抛物线单元测试题

抛物线期末复习单元测试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1 抛物线x y 102

=的焦点到准线的距离是（ ）

A

25 B 5 C 2

15 D 10 2．以抛物线2

2(0)y px p =>的焦半径||PF 为直径的圆与y 轴位置关系是（ ）

A 相交

B 相切

C ．相离 Ｄ．以上三种均有可能

3 设AB 为过抛物线)0(22

>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）

A

2

p

B p

C p 2

D 无法确定 4 若抛物线x y =2

上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）

A 1(,4

B 1(,8

C 1(4

D 1(8 5．若双曲线22

21613x y p

-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6．已知点P 在抛物线2

4y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）

A ．（

41，－1） B ．（4

1，1） C ．（1，2） D ．（1，－2）

7．已知点P 是抛物线2

2y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）

A ．

2

B ．3

C

D ．

92

8．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点11

1222()()P x y P x y ，，，， 333()P x y ，在抛物线上，且123,,x x x 成等差数列， 则有（ ）

Ａ．123FP FP FP +=

Ｂ．22

2

12

3FP FP FP +=

Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2

2

13FP FP FP =·

9．过点(2,4)M 作与抛物线28y x =只有一个公共点的直线l 有 （ ）

A ．0条

B ．1条

C ．2条

D ．3条

10．已知抛物线2

:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且

AK =，则AFK ∆的面积为( )

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32

11．抛物线2

2x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线

m x y +=对称，

且2

1

21-=⋅x x ，则m 等于（ ） A

23 B 2 C 2

5

D 3 12．过抛物线2

(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ

的长分别是p 、q ，则

q

p 1

1+等于（ ） A ．2a B ．

a

21

C ．4a

D ．

a

4 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上） 13．若直线10ax y -+=经过抛物线2

4y x =的焦点，则实数a = ．

14．过抛物线2

2(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则

AF

FB

= ． 15.已知抛物线2

1y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．

16 对于抛物线2

4y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是 。

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(3,)M m -到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值。

18．（本小题满分12分）已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线与直线25y x =-无公共点，试在抛物线上求一点，使这点到直线25y x =-的距离最短。

19．（本小题满分12分）如图，已知点(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点， 过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线

l 于点M ，已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+

20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：2

2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ． （Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）如图倾斜角为α的直线经过抛物线2

8y x =的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；

（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明cos2FP FP α-为定值，并求此定值．

22．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2

y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，． （Ⅰ）若2OA OB =，求c 的值；

（Ⅱ）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； （Ⅲ）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．