二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》二次函数PPT(第1课时)
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
人教版 数学 九年级 上册
二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
第1课时
素养目标
学习目标
1.会用配方法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式
y=a(x−h)2+k(a≠0).(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的
对称轴、顶点坐标.（重点）
复习巩固
【思考】
(1)你能说出函数y=2(x-1)2+3图象的开口方向、对称轴、顶点
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，
可把一般式转化为顶点式.
2. 利用配方法将抛物线y＝x2＋3x－1化为顶点式，并写出
其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2＋3x－1＝x2＋3x＋
－
－1＝ +
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为 −
为直线x＝－
.
，－
的形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－6x－3＝x2－6x＋9－9－3＝(x－3)2－12，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（3，－12），对称轴为直线x
＝3.
思路点拨：注意这里的配方法是在等号右边同“加”同“减”，
这与解一元二次方程中的配方法略有不同，不可混淆.
1. 利用配方法将抛物线y＝x2－8x化为y＝a(x－h)2＋k的形
2
－
，
人教版九年级数学上册课件：22.1二次函数的图像和性质(第1课时)
3．练习、巩固二次函数的定义
解：（1）由题意，得 2x 2y 18，y 9 x． ∵ x＞y＞0， ∴ x 的取值范围是 92＜x＜9， ∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
3．练习、巩固二次函数的定义
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x2 + 9x = 18，
3．练习、巩固二次函数的定义
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为 x m，宽为 y m，面积为 S m2（x＞y）．
（1）如果用 18 m 的建筑材料来修建绿地的边缘 （即周长），求 S 与 x 的函数关系，并求出 x 的取值范 围．
（2）根据小区的规划要求， 所修建的绿地面积必 须是 18 m2，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各 为多少 m ？
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第1课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了一次函数的基础上，继续进 行函数的学习，学习二次函数的定义，这是对函数知 识的完善与提高．
课件说明
• 学习目标： 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
• 学习重点： 理解二次函数的定义．
1．由实际生活引入二次函数
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午4时9分 28秒下午4时9分16:09:2821.11.7
2．通过实例，归纳二次函数的定义
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午4时9分21.11.716:09November 7, 2021
2.2二次函数的图象与性质第一课时
（1）列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
（2）描点. （3）连线.
y
O
-5-4 -3-2-1 1 2 3 45
x
-2
-4
-6
-8
y=-x2
探索新知 思考：（1）二次函数y=-x2与y=x2的图象形状是否相同？
（2）寻找二次函数y=-x2与y=x2的图象之间的联系以及区别
提出、分析问题？
谢谢观看 XIE XIE GUAN KAN
（2）在直角坐标系中描点. （3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图象.
10 y y=x2 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
探究新知
观察y=x2的图象，回答下列问题： （1）你能描述图象的形状吗？ （2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （3）当x <0时，随着x的增大， y的值如何变化？ x >0呢？ （4）当x取什么值时， y的值最小？
应用提高
3 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝x2的图象交于A(－1，1)和
B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取值范围是( D )
A．x<－1
B．x>2
C．－1<x<2
D．x<－1或x>2
4 已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3) 都在函数y＝x2的图象上，则( C )
练习提高
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象上的两点，当x1<x2<0时，y1 与y2的大小关系为_y_1＜__y_2__．
二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质教学设计
二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与性质【课时安排】4课时【第一课时】【教学目标】（一）知识技能目标。
1．使学生会运用描点法画二次函数21y x =+的图象，了解函数的性质；2．让学生通过观察，自主发现一般二次函数k ax y +=2图象的性质；3．让学生通过观察比较，发现二次函数k ax y +=2与2ax y =图象之间的关系。
（二）过程性目标。
经历二次函数k ax y +=2的画图和发现二次函数k ax y +=2图象性质过程，注重探索过程的参与和体验。
【教学重难点】理解y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 、k 对二次函数图象的影响。
【教学过程】一、创设情境（一）上一课我们学习了二次函数2ax y =的图象及性质，请大家回答下列问题。
说出下列各个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数增减性和最大（小）值。
2221.2,2.2,3.y x y x y ax ==-=思考：二次函数k ax y x y x y +=+-=+=222,12,12的图象及性质是怎么样的呢？这就是本课要学习研究的内容。
二、探究归纳仿照上一课的研究方法，我们通过画图象、观察图象来探究这几个函数的性质。
在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与122+=x y 的图象。
解：列表：x－3－2－10123......22x y =188202818 (1)22+=x y 199313919……描点、连线，画出两个函数的图象，如图所示。
观察。
当自变量取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两点之间的位置又有什么关系？答：当自变量取同一数值时，函数122+=x y 的函数值都比函数22x y =的函数值大1，反映在图象上，函数122+=x y 的图象上的点都是由函数22x y =的图象上的点向上移动了一个单位。
观察。
这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，它们有哪些相同的？又有哪些不同的？答：函数122+=x y 与22x y =的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。
二次函数图像与性质(第1课时)
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
－2 －4.5
4 ··· ···
－8
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
－4
你画出的图象与图中相同吗？
－2 －2 －4
请找出相同点与不同点：
－6
－8
y x2
4
增大
2
不同点：a 值越大，抛物线
的开口越小．
－4 －2
y 2x2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数
y
x2,
y
1 2
x2,
y
2x2
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
9 6 3
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0， 0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2的图象与性质课件数学湘教版九年级下册
y 1 x2 2
0
0.5
2
4.5 ···
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如图1.
