励学生自我评价，进行同学之间的相互评价，促进学生自我发现不足，互相学习，共同进步。

七、教学反思：本节课结束后，教师应认真反思教学效果，包括学生的学习兴趣、课堂氛围、教学内容的难易程度、学生的参与度等，以便在今后的教学中进行调整和改进。

八、教学拓展：1. 深入了解旋转在几何图形中的应用，如圆的性质、坐标系中的旋转等。

2. 探索旋转在艺术、工程、计算机科学等领域的应用，拓宽学生的知识视野。

九、教学资源：1. 教材：九年级数学教材相关章节。

部编数学九年级上册23.10《旋转》全章复习与巩固(培优篇)(人教版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题23.10 《旋转》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是（）A ．M （1，﹣3），N （﹣1，﹣3）B ．M （﹣1，﹣3），N （﹣1，3）C ．M （﹣1，﹣3），N （1，﹣3）D ．M （﹣1，3），N （1，﹣3）2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接BE ，则12BE AB +的值为（）A B ．C D 3．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =．若将PAC △绕点A 逆时针旋转后，得到MAB △，则APB Ð等于（）．A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°4．如图，在Rt ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D 为BC 的中点，直角MDN Ð绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：①DEF V 是等腰直角三角形；②AE CF =；③12ABC AEDF S S =△四边形；④BE CF EF +=，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，CE ＝2BE ，EF ＝2，连按AF ，将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，则线段PE 的最小值为( )A ．B 2C ．4D 16．如图，在平面直角坐标系中，Y OABC 的顶点A 在x 轴上，定点B 的坐标为（8，4），若直线经过点D （2，0），且将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，则直线DE 的表达式是（）A ．y=x-2B ．y=2x-4C ．y=x-1D ．y=3x-67．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AC=BC ，把AB 绕点B 逆时针旋转一定角度到点D ，连接AD 、DC ，使得∠DAC=∠BDC ，当时，线段AC 的长（）A ．3B ．C ．D 8．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P （2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A 的坐标为（2，0），点Q 是直线l 上的一点，点A 关于点Q 的对称点为点B ，点B 关于直线l 的对称点为点C ，若点B 由点A 经n 次斜平移后得到，且点C 的坐标为（8，6），则△ABC 的面积是（）A ．12B ．14C ．16D ．189．在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---10．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()2,0，()0,2，()2,0-．一个电动玩具从原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点2021P 的坐标是（）.A ．()4,-0B ．()4,0C ．()4,4D ．()0,4-二、填空题11．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC =△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为_____．12．如图，在Rt △ABC 中，90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，线段BC 绕点B 旋转到BD ，连AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是___．13．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，60ABC Ð=°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是______．14．如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA =PB =PC个等边三角形ABC 的边长为________．15．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，E 是边AB 上一点，2AE =，F 是直线BC 上一动点，将线EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG ，连接CG ，DG ，则+CG DG 的最小值是________．16．如图，C 为线段AB 的中点，D 为AB 垂直平分线上一点，连接BD ，将BD 绕点D顺时针旋转60°得到线段DE ，连接AE ，若AB =6AE =，则CD 的长为 __________ ．17．如图所示，抛物线y ＝x 2+2x ﹣3顶点为Q ，交x 轴于点E 、F 两点（F 在E 的右侧），T 是x 轴正半轴上一点，以T 为中心作抛物线y ＝x 2+2x ﹣3的中心对称图形，交x 轴于点K 、L 两点（L 在K 的右侧），已知∠FQL ＝45°，则新抛物线的解析式为 __．18．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形AB 1C 1D 1 ；把正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 边长按原法延长一倍得到正方形 A 2 B 2 C 2 D 2 (如图1（2）)；以此下去，则正方形 A n B n C n D n 的面积为________．三、解答题19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(1，1)．(1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；(2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标____________；(3)请在x 轴上找一点D 得到▱ACDB ，则点D 的坐标为________，若直线y =32-x +b 平分▱ACDB 的面积，则b =_______．20．如图，一伞状图形，已知120AOB Ð=°，点P 是AOB Ð角平分线上一点，且2OP =，60MPN Ð=°，PM 与OB 交于点F ，PN 与OA 交于点E ．(1)如图一，当PN 与PO 重合时，探索PE ，PF 的数量关系(2)如图二，将MPN Ð在(1)的情形下绕点P 逆时针旋转a 度()060a <<°，继续探索PE ，PF 的数量关系，并求四边形OEPF 的面积．21．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB V V ≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE V 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.22．[问题提出]（1）如图,ABC ADE V V ①、均为等边三角形，点D E 、分别在边AB AC 、上．将ADE V绕点A 沿顺时针方向旋转，连结BD CE 、．