北京市2020届高考数学预测卷(Word版含解析)

北京高考压轴卷数学一、 选择题（本大题共10小题. 每小题45分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．1010B ．5 C ．5 D ．102．设集合{}1,0,1,2,3A =-，2{|20},B x x x =->则()R A B =I ð（ ） A ．{}1,3-B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,33．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．278-B ．18-C ．18D ．2784．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知坐标原点到直线l 的距离为2，且直线l 与圆()()223449x y -+-=相切，则满足条件的直线l 有（ ）条 A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()sin(2)6f x x π=+的单调递增区间是（ ）A ．()2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ．(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．(),,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．608．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12-9．已知1a =r ，则“()a a b ⊥+rr r ”是“1a b ⋅=-r r ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件10．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( )A ．存在x ，y ∈(0，1)，E (ξ)>12B ．对任意x ，y ∈(0，1)，E (ξ)≤14C ．对任意x ，y ∈(0，1)，D (ξ)≤E (ξ) D ．存在x ，y ∈(0，1)，D (ξ)>14二．填空题（本大题共5小题.每小题5分，共25分） 11．已知曲线()212f x x x =+的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为____________.12．函数2cos 2sin y x x =-的最小正周期等于_____.13．在△ABC 中，若30B =o ，23AB =2AC =,求△ABC 的面积 14．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝1，a 3＝100，则{a n }的通项公式a n ＝_____；设数列{lga n }的前n 项和为T n ，则T n ＝_____.15．已知函数，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号）①是奇函数；②在上是单调递增函数；③方程有且仅有1个实数根；④如果对任意，都有，那么的最大值为2.注：本题给的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其他得3分.三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）．（1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当2k =时，设12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T .17．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，2PA AD ==，1AB BC ==，Q 为PD 中点．（1）求证：PD BQ ⊥；（2）求异面直线PC 与BQ 所成角的余弦值． 18．已知函数()()22ln R f x a x x ax a =-+∈.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当0a >时，若()f x 在()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.19．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率； （Ⅱ）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 20．已知椭圆22:24C x y += （1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =u u u r u u u r．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．对于n ∈N *（n ≥2），定义一个如下数阵：111212122212n n nnn n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L，其中对任意的1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，当i 能整除j 时，a ij ＝1；当i 不能整除j 时，a ij ＝0．设()121nij j j nj i t j a a a a ===+++∑L ．（Ⅰ）当n ＝6时，试写出数阵A 66并计算()61j t j =∑； （Ⅱ）若[x ]表示不超过x 的最大整数，求证：()11 nnj i n t j i ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑；（Ⅲ）若()()11 n j f n t j n ==∑，()11ng n dx x =⎰，求证：g （n ）﹣1＜f （n ）＜g （n ）+1．KS5U2020北京高考压轴卷数学Word 版含解析参考答案1．【KS5U 答案】A【KS5U 解析】13iz z +=，1131313101010i z i i +===+-，||z =. 故选:A.2．【KS5U 答案】B【KS5U 解析】由220x x ->，得0x <或2x >，即{|0B x x =<或2}x >，={|02}R B x x ∴≤≤ð，又{}1,0,1,2,3A =-Q()={0,1,2}R A B ∴I ð.故选：B.3．【KS5U 答案】B【KS5U 解析】由()f x 满足(2)()f x f x +=， 所以函数的周期2T=，又因为函数()f x 为奇函数，且当01x ≤≤时，3()f x x =，所以51112228f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B4．【KS5U 答案】B【KS5U 解析】()21e 1cos cos 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()1e cos()1e x xf x x ----=-=+e 1cos e 1x x x -+ ()f x =-，故()f x 为奇函数，排除选项A 、C ；又1e(1)cos101ef -=<+，排除D ，选B.故选：B.5．