抛物线测试

合集下载

2023年新高考数学一轮复习9-5 抛物线(真题测试)含详解

专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。

2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试：54 抛物线

考点测试54　抛物线高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2．理解数形结合的思想3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1．抛物线y ＝x 2的准线方程是( )14A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2答案　A解析　依题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程是y ＝－1，故选A ．2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为( )A ．4B ．6C ．8D ．12答案　B解析　依题意得，抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，因此点P 到该抛物线准线的距离为4＋2＝6，故选B ．3．到定点A (2，0)与定直线l ：x ＝－2的距离相等的点的轨迹方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y 答案　A解析　由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p ＝4，焦点在x 轴正半轴上，故选A ．4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，)到其焦点的距离是A 到y 轴距离2的3倍，则p 等于( )A ．B ．1C ．D ．21232答案　D解析　由题意3x 0＝x 0＋，x 0＝，则＝2，∵p >0，∴p ＝2，故选D ．p2p4p 225．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案　C解析　由抛物线y 2＝4x 得p ＝2，由抛物线定义可得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2，又因为x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝8，故选C ．6．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点为( )A ．(1，2)B ．(0，0)C ．，1D ．(1，4)12答案　C解析　解法一：根据题意，直线y ＝4x －5必然与抛物线y ＝4x 2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y ＝4x －5平行的抛物线的切线的切点．由y ′＝8x ＝4得x ＝，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是，1，该1212点到直线y ＝4x －5的距离最短．故选C ．解法二：抛物线上的点(x ，y )到直线y ＝4x －5的距离是d ＝＝|4x －y －5|17＝，显然当x ＝时，d 取得最小值，此时y ＝1．故选C ．|4x －4x 2－5|174x －122＋417127．已知动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案　y 2＝4x解析　设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x ．8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝|MN |，则∠NMF ＝________．32答案　π6解析　过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有|PN |＝|NF |，∴|PN |＝|MN |，∠NMF ＝∠MNP ．又cos ∠MNP ＝，∴∠MNP ＝，即3232π6∠NMF ＝．π6二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则·＝( )23FM → FN → A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案　D解析　根据题意，过点(－2，0)且斜率为的直线方程为y ＝(x ＋2)，与抛物2323线方程联立Error!消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1，2)，N (4，4)，又F (1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，从而可以求FM → FN→ 得·＝0×3＋2×4＝8，故选D ．FM→ FN → 10．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10答案　A解析　因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1，0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，1k y ＝－(x －1)．1k 由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝1，2k 2＋4k 2所以|AB |＝·|x 1－x 2|1＋k 2＝·1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝·＝．1＋k 22k 2＋4k 22－44(1＋k 2)k 2同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝＋4(1＋k 2)4(1＋k 2)k 2＝4＋1＋1＋k 2＝8＋4k 2＋≥8＋4×2＝16，1k 21k 2当且仅当k 2＝，即k ＝±1时，取得等号．故选A ．1k 211．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．答案　2解析　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Error!所以y －y ＝4x 1－4x 2，212所以k ＝＝．y 1－y 2x 1－x 24y 1＋y 2取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1 的垂线，垂足分别为A ′，B ′．因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝|AB |＝(|AF |＋|BF |)＝(|AA ′|＋|BB ′|)．121212因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴．因为M (－1，1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2．12．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案　(1，0)解析　由题意得a >0，设直线l 与抛物线的两交点分别为A ，B ，不妨令A 在B 的上方，则A (1，2)，B (1，－2)，故|AB |＝4＝4，得a ＝1，故抛物线方a a a 程为y 2＝4x ，其焦点坐标为(1，0)．13．(2017·天津高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________．答案　(x ＋1)2＋(y －)2＝13解析　由y 2＝4x 可得点F 的坐标为(1，0)，准线l 的方程为x ＝－1．由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°．又因为∠FAC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝，所以点C 的纵坐标为．33所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －)2＝1．3三、模拟小题14．(2018·沈阳监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( )A ．(0，a )B ．(a ，0)C ．D ．(0，116a )(116a，0)答案　C解析　将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝y (a ≠0)，所以焦点坐标为14a ，故选C ．(0，116a )15．(2018·太原三模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若＝3，则|MN |＝( )PF → MF→ A ． B ．8 C ．16 D ．163833答案　A解析　由题意F (1，0)，设直线PF 的方程为y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为准线方程为x ＝－1，所以得P (－1，－2k )．所以＝(2，2k )，PF→ ＝(1－x 1，－y 1)，因为＝3，所以2＝3(1－x 1)，解得x 1＝．把MF → PF → MF→ 13y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1x 2＝1，所以x 2＝3，从而得|MN |＝|MF |＋|NF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝．故选A ．16316．(2018·豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8，7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案　C解析　延长PQ 与准线交于M 点，抛物线的焦点为F (0，1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1．∴|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PM |－1＝|PA |＋|PF |－1≥|AF |－1＝－1＝10－1＝9．82＋(7－1)2当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|PA |＋|PQ |的最小值为9．故选C ．17．(2018·青岛质检)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若△APQ 的面积为4，则实数p 的值为( )A ．B ．1C ．D ．21232答案　D解析　解法一：设过点A 且与抛物线C 相切的直线为y ＝kx －．由Error!得p2x 2－2pkx ＋p 2＝0．由Δ＝4p 2k 2－4p 2＝0，得k ＝±1，所以得点P －p ，，p2Qp ，，所以△APQ 的面积为S ＝×2p ×p ＝4，解得p ＝2．故选D ．p212解法二：如图，设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由题意得点A 0，－．y ＝x 2，求导得y ′＝x ，所以切线PA 的p212p 1p 方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，即y ＝x 1x －x ，切线PB 的方程为y －y 2＝x 2(x －x 2)，1p 1p 12p 211p 即y ＝x 2x －x ，代入A 0，－，得点P －p ，，Qp ，，所以△APQ 的面积为1p 12p 2p 2p2p2S ＝×2p ×p ＝4，解得p ＝2．故选D ．1218．(2018·沈阳质检一)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1，1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________．答案　2x －y －1＝0解析　设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 都在抛物线上，可得Error!作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．因为AB 中点为P (1，1)，所以y 1＋y 2＝2，则有2·＝4，所以k AB ＝＝2，从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即y 1－y 2x 1－x 2y 1－y 2x 1－x 22x －y －1＝0．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN ．解　(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1．1212(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为线段MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN ．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0．由Error!得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝，y 1y 2＝－4．2k 直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝＋＝．①y 1x 1＋2y 2x 2＋2x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2)将x 1＝＋2，x 2＝＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得y 1k y 2k x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k＝＝0．所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以－8＋8k∠ABM ＝∠ABN ．综上，∠ABM ＝∠ABN ．2．(2018·浙江高考)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．y 24解　(1)证明：设P (x 0，y 0)，A y ，y 1，B y ，y 2．1421142因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程2＝4·即y 2－2y 0y ＋8x 0－y ＝0的两个不同的y ＋y 0214y 2＋x 0220实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知Error!所以|PM |＝(y ＋y )－x 0＝y －3x 0，182123420|y 1－y 2|＝2．2(y 20－4x 0)因此，△PAB 的面积S △PAB ＝|PM |·|y 1－y 2|12＝(y －4x 0)．3242032因为x ＋＝1(x 0<0)，20y 204所以y －4x 0＝－4x －4x 0＋4∈[4，5]．2020因此，△PAB 面积的取值范围是6，．2151043．(2018·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．QM → QO → QN → QO→ 1λ1μ解　(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)，所以2p ＝4，即p ＝2．故抛物线C 的方程为y 2＝4x ，由题意知，直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)．由Error!得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0．依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3．所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝．2k －4k 21k 2直线PA 的方程为y －2＝(x －1)．y 1－2x 1－1令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝＋2＝＋2．－y 1＋2x 1－1－kx 1＋1x 1－1同理得点N 的纵坐标为y N ＝＋2．－kx 2＋1x 2－1由＝λ，＝μ得λ＝1－y M ，μ＝1－y N ．QM → QO → QN → QO → 所以＋＝＋＝＋＝·＝1λ1μ11－yM 11－yN x 1－1(k －1)x 1x 2－1(k －1)x 21k －12x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2·＝2．1k －12k 2＋2k －4k 21k 2所以＋为定值．1λ1μ二、模拟大题4．(2018·湖北八市联考)如图，已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，其焦点到准线的距离为2，圆S ：x 2＋y 2－py ＝0，直线l ：y ＝kx ＋与圆和抛物线自左至右顺次交p 2于A ，B ，C ，D 四点．(1)若线段AB ，BC ，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求正数k 的值；(2)若直线l 1过抛物线焦点且垂直于直线l ，l 1与抛物线交于点M ，N ，设MN ，AD 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 过定点．解　(1)由题意可得p ＝2，所以抛物线x 2＝4y ，圆S 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，其圆心S (0，1)，圆的半径为1，设点A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由Error!得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，所以|AB |＋|CD |＝|AS |＋|DS |－|BC |＝y 1＋1＋y 2＋1－2＝y 1＋y 2＝4k 2＋2＝2|BC |＝4，所以k ＝(负值舍去)．22(2)证明：因为x 1＋x 2＝4k ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，所以Q (2k ，2k 2＋1)．当k ≠0时，用－替换k 可得P －，＋1，1k 2k 2k 2所以k PQ ＝，k 2－1k 所以PQ 的直线方程为y －(2k 2＋1)＝(x －2k )，k 2－1k 化简得y ＝x ＋3，过定点(0，3)．k 2－1k 当k ＝0时，直线l 1与抛物线只有一个交点，不符合题意，舍去．5．(2018·珠海摸底)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，－2)，3(－2，0)，(4，－4)，，．222(1)求C 1，C 2的标准方程；(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足⊥？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．OM → ON → 解　(1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有＝2p (x ≠0)，y 2x 据此验证四个点知(3，－2)，(4，－4)在抛物线上，3易得，抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x ．设椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2把点(－2，0)，，代入可得a 2＝4，b 2＝1，222所以椭圆C 1的标准方程为＋y 2＝1．x 24(2)由抛物线的标准方程可得C 2的焦点F (1，0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1．直线l 交椭圆C 1于点M 1，，N 1，－，3232·≠0，不满足题意．OM → ON → 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，并设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由Error!消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝，8k 21＋4k 2x 1x 2＝．　①4(k 2－1)1＋4k 2则y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2－＋14(k 2－1)1＋4k 28k 21＋4k 2＝．　②－3k 21＋4k 2由⊥得x 1x 2＋y 1y 2＝0．　③OM → ON → 将①②代入③式，得＋＝＝0，4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2k 2－41＋4k 2解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0．6．(2018·石家庄质检二)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝的圆心C 在抛物线94x 2＝2py (p ＞0)上，圆C 过原点且与抛物线的准线相切．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在A ，B 处作抛物线的两条切线交于点P ，求△PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解　(1)由已知可得圆心C (a ，b )，半径r ＝，焦点F 0，，准线y ＝－，因为圆C 与抛物线F 的准线相切，所32p 2p 2以b ＝－．又因为圆C 过原点，且圆C 过焦点F ，所以圆心C 必在线段OF 的32p 2垂直平分线上，即b ＝，所以－＝，解得p ＝2，p 432p 2p 4所以抛物线的方程为x 2＝4y ．(2)易得焦点F (0，1)，直线l 的斜率必存在，设为k ，即直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由Error!得x 2－4kx －4＝0，Δ>0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，对y ＝求导得y ′＝，即k AP ＝．x 24x 2x 12直线AP 的方程为y －y 1＝(x －x 1)，x 12即y ＝x －x ，x 121421同理得直线BP 的方程为y ＝x －x ．x 22142设点P (x 0，y 0)，联立直线AP 与BP 的方程，解得Error!即P (2k ，－1)，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)，点P 到直线1＋k 2AB 的距离d ＝＝2，所以△PAB 的面积|2k 2＋2|1＋k 21＋k 2S ＝·4(1＋k 2)·2＝4(1＋k 2)≥4，121＋k 232当且仅当k＝0时取等号．综上，△PAB面积的最小值为4，此时直线l的方程为y＝1．。

