第五章 不定积分习题答案
(完整版)侯风波版《高等数学》练习答案
第一章 函数 习题 函数一、填空题：略 . 二、略 . 三、图略 .四、图略； 0 ， 2， 6.五、 1.函数 f (x) 与 g(x) 不相同 ； 2.函数 f (x) 与 g(x) 是同一个函数3六、 y log a (2 t)3 .七、 1. y log a u,u sin v, v 2w ,w x 1；2. y arcsin u, u v,v lg w,w x 1 ；2x3. y cosu,u v ,v e 1 ；224. y u ,u cosv,v ln w,w x 2x 1.第二章 极限与连续 习题一 极限的概念一、判断题：略 . 二、图略； lim f (x) =0.x0三、 (1) f(x)无定义 ,g(1) 2,h(1) 3；左极限 lim f(x) 0；右极限 lim f (x) 1；函数在 x 0处的极限不存在 . 0(2) lim f(x) 2； lim g(x)2； lim h(x) 2. x1四、五、 1)lim x1f(x)2； lim f(x)x11；lim f (x) 不存在；x12) lim 3 x 2f(x)9lim f (x) 34x29； lim 3 f (x) 9； x 3 423)lim x2f (x)4； lim f(x)x28； lim f(x)不存在 . x2习题二 极限的四则运算、求下列极限1. 30；2. 17 ；3. 40 ； 、 10x 2 x ；1．1 4. ．4四、求下列极限21. ；3 五、 1． 六、 1 ．习题三 两个重要极限、求下列极限11. 1；2. 16；3.；4. 1；5. 1； 6. 8．24、求下列极限3 2 91. e ；2. e ；3. e ；4.习题四 无穷小与无穷大一、 1. x ； 2. x0．二、 1. x 1 及 x； 2. x ．三、 1. x 1 ； 2. x 1．四、求下列极限1. 0；2. 0 ．五、 sin 3 x 是比 4x 2 高阶的无穷小． 六、提示：由极限运算及等价无穷小定义．习题五 函数的连续与间断一、选择题：略 . 二、 a 2.三、 1. 可去间断点是 x 1 ；2. x 7 为函数的第二类间断点； x 1为函数的跳跃间断点四、求下列极限11 1. 0； 2. ； 3. ； 4. 4.22五、 1,4 为函数的定义区间，即为函数的连续区间 .、求下列极限1. 12；2. 0 ；3. 4；4. 1 ．62.12．e5第三章 导数与微分 习题一 导数的定义3一、 1. f (1) 2；2. f (2) 3. 4二、y a .三、 f (0) 0.四、左导数 f (0) 1，右导数为 f _(0) 0 ，函数在 x 0处的导数不存在五、在( 1 ， 1)点处切线平行于直线 .习题二 导数的四则运算、填空题：略． 、求下列函数的导数41. y 5x ； xln22. y e x (sin x cosx) ；323.y 1 x 2 5 x 33三、① 定义域 R 即为函数的连续区间；4. y5. y12[(2xln x 1cos 2 xx23sec x1 1 x 22x) cosx (1 x )ln xsinx]；；6.2xarctanx2x1 x 2dy 2x 5sinx 5dx 25 x 5cosx ；③ 由定义，f (0) 0 ；④ f (x) 23 255x 5 sin x x5 cosx ．习题三复合函数求导5第一章 函数 班级 学号 姓名1 3sin 3x ；；x cos3xw sin 2( wt )；a(t) 2w 2 cos2(wt ).e f(x)[f (e x )e x f(e x )f (x)] .习题四 隐函数 对数函数求导 高阶导数 、是非题：略．、求下列方程所确定的隐函数 y f (x) 的导数三、用对数求导法求下列函数的导数2. y 2x12e2 2 cosx ；x 23. y 360(12x)8；4. y 6 400sin2x ．2 d dx y x 2x (2lnx 2)．一、填空题：略 . 