利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线
把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了y=12x²的图象.
如图2.
图1
8
6
8
y 1 x2
6
2
图2
4
4
2
2
-4 -2
24
-4 -2
24
一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线 的开口越小.
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
问题1：视察图象，点A和点A'，点B和点B'，…，它们有什么
关系？由此你可以做出什么猜测？
问题2：从图象还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增
大时，纵坐标怎样变化？
y
y=x2的图象关于y轴对称， y轴就是它的对称轴.
A9
A'
B6
B'
图象在 y 轴右边的部分，函数
(3)若函数有最大值，则抛物线的开口向下， ∴ m+2<0，即m<－2，∴ m=－3. ∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为(0，0)， ∴当m=－3 时，函数有最大值0， 当x>0 时，y 随x 的增大而减小.
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2 的图象及性质
时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ (3)当m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何
值时，y 随x 的增大而减小？
人教版九年级上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)课件
b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x
2
2a
4a
2
b
4
ac
b
a x
.
2a
4a
2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac
b
y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2
2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21
北师大版九年级下册第二章二次函数2.2 二次函数的图象与性质(第1课时) 教学设计
第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第1课时）》一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法.在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法画函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法画函数2x y ±=的图象，并能根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.为此，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够利用描点法画函数2x y =的图象，能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质．2．猜想并能作出2x y -=的图象，能比较它与2x y =的图象的异同． 过程与方法1．经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数2x ±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.教学难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点.教学过程分析（一）创设问题情境，引入新课［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.（二）新课讲解1、作函数2x y =的图象［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？［生］记得. 列表，描点，连线.［师］非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出2x y =的图象.（1）列表：（2）在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.［师］同学们有没有什么疑惑？们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？［师］这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.[生]老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的.2、议一议对于二次函数2x y =的图象，（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.（2）图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当0<x 时，随着值的增大，的值如何变化？当0>x 时呢？（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.［生］（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影.（2）图象与x 轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.（3）当0<x 时，图象在y 轴的左侧随着x 值的增大，y 的值逐渐减小；当0>x 时，图象在y 轴的右侧，随着x 值的增大，y 的值逐渐增大.（4）观察图象可知，当x=0时，y 的值最小，最小值为0.（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是y 轴，从刚才的列表中可找到对应点（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）.［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下.3、2x y =的图象的性质［师］二次函数________2的图象是一条x y =，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.同学们在补充一下：［生］（1）最低点坐标是（0，0）.（2）在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大.（3）图象与x 轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）.（4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x ＝0时，y 最小值＝0.4、做一做PPT 显示：2x y -=二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数2x y =的图象有什么关系？