高三复习抛物线知识点总结及基础测试

第八节抛物线基础测试题1、抛物线定义2、抛物线的标准方程与几何性质1、抛物线28y x =-的准线方程是（） A. 116x =B. 116y =C. 132y =D. 132x = 2、已知抛物线的焦点坐标是(0,3)-，则抛物线的标准方程是（） A. 212x y =- B. 212x y = C. 212y x =- D. 212y x =3、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 5 4、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点(2,4)P ，则该抛物线的方程是_________.5、设抛物线28y x =，过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，过AB 中点M 作x 轴平行线交y 轴于N ，若2MN =，则AB =_________. 1、已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点(3,2)A .（1）求PA PF +最小值，并求出取最小值时P 点的坐标；（2）求点P 到点1(,1)2B -的距离与点P 到直线12x =-的距离之和的最小值.2、已知抛物线22=的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点y x+的最小值及A，抛物线的准线是l，点P到l的距离为d，求PA d(3,3)此时P点的坐标.3、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(3,)-M m 到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值.4设抛物线2(0)=≠的准线与直线1y mx mx=的距离为3，求抛物线的方程.5、已知抛物线2=>过点(1,2)C y px p:2(0)A-.（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l l的方程；若不存在，说明理由.6、已知动圆过定点(1,0)，且与直线1x=-相切.（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；（2）是否存在直线l，使l过点(1,0)并与轨迹C交于,P Q两点，且满足OP OQ⋅=若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.1、抛物线28=的焦点到准线的距离是（）y xA. 1B. 2C. 4D. 82、已知抛物线22(0)=>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线y px p于,A B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A ．1x = B. 1x =- C. 2x = D. 2x =- 3、已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,AB 两点，2AF =,则BF =_________.4、以椭圆221139x y +=的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（）A.2y = B. 2y =- C. 28y x = D. 28y x =-5、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点11,12233(),(,),(,)P x y P x y P x y 在抛物线上，且2132x x x =+，则有（）A. 123FP FP FP +=B. 222123FP FP FP += C. 2132FP FP FP =+ D. 2213FP FP FP =⋅ 6、已知点P 是抛物线2y x =的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）92。

河南省郑州市第一中学2019-2020学年高二上学期数学周测试题(专题特训—抛物线)(11.24,pdf版)

两点.若 AMB 90 ,则 k __________. uuur uuur uuur r
14、设 F 为抛物线 y2 8x 的焦点， A, B,C 为该抛物线上三点，若 FA FB FC 0 ，
则 FA FB FC _______.
15、过抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点的直线 l 与抛物线交于 M , N 两点,若 MN 10 且 MN 中点的纵坐标为 3. 1.求 OM ON 的值; 2.过点 (0,1) 的直线交抛物线于不同两点 A, B ,分别过点 A、点 B 分别作抛物线 C 的切线,所得的两条切线相交于点 P.求 △ABP 的面积的最小值及此时的直线的方程.
2021 届数学专题特训（1）抛物线
1、过抛物线 y ax2 (a 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若 PF 与 FQ 的长
分别为 p、q ,则 1 1 等于(
)
pq
A. 2a B. 1 C. 4a D. 4
2a
a
2、已知 P 为抛物线 y2 4x 上任一动点,记点 P 到 y 轴的距离为 d ,对于给定点 A4,5 ,
8 答案及解析：答案：A 解析：
9 答案及解析：答案：C
解析：设
A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，则 k1k2

y1 x1

y2 x2

2
，又
3
y12
2x1, y22
2x2 ，解得
y1 y2
6.
将直线 l : x my b 代入 y2 2x ，得 y2 2my 2b 0 ，
m
1
设 t2 2 1 m(m 2 1) ,则 | PF |

中职数学椭圆、双曲线、抛物线测试卷(含答案)

