第五章不定积分习题答案

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(完整版)侯风波版《高等数学》练习答案

第一章函数习题函数一、填空题：略 . 二、略 . 三、图略 .四、图略； 0 ， 2， 6.五、 1.函数 f (x) 与 g(x) 不相同； 2.函数 f (x) 与 g(x) 是同一个函数3六、 y log a (2 t)3 .七、 1. y log a u,u sin v, v 2w ,w x 1；2. y arcsin u, u v,v lg w,w x 1 ；2x3. y cosu,u v ,v e 1 ；224. y u ,u cosv,v ln w,w x 2x 1.第二章极限与连续习题一极限的概念一、判断题：略 . 二、图略； lim f (x) =0.x0三、 (1) f(x)无定义 ,g(1) 2,h(1) 3；左极限 lim f(x) 0；右极限 lim f (x) 1；函数在 x 0处的极限不存在 . 0(2) lim f(x) 2； lim g(x)2； lim h(x) 2. x1四、五、 1)lim x1f(x)2； lim f(x)x11；lim f (x) 不存在；x12) lim 3 x 2f(x)9lim f (x) 34x29； lim 3 f (x) 9； x 3 423)lim x2f (x)4； lim f(x)x28； lim f(x)不存在 . x2习题二极限的四则运算、求下列极限1. 30；2. 17 ；3. 40 ；、 10x 2 x ；1．1 4. ．4四、求下列极限21. ；3 五、 1．六、 1 ．习题三两个重要极限、求下列极限11. 1；2. 16；3.；4. 1；5. 1； 6. 8．24、求下列极限3 2 91. e ；2. e ；3. e ；4.习题四无穷小与无穷大一、 1. x ； 2. x0．二、 1. x 1 及 x； 2. x ．三、 1. x 1 ； 2. x 1．四、求下列极限1. 0；2. 0 ．五、 sin 3 x 是比 4x 2 高阶的无穷小．六、提示：由极限运算及等价无穷小定义．习题五函数的连续与间断一、选择题：略 . 二、 a 2.三、 1. 可去间断点是 x 1 ；2. x 7 为函数的第二类间断点； x 1为函数的跳跃间断点四、求下列极限11 1. 0； 2. ； 3. ； 4. 4.22五、 1,4 为函数的定义区间，即为函数的连续区间 .、求下列极限1. 12；2. 0 ；3. 4；4. 1 ．62.12．e5第三章导数与微分习题一导数的定义3一、 1. f (1) 2；2. f (2) 3. 4二、y a .三、 f (0) 0.四、左导数 f (0) 1，右导数为 f _(0) 0 ，函数在 x 0处的导数不存在五、在( 1 ， 1)点处切线平行于直线 .习题二导数的四则运算、填空题：略．、求下列函数的导数41. y 5x ； xln22. y e x (sin x cosx) ；323.y 1 x 2 5 x 33三、① 定义域 R 即为函数的连续区间；4. y5. y12[(2xln x 1cos 2 xx23sec x1 1 x 22x) cosx (1 x )ln xsinx]；；6.2xarctanx2x1 x 2dy 2x 5sinx 5dx 25 x 5cosx ；③ 由定义，f (0) 0 ；④ f (x) 23 255x 5 sin x x5 cosx ．习题三复合函数求导5第一章函数班级学号姓名1 3sin 3x ；；x cos3xw sin 2( wt )；a(t) 2w 2 cos2(wt ).e f(x)[f (e x )e x f(e x )f (x)] .习题四隐函数对数函数求导高阶导数、是非题：略．、求下列方程所确定的隐函数 y f (x) 的导数三、用对数求导法求下列函数的导数2. y 2x12e2 2 cosx ；x 23. y 360(12x)8；4. y 6 400sin2x ．2 d dx y x 2x (2lnx 2)．一、填空题：略 . 二、求下列函数的导数1. sin2x sin x 22xsin 2 xcosx2.sin2x 2 1e [sec ( x 12 ) 2cos2xx2tan 1x]；3.99200(1 x)99101 (1 x)1014.xcos1 1ex[cosx 1sin 1] ；xx5.6.2xln x ln(ln x)四、v(t) 1. yxy1 e x esin x；；x2.xyyexyex1. y1 4 (x 1)(x 1)3(23 4x) (1 4 (x 2)(x 3)(x 13 x14 1 1 )23 4x x 2 x 3)三、求方程所确定的隐函数 y f(x)的微分 dye x 2xyb 2 x1. dy 2dx ； 2. dy 2 dx .x 2 cosya 2 y四、利用微分计算下列各数的近似值1. 3 1.01 1.0033 ；2. e 0.21 1.21.五、球的体积扩大约为 1800π cm 3.第四章微分学的应用习题一洛必达法则、是非题：略 . 、求下列各式的极限1. 0 ；2. 1；3. 1；4. 0.、求下列各式的极限1. 0；2. 0 .四、求下列极限11. 0 ；2. 1；3. 1；4.e 2 ；5. 3；6. 0.、填空题：略、求下列函数的微分1. dy 2(1 x cosx)1 sinx dx ；2. dy e 2x (2sin3x 3cos3x)dx ；习题五微分3. dy4. dy2ln x 3 dx ； x3e 3x 1 1 e 6x 2dx .习题二函数的单调性一、单项选择题：略．二、求下列函数的单调区间1. 单增区间( ,0) (2, ) ，单减区间(0,2) ；2. 单增区间( ,0)，单减区间(0, ) ；113. 单增区间(2, ) ，单减区间(0,2)；4. 单增区间( , 1) (0, ) ，单减区间( 1,0) ．三、提示：利用函数单调性证明．11 四、单调递增区间( , ) ，单调递减区间( , ) .22习题三函数的极值一、单项选择题：略．二、1. f (x) ；2. f (x)；3. 极小值；4. f(1) 3．三、最大值为f( 1) 10 ，最小值为f (3) 22．四、极大值为f(0) 0 ，极小值为f( 2 ) f( 2 ) 1．2 2 4五、当直径2r与高h之比为1∶1时，所用的材料最少．习题四曲线的凹凸性与拐点、填空题：略．、曲线在( 2332 3)及(2 333) 内上凹, 在( 2 3, 2 3) 内下凹，拐点为3323 109)和四、示意图第五章不定积分习题一不定积分的概念与基本公式、填空题：略 .、选择题：略 . 三、计算下列不定积分1332. 3x C ； x 3 5x ln 5 13. 3sinx 2ln x C ；x4.cosx 2 arcsin x πx C .四、求解下列各题1.f (x)dx 2e 2x C ；x22. f (x) e sec x ； 33. 所求函数为 y x 3 3x 2.习题二不定积分的换元积分法三、函数在 (0,2) 上的极大值为 f ( ) 2327，极小值为 f(1) 1 ；最大值为 f(2) 1 ，最小值为f(1)1；拐点为 (23， 25 27). 1.13C ；一、填空题：略．二、选择题：略．三、多步填空题：略．四、计算下列不定积分1. 1 x2 3C；2. 1arcsinx2C ；23. 1ln(14 x4) arctan x24. tanx 1tan4x C ；32 321 x C；5. 1 x2333arccos C6. x2 9x习题三分部积分法简单有理函数的积分、填空题：略.、多步填空题：略. 、求下列不定积分1x1. 2e 1 x 1 x 1 C ；22xx2. ( x)ln x x C ；242x3. (x 2x 2)e C ；6. ln(x x23)2C.四、e2x f (e x)dx e x f (e x) f (e x) C．第六章定积分习题一定积分的概念微积分基本公式234. x arcsin x (1 x2)2 C；5. 2 xcos x 2sin x C、选择题：略 . 、求下列定积分、解答下列各题41. f (x) sinx 2x ；习题二定积分的换元积分法与分部积分法、填空题：略 .、求下列定积分π21 2 π 3 1. 2(2 e) ； 2. ； 3. (e 2 1) ； 4.1；324 12 2921221 5. ln ；6. 2；7. (e 21) ； 8. ln4a 2223习题三定积分的应用六、 P 18 g .、S3.、Vπr 32h . 、(1)S 2；1. 334；2.44 2 4；3.2 ；4. 1π；5. 4 ；6.42.l ximx0 f(t)dt3.21 f(x)dx(2π 4) : (8π 2π 4)= (6π 4) : (18π 4).33习题四反常积分、填空题：略．、选择题：略．三、计算下列广义积分1π1. ；2. ．22四、1 x2 dx发散x 2第七章常微分方程习题一常微分方程的基本概念与分离变量法一、判断正误：略 . 二、填空题：略 . 三、多步填空题：略 . 四、求解下列各题21 1. 1 y 2C （其中 C C 1为任意常数）；3x习题二一阶线性微分方程习题三二阶常系数齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、求下列微分方程的通解6x x1.y C 1eC 2e ；2. 冷却规律为 T （t ） 20 30ekt一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、通解为 y1 Cex 2其中 C 为任意常数）．2. y(C 1C 2x)e 5x ；3. y1xe 2x3(C 1 cos x123 C 2sin x) ；4. y Ce25x．四、f (x) y 2e x 1 ．习题四二阶常系数非齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．5 13 4x 4 8 x三、 y e ( x )e ．4 36 3 9四、求下列微分方程满足初始条件的特解 (1) y (x x 2)e 2x ； (2) y sin x ．第八章空间解析几何习题一空间直角坐标系与向量的概念一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题4. C( 2,0,0) ．习题二向量的点积与叉积、是非题：略．、填空题：略．1.3AB 2AC 2i 3k ；2. d AB 14 ；3. 333 9993； 9；三、选择题：略．三、求解下列各题2. b 12,6, 4 ；习题三平面和直线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题1. 4x 3y z 5 ；2. z y 2 ； x 1 y 2 z 13. ；1 1 24. ① p 5 ；② p 7 ．习题四曲面与空间曲线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题221. 方程为 y 5z 2 4x ，是旋转抛物面；第九章多元函数微分学5 投影方程为 y 2z 5,x 0 ;1.5 , 3 , 7 83, 83, 833.S ABC3 21 ．3. 投影方程为x 2 2z 4 0,y02四、表面积 S π r 2 2π rh ，体积 V 五、 f ( x, y) f (0, 0)= ( x ()2x)( (y)y)2习题二偏导数及高阶偏导数、是非题：略．、填空题：略．、解下列各题1. z 4x ， z 9y 2； xy2. z 4xy 6， z 6x 2 y 2； xy z3. 2x ln y ，x2z四、略．习题三全微分、填空题：略．、解答下列各题1. dz y(ln x 1)dx xln xdy ；2. du yx y 1dx (x y lnx sin z)dy y cos zdz ；3. z 0.119 ；x4.xy arctan z ，yx arctan z ，zxy1 z 2习题一一、填空题：略．二、函数的定义域为(x,y)122xy三、xy三、lim4 1．x y 00 xy4z1x0 x，yyyx，2z1；2，；y 2yxy2，多元函数及其极限2z2 y 24. dz 0.125 ．三、 sin0.01cos0.03 0.01．四、对角线变化约为 0.045m ．五、所需水泥的近似值为 9.4m 3 ．习题四复合函数的偏导数、填空题：略．、多步填空题：略．、解下列各题dz 1；1.dt2.zz， zz(xy)；2；x yyy3. z2 xycos y(2sin x z2 2xcosx)， x7 8sin x(cos 2 y ysin2y)xy习题五偏导数的几何应用、填空题：略．、求解下列各题习题六多元函数的极值一、判断题：略．二、选择题：略．三、计算下列各题24；r :h 1: 2时，所用材料最省．第十章多元函数积分学7 函数在 (2,1) 点取得极小值 8 当端面半径与半圆柱高满足1. 切线方程为 x1y9z 27 272. 切平面方程为 2(x 1) 4(y 1) (z 3)=0 ；3. 切线方程为x 1 y 1 z 1 16 9 1法平面方程为16(x 1)9(y 1) 1(z 1) 0 ．2x( )；习题一二重积分及其在直角坐标系下的计算一、判断题：略．二、填空题：略．三、计算下列各题1. I 0 ；、求解下列各题2. V 32π； 13. 薄片的质量为．12章级数习题一数项级数一、判断题：略．二、选择题：略．三、判断下列级数的敛散性1. ( 1)n 发散； n14.21n1 2n收敛；2. ① I2 2x20dx 0 y 2dy32；② I 30dyy y 2dx2323. I10dye y dx习题二、填空题：略．、多步填空题极坐标下二重积分的计算及二重积分的应用提示： e (x y )dxdye r rd rd θDD1 r2 d θre rdr 0d θ 0 11 e 02 d(r 2) 12(1 1)d θe1. cos(x 2 y 2)dxdy D 2 π；2提示：化为极坐标下的二重积分）2.11 461 2n发散；e5. ( 1)n 1 n n收敛；n 1 26. n 123(n 1)n收敛．习题二幂级数、填空题：略．、求解下列各题1. 级数2n nx n的收敛半径为R0 2n 1 21；；2. 级数2n2 x2n 1的收敛半径为R0 2n 12；2；3. 级数(x 1n)的收敛域为[ 1,3) ；n2n4. 级数n1nx01的和函数为S(x)1；(1 x)2 ；5. 级数2n 1x2n 1的和函数为S(x)1ln(1 x)2 ．1x、填空题：略.二、求解下列各题1. 展开为ln(22.展开为sin2 x习题三函数的幂级数展开x)xln 22(2x)22!(2x)42 4!3. 2x=1 x2x ln 2 (ln 2)2 2x2!(2x)22(2x)331)n(2x)n1(n 1)，收敛域为x (2,2]；1)n1(2x)2n2(2n)! ，收敛域为x( )；(ln 2)32x3!(ln 2)n2x x nxn!，收敛区间为2 x( )；1 n n4. 展开式为x2 13x 2 n 0( 1)n x n 1 ( 1)n(x)n，收敛区间为( 1,1). 2n 0 2四、切线方程为y 0 ．五、求下列函数的二阶导数351. y 10x3(9x5 4) ；4五、Wπ r。

