数学史简介

世界性的三大几何难题
• 远从古希腊时期起，就一直存在着世界性的三大 远从古希腊时期起， 几何难题：即化圆为方、倍立方体积、 几何难题：即化圆为方、倍立方体积、三等分已 知角（见图3） 知角（见图 ）。 • 我们知道，被称为数学神童，并且在数学史上功 勋卓著的著名数学家高斯的墓碑山雕刻着的是一
个正十七边形的图案，这是为了纪念他解决了正 个正十七边形的图案， 十七边形的尺规作图问题而特意作出的。高斯是 十七边形的尺规作图问题而特意作出的。 德国著名数学家、天文学家和物理学家，被誉为 德国著名数学家、天文学家和物理学家， 历史上伟大的数学家，和阿基米德、牛顿并列， 历史上伟大的数学家，和阿基米德、牛顿并列， 同享盛名。 同享盛名。
来自实践的召唤（ 二、数学——来自实践的召唤（运 数学 来自实践的召唤 筹学、博弈论、密码学） 筹学、博弈论、密码学）
• 早在1938年英国空军就有了飞机定位系统和控制 系统，并在沿海有几个雷达站，可以用来发现敌 机。但在一次防空大演习中发现，由这些雷达送 来的信息常常是相互矛盾的，需要加以协调和关 联，以改进作战效能。这一任务的提出即产生了 “运筹学”一词，英文是operations research 。 英国空军成立了运筹学小组，主要从事警报和控 制系统的研究。 • 世界上第一个运筹学会“美国运筹学会”于1952 年成立。中国的运筹学会“中国数学会运筹学会” 于1980年成立，于1982年加入国际运筹学会联盟 并创刊《运筹学杂志》。
“卡尔丹诺公式”
• 卡尔丹登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔 纳始终守口如瓶，滴水不漏。后来，冯塔纳终于用一种隐 晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了 卡尔丹诺。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”， 可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实 践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。 • 卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学 术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的名字。随着《大 法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求 解方法。由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡 尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺 公式”。
• 伽罗华（1811——1832），法国数学家。他的父亲是一个自 伽罗华（ ），法国数学家。 ），法国数学家 由主义思想家，母亲受过良好教育，是他的启蒙老师。他在中 学读书时，就对数学很有兴趣，阅读了数学名家拉格朗日、高 斯、柯西等人的原著，并于1829年即他18岁的时候发表了第一 篇论文。1829年他投考巴黎综合工科学校未被录取，遂进入高 等师范学校学习。伽罗华很早就开始了关于方程理论的研究。 1829年5月他写了关于代数方程可解性 代数方程可解性的论文，经由数学家柯 代数方程可解性 数学家柯 西教给法国科学院。 西教给法国科学院。1830年2月再次将修改稿提交给科学院。 伽罗华本希望能得到数学大奖，但由于审稿人傅里叶 傅里叶去世，手 傅里叶 稿遗失。1831年应泊松 泊松要求，他又一次提交了关于代数方程解 泊松 的论文修改稿，然而没有得到泊松的公正评价，使他受到很大 打击。伽罗华思想上倾向于共和主义。他反对学校的苛刻校规， 抨击校长在七月政变中的两面行为，以致于1830年2月被开除。 之后，他进一步积极参加政治活动，导致1831年两次被捕入狱。 出狱不久，伽罗华即死于一场决斗，年仅21岁。决斗前夜，他 写了绝笔信，整理了他的数学手稿，概述了他得到的主要成果。
• 高斯的成就遍及数学领域的各个方面，在数论、代数学、 非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆 函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用， 并且在天文学、大地测量学和磁学的研究中，发明和发展 了最小二乘法、曲面论、位势论等。1801年发表的《算术 研究》是数学史上为数不多的经典著作之一。高斯在代数 方面的成就是他对代数基本定理的证明。他先后四次给出 了这个定理的证明，并在此基础上建立了复变函数论。 1812年，高斯法变了在分析方面的重要论文《无穷级数的 一般研究》。高斯在15岁时就意识到存在着一个无逻辑矛 盾的几何，即存在着非欧几何。高斯致力于天文学研究达 20余年，在这领域里的伟大著作之一是1809年发表的 《天体运动理论》。在对大地测量的研究中，高斯创立了 关于全面的新理论。1827年发表《关于曲面的一般研究》， 导致微分几何学的诞生（见图4）。