数学拓展模块第二章椭圆、双曲线、抛物线(试卷A )一、选择题：（本大题有15个小题，每小题3分，共45分。

在每小题所给出的选项中只有一个符合题目要求）1.已知椭圆221169+=x y 上一点到椭圆的一个焦点的距离为3,则P 到另一个焦点的距离为( ). A .3 B .4 C .5 D .62.椭圆2211625+=x y 的焦距是( ). A .6 B .4 C .10 D .93.已知椭圆方程是224520+=x y ,则它的离心率是( ).A .2B .C .D . 124.长轴是短轴的2倍,且经过点P (-2.0)的椭圆方程是( ).A . 2214+=x yB . 221416+=x yC . 221164+=x y 或2214+=x y D . 221416+=x y 或2214+=x y 5.焦点在x 轴上，长轴长为8.离心率为12，那么椭圆的标准方程为( ). A .2211612+=x y B . 2211612-=x y C . 2211216+=x y D . 2211216-=x y6.与椭圆2211625+=x y 有共同的焦点且过点(-的双曲线的方程是( ). A .22154-=y x B . 22153-=y x C . 22154-=x y D . 22153-=x y 7.双曲线的两个焦点坐标是1F (0,-5), 2F (0,5)，且2a =8.则双曲线的方程为( ).A .221169-=y x B . 2211625-=y x C . 2211625-=x y D . 2216425-=x y 8.若双曲线焦点在x 轴上，且它的一条渐进线方程为34=y x ,则离心率是( ).A .54B . 4C . 7D . 79.双曲线221169-=x y ，若过右焦点2F ,且在双曲线右半支上的弦AB 长为5，另一焦点为1F 则△AB 1F 的周长为( ).A .16B .11C . 26D .610.设()0,απ∈，方程221sin cos αα+=x y 表示中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线，则α的取值范围是( ).A . ()0,π В. [)0,π C . ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D .,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.抛物线250-=x y 的准线方程是( ).A . 54=-x B . 52=x C . 54=y D . 54=-y 12.顶点在原点，准线方程为y =4的抛物线标准方程为( ). A . 216=y x B . 216=-y x C . 216=x y D . 216=-x y13.顶点在原点，对称轴是y 轴，顶点与焦点的距离等于2的抛物线方程是( ). A . 24=±x y B . 24=±y x C . 28=±x y D . 28=±y x 14.顶点在原点，以坐标轴为对称轴且过点（2，-3)的抛物线方程是( ). A . 292=y x 或243=-x y B . 292=-y x C . 292=-y x 或243=x y D . 243=-x y 15.顶点在坐标原点，焦点是(0，-1)的抛物线的标准方程是( ). A . 24=x y B . 24=-x y C . 24=-y x D . 24=y x 二、填空题（本在题有15个小空，每空2分，共30分） 16.已知椭圆221625400+=x y ,其离心率为___________.17.已知椭圆的右焦点F (3,0)，F 到右顶点距离为3,则椭圆的方程为___________.18.已知曲线的方程22194+=--x y k k为椭圆的标准方程，则k 的取值范围为___________.19.椭圆各22214+=x y a 与双曲线器22212-=x y a 有相同的焦点，则2a =___________. 20如果方程222+=x ky 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是___________.21.已知1F ，2F 是椭圆221259+=x y 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于M .N 两点，则△MN 2F 的周长是___________.22.双曲线222516400-=x y 的两条渐近线方程是___________.23.双曲线的实轴长为6，离心率2=e ，焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程为___________. 24.双曲线2288-=kx ky 的一个焦点是(0，3),那么k =___________.25.与双曲线221916-=x y 有相同的渐近线,且过点(3,-C 的双曲线方程是___________. 26.方程22125-=--x y k k表示双曲线，则k 的取值范围是___________. 27.抛物线214=-y x 的焦点坐标是___________.28.抛物线上24=-y x 上一点M 到焦点的距离是6，则M 到准线的距离是___________. 29.若抛物线22=y px 上到焦点距离为3的点的横坐标为2.则p =___________.30.抛物线218=-y x 的准线方程是___________.三、解答题：（本大题共45分）31.已知椭圆的短轴长是2，中心与抛物线24=y x 的顶点重合，椭圆的一个焦点是此抛物线的焦点，求该椭圆的方程及离心率.32.椭圆的长轴是短轴的3倍,过点P (3,0),求椭圆的标准方程.33.一椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，焦距为的焦点，且双曲线的实半轴比椭圆的长半轴小4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为73，求此椭圆和双曲线的方程。

抛物线(原卷版)--新高二暑假讲义

第12讲抛物线新课标要求1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。

2.了解抛物线的简单应用。

知识梳理1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程3.抛物线的简单几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)图象性质范围x ≥0，x ≤0，y ≥0，y ≤0，名师导学知识点1求抛物线的标准方程【例1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)准线方程为x＝－1；(2)焦点为直线3x－2y－6＝0与坐标轴的交点；(3)经过点(－3，－1)．【变式训练1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)准线方程为y＝－2；(2)焦点在x轴上，焦点到准线的距离等于5；(3)过点(1，－2)．知识点2根据抛物线方程求焦点坐标、准线方程【例2-1】求下列抛物线的焦点坐标及准线方程．(1)y2＝－4x；(2)y＝4x2；(3)3x2＋2y＝0；(4)y2＝ax(a＞0)．【变式训练2-1】(1)已知抛物线x2＝ay的准线方程是y＝－14，则a＝________.(2)(全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8知识点3抛物线定义的应用【例3-1】(1)若动点P到定点F(1,1)的距离与它到定直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线(2)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y 轴的距离为()A.3 4B．1 C.54D．74(3)(晋中市期末)已知直线l1：3x－4y－6＝0，直线l2：y＝－2，抛物线x2＝4y上的动点P到直线l1与直线l2距离之和的最小值是()A．2B．3C．4D．338【变式训练3-1】(1)已知动圆过定点x＝－p2相切，其中p>0，求动圆圆心的轨迹方程；(2)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．知识点4抛物线的简单几何性质【例4-1】设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝()A.433B．8C.833D．163【变式训练4-1】设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－3，则△PAF的面积为()A．23B．43C．8D．83【变式训练4-2】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，求抛物线的标准方程．知识点5抛物线的焦点弦的性质及应用【例5-1】已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)|AB|＝x1＋x2＋p；(2)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝2psin2θ；(3)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(4)1|AF|＋1|BF|为定值2p.【变式训练5-1】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．知识点6直线与抛物线的位置关系的判断【例6-1】已知抛物线的方程为y 2＝2x ，直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ∈R )．当k 分别为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【变式训练6-1】如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y ＝2x 2有且只有一个公共点，求直线l 的方程．知识点7弦长、中点弦问题【例7-1】过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，且该弦恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程及|AB |.【变式训练7-1】(台州市月考)过抛物线y 2＝mx (m >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝54m ，则m ＝()A ．6B ．8C ．10D ．12知识点8抛物线中的定点、最值问题【例8-1】如图，已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°.(1)证明：直线AB 必过一定点；(2)求△AOB 面积的最小值．【变式训练8-1】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P (2，n )(n >0)在抛物线C 上，|PF |＝3，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)求抛物线C 的方程及点P 的坐标；(2)求PA →·PB →的最大值．名师导练3.3.1抛物线及其标准方程A 组-[应知应会]1．到定点F (1，－1)的距离与到直线3x －2y －5＝0的距离相等的点P 的轨迹是()A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D．直线2．已知抛物线y 2＝2px 上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝8B ．x ＝－8C ．x ＝4D ．x ＝－43．(杭州模拟)已知抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为()A.10B ．4C.15D ．54．若椭圆x 23＋4y 2p 2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为()A ．3B ．3C.6D ．65．(牡丹江一中期末)下列抛物线中，焦点到准线的距离最小的是()A ．y 2＝－xB ．y 2＝2xC ．2x 2＝yD ．x 2＝－4y6．(运城期末)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到点A (－2,1)的距离之和最小，则点P 的坐标为()－14，B C ．(－2，－22)D ．(－2,22)7．在抛物线y2＝－2px(p>0)中，p的几何意义是____________________________________________ 8．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的焦点，则p＝________.9．(南阳市一中开学考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，以AB为直径的圆过点F，过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则|MN||AB|的最大值为________．10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，试判断|FP1|，|FP2|，|FP3|是否成等差数列．12．(南阳一中检测)已知定点A(1,0)，定直线l：x＝－2，动点P到点A的距离比点P到l的距离小1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中轨迹C相交于两个不同的点M，N，若AM→·AN→<0，求直线l的斜率的取值范围．B组-[素养提升](北京十二中期中)设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是() A．1B．2C．3D．43.3.2抛物线的简单几何性质A组-[应知应会]1．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程为()A．x＋4＝0B．x－4＝0C．y2＝8x D．y2＝16x2．若抛物线y2＝x上一点M到准线的距离等于它到顶点的距离，则点M的坐标为()BD3．(福州期末)设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点A(k，－2)与点F的距离为4，则k的值为()A．4B．4或－4C．－2D．－2或24．(保定模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题为()A．①③B．①④C．②③D．②④5．(郑州模拟)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|＝()A．10B．8C．6D．46．(马鞍山市阶段测试)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若MF→＝4FN→，则直线l的斜率为()A．±32B．±23C．±34D．±437．(凯里市期末)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为93，则此抛物线的方程为________．8．如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB过F，则椭圆的离心率是________．9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝17，|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为________．10．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．11．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．12．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(0，－2)的距离比它到x轴的距离大2，记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)若直线y＝2x＋b与轨迹C恰有2个公共点，求实数b的取值范围．B组-[素养提升](全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若AP→＝3PB→，求|AB|.3.3.3直线与抛物线的位置关系A组-[应知应会]1．抛物线的对称轴为x轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，若抛物线顶点在坐标原点，则其方程为()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y2．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是()A．x－4y－3＝0B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0D．4x＋y＋3＝03．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点4．(郑州市期中)已知F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，以p2为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则|AB||CD|＝()A．16B．4C.8 3D．535．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝2C．x＝－1D．x＝－26．(绵阳模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为324，则点A的坐标为()A．(0，±2)B．(0,2) C．(0，±4)D．(0,4)7．直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2＝2x上，且斜边AB和y轴平行，则直角△ABC斜边上的高的长度为________．8．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的弦的中点坐标为________．9．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线x22＝1的左顶点为A，若a－y双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则双曲线的离心率为________．10．(平顶山调研)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，求k的值．11．求过定点P(－1,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线l的方程．12．设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与抛物线C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.B组-[素养提升](北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．11/11。