高等数学第五章教材答案

高等数学第五章教材答案第一节：导数与微分1. a) 导数的定义是：对于函数y=f(x)，若极限lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h存在，则称此极限为函数f在点x处的导数，记作f'(x)。

b) 导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。

2. a) 由导数的定义可得，对于函数y=ax^n，其中a为常数，n为正整数，则它的导数为f'(x)=nax^(n-1)。

b) 对于常数函数y=c，其中c为常数，则它的导数为f'(x)=0。

c) 对于自然指数函数y=e^x，则它的导数为f'(x)=e^x。

d) 对于对数函数y=log_a(x)，其中a为常数且不等于1，则它的导数为f'(x)=1/(xlna)。

e) 对于三角函数y=sin(x)，则它的导数为f'(x)=cos(x)。

3. a) 利用导数定义证明：对于函数y=kx，其中k为常数，则它的导数为f'(x)=k。

b) 利用导数的四则运算法则证明：对于两个可导函数f(x)和g(x)，则有(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。

c) 利用导数的链式法则证明：对于复合函数y=f(g(x))，其中函数g(x)可导且函数f(u)可导，则它的导数为f'(g(x))·g'(x)。

4. a) 用导数求函数在一点处的切线方程：对于函数y=f(x)，若知道函数在点x=a处的导数f'(a)，则可求得切线方程为y=f'(a)(x-a)+f(a)。

b) 用导数求函数的极值点：对于函数y=f(x)，若函数在点x=a处的导数f'(a)存在且为零，且函数在该点的导数由正变负或由负变正，则该点为函数的极值点。

第二节：不定积分1. a) 不定积分的定义是：对于函数y=f(x)，若存在函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为函数f(x)的一个原函数，并记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。

第五章不定积分

5

例题）第一节不定积分的概念（例题）例.
5 求过点 (1, 2 ) ，且在其上任意一点 (x
, y) 处的切线
的曲线方程．斜率为 x 的曲线方程．解：设所求曲线方程为 y=F(x)，则 F ′( x ) = x . ，
1 2 y = F ( x ) = ∫ xdx = x + C 2
5 将 x = 1，y = 代入上式：代入上式： 2 5 1 2 = ×1 + C ⇒ C = 2 2 2 1 2 故 y = x + 2为所求曲线方程 . 2
y o
F ( x)
F ( x) + C2
F(x) 是 f(x) 的一条积分曲线．积分曲线．
x
x
个单位，将 F(x) 沿 y 轴平移 C 个单位，即得关于 f(x) 的积分曲线族．积分曲线族．积分曲线族中的所有曲线在横坐标相同的点处的积分曲线族中的所有曲线在横坐标相同的点处的所有曲线切线互相平行．切线互相平行．
y=∫
x
已知固定成本为1000元已知固定成本为1000元，即当 x=0时, y=1000. 1000 = = 000. 因此有C=1000，因此有 =1000，于是可得
y = 7 x + 50 x + 1000 ,
25 y′dx = ∫ (7 + )dx = 7 x + 50 x + C . x
x u= a
x =u a
1 1 1 du = arctan u + C = ∫ 2 a a 1+ u
1 x = arctan + C . a a
dx d( ) = a a
1 dx x ∫ a2 + x2 = a arctan a + C.

第五章不定积分单元测试题

《经济数学--微积分》第五章不定积分单元测试题班级：学号：姓名：分数：一、单项选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）1、若 )()(x g x f '=' ，则必有 ( )A )()(x g x f =B dx x g dx x f )()(⎰⎰=C dx x g d dx x f d )(')('⎰⎰=D dx x g d dx x f d )()(⎰⎰=2、)(x F 是)(x f 的一个原函数，下列各等式正确的是（）A ⎰+=c x f dx x F )()(B ⎰=')())((x f dx x fC ⎰+=c x f dx x f d )())((D ⎰=')()(x f dx x f3、如果已知⎰+=C x dx x f 5cos ln 52)(，则)(x f 为 ( ) A ．2tan5x B. -2tan5x C.tan5x D. -tan5x4、若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f （）． A ．)(x f B.)(x f ' C ．c x f +')( D ．c x f +)(5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=⎰dx x xf )(（） A c x x ++)ln 4121(2； B c x x ++)ln 2141(2； C c x x +-)ln 2141(2； D c x x +-)ln 4121(2二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）6、2x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰ ； 7、5y x = 的原函数是 _______ ；8、设 sin x e x + 是 )(x f 的一个原函数，则 ()f x ' = _____ __；9、若 2()f x dx x C =+⎰ ，则 2(1)xf x dx -=⎰ __________；10、⎰=''dx x f x )(____________.三、计算题：（本题共10小题，每小题6分，共60分）11、求221x dx x+⎰ 12、求dx x x ⎰-12213、求dx xe x ⎰+1 14、求dx x x ⎰+)ln 21(115、求arctan x xdx ⎰ 16、求17、求dx e x ⎰+11 18、求dx x x ⎰ln 219、求dx e x x ⎰-2 20、求dx x e x ⎰-sin四、解答题：（本题共1小题，共10分）21、设生产某产品的边际成本为()2100020C Q Q Q '=-+，固定成本为9000元，该产品的单位售价为3400元，求该产品（1）成本函数、收益函数、利润函数；（2）获得最大利润时的产量及最大利润。

