两条直线位置关系

11.3两条直线位置关系一、教学内容分析本小节的内容大致可以分为两部分：一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时, 两条直线的交点和位置关系; 第二课时, 两条直线的夹角; 第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用.在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中，我们用代数方法，在平面直角坐标系中，研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，体现了解析几何用方程研究曲线的基本思想.本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的基础上，抓住“形与数”的对应，理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解，将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题，由此得出两条直线的三种位置关系：相交、平行、重合，对于相应的二元一次方程组就是：有唯一解、无解、无数多个解.然后对两直线相交的情况作定量的研究，规定两条相交直线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角，通过分析两条相交直线的图形的几何性质，联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系，推导出两条直线的夹角公式.本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题，以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是：建立新旧知识的联系，寻找新知识的生长点，利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系，以及利用数量关系处理几何关系的方法.对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类讨论是本小节的一个重点问题，也是一个难点问题.二、教学目标设计理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解，会求两条相交直线的交点；掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合的方法；理解两条直线的位置关系在它们的方向向量及其法向量的关系上的反映，理解“形”与“数”之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论，运用已有知识解决新问题的能力，提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能力.三、教学重点及难点求两条直线的交点，掌握判断两条直线的位置关系的方法；两条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情境设置，导入新课用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线，移动两条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.思考并回答下列问题1、平面上两条直线有几种位置关系？各有什么几何特征？解答：两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合.从几何特征上看：相交⇔有唯一的公共点；平行⇔没有公共点；重合⇔至少有两个公共点，进而有无数个公共点. [说明]通过教具演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现两条直线的关系，由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出，垂直是相交的一种特殊情况.2、在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢？[说明]通过对已有相关知识的回顾，自然地提出此问题（暂不要学生回答），给出下面的引例，引导学生来到新知识的生成场景中.让学生带着问题学习，明确了本节课的学习目标，促进学生学习的主动性.二、学习新课关于两直线的交点、位置关系1、概念引入引例：解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+-21310362x y y x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131062x y y x ． 然后，请你回答：上述方程组所表示的两条直线的交点个数？如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？解答：由直线方程的概念，我们知道方程组（1）有唯一的解⎩⎨⎧=-=22y x ，两条直线有且只有一个公共点为)2,2(-；方程组（2）有无数组解，两条直线有无数个公共点； 方程组（3）无解，两条直线无公共点.[说明] ①启发学生观察，并得出如下结论：方程组（1）~（3）的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是相同的；方程组（1）的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例，引导学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.②在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入.2、概念形成一般地，设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）……①2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）……②两条相交直线的交点坐标思考并回答：如何求直线1l 、2l 的交点？解答：由直线与直线方程的对应关系，若两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，则交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解，反之，若两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线1l 、2l 交点的求法：联立1l 与2l 的方程:⎩⎨⎧=++=++002211c y b x a c y b x a ……(Ⅰ)，此方程组的解,即为直线1l 、2l 交点.两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系 思考并回答：由方程①②如何判断直线1l 、2l 的位置关系？解答：由引例分析、归纳出：直线1l 、2l 的三种位置关系：相交、平行、重合，对于直线1l 、2l 的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、无数多个解．因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线1l 、2l 的位置关系.联立1l 与2l 的方程，得方程组:⎩⎨⎧=++=++002211c y b x a c y b x a …(Ⅰ)，此方程组的解的个数与直线1l 、2l 交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:2211b a b a D =，2211bc b c D x --=，2211c a c a D y --=.则 当02211≠=b a b a D 时，方程组(Ⅰ)有唯一的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D y D D x yx ，此时1l 、2l 相交于一点，交点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D D D D y x ,. 当02211==b a b a D 且y x D D ,中至少有一个不为零时，方程组(Ⅰ)无解，此时1l 、2l 没有公共点，即直线1l 与2l 平行.当0===y x D D D 时，方程组(Ⅰ)有无穷多个解，此时1l 、2l 有无数多个公共点，即直线1l 与2l 重合.