二、求下列函数的导数1. sin2x sin x 22xsin 2 xcosx2.sin2x 2 1e [sec ( x 12 ) 2cos2xx2tan 1x]；3.99200(1 x)99101 (1 x)1014.xcos1 1ex[cosx 1sin 1] ；xx5.6.2xln x ln(ln x)四、v(t) 1. yxy1 e x esin x； ；x2.xyyexyex1. y1 4 (x 1)(x 1)3(23 4x) (1 4 (x 2)(x 3)(x 13 x14 1 1 )23 4x x 2 x 3)三、求方程所确定的隐函数 y f(x)的微分 dye x 2xyb 2 x1. dy 2dx ； 2. dy 2 dx .x 2 cosya 2 y四、利用微分计算下列各数的近似值1. 3 1.01 1.0033 ；2. e 0.21 1.21.五、球的体积扩大约为 1800π cm 3.第四章 微分学的应用 习题一 洛必达法则、是非题：略 . 、求下列各式的极限1. 0 ；2. 1；3. 1；4. 0.、求下列各式的极限1. 0；2. 0 .四、求下列极限11. 0 ；2. 1；3. 1；4.e 2 ；5. 3；6. 0.、填空题：略 、求下列函数的微分1. dy 2(1 x cosx)1 sinx dx ；2. dy e 2x (2sin3x 3cos3x)dx ； 习题五 微分3. dy4. dy2ln x 3 dx ； x3e 3x 1 1 e 6x 2dx .习题二函数的单调性一、单项选择题：略．二、求下列函数的单调区间1. 单增区间( ,0) (2, ) ，单减区间(0,2) ；2. 单增区间( ,0)，单减区间(0, ) ；113. 单增区间(2, ) ，单减区间(0,2)；4. 单增区间( , 1) (0, ) ，单减区间( 1,0) ．三、提示：利用函数单调性证明．11 四、单调递增区间( , ) ，单调递减区间( , ) .22习题三函数的极值一、单项选择题：略．二、1. f (x) ；2. f (x)；3. 极小值；4. f(1) 3．三、最大值为f( 1) 10 ，最小值为f (3) 22．四、极大值为f(0) 0 ，极小值为f( 2 ) f( 2 ) 1．2 2 4五、当直径2r与高h之比为1∶1时，所用的材料最少．习题四曲线的凹凸性与拐点、填空题：略．、曲线在( 2332 3)及(2 333) 内上凹, 在( 2 3, 2 3) 内下凹，拐点为3323 109)和四、示意图第五章 不定积分 习题一 不定积分的概念与基本公式 、填空题：略 .、选择题：略 . 三、计算下列不定积分1332. 3x C ； x 3 5x ln 5 13. 3sinx 2ln x C ；x4.cosx 2 arcsin x πx C .四、求解下列各题1.f (x)dx 2e 2x C ；x22. f (x) e sec x ； 33. 所求函数为 y x 3 3x 2.习题二 不定积分的换元积分法三、函数在 (0,2) 上的极大值为 f ( ) 2327，极小值为 f(1) 1 ；最大值为 f(2) 1 ，最小值为f(1)1；拐点为 (23， 25 27). 1.13C ；一、填空题：略．二、选择题：略．三、多步填空题：略．四、计算下列不定积分1. 1 x2 3C；2. 1arcsinx2C ；23. 1ln(14 x4) arctan x24. tanx 1tan4x C ；32 321 x C；5. 1 x2333arccos C6. x2 9x习题三分部积分法简单有理函数的积分、填空题：略.、多步填空题：略. 、求下列不定积分1x1. 2e 1 x 1 x 1 C ；22xx2. ( x)ln x x C ；242x3. (x 2x 2)e C ；6. ln(x x23)2C.四、e2x f (e x)dx e x f (e x) f (e x) C．第六章定积分习题一定积分的概念微积分基本公式234. x arcsin x (1 x2)2 C；5. 2 xcos x 2sin x C、选择题：略 . 、求下列定积分、解答下列各题41. f (x) sinx 2x ；习题二 定积分的换元积分法与分部积分法 、 填空题：略 .、 求下列定积分π21 2 π 3 1. 2(2 e) ； 2. ； 3. (e 2 1) ； 4.1；324 12 2921221 5. ln ；6. 2；7. (e 21) ； 8. ln4a 2223习题三 定积分的应用六、 P 18 g .、S3.、Vπr 32h . 、(1)S 2；1. 334；2.44 2 4；3.2 ；4. 1π；5. 