微积分上学期答案

1微积分答案第一章函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ；３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4；（2）25；（3）1；（4）5；（5）2.2、（1）3；（2）0；（3）2；（4）5e -；（5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。

第二章极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1；（4）0；（5）12．四、略。

不定积分练习5答案

1. 求⎰-+=dx x x x I2)1ln( 解：原式⎰-+=dx xx x 2)1ln(1⎰⎰-+=dx x x dx x 2)1ln(1⎰--=)1()1ln(||ln x d x x]})1[ln(1)1ln({||ln ⎰----=x d xx x x])1[ln(1)1ln(||ln ⎰-+--=x d xx x x⎰--⋅+--=dx xx x x x 111)1ln(||ln⎰----=dx x x x x x )1(1)1ln(||ln⎰-+---=dx xx x x x )111()1ln(||ln⎰⎰-+---=)111()1ln(||ln dx xdx x x x x⎰⎰-----=dx xdx x x x x 111)1ln(||ln)1(111)1ln(||ln ⎰⎰--+---=x d x dx x x x xC x x xx x +-+---=|1|ln ||ln )1ln(||lnC x xx +-+--=|1|ln )1ln(2.求dx x x ⎰+2323)1(方法一，第二换元法，用三角换元设t x tan = ，tdt dx 2sec =解：原式tdt t t 2323sec )tan 1(tan ⋅+=⎰t d t t t2323s e c )(s e c t a n ⋅=⎰tdt t t 233sec sec tan ⋅=⎰dt tt ⎰=sec tan 3dt t t t ⎰⋅=sec tan tan 2dt t t t ⎰-⋅=sec )1(sec tan 2dt t t t t ⎰-=sec tan sec tan 2dt ttdt t t ⎰⎰-=sec tan sec tandt t tt ⎰-=sec tan secdt t ttt ⎰⋅-=cos cos sin secdt t t ⎰-=sin secC t t ++=cos secC xx ++++=22111【步骤计算另解】拆开计算dt t t⎰sec tan 3，如下步骤： tdt t tdt t t cos cos sin sec tan 333⋅=⎰⎰dt t t ⎰=23cos sindt t t t ⎰⋅=22cos sin sin)(cos cos sin 22t d t t ⎰-=)(cos cos cos 122t d t t ⎰--=⎰⎰--=)](cos )(cos cos 1[2t d t d t⎰⎰+-=)(cos )(cos cos 12t d t d t⎰+=)(cos cos 1t d tC t t++=c o s c o s 1C xx ++++=22111方法二，第一换元法，凑微分解：原式dxxx⎰+=323)1(dxxxx⎰+⋅=322)1()()1(212322xdxx⎰+=)1()1(112122322xdxx++-+=⎰)1()1(1)1(2122322xdxx++-+=⎰)1(])1(1)1()1([2122322322xdxxx++-++=⎰)]1()1(1)1()1()1([21223222322xdxxdxx++-+++=⎰⎰)]1()1()1()1([21223222312xdxxdx++-++=⎰⎰--)1()1(21)1()1(21223222312xdxxdx++-++=⎰⎰--)1()1(21)1()1(121223222xdxxdx++-++=⎰⎰-Cxx++++=221113. 求dx x x ⎰-)4(1方法一，分子为常数，分母有根号，根号内最高次幂为2，并且有1次项存在，用配方法解：原式dx xx ⎰-=241dx x x ⎰--=)4(12dx x x ⎰-+--=)444(12dx x ⎰---=]4)2[(12dx x ⎰--=2)2(41dxx ⎰--⋅=]4)2(1[412dxx ⎰--=]4)2(1[212dxx ⎰--=2]2)2([121)22(]2)2([112212---⋅=⎰x d xC x +-=)22arcsin(方法二，第一换元法，凑微分解：原式)(412x d x ⎰-=)()(4122x d x ⎰-=)(])2(1[4122x d x⎰-⋅=)2()2(1122x d x ⎰-=)2()2(1122x d x ⎰-=C x+=)2arcsin(2 方法三，第二换元法中的根式换元设x t =，2t =x ,t t 2d dx =解：原式t t 2t 4t12d ⎰⋅-=t t4122d ⎰-=t4t 14122d ⎰-=）（t2t 12122d ⎰-=）（）（）（2t 2t 1122d ⎰-= C +=）（2tarcsin 2C +=）（2x arcsin 24. 求 dx x x x⎰-)11(2解：原式dx x x21232)()11(⋅-=⎰dx xx ⎰--=)(24343dx x dx x ⎰⎰--=4543C x x ++=-41474745. 求 dx x x ⎰++)1ln(2解：原式)]1[ln()1ln(22⎰++-++=x x xd x x xdx x xxx x x x x )21211(11)1ln(222⋅++⋅++⋅-++=⎰dx xx x xx x x x x )11(1)1ln(2222+++⋅++-++=⎰dx x xx x x ⎰+-++=221)1ln()(1121)1ln(222x d x x x x ⎰+-++=)1(1121)1ln(222x d xx x x ++-++=⎰C x x x x ++-++=221)1ln(【注意】该题目虽然出现根号，并且根号内为二次函数，表面看可以用三角换元，但若换元后，根号虽然消除，但使题目复杂化，显然不符合数学运算原则6. 求dx xx ⎰-42 设t x sec 2= ，tdt t dx tan sec 2=解：原式tdt t tt tan sec 2sec 24)sec 2(2⋅-=⎰dt t t ⎰⋅-=tan 1sec 22 dt t ⎰=2tan 2 dt t )1(sec 22-=⎰C t t +-=2tan 2C xx +--=)2arccos(2427. 求dx xx ⎰-+241方法一，分开两部分求，用第一换元法解：原式dx xx x )414(22-+-=⎰dx x dx x x⎰⎰-+-=22414dx xx d x ⎰⎰-+-=22241)(4121)2(41212)(4121222xd xx d x ⎰⎰-+-=)2(411)4(4121222x d x x d x⎰⎰-+---=C xx ++--=)2arcsin(42方法二，第二换元法，用三角换元设t x sin 2= ，tdt dx cos 2=解：原式tdt t t cos 2)sin 2(41sin 22⋅-+=⎰tdt t t cos 2)(sin 121sin 22⋅-+=⎰dt t ⎰+=)1sin 2(C t t ++-=cos 28. 求 dx x x ⎰2tan 解：原式dx x x )1(sec 2-=⎰⎰⎰-=xdx dx x x 2sec⎰⎰-=xdxx d x )(tan2tan tan 2x xdx x x --=⎰2cos sin tan 2x dx x x x x --=⎰2)(cos cos 1tan 2x x d x x x -+=⎰C x x x x +-+=2|cos |ln tan 2。

《高等数学》第五章-不定积分的习题库

2.若曲线通过点，且曲线上任意一点的处的切线斜率等于该点横坐标的2倍，则该曲线方程为。
3.某一曲线通过，且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，则该曲线的方程为。
4. 。
5. 。
6. =。
7. =。
8. =。
9. =。
10. =。
11. 。
12. 。
13. 。
14. 。
15. 。
16. =。
A. B.
C. D.
18. （）
A. B.
C. D.
19. （）
A. B.
C. D.
20. =（）
A. B.
C. D.
21. 的全体原函数是（）
A. B.
C. D.
22. （）
A. B.
C. D.
23. （）
A. B. C. D.
三、填空题
1.若曲线上点的切线斜率与成正比并且通过点和则该曲线方程为。
第五章不定积分
一、判断题
1. 。（）
2. 。（）
3. 。（）
4. 与是同一函数的原函数。（）
5. （）
6. （）
7.设则（）
8. （）
二、选择题
1. ，为常数，下列等式成立的是（）
A. B.
C. D.
2. 和是函数的任意两个原函数，则下式成立的有（）
A. B. C. D.
3.若曲线通过点，且在该曲线上任意点处切线的斜率为，则该曲线方程是（）
8. =（）
A. B.
C. D.
9. （）
A. B.
C. D.
10. （）
A. B.
C. D.

《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无穷小.4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________. 13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。

(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C))]()()[(x h x g x f +；(D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

