大学数学实验

大学数学实验项目一矩阵运算与方程组求解实验1 行列式与矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Mathematica (4.0以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.基本命令在Mathematica 中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.1. 表在形式上是用花括号括起来的若干表达式, 表达式之间用逗号隔开. 如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}则输入了两个向量.2. 表的生成函数(1) 最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n }; Range[m, n]—生成表{m ,…,n };Range[m, n, dx]—生成表{m ,…,n }, 步长为d x . (2) 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]则输出 {1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]则输出 {{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3. 表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 可以用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}则输出 {{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如, 输入命令:MatrixForm[A] 则输出 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛5432 但要注意, 一般地, MatrixForm[A]代表的矩阵A 不能参与运算.输入B={1,3,5,7}输出为{1,3,5,7}输入MatrixForm[B]输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7531 虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量, 但实质上Mathematica 不区分行向量与列向量. 或者说在运算时按照需要, Mathematica 自动地把向量当作行向量或列向量.下面是一个生成抽象矩阵的例子. 输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}] MatrixForm[%]则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛]3,4[]2,4[]1,4[]3,3[]2,3[]1,3[]3,2[]2,2[]1,2[]3,1[]2,1[]1,1[a a a a a a a a a a a a 注:这个矩阵也可以用命令Array 生成,如输入Array[a,{4,3}]//MatrixForm则输出与上一命令相同.4. 命令IdentityMatrix[n]生成n 阶单位矩阵. 例如,输入IdentityMatrix[5]则输出一个5阶单位矩阵(输出略).5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n 阶对角矩阵. 例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]则输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6. 矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵A 与B 的加法;k*A 表示数k 与矩阵A 的乘法; A.B 或Dot[A,B]表示矩阵A 与矩阵B 的乘法.7. 求矩阵A 的转置的命令:Transpose[A].8. 求方阵A 的n 次幂的命令:MatrixPower[A,n]. 9. 求方阵A 的逆的命令:Inverse[A]. 10.求向量a 与b 的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵A 的转置函数Transpose[A] 例1.1 求矩阵的转置. 输入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}}; Transpose[ma]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛411365243271 如果输入Transpose[{1,2,3}]输出中提示命令有错误. 由此可见, 向量不区分行向量或列向量.矩阵线性运算例1.2 设,291724,624543⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求.24,A B B A -+ 输入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}}; A+B//MatrixForm 4B-2A//MatrixForm输出为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43241801081151267如果矩阵A 的行数等于矩阵B 的列数, 则可进行求AB 的运算. 系统中乘法运算符为“.”, 即用A.B 求A 与B 的乘积, 也可以用命令Dot[A,B]实现. 对方阵A , 可用MatrixPower[A,n]求其n 次幂.例1.3 设,148530291724,36242543⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mb ma 求矩阵ma 与mb 的乘积. 输入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}};mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}}; ma.mb//MatrixForm输出为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛655642566532矩阵的乘法运算例1.4 设,101,530291724⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求AB 与,A B T 并求.3A输入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}}; B={1,0,1};A.B输出为{11,3,5}这是列向量B 右乘矩阵A 的结果. 如果输入B.A输出为{4,5,12}这是行向量B 左乘矩阵A 的结果,A B T 这里不需要先求B 的转置. 求方阵A 的三次方, 输入MatrixPower[A,3]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26047754444932141555660119 例1.5 设,421140123,321111111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A T输入A={{-1,1,1},{1,-1,1},{1,2,3}} MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{-1,2,-4}} MatrixForm[B]3A.B -2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm则输出A AB 23-及B A T 的运算结果分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----334421424141010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10120821444求方阵的逆例1.6 设,5123641033252312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A 输入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}}; Inverse[ma]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1652116114581081218192829211161121162147 注: 如果输入Inverse[ma//MatrixForm]则得不到所要的结果, 即求矩阵的逆时必须输入矩阵的数表形式例1.7 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--027926243043286345248127的逆矩阵.