物体平衡时的临界状态和极值问题

物体平衡时的临界状态和极值问题
所谓的临界状态是指一种物理现象转变为另一种物理现象，或者从一个物理过程转入到另一个物理过程的转折状态。

我们也可以将其理解为“恰好出现”或者“恰好不出现”某种现象的状态。

而平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要变化的状态。

所谓极值问题是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出现的最大值或者最小值。

研究物理极值问题和临界问题的基本观点有二：
1、物理分析：通过对物理过程分析，抓住临界或者极值条件进行求解；
2、数学讨论：通过对物理问题的分析，依据物理规律列出物理量之间的函数关系，用数学方法求极值。

这种方法一定要依据物理理论对解的合理性以及物理意义进行讨论或者说明。

研究临界问题的基本方法：一般采用先假设一种情况的存在，然后再根据平衡条件以及有关知识列方程求解。

研究平衡物体的极值问题有两种方法：
1、解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。

通常我们会用到的数学知识有：二次函数极值、均分定理求极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值；
2、图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值。

这种方法比较简便，而且很直观。

例1、如图1所示，物体的质量为2k g，两根轻绳AB和AC的一端
连接于竖直的墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水
平线成θ=60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围。

（北
京市海淀区试题）
解析：这是一个典型的临界问题。

作出物体A的受力图如图2所示，
由平衡条件有：
ΣF y=F cosθ－F2－F1cosθ=0 （1）
ΣF x=F sinθ+F1sinθ－mg =0 （2）
由（1）、（2）可得：F=mg/sinθ –F1（3）
F=F2/2cosθ +mg/2sinθ （4）
要使两绳都能绷直，则有F1≥0（5），F2≥0 （6）
由（3）、（5）得F有最大值F m ax=mg/sinθ=40/（3）N
由（4）、（6）可知F 有最小值F m in =mg /2sinθ=20/（3）N
综合有F 的取值范围为：20/（3）N≤F ≤40/（3）N
例2、如图3所示，位于斜面上的物体M 在沿斜面向上的力F 的作用下，处于静止状态，则斜面作用于物体的静摩擦力（ ）
（1）、方向可能沿斜面向上；（2）、方向可能沿斜面向下；（3）、
大小可能等于零；（4）、大小可能等于F 。

A 、仅（1）正确；
B 、仅（1）（3）正确；
C 、仅（2）（3）正确；
D 、全部正确。

解析：这是一个临界状态问题。

由于物体静止，其所受合力应该为零，如图4所示，除重力Mg 、拉力F 、支持力N 外，物体是否受到静摩擦力取决于这三个力的合力大小和方向，即：因摩擦力必须沿着斜面方向，有无摩擦力取决于Mg 沿斜面的分力与F 的合力的大小和方向。

假设有静摩擦力存在，并且其方向向下，以F 的方向为正方向，θ为斜面倾角，由平衡条件有：
F －Mg sinθ－f =0 ，即：f =F －Mg sinθ
于是有以下三种可能的临界状态：
当F >Mg sinθ时，f >0，方向沿斜面向下；
当F =Mg sinθ时，f =0，物体不受摩擦力；
当Mg sinθ=2F 时，f =F ，方向沿斜面向上。

例3、重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的力F 使得木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向如何？
解析：这是一道极值问题。

方法一：解析法。

木块在运动中受到摩擦力的作用，要
减小摩擦力，应当使作用力F 斜向上与水平方向的夹角为θ
时，F 的值最小。

木块受力分析如图5所示，由平衡条件可知：
F cosθ－μ f N =0，
F sin θ+f N －
G =0 ，解得：F =μG /cos+μsinθ
令tanψ=μ，sinψ=μ/（21μ+） ，cosψ=1/（21μ+） ，
cosθ+μsinθ=（21μ+）（cosθcosψ+ sin θsinψ）= （21μ+）cos （θ－ψ），
可见，当θ=ψ=arc tanμ时，F 有最小值为F m in =μG /（21μ+）
方法二：图解分析。

因为F f =μF N ，所以不论F N 如何改变，F f 与F N 的合力F 1的方向都不会发生改变，如图6、7所示，合力F 1与竖直方向的夹角一定为ψ=arctan （F f /F N ）=arc tanμ，可见，F 1、F 、G 三力平衡，应该构成一个封闭的三角形，当改变F 与水平方向的夹角时，F 1和F 的大小都会发生改变，而且F 1和F 方向垂直时F 的值最小。

由几何关系可得：
F m in =
G /sinψ=μG /（21μ+）
例4、建筑工地上的黄沙，堆成圆锥形，而不管如何堆，其角度是不变的，若测出其圆锥底的周长为12.5m ，高为1.5m ，如图8所示，试求：
（1）、黄沙之间的动摩擦因数；
（2）、若将该黄沙靠墙堆放，占场地的面积至少为多少？
解析：（1）沙堆表面上的沙粒受到重力、弹力和摩擦力的作用
而保持静止，则mg sinθ=μmg cosθ ，即μ=tanθ=h /R ，又因为l=2πr
故μ=2h π/l=0.75 θ=37°
（2）因为黄沙是靠墙堆放的，只能堆成半圆锥，由于体积不变，
θ不变，要使占场地面积最小，则R X 为最小，所以h X =μR X ，由圆
锥体的体积公式：V = πr 2h /3=μR X ×πR X 2/3 =μπR X 3/3=πR X 3/4，
因为只能堆成半个圆锥，所以πR X 3/8=πR 3/4 ，又因为R =l/2π=2m ，所以R X 3=16m ，占
地面积S X =πR X 2/2=2π（4）1/3m。