(微积分)第五章

第五章习题5-11.求下列不定积分：(1)25)x -d x; (2) 2x ; (3) 3e x x ⎰d x ； (4) 2cos2x⎰d x ； (5) 23523x x x ⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x⎰. 解5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰113222221132223522(2)(2)24235d d d d x x x x x xx x x x x x x x C--==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 31cos 1111(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333125225()223(ln 2ln 3)3ln()3e e d e d e e d d d d d d d d x x xxxxx x x xx xx xx x C Cx x x x x x x x x Cx x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x C-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '⎰d x ；(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f ′(x )=2x -2,2()(22)2d f x x x x x C ∴=-=-+⎰又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x -+. (4)由1()1000()ln 33P Q P '=-得111()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333d d P P P Q P x x C =-=-⋅=⋅+⎰⎰将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3PQ P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )； (5) 3x d x = d(3x 4-2); (6) 2e x d x = d(2e x)；(7) 2ex -d x = d(1+2ex -); (8)d xx= d(5ln ｜x ｜);= d(1-arcsin x = d(11)2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2d 12xx += d(arctan x );(13) (32x -2)d x = d(2x -3x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a +=≠∴=+22224334222221(2)(73)7(73)71(3)(5)10(5)101(4)(1)2(1)21(5)(32)12(32)121(6)()2()2(7)(1)d dd d d dd d d d d d d d d d de e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=⋅∴=+=222221()2(1)251(8)(5ln )(5ln )5(9)(1arcsin )(1arcsin )(10)1(2)3(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⋅-∴=-+=∴=-==---=-==-=+222322231(arctan 3)193(12)))1212(13)(2)(23)(32)(32)(2)222232(14)sin(1)cos(1)cos(1)sin(1)333323d d d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∴=+=∴=++-=-=--∴-=---=-∴-=- 2.求下列不定积分：(1) 5e d t t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ;(3)d 12xx -⎰; (4) ⎰(5)t ; (6) d ln ln ln x x x x ⎰; (7) 102tan sec d x x x ⎰; (8) 2ed x x x -⎰;(9)dsin cos x x x ⎰; (10) ⎰; (11)※de e x xx-+⎰; (12) x ⎰; (13) 343d 1x x x -⎰; (14) 3sin d cos x x x⎰; (15)x ⎰; (16) 32d 9x x x +⎰; (17) ※2d 21xx -⎰; (18) d (1)(2)x x x +-⎰; (19 2cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰;(21) sin2cos3d x x x ⎰; (22) cos cosd 2xx x ⎰; (23) sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3tan sec d x x x ⎰;(25)x ; (26) ;(27) ※ln tan d cos sin x x x x⎰; (28) ※21ln d (ln )x x x x +⎰; (29)2,0x a >; (30) (31)d xx ⎰; (32) ※ ;(33) ※; (34),0x a >. 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰ 33411(2)(32)(32)(32)(32)28d d x x x x x -=---=--⎰⎰122333 111(3)(12)ln121221221131(4)(23)(23)()(23)(23)3322(5)22sin111(6)(ln ln)ln ln lln ln ln ln ln ln ln lnddddddd dxx Cxx xx x x C x C t t Cxx xx x x x x x x-=--=-+---=---=--+=--+===-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222210210112n1(7)tan sec tan(tan)tan11111(8)(2))222(9)22csc22sin cos2sin cos sin2ln lncsc2cot2tansin cd de d e d e d(-ed d ddd或x x x xCxx x x x x x Cx x x x x Cx x xx xx x x x xC Cx x xxx----+⋅==+=-⋅-=-=-+===⋅⋅=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2cos1tan ln tanos sin cos tanddx xx Cxx x x x=⋅==+⎰⎰⎰22234(10)ln1(11)()arctan11()11(12)631333(13)14dd ed de ee e e edxx xx x x xCxx Cx x xCxxx-==-+===++++'=-=-=-==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3444432334313(1)ln11414sin sin1(14)cos cos coscos cos2(15)1218)23812d dd d dd dxx x Cxx xx xx x x x x Cx xx x xx x x---=--=-+----=-=-=+=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰122221(94)(94)38)dx x x-+--⎰12arcsin23x C=3322222222999(16)()9999119(9)ln(9)2922111(17)212221)1)x x x x xx x x xx x xx x x x x Cxxx x x x+-==-+++=-+=-+++==--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d dd ddd2111111111(18)()(2)(1)(1)(2)32132311112ln ln ln2133311cos(22)11(19)cos()cos(22224C Cxx x x x x x x x xxC Cx xxtt t t t tωϕωϕωω=-+=+++=-=--+ +--+-+-=-+=+-+++++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰dd d dd d d223)(2)11cos(22)(22)2411sin(22)241(20)cos()sin()cos()cos()1cos()3(21)sin2cos3tt t tt t Ct t t t tt Cx xϕωωϕωϕωωϕωωϕωϕωϕωϕωωϕω⋅=+++=+++++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰ddd d111(sin5sin)sin55sin210211cos5cos10213133(22)cos cos(cos cos)cos()cos()22223222213sin sin3221(23)sin5sin7(cos12x x x x x x x xx x Cx x x x x x x x x xx xCx x x=-=-=-++=+=+=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d dd d d dd2cos2)11cos12(12)cos2(2)24411sin12sin2244x x xx x x xx x C-=-+=-++⎰⎰⎰⎰dd d322322(24)tan sec tan(sec)(sec1)sec1sec sec3(25)2arctan2(arctan1(26)(arcsin)d d ddddx x x x x x xx x Cx x xCx==-=-+===+=⎰⎰⎰⎰⎰1(arcsin)arcsinx Cx=-+⎰2222222ln tan1(27)ln tan seccos sin tan1ln tan(ln tan)(ln tan)21ln111(28)(1ln)(ln)(ln)ln(ln)ln(29)d ddd d ddxx x x xx x xx x x Cxx x x x x C x x x x x x x xx a=⋅⋅==++=+==-+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x⎰利用教材§5.2例16及公式(20)可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin2222x a x a xa C Ca a a--=-.(30)令tan,(,)22ππx t t=∈-,则2secd dx t t=.所以2sec cos sinsecd dd dtt t t t t Ct====+⎰⎰tan,sin原式x t t C=∴=∴=+.(31)令3sec,(0,)2πx t t=∈,可求得被积函数在x>3上的不定积分,此时3sec tan3tand dx t t t t=⋅=故223tan3sec tan3tan3(sec1)3secd d dtx t t t t t t tt=⋅⋅==-⎰⎰⎰3tan3t t C=-+.由3sec,(0,)2πx t t=∈得tan3t=,又由3secx t=得33sec,cos,arccos3xt t tx x===,333arccos 3arccos )x C C x x∴=+=+ 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分.11333arccos 3(arccos )33arccos d π x C C x x x Cx=+=-+=+⎰综上所述有33arccos x C x =+. (32)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 11cos sin cos sin cos sin cos 2sin cos 11111(sin cos )ln sin cos 22sin cos 2211arcsin ln .22d d d d d t t t tt t tt t t tt t t t C t t t t x C x ++-=⋅=++=++=++++=++⎰⎰⎰⎰ (33)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =2cos 1(1)sec ()1cos 1cos 22tan arcsin .2d d d d t t tt t t t t t t C x C ∴==-=-++=-+=-⎰⎰⎰(34)21(2d d x a x x a =+=+⎰arcsinxa C a=⋅.习题5-31.求下列不定积分：(1) sin d x x x ⎰; (2) e d x x x -⎰;(3) arcsin d x x ⎰; (4) e cos d x x x -⎰;(5) 2esin d 2xxx -⎰; (6) 2tan d x x x ⎰;(7) 2e d t t t -⎰; (8)※2(arcsin )d x x ⎰; (9) 2e sin d x x x ⎰; (10) ※x ⎰;(11)※cos(ln )d x x ⎰; (12)2(1)sin 2d x x x -⎰; (13)ln(1)d x x x -⎰; (14)22cosd 2xx x ⎰; (15)32ln d xx x⎰; (16)sin cos d x x x x ⎰.解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰(2)()(1)e d de e e d e e d e e e x x x x x x xxxx x x x x x x x C x C---------=-=-+=---=--+=-++⎰⎰⎰⎰21(3)arcsin arcsin arcsin (1)2arcsin d x x x x x x x x x x x C=-=+-=+⎰⎰⎰(4)cos cos cos (sin )cos sin cos sin cos e d de e e d e de e e e d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x---------=-=-+-=-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰12cos (sin cos )(sin cos )cos 2e d e e e d x x x xx x x x C x x x x C----∴=-+-∴=+⎰⎰22221111(5)sin sin sin cos 22222222e d de e e d x x x x x x x xx x ----=-=-+⋅⎰⎰⎰2222222211sin cos 22821111sin cos (sin )2282822111sin cos sin 2282162e de e e e d e e e d x xx x x x x x x xx x xx x x x x--------=--=--+-=---⎰⎰⎰2221221711sin sin cos 16222822sin (cos 4sin )21722e d e e e d e x x x x x x x xx C x x xx C-----∴=--+∴=-++⎰⎰222222222222221(6)tan (sec )sec 211(tan )tan tan 221tan ln cos 2111(7)2221111(2)2424d d d d de d de e e d e e d e t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cx t t t t tt t t -------=-=-=-=--=+-+=-=-+=---=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222(8)(arcsin )(arcsin )2arcsin (arcsin )2arcsin (arcsin )2(arcsin )2e d d t Cx x x x x x xx x x x x x xx x x x -+=-⋅=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(arcsin )21cos 211(9)sin cos 222211cos 222e d e d e d e d e e d x x x x x x x x x x C x x x x x x x x x=+-+-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰而 cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x x x x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰cos 22sin 24cos 2e e e d x x x x x x x =+-⎰11cos 2(cos 22sin 2),511111(cos 22sin 2)(sin 2cos 2).2102510e d e 原式e e e x x x x x x x x x C x x C x x C ∴=++∴=-++=--+⎰(10)t =,则32,3d d x t x t t ==22222223336363663663(22)32)e d de e e d e de e e e d e e e e t t t t t t t t t t t t t x t t t t t tt t t t t t t C t t C C===-=-=-+=-++=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(11)令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,cos(ln )cos cos de e cos e sin e cos sin e e cos e sin e cos cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2d e d d d d d d t t t t t t t t t x x t t t t t tt t t t t tx x x x x xx x x x x C ===+=+=+-=+-∴=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222211(12)(1)sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2(2)2211cos 2cos 2cos 222111cos 2cos 2sin 222211cos 2cos 2sin 222d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=--=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2212sin 22111cos 2cos 2sin 2cos 2222413()cos 2sin 2222d x x x x x x x x x C x x x x C -=-++++=--++⎰2222222221(13)ln(1)ln(1)()ln(1)2221111111ln(1)ln(1)(1)2212221111ln(1)()ln 122221(1)ln(1)2d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x x x -=-=----+=--=--+---=--+-+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰211.42x x C --+2222232321cos 11(14)cos cos 22221111sin sin sin 6262d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=⋅=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3232321111sin cos sin cos cos 626211sin cos sin .62d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =++=++-=++-+⎰⎰333222323223232232ln 111(15)ln ()ln 3ln 11131ln 3ln ()ln ln 6ln 131ln ln 6ln ()1361ln ln ln 613ln ln d d d d d d d x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x xx x x =-=-+=--=--+=---=---+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3266ln 1(ln 3ln 6ln 6) x x C x xx x x C x--+=-++++ 11(16)sin cos sin 2cos 22411cos 2cos 2cos 2cos 2244481cos 2sin 248d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C ==-=-+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰习题5-4求下列不定积分： (1) 31d 1x x +⎰; (２) 5438d x x x x x +--⎰; (３) sin d 1sin x x x +⎰; (4) cot d sin cos 1x x x x ++⎰.解 (1)令322111(1)(1)11A Bx C x x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是2322222123(1)3(1)1112111331612()2411ln ln 11361(1)ln 61d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x C x x x x C x x -⎡⎤-=⎢⎥+-++⎣⎦-=-++-+-+=-++-++=-+⎰⎰⎰⎰⎰ 542233323323288(2)(1)11832111111ln 8()13221218ln 3ln 4ln 1132d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x x x +-+-=+++--=+++---=+++--++⋅--+=+++--+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 222sin sin (1sin )1(3)cos (sec 1)1sin cos cos 1tan sec tan cos d d d d x x x x x x x x x x x x x C x x x C x-==---+=-++=-++⎰⎰⎰⎰ 注本题亦可用万能代换法(4)令tan 2x t =,则 222222112sin ,cos ,cot ,2arctan ,1121d d t t t x x x x t x t t t t t --=====+++ 则222221cot 21111221sin cos 112221111111ln ln tan tan 222222d d d d d t x t t x t t t t t t x x t t t t tx x t C C t --=⋅==--+++++++=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰。