解 A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例1.8 设,221331317230,5121435133124403⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B A 求.1B A - 输入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}}; B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}}; Inverse[ma].B//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1671635583891898932516916619对于线性方程组,b AX =如果A 是可逆矩阵, X ,b 是列向量, 则其解向量为.1b A -例1.9 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=++.2442,63,723z y x z y x z y x 输入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}}; b={7,6,-2}; Inverse[A].b输出为{1,1,2}求方阵的行列式例1.10 求行列式 .3351110243152113------=D 输入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}}; Det[A]输出为40例1.11 求.11111111111122222222ddd d c c c c b b b b a a a a D ++++=输入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1}, {c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}}; Det[A]//Simplify则输出2222d c b a )abcd 1)(d c )(d b )(d a )(c b )(c a )(b a (+--------例1.12 计算范德蒙行列式.1111145444342413534333231252423222154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 输入Clear[x];Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛444443333322222]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[11111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x再输入Det[van]则输出结果比较复杂(项很多)若改为输入Det[van]//Simplify或Factor[Det[van]]则有输出(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4]) (x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5]) (x[3]-x[5])(x[4]-x[5])例1.13 设矩阵 ,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求.),(|,|3A A tr A 输入A={{3,7,2,6,-4},{7,9,4,2,0},{11,5,-6,9,3},{2,7,-8,3,7},{5,7,9,0,-6}}MatrixForm[A] Det[A] Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm则输出3),(|,|A A tr A 分别为11592 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12574547726668013841222451984174340410063122181713228151626315018483582949442062726向量的内积向量内积的运算仍用“.”表示, 也可以用命令Dot 实现 例1.14 求向量}3,2,1{=u 与}0,1,1{-=v 的内积. 输入u={1,2,3}; v={1,-1,0}; u.v输出为-1或者输入Dot[u,v]所得结果相同.实验习题1.设,150421321,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A '2.设,001001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλA 求.10A 一般地?=k A (k 是正整数).3.求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a a a aa1111111111111111111111111的逆. 4.设,321011324⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 且,2B A AB +=求.B5.利用逆矩阵解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.353,2522,132321321321x x x x x x x x x实验2 矩阵的秩与向量组的极大无关组实验目的学习利用Mathematica 求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组.基本命令1. 求矩阵M 的所有可能的k 阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].2. 把矩阵A 化作行最简形的命令:RowReduce[A].3. 把数表1,数表2, …,合并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入Join[{{1,0,-1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]则输出 {{1,0,-1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}实验举例求矩阵的秩例2.1 设,815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=M 求矩阵M 的秩.输入Clear[M];M={{3,2,-1,-3,-2},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}}; Minors[M,2]则输出{{-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11},{-14,22,18,-10,10,-2, -16,16,18,22},{7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11}}可见矩阵M 有不为0的二阶子式. 再输入Minors[M,3]则输出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可见矩阵M 的三阶子式都为0. 所以.2)(=M r例2.2 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1t 0713123123M 的秩等于2, 求常数t 的值.左上角的二阶子式不等于0. 三阶子式应该都等于0. 输入Clear[M];M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}}; Minors[M,3]输出为{{35-7t,45-9t,-5+t}}当5=t 时, 所有的三阶子式都等于0. 