4 ；6.42.l ximx0 f(t)dt3.21 f(x)dx(2π 4) : (8π 2π 4)= (6π 4) : (18π 4).33习题四 反常积分、填空题：略．、选择题：略．三、计算下列广义积分1π1. ；2. ．22四、1 x2 dx发散x 2第七章 常微分方程习题一 常微分方程的基本概念与分离变量法一、判断正误：略 . 二、填空题：略 . 三、多步填空题：略 . 四、求解下列各题21 1. 1 y 2C （其中 C C 1为任意常数） ；3x习题二 一阶线性微分方程习题三 二阶常系数齐次线性微分方程一、填空题：略． 二、多步填空题：略． 三、求下列微分方程的通解6x x1.y C 1eC 2e ；2. 冷却规律为 T （t ） 20 30ekt一、填空题：略． 二、多步填空题： 略．三、通解为 y1 Cex 2其中 C 为任意常数） ．2. y(C 1C 2x)e 5x ；3. y1xe 2x3(C 1 cos x123 C 2sin x) ；4. y Ce25x．四、f (x) y 2e x 1 ．习题四 二阶常系数非齐次线性微分方程一、填空题：略． 二、多步填空题：略．5 13 4x 4 8 x三、 y e ( x )e ．4 36 3 9四、求下列微分方程满足初始条件的特解 (1) y (x x 2)e 2x ； (2) y sin x ．第八章 空间解析几何习题一 空间直角坐标系与向量的概念一、填空题：略． 二、选择题：略． 三、求解下列问题4. C( 2,0,0) ．习题二 向量的点积与叉积、是非题：略． 、填空题：略．1.3AB 2AC 2i 3k ；2. d AB 14 ；3. 333 9993； 9；三、选择题：略． 三、求解下列各题2. b 12,6, 4 ；习题三 平面和直线一、填空题：略． 二、选择题：略． 三、求解下列问题1. 4x 3y z 5 ；2. z y 2 ； x 1 y 2 z 13. ；1 1 24. ① p 5 ；② p 7 ．习题四 曲面与空间曲线一、填空题：略． 二、选择题：略． 三、求解下列问题221. 方程为 y 5z 2 4x ，是旋转抛物面；第九章 多元函数微分学5 投影方程为 y 2z 5,x 0 ;1.5 , 3 , 7 83, 83, 833.S ABC3 21 ．3. 投影方程为x 2 2z 4 0,y02四、表面积 S π r 2 2π rh ，体积 V 五、 f ( x, y) f (0, 0)= ( x ()2x)( (y)y)2习题二 偏导数及高阶偏导数 、是非题：略．、填空题：略． 、解下列各题1. z 4x ， z 9y 2； xy2. z 4xy 6， z 6x 2 y 2； xy z3. 2x ln y ，x2z四、略．习题三 全微分、填空题：略． 、解答下列各题1. dz y(ln x 1)dx xln xdy ；2. du yx y 1dx (x y lnx sin z)dy y cos zdz ；3. z 0.119 ；x4.xy arctan z ，yx arctan z ，zxy1 z 2习题一 一、填空题：略．二、函数的定义域为(x,y)122xy三、xy三、lim4 1．x y 00 xy4z1x0 x，yyyx，2z1；2，；y 2yxy2， 多元函数及其极限2z2 y 24. dz 0.125 ．三、 sin0.01cos0.03 0.01． 四、对角线变化约为 0.045m ． 五、所需水泥的近似值为 9.4m 3 ．习题四 复合函数的偏导数、填空题：略． 、多步填空题：略． 、解下列各题dz 1；1.dt2.zz， zz(xy)；2；x yyy3. z2 xycos y(2sin x z2 2xcosx)， x7 8sin x(cos 2 y ysin2y)xy习题五 偏导数的几何应用、填空题：略． 、求解下列各题习题六 多元函数的极值一、判断题：略． 二、选择题：略． 三、计算下列各题24；r :h 1: 2时，所用材料最省．第十章 多元函数积分学7 函数在 (2,1) 点取得极小值 8 当端面半径与半圆柱高满足1. 切线方程为 x1y9z 27 272. 切平面方程为 2(x 1) 4(y 1) (z 3)=0 ；3. 切线方程为x 1 y 1 z 1 16 9 1法平面方程为16(x 1)9(y 1) 1(z 1) 0 ．2x( )；习题一 二重积分及其在直角坐标系下的计算一、判断题：略． 二、填空题：略． 