第1讲正余弦函数的图像和性质讲义

正弦、余弦函数的图像与性质

知识点归纳

三角函数

sin y x =

cos y x =

图像（只画一个周期内的图像）

定义域 R

R

值域

[1,1]-

[1,1]-

最值

当max 2,,12

x k k Z y π

π=

+∈=； 当min 2,,12

x k k Z y π

π=-

+∈=-；

当max 2,,1x k k Z y π=∈=； 当min 2,,1x k k Z y ππ=+∈=-； 奇偶性 奇函数

偶函数

周期性

2T π=

2T π=

单调性

在每个区间[2,2]()

22

k k k Z π

π

ππ-

+

∈上都是增函数； 在每个区间3[2,2]()2

2

k k k Z π

π

ππ++

∈ 上都是减函数；

在每个区间[(21),2]()k k k Z ππ-∈上都是增函数；

在每个区间[2,(21)]()k k k Z ππ+∈

上都是减函数； 对称中心

(,0),k k Z π∈ (,0),2

k k Z π

π+

∈

对称轴

,2

x k k Z π

π=+

∈

,x k k Z π=∈

巩固提高检测题

一、选择题（每小题5分，共50分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．函数)3

2sin(2π

+=x y 的图象

（ ）

A ．关于原点对称

B ．关于点（－6

π，0）对称

C ．关于y 轴对称

D ．关于直线x =6

π对称

2．函数]),0[)(26

sin(2ππ

∈-=x x y 为增函数的区间是

（ ）

A ．]3

,

0[π

B ．]127,

12

[

π

π

C ．]

65,3[ππ D ．],6

5[

ππ

3．设a 为常数，且π20,1≤≤>x a ，则函数1sin 2cos )(2-+=x a x x f 的最大值为（ ）

A ．12+a

B ．12-a

C ．12--a

D ．2

a

4．函数)25

2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ）

A ．2

π-=x

B ．4

π-

=x

C ．8

π

=

x

D ．π4

5=x

5．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是 （ ）

A ．3

,1π

ϕω=

=

B ．3

,1π

ϕω-

==

C ．6,21πϕω==

D ．6

,21π

ϕω-==

6．下列函数中，以π为周期的偶函数是

（ ）

A ．|sin |x y =

B ．||sin x y =

C ．)3

2sin(π

+

=x y D ．)2

sin(π

+

=x y

7．如果函数y=sin2x +αcos2x 的图象关于直线x=－8

π

对称，那么α的值为 （ ）

A ．2

B ．－2

C ．1

D ．－1 8．函数y=2cos 2

x +1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）

A ．

2

π

B ．π

C ．π2

D ．π4 9．已知函数1)2

sin()(--=π

πx x f ，则下列命题正确的是

（ ）

A ．)(x f 是周期为1的奇函数

B ．)(x f 是周期为2的偶函数

C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数

D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数

10．函数x x y cot cos +-=的定义域是

（ ）

A ．]23,[ππππ+

+k k B ．]2

3

2,2[ππππ++k k C ．2

2]232,2(π

πππππ+=++k x k k 或 D ．]232,2(ππππ++k k

1

y

x

3

π-

3

2π

二、填空题（每小题5分，共25分，答案填在横线上） 11．已知函数)0(sin 21>+=A A

x y π的最小正周期为3π，则A= . 12．在0≤x ≤

2

π条件下，则y ＝cos 2x －sin x cos x －3sin 2

x 的最大值为 13．已知方程0sin 4cos 2=-+a x x 有解，那么a 的取值范围是 . 14．函数y ＝

2

cos 1

cos 3++x x 的值域是__________ ______________.

15．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当

]

2

,

0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为

三、解答题（本大题共75分，16—19题每题12分，20题13分，21题14分）

16．已知函数)(32

5

cos 35cos sin 5)(2

R x x x x x f ∈+

-⋅= （1）求)(x f 的最小正周期;（2）求)(x f 的单调区间; （3）求)(x f 图象的对称轴，对称中心.

17．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω． （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．