与同伴进行交流.［师］请大家按照画图的步骤作出函数2x y -=的图象.［生］2x y -=的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与2x y =的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于x［师］下面我们试着讨论2x y -=的图象的性质.［生］（1）抛物线的开口方向是向下.（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.（3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴.在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.（4）图象与x 轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当0=x 时，y 最大值＝0.［师］大家总结得非常棒.5、2x y =函数与的2x y -=图象的比较.我们观察函数2x y =与2x y -=的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点.（1）、开口方向不同，2x y =开口向上，2x y -=开口向下.（2）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在2x y =图象上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 着的增大而减小，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大.在2x y -=的图象上正好相反.（3）、在2x y =中y 有最小值，即0=x 时，y 最小值＝0；在2x y -=中，y 有最大值.即当0=x 时，y 最大值＝0.（4）、2x y =有最低点，2x y -=有最高点.相同点：（1）、图象都是抛物线.（2）、图象都与x 轴交于点（0，0）.（3）、图象都关于y 轴对称.联系：它们的图象关于x 轴对称.6、思考拓展.［师］从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？［生］从2x y =和2x y -=两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的张口方向却正好相反.那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？［师］很善于思考.我们现在来看这几个二次函数的图象22x y =、23x y =（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象22x y -=、23x y -=（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？［生1］原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下.［生2]老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大.［师］说得非常好，对于2ax y =这类二次函数来说，a 与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）（三）布置作业设计思路：先通过列表描点连线初步得到2x y =的图象，进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解2x y =函数图象的性质特征.利用相同办法同时研究2x y -=图象的性质，并对两函数进行对比，体会造成图象不同的原因，并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数a 为正开口向上、二次项系数为负开口向下的疑问并画图验证，而由此又生发出a 的绝对值对其张口大小的思考，教师通过课件解惑并归纳.。
九年级数学上册教学课件《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)》
探究新知
22.1 二次函数的图象和性质
素养考点 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值
例 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②
2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( D )
探究新知 知识点 3Fra bibliotek22.1 二次函数的图象和性质
二次函数字母系数与图象的关系
一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数 图象的性质填空：
y
y
k1 _＜__ 0
k3 _＞__ 0
b1 _＞__ 0
b3 _＞__ 0
k2 _＞__ 0 b2 _＜__ 0
O
x
O
x
y=k1x+b1
y=k3x+b3
x2
-
6x
21
y 1 (x 6)2 2
2 4 6 8x
探究新知
22.1 二次函数的图象和性质
【思考5】 结合二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象，说出其
2
性质.
y
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小； 10
当x>6时，y随x的增大而增大.
开口方向： 向上. 对称轴： x=6. 顶点： (6,3).
例 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（ A ） A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）方法点拨：把函数的一般 B．开口向下，顶点坐标为（1，4） 式化为顶点式，再由顶点 CD．．开开口口向向上下，，顶顶点点坐 坐标标为为（（1﹣，14，）﹣4）式 顶确 点定 及开其口他方性向质、. 对称轴、 解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，
二次函数的图像与性质(第一课时)优质课件
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、 探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论 探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学 科组长组织组员针对疑难问题及 小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质 的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图 像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能 够y=x2比较出与 的图像的异同，初步建立二 次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min） 【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容 展示小组