此时矩阵的秩等于2.例2.3 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3224211631095114047116的行最简形及其秩. 输入A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,-9,0},{-1,3,-16,-1},{2,-4,22,3}} MatrixForm[A]RowReduce[A]//MatrixForm则输出矩阵A 的行最简形⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000000100005100101 根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为3.矩阵的初等行变换命令RowfReduce[A]把矩阵A 化作行最简形. 用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆.例2.4 设,41311221222832A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=求矩阵A 的秩.输入Clear[A];A={{2,-3,8,2},{2,12,-2,12},{1,3,1,4}}; RowReduce[A]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00003232102301 因此A 的秩为2.例2.5 用初等变换法求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛343122321的逆矩阵.输入 A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixForm RowReduce[%]//MatrixForm Inverse[A]//MatrixForm则输出矩阵A 的逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1112/532/3231向量组的秩矩阵的秩与它的行向量组, 以及列向量组的秩相等, 因此可以用命令RowReduce 求向量组的秩.例2.6 求向量组)0,3,0,2(),2,5,4,0(),1,1,2,1(231=--=-=ααα的秩. 将向量写作矩阵的行, 输入Clear[A];A={{1,2,-1,1},{0,-4,5,-2},{2,0,3,0}}; RowReduce[A]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000021541002301 这里有两个非零行, 矩阵的秩等于2. 因此, 它的行向量组的秩也等于2.例2.7 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是否线性相关?输入Clear[A];A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}}; RowReduce[A]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000010010102001向量组包含四个向量, 而它的秩等于3, 因此, 这个向量组线性相关.例2.8 向量组)3,1,1(),2,1,3(),7,2,2(321=-==ααα是否线性相关?输入Clear[A];A={{2,2,7},{3,-1,2},{1,1,3}}; RowReduce[A]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 向量组包含三个向量, 而它的秩等于3, 因此, 这个向量组线性无关.向量组的极大无关组 例2.9 求向量组)0,5,1,2(),0,2,1,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示.输入Clear[A,B];A={{1,-1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,-1,2,0},{2,1,5,0}}; B=Transpose[A];RowReduce[B]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000002/51000101102/10301在行最简形中有三个非零行, 因此向量组的秩等于3. 非零行的首元素位于第一、二、四列,因此421,,ααα是向量组的一个极大无关组. 第三列的前两个元素分别是3,1,于是.3213ααα+=第五列的前三个元素分别是,25,1,21-于是.25214215αααα++-=向量组的等价可以证明:两个向量组等价的充分必要条件是: 以它们为行向量构成的矩阵的行最简形具有相同的非零行, 因此, 还可以用命令RowReduce 证明两个向量组等价.例2.10 设向量),7,3,5,4(),12,5,8,5(),2,1,2,3(),3,1,1,2(2121--=--=--=-=ββαα 求证:向量组21,αα与21,ββ等价.将向量分别写作矩阵A , B 的行向量, 输入Clear[A,B];A={{2,1,-1,3},{3,-2,1,-2}}; B={{-5,8,-5,12},{4,-5,3,-7}}; RowReduce[A]//MatrixForm RowReduce[B]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7137510747101 与⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7137510747101 两个行最简形相同, 因此两个向量组等价.实验习题1.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=12412116030242201211A 的秩.2.求t , 使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.3.求向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩.4.当t 取何值时, 向量组),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα的秩最小?5.向量组)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321-=--=--==αααα是否线性相关?6.求向量组)6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(321===ααα的最大线性无关组. 并用极大无关组线性表示其它向量.7.设向量),6,3,3,2(),6,3,0,3(),18,3,3,8(),0,6,3,1(2121=-=-=-=ββαα求证:向量组21,αα 与21,ββ等价.实验3 线性方程组实验目的熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Mathematica 命令各类求线性方程组的解. 理解计算机求解的实用意义.基本命令1.命令NullSpace []A ,给出齐次方程组0=AX 的解空间的一个基.2.命令LinearSolve []b A ,,给出非齐次线性方程组b AX =的一个特解.3.解一般方程或方程组的命令Solve 见Mathematica 入门.实验举例求齐次线性方程组的解空间设A 为n m ⨯矩阵,X 为n 维列向量,则齐次线性方程组0=AX 必定有解. 若矩阵A 的 秩等于n ,则只有零解;若矩阵A 的秩小于n ,则有非零解,且所有解构成一向量空间. 命令 NullSpace 给出齐次线性方程组0=AX 的解空间的一个基.例3.1 求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++=+--=--+.0532,0375,023,02432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x输入Clear[A];A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; NullSpace[A]则输出{{-2,1,-2,3}}说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量(-2,1,-2,3)是解空间的基.