抛物线-考点测试

目录狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
解析
对于 C，设 MN 的中点为 A，M，N，A 到直线 l 的距离分别为 d1，d2，d，
因为 d＝12(d1＋d2)＝12(|MF|＋|NF|)＝12|MN|，即 A 到直线 l 的距离等于|MN|
答案
解析由题意知点 A 为抛物线 C 的准线与 x 轴的交
点，如图，过点 M 作 MN 垂直于准线于点 N，令|FM|＝
2a，则|AM|＝ 5a，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|＝2a，
所以 cos∠AMN＝||MAMN||＝255，所以 sin∠AMN＝ 55.又
MN∥AF，所以∠MAF＝∠AMN，所以
解析
7．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，点
A－p2，0，若|AM|＝ 25|FM|，则 cos∠MFA＝(
)
A．±
2 2
B．±
3 2
C．±
3 3
D．±12
目录狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
＝x1＋p2＝x1＋1，|BF|＝x2＋p2＝x2＋1，所以|AP|＋4|BQ|
＝x1＋4x2，设直线 l：x＝my＋1，由yx2＝＝m4yx＋，1，得 x2－(2＋4m2)x＋1＝0，
所以 x1x2＝1，所以|AP|＋4|BQ|＝x1＋4x2≥2 4x1x2＝4，当且仅当 x1＝4x2，
即 x1＝2，x2＝12时取等号，所以|AP|＋4|BQ|的最小值为 4.
抛物线

(完整版)高二抛物线基础测试题

高二抛物线基础测试题一、选择题：1．顶点在原点，焦点是F (0,5)的抛物线方程是( )A ．y 2＝20xB ．x 2＝20yC ．y 2＝120xD ．x 2＝120y2．抛物线y ＝－x 2的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎝⎛⎭⎪⎫0，－14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，03．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( )A.18 B ．－18 C ．8 D ．－84．(2010年高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．45．(2010年高考湖南卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．126．若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝－16xB ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝16x 或y ＝0(x <0)7．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|29．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( )A.15 B ．215C.152D ．15.10．以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定11．过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是AB ，抛物线的准线交x 轴于点M ，则∠AMB 是( )A ．锐角B ．直角C．钝角D．锐角或钝角12．(2010年高考山东卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2二．填空题13．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.14．抛物线y2＝4x上的点P到焦点F的距离是5，则P点的坐标是________．15．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝________. 16．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，则以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是________．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．18．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．19．已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．高二抛物线基础测试题参考答案一.选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BBBCBCCCACBB1．解析：选B.由p2＝5得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故x 2＝20y .2．解析：选B.x 2＝－y ，∴2p ＝1，p ＝12，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14.3．解析：选B.由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.4．解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.∵准线与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.5解析：选B.如图所示，抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，由抛物线的定义知：|PF |＝|PE |＝4＋2＝6.6．解析：选C.∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，∴点P 到F (4,0)的距离与它到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x . 7．解析：选C.通径2p ＝8且焦点在x 轴上，故选C. 8．解析：选C.由抛物线定义知|FP 1|＝x 1＋p2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p2，∴|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|，故选C.9．解析：选A.令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y 2＝12x 得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝1＋22x 1－x 22＝5[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝15.10．解析：选C.|PF |＝x P ＋p 2，∴|PF |2＝x P 2＋p4，即为PF 的中点到y 轴的距离．故该圆与y 轴相切．11．解析：选B.由题意可得|AB |＝2p .又焦点到准线距离|FM |＝p ，F 为AB 中点，∴|FM |＝12|AB |，∴△AMB 为直角三角形且∠AMB ＝90°.12．解析：选B.∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py－p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. 二．填空题13解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0y ＝ax2，得ax 2－x ＋1＝0，由Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14. 答案：1414．解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋1＝5，∴x 0＝4， ∴y 20＝16，∴y 0＝±4. 答案：(4，±4) 15．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|FA |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.又⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0⇒x 2－5x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7. 答案：7 16．解析：焦点在x 轴正半轴上时，设方程为y 2＝2px (p >0)代入点(32，12)得p ＝312，焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p >0)，∴p ＝－312.综上，所求方程为y 2＝±36x . 答案：y 2＝±36x 三、解答题17．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．解：由抛物线定义知焦点为F (－p 2，0)，准线为x ＝p2，由题意设M 到准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10， ∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或M (－9，－6)．18．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线相交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求抛物线的标准方程为： y 2＝ax (a ≠0)，A (m ，－3)．则由抛物线的定义得5＝|AF |＝|m ＋a4|，又(－3)2＝am .所以，a ＝±2或a ＝±18.故所求抛物线的方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .19．已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)证明：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k x ＋1，消去x ，得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－1k，y 1·y 2＝－1.因为y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，所以(y 1·y 2)2＝x 1·x 2，所以x 1·x 2＝1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，所以OA ⊥OB .(2)设直线l 与x 轴的交点为N ，则N 的坐标为(－1,0)，所以S △AOB ＝12|ON |·|y 1－y 2|＝12×|ON |×y 1＋y 22－4y 1·y 2 ＝12×1× 1k 2＋4＝10，解得k 2＝136，所以k ＝±16.。

