1.3.3函数的最大(小)值与导数

3. 函数f(x)=x³ -3x+1在闭区间[-3,0]上的 最大值、最小值分别是（ A. 1，－1 C. 3，-17
C
）
B. 1，-17 D. 9，-19
4. 函数f(x)的定义域为R，导函数f ´(x) 的图象如图，则函数f(x) （ C ） A. 无极大值点，有两个极小值点 B. 有三个极大值点，两个极小值点
思考：
（1）如果函数f(x)在开区间（a,b） 有最值，在什么位置取最值？
答：在极值点位置
（2）如果函数f(x)在开区间（a,b） 上只有一个极值点，那么这个极值 点是否是最值点？
例如函数y=f(x)图像如下：
如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个 极值点，那么这个极值点必定是最值点。
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当x变化时, f (x ) ,f(x)的变化情况如下表:
3
3
x
f (x)
0
2 (0, 3 )
2 3
4 2 4 ( , ) 3 3 3
4 (3 , 2)
2
+ 0
0
π 3 + 3 2
-
0
2 3 π3 2
+
f (x)

函数f(x)在区间[0，2π]上的最大值是π, 最小值是0.
总结
C. 有两个极大值点，两个极小值点
D. 有四个极大值点，无极小值点
y
f ´(x)
o
x
习题答 x) = 6 x 2 x 2
(2) f ( x) = x3 27 x
f max = f (2) = 20
f min 1 49 = f( )= 12 24
f max = f (3) = 54
4 值为4，最小值为 3 .
1 3 因此函数 f ( x ) = x 4 x 4 在[0，3]上的最大 3
例2：求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最 大值与最小值.
= 4 x3 4 x = 4x x +1 x-1 . 解: y
令 y = 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y, y 的变化情况如下表:
12
2、求函数 f(x) = x 3 + x 在[-1，2]上的最大值与 最小值.
解
f / ( x) = 3x 2 1 0.
f(x)在[-1，2]上是增函数.
f (1) = 2, f (2) = 10.
因此函数 f ( x) = x x 在[-1，2]上的最大值
3
为10，最小值为 -2.
4) 函数的最值可在端点取得.
练习：1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内
的最大值和最小值. 解: f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的.
f′(x)=2x- 4
令f′(x)=0，即2x–4=0， 得x =2
f (1) = 8, f (2) = 1, f (4) = 3
故函数f(x) 在区间[-1，4]内的最大值为 8，最小值为-1
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探究一（闭区间上的最值问题）
y y
y=f(x)
y
y=f(x)
y=f(x)
a o a b o
x1 x2 x3
o
x4 x3
x
x4 x5
a
x1 x2
b x
x
x6
b
如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一 所有极值连同端点函数值进行比较， 条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值并 最大的为最大值，最小的为最小值 且在端点或极值点取得。
1 （2008安徽文）设函数 f(x) = 2x + -1(x < 0), 则 x f(x)（ A）
A．有最大值
B．有最小值
C．是增函数
D．是减函数
随堂练习
1. 已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数），在[-2 , 2]上有最大值3，函数在[-2 , 2]上的最小值
_____. -37
2. 函数f(x)=x3+ax+b，满足f(0)=0，且在x=1 时取得极小值，则实数a的值为_____. -3
(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；
•如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
结论
f(x0) =0
x0 是函数f(x)的极值点
f(x0) =0
x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点
x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 0 + 0 - 0 + y y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13
从上表可知,最大值是13,最小值是4.
1 例3： 求f(x)= x sinx在区间 2 值域？ 0， [0，2π]上的最值 . 1 解：f ( x) = cos x 2 2 4 令 f ( x) = 0解得 x1 = , x2 =
旧知回顾
极 值 的 判 定
y y=f(x) 在极大值点附近 f (x)>0 f (x)<0
f (x)<0 O a
f (x)>0 b x
x1 x2 在极小值点附近
左正右负为极大值
左负右正为极小值
求函数f(x)极值的步骤：
(1) 确定函数的定义域；
(2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根；
f min = f (3) = 54
习题答案
(3) f ( x) = 6 12 x x3
(4) f ( x) = 3x x3
f max = f (2) = 22
f max = f (2) = 2
f min = f (3) = 18
f min
1 55 = f ( ) = 3 27
f ( x ) = ax 3 6ax 2 b(a 0), x [1, 2] 例4:若函数 的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
解:令 f ( x ) = 3ax 2 12ax = 0 得x=0, x=4（舍去）. 当x变化时, f (x ) ,f(x)的变化情况如下表: x f’(x) f(x) -1 -7a+b (-1,0) + ↗ 0 (0,2) 0 b ↘ 2 0 -16a+b
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极 小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
注意
1) 函数的最值是整体性的概念；
2) 函数的最大值（最小值）唯一； 3) 函数的最大值大于等于最小值；
函数在什么条件下一定有最大、最小值？他 们与函数极值关系如何？
知识回顾：
最大值与最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
例1、求函数 f ( x ) = 1 x 3 4 x 4 在[0，3]上的最
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大值与最小值.
解：f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的.
= x 2 4 = ( x 2)( x 2) y
令 y = 0，解得 x1 = 2(舍去), x2 = 2
4 f (0) = 4, f (2) = , f (3) = 1 3
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
新 课 引 入
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并 不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效 益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效 益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求 一个函数的最大值和最小值问题
由表知,当x=0时,f(x)取得最大值b, 故b=3. 又f(-1)-f(2)=9a>0, 所以f(x)的最小值为f(2)=-16a+3=-29, 故a=2.
y y=f(x) o y y=f(x)
y
y=f(x)
a
b x
o a
y y=f(x)
b
x
o
a
b x
o a
b x
探究二（开区间上的最值问题）
结论：在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.