三、计算下列各题1. I 0 ；、求解下列各题2. V 32π； 13. 薄片的质量为 ．12章 级数习题一 数项级数一、判断题：略． 二、选择题：略． 三、判断下列级数的敛散性1. ( 1)n 发散； n14.21n1 2n收敛；2. ① I2 2x20dx 0 y 2dy32；② I 30dyy y 2dx2323. I10dye y dx习题二 、填空题：略． 、多步填空题极坐标下二重积分的计算及二重积分的应用提示： e (x y )dxdye r rd rd θDD1 r2 d θre rdr 0d θ 0 11 e 02 d(r 2) 12(1 1)d θe1. cos(x 2 y 2)dxdy D 2 π；2提示：化为极坐标下的二重积分）2.11 461 2n发散；e5. ( 1)n 1 n n收敛；n 1 26. n 123(n 1)n收敛．习题二幂级数、填空题：略．、求解下列各题1. 级数2n nx n的收敛半径为R0 2n 1 21；；2. 级数2n2 x2n 1的收敛半径为R0 2n 12；2；3. 级数(x 1n)的收敛域为[ 1,3) ；n2n4. 级数n1nx01的和函数为S(x)1；(1 x)2 ；5. 级数2n 1x2n 1的和函数为S(x)1ln(1 x)2 ．1x、填空题：略.二、求解下列各题1. 展开为ln(22.展开为sin2 x习题三函数的幂级数展开x)xln 22(2x)22!(2x)42 4!3. 2x=1 x2x ln 2 (ln 2)2 2x2!(2x)22(2x)331)n(2x)n1(n 1)，收敛域为x (2,2]；1)n1(2x)2n2(2n)! ，收敛域为x( )；(ln 2)32x3!(ln 2)n2x x nxn!，收敛区间为2 x( )；1 n n4. 展开式为x2 13x 2 n 0( 1)n x n 1 ( 1)n(x)n，收敛区间为( 1,1). 2n 0 2四、切线方程为y 0 ．五、求下列函数的二阶导数351. y 10x3(9x5 4) ；4五、Wπ r。
高等数学第五章教材答案
高等数学第五章教材答案第一节：导数与微分1. a) 导数的定义是：对于函数y=f(x)，若极限lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h存在，则称此极限为函数f在点x处的导数，记作f'(x)。
b) 导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
2. a) 由导数的定义可得，对于函数y=ax^n，其中a为常数，n为正整数，则它的导数为f'(x)=nax^(n-1)。
b) 对于常数函数y=c，其中c为常数，则它的导数为f'(x)=0。
c) 对于自然指数函数y=e^x，则它的导数为f'(x)=e^x。
d) 对于对数函数y=log_a(x)，其中a为常数且不等于1，则它的导数为f'(x)=1/(xlna)。
e) 对于三角函数y=sin(x)，则它的导数为f'(x)=cos(x)。
3. a) 利用导数定义证明：对于函数y=kx，其中k为常数，则它的导数为f'(x)=k。
b) 利用导数的四则运算法则证明：对于两个可导函数f(x)和g(x)，则有(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
c) 利用导数的链式法则证明：对于复合函数y=f(g(x))，其中函数g(x)可导且函数f(u)可导，则它的导数为f'(g(x))·g'(x)。
4. a) 用导数求函数在一点处的切线方程：对于函数y=f(x)，若知道函数在点x=a处的导数f'(a)，则可求得切线方程为y=f'(a)(x-a)+f(a)。
b) 用导数求函数的极值点：对于函数y=f(x)，若函数在点x=a处的导数f'(a)存在且为零，且函数在该点的导数由正变负或由负变正，则该点为函数的极值点。
第二节：不定积分1. a) 不定积分的定义是：对于函数y=f(x)，若存在函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为函数f(x)的一个原函数，并记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。
第五章 不定积分
例题） 第一节 不定积分的概念（例题） 例.