北大高等数学教材答案

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第一章极限与连续1.1 课后习题答案1.2 挑战练习答案1.3 补充练习答案第二章导数与微分2.1 课后习题答案2.2 挑战练习答案2.3 补充练习答案第三章微分中值定理与导数的应用3.1 课后习题答案3.2 挑战练习答案3.3 补充练习答案第四章不定积分4.1 课后习题答案4.2 挑战练习答案4.3 补充练习答案第五章定积分5.1 课后习题答案5.2 挑战练习答案5.3 补充练习答案第六章定积分的应用6.1 课后习题答案6.2 挑战练习答案6.3 补充练习答案第七章微分方程7.1 课后习题答案7.2 挑战练习答案7.3 补充练习答案通过使用这份北大高等数学教材答案，我们可以及时纠正错误并理解解题思路，提高自己的解题能力。

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微积分二课后题答案,复旦大学出版社第五章

第五章习题5-11.求下列不定积分：(1)25)x -d x ;(2) 2⎰x ; (3)3e x x⎰d x ； (4) 2cos 2x⎰d x ； (5) 23523x xx⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin xx x x ⎰.解5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰113222221132223522(2)(2)24235d d d d x x x x x xx x x x x x x x C--==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 31cos 1111(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333125225()223(ln 2ln 3)3ln()3e e d e d e e d d d d d d d d x x xxxxx x x xx xx xx x C Cx x x x x x x x x Cx x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x C-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '⎰d x ；(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,2()(22)2d f x x x x x C ∴=-=-+⎰又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -.注意此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000()ln 33PQ P '=-得111()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333d d P P P Q P x x C =-=-⋅=⋅+⎰⎰将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3PQ P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )； (5) 3x d x = d(3x 4-2); (6) 2e xd x = d(2e x)； (7) 2ex -d x = d(1+2ex -); (8)d xx= d(5ln ｜x ｜);(9)= d(1-arcsin x ); (10)= d(11)2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2d 12xx +=d(arctan x );(13) (32x -2)d x = d(2x -3x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a +=≠∴=+Q22224334222221(2)(73)7(73)71(3)(5)10(5)101(4)(1)2(1)21(5)(32)12(32)121(6)()2()2(7)(1)d d d d d d d d d d d d d d d d d e e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=⋅∴=+=Q Q Q Q QQ 22221()2(1)251(8)(5ln )(5ln )5(9)(1arcsin )(1arcsin )(10)(2)3(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⋅-∴=-+=∴=-==--=-==-=+Q Q QQ 222322231(arctan 3)193(12)))1212(13)(2)(23)(32)(32)(2)222232(14)sin(1)cos(1)cos(1)sin(1)333323d d d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∴=+=∴=++-=-=--∴-=---=-∴-=-Q Q Q 2.求下列不定积分： (1)5e d t t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ; (3)d 12xx -⎰;(4)(5)t ; (6)d ln ln ln xx x x ⎰;(7)102tan sec d x x x ⎰; (8) 2e d x x x -⎰;(9)dsin cos x x x ⎰; (10) tan ⎰(11)de e x x x-+⎰; (12)x ;(13) 343d 1x x x-⎰; (14) 3sin d cos xx x ⎰;(15)x ; (16) 32d 9x x x +⎰; (17)2d 21xx -⎰; (18) d (1)(2)xx x +-⎰;(19 2cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰;(21) sin2cos3d x x x ⎰; (22) cos cos d 2x x x ⎰; (23)sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3tansec d x x x ⎰;(25)x ; (26);(27)ln tan d cos sin xx x x ⎰; (28)21ln d (ln )xx x x +⎰;(29)2,0x a >; (30)(31)d xx⎰; (32)(33); (34),0x a >;(35)x ; (36) x ; (37)2sec ()d 1tan x x x +⎰; (38) (1)d (1e )x x x x x ++⎰(提示：令xt e =). 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰33411(2)(32)(32)(32)(32)28d d x x x x x -=---=--⎰⎰122333111(3)(12)ln 121221221131(4)(23)(23)()(23)(23)3322(5)22sin 111(6)(ln ln )ln ln l ln ln ln ln ln ln ln ln d d d d d d d d x x C x x x x x x C x Ct t C x x x x x x x x x x-=--=-+---=---=--+=--+===-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222210210112n 1(7)tan sec tan (tan )tan 11111(8)(2))222(9)22csc 22sin cos 2sin cos sin 2ln ln csc 2cot 2tan sin c d d e d e d e d(-e d d d d d 或x x x x Cx x x x x x x Cx x x x x Cx x xx xx x x x x C C x x x x x ----+⋅==+=-⋅-=-=-+===⋅⋅=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2cos 1tan ln tan os sin cos tan d d x x x Cx x x x x=⋅==+⎰⎰⎰22234(10)ln 1(11)()arctan 11()11(12)631333(13)14d d e d d e e e e e e d x x xx xx x Cx x C x x xCx x x -==-+===++++'=-=-=-==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3444432334313(1)ln 11414sin sin 1(14)cos cos cos cos cos 2(15)1218)23812d d d d d d d x x x C x x x x x x x x x x C x x x x xx x x---=--=-+----=-=-=+=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰122221(94)(94)38)d x x x -+--⎰12arcsin 23x C =3322222222999(16)()9999119(9)ln(9)2922111(17)212221)1)x x x x xx x x x x x xx x x x x C x x x x xx +-==-+++=-+=-+++==--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d2111111111(18)()(2)(1)(1)(2)32132311112ln ln ln 2133311cos(22)11(19)cos ()cos(22224C Cx x x x x x x x x x x C Cx x x t t t t t t ωϕωϕωω=-+=+++=-=--++--+-+-=-+=+-+++++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d d d d d d d 223)(2)11cos(22)(22)2411sin(22)241(20)cos ()sin()cos ()cos()1cos ()3(21)sin 2cos3t t t t t t Ct t t t t t C x x ϕωωϕωϕωωϕωωϕωϕωϕωϕωωϕω⋅=+++=+++++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰d d d d 111(sin 5sin )sin 55sin 210211cos5cos 10213133(22)cos cos (cos cos )cos ()cos ()22223222213sin sin 3221(23)sin 5sin 7(cos12x x x x x x x xx x Cx x x x x x xx x x x xCx x x =-=-=-++=+=+=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d d d 2cos 2)11cos12(12)cos 2(2)24411sin12sin 2244x x xx x x x x x C-=-+=-++⎰⎰⎰⎰d d d322322(24)tan sec tan(sec)(sec1)sec1sec sec3(25)2arctan2(arctan1(26)(arcsin)d d ddddx x x x x x xx x Cx x xCx==-=-+===+=⎰⎰⎰⎰⎰1(arcsin)arcsinx Cx=-+⎰2222222ln tan1(27)ln tan seccos sin tan1ln tan(ln tan)(ln tan)21ln111(28)(1ln)(ln)(ln)ln(ln)ln(29)d ddd d ddxx x x xx x xx x x Cxx x x x x C x x x x x x x xx a=⋅⋅==++=+==-+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x⎰利用教材§5.2例16及公式(20)可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin2222x a x a xa C Ca a a--=-.(30)令tan,(,)22ππx t t=∈-,则2secd dx t t=.所以2sec cos sinsecd dd dtt t t t t Ct====+⎰⎰tan,sin原式x t t C=∴=∴=+Q.(31)令3sec,(0,)2πx t t=∈,可求得被积函数在x>3上的不定积分,此时3sec tan3tand dx t t t t=⋅=故223tan3sec tan3tan3(sec1)3secd d dtx t t t t t t tt=⋅⋅==-⎰⎰⎰3tan3t t C=-+.由3sec,(0,)2πx t t=∈得tan3t=,又由3secx t=得33sec,cos,arccos3xt t tx x===,333arccos 3arccos )x C C x x∴=+=+ 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分.11333arccos 3(arccos )33arccos d π x C C x x x Cx=+=-+=+⎰综上所述有33arccos x C x=+. (32)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 11cos sin cos sin cos sin cos 2sin cos 11111(sin cos )ln sin cos 22sin cos 2211arcsin ln .22d d d d d t t t tt t tt t t tt t t t C t t t t x C x ++-=⋅=++=++=++++=++⎰⎰⎰⎰ (33)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =2cos 1(1)sec ()1cos 1cos 22tan arcsin .2d d d d t t tt t t t t t t C x C ∴==-=-++=-+=-⎰⎰⎰(34)21(2d d x a x x a =+=+⎰arcsinxa C a=⋅-. (35)令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=,所以2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d tx t t t t t t t t=⋅==-⎰⎰⎰⎰cot arcsin 2x t t C C x =--+=--+.(36)2d x x x ==1(1)ln1dx Cx=+=++Q由被积函数知x≤-2或x>0,令1xt=,当x>0时,(此时t>0)221222211222(12)(12)2.d dddx t tt ttt t CC C Cxx--==-=-=-++=-=-=-+=-+⎰当x≤-2时,此时12t-≤<221233311222(12)(12).d ddx t tt ttt t t CC C Cx--==-==++===+=+⎰综上所述:原式= ln1Cx+.(37)2222sec sec11()(1tan)1tan(1tan)(1tan)1tand d dx xx x x C x x x x==+=-+ ++++⎰⎰⎰.