14组小2源自2组组 合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论 ；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答 案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)
第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质
1.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质要点感知1 画二次函数的图象的基本步骤是、、.要点感知2 二次函数y=ax2(a＞0)图象的性质：(1)函数图象开口，并且有最低点;(2)对称轴为;(3)在对称轴的左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而，简记为“左降右升”;(4)当x=0时，函数有最小值，其最小值为.预习练习2-1 对于函数y=2x2，下列结论正确的是( )A.当x取任何实数时，y的值总是正数B.y的值随x的增大而增大C.y的值随x的增大而减小D.图象关于y轴对称知识点1 二次函数y=ax2(a>0)的图象1.二次函数y=4x2的图象的开口向，对称轴是，顶点坐标是.2.2的图象时，列出了如下的表格：x -3 -2.5 0 1 3y 36 4 0 25 36(1)根据表格可知这个二次函数的关系式是；(2)将表格中的空格补全.3.已知二次函数y=ax2的图象经过点A(1，2).(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.知识点2 二次函数y=ax2(a>0)的性质4.二次函数y=12x2不具有的性质是( )A.对称轴是y轴B.开口向上C.当x＜0时，y随x的增大而减小D.有最大值5.已知点E(a,h1)，点F(b,h2)是二次函数y=13x2的图象不同的两个点，h1=h2，则a，b的大小关系是( )A.a=bB.a=-bC.a ＞bD.无法确定 6.下列四个二次函数：①y=x 2，②y=2x 2，③y=12x 2，④y=3x 2，其中二次函数图象口从大到小的排列顺序是 . 7.已知函数y=(m+2)24m m x+-是关于x 的二次函数.求：（1）满足条件的m 值；（2）m 为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？8.已知原点是二次函数y=(m-2)x 2图象的最低点，则m 的取值范围是( )A.m ＞2B.m ＞-2C.m ＜2D.m ＜0 9.(2013·丽水)若二次函数y=ax2的图象过点P(-2,4)，则该图象必经过点( )A.(2,4)B.(-2,-4)C.(-2,4)D.(4,-2) 10.如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x 2，②y=23x 2，③y=43x 2的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是( )A.①②③B.①③②C.②③①D.②①③ 11.等边三角形的面积y 与边长x 之间的函数关系的大致图象是( )12.已知二次函数y=ax 2的图象经过点P(1，4)，则该函数的开口方向是 . 13.二次函数y=14x 2的图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它的图象有最 点，当x=2时，y= ；当y=1时，x= .14.已知正方形的周长为C cm ，面积为S cm 2，请写出S 与C 之间的函数关系式，并画出这个函数的图象.15.已知点A(2，m)是反比例函数y=6x和二次函数y=ax2的交点.(1)求此二次函数的解析式；(2)判断点B(4，8)是否也在此二次函数上，并说明理由.16.已知二次函数y=12x2，y=x2和y=2x2.(1)在如图所示的坐标系中画出它们的图象；(2)根据图象写出它们的顶点坐标、对称轴、开口方向；(3)函数y=12x2，y=x2和y=2x2的图象中开口最大的是哪个二次函数？开口最小的呢？挑战自我17.如图，点P是二次函数y=x2图象上第一象限内的一个点，点A的坐标为(3，0).(1)令点P的坐标为(x,y)，求△OPA的面积S与y的关系式；(2)S是y的什么函数？S是x的什么函数？参考答案课前预习要点感知1列表描点连线要点感知2(1)向上(0，0) (2)y轴或直线x=0 (3)减小增大(4)0预习练习2-1 D当堂训练1.上y轴(0，0)2.(1)y=4x2(2)-1 2.5 25 43.(1)y=2x2.图象略.(2)顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴.4.D5.B6.③①②④7.(1)m=2或m=-3;(2)当m=2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为（0，0），且当x>0时，y随x的增大而增大. 课后作业8.A 9.A 10.B 11.D 12.向上13.上y轴(0，0) 低 1 2或-214.由题意，得S=116C2(C＞0).列表：描点连线图象图略.15.(1)y=34x2.(2)当x=4时，代入y=34x2，得y=34×42=12≠8，所以点B(4，8)不在此二次函数上.16.(1)图略.(2)它们的顶点坐标都是(0，0)，对称轴都是y轴，开口都向上.(3)开口最大的是y=12x2，开口最小的是y=2x2.17.(1)过点P作PB⊥OA于点B,则PB=|y|,∵点P是抛物线y=x2上第一象限内的点,∴y＞0,∴PB=y.∴S=12PB·OA=12·y×3=32y(y＞0).(2)∵S=3 2 y,∴S是y的正比例函数. ∵y=x2,∴S=32y=32x2,∴S是x的二次函数.。
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT教学课件(第1课时)
抛物线
轴对称图形
开口方向
性
质
重点关注4
个 方 面
对 称 轴
顶点坐标
增 减 性
二次函数的图象与性质
第1课时
复习旧知
1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
的函数叫做x的二次函数.
2.画函数图象的主要步骤是什么？
（1）列表.
（2）描点.
（3）连线.
导入新知
3.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
（1）一次函数的图象是 一条直线
（2)反比例函数的图象是双曲线 .
出几对对称点.
是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；
如（1，1）和（-1，1）等.
练一练
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图
象的最低点.坐标为（0,0）
合作探究
二次函数y =－x2的图象是什么形状?
它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
0
1
2
3
···
··· 9
0
1
4
9
···
4
1
新知讲解
y
2.描点:根据表中x, y的数值在坐标平面
中描点(x, y).
9
6
3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得
到y = x2的图象.