5 求过点 (1, 2 ) ，且在其上任意一点 (x
, y) 处的切线
的曲线方程． 斜率为 x 的曲线方程． 解：设所求曲线方程为 y=F(x)，则 F ′( x ) = x . ，
1 2 y = F ( x ) = ∫ xdx = x + C 2
5 将 x = 1，y = 代入上式： 代入上式： 2 5 1 2 = ×1 + C ⇒ C = 2 2 2 1 2 故 y = x + 2为所求曲线方程 . 2
y o
F ( x)
F ( x) + C2
F(x) 是 f(x) 的一条 积分曲线． 积分曲线．
x
x
个单位， 将 F(x) 沿 y 轴平移 C 个单位，即得关于 f(x) 的 积分曲线族． 积分曲线族． 积分曲线族中的所有曲线在横坐标相同的点处的 积分曲线族中的所有曲线在横坐标相同的点处的 所有曲线 切线互相平行． 切线互相平行．
y=∫
x
已知固定成本为1000元 已知固定成本为1000元， 即当 x=0时, y=1000. 1000 = = 000. 因此有C=1000， 因此有 =1000，于是可得
y = 7 x + 50 x + 1000 ,
25 y′dx = ∫ (7 + )dx = 7 x + 50 x + C . x
x u= a
x =u a
1 1 1 du = arctan u + C = ∫ 2 a a 1+ u
1 x = arctan + C . a a
dx d( ) = a a
1 dx x ∫ a2 + x2 = a arctan a + C.
第五章 不定积分 单元测试题
《经济数学--微积分》第五章 不定积分 单元测试题班级： 学号： 姓名： 分数：一、单项选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）1、若 )()(x g x f '=' ，则必有 ( )A )()(x g x f =B dx x g dx x f )()(⎰⎰=C dx x g d dx x f d )(')('⎰⎰=D dx x g d dx x f d )()(⎰⎰=2、)(x F 是)(x f 的一个原函数，下列各等式正确的是（ ）A ⎰+=c x f dx x F )()(B ⎰=')())((x f dx x fC ⎰+=c x f dx x f d )())((D ⎰=')()(x f dx x f3、如果已知⎰+=C x dx x f 5cos ln 52)(，则)(x f 为 ( ) A ．2tan5x B. -2tan5x C.tan5x D. -tan5x4、若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f （ ）． A ．)(x f B.)(x f ' C ．c x f +')( D ．c x f +)(5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=⎰dx x xf )(（ ） A c x x ++)ln 4121(2； B c x x ++)ln 2141(2； C c x x +-)ln 2141(2； D c x x +-)ln 4121(2二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）6、2x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰ ； 7、5y x = 的原函数是 _______ ；8、设 sin x e x + 是 )(x f 的一个原函数，则 ()f x ' = _____ __；9、若 2()f x dx x C =+⎰ ，则 2(1)xf x dx -=⎰ __________；10、⎰=''dx x f x )(____________.三、计算题：（本题共10小题，每小题6分，共60分）11、求221x dx x+⎰ 12、求dx x x ⎰-12213、求dx xe x ⎰+1 14、求dx x x ⎰+)ln 21(115、求arctan x xdx ⎰ 16、求17、求dx e x ⎰+11 18、求dx x x ⎰ln 219、求dx e x x ⎰-2 20、求dx x e x ⎰-sin四、解答题：（本题共1小题，共10分）21、设生产某产品的边际成本为()2100020C Q Q Q '=-+，固定成本为9000元，该产品的单位售价为3400元，求该产品（1）成本函数、收益函数、利润函数；（2）获得最大利润时的产量及最大利润。
微积分上学期答案
1微积分答案 第一章 函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ； ３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章 极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4； （2）25； （3）1； （4）5； （5）2.2、（1）3； （2）0； （3）2； （4）5e -； （5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。