在图②中证明△≌△ADB AEC ．[学以致用]（2）在()1的条件下，当点D E C 、、在同一条直线上时，EDB Ð的大小为度．[拓展延伸]（3）在()1的条件下，连结CD ．若6,4,BC AD ==直接写出DBC △的面积S 的取值范围．23．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM Ð=°，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.24．（1）观察理解：如图 1，ABC D 中，90,ACB AC BC Ð=°=，直线l 过点C ，点,A B 在直线l 同侧， ,BD l AE l ^^，垂足分别为,D E ，由此可得：90AEC CDB Ð=Ð=°，所以90CAE ACE Ð+Ð=°，又因为90ACB Ð=°，所以90BCD ACE Ð+Ð=°，所以CAE BCD Ð=Ð，又因为AC BC =，所以AEC CDB D @D （）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE AB ^，且,AE AB BC CD =^，且BC CD =，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中实线所围成的图形的面积S =_________；（3）类比探究：如图 3， Rt ABC D 中，90ACB Ð=°,4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转 90°至AB ¢，连接B C ¢，则AB C ¢D 的面积=_________ .（4）拓展提升：如图4，等边EBC D 中，3EC BC ==cm ，点O 在BC 上，且2OC =cm ，动点P 从点E 沿射线EC 以1cm/s 速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转 120°得到线段OF ，设点P 运动的时间为t 秒．①当t =________秒时，OF ∥ED ；②当t =________秒时，点F 恰好落在射线EB 上．参考答案1．C解：M 点与A 点关于原点对称，A 点与N 点关于x 轴对称，由平面直角坐标中对称点的规律知：M 点与A 点的横、纵坐标都互为相反数，N 点与A 点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．所以M （－1，－3），N （1，－3）．2．C【分析】连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，先利用勾股定理、旋转的性质可得2,60AB CAE =Ð=°，再根据等边三角形的判定与性质可得AE CE ==，然后根据勾股定理分别求出EH BE 、，由此即可得出答案．解：连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，在Rt △ABC 中，AC BC ==∴2AB ===，∴112AB =，由旋转可知：60AC AE CAE ==Ð=°，∴ACE V 是等边三角形，∴60AC AE EC ACE ===Ð=°，∴30BCE Ð=°，∴12EH EC ==∴CH ==∴BH BC CH =-=，∴1BE =====，∴1112BE AB +=+=故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．3．C【分析】利用旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形，从而求得∠APB的度数．解：连接PM，如图，由旋转性质可知，△APC≌△AMB，∴AP=AM，MB=PC=10，∵∠MAP=60°，∴△APM是等边三角形，∴PM=AP=6，∵PB=8，∴MB2=PB2+MP2，∴△PMB是直角三角形，∴∠MPB=90°，∵∠MPA=60°，∴∠APB=150°．【点拨】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，难度较大．通过旋转的性质得出△APM 为等边三角形以及△PMB 是直角三角形是解答本题的第一个关键．4．C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD =∠B =45°，根据同角的余角相等求出∠ADF =∠BDE ，然后利用“角边角”证明△BDE 和△ADF 全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE =DF 、BE =AF ，从而得到△DEF 是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE =CF ，判断出②正确；根据BE +CF =AF +AE ，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE +CF ＞EF ，判断出④错误．解：∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠B =45°，∵点D 为BC 中点，∴AD =CD =BD ，AD ⊥BC ，∠CAD =45°，∴∠CAD =∠B ，∠BDE +∠ADE =∠ADB =90°∵∠MDN 是直角，∴∠ADF +∠ADE =90°，∴∠ADF =∠BDE ，在△BDE 和△ADF 中，CAD B AD BD ADF BDE ÐÐìïíïÐÐî＝＝＝，∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴DE =DF ，BE =AF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确；∵AE =AB -BE ，CF =AC -AF ，∴AE =CF ，故②正确；∵△BDE ≌△ADF∴BDE ADFS S =V V ∴12ADE ADF ADE BDE BDA ABC AEDF S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形故③正确；∵BE +CF =AF +AE ＞EF ，∴BE +CF ＞EF ，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故选：C.【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、同角的余角相等，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．5．B【分析】连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，通过SAS 证明△AEF ≌△AGP ，得PG =EF =2，再利用勾股定理求出GE 的长，在△GPE 中，利用三边关系即可得出答案．解：连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，∵将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，∴AF =AP ，∠PAF =90°，∴∠FAE +∠PAE =∠PAE +∠PAG =90°，∴∠FAE =∠PAG ，在△AEF 和△AGP 中，,AF AP FAE PAG AE AG =ìïÐ=Ðíï=î∴△AEF ≌△AGP （SAS ），∴PG =EF =2，∵BC =3，CE =2BE ，∴BE =1，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AE ==，∵AG =AE ，∠GAE =90°，∴GE =，在△GPE 中，PE ＞GE -PG ，∴PE 的最小值为GE -PG 2，故选：B ．【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6．A【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．解：∵点B 的坐标为（8，4），∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），设直线DE 的函数解析式为y=kx+b ，则4220k b k b +=ìí+=î，解得12k b =ìí=-î，∴直线DE 的解析式为y=x-2．