3
-3
O
3
x
新知讲解
议一议
1.你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
九年级数学二次函数的图象和性质22.二次函数yax2+bx+c的图象和性质(听课)
二次函数
a 的取值
开口方向
对称轴
y＝ax2＋bx＋c
a>0
a<0
向上
向下
b
直线 x＝__－__2_a___
顶点坐标
－2ba，4ac4－a b2
12/13/2021
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
当 x<－2ba时，y 随 x 的增 当 x<－2ba时，y 随 x 的增
增减性 大而减小；当 x>－2ba时，大而增大；当 x>－2ba时，
解：这里 a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，① 对称轴是直线 x＝－m－2 1.②
∵当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，③∴－m－2 1＝1，④ 解得 m＝－1.⑤
12/13/2021
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
以上解答从第____④____步开始出现错误．
正确过程是－m－2 1____≤____1，解得 m____≥____－1.
12/13/2021
标为(0，c) c<0 交点在 y 轴负半轴上
12/13/2021
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
作用
说明
ab>0(a，b 对称轴在
b
决定图象对称轴的位置， 同号)
y 轴左侧
－2a
对称轴为直线 x＝－2ba ab<0(a，b 对称轴在
异号) y 轴右侧
－2ba，4ac4－a b2 决定图象顶点的位置
例 1 教材补充例题 把下列函数写成 y＝a(x－h)2＋k 的形
式，并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝－x2＋6x＋1； (2)y＝－2x2＋8x－8.
《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(1)》名师课件
∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上 两点， 1＜2＜3， ∴y1＜y2. 【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴， 再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
4.你能归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性 质吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质 活动 师生共研，探究性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质： (1)当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸. a＞0 b (2)对称轴是直线 x , 2a b 4ac b 2 顶点坐标为 ( , ). 2a 4a b (3)在对称轴的左侧，即相当于 x＜ 时， 2a y随x的增大而减小； b 在对称轴的右侧，即相当于 x 时， 简记为“左减右增”. 2a y随x的增大而增大；
1 2 解： y x 6 x 21 2 1 2 ( x 12 x 42) 2 1 2 ( x 12 x 36 6) 2 1 ( x 6)2 3 2
所以它的开口向上，对称轴是x=6， 顶点坐标是（6，3）.
对称轴和顶点坐标．
同学们自己画图！ 归纳： 一般式化为顶点式的思路：
b 4ac b 2 则： h , k . 2a 4a
2.在二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y＝a(x－h)2＋k中，
b 4ac b 2 h ,k . 2a 4a
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
九年级数学上册 第章 二次函数 . 二次函数的图象和性质 二次函数y=axbxc的图象和性质
.
第十六页，共二十五页。
6．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并判断抛物线有最大 值还是最小值．
(1)y＝x2－4x＋5； (2)y＝－14x2－32x＋4； (3)y＝－3x2－2x＋1； (4)y＝－12x2＋2x＋1.
第十七页，共二十五页。
解：(1)y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1， ∵a＝1>0， ∴开口向上，对称轴 x＝2，顶点(2,1)，y 有最小值． (2)y＝－14x2－32x＋4＝－14(x＋3)2＋245， ∵a＝－14<0， ∴开口向下，对称轴 x＝－3，顶点－3，245，y 有最大值．
B．4
C．5
D．6
第二十三页，共二十五页。
【解析】 过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E，交抛物线 y ＝14x2＋1 于点 P，此时△PMF 周长取得最小值．
∵F(0,2)，M( 3，3)，∴ME＝3， FM＝ 3－02＋3－22＝2， ∴△PMF 周长的最小值＝ME＋FM＝3＋2＝5.
第二十四页，共二十五页。
B．直线 x＝－2
C．直线 x＝－1
D．直线 x＝0
第十五页，共二十五页。
4．[2017·广州]当 x＝ 1 时，二次函数 y＝x2－2x＋6 有最小值 5 .