2022届高考一轮复习第9章解析几何第7节抛物线课时跟踪检测理含解

第九章解析几何第七节抛物线A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届沈阳质检)抛物线x 2＝4y 的焦点到准线的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B 由x 2＝2px 的焦点到准线的距离为p ，得x 2＝4y 中的焦点到准线的距离为2，故选B ． 2．(2019届广东七校第二次联考)已知抛物线y 2＝24ax(a>0)上的点M(3，y 0)到其焦点的距离是5，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝12x C ．y 2＝16xD ．y 2＝20x解析：选A 抛物线y 2＝24ax(a>0)的准线方程为x ＝－6a ，点M(3，y 0)到其焦点的距离是5，根据抛物线的定义可知，点M(3，y 0)到准线的距离也为5，即3＋6a ＝5，∴a＝13，∴y 2＝8x ，故选A ．3．(2019届石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF|∶|FM|等于( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 2D ．1∶ 3解析：选A 解法一：由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF|＝32，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A ．解法二：由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x－1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），得y 2－2y －4＝0，解得y ＝22或y ＝－2，∴点N 的纵坐标为－ 2.过点M 作MM′⊥x 轴，垂足为M′，过点N 作NN′⊥x 轴，垂足为N′，则△MM′F∽△NN′F，∴|NF|∶|MF|＝|NN′|∶|MM′|＝|－2|∶22＝1∶2，故选A ．解法三：∵M(2，22)是抛物线上的点，且抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|MF|＝3.又1|MF|＋1|NF|＝2p ＝1，∴|NF|＝32，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A ．解法四：设直线l 的倾斜角为α，则|MF|＝p 1－cos α，|NF|＝p1＋cos α，∴|NF|∶|MF|＝(1－cosα)∶(1＋cos α)，又M(2，22)，F(1，0)，∴tan α＝22，∴cos α＝13，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A ．4．(2019届江西五校联考)过抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与抛物线C 的准线相交于点M ，若|MN|＝|AB|，则直线l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，所以|NN′|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12|AB|.因为|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝12|MN|，即在△MNN′中，cos ∠MNN ′＝12，所以∠MNN′＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°.又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°，故选B ．5．(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点O 作两条互相垂直的直线分别交抛物线C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为( )A ．2B ．3C ．32D ．4解析：选C 设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，把直线AB 的方程代入抛物线的方程得y 2－2my －2t ＝0，Δ＝4m 2＋8t>0，所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2t.由题意得OA⊥OB，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 212×y 222＋y 1y 2＝0，得y 1y 2＝－4，所以－2t ＝－4，即t ＝2，故直线AB 恒过定点(2，0)，则抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0到直线AB 的距离的最大值为2－12＝32，故选C ． 6．(2019届湖南岳阳二模)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 过P 1作P 1M ⊥准线l ，垂足为M ，过P 2作P 2N ⊥准线l ，垂足为N ，由抛物线定义知|P 1F|＝|P 1M|＝y 1＋1，|P 2F|＝|P 2N|＝y 2＋1，∴|P 1P 2|＝|P 1F|＋|P 2F|＝y 1＋y 2＋2＝8，故选C ．7．(2019届江西五校协作体2月联考)已知点A(0，2)，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM||MN|＝55，则p 的值等于( )A ．18B ．14C ．2D ．4解析：选C 过点M 向准线作垂线，垂足为P ，由抛物线的定义可知，|MF|＝|MP|，因为|FM||MN|＝55，所以|MP||MN|＝55，所以sin ∠MNP ＝55，则tan ∠MNP ＝12.又∠OFA＋∠MNP＝90°(O 为坐标原点)，所以tan∠OFA ＝2＝ 2 12p ，则p ＝2，故选C ．8．(2019届沈阳市第一次质量监测)抛物线y 2＝6x 上一点M(x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为________．解析：由y 2＝6x ，知p ＝3，由抛物线定义得，x 1＋p 2＝92，即x 1＝3，代入y 2＝6x 中，得y 21＝18，则|MO|＝x 21＋y 21＝33(O 为坐标原点)．答案：3 39．(2020届成都摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，|AF||BF|－|AF|＝1，则抛物线C 的标准方程为________．解析：如图，设直线l 与x 轴交于点D ，过点B 作BE⊥l 于点E ，则|DF|＝p.由抛物线的定义知|BE|＝|BF|.设|BE|＝|BF|＝m ，因为△AEB∽△ADF，所以|AF||AB|＝|DF||BE|，即|AF||AF|－|BF|＝|DF||BF|，所以|AF||AF|－m ＝p m ，所以|AF|＝pm p －m .由|AF||BF|－|AF|＝1，得pmp －m m －pmp －m＝1，解得p ＝1，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝2x. 答案：y 2＝2x10．(2019届河北省“五个一名校”高三考试)如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F|＋|P 2F|＋|P 3F|＋…＋|P 10F|＝________．解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px(p>0)上的点P(x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF|＝x 0＋p 2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F|＋|P 2F|＋…＋|P 10F|＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.答案：1011．(2019届昆明市高三诊断测试)过点E(－1，0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，F 是抛物线C 的焦点．(1)若线段AB 中点的横坐标为3，求|AF|＋|BF|的值； (2)求|AF|·|BF|的取值范围．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6. 由抛物线的定义知|AF|＝x 1＋1，|BF|＝x 2＋1，则|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2＝8. (2)设直线l 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝4x 得y 2－4my ＋4＝0. 由Δ＝16m 2－16>0，得m 2>1，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4. 由抛物线的定义知|AF|＝x 1＋1，|BF|＝x 2＋1，则|AF|·|BF|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝m 2y 1y 2＝4m 2. 因为m 2>1，所以|AF|·|BF|>4. 故|AF|·|BF|的取值范围是(4，＋∞)．12．(2019届郑州市第一次质量预测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ，N.R 为准线上一点．(1)若AR∥FN，求|MR||MN|的值；(2)若点R 为线段MN 的中点，设以线段AB 为直径的圆为圆E ，判断点R 与圆E 的位置关系．解：由已知，得F(1，0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线y 2＝4x 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由题知M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，设R(－1，y R )．(1)∵AR∥FN，即AR →∥FN →，AR →＝(－1－x 1，y R －y 1)，FN →＝(－2，y 2)，∴0＝(－1－x 1)y 2＋2(y R －y 1)＝(－2－my 1)y 2＋2(y R －y 1)＝－2(y 1＋y 2)－my 1y 2＋2y R ＝－4m ＋2y R ，∴y R ＝2m ＝y 1＋y 22，∴R 是MN 的中点，∴|MR||MN|＝12.(2)若R 是MN 的中点，则R(－1，2m)，RA →·RB →＝(x 1＋1，y 1－2m)·(x 2＋1，y 2－2m)＝(my 1＋2，y 1－2m)·(my 2＋2，y 2－2m)＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋(y 1－2m)(y 2－2m)＝(m 2＋1)y 1y 2＋4m 2＋4＝－4(m 2＋1)＋4m 2＋4＝0.∴RA →⊥RB →，即RA⊥RB， ∴点R 在以AB 为直径的圆E 上.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届湖南五市十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR|＝( )A ．2B ． 3C ．2 3D ．3解析：选A 如图，连接MF ，QF ，设准线l 与x 轴交于H ，∵y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，∴|FH|＝2，|PF|＝|PQ|.∵M，N 分别为PQ ，PF 的中点，∴MN∥QF.∵PQ 垂直l 于点Q ，∴PQ ∥OR.∵|PQ|＝|PF|，∠NFR＝60°，∴△PQF 为等边三角形，∴MF⊥PQ.又M 为PQ 的中点，∴F 为HR 的中点，∴|FR|＝|FH|＝2.故选A ．14．(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T(5，0)，O 为坐标原点，则S △AOB ＝( )A ．2 2B ． 3C ． 6D ．3 6解析：选A 由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线l ：y ＝k(x －1)(k≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线y ＝k(x －1)代入y 2＝4x ，化简整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)－2k ＝2k ＋4k －2k ＝4k ，所以AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k ，AB 的垂直平分线方程为y －2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2k 2.由于AB 的垂直平分线与x 轴交于点T(5，0)，所以0－2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－1－2k 2，化简得k ＝±1，即直线AB 的方程为y ＝±(x－1)．点O 到直线AB 的距离d ＝|1|1＋1＝22，又|AB|＝1＋1|x 1－x 2|＝1＋1（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×36－4＝8，所以S △AOB ＝12×22×8＝22，故选A ．15．(2019届洛阳市第二次联考)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点S(0，3)，SA ，SB 与圆C ：x 2＋y 2－my ＝0(m>0)和抛物线x 2＝－2py(p>0)都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，SA∥ON，则点A 到抛物线准线的距离为( )A ．4B ．2 3C ．3D ．3 3解析：选A 连接OM ，∵SM，SN 是圆C 的切线，∴|SM|＝|SN|，|OM|＝|ON|.又SA∥ON，∴SM∥ON，∴四边形SMON 是菱形，∴∠MSN＝∠MON.连接MN ，由切线的性质得∠SMN＝∠MON，则△SMN 为正三角形，又MN 平行于x 轴，所以直线SA 的斜率k ＝tan 60°＝ 3.设A(x 0，y 0)，则y 0－3x 0＝ 3 ①.又点A 在抛物线上，∴x 2＝－2py 0 ②.由x 2＝－2py ，得y ＝－x 22p ，y′＝－1p x ，则－1px 0＝ 3 ③，由①②③得y 0＝－3，p ＝2，所以点A 到抛物线准线的距离为－y 0＋p2＝4，故选A ．16．(2020届湖北部分重点中学联考)已知点A(0，1)，抛物线C ：y 2＝ax(a ＞0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM|∶|MN|＝1∶2，则实数a 的值为________．解析：依题意得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过M 作抛物线的准线的垂线，垂足为K ，由抛物线定义知|MF|＝|MK|.因为|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝3∶1.又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN||KM|＝－3，所以－4a ＝－3，解得a ＝433.答案：43317．(2019届昆明市教学质量检测)已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到准线的距离为d 1，到直线l ：4x －3y ＋11＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析：如图，设抛物线的准线为m ，焦点为F ，分别过点P ，F 作PA⊥m，PM⊥l，FN⊥l，垂足分别为A ，M ，N.连接PF ，因为点P 在抛物线上，所以|PA|＝|PF|，所以(d 1＋d 2)min ＝(|PF|＋|PM|)min ＝|FN|.点F(1，0)到直线l 的距离|FN|＝|4＋11|42＋（－3）2＝3，所以(d 1＋d 2)min ＝3.答案：3。