故选：A ．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．7．D【分析】如图（见分析），先根据等腰直角三角形的性质可得45,BAC AC AB Ð=°=，再根据旋转的性质、等腰三角形的性质可得,45AB BD ADC BAC =Ð=Ð=°，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得45,BEC ADC BE AD Ð=Ð=°=，从而可得,2,4BE AD AE DE BE AD ^====，最后利用勾股定理即可得．解：如图，过点C 作CE CD ^，交AD 于点E ，连接BE ，ABC Q V 是等腰直角三角形，AC BC =，45,BAC AB \Ð=°==，即AC AB =，由旋转的性质得：AB BD =，BAD BDA \Ð=Ð，DAC B B C C AC AD D \Ð+=ÐÐ+Ð，DAC BDC Ð=ÐQ ，45ADC BAC \Ð=Ð=°，CDE \V是等腰直角三角形，2,45CE CD DE CED \====Ð=°，又90DCE ACB Ð=Ð=°Q ，DCE ACE ACB ACE \Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCE Ð=Ð，在BCE V 和ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE ACD SAS \@V V ，45,BEC ADC BE AD \Ð=Ð=°=，90BED BEC CED \Ð=Ð+Ð=°，即BE AD ^，又AB BD =Q ，2AE DE \==（等腰三角形的三线合一），24BE AD DE \===，在Rt ABE △中，AB ==AC AB \===故选：D ．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解题关键．8．A【分析】连接CQ ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB ＝90，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．解：连接CQ ，如图：由中心对称可知，AQ ＝BQ ，由轴对称可知：BQ ＝CQ ，∴AQ ＝CQ ＝BQ ，∴∠QAC ＝∠ACQ ，∠QBC ＝∠QCB ，∵∠QAC +∠ACQ +∠QBC +∠QCB ＝180°，∴∠ACQ +∠QCB ＝90°，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，如图，∵A （2，0），C （8，6），∴AF ＝CF ＝6，∴△ACF 是等腰直角三角形，∵18090ACE ACB Ð=°-Ð=°，∴∠AEC ＝45°，∴E 点坐标为（14，0），设直线BE 的解析式为y ＝kx +b ，∵C ，E 点在直线上，可得：14086k b k b ì+=ïí+=ïî，解得：114k b ì=-ïí=ïî，∴y ＝﹣x +14，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴点B （n +2，2n ），由2n ＝﹣n ﹣2+14，解得：n ＝4，∴B （6，8），∴△ABC 的面积＝S △ABE ﹣S △ACE ＝12×12×8﹣12×12×6＝12，故选：A ．【点拨】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到B 的坐标是解本题的关键．9．A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．解：当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ´-=-，2510y y ´-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--×-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点拨】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．10．A【分析】根据题意，先求出前几次跳跃后1P 、2P 、3P 、4P 、5P 、6P 、7P的坐标，可得出规律，继而可求点2021P 的坐标．解：由题意得：点()14,0P 、()24,4P -、()30,4P -、()44,4P 、()54,0P -、()60,0P 、()74,0P ，∴点P 的坐标的变化规律是6次一个循环，∵20216336...5¸=，∴点2021P 的坐标是()4,-0．故选：A ．【点拨】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律，解题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标并总结出一般规律．11．1【分析】连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，根据∠C ＝90°，AC ＝BC =AB=2，根据旋转，得到∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，推出BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，得到C ′D 12=AB ′＝1，'60ABB Ð=°，推出1''302ABD B BD ABB Ð=Ð=Ð=°，得到BD =′C ′B ＝C ′D ＋BD ＝1．解：连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，如图，△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝BC=∴AB===2，∵△ABC绕点A逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，∴∠AC′B′＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝B′C′＝BC，AB＝AB′＝2，∠BAB′＝60°，∴BC′垂直平分AB′，△ABB′为等边三角形，∴C′D12=AB′＝1，'60ABBÐ=°，∴1''302ABD B BD ABBÐ=Ð=Ð=°，∴BD=∴C′B＝C′D＋BD＝1故答案为1【点拨】本题考查了旋转图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形，求出'C D，BD的长是解题的关键．12．3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，12B D长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD ＝2，∴112BD =．由题意可知，D 在以B 为圆心，BD 长为半径的圆上运动，∵E 为AD 的中点，∴E 在以BA 中点为圆心，12B D 长为半径的圆上运动，CE 的最大值即C 到BA 中点的距离加上12BD 长．∵90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，∴C 到BA 中点的距离即122AB =，又∵112BD =，∴CE 的最大值即1121322AB BD +=+=．故答案为3．【点拨】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E 点运动轨迹是解题的关键．13【分析】以AB 为边向右作等边△ABK ，连接EK ，证明△ABF ≌△KBE （SAS ），推出AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，EK 的值最小，求出EK 即可解决问题．解：如图，以AB 为边向右作等边△ABK ，由60ABC Ð=°可知点K 在BC 上，连接EK ，∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，EK的值最小，即AF的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAK＝∠AKB＝60°，∴∠AKE＝30°，∵AB＝AK＝2，AK＝1，∴AE＝12∴EK=，∴AF【点拨】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．