谁是第一位发现者？
• 最早发现一元三次方程通式解的人，是十 六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔 纳（NiccoloFontana） • 另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对 冯塔纳的发现非常感兴趣。
“塔尔塔里亚”
• 冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供 他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才， 成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于 冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他 为“塔尔塔里亚”（Tartaglia），也就是意大利 语中“结巴”的意思。 • 经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的 方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。 这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全 胜，从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这 个重要发现公之于世。
运筹学
• 运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种实 际问题中，一般应该从以下几方面考虑。 (1)制定目标 首先必须弄清楚所提的任务、想要达到的目的。通常还必 须弄清或预测随着时间的推移决策者的认识和管理人员的水平是赴会 时随体目标发生变化，如何变化。 (2)制定方案 定出几个大的步骤和完成各步骤的时间。一般来说，人物 都是有时间性的，用于该任务的人力、物力、财力都是有限的。没有 比较切实的方案就难完成任务。 (3)建立模型 对于一个大型的复杂问题，首先要是否将它分为若干小型 的能独立进行的活动，以及在它们当中如何分配人力、物力、财力和 对它们工作的具体要求，……在运筹学的发展过程中形成的某些抽象 模型可以得出一些算法和结论，并用于实际之中。例如，城市的公共 汽车问题，百货商店的售货员人数，一个工厂应有多少维修人员等等。 这些都属于随机性的排队问题。对这些问题的研究形成了运筹学的一 个分支学科，即排队论。
魔方游戏
• 魔方的初始状态是有六个 面的正方体，每个面上有 九个小方块，全都涂着同 一种颜色；不同面上的颜 色是各不相同的。 • 曾经有一个著名的数学家， 只要看一眼被打乱了的魔 方，然后把它放到自己的 身后，转动几下之后，一 个恢复到初始状态的模仿 就会出现在围观者的眼前。 这位数学家是搞群论的， 而群论则是数学中的一个 重要分支。
数学史简介
-----陈实
一.数
• • • • 1.数学史，数学家 2.群论 3.方程的根的求解问题 4.世界性的三大几何难题
学
-----年轻人的伟大事业
百度文库
数学史，数学家
• 什么是数学史？是数学家的历史吗？ 当然，讲数学史，肯定和数学家紧密相关。但是，一 部数学史绝不仅仅是数学家的历史。 • 什么是数学家呢？ 也许，一定是一些聪明绝顶的人。别的任何人都无法 解决的问题，到了他们手里，就好像在神奇的魔力作用下 一样，转眼就迎刃而解。他们好像禀赋了一种特异功能一 样，难题到了他们手里，就好像是魔术师手里的道具一样， 可以变换出无穷无尽的戏法。 例如：魔方，但是，实际 上，很多在数学史上做出突出成就的往往是那些初出茅庐 的年轻人。这似乎显得有些让人感到不可思议，但这却是 事实。
数学史上的一则“冤案” 数学史上的一则“冤案”
• 人类早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一 元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、 希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元 三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅 能够解决特殊形式的三次方程。 • 在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次 方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上， 把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”， 这是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求 根公式的意大利数学家卡尔丹诺。
勃拉姆斯做的“三人决斗博弈” 模 型游戏 (1)