高考数学总复习椭圆、双曲线、抛物线单元测试题

高考数学总复习椭圆、双曲线、抛物线单元测试题一.选择题(1) 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( )A 2B 3C 4D 5 (2) 若焦点在x轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )ＡＢ32 Ｃ83Ｄ23(3) 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( )A (0, +∞)B (0, 2)C (1, +∞)D (0, 1)(4) 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF( )A 1或 5B 6C 7D 9(5) 对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |, 则a 的取值范围是( )A [0, 1]B (0, 1)C (]1，∞- D (-∞, 0)(6) 若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为( )A1716B 17174C 54D 552(7) 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 ( )A23 B23C 26D 332(8) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB. 则y 1y 2等于( )A – 4p 2B 4p 2C – 2p 2D 2p 2(9) 已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为( )A43B53C 3 (10) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A2B C 2 1 二.填空题(11) 若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.(12)设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .(13) 过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．(14) 以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三.解答题(15)点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.求点P 的坐标； .(16) 已知抛物线C: y=-21x 2+6, 点P （2, 4）、A 、B 在抛物线上, 且直线PA 、PB 的倾斜角互补. (Ⅰ)证明:直线AB 的斜率为定值;(Ⅱ)当直线AB 在y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线AB 的方程.(17) 双曲线12222=-by a x (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥54c.求双曲线的离心率e 的取值范围(18) 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.参考答案一选择题:1.D[解析]：点A 与抛物线焦点的距离就是点A 与抛物线准线的距离，即5)1(4=-- 2.B[解析]：∵焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，∴2122=-m 则m=233.D[解析]： ∵方程x 2+ky 2=2，即12222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆 ∴22>k故10<<k 4.C[解析]：双曲线19222=-y ax 的一条渐近线方程为023=-y x ，故2=a 又P 是双曲线上一点，故4||||||21=-PF PF ，而3||1=PF ，则=||2PF 75.C[解析]：对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |,若,0≤a 显然适合若0>a ，点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |就是2222)2(y y a a +-≤ 即1142≤+≤y a ，此时10≤<a 则a 的取值范围是(]1，∞- 6.D[解析]：3522=-+b c bc ，5245222==∴=∴=a c e a c b c 7.D[解析]：双曲线)0(1222>=-a y a x 的准线为122+±=a a x抛物线x y 62-=的准线为23=x 因为两准线重合，故122+a a =23，2a =3，则该双曲线的离心率为328.A[解析]：∵A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB.∴04)(0,12122212121=+∴=+∴-=⋅y y py y y y x x k k OBOA 则y 1y 2 = – 4p 29.C[解析]：∵120,MF MF ⋅=∴点M 在以F 1F 2为直径的圆322=+y x 上故由32||1232222=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+y y x y x 得则点M 到x 轴的距离为332 10.D[解析]：不妨设点P 在 x 轴上方，坐标为),(2ab c ,∵△F 1PF 2为等腰直角三角形∴|PF 2|=|F 1F 2|，即c a b 22=，即e e a c ac a 2122222=-∴=- 故椭圆的离心率e1二填空题:11. 1922=-y x [解析]：因为双曲线的渐近线方程为x y 3±=，则设双曲线的方程是λ=-922y x ，又它的一个焦点是()0,10 故1109=∴=+λλλ12. 1222=+y x [解析]：双曲线2 x 2-2y 2=1的焦点为（)0,1±，离心率为2故椭圆的焦点为（)0,1±，离心率为22, 则1,2,1===b a c ，因此该椭圆的方程是1222=+y x 13. 2[解析]：设双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1，右顶点为A ，因为以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，故|F 1M|=|F 1A|，∴c a ab +=2∴2112=∴+=-e e e 14. ③④[解析]：根据双曲线的定义必须有||||AB k ≤，动点P 的轨迹才为双曲线，故①错 ∵),(21OB OA OP +=∴P 为弦AB 的中点，故090=∠APC 则动点P 的轨迹为以线段AC 为直径的圆。

中职拓展模块椭圆、双曲线-抛物线试题

中职拓展模块椭圆、双曲线、抛物线测试题（时间：60分钟总分：100分）得分：_________一、单选题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1、若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( ) A (0, +∞) B (0, 2) C (1, +∞) D （0,1)2、抛物线28y x =的准线方程是（）A ：x=2B ：x=-4C ：y=-2D ： y=-43、焦点为1(5,0)F -、2(5,0)F ，实轴长是6的双曲线的方程是（）A 、221169x y -= B 、221916x y -= C 、221169y x -= D 、22196x y -= 4、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．45、双曲线的渐近线方程是（） A ： 2y x =± B ： 0.5y x =± C ： 2y x =- D ： 0.5y x = 6、一动圆圆心在抛物线y x 82-=上，且动圆恒与直线y =2相切，则动圆必过定点（） A 、（4，0） B 、（0，–4） C 、（2，0） D 、（0，–2）7、过抛物线焦点任作一弦，以这弦为直径作圆，这圆与抛物线的准线的位置关系是（） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定8、等轴双曲线的离心率是（）A 、1BC 、1/2D 、不确定9、椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（） A.5 B.6 C.4 D.1010、曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.不能确定二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11. 双曲线221259x y -=的实虚轴长分别是，顶点坐标是，焦点坐标是，渐近线方程是，离心率是。

高中数学《抛物线》单元测试

一、选择题1．(2017·广东汕头质检)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析 ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1,0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B两点，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4,4)，则FA →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB→|FA →||FB →|＝－810＝－45.故选D. [答案 D2．(2017·北京东城期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[解析过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意．设直线AB 的斜率为，则直线AB 的方程为y ＝ (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得 2x 2－2( 2＋2)x ＋ 2＝0.∵A ，B 两点的横坐标之和等于3，∴2k 2＋2k 2＝3.解得＝±2，∴符合题意的直线有且仅有两条．故选B.[答案 B3．(2017·湖南长沙调研)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝4x C ．y 2＝±8x D ．y 2＝8x[解析 ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，∴直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4.∵直线l与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线的方程为y 2＝±8x ，故选C.[答案 C4．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A ，点B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能[解析由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB |＝|BF |.所以△BNF 是等腰三角形．因为BN ∥OF ，所以NF 平分∠OFB .同理MF 平分∠OFA ，所以∠NFM ＝90°.故选B.[答案 B5．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C ：y 2＝－8x 的焦点为F ，直线l ：x ＝1，点A 是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B .若FA →＝－3FB →，则|AB |＝( )A ．20B ．16C ．10D ．5[解析由抛物线C ：y 2＝－8x ，得F (－2,0)．设A (1，a )，B (m ，n )，且n 2＝－8m .∵FA →＝－3FB →，∴1＋2＝－3(m ＋2)，解得m ＝－3，∴n ＝±2 6.∵a ＝－3n ，∴a ＝±66， ∴|AB |＝1＋32＋26＋662＝20.故选A.[答案 A6．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 [解析如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H .根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |，在△NHM 中，|NM |＝2|NH |，则∠NMH ＝45°.在△MF 中，∠FM ＝45°，所以|MF |＝2|F |.而|F |＝1. 所以|MF |＝ 2.故选C. [答案 C7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为__________． [解析曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.[答案 2 二、填空题8．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，倾斜角等于45°的直线过F 交该抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝__________.[解析由抛物线焦点弦的性质，得|AB |＝2p sin 2α＝2×2sin 245°＝8. [答案 89．(2017·黑龙江绥化期末)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P ( 1,0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝PA →，则|AF |＋2|BF |＝________.[解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P (1,0)，∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，PA →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝PA →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)，∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1. 将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF |＋2|BF |＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝15. [答案 15 三、解答题10．(2017·河北沧州百校联盟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点P 的横坐标为2，|PF |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积． [解 (1)由抛物线定义可知，|PF |＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由y 2＝4x ，得F (1,0)，∴过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33(x －1)．联立y 2＝4x ，消去x 得y 2－43y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4. ∴S △OAB ＝S △OAF ＋S △OFB ＝12|y 1－y 2|＝12×48＋16＝4.[能力提升11．(2017·辽宁沈阳二中期中)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a (a >0)，n ＝|MF |＋|NF |，则2a －n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析由题意得F (1,0)，准线方程为x ＝－1.线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)．由抛物线的定义，得n ＝|MF |＋|NF |＝x M ＋1＋x N ＋1＝x M ＋x N ＋2＝2x 0＋2.因为线段MN 的垂直平分线方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)，令y ＝0，得x ＝ y 0＋x 0，即a ＝ y 0＋x 0.由点差法可得 y 0＝2，所以x 0＝a －2，所以2a －n ＝2x 0＋4－(2x 0＋2)＝2.故选A.[答案 A12．(2017·北京昌平期末)已知△ABC 的三个顶点均在抛物线y 2＝x 上，边AC 的中线BM ∥x 轴，|BM |＝2，则△ABC 的面积为________．[解析根据题意设A (a 2，a )，B (b 2，b )，C (c 2，c )，不妨设a >c .∵M 为边AC 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22，a ＋c 2.又∵BM ∥x 轴，∴b ＝a ＋c2. ∴|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－a ＋c 24＝2，∴(a －c )2＝8，∴a －c ＝2 2.作AH ⊥BM 交BM 的延长线于H ，故S △ABC ＝2S △ABM ＝2×12|BM |·|AN |＝2|a －b |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a ＋c 2＝a －c ＝2 2.[答案 2 213．(2017·福建厦门期中)设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)若l 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值． [解 (1)∵直线l 的斜率为1且过点F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.Δ>0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.(2)证明：设直线l的方程为x ＝ y ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4 y －4＝0，Δ>0.设A ＝(x 1，y 1)，B ＝(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4 ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝( y 1＋1)( y 2＋1)＋y 1y 2＝ 2y 1y 2＋ (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4 2＋4 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →＝－3是一个定值．14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．[解 (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.( )设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(1)中( )式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m216m 2－32，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝± 3. 所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.15.已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． [解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2. ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y . (2)设l ：y ＝ (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4得x 2－4 x －16 ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B2＝2 ，y 0＝ (x 0＋4)＝2 2＋4 .∴线段BC 的中垂线方程为y －2 2－4 ＝－1k(x －2 )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2 2＋4 ＋2＝2( ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16 2＋64 >0得： >0或 <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．。