14【分析】将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°得三角形BDA，过B作BH⊥直线AP于H，先证明三角形BDP为等边三角形，利用勾股定理逆定理得∠DPA=90°，进而得∠BPH=30°，利用勾股定理解直角三角形即可得答案．解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH ⊥直线AP 于H ，如图所示，由旋转知，△BDP 为等边三角形，AD =PC =，∴BP =PD =BD ，∠BPD =60°，∵PA ，∴222PD PA AD +=，∴∠APD =90°，∴∠BPH =30°，∴BH =12BP =，由勾股定理得：AB．【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，解题关键是作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中．15．13【分析】将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，由矩形的条件和旋转的性质可得3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，可说明四边形EBMH 是矩形，然后由正方形的性质可得到12CN =，GM CN ^，从而说明GM 是CN 的垂直平分线，进一步推导出CG DG NG DG ND +=+³，当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值，最后由勾股定理可求解．解：将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，∵在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，2AE =，∴3EB AB AE =-=，90B BCD Ð=Ð=°，5CD =，∴3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，∴90EHM Ð=°，∴四边形EBMH 是矩形，∴3BM EH ==，90BMH Ð=°，∴()229312CN CM ==´-=，GM CN ^，∴GM 是CN 的垂直平分线，∴CG NG =，∵F 是直线BC 上一动点，∴CG DG NG DG ND +=+³，∴当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值ND ，在Rt NCD V 中，12CN =，5CD =，13ND ===，∴+CG DG 的最小值是13．故答案为：13．【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，垂直平分线，三角形三边的关系，勾股定理等知识，采用了转化的思想方法．确定点C 关于GM 的对称点N 是解题的关键．16．9【分析】连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，可证△BDE 是等边三角形，利用等边对等角结合三角形内角和为180°求出18018022ADB ADE BAD EAD °-Ð°-ÐÐ=Ð=，，从而得到3601502BDE BAE °-ÐÐ==°，进而可求出∠HAE =30°．再根据含30度角的直角三角形的性质可求出EH ，AH ，再利用勾股定理即可先后求出BE 和CD ．解：如图，连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BE =BD ．∵C 为AB 中点，点D 在AB 的垂直平分线上，∴AD =BD =DE ，12BC AB ==∴18018022ADB ADE BAD EAD °-Ð°-ÐÐ=Ð=，，∴()36036022ADB ADE BDE BAD EAD °-Ð+Ð°-ÐÐ+Ð==，即3602BDE BAE °-ÐÐ=．∵∠BDE =60°，∴∠BAE =150°，∴∠HAE =180°-150°=30°．∵AE =6，∴132EH AE ==，∴AH ==∴BH AH AB =+=∴BE ==，∴BD =，∴9CD ==．故答案为：9．【点拨】本题考查了图形的旋转，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及含30°的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．17．y＝﹣x2+18x﹣77【分析】根据顶点式求得Q点的坐标，进而令0y=求得点,E F的坐标，作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，根据∠FQL＝45°，证明△PQF≌△NFM（AAS），进而求得点M的坐标，求得直线QL的解析式为y11133x=-，继而求得L（11，0），T点坐标为（4，0），根据中心对称的性质可得K（7，0），根据交点式即可写出新抛物线的解析式．解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴Q（﹣1，﹣4），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴E（﹣3，0），F（1，0），作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，如图，∵∠FQL＝45°，∴△QFM为等腰直角三角形，∴FQ＝FM，∵∠PFQ+∠PQF＝90°，∠PFQ+∠MFN＝90°，∴∠PQF＝∠MFN，∴△PQF≌△NFM（AAS），∴PQ＝FN＝4，MN＝PF＝2，∴M（5，﹣2），设直线QL的解析式为y＝kx+b，把Q （﹣1，﹣4），M （5，﹣2）代入得452k b k b -+=-ìí+=-î，解得13113k b ì=ïïíï=-ïî，∴直线QL 的解析式为y 11133x =-，当y ＝0时，11133x -=0，解得x ＝11，∴L （11，0），∵点E （﹣3，0）和点L （11，0）关于T 对称，∴T 点坐标为（4，0），∵点F 与点K 关于T 点对称，∴K （7，0），∵新抛物线与抛物线y ＝x 2+2x ﹣3关于T 对称，∴新抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣7）（x ﹣11），即y ＝﹣x 2+18x ﹣77．故答案为y ＝﹣x 2+18x ﹣77．【点拨】本题考查了二次函数的性质，中心对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定，求抛物线的解析式，求得对称中心是解题的关键．18．5n解：根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA 1B 1的面积是1，新正方形A 1B 1C 1D 1的面积是5，从而正方形A 2B 2C 2D 2的面积为5×5=25，正方形A n B n C n D n 的面积为5n ．考点：找规律-图形的变化【点拨】解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.19．