(38)令e x=t,则x=ln t,d x=1td t.11ln1111(ln)(ln)(1)ln(1ln)ln(1ln)ln1ln11(ln)(1ln)ln lnln1lnln1lnln ln ln ln ln ln111d d d ded dee e ee xxx x xx x tx t t t t t x x t t t t t t t t t t t tt t t t Ct t t tt t t txC C x Cxx x xx ++⎡⎤=⋅==-⎢⎥++++⎣⎦=-+=-+++=-+=+-+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题5-31.求下列不定积分：(1) sin dx x x⎰; (2) e d x x x-⎰;(3) arcsin d x x ⎰; (4) ecos d xx x -⎰;(5) 2e sin d 2xx x -⎰; (6) 2tan d x x x ⎰; (7) 2e d t t t -⎰; (8)2(arcsin )d x x ⎰; (9)2e sin d x x x ⎰;(10) x ⎰;(11)cos(ln )d x x ⎰; (12)2(1)sin 2d x x x -⎰;(13)ln(1)d x x x -⎰; (14)22cosd 2x x x ⎰; (15)32ln d xx x⎰; (16)sin cos d x x x x ⎰;(17)2cot csc d x x x x ⎰; (18)22(1)e d xx x x +⎰; (19)1(ln ln )d ln x x x+⎰; (20)e ln(1e )d x x x +⎰; (21) 23sin d cos x x x ⎰;(22)22ln(d (1)x x x x +⎰; (23)2e d (1)x x x x +⎰; (24)arctan 322e d (1)xx x x +⎰. 解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰(2)()(1)e d de e e d e e d e e e x x x x x x xxxx x x x x x x x C x C---------=-=-+=---=--+=-++⎰⎰⎰⎰21(3)arcsin arcsin arcsin (1)2arcsin d x x x x x x x x x x x C=-=+-=+⎰⎰(4)cos cos cos (sin )cos sin cos sin cos e d de e e d e de e e e d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x---------=-=-+-=-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰12cos (sin cos )(sin cos )cos 2e d e e e d x x x xx x x x C x x x x C----∴=-+-∴=+⎰⎰22221111(5)sin sin sin cos 22222222e d de e e d x x x x x x x xx x ----=-=-+⋅⎰⎰⎰2222222211sin cos 22821111sin cos (sin )2282822111sin cos sin 2282162e de e e e d e e e d x xx x x x x x x xx x x x x x x x--------=--=--+-=---⎰⎰⎰2221221711sin sin cos 16222822sin (cos 4sin )21722e d e e e d e x x x x x x x xx C x x xx C-----∴=--+∴=-++⎰⎰222222222222221(6)tan (sec )sec 211(tan )tan tan 221tan ln cos 2111(7)2221111(2)2424d d d d de d de e e d e e d e t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cx t t t t tt t t -------=-=-=-=--=+-+=-=-+=---=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222(8)(arcsin )(arcsin )2arcsin (arcsin )2arcsin (arcsin )2(arcsin )2e d d t Cx x x x x x xx x x x x x xx x x x -+=-⋅=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(arcsin )21cos 211(9)sin cos 222211cos 222e d e d e d e d e e d x x x x x x x x x x Cx x x x x x xx x=+-+-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰cos 22sin 24cos 2e e e d x x x x x x x =+-⎰11cos 2(cos 22sin 2),511111(cos 22sin 2)(sin 2cos 2).2102510e d e 原式e e e x x x x x x x x x C x x C x x C ∴=++∴=-++=--+⎰(10)t =,则32,3d d x t x t t ==22222223336363663663(22)32)e d de e e d e de e e e d e e e e t t t t t t t t t t t t t x t t t t t tt t t t t t t C t t C C===-=-=-+=-++=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(11)令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,cos(ln )cos cos de e cos e sin e cos sin e e cos e sin e cos cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2d e d d d d d d t t t ttttttx x t t t t t t t t t t t tx x x x x xxx x x x C===+=+=+-=+-∴=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222211(12)(1)sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2(2)2211cos 2cos 2cos 222111cos 2cos 2sin 222211cos 2cos 2sin 222d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x x -=-=--=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2212sin 22111cos 2cos 2sin 2cos 2222413()cos 2sin 2222d x x xx x x x x x Cxx x x C-=-++++=--++⎰2222222221(13)ln(1)ln(1)()ln(1)2221111111ln(1)ln(1)(1)2212221111ln(1)()ln 122221(1)ln(1)2d d d d d d x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x Cx x x -=-=----+=--=--+---=--+-+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰211.42x x C --+ 2222232321cos 11(14)cos cos 22221111sin sin sin 6262d d d d d d x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x+=⋅=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰3232321111sin cos sin cos cos 626211sin cos sin .62d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =++=++-=++-+⎰⎰333222323223232232ln 111(15)ln ()ln 3ln 11131ln 3ln ()ln ln 6ln 131ln ln 6ln ()1361ln ln ln 613ln ln d d d d d d d x x x x x xx x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x =-=-+=--=--+=---=---+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3266ln 1(ln 3ln 6ln 6) x x Cx x x x x Cx --+=-++++ 11(16)sin cos sin 2cos 22411cos 2cos 2cos 2cos 2244481cos 2sin 248d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C==-=-+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰()222221(17)cot csc csc csc csc 211csc csc csc cot 2222d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x C=-=-=-+=--+⎰⎰⎰⎰222222222222222222211(18)(1)(1)(1)221111(1)2(1)()2222111(1)222e d e d de e e d e e d e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x C+=+=+=+-⋅=+-=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰11111(19)(ln ln )ln ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln ln ln ln ln d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x Cx x+=+=-⋅⋅+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(20)ln(1)ln(1)(1)(1)ln(1)(1)1(1)ln(1)(1)ln(1)e e e d e d e e e e d e e e e d e e e xxxxxxxxxx x x x x x x x x C+=++=++-+⋅+=++-=++-+⎰⎰⎰⎰2233sin (21)tan sec tan (sec )tan sec sec cos d d d d x x x x x x x x x x x x=⋅==-⎰⎰⎰⎰ 2223323cos sin sin tan sec tan sec sec cos cos sin tan sec ln sec tan cos d d d d x x xx x x x x x x x x xxx x xx x x+=-=--=--+⎰⎰⎰⎰ 于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos d xx x x C x x x =-++⎰, 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰. 22211(22)ln(()211121ln(12(1)2d d d x x x x x x x =-++=+++=-++⎰⎰⎰令x =tan t , (,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t dt21131sec cos sin sec d d d t t t t t C C t =⋅==+=+⎰⎰ ∴原式=2ln(2(1)x C x ++. 211(23)()(1)111111e e d e d e e d e e ee d e x x x x xxxxx x x x x x x x x x x x x x x C C x x x=-=-+⋅+++++=-+=-++=++++⎰⎰⎰⎰arctan arctan arctan arctan 322(24)(1)e e d e x x xx x x x x ==-+⎰⎰arctan arctan arctan arctan arctan 322(1)e 1e e e x x x x xx x =-=+⎰于是arctan arctan 13222(1)e e d x xx x C x =++⎰,所以arctan arctan 322(1)e e d x x x x C x =++⎰.习题5-4求下列不定积分：(1) 21d 1x x +⎰; (２)5438d x x x x x +--⎰;(３)sin d 1sin xx x +⎰; (4) cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 (1)令322111(1)(1)11A Bx Cx x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是2322222123(1)3(1)1112111331612()2411ln ln 11361(1)ln 61d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x Cx x x x Cx x -⎡⎤-=⎢⎥+-++⎣⎦-=-++-+-+=-++-++=-+⎰⎰⎰⎰⎰542233323323288(2)(1)11832111111ln 8()13221218ln 3ln 4ln 1132d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x xx x xx x x xx x x x x x x Cx x x +-+-=+++--=+++---=+++--++⋅--+=+++--+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 222sin sin (1sin )1(3)cos (sec 1)1sin cos cos 1tan sec tan cos d d d d x x x x x x x x x x xx x C x x x Cx-==---+=-++=-++⎰⎰⎰⎰注本题亦可用万能代换法(4)令tan2xt =,则 222222112sin ,cos ,cot ,2arctan ,1121d d t t t x x x x t x t t t t t--=====+++ 则222221cot 21111221sin cos 112221111111ln ln tan tan 222222d d d d d t x t t x t t t t t t x x t t t t t x x t C Ct --=⋅==--+++++++=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰。

第5章不定积分(答案)