注:如果输出为空集{ },则表明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.例3.2 求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++=+--=-++053203750232302432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 输入Clear[A];A={{1,1,2,-1},{3,-2,-3,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; Nullspace[A]输出为{ }因此解空间的基是一个空集,说明该线性方程组只有零解.例3.3 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是否线性相关?根据定义, 如果向量组线性相关, 则齐次线性方程组044332211='+'+'+'ααααx x x x 有非零解.输入Clear[A,B];A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}}; B=Transpose[A]; NullSpace[B]输出为{{-2,-1,0,1}}说明向量组线性相关,且02421=+--ααα非齐次线性方程组的特解例3.4 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=++=+--=--+45322375222342432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的特解.输入Clear[A,b];A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; b={4,2,-2,4} LinearSolve[A,b]输出为{1,1,-1,0}注: 命令LinearSolve 只给出线性方程组的一个特解.例3.5 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++=+--=--+45322375222342432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的特解.输入Clear[A,b];A={{1,1,2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; b={4,2,2,4}Linearsolve[A,b]输出为Linearsolve::nosol:Linear equation encountered which has no solution.说明该方程组无解.例3.6 向量)4,3,1,2(-=β是否可以由向量)1,3,2,1(1-=α，)11,12,5,5(2-=α，()3,6,3,13-=α 线性表示?根据定义, 如果向量β可以由向量组32,1,ααα线性相关, 则非齐次线性方程组βααα'='+'+'332211x x x 有解.输入Clear[A,B,b];A={{1,2,-3,1},{5,-5,12,11},{0,5,7,3},{1,-3,6,3}}; B=Transpose[A]; b={2,-1,3,4}; Linearsolve[B,b]输出为{31,31,0} 说明β可以由32,1,ααα线性表示,且213131ααβ+=例3.7 求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式,2c bx ax ++并画出其图形.根据题设条件有 ,924611700⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅c b a c b a c b a 输入Clear[x];A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}} y={7,6,9}p=LinearSolve[A,y]Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t} f[x_]=p.{x^2,x,1};Plot[f[x],{x,0,2},GridLines ->Automatic,PlotRange ->All];则输出c b a ,,的值为{2,-3,7}并画出二次多项式7322+-x x 的图形(略).非齐次线性方程组的通解用命令Solve 求非齐次线性方程组的通解.例3.8 求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足9)1(,20)1(='=-'f f 的4次多项式).(x f 解 设,)(234e dx cx bx ax x f ++++=则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+-+-=+-+-=++++=923420234310d c b a d c b a e d c b a e d c b a e 输入Clear[a,b,c,d,e];q[x_]=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e;eqs=[q[0]= =0,q[1]= =1,q[-1]= =3,q ’[-1]= =20,q ’[1]= =9]; {A,y}=LinearEquationsToMatrices[eqs,{a,b,c,d}]; p=LinearSolve[A,y];f[x_]=p.{x^4,x^3,x^2,x,1};Plot[f[x],{x,-1,1},GridLines->Automatic,PlotRange->All];则输出所求多项式,435427431419)(234x x x x x f -++-=非齐次线性方程组的通解用命令solve 求非齐次线性方程组的通解.例3.9解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=++-=++-53323221242143143214321x x x x x x x x x x x x x x输入solve[{x-y+2z+w==1,2x-y+z+2w==3,x-z+w==2,3x-y+3w==5},{x,y,z,w}] 输出为{{x →2-w+z,y →1+3z}}即3412x x x +-=,3231x x +=.于是,非齐次线性方程组的特解为(2,1,0,0).对应的齐次线性方程组的基础解系为(1,3,1,0)与(-1,0,0,1).例3.10解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-33713344324324214324321x x x x x x x x x x x x x 解法1 用命令solve输入solve[{x-2y+3z-4w==4, y-z+w==-3,x+3y+w==1,-7y+3z+3w==-3},{x,y,z,w}] 输出为{{x →-8,y →3, z →6, w →0}}即有唯一解81-=x ,32=x ，63=x ，04=x .解法 2 这个线性方程组中方程的个数等于未知数的个数,而且有唯一解 ,此解可以表示为b A x 1-=.其中A 是线性方程组的系数矩阵,而b 是右边常数向量. 于是, 可以用逆阵计算唯一解.输入Clear[A,b,x];A={{1,-2,3,-4},{0,1,-1,1},{1,3,0,1},{0,-7,3,1}}; b={4,-3,1,-3}; x=Inverse[A].b 输出为{-8,3,6,0}解法 3 还可以用克拉默法计算这个线性方程组的唯一解.为计算各行列式,输入未知数的系数向量,即系数矩阵的列向量.输入Clear[a,b,c,d,e]; a={1,0,1,0}; b={-2,1,3,-7}; c={3,-1,0,3}; d={-4,1,1,1}; e={4,-3,1,-3};Det[{e,b,c,d}]/ Det[{a,b,c,d}] Det[{a,e,c,d}]/ Det[{a,b,c,d}] Det[{a,b,e,d}]/ Det[{a,b,c,d}] Det[{a,b,c,e}]/ Det[{a,b,c,d}] 输出为-8 3 6 0例3.10当a 为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321ax x x x ax x x x ax 无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有解时,求通解.先计算系数行列式,并求a ,使行列式等于0. 