(1)见分析(2)画图见分析，B 2(－5，－2)(3)(3，0)，6【分析】（1）分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1即可解答；（2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数；求得A2、B2、C2的坐标即可；（3）C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，即可得到点D（3，0）；求出平行四边形ACDB的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线y经过中心坐标，进而求得b；(1)解：如图，分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1，连接相应顶点得△A1B1C即为所求；(2)解：∵A（3，3），B（5，2），C（1，1），∴A、B、C关于原点的对称点坐标为：A2（-3，-3），B2（-5，-2），C2（-1，-1），如图，△A2B2C2即为所求，(3)解：如图，C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点D（3，0），连接相应顶点，四边形ACDB为平行四边形；∵A 点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点B ，∴BD 可由AB 平移得到，即BD ∥AB ，BD =AB ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∵C （1，1），B （5，2），平行四边形是中心对称图形，∴平行四边形ACDB 的中心坐标为（3，32），如图所示，当直线y 经过平行四边形中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等，∴（3，32）代入直线y =32-x +b ，可得b =6；【点拨】本题考查了图形旋转，中心对称图形的性质，坐标的平移和对称变换，平行四边形的判定和性质；掌握中心对称图形的性质是解题关键．20．（1）＝PE PF ，证明详见分析；（2）＝PE PF 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF 是等边三角形，得到PE=PF ；（2）过点P 作PQ ⊥OA ，PH ⊥OB ，根据角平分线的性质得到PQ=PH ，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF ，S 四边形OEPF =S 四边形OQPH ，求得OQ=1，解：（1）∵120AOB Ð°＝，OP 平分AOB Ð，∴60POF Ð°＝，∵60MPN Ð°＝，∴60MPN FOP ÐÐ°＝＝，∴PEF D 是等边三角形，∴＝PE PF ；（2）过点P 作PQ OA ^，PH OB ^，∵OP 平分AOB Ð，∴PQ PH ＝，90PQO PHO ÐÐ°＝＝，∵120AOB Ð°＝，∴∠QPH ＝60°，∴QPE FPH EPH Ð+Ð+Ð，∴QPE EPF ÐÐ＝，在QPE D 与HPF D 中EQP FHP QPE HPF PQ PH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴QPE HPF AAS D D ≌（），∴＝PE PF ，OEPF OQPH S S 四边形四边形＝，∵PQ OA ^，PH OB ^，OP 平分AOB Ð，∴30QPO Ð°＝，∴1OQ ＝，QP＝∴112OPQ S D ´´＝∴四边形OEPF 的面积＝2OPQ S D【点拨】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见分析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ）S £分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO Ð=Ð，再根据矩形的性质得CBA OAB Ð=Ð.从而BAD CBA Ð=Ð，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（ⅢS ££解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C Ð=Ð=°.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC V 中，有222AD AC DC =+，∴DC = 4==.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE Ð=°.又点D 在线段BE 上，得90ADB Ð=°.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB Ð=°，∴Rt ADB Rt AOB V V ≌.②由ADB AOB V V ≌，得BAD BAO Ð=Ð.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB Ð=Ð.∴BAD CBA Ð=Ð.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC V 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t =+-.解得175t =.∴175BH =.∴点H 的坐标为17,35æöç÷èø.（ⅢS ££【点拨】本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.22．（1）见分析；（2）60或120；（3）1212S ££【分析】（1）运用SAS 证明△≌△ADB AEC 即可；（2）分“当点E 在线段CD 上”和“当点E 在线段CD 的延长线上”两种情况求出EDB Ð的大小即可；（3）分别求出DBC △的面积最大值和最小值即可得到结论解：（1）,ABC ADE Q V V 均为等边三角形，AD AE \=，AB AC =，DAE BAE BAC BAE \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAEÐ=Ð在ADB △和AEC △中AD AE BAD CAEAB AC =ìïÐ=Ðíï=î()ABD ACE SAS \@V V ；（2）当,,D E C 在同一条直线上时，分两种情况：①当点E 在线段CD 上时，如图，∵ADE V 是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°，180120AEC AED \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC @V V ，120ADB AEC \Ð=Ð=°，1206060EDB ADB ADE \Ð=Ð-=-°=°Ð°②当点E 在线段CD 的延长线上时，如图，ADE Q V是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°180120ADC ADE \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC@V V 60ADB AEC \Ð=Ð=°，60EDB ADB ADE \Ð=Ð+Ð=° 60120+=°°综上所述，EDB Ð的大小为60°或120°（3）过点A 作AF BC ^于点F ，当点D 在线段AF 上时，点D 到BC 的距离最短，此时，点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图：ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==AF \==4DF \=此时1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；当D 在线段FA 的延长线上时，点D 到BC 的距离最大，此时点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图，ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==，AF \==4AD =Q4DF AF AD \=+=此时，1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；综上所述，DBC △的面积S 取值是1212S -££【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．23．（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见分析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是P 的坐标为（）【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN。