第5章不定积分第一节不定积分的概念【基础作业题】1、设()d arccos xf x x x C =+⎰，求()f x ．解：由不定积分的定义知，arccos x C +是()xf x 的全体原函数所以，21()(arccos )1xf x x C x'=+=--于是 21()1f x x x=--2、设()f x 的导函数是sin x ，求()f x 的原函数的全体．解：由题意，()sin f x x'=则 ()1sin d cos f x x x x C ==-+⎰故()f x 的原函数的全体为()()112d cos d sin f x x x C x x C x C =-+=-++⎰⎰3、求下列各式：(1) 3d xe x '⎡⎤⎣⎦⎰； (2)()2d xe x '⎰．解：（1）因为()()d f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰，所以33d xxe x e '⎡⎤=⎣⎦⎰（2）因为()()d f x x f x C ⎡⎤'=+⎣⎦⎰，所以()22d xxe x e C '=+⎰4、一曲线位于y 轴右侧，通过点()2,3e ，且在任一点处切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．解：设曲线方程为()y f x =，则1()(0)f x x x'=> 故 ()1d ln f x x x C x ==+⎰曲线通过点()2,3e ，得1C = 所以 ln 1y x =+【提高练习题】1、设(ln )1f x x '=+，则()f x = ．2、若3[()]1f x '=，则()f x = ．提高练习题参考答案：解：1、令ln x t =，则t x e =且()1tf t e '=+ 于是()(1)d t tf t e t t e C =+=++⎰所以 ()xf x x e C =++ 2、3()1d f x x x C ==+⎰，故3()f x x C =+第二节不定积分的基本公式及运算法则【基础作业题】1、计算下列不定积分：解：（1）14113332213d d 24x x x x x x x C x -⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰（2）2222212(1)2d d (1)d 2arctan 111x x x x x x x C x x x --+==-=-++++⎰⎰⎰ (3) (3)3d d ln 3xxxe e x x C e==+⎰⎰ (4) 22cot d (csc 1)d cot x x x x x x C =-=--+⎰⎰(5)221111d d sec d tan 1cos 22cos 22x x x x x C x x ===++⎰⎰⎰()2222222222cos 2cos sin 11(6)d d d cos sin cos sin sin cos cscsec d cot tan x x x x x x x x x x x x x x x x x C-⎛⎫==- ⎪⋅⋅⎝⎭=-=--+⎰⎰⎰⎰2、设某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000 (即0=P 时，1000=Q ) ，已知需求量的变化率（边际需求）为()11000ln 33⎛⎫'=-⋅ ⎪⎝⎭PQ P试求需求量Q 与价格P 的函数关系．解：()1113()d 1000ln 3d 1000ln 3133ln 3PP P Q P Q P P P C C⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭'==-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 由 0,1000P Q ==，得 0C =故1()3PQ P ⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节换元积分法【基础作业题】1、在下列各空白处填入适当常数(1) 12； (2) 13-； (3)12； (4) 12．2、计算下列不定积分解：(1)23331111d d(23)(23)322323x x x C x x=--=--+--⎰⎰；(2) 1111d d(32)ln 32322322x x x C x x =+=++++⎰⎰； (3) 2333311sin d sin d cos 33x x x x x x C ==-+⎰⎰； (4)()()()223ln 1d ln dln ln 3x x x x x C x==+⎰⎰； (5) 1d d(1)ln(1)11x x xx x e x e e C e e=+=++++⎰⎰； (6) 22111313d d arcsin 32323491()2x x x C x x ==+--⎰⎰； (7)()()11111d(2)d(1)12d ()d ln 1232132131x x x x x C x x x x x x x -+-⎡⎤=-=-=+⎢⎥+--+-++⎣⎦⎰⎰⎰⎰； 222221111114(8)d d d d()44825(4)3933()1()13314arctan 33x x x x x x x x x x C-===---+-+++-=+⎰⎰⎰⎰； 3、计算下列不定积分解：(1) ()()()()21cos 461cos 23d d cos 46d 46228x x x x x x x +++==+++=⎰⎰⎰()1sin 4628x x C +++ (2)sin sin sin cos d d sin x x x e x x e x e C ==+⎰⎰； 4、计算下列不定积分 (1)d 1x x x+⎰； (2)32d 4x x x -⎰；(3)29d x x x-⎰； (4) ()221d 1x x +⎰．解：（1）令x t =，则2x t =，d 2d x t t =22(1)11d 2d 2d 2(1)d 22ln 11111xt t x t t t t t t t t C t t tx -+=⋅==-+=-+++++++⎰⎰⎰⎰ 22ln 1x x x C =-+++（2）令2sin x t =，则242cos x t -=，d 2cos d x t t =()3322233228sin d 2cos d 8sin d cos 8(cos 1)d cos 2cos 4188(cos cos )48433x t x t t t t t tt x t t C x x C =⋅=-=--=-+=---+⎰⎰⎰⎰ （3）设 3sec x x = ，则293tan x t -=，3sec tan dx t tdt = ，于是原式=223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec t t tdt tdt t dt t ==-⎰⎰⎰29x - 3(tan )t t C =-+2393arccos x C x =--+．（4）设 tan x t = ，则()2241sec xt +=，2sec dx tdt = ，于是原式=22411sec cos (1cos 2)sec 2tdt tdt t dt t ==+⎰⎰⎰ x 11sin 2sin cos 2422t t t C t t C =++=++ 211arctan 221x x C x =+++．【提高练习题】1、求下列不定积分（1）32(ln )(ln 1)d x x x x +⎰；（2）2222sin 2d cos sin x x a x b x+⎰22()a b ≠．2、求下列不定积分（1）7d (2)xx x +⎰；（2）221d 1x x x x +-⎰． 3、求12331d ,d 11x I x I x x x ==++⎰⎰．提高练习题参考答案：1、解：（1）因为(ln )ln 1x x x '=+，24x -2xt3x t121x +t3352222(ln )(ln 1)d (ln )d(ln )(ln )5x x x x x x x x x x C +==+⎰⎰（2）因为()22222222cos sin 2cos sin 2sin cos ()sin 2a x b xax x b x x b a x '+=-+=-22222222222222sin 211d d(cos sin )cos sin cos sin x x a x b x b a a x b xa xb x=+-++⎰⎰2222222cos sin a x b x C b a+=+- 2、解：（1）令1x t =，21d d x t t=-， 6777777d d 1d(21)112ln(21)ln(1)(2)2114211414x t t t t C C x x t t x +=-=-=-++=-+++++⎰⎰⎰（2）令1x t =，21d d x t t=-， 222222211111d d d(1)d 1arcsin 21111x t x t t t t t Cxx t t t ++=-=--=--+----⎰⎰⎰⎰211arcsin x C x x -=-+3、解：123221d 2121221d d()arctan 211133331()3x x x x I I x C x x x x +--+====+-+-++⎰⎰⎰2322123333333111(1)1d d d ()d 1(1)(1)(1)(1)11111ln 1d(1)ln 1ln 1313x x x x x x I I x x x xx x x x x x x x x x x C x --+-+-====-+++++++=+-+=+-+++⎰⎰⎰⎰⎰联立上面两式，解得3111121ln |1|ln |1|arctan 6233x I x x C -=-+++++，3211121ln |1|ln |1|arctan 6233x I x x C -=+-+++第四节分部积分法【基础作业题】1、计算下列不定积分 (1)cos d 2x x x ⎰； (2) ()2ln 1d x x +⎰； (3) arcsin d x x ⎰； (4) 2ln d x x ⎰； (5)2tan d x x x ⎰； (6)()cos ln d x x ⎰解：(1)cos d 2cos d 2dsin 2sin sin d 222222x x x x x x x x x x x x ⎡⎤===-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰2sin 2cos 22x x x C ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦；(2) ()()()22222221ln 1d ln 1d ln 12(1)d 11x x x x x x x x x x x +=+-=+--++⎰⎰⎰()2ln 12(arctan )+C x x x x =+--(3)2221arcsin d arcsin d arcsin d(1)121x x x x x x x x x x x =-=+---⎰⎰⎰2arcsin 1x x x C=+-+(4)2222ln d ln 2ln d ln 2ln 2d ln 2ln 2x x x x x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰(5) 2221tan d (sec 1)d dtan d tan tan d 2x x x x x x x x x x x x x x x =-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰222sin 1111tan d tan dcos tan ln cos cos 2cos 22x x x x x x x x x x x x x C x x =--=+-=+-+⎰⎰(6)()()()()()()cos ln d cos ln sin ln d cos ln sin ln cos ln d x x x x x x x x x x x x=+=+-⎰⎰⎰()()cos ln sin ln C 2xx x =++⎡⎤⎣⎦ 【提高练习题】1、求下列不定积分（1）2cos sin d (cos )x x x x x x ++⎰；（2）1sin d 1cos xx e x x++⎰；（3）2d (1)x xe x x +⎰．提高练习题参考答案：1、解：（1）22(cos )(1sin )d d d(cos )(cos )cos (cos )x x x x x xx x x x x x x x x +--==-++++⎰⎰⎰原式d 1d d d cos cos cos cos cos cos x x x x xx C C x x x x x x x x x x x x=+=+-+=+++++++⎰⎰⎰⎰（2）222sin cos 1sin sin 22d d d d d 1cos 1cos 1cos 2cos 2cos 22x x x xx x x e x e e x e e x x x x x x x x x x +=+=++++⎰⎰⎰⎰⎰d(tan )tan d tan tan d tan d tan 222222x x x x x x x x x x x xe e e e e e C=+=-+=+⎰⎰⎰⎰ （3）22(1)1d d d d (1)1(1)11x x x x x xx e e e e e x x x e x x x x x ⎡⎤+-==-=+⎢⎥+++++⎣⎦⎰⎰⎰⎰原式d d 1111x x x xe e e e x x C x x x x=+-=+++++⎰⎰第五节简单有理函数的积分【基础作业题】1、计算下列不定积分 (1)23d 56x x x x +-+⎰； (2)()()21d 11x x x x x -+++⎰；解：(1)235623x A Bx x x x +=+-+-- 两端去分母得，3(3)(2)x A x B x +=-+-则 1,323A B A B +=--= 解得 5,6A B =-=2356d d 5ln 26ln 35623x x x x x C x x x x +-⎛⎫=+=--+-+⎪-+--⎝⎭⎰⎰ （2）()()2211111x A Bx Cx x x x x x -+=+++++++ 两端去分母得，()211()(1)x A x x Bx C x -=+++++ 则 0,1,1A B A B C A C +=++=+=-解得 2,2,1A B C =-==()()2222212211d d 2ln 1d(1)111112ln 1ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x C--+⎛⎫=+=-++++ ⎪++++++++⎝⎭=-+++++⎰⎰⎰【提高练习题】1、求4d 1xx +⎰． 2、求7cos 3sin d 5cos 2sin x xx x x-+⎰．提高练习题参考答案：解：1、224441111d d d 1211x x x x x x x x ⎡⎤+-=-⎢⎥+++⎣⎦⎰⎰⎰ 其中由例1 ，22421121d ln 12221x x x x Cx x x --+=++++⎰222422211111d()1212d d d arctan 11122221()212x x x x x x x x x x C x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪+====+ ⎪ ⎪+⎛⎫ ⎪ ⎪+-+- ⎪⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰所以 2242d 21221arctan ln 148221x x x x Cx x x x --+=-++++⎰2、注意到()5cos 2sin 2cos 5sin x x x x '+=-，则做如下分解．()()5cos 2sin 2cos 5sin 7cos 3sin 5cos 2sin 5cos 2sin 5cos 2sin A x x B x x x x x x x x x x+--=++++ 则527A B +=，253A B -=-，即 1B = ，1A =，故 ()d 5cos 2sin ln 5cos 2sin 5cos 2sin x x I x x x x C x x+=+=++++⎰第五章不定积分自测题一、选择题1．若211(),(0),21F x F x π'==- 则)(x F 为(A) π21arcsin +x (B) x arcsin (C) π+x arcsin (D) π-x arcsin 2．设()f x 是连续的偶函数，则其原函数()F x 一定是（） (A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 有一个是奇函数 3．若()d ()f x x F x C =+⎰，则()d xx ef e x --=⎰(A) C e F x +)( (B) C e F x +--)( (C) C e F x +-)( (D) C e F x +-)( 4．设11d (1)x x I x x xe +=+⎰，2d (1)uI u u =+⎰，则存在函数()u u x =，使（）(A) 12I I x =+ (B) 12I I x =- (C) 12I I =- (D) 12I I = 5．当1n ≠-时，ln d nx x x =⎰（）(A) 1(ln )n x x C n n -+ (B) 11(ln )11n x x C n n --+--(C)11(ln )11n x x C n n +-+++ (D) 1ln 1n x x C n +++二、填空题1．设 sin x e x + 是 )(x f 的一个原函数，则 ()f x '= ；2．1d ln x x x =⎰ ； 3．(ln )d f x x x'=⎰_________________；4．设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则d ()xf x =⎰．三、解答题1．求1d 1xx e+⎰．2．求3d sin cos xx x ⎰．3．计算ln(1)d x xe x e +⎰．4．设()F x 是()f x 的一个原函数，且当 0x ≥时，2e ()()2(1)xx f x F x x =+．已知(0)1F =，()0F x >，试求()f x ．5．设2(sin )sin xf x x =，求()d 1x f x x x-⎰． 6．若xxe x f =)(，求ln ()d x f x x '⋅⎰参考答案：一、选择题 1、 A21()d arcsin ,1F x x x C x ==+-⎰由1(0),2F π=得12C π=2、D排除法：比如2()f x x =，其原函数为313x C +，其中313x 为奇函数，可以排除A 和C 3113x +非奇非偶，排除B 2、 B()d ()d ()x x x x x e f e x f e e F e C -----=-=-+⎰⎰4、D121(1)1d d d d (1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x e u I x x xe xe u I x xe xe xe xe xe u u ++=====++++⎰⎰⎰⎰令5、C11111111ln d ln d ln d ln 1111nn n nn n x x x x x x x x x x x x C n n n n ++++⎡⎤⎡⎤==-=-+⎢⎥⎣⎦++++⎣⎦⎰⎰⎰二、填空题1、()()sin cos ,()sin xx x f x e x e x f x e x ''=+=+=- 2、11d dln ln ln ln ln x x x C x xx ==+⎰⎰ 3、(ln )d (ln )dln ln ()d ()(ln )f x x f x x x uf u u f u C f x C x '''===+=+⎰⎰⎰令4、()2211()arcsin ,()11xf x x C f x x x x '=+==--322222d 111d 1d(1)(1)()23x x x x x x x Cf x =-=---=--+⎰⎰⎰ 三、解答题1、令1xe t +=，则2ln(1)x t =-，22d d 1tx t t =- 211211111d d ()d ln ln 1111111x x xt t e x t t C Ct t t t t ee -+-=⋅=-=+=+--+++++⎰⎰⎰2、22333sin cos 1cos 1d d +d 2csc 2d +dsin sin cos sin cos sin sin x x x x x x x x x x x x x x x +===⎰⎰⎰⎰⎰原式21ln |csc 2cot 2|2sin x x C x =--+3、ln(1)d ln (1)d d ln(1)d(1+)x x x x x x xx e x e e e x x e e e e -----+=+=--+⎰⎰⎰⎰ d (1+)ln(1)d (1+)ln(1)x x x x x x x x xe e x e e e x xe e e C--------=-+-+-=--++⎰⎰4、()()F x f x '=，故2e ()()()()2(1)x x f x F x F x F x x '==+ 两边积分，得 21e ()22(1)xF x C x =++ 由(0)1F =，()0F x >，得0C =，2e()1x F x x=+ 32222321e 1()()e (1)2212(1)xx x xef x F x x x x -'==-+=++5、令2sin x t =，则22sin sin ()d (cos )dsin 2sin cos d 2sin d cos cos sin 12d(cos )2cos 2sin 21arcsin 2x t t tf x x f t t t t t t t tt t t xt t t t t C x x x C===-=-=-++=--++⎰⎰⎰⎰⎰6、()ln ()d ln d ()()ln d ln d x x f x x f x x x f x f x x x xe x e x x '⋅==-=-⎰⎰⎰⎰ln x x xe x e C =-+。