5．已知点 A(4，y1)，B( 2，y2)，C(－2，y3)都在二次函数 y＝(x－2)2－1
的图象上，则 y1, y2 ，y3 的大小关系是 y2<y1<y3
度，得到的函数解析式是( D )
A．y＝(x＋3)2－2
B．y＝(x＋3)2＋2
C．y＝(x－1)2＋2
D．y＝(x－1)2－2
第十四页，共二十五页。
3．[2016·衢州]二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
b 4ac b2
显然，二次函数y a( x
b
)2
4ac
b2
的顶点坐标为
2a
,
4a
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系
思考 探索二次函数函数y 1 x2 - 6x 21的图象和性质。 2
解：y
1 2
x2
6x
21
配
12（x 6）2 3
方
有哪几种画
图方法？
y
1 2
x2
6x
21
12（x 6）2 3
方法一：平移法
y
8
6
y 1 x2
4
2
y=ax2+bx+c (a≠0)
a(x2 b x) c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化
成y=a(x-h)2+k情势.
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 与的图象与性质
O
x
x
b 2a
（a>0）
O
x
x
b 2a
（a<0）
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2．二次函数 y＝ax2＋k 的性质 已知两个二次函数的图象如图 26－2－11 所示， 指出它们的 开口方向、对称轴、顶点坐标和最值．
图26－2－11
26.2 二次函数的图像与性质
[答案] ①开口向上、对称轴是y轴、顶点坐标为(0，2)、对应
的函数的最小值是2；②开口向下、对称轴是y轴、顶点坐标是 (0，－1)、对应的函数的最大值是－1. 链接知识——[新知梳理]知识点二
图象有最 高 ________ 点，当x ＝0时， 函数有最 大 值， ____ 且最大值
k 为____
26.2 二次函数的图像与性质
重难互动探究
探究问题一 二次函数y＝ax 2＋k的图象与性质
例 1 平面直角坐标系中分别作出二次函数 y＝－2x2， y＝－2x2 ＋3，y＝－2x2－3 的图象，并根据图象回答下列问题： (1)抛物线 y＝－2x2， y＝－2x2＋3 和 y＝－2x2－3 的开口方向、 顶点坐标、对称轴分别是什么？ (2)试说明函数 y＝－2x2＋3，y＝－2x2－3 的图象分别是由函 数 y＝－2x2 的图象怎样变化得到的？ (3)当 x 分别取何值时，函数 y＝－2x2，y＝－2x2＋3 和 y＝－ 2x2－3 有最大值？最大值分别是多少？
用类比的方法，猜想把二次函数 y＝x2 的图象向上平移 2 个 2 y ＝ x ＋2 单位，得到抛物线____________ ，把二次函数 y＝x2 的图象
2 y ＝ x －1 向下平移 1 个单位，得到抛物线______________ ．
链接知识——[新知梳理]知识点一
26.2 二次函数的图像与性质
26.2 二次函数的图像与性质
新 知 梳 理
知识点一 二次函数y＝ax 2＋k的图象与二次函数y＝ax 2的图 象的关系
2 y ＝ ax (1)二次函数 y＝ax ＋k 的图象与__________的图象形状完
2
全相同，只是顶点位置不同，对称轴仍为 y 轴． (2)二次函数 y＝ax2＋k 的图象可由二次函数 y＝ax2 的图象 向上 向下 ________( 或________) 平移得到． 当 k>0 时， 二次函数 y＝ax2 的图象向上平移 k 个单位， 得到 2 y ＝ ax ＋k 的图象； 二次函数__________ 当 k<0 时，二次函数 y＝ax2 的图象向下平移|k|个单位，得 2 y ＝ ax ＋k 的图象． 到二次函数__________
26.2 二次函数的图像与性 质
描点、连线，即可得到如图26－2－12所示的图象．
图26－2－12
26.2 二次函数的图像与性 质
(1)由图象可知，抛物线 y＝－2x2，y＝－2x2＋3 和 y＝－2x2 －3 的开口方向相同，都向下；顶点坐标分别为(0，0)，(0， 3)，(0，－3)，对称轴都为 y 轴． (2)由图象可知：抛物线 y＝－2x2＋3 是由抛物线 y＝－2x2 向 上平移 3 个单位得到的；抛物线 y＝－2x2－3 是由抛物线 y＝ －2x2 向下平移 3 个单位得到的． (3)当 x＝0 时，函数 y＝－2x2，y＝－2x2＋3 和 y＝－2x2－3 都有最大值，最大值分别为 0，3 和－3.