• 勃拉姆斯对 个学生说，游戏的 勃拉姆斯对3个学生说， 个学生说 规则是这样的：假定你们是3个 规则是这样的：假定你们是 个 决斗的枪手，每人一把枪， 决斗的枪手，每人一把枪，枪 里只有一发子弹， 里只有一发子弹，并假定你们 的命中率为百分之百， 的命中率为百分之百，而你们 每人的目标是尽量使最少的人 活着并且你也活着。也就是说， 活着并且你也活着。也就是说， 最优的结果是， 最优的结果是，其他两个枪手 被打死而自己活着； 被打死而自己活着；次优结果 有一个枪手活着， 是，有一个枪手活着，自己也 活着；第三优结果是， 人同归 活着；第三优结果是，3人同归 于尽；最差的结果是， 于尽；最差的结果是，自己被 打死而其他枪手有一个或者两 个活着。当仲裁人说“开始” 个活着。当仲裁人说“开始” 枪手开枪还是不开枪？ 时，问：枪手开枪还是不开枪？ • 当勃拉姆斯说“开始”时，3个 当勃拉姆斯说“开始” 个 学生毫不犹豫地一手带枪瞄向 对面的两个学生中的一个。 对面的两个学生中的一个。 • 勃拉姆斯教授说，“理性的” 勃拉姆斯教授说， 理性的” 枪手是随机选取另两个枪手中 的一个开火，而不是不开枪。 的一个开火，而不是不开枪。 因为，自己是否活下来， 因为，自己是否活下来，并不 取决于自己是否开枪。 取决于自己是否开枪。但自己 如果不开枪的话， 如果不开枪的话，其他人活下 来的概率就会增加。因此， 来的概率就会增加。因此，开 枪是“最优”的策略。 枪是“最优”的策略。
群论
• 我们刚才提到数学里有一个分支，叫做群 论。要想解释清楚什么是群论，这可不是 一件简单的事情。我们现在不上数学课， 不作抽象的论证，也不给出严格的数学定 义。我们从具体问题谈起 从具体问题谈起-----方程的求根问 从具体问题谈起 方程的求根问 题 • 一元三次方程求根公式 • 五次和五次以上方程的求根问题
• 1846年，伽罗华逝世14年后，刘维尔编辑出 刘维尔编 刘维尔 版了他的部分文章。1870年，若尔当 若尔当全面介 若尔当 绍了伽罗华的思想。随着数学的发展和时间的 推移，伽罗华研究成果的重要意义愈来愈为人 们所认识。它的最主要成就是提出了群的概念， 最主要成就是提出了群的概念， 最主要成就是提出了群的概念 用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题， 用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题， 为了纪念他，人们称之为伽罗华理论 伽罗华理论。 为了纪念他，人们称之为伽罗华理论 • 重要推论 重要推论是五次以上一般代数方程不可能用根 式表达出它的解，用直尺和圆规不可能作出倍 立方体积和三等分任意角。
根式求解代数方程的问题
• 解决了三次方程和四次方程的求根问题以后，人们自然就 把注意力放到了五次和五次以上方程的求根问题上。然而， 这一问题的困难程度远远超出了人们最初的想象。人们经 过几百年来的努力，仍然无法找到这一问题的解决途径。 于是，人们逐渐就把解决方程求根问题当作了世界性的难 题。 • 远从古希腊时期起，就一直存在着世界性的三大几何难题： 即化圆为方、倍立方体积、三等分已知角 • 但是，出乎人们意料之外的是，解决这一系列世界性难题 的不是那些皓首穷经老学究，而是一个初出茅庐的年轻人。 这个人就是数学史上的传奇人物伽罗华。 伽罗华。 伽罗华
博弈论
• 如果问二战后的50年里对社会科学影响最广泛的是什么理论，不同领 域的学者可能会给出不同的回答，然而大多数学者尤其是经济学家会 认为，对社会科学影响最广泛的理论应该是game theory(博弈论 博弈论)。 博弈论 • game theory直译“游戏理论”，而汉语里“游戏”一词有儿戏的味 道，且游戏理论不太严肃，所以把它译为“博弈论”。但将game theory译成“博弈论”雅则雅已，但似乎过于严肃。Game在英语中， 是一个人人熟知的词，指两人或两人以上的群体在确定的规则下的活 动，在这个活动中，每个人都有自己的目标，且每个人都努力达到其 目标。Game的外延较大，从下棋、体育竞赛到企业间的竞争、国家 间的外交活动均叫game。它指称的对象也包括我们汉语所说的“游 戏”。 其实，game theory确实确定我们所认为的一般意义上的 “游戏”，而研究人员也用实际中的游戏试验来丰富或检验博弈论。 • 美国纽约大学政治学系著名的政治学家勃拉姆斯做的“三人决斗博弈” 模型游戏，在政治学中就有广泛影响。(1) (2)
• 高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家 庭，1855年2月23日卒于格丁根。他童年时就显 示出很高的才华，两岁时就纠正过父亲帐目上的 错误；10岁时，利用等差数列求和公式进行简化 计算。他1795年高斯入格丁根大学，曾在攻读古 代语言还是致力于数学研究上产生犹豫。但数学 上的及时成功，促使他致力于数学研究。大学的 第一年发明二次互反律，第二年又得出正十七边 形的尺规作图，并给出可用尺规作出的正多边形 的条件，解决了两千多年来悬而未决的难题。当 时，他的年龄只不过才19岁，和我们同学们现在 的年龄差不多。此后，高斯把毕生精力都从事于 科学方面的研究工作，作出了一系列辉煌的成就。