新高考一轮复习人教版抛物线及其性质作业

9.4抛物线及其性质基础篇固本夯基考点一抛物线的定义及标准方程1.(2022届广州花都8月调研,3)已知抛物线x2=ay的焦点为F,且M(2,1)为抛物线上的点,则|MF|=()A.1B.2C.3D.4答案B2.(2022届江苏百校大联考,3)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上第一象限的点,若|FA|=73,则直线OA的倾斜角为()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案C3.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x 23p +y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案D4.(2021石家庄3月质检,7)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,MF的延长线交y轴于点N.若MF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FN⃗⃗⃗⃗ ,则|MF|为()A.8B.6C.4D.2答案A5.(2020课标Ⅰ理,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.9答案C6.(2021广东湛江一模,6)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,点M是C上的一点,M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍,且|MF|=6,则p=()A.4B.6C.8D.10答案A7.(2021北京,12,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为;△MNF的面积为.答案5;4√5考点二抛物线的几何性质1.(2022届广东茂名11月测试,2)抛物线x=43y2的焦点坐标为()A.(13,0)B.(0,13)C.(316,0)D.(0,23)答案C2.(2021山东枣庄二模,4)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则C的焦点到其准线的距离为()A.1 4B.12C.1D.2答案B3.(2020课标Ⅲ,文7,理5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()A.(14,0)B.(12,0)C.(1,0)D.(2,0)答案B4.(2021辽宁朝阳一模,8)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F与x轴垂直的直线交C于点M,N,有下列四个命题:甲:点F的坐标为(1,0);乙:抛物线C的准线方程为x=-2;丙:线段MN的长为4;丁:直线y=x+1与抛物线C相切.如果只有一个命题是假命题,则该命题是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案B5.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)考点三直线与抛物线的位置关系1.(2022届广东深圳三中检测,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,延长FB交准线于点C,若|BC|=2|BF|,则|BF||AF|=()A.1 4B.13C.12D.23答案B2.(多选)(2022届山东师大附中开学考试,11)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是()A.以线段AB为直径的圆与直线x=-12相交B.以线段BM为直径的圆与y轴相切C.当AF⃗⃗⃗⃗ =2FB⃗⃗⃗⃗ 时,|AB|=92D.|AB|的最小值为4答案ACD3.(2021百校大联考(六),12)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为-2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M,N两点,若|MN|=52,则该抛物线的方程是()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=6x 答案B4.(2021济南二模,7)已知抛物线x 2=2py(p>0),过焦点F 的直线与抛物线交于A,B 两点(点A 在第一象限).若直线AB 的斜率为√33,点A 的纵坐标为32,则p 的值为( )A.14B.12C.1D.2 答案 C5.(2018课标Ⅰ理,8,5分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M,N 两点,则FM ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗ =( )A.5B.6C.7D.8 答案 D6.(2019课标Ⅰ理,19,12分)已知抛物线C:y 2=3x 的焦点为F,斜率为32的直线l 与C 的交点为A,B,与x 轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程;(2)若AP ⃗⃗⃗⃗ =3PB⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|. 解析设直线l:y=32x+t,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). (1)由题设得F (34,0),故|AF|+|BF|=x 1+x 2+32, 由题设可得x 1+x 2=52.由{y =32x +t,y 2=3x可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t−1)9.从而-12(t−1)9=52,得t=-78.所以l 的方程为y=32x-78.(2)由AP⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2.由{y =32x +t,y 2=3x可得y 2-2y+2t=0.所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3.代入C 的方程得x 1=3,x 2=13.故|AB|=4√133. 综合篇知能转换A 组考法一利用抛物线的定义解题1.(2021福建龙岩三模,6)已知抛物线x 2=4y 的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点P 作PQ ⊥l,垂足为Q,若|PF|=4,则∠FQP=( )A.30°B.45°C.60°D.75° 答案 C2.(2022届广东深圳实验学校、长沙市一中联考,13)抛物线y=ax 2(a>0)上的点M (m,12)到其准线l 的距离为1,则a 的值为 . 答案123.(2022届华大新高考联盟11月测评,13)已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则该抛物线上任一点到焦点的距离的取值范围是 . 答案 [1,+∞)4.(2021广东肇庆二模,15)已知点P 是抛物线x 2=8y 上的一个动点,则点P 到点A(2,0)的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为 . 答案 2√25.(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O 为坐标原点,抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP.若|FQ|=6,则C 的准线方程为 . 答案 x=-32考法二直线与抛物线的位置关系问题1.(2022届湖北部分学校11月质检,6)已知抛物线y 2=4x,直线l 与抛物线交于A,B 两点,若线段AB 中点的纵坐标为2,则直线AB 的斜率为( ) A.2 B.√3 C.√33D.1答案 D2.(多选)(2021湖南衡阳联考(一),11)已知抛物线C:x 2=2py(p>0),过其准线上的点T(1,-1)作C 的两条切线,切点分别为A 、B,下列说法正确的是( ) A.p=1 B.TA ⊥TBC.直线AB 的斜率为12D.线段AB 中点的横坐标为1 答案 BCD3.(2022届四省八校期中,14)过点M(-1,2)作抛物线y 2=4x 的两条切线,切点分别为A 、B,则线段AB 的中点到抛物线准线的距离为 . 答案 44.(2020新高考Ⅰ,13,5分)斜率为√3的直线过抛物线C:y 2=4x 的焦点,且与C 交于A,B 两点,则|AB|= . 答案1635.(2019北京理,18,14分)已知抛物线C:x 2=-2py 经过点(2,-1). (1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON 于点A 和点B.求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.解析 (1)由抛物线C:x 2=-2py 经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C 的方程为x 2=-4y,其准线方程为y=1. (2)证明:抛物线C 的焦点为F(0,-1).设直线l 的方程为y=kx-1(k ≠0). 由{y =kx −1,x 2=−4y 得x 2+4kx-4=0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1x 2=-4,直线OM 的方程为y=y 1x 1x. 令y=-1,得点A 的横坐标x A =-x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B =-x 2y 2.设点D(0,n),则DA ⃗⃗⃗⃗ =(−x 1y 1,−1−n ),DB⃗⃗⃗⃗ =(−x2y 2,−1−n ), DA⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2y 1y 2+(n+1)2=x 1x 2(−x 124)(−x 224)+(n+1)2=16x 1x 2+(n+1)2=-4+(n+1)2.令DA ⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗ =0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3. 综上,以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,-3).6.(2021全国乙文,20,12分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值. 解析 (1)∵抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2,∴p=2.∴抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)由已知不妨设点P(4x 02,4x 0),Q(x 1,y 1),则PQ ⃗⃗⃗⃗ =(x 1-4x 02,y 1-4x 0),∵F(1,0),∴QF ⃗⃗⃗⃗ =(1-x 1,-y 1), ∵PQ ⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗ ,∴{x 1−4x 02=9(1−x 1),y 1−4x 0=9(−y 1),整理得{x 1=110(9+4x 02),y 1=410x 0,∴k OQ =y 1x 1=4x 09+4x 02, 当k OQ 最大时,x 0>0,∴k OQ =49x 0+4x 0≤2√36=13,当且仅当4x 0=9x 0时取“=”,此时x 0=32,点P 的坐标为(9,6),因此k OQ 的最大值为13.B 组1.(2020北京,7,4分)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P 是抛物线上异于O 的一点,过P 作PQ ⊥l 于Q,则线段FQ 的垂直平分线( )A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP 答案 B2.(2017课标Ⅱ文,12,5分)过抛物线C:y 2=4x 的焦点F,且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴的上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为( ) A.√5 B.2√2 C.2√3 D.3√3 答案 C3.(2022届广东深圳七中月考,8)过抛物线C:y 2=4x 的焦点作倾斜角为34π的直线l 交C 于A 、B 两点,以C 的准线上一点M 为圆心作圆M 经过A 、B 两点,则圆M 的面积为( ) A.96π B.48π C.32π D.16π 答案 B4.(多选)(2022届广东11月大联考,10)已知P(x 0,y 0)是抛物线C:y 2=4x 上一动点,则( ) A.C 的焦点坐标为(2,0)B.C 的准线方程为x+1=0 C.x 0+1=√(x 0−1)2+y 02D.x 0+1y 02+1的最小值为34答案 BCD5.(2021湖北九师联盟2月质检,8)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x 0,2√2)(x 0>p2)是抛物线C 上一点,以点M 为圆心的圆与直线x=p2交于E,G 两点,若sin ∠MFG=13,则抛物线C 的方程是( ) A.y 2=x B.y 2=2x C.y 2=4x D.y 2=8x 答案 C。