数 学
新课标（HS）数学 · 九年级下册
26.2 二次函数的图像与性质
2.二次函数 y＝ax ＋bx＋c 的图象与性质
第 1 课时 二次函数 y＝ax ＋k 的图象与性质
2
2
26.2 二次函数的图像数 y＝ax2 的图象是一条关于 y 轴对称的________
图象有最 低 ________ 点，当x ＝0时， 函数有最 小 值， ____ 且最小值
k 为____
26.2 二次函数的图像与性质
（续表）
函 数
a的
符号
图象
图象的开 口方向
对称 轴
图像的 顶点坐 标
增减性
最值
y＝ 2 ax +k
a＜0
向下 ________
y轴
当x<0时， y随x的增 大而 0 k (__,_) 增大 ； ______ 当x>0时， y随x的增 大而 减小 ________
26.2 二次函数的图像与性质
[解析] 此题考查二次函数 y＝ax2＋k 的图象与性质及与函 数 y＝ax2 的图象的关系．解答时，借助图象易得到相应结 论．
解：列表为：
x y＝－2x2 y＝－2x2＋3 y＝－2x2－3
… … … … －2 －8 －5 －11 －1 －2 1 －5 0 0 3 －3 1 －2 1 －5 2 －8 －5 －11 … … … …
2
… … …
…
26.2 二次函数的图像与性质
②描点、连线：
图26－2－10 [答案]略
26.2 二次函数的图像与性质
活动2
教材导学
1．二次函数 y＝ax2＋k 的图象与二次函数 y＝ax2 的图象的 关系
y＝2x＋3 ， 把直线 y＝2x 向上平移 3 个单位，得到直线____________ y＝2x－2 ， 把直线 y＝2x 向下平移 2 个单位，得到直线____________
[解析] (1)函数图象交点的意义是交点的坐标满足两个函数的
关系式，把P(1，b)的坐标代入直线对应的函数关系式，可求出
b的值，再把点P的坐标代入二次函数关系式，可得a的值．(2)
根据关系式的特点，由二次函数的增减性可得x的取值范围．
26.2 二次函数的图像与性质
解：(1)把 P(1，b)的坐标代入 y＝2x－3 中， 得 b＝2×1－3＝－1，∴P(1，－1)． 把 P(1，－1)的坐标代入 y＝ax ＋1 中， 得 a＋1＝－1， ∴a＝－2. (2)二次函数的关系式为 y＝－2x2＋1. ∵a＝－2＜0，函数图象开口向下， ∴在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小， 故 x＞0. 即当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．
26.2 二次函数的图像与性质
知识点二
函 数
二次函数y＝ax 2＋k的图象与性质
图象 图象的开 口方向 对称 轴 图像的 顶点坐 标 增减性 最值
a的
符号
y＝ 2 ax +k
a>0
向上 ________
y轴
当x<0时， y随x的增 大而 0 k (__,_) 减小 ； ______ 当x>0时， y随x的增 大而 增大 ________
下 ，顶点坐标是 (2) 二次函数 y ＝－ 3x2 的图象开口向 ______ (0，0) ． __________
(3)根据下面列表，在同一平面直角坐标系中，描点、连线画 1 2 1 2 1 2 出二次函数 y＝ x ，y＝ x ＋1，y＝ x －1 的图象 2 2 2
26.2 二次函数的图像与性质
①填表：
x
1 2 y＝ x 2 1 2 y＝ x 2 ＋1 1 2 y＝ x 2 －1 … － 3 －2 －1 0 1 2 3 9 9 1 1 2 0 _____ 2 … _____ ____ _____ _____ _____ _____ 2 2 2 2
11 11 3 3 3 _____ 1 _____ 3 2 2 … _____ ____ _____ _____ _____ 2 2 7 1 1 7 － － 1 _____ 1 －1 _____ 2 2 _____ 2 _____ 2 … _____ ____ _____
26.2 二次函数的图像与性质
[归纳总结] 作二次函数的图象的方法只能用描点法，在列表
时，一定要根据对称性列表．
26.2 二次函数的图像与性质
探究问题二
二次函数y＝ax ＋k与其他函数的关系
2
例 2 数 y＝ax2＋1 的图象与直线 y＝2x－3 交于点 P(1，b)． (1)求 a，b 的值； (2)写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数值 y 随 x 的增大而减小．