九年级数学旋转复习教案

九年级数学旋转复习教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握旋转的定义、性质及应用，能够运用旋转解决一些实际问题。

2. 过程与方法：通过复习，提高学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学运用能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

二、教学内容：1. 旋转的定义及性质2. 旋转在实际问题中的应用3. 旋转变换与坐标轴的交点4. 旋转变换与图形的大小、形状5. 旋转变换与图形的位置关系三、教学重点与难点：1. 教学重点：旋转变换的性质，旋转变换在实际问题中的应用。

2. 教学难点：旋转变换与坐标轴的交点，旋转变换与图形的大小、形状，旋转变换与图形的位置关系。

四、教学过程：1. 复习导入：回顾旋转的定义及性质，引导学生思考旋转在实际问题中的应用。

2. 自主学习：学生自主探究旋转变换与坐标轴的交点，旋转变换与图形的大小、形状，旋转变换与图形的位置关系。

3. 合作交流：学生分组讨论，分享各自的探究成果，解决存在的疑问。

4. 课堂讲解：教师针对学生的探究成果进行讲解，梳理知识点，解答学生的疑问。

5. 练习巩固：布置相关的练习题，让学生运用所学知识解决问题。

五、课后作业：1. 完成练习册上的相关习题。

2. 选择一道与旋转相关的实际问题，进行解答。

3. 总结旋转变换的性质及其在实际问题中的应用，准备课堂交流。

六、教学评估：1. 课堂讲解评估：观察学生在课堂讲解中的参与程度、理解程度和表达能力。

2. 练习巩固评估：检查学生在练习中的正确率，分析其错误原因，及时进行针对性讲解。

3. 课后作业评估：审阅学生的课后作业，了解学生对课堂知识的掌握情况，对存在的问题进行反馈。

七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使每个学生都能在复习过程中得到提高。

2. 利用多媒体课件，直观展示旋转变换的过程，帮助学生更好地理解旋转变换的性质。

3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队合作精神和口头表达能力。

九年级数学复习：旋转图形的性质

九年级数学复习：旋转图形的性质1．旋转图形的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．2．中心对称与中心对称图形的概念与性质．3．点P （x ，y ）关于原点的对称点P 为（－x ，－y ）．【板块一】利用旋转图形的性质求角度方法技巧1．利用等腰求角度；2．通过旋转“化散为聚”求角度．题型一利用旋转角求角度【例1】如图，在△ABC 中，∠CAB ＝70°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB C ⅱ的位置，使得CC ¢//AB ，则∠BAB ¢的度数是（）A ．70°B ．35°C ．40°D ．50°答案：C【解析】由CC ¢//AB 得∠C CA ¢＝∠CAB ＝70°，又AC ¢＝AC ，故∠AC C ¢＝∠C CA ¢＝70°，可得∠CAC ¢＝40°；由∠C AB ⅱ＝∠CAB 得∠B AB ¢＝∠CAC ¢＝40°，故选C ．题型二利用旋转的位置关系求角度【例2】如图，把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt △AB C ⅱ，点C ¢恰好落在边AB 上，连接BB ¢，则∠BB C ⅱ＝．答案：【解析】AB ¢＝AB ，∠ABB ¢＝1802B AB¢-Ð＝70°，∠BB C ⅱ＝90°－∠ABB ¢＝20°．【例3】一副三角尺按如图的位置摆放（顶点B ，C ，D 在一条直线上，点C ，F 重合），将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n °后得到△D E F ⅱ（0＜n ＜180），如果E F ¢//AB ，那么n 的值为．【解析】当E F¢//AB时，∠ACE¢＝∠BAC＝45°，n＝45．题型三利用旋转构造全等求角度【例4】如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，求∠BPQ 的度数．答案：【解析】将△APD绕点A顺时针旋转90°，得△AP B¢；)2＋()2)2，利用勾股定理逆定理可得到△BPP¢是直角三角形，∠APB＝135°，故∠BPQ＝145°．【例5】如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD，∠BAE＋∠BCD＝180°，M是ED的中点，连接AM，CM，且AM＝CM，求∠BCD的度数．答案：【解析】将△CDM绕点M旋转180°得△FEM，则△CDM≌△FEM，∴EF＝CD＝BC，∠FEM＝∠D，∴∠ABC＝∠AEF，证△AEF≌△ABC，∴∠BAC＝∠EAF，AC＝AF，又MF＝MC＝AM，∴△ACF为等腰直角三角形，∴∠CAF＝90°，又∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BCD＝180°－∠BAE＝90°．【点评】这一类题型具有的特点是：等线段、共端点以及特殊角．通过旋转“使相等的边重合，得出特殊图形”．【例6】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC，求∠APB的度数．【解析】将△APC 绕点A 顺时针旋转60°，得△ADB ，连接DP ，得AD ＝AP ，DB ＝PC ＝，∠DAP ＝60°，从而可证△ADP 为等边三角形，所以DP ＝AP ＝2，∠DPA ＝60°，在△DPB 中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP ＝90°，∠DPB ＝60°，从而可得∠APB ＝120°．针对练习11．如图，点P 是正三角形ABC 内的一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后得到△P AB ¢．（1）求点P 与点P ¢之间的距离；（2）求∠APB 的度数．答案：解：（1）连接PP ¢，由题意可知AP ¢＝AP ，∠PAC ＝∠P AB ¢，PC ＝P B ¢，又∵∠PAC ＋∠BAP ＝60°，∴∠PAP ¢＝60°．∴△APP ¢为等边三角形，∴PP ¢＝AP ＝AP ¢＝6．（2）∵2PP ¢＋BP 2＝2BP ¢，∴△BPP ¢为直角三角形，且∠BPP ¢＝90°，∴∠APB ＝90°＋60°＝150°．2．如图，点P 为等边△ABC 内一点，∠APB ＝113°，∠APC ＝123°，求证：以AP ，BP ，CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数．答案：解：将△APC 绕点C 逆时针旋转60°，得△BCP 1，∴AP ＝BP 1，∠BP 1C ＝∠APC ＝123°，由CP ＝CP 1，∠PCP 1＝60°得△PCP 1为等边三角形，∴PP 1＝CP ，∠CPP 1＝∠CP 1P ＝60°，这时，△BPP 1就是以BP ，AP ，CP 为三边构成的三角形，∠BP 1P ＝∠BP 1C －∠CP 1P ＝∠APC －60°＝63°，又∠BPC ＝360°－113°－123°＝124°，∴∠BPP 1＝∠BPC －∠CPP 1＝64°，∠PBP 1＝180°－63°－64°＝53°．3．如图，若点P 是正方形ABCD 外一点，PA ＝3，PB ＝1，PC ，求∠APB 的度数．答案：解：将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°得△BP A ¢，易证△BPP ¢为等腰直角三角形，∴PP ¢，AP ¢＝PC ，在△APP ¢中，AP 2＋2PP ¢＝2AP ¢，∴∠APP ¢＝90°，∴∠APB ＝45°．