【KS5U答案】A【KS5U解析】显然直线l有斜率，设l：y kx b=+，则22 1b k=+，即()2241b k=+，①又直线l与圆相切，23471k bk-+∴=+，②联立①②，34k=-，52b=-，所以直线l的方程为3542y x=--.故选：A6．【KS5U答案】C【KS5U解析】令222262k x kπππππ-+≤+≤+因此36k x kππππ-≤≤+故函数()sin(2)6f x xπ=+的单调递增区间是(),,36k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦故选：C7．【KS5U答案】B【KS5U解析】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h=；底面面积：1155322S=⨯⨯=∴三棱锥体积：1115410332V Sh==⨯⨯=本题正确选项：B 8．【KS5U 答案】C【KS5U 解析】试题分析：由已知得，抛物线22y px =的准线方程为2px =-，且过点(2,3)A -，故22p -=-，则4p =，(2,0)F ，则直线AF 的斜率303224k -==---，选C ． 9．【KS5U 答案】C【KS5U 解析】由()a a b ⊥+r r r ，则2()00⋅+=⇒+⋅=r rr r r r a a b a a b又1a =r，所以1a b ⋅=-r r若1a b ⋅=-r r ，且1a =r ，所以20+⋅=r r r a a b ，则()a a b ⊥+r r r所以“()a a b ⊥+r r r”是“1a b ⋅=-r r”的充要条件 故选：C10．【KS5U 答案】C【KS5U 解析】 依题意可得()2E xy ξ=，()()()()()()()222222222212121212D x xy y y xy x y x y x y x y x x y yxξ⎡⎤=-+-=-+-=-+-⎣⎦因为1x y +=所以()21222x y xy +≤=即()12E ξ≤故A ，B 错误；()()()()()()222221121212D x x x y yx x x y yx x yx ξ⎡⎤∴=-+-=-+=-⎣⎦01x <<Q1211x ∴-<-<()20211x ∴<-< ()D yx ξ∴<即()()12D E ξξ<，故C 成立； ()()()2211244x y D x yx xy ξ+=-<≤=Q 故D 错误故选：C11．【KS5U 答案】2【KS5U 解析】 由于()212f x x x =+，则()1f x x '=+， 由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值， 曲线21()2f x x x =+的一条切线斜率是3， 令导数()13f x x '=+=，可得2x =， 所以切点的横坐标为2. 故答案为：2． 12．【KS5U 答案】π【KS5U 解析】因为函数21cos 231cos 2sin cos 2cos 2222x y x x x x -=-=-=- 故最小正周期等于π. 故答案为：π13．【KS5U答案】【KS5U 解析】在ABC V 中，设BC x =，由余弦定理可得241230x =+-o ，2680x x -+=，2x ∴=，或4x =．当2x =时，ABC V的面积为111222AB BC sinB x ⋅⋅=⨯⋅= 当4x =时，ABC V的面积为111222AB BC sinB x ⋅⋅=⨯⋅=，14．【KS5U 答案】10n ﹣1()12n n -【KS5U 解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由题知q ＞0. ∵a 1＝1，a 3＝100， ∴q ==10， ∴a n ＝10n ﹣1；∵lga n ＝lg 10n ﹣1＝n ﹣1，∴T n ()12n n -=.故答案为：(1). 10n ﹣1 (2).()12n n -15．【KS5U 答案】①②④【KS5U 解析】根据题意，依次分析四个命题： 对于①中，，定义域是，且是奇函数，所以是正确的； 对于②中，若，则，所以的递增，所以是正确的；对于③中，，令， 令可得，，即方程有一根，，则方程有一根之间，所以是错误的； 对于④中，如果对于任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立， 若，即恒成立，而，若有，所以是正确的，综上可得①②④正确.16．【KS5U 答案】（1）②，理由见解析；（2）21n nT n =+ 【KS5U 解析】（1）①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+， 即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==. Q 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．（2）由（1）知()14222n k n a k kk -+=⋅=，所以当k =12n n a +=.因为12241+=-n n n a b n ， 所以2141n b n =-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，12111111L 1L 23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．【KS5U 答案】（1）详见解析；（2）3． 【KS5U 解析】（1）由题意在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，AD AB ⊥，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D，()002P ,,．因为Q 为PD 中点，所以()0,1,1Q ，所以()0,2,2PD =-u u u r ，()1,1,1BQ =-u u u r ，所以()()0,2,21,1,10PD BQ ⋅=-⋅-=u u u r u u u r，所以PD BQ ⊥．（2）由（1）得()1,1,2PC =-u u u r ，()()1,1,21,1,12PC BQ ⋅=-⋅-=-u u u r u u u r，PC =u u u r，BQ =u u u r,3PC BQ COS PC BQ PC BQ⋅==u u u r u u u ru u u r u u u r ，所以PC 与BQ．18．【KS5U 答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）)1e 1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【KS5U 解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222a x a x a ax x f x x x-++='-=.由()0f x '=得x a =或2a x =-. 当0a =时，()0f x '<在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递减区间是()0,+∞，没有单调递增区间. 当0a >时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 当0a <时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）当0a >时，()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 所以()f x 在()1,e 上有零点的必要条件是()0f a ≥， 即2ln 0a a ≥，所以1a ≥. 