第二章 极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1； （4）0；（5）12．四、略。
不定积分练习5答案
1. 求⎰-+=dx x x x I2)1ln( 解：原式⎰-+=dx xx x 2)1ln(1⎰⎰-+=dx x x dx x 2)1ln(1⎰--=)1()1ln(||ln x d x x]})1[ln(1)1ln({||ln ⎰----=x d xx x x])1[ln(1)1ln(||ln ⎰-+--=x d xx x x⎰--⋅+--=dx xx x x x 111)1ln(||ln⎰----=dx x x x x x )1(1)1ln(||ln⎰-+---=dx xx x x x )111()1ln(||ln⎰⎰-+---=)111()1ln(||ln dx xdx x x x x⎰⎰-----=dx xdx x x x x 111)1ln(||ln)1(111)1ln(||ln ⎰⎰--+---=x d x dx x x x xC x x xx x +-+---=|1|ln ||ln )1ln(||lnC x xx +-+--=|1|ln )1ln(2.求dx x x ⎰+2323)1(方法一，第二换元法，用三角换元 设t x tan = ，tdt dx 2sec =解：原式tdt t t 2323sec )tan 1(tan ⋅+=⎰t d t t t2323s e c )(s e c t a n ⋅=⎰tdt t t 233sec sec tan ⋅=⎰dt tt ⎰=sec tan 3dt t t t ⎰⋅=sec tan tan 2dt t t t ⎰-⋅=sec )1(sec tan 2dt t t t t ⎰-=sec tan sec tan 2dt ttdt t t ⎰⎰-=sec tan sec tandt t tt ⎰-=sec tan secdt t ttt ⎰⋅-=cos cos sin secdt t t ⎰-=sin secC t t ++=cos secC xx ++++=22111【步骤计算另解】拆开计算dt t t⎰sec tan 3，如下步骤： tdt t tdt t t cos cos sin sec tan 333⋅=⎰⎰dt t t ⎰=23cos sindt t t t ⎰⋅=22cos sin sin)(cos cos sin 22t d t t ⎰-=)(cos cos cos 122t d t t ⎰--=⎰⎰--=)](cos )(cos cos 1[2t d t d t⎰⎰+-=)(cos )(cos cos 12t d t d t⎰+=)(cos cos 1t d tC t t++=c o s c o s 1C xx ++++=22111方法二，第一换元法，凑微分解：原式dxxx⎰+=323)1(dxxxx⎰+⋅=322)1()()1(212322xdxx⎰+=)1()1(112122322xdxx++-+=⎰)1()1(1)1(2122322xdxx++-+=⎰)1(])1(1)1()1([2122322322xdxxx++-++=⎰)]1()1(1)1()1()1([21223222322xdxxdxx++-+++=⎰⎰)]1()1()1()1([21223222312xdxxdx++-++=⎰⎰--)1()1(21)1()1(21223222312xdxxdx++-++=⎰⎰--)1()1(21)1()1(121223222xdxxdx++-++=⎰⎰-Cxx++++=221113. 求dx x x ⎰-)4(1方法一，分子为常数，分母有根号，根号内最高次幂为2，并且有1次项存在，用配方法 解：原式dx xx ⎰-=241dx x x ⎰--=)4(12dx x x ⎰-+--=)444(12dx x ⎰---=]4)2[(12dx x ⎰--=2)2(41dxx ⎰--⋅=]4)2(1[412dxx ⎰--=]4)2(1[212dxx ⎰--=2]2)2([121)22(]2)2([112212---⋅=⎰x d xC x +-=)22arcsin(方法二，第一换元法，凑微分解：原式)(412x d x ⎰-=)()(4122x d x ⎰-=)(])2(1[4122x d x⎰-⋅=)2()2(1122x d x ⎰-=)2()2(1122x d x ⎰-=C x+=)2arcsin(2 方法三，第二换元法中的根式换元 设x t =，2t =x ,t t 2d dx =解：原式t t 2t 4t12d ⎰⋅-=t t4122d ⎰-=t4t 14122d ⎰-=）（t2t 12122d ⎰-=）（）（）（2t 2t 1122d ⎰-= C +=）（2tarcsin 2C +=）（2x arcsin 24. 