[说明]①这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”；②指出：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究.⏹ 回到引例请学生用上述结论，判断引例中三组直线的位置关系.[说明] ①与引例前后呼应.本环节的设计目的是使学生初步掌握判断直线位置关系的方法：通过计算由直线方程的系数构成的行列式D 、y x D D 、的值，判断两直线的平行、重合、相交. ②通过引例（2）（3）指出，前提条件是直线方程为一般形式.3、概念的辨析⏹ 两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系: 1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔0≠D 即1221b a b a ≠； 1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔0=D 且y x D D ,中至少有一个不为零；1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔0===y x D D D .⏹ 02211==b a b a D 时，1l 与2l 平行或重合，即02211==b a b a D 是1l 与2l 平行的必要非充分条件.换言之，2112b a b a =1l ∥2l ；若两条直线不重合，则1221b a b a =⇔1l //2l ．[说明] 引导学生得出：①两条直线的位置关系，可以通过计算系数构成的行列式得到；②对易出错的概念进行反思.4、例题分析例1已知直线1l ：313--=x a y 与2l ：01)1(2=+++y a x ，求实数a 的值，使直线1l 与2l 平行.（补充例题）解：先把直线1l 的方程化为一般形式1l ：013=++y ax .21//l l Θ,由0=D ,∴(1)60a a +-=，解得3-=a 或2=a ，当时3-=a 两方程化为0133=++-y x 与0122=+-y x 显然平行； 当时，2=a 两方程化为0132=++y x 与0132=++y x 两直线重合.∴2=a 不符合，∴3a =-即为所求．[说明]①学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，将学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．②强调0=D 是两直线平行的必要条件，求得的字母取值可能使两直线平行,也可能是重合，注意检验.例2 讨论直线下列各组直线之间的位置关系. （课本p17例2）(1)06:21=++y m x l 与023)2(:2=++-m my x m l ;(2) )3(1:11-=-x k y l 与)3(1:22+=-x k y l .[说明]①及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握.同时强调规范的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解，在解题步骤和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考，以及严谨认真的数学学习习惯;②小题(2)是直线方程的点斜式,需要先化为直线方程的一般形式.例3求经过原点且经过直线022:1=+-y x l 与直线022:2=--y x l 的交点的直线方程．解：解方程组：⎩⎨⎧=--=+-022022y x y x 得⎩⎨⎧==22y x ，∴1l 与2l 的交点是)2,2(， 设经过原点的直线方程为kx y =，把点)2,2(代入，得1=k ， 所以，所求的直线方程为x y =．[说明]例题的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用，由浅入深，循序渐进的不同层次要求.例4 若三条直线1l ：023=+-y x ，2l ：032=++y x ，3l ：0=+y mx ，当m 为何值时，三条直线不能构成三角形？（补充例题） 解:三条直线不能构成三角形⇔三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行.（1）若三条直线交于同一点时,解方程组⎩⎨⎧=++=+-032023y x y x , 得⎩⎨⎧-=-=11y x ，即1l 与2l 的交点是（1,1--），把点（1,1--）代入直线3l 的方程得1-=m ．（2）若其中至少有两条直线平行时，由1l //2l 得：3-=m ; 由32//l l 得:2=m ，综上：当1-=m 或3-=m 或2=m 时三条直线不能构成三角形.[说明]①本例为直线位置关系的综合运用，涉及到求直线的交点及直线的平行或重合时,系数应满足的条件,因此,需要分类讨论的思想方法.②解决三条直线交于一点的问题时,一般先求出其中两条直线的交点,再根据此交点也在第三条直线上，列式求解.5．问题拓展⏹ 从向量的角度,两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢?1l 与2l 的一个方向向量分别是1d =),(11a b -,2d =),(22a b -;一个法向量分别是1n =),(11b a ,2n =),(22b a .则1l 与2l 有如下关系：相交⇔1d 不平行2d ⇔1d 不垂直2n ⇔02112≠-b a b a ;平行⇒1d 平行2d ⇔1d 垂直2n ⇔02112=-b a b a ;重合⇒1d 平行2d ⇔1d 垂直2n ⇔02112=-b a b a .⏹ 三种位置关系可以用直线的斜率表示吗？由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论.若至少有一条直线的斜率不存在，则设此直线方程为1x x =,通过图示观察,易知其关系.若两直线的斜率都存在,直线方程可以化为1l :11d x k y +=，2l :22d x k y +=,则有①1l //2l ⇔21k k =且21d d ≠；②1l 和2l 重合⇔21k k =且21d d =；③1l 和2l 相交⇔21k k ≠.[说明] 判断直线位置关系的方法并不唯一，可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑,使用时要注意方法上的选择.一般情况,采用计算行列式的方法比较单纯，这种方法更具一般性，便于使用，是本节课学习的重点.三、巩固练习练习11.3（1）[说明] 进一步强化判断两条直线位置关系的方法，反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.四、课堂小结本课我们主要学习了哪些知识？应当注意什么？运用了那些思想方法？① 知识点：本节课主要学习了两条直线的位置关系的判定方法，求两条直线的交点坐标的方法.讨论了已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法.解决问题时，注意区分两条直线平行与重合满足的条件. ② 数学思想方法：类比、转化、数形结合思想，特殊到一般的方法．[说明] 引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结，使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，反思、巩固所用到的数学方法，达到巩固知识，明确方法的目的.五、作业布置1、书面作业：习题11.3 ----2,3,4,5,6,7,8,92、思考题：设直线的方程为(21)(32)1850m x m y m ++--+=，求证：不论m 为何值，所给的直线经过一定点.解 方法一：取m=0,1得:⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+=+-430133052y x y x y x ,把交点坐标(3,4)代入原方程,可知对于任意m, 原方程均成立,即不论m 为何值，所给的直线经过一定点(3,4).方法二：对于任意实数m,关于y x ,的方程(21)(32)1850m x m y m ++--+=的解都相同0)52()1832(=+-+-+⇔y x m y x 对于任意实数m 恒成立,得:⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-+=+-43,01832052y x y x y x 解得, 即不论m 为何值，所给的直线经过一定点(3,4).[说明]①作业布置1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业布置2设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。