上学期拓扑学考试试卷答案(B)

中南大学拓扑学考试试卷参考答案（B ）
2009--2010学年 二 学期 拓扑学 课程
48 学时，3.0学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 70 %
时间:100分钟, 专业年级：数学与应用数学2008级
一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、B 2、C 3、A 4、D 5、C 二、简答题（每题4分，共20分） 1、1 A 空间
答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A 空间. 2、0T 空间
答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是0T 空间.
3、列紧空间
答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间. 4、同胚映射
答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和
1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.
5、正则空间
答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间.
三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）
1、设 1 2,T T 是集合X 的两个拓扑，则 1 2⋂T T 不一定是集合X 的拓扑( ) 答案:×理由：因为(1) 1 2,T T 是X 的拓扑，故 1,X φ∈T ， 2,X φ∈T ，从而 1 2,X φ∈⋂T T ；
(2)对任意的 1 2,A B ∈⋂T T ，则有 1,A B ∈T 且 2,A B ∈T ，由于 1 2,T T
是X 的拓扑，故 1A B ⋂∈T 且 2A B ⋂∈T ，从而 1 2A B ⋂∈⋂T T ；
(3)对任意的 1 2'⊂⋂T T T ，则 1 2,''⊂⊂T T T T ，由于 1 2,T T 是X 的拓扑，从而
A A '∈∈U T 1T , A A '∈∈U T 2T ,故A A '∈∈⋂U T 12T T ； 综上有 1 2⋂T T 也是X 的拓扑．
2、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )
答案:√ 理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因
为对任意A Y ⊂，都有1
)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而
1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的. 3、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则d A φ= （ ）
答案:√ 理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{}p 是X 的开子集，且有{}
{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.
4、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )
答案：√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令
c B A =，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离
子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空间. 四、证明题（共40分）
1、设{}i x 是2T 空间X 的一个收敛序列,证明：{}i x 的极限点唯一. (10分) 证明：若极限点不唯一，不妨设1lim i i x y →∞
=,2lim i i x y →∞
=,其中12y y ≠，由于X 是2T 空
间，故1y 和2y 各自的开邻域,U V ，使得U V φ⋂=.
因1lim i i x y →∞
=，故存在10N >，使得当1i N >时，i x U ∈；
同理存在20N >，使得当2i N >时，i x V ∈.令12max{,}N N N =,则当i N >时，i x U V ∈⋂，从而U V φ⋂≠,矛盾，故{}i x 的极限点唯一.
2、设(,)X T 为拓扑空间，证明X 是1T 空间的充分必要条件是X 的每一独点集都为闭集.(10分)
证明：（必要性）设x X ∈，{}c y x ∀∈，
由(,)X T 为1T 空间，故有y 的开领域V ，..s t x V ∉，所以{}c V x ⊂，所以{}c x 为开集，从而{}x 为闭集。

（充分性）设,,x y X x y ∀∈≠，由条件知{}x ,{}y 为闭集，故{}c x U y =∈U ，
{}c y V x =∈U ，..
,s t x V y U ∉∉，所以(,)X T 为1T 空间。

3、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个连续映射.如果X 是一个紧致空间，证明()f X 是Y 的一个紧致子集.(10分)
证明：设A 是()f X 的一个由Y 中的开集构成的覆盖.对于任意C ∈A ，1()f C -是X 中的一个开集，由于
c C X ∈⊃A
,从而有： 111()(
)(())C C f C f C f f X X ---∈∈=⊃=A
A
所以1={()|}f C C -∈1A A 是X 的开覆盖.由于X 是紧致空间，所以1A 有一个有限子覆盖，设为111{(),,()}n f C f C --.
因为11111()()()n n f C f C f C C X ---⋃
⋃=⋃
⋃=，从而1()n C C f X ⋃
⋃⊃，即
1{,,}
n C C 是A 的一个子族并且覆盖()f X ，因此()f X 是Y 的一个紧致子集.
4、 设X 为非空集合，令
{}{}|,C A A X C ==-⋃∅余有限其中为有限集T 为
试证：(1) (),X 余有限T 是一个拓扑空间；(5分)
(2) 若X 为无限集，(),X 余有限T 是连通空间；(5分)
(3)(),X 余有限T 是紧致空间。

(5分) 证明：(1)
()()()()001212121211221212121201.212,,3,,,X X A A A A A A A A A X C A X C C C de Morgan A A X C X C X C C A A X C C A ααααααα∈Γ
∅∈=-∅∈∈=∅=∅⋂=∅∈≠∅≠∅=-=--⋂=-⋂-=-⋃∈∈∀∈Γ=-⋃=余有限余有限余有限余有限余有限
余有限余有限由定义，.此外，设，，
或，则，，则其中，为有限集.根据公式，有
设不失一般性，令
其中为有限集，则T T T T T T T ()000123X C X C X αααα∈Γ
∈Γ
⋃--⋂∈余有限
余有限由可知，为上的一个拓扑。

A T T
(2) 注意()()()1212X C X C X C C -⋂-=-⋃≠∅；
(3) 对任意,,p q X p q ∈≠，则{}X p U q ＝－与{}q U X p =-分别为p 与q 的开邻域，且p q U ∉，q p U ∉，因此，()X,余有限T 为1T 空间。

设p U 为p 的任何开邻域，q U 为q 的任何开邻域，
则12X ,p q U C U X C =-＝－，其中1C ，2C 均为X 的有限子集，并且()()121
2p q U U X C X C X C C =--=-≠∅
所以，()X,余有限T 非2T 空间。

（4）设A 是X 的任一个开覆盖，任取0A ∈A ，则0A X C =-（C 为X 的有限集），再记1{,...,}n C x x =，由A 是X 的开覆盖，故,i A ∃∈A ..s t ,i i x A ∈1,...,i n =于是
1{|0,1,...,}i A i n ==A 是X 的有限子覆盖，(),X 余有限T 是紧致空间.。