【板块二】利用旋转图形的性质求线段长或面积题型一利用旋转图形性质求线段长【例1】如图，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝BC ＝，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕点A 顺时针旋转至△ADE ，AE ，DC 交于点F ，当F 为CD 的中点时，求AF 的长．答案：【解析】过点D 作DM ⊥AE 于点M ，过点C 作CN ⊥AE 于点N ，DM ＝12AE ＝4，由△DMF ≌△CNF 得CN ＝DM ＝4，在Rt △ANC 中，AN ＝AM ＝DM ＝4，MN ＝MF ＝12MN ＝故AF ＝AM ＋MF ＝4＋题型二利用旋转图形性质求面积【例2】如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，求四边形AB 1OD 的面积．答案：【解析】AC ＝，AB 1＝1，故B 1C －1，在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝45°，故OB 1＝CB 1－1，1OB C S D ＝12OB 1·B 1C ＝32-，S △ADC ＝12DA ·DC ＝12，故S 1AB CD 四边形＝S △ADC －1OB C S D ＝12－32-＝22－1．【例3】在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，连接DP ，将DP 绕点D 逆时针旋转90°后得到线段DE ，连接PE ，点C 关于直线PE 的对称点是C ¢，连接C E ¢，C P ¢，C A ¢，若四边形AC ED ¢是平行四边形，PC ＝2，则平行四边形AC ED ¢的面积是．答案：【解析】过点P 作PQ ⊥CD 于点Q ，延长PC ¢交AD 于点G ，设C E ¢交DC 于点H ，则△PQD ≌△DHE ，∵PC ＝2，∴PQ ＝GD ＝DH ＝C G ¢＝，∵点C ¢与点C 关于PE 对称，∴PC ¢＝PC ＝QH ＝2，∴CD ＝AD ，∴AC ED S ¢ ＝AD ·DH ．针对练习21．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，BC ＝2，△A B C ⅱ是由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A ¢与点A 是对应点，点B ¢与点B 是对应点，连接AB ¢，且点A ，B ¢，A ¢在同一条直线上，则AA ¢的长为（）A ．6B C D ．3答案：解：在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，BC ＝2，故AB ＝4，AC A C ¢＝AC ，∠A ¢＝∠A AC ¢＝30°，故∠A CA ¢＝120°，过点C 作CH ⊥A A ¢于点H ，则HC ＝12AC ，A H ¢＝3，AA ¢＝2A H ¢＝6，故选A ．2．如图．在△ABC 中，∠BAC ＝150°，D ，E 为线段BC 上的两点，∠DAE ＝60°，且AD ＝AE ，若DE ＝3，CE ＝5，则BD 的长为．答案：解：将△ABC 沿BA 向上翻折至△BAF ，连接AF ，EF ，FC ，可得∠BAF ＝∠BAC ＝150°，∠FAC ＝60°，△AFC 为等边三角形，可证△ADC ≌△AEF ，∠AFE ＝∠ACD ，可得∠FEC ＝∠FAC ＝60°，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，EH ＝12EF ＝8×12＝4，HC ＝1，FH ＝43，设BD ＝x ，则BF ＝BC ＝x ＋8，在Rt △BFH 中，BF 2－BH 2＝FH 2即(x ＋8)2－(x ＋7)2＝48，x ＝332，故BD ＝332．3．如图，P 为等边△ABC 内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求S △AB C ．答案：解：在AC 右侧取点D ，使∠DAP ＝60°且DA ＝PA ，连接PD ，则△APD 为等边三角形，可证△ABP ≌△ACD （SAS ），DC ＝BP ＝4，PD ＝3，PC ＝5，PC 2＝PD 2＋DC 2，∠PDC ＝90°，过点A 作AE ⊥DC 于点E ，AE ＝12AD ＝32，DE ＝332EC 332，AC 2＝AE 2＋EC 2＝94＋16＋27433，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，在Rt △AFC 中，FC ＝12AC ，AF ＝22AC FC -32AC ，S △ABC ＝12×BC ×AF 34AC 22534＋9．【板块三】旋转图形中线段关系的探究方法技巧利用旋转“化散为聚”解决线段关系．题型一旋转图形中线段数量关系的探究【例1】如图，在等边△ABC 内有一点O ，试证明：OA ＋OB ＞O C ．答案：【解析】把△AOC以点A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO B¢的位置，则△AOC≌△AO B¢，¢，∴∠OAO¢＝60°，∴△AO O¢为等边三角形，∴AO＝OO¢，∴AO＝AO¢，OC＝O B¢，∠OAC＝∠O AB在△BOO¢中，OO¢＋OB＞BO¢，即OA＋OB＞O C．【例2】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转．（1）求证：BD＝CE；（2）如图2，若∠ADB＝90°，DE的延长线交BC于点F，交AB于点G．①求证：点F是BC中点；②若DA＝DB，BF＝2，直接写出AG的长为．答案：【解析】（1）证△ABD≌△ACE即可；（2）连EC，在DF上截取DN＝EF，连BN，由（1）知BD＝CE，可证∠BDN＝∠CEF＝30°，∴△DNB≌△EFC，∴BN＝FC，∠DNB＝∠EFC，∴∠BNF＝∠BFN，∴BN＝BF，∴BF＝FC，即F为BC的中点；（3）AG＝326，由题知BC＝2BF＝2，∴AB＝22，∴DA＝DB＝2，过G作GH⊥AD于H，∵∠GDH＝60°，∴设DH＝a，则GH＝AH＝3a，AG6a，又AD＝a3a，∴a3AG63326．题型二旋转图形中图形形状的确定【例3】如图，在正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90后，得到△ABQ连接EQ(1)求证:EA是∠QED的平分线;(2)探求以EF，BE，DF为三边的三角形的形状【解析】(1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，由∠EAF＝45，得∠DAF＋∠BAE＝45°，故∠QAE＝45°.故∠QAE＝∠FAE可证△AQE≌△AFE(SAS)∴∠AEQ＝∠AEF∴EA是∠QED的平分线(2)由(1)得△AQE≌△AFE，QE＝EF.又∠ABQ＝∠ADF＝∠ABD＝45°，故∠QBE＝90°在Rt△QBE中，QB2＋BE2＝QE2∴EF2＝BE2＋DF2，即以EF，BE，DF为三边的三角形是直角三角形针对练习31.如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE.(1)求证:△BDE≌△BCE;(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由解:(1)∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°∵AB⊥BC，;∠ABC＝90.∴∠DBE＝∠CBE＝30，∴△BDE≌△BCE(SAS)(2)四边形ABED为菱形，理由如下:由(1)得△BDE≌△BCE∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC∴BA＝BE，AD＝EC＝ED又BE＝EC，故AB＝BE＝ED＝AD，故四边形ABED为菱形2.给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形。