输入Clear[a];Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}];Solve[%==0,a]则输出{{a →-2},{a →1},{a →1}}当a 2-≠,a 1≠时,方程组有唯一解.输入Solve[{a*x +y +z ==1,x +a*y +z ==1,x +y +a*z ==1},{x,y,z}] 则输出{{x →,21a + y →,21a+ z →a +21}}当a =-2时,输入Solve[{-2x+y+z==1,x -2y+z==1,x+y -2z==1},{x,y,z}]则输出{ }说明方程组无解. 当a =1时,输入Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]则输出{{x →1-y -z}}}说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解 系为为(-1,1,0)与(-1,0,1).例3.11 求非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534422312432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解法1 输入A={{2,1,-1,1},{3,-2,1,-3},{1,4,-3,5}};b={1,4,-2}; particular=LinearSolve[A,b] nullspacebasis=NullSpace[A]generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular] generalsolution//MatrixForm 解法2 输入B={{2,1,-1,1,1},{3,-2,1,-3,4},{1,4,-3,5,-2}} RowReduce[B]//MatrixForm根据增广矩阵的行最简形, 易知方程组有无穷多解. 其通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛007/57/6107/97/1017/57/14321t k x x x x (k ,t 为任意常数)实验习题1.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.024,02,032321321321x x x x x x x x x2.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-.0111784,02463,03542432143214321x x x x x x x x x x x x3. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+-.22,3,44324314324321x x x x x x x x x x 4.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=-++.254,32,22432143214321x x x x x x x x x x x x5.用三种方法求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+=-+127875329934,8852321321321321x x x x x x x x x x x x 的唯一解. 6.当b a ,为何值时,方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解、有无穷多解?对后者求通解.实验4 交通流模型(综合实验)实验目的利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,建立交通流模型. 掌握线性代数在交通规划方面的应用.应用举例假设某城市部分单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)如图4.1所示.300300300200500x x 8x 图4.1试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.假定上述问题满足下列两个基本假设(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量; (2)全部流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.于是, 根据图4.1及上述基本两个假设, 可建立该问题的线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==+-==+=+=+=+-=+=+-1000600200400100080018002005003008631010998751217654432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100060020040010008008002005003000010100110000000001100000000010000000000110000000000010001000000001100011000000000011000000000111010987654321x x x x x x x x x x 若将上述矩阵方程记为b Ax =,则问题就转化为求b Ax =的全部解. 下面我们利用Mathmatica 软件来求解1、输入矩阵A ,并利用RowReduce[A ]命令求得A 的秩为8. 输入RowReduce[A]//MatrixForm Out[2]//MatrixForm=则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000000000000100000000001000000000011000000001010000000000110000000000100000001001000000100012、应用命令NullSpace[A]求出齐次线性方程组0=Ax 的基础解系. 输入In[3]:=NullSpace[A]//MatrixForm Out[3]//MatrixForm=则输出⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000110110011100000 由此即得到所求齐次线性方程组的基础解系:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=00000110110011100000212211C C c c ξξη, (21,C C 为任意常数). 3、输入增广阵(A b ),求出其秩为8, 由,108)()(=<==n Ab r A r 知方程组有无穷多个解. 输入RowReduce[Ab]//MatrixFormOut[5]//MatrixForm=则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000000000000000006001000000000400010000000010000011000000800001010000050000000110002000000000100000000100108000000010001 4、应用命令LinearSolve[A, b],求得非齐次线性方程组b Ax =的一个特解. 输入LinearSolve[A,b]Out[9]={{800},{0},{200},{500},{0},{800},{1000},{0},{400},{600}}则得到所求非齐次线性方程组的一个特解:T )6004000100080005002000800(*=ξ综上所述,我们就得到了非齐次线性方程组b Ax =的全部解为,*2211*ξξξξη++++=C C x (21,C C 为任意常数).在解的表示式中, x 的每一个分量即为交通网络中未知部分的具体流量, 该问题有无穷多解(为什么? 并思考其实际意义).本模型具有实际应用价值, 求出该模型的解, 可以为交通规划设计部门提供解决交通堵塞、车流运行不畅等问题的方法, 知道在何处应建设立交桥, 那条路应设计多宽等, 为城镇交通规划提供科学的指导意见. 但是,在本模型中,我们只考虑了单行街道这样一种简单情形,更复杂的情形留待读者在更高一级的课程中去研究. 此外,本模型还可推广到电路分析中的网络节点流量等问题中.实验报告请读者应用本模型的思想方法, 为你所在或你熟悉的城镇建立一个区域的交通流量模型. 并提供一个具体的解决方案, 即从无穷多个解中根据具体限制确定出一个具体的解决方案.。