抛物线测试卷

抛物线测试卷(本测试共17题,满分100分,时间80分钟) 日期姓名得分一、填空题:(共十小题,每题5分,共50分)1、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F （1，0），直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点。

若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为。

2、若直线2+=kx y 与抛物线x y 42=只有一个公共点，则k = 。

3、若直线b x y +=与抛物线y x 22=交于异于原点的A 、B 两点，且0=⋅OB OA ，则实数b 的值为。

4、过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影分别为11,B A ，则11FB A ∠= 。

5、已知直线)0()2(>+=k x k y 与抛物线C ：x y 82=相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点。

若FB FA 2=，则k= 。

6、。

的最小值是，则上一动点及抛物线已知点____||),(4)0,22(2PQ y y x P x y Q += 7、若一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则此动圆必过定点________。

8、已知点P 为抛物线24y x =上一点，记点P 到y 轴距离为1d ，点P 到直线34120l x y -+=：的距离为2d ，则12d d +的最小值为_______。

9、过抛物线24y x =的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则11p q +=_____。

10、设斜率为2的直线l 过抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为二、选择题：（共四小题，每题5分，共20分）11、若动点M （x ，y ）满足1243)2()1(522+-=-+-y x y x ，则点M 的轨迹是（）A 、圆；B 、椭圆；C 、双曲线；D 、抛物线。

抛物线综合测试(含有详细答案)

高二数学抛物线综合测试满分：150分时间：100分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填写在题后的表格中．1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( )A.|a |4B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．[2010·陕西卷] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 3．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2) 4．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点( )A ．(2,0)B ．(1,0)C ．(0,1)D ．(0，－1)5．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x6．(2011·北京)已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图像上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．17．(2011·大纲全国理)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则 cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－458．(2010·辽宁)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．83D ．169．[2010·山东卷] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－210．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，交准线于C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8高二数学抛物线综合测试选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请将答案填写在横线上．11．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |等于 .12．如果直线l 过定点M (1,2)，且与抛物线y ＝2x 2有且仅有一个公共点，那么l 的方程为 . 13．抛物线y 2＝x 上的点到直线x －2y ＋4＝0的距离最小的点的坐标是________．14．[2010·浙江卷] 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________． 15．[2010·全国卷Ⅱ] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝________．三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x 焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长。

高二数学同步测试—抛物线(含答案)

高二数学单元测试—抛物线一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．抛物线22x y =的焦点坐标是（）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0( D ． )41,0(2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（） A ．y x 82= B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-=3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于（）A ．15B ．152C ．215D ．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是（）A ．y x 292-=或x y 342= B ．x y 292-=或y x 342=C ．y x 342= D ．x y 292-=5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（）A ．0B ．1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,,成等差数列，则（） A ．321,,x x x 成等差数列 B ．231,,x x x 成等差数列 C ．321,,y y y 成等差数列 D ．231,,y y y 成等差数列 7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PF PA +取得最小值时点P 的坐标是（）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21(8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,则关系式2121x x y y 的值一定等于（）A ．4pB ．－4pC ．p 2D ．－p9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，则qp11+（）A ．a 2B ．a21C ．a 4D ．a410．若AB 为抛物线y 2=2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（） A ．21a B ．21p C ．21a ＋21p D ．21a －21p二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ___________．13．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a的取值范围是．14．A 是抛物线)0(22>=p px y 上任一点，F 是抛物线焦点，则以AF 为直径的圆与y 轴（相交、相切、相离）15．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y 轴上；（2）焦点在x 轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线中垂直于轴的焦点弦长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y 2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______．三、解答题（本大题共6小题，共76分）16.已知以抛物线的焦点弦AB 为直径的圆与直线x=-2相切，求抛物线的标准方程，若直线AB 的倾斜角为45°，求弦AB 的长17.已知过抛物线y 2=2px 的顶点O 作互相垂直的两直线OA 、OB ，分别与抛物线相交于A 、B 两点，求证直线AB 过x 轴上的定点。

椭圆双曲线抛物线基础测试题(100分钟)

椭圆、双曲线、抛物线基础测试题1椭圆、双曲线、抛物线基础测试题时间：100分钟满分：100分班级姓名成绩一.选择题（下列各题中只有一个正确答案，每小题4分共24分）1. 到两点F 1 (0, 3 )、F 2 (0, -3 ) 的距离之和等于10的动点M 的轨迹方程是 ( ) ( A )14522=+y x ( B ) 15422=+y x ( C ) 1162522=+y x ( D ) 1251622=+y x 2. 双曲线4x 2 - 3y 2 = 12的共轭双曲线是 ( ) ( A ) 4y 2 - 3x 2 = 12 ( B ) 3x 2 - 4y 2 = 12 ( C ) 3y 2 - 4x 2 = 12 ( D ) 4x 2 - 3y 2 = 123. 顶点在原点、坐标轴为对称轴，经过点P( 1, -2 )的抛物线方程是 ( ) ( A ) y 2 = 4x ( B ) x 2 =21-y ( C ) y 2 = 4x, x 2 = 4y ( D ) y 2 = 4x, x 2 =21-y 4. 若椭圆15922=+xy ，则9等于 ( ) ( A ) 两焦点间的距离 ( B ) 一焦点到长轴一端点的距离 ( C ) 两准线间的距离 ( D ) 椭圆上一点到准线的距离5. 当曲线1422=-+ky k x 表示焦点在x 轴上的双曲线时，则 ( ) ( A ) k > 0 ( B ) k > 4 ( C ) 0 < k < 4 ( D ) k > 4或k < 06. 双曲线的两条准线把连接两焦点的线段三等分，则双曲线的离心率是 ( ) ( A )3 ( B ) 3 ( C )33 ( D ) 33± 二.填空题（每空4分，共24分）1. 抛物线x 2 = 4y + 8的焦点坐标是 .2. 离心率为2的双曲线的渐近线的夹角等于 .3. 经过两点M(3, 0 )、N( 0, -2 )的椭圆的标准方程是 .4. 若椭圆的一焦点到短轴两端点的连线垂直，则椭圆的离心率是 .5. AB 是过椭圆x 2 + 2y 2 = 4焦点F 1的弦，它与另一焦点F 2所连成三角形的周长等于 .6. 当抛物线y 2 = 4x 上一点P 到焦点F 和点A( 2, 2 )的距离之和最小时，点P 的坐标是三.解答题（5道题，共52分）1、已知双曲线的一渐近线方程是x +2y = 0, 且过点M(-6, 4 )，求双曲线的标准方程. (10分)2、求直线y = 2x + 1与抛物线x 2 - y = 1相交所得的弦长. (共10分)3、一抛物线以双曲线 191622＝y x + 的右顶点为顶点，左焦点为焦点，求此抛物线的方程。

初四数学抛物线中考核心难题

问题1.抛物线y=kx 2-7x-7的图像和x 轴有交点，则k 的取值范围——使b 2-4ac ≥0 12月17日数学预习学案2.如图2，抛物线y=ax 2-5ax+4经过△ABC 的三个顶点，已知BC∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC.(1)求抛物线的对称轴；用-b/2a 计算出来即可(2)写出A ，B ，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；求出B 点后计算出CB 的长，AC=BC ，所以用AC 2-CO 2=AO 2，即可求出A 点坐标，代入A B C 求出解析式(3)探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在△PAB 是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由.用勾股定理求出AB 与BD 的长度1、BA=BP ，然后再用勾股定理求出PD ，看看是否符合在x 轴下方 2、PA=PB 3、PA=AB第3问———初四七中周4测试3.已知:在⊙O 的内接△ABC 中,AB+AC=12,AD ⊥BC 于D,且AD=3,设⊙O 的半径为y, AB 的长为x. (1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)当AB 的长为多少时,⊙O 的面积最大?并求出⊙O 的最大面积.——第1问（出自12月13日数学考试试卷）（1）ΔABE ≌ΔADC(∠ABE=∠ADC=90；∠E=∠C 因为同是弧AB所以AB:AD=AE:AC 即x:3=2y:(12-x)可求出关系式（2）用第一问的关系式求出使y 最大的时候x 的值，再求出y 此时圆的半径最大，也就是圆的面积最大，进而求出圆的面积。

4.蔬菜基地种植某种蔬菜,有市场行情分析知,1月份至6月份之这种蔬菜的上市时间(x)月份与市场售价p(元/千克)的关系如下表:这种蔬菜每千克的种植成本x(元/千克)与上市时间x(月份)满足一个函数关系,这个函数关图象是抛物线的一段.(1).写出上表中表示的市场售价p(元/千克)关于上市时间x(月份)的函数关系式.用y=kx+b(2).若图中抛物线经过A 、B 、C 三点,写出抛物线对应的函数关系式.(3).由以上信息分析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大?最大值为多少?(收益=市场售价-种植成本)————周5课堂学案没有图啊 B PD。