求 dx x x x⎰-)11(2解：原式dx x x21232)()11(⋅-=⎰dx xx ⎰--=)(24343dx x dx x ⎰⎰--=4543C x x ++=-41474745. 求 dx x x ⎰++)1ln(2解：原式)]1[ln()1ln(22⎰++-++=x x xd x x xdx x xxx x x x x )21211(11)1ln(222⋅++⋅++⋅-++=⎰dx xx x xx x x x x )11(1)1ln(2222+++⋅++-++=⎰dx x xx x x ⎰+-++=221)1ln()(1121)1ln(222x d x x x x ⎰+-++=)1(1121)1ln(222x d xx x x ++-++=⎰C x x x x ++-++=221)1ln(【注意】 该题目虽然出现根号，并且根号内为二次函数，表面看可以用三角换元，但若换元后，根号虽然消除，但使题目复杂化，显然不符合数学运算原则6. 求dx xx ⎰-42 设t x sec 2= ，tdt t dx tan sec 2=解：原式tdt t tt tan sec 2sec 24)sec 2(2⋅-=⎰dt t t ⎰⋅-=tan 1sec 22 dt t ⎰=2tan 2 dt t )1(sec 22-=⎰C t t +-=2tan 2C xx +--=)2arccos(2427. 求dx xx ⎰-+241方法一，分开两部分求，用第一换元法 解：原式dx xx x )414(22-+-=⎰dx x dx x x⎰⎰-+-=22414dx xx d x ⎰⎰-+-=22241)(4121)2(41212)(4121222xd xx d x ⎰⎰-+-=)2(411)4(4121222x d x x d x⎰⎰-+---=C xx ++--=)2arcsin(42方法二，第二换元法，用三角换元 设t x sin 2= ，tdt dx cos 2=解：原式tdt t t cos 2)sin 2(41sin 22⋅-+=⎰tdt t t cos 2)(sin 121sin 22⋅-+=⎰dt t ⎰+=)1sin 2(C t t ++-=cos 28. 求 dx x x ⎰2tan 解：原式dx x x )1(sec 2-=⎰⎰⎰-=xdx dx x x 2sec⎰⎰-=xdxx d x )(tan2tan tan 2x xdx x x --=⎰2cos sin tan 2x dx x x x x --=⎰2)(cos cos 1tan 2x x d x x x -+=⎰C x x x x +-+=2|cos |ln tan 2。
《高等数学》第五章-不定积分的习题库
3.某一曲线通过 ，且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，则该曲线的方程为。
4. 。
5. 。
6. =。
7. =。
8. =。
9. =。
10. =。
11. 。
12. 。
13. 。
14. 。
15. 。
16. =。
A. B.
C. D.
18. （）
A. B.
C. D.
19. （）
A. B.
C. D.
20. =（）
A. B.
C. D.
21. 的全体原函数是（）
A. B.
C. D.
22. （）
A. B.
C. D.
23. （）
A. B. C. D.
三、填空题
1.若曲线 上点 的切线斜率与 成正比并且通过点 和 则该曲线方程为。
第五章不定积分
一、判断题
1. 。（）
2. 。（）
3. 。（）
4. 与 是同一函数的原函数。（）
5. （）
6. （）
7.设 则 （）
8. （）
二、选择题
1. ， 为常数，下列等式成立的是（）
A. B.
C. D.
2. 和 是 函数的任意两个原函数，则下式成立的有（）
A. B. C. D.
3.若曲线 通过点 ，且在该曲线上任意点 处切线的斜率为 ，则该曲线方程是（）
8. =（）
A. B.
C. D.
9. （）
A. B.
C. D.
10. （）
A. B.
C. D.
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无穷小.4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。
5、=-∞→x e xx arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________. 13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。
(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C))]()()[(x h x g x f +；(D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。