而()11f a =-，所以()10f ≥.若1a =，()f x 在()1,e 上是减函数，()10f =，()f x 在()1,e 上没有零点. 若1a >，()10f >，()f x 在()1,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数，所以()f x 在()1,e 上有零点等价于()e 01e f a ⎧<⎨<<⎩，即22e e 01e a a a ⎧-+<⎨<<⎩，解得)1e 12a <<.综上所述，实数a的取值范围是)1e 1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 19．【KS5U 答案】17100；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200 【KS5U 解析】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人， 所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P =． （Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，()124236C C 115C P X ===, ()214236C C 325C P X ===, ()304236C C 135C P X ===. 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=. 20．【KS5U 答案】（1）22142x y +=，2e =；（2）存在，7x ＝0或7x﹣【KS5U 解析】（1）由22142x y +=，得2,a b ==，进而c ==，2c e a ==； （2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =u u u r u u u r， 可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得（2+m 2）y 2﹣6m 2y +9m 2﹣4＝0，△＝36m 4﹣4（2+m 2）（9m 2﹣4）＞0，即m 2＜47， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝2262m m +，y 1y 2＝22942m m-+，① 由2PB PA =u u u r u u u r，可得（x 2，y 2﹣3）＝2（x 1，y 1﹣3），即y 2﹣3＝2（y 1﹣3），即y 2＝2y 1﹣3，②将②代入①可得3y 1﹣3＝2262m m +，y 1（2y 1﹣3）＝22942m m-+， 消去y 1，可得22232m m ++•22322m m -+＝22942m m -+，解得m 2＝2747<，所以7m =±， 故存在这样的直线l ，且方程为7xy＝0或7x﹣0．21．【KS5U 答案】（Ⅰ）66111111010101001001000100000010000001A ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，()6114j t j ==∑．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【KS5U 解析】（Ⅰ）依题意可得，66111111010101001001000100000010000001A ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，()61 12232414j t j ==+++++=∑．（Ⅱ）由题意可知，t （j ）是数阵A nn 的第j 列的和，可得()1nj t j =∑是数阵A nn 所有数的和．而数阵A nn 所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i ≤n ，不超过n 的倍数有1i ，2i ，…，n i i ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．得数阵A nn 的第i 行中有n i ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个1，其余是0，即第i 行的和为n i⎡⎤⎢⎥⎣⎦．从而得到结果．（Ⅲ）由[x ]的定义可知，1n n n i i i ⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦＜，得111 n nn i i i n n nn i i i===⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦∑∑∑＜．进而()1111 1?nni i f n i i ==-≤∑∑＜．再考查定积分11 n dx x ⎰，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论． 【详解】（Ⅰ）依题意可得，66111111010101001001000100000010000001A ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭．()6112232414j t j ==+++++=∑． （Ⅱ）由题意可知，t （j ）是数阵A nn 的第j 列的和，因此()1nj t j =∑是数阵A nn 所有数的和．而数阵A nn 所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i ≤n ，不超过n 的倍数有1i ，2i ，…，n i i⎡⎤⎢⎥⎣⎦．因此数阵A nn 的第i 行中有n i ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个1，其余是0，即第i 行的和为n i⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以()11 n nj i n t j i ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑． （Ⅲ）证明：由[x ]的定义可知，1n n ni i i⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦＜， 所以111 nn n i i i n n nn i i i ===⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦∑∑∑＜．所以()1111 1?n ni i f n i i ==-≤∑∑＜．考查定积分11 ndx x ⎰，将区间[1，n ]分成n ﹣1等分，则11n dx x ⎰的不足近似值为21 ni i =∑，11 n dxx ⎰的过剩近似值为111 n i i -=∑． 所以1211111n n n i i dx i x i -==∑∑⎰＜＜． 所以11 1ni i =-∑＜g （n ）11ni i=∑＜．所以g （n ）﹣1()11111?nni i f n i i==-≤∑∑＜＜＜g （n ）+1．所以g （n ）﹣1＜f （n ）＜g （n ）+1．。