23章旋转复习课

二、知识演练
1.(2011· 天津 ) 下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是( )
2．(2011· 嘉兴)如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△ COD 是由△ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )A．30° B．45° C．90° D．135°
三、拓展提高
C
D B C
图2成立 …………………………………………1分过点C作CD⊥BF，交FB的延长线于点D …1分证出△AEC≌△BDC，∴CE＝CD，AE＝BD 2分证出四边形CEFD是正方形，∴CE＝EF＝DF …1分 ∴AF＋BF＝AE＋EF＋DF－BD，AF＋BF＝2CE …1分图3不成立 …1分应为AF－BF＝2CE 2分

4、把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够和____重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做____ ，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的 ____ 。
5、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过，并且被平分。反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被平分，那么这两个图形一定关于这一点成。
第23章旋转复习课
一、知识要点
基本概念
1、平面内，将一个图形绕一个动一个称为沿着某个转
，这样的图形运动称为旋转，这个定点，转动的角为，旋转不改变图形的
大小和形状。
2、图形中每一点都绕着的旋转了同样大小，对应线
，对应点到旋转中心的距离
3、图形绕着中心点旋转后能与自身重合，我们就把这种图形叫做中心对称图形, 这个中心点叫做。
2 •抛物线y=x -2x-3关于原点O(0,0)对

第二十三章旋转复习专业知识讲座

中心对称是旋转角为1800的旋转，对应点、对称点
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2、中心对称当的之处性，请质联系本人或网站删除。你能归纳到
什么结论？
（1）关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,并且被对称中心所平分。（2）关于中心对称的两个图形是全等形。
C A’
O B’
B A
C’
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把一个图形绕着某一点旋转1800,如果旋转后的图形能够和原来的图形相互重合,那么这个图形叫中心对称图形。
所学过的中心对称图形；
线段、平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）、圆、边数为偶数的正多边形等边三角形？平行四边形是轴对称图形吗？
() A、2 C B、4
C、8
D、6
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结BB’，用刻度尺找出BB’的中点O，则点
O即为所求（如图）
C A’
O B’
B
A
C’
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解法二：根据观察，B、B’及C、C’应是两
组对应点，连结BB’、CC’，BB’、CC’相交
于点O，则点O即为所求（如图）。
证法2：连结BG， ∵四边形ABCD，AEFG都是
正方形． ∴∠ABC=∠AGF=90 ° 由题意知AG=AB， ∴∠AGB=∠ABG， ∴∠HGB=∠HBG ∴HG=HB.
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