第五章不定积分习题课参考答案

① f ( x, n ax b ) dx ，令 t n ax b ；② f ( x, a 2 x 2 )dx ，令 x a sin t ； ③ f ( x, a 2 x 2 )dx ，令 x a tan t ；④ f ( x, x 2 a 2 )dx ，令 x a sect ；
例6 求下列不定积分：
108896097.doc
-2-
①
xdx ； 1 x2
②
1 1 sin dx ； 2 x x
③
dx x 1 ln 2 x
；
凑微分求不定积分，必须牢记基本积分公式类型，这样就不会被复杂的式子所迷惑，同时为提高凑微分技巧，应熟悉常见的微分公式．常用的凑微分积分类型： 1 f (ax n b)d (ax n b) ； ① f (ax n b) x n 1 dx an ② f (sin x) cos xdx f (sin x)d sin x ； ③ f (tan x) sec 2 xdx f (tan x)d tan x ；
0 1
解: 由已知 x 2 x 为 f ( x) 的导函数，即 x2 x f ( x) 所以， xf ( x)dx x( x 2 x)dx ( x 3 x 2 )dx
0 0 0 1 1 1
1 4 1 3 x x C 4 3
例3 求下列不定积分： ①

x 2 x sin 2 x sin 2 x x 2 x sin 2 x cos 2 x dx C 4 4 4 4 4 8
例14 求下列不定积分：
xdx ① 3 ； x 3x 2 2x 3 dx ； ② 2 x x5
x4 1 dx ． ③ 6 x 1

微积分课后习题答案第五章

第五章习题5-11.求下列不定积分：(1)25)x -d x ;(2) 2⎰x ; (3)3e x x⎰d x ； (4) 2cos 2x⎰d x ； (5) 23523x xx⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin xx x x ⎰.解5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰113222221132223522(2)(2)24235d d d d x x x x x xx x x x x x x x C--==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 31cos 1111(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333125225()223(ln 2ln 3)3ln()3e e d e d e e d d d d d d d d x x xxxxx x x xx xx xx x C Cx x x x x x x x x Cx x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x C-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '⎰d x ；(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,2()(22)2d f x x x x x C ∴=-=-+⎰又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -.注意此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000()ln 33PQ P '=-得111()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333d d P P P Q P x x C =-=-⋅=⋅+⎰⎰将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3PQ P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )； (5) 3x d x = d(3x 4-2); (6) 2e xd x = d(2e x)； (7) 2ex -d x = d(1+2ex -); (8)d xx= d(5ln ｜x ｜);(9)= d(1-arcsin x ); (10)= d(11)2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2d 12xx +=d(arctan );(13) (32x -2)d x = d(2x -3x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a +=≠∴=+22224334222221(2)(73)7(73)71(3)(5)10(5)101(4)(1)2(1)21(5)(32)12(32)121(6)()2()2(7)(1)d dd d d dd d d d d d d d d d de e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=⋅∴=+=222221()2(1)251(8)(5ln )(5ln )5(9)(1arcsin )(1arcsin )(10)1(2)3(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⋅-∴=-+=∴=-==---=-==-=+222322231(arctan 3)193(12)))1212(13)(2)(23)(32)(32)(2)222232(14)sin(1)cos(1)cos(1)sin(1)333323d d d d d d d d d d d dd x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x ∴=+=∴=++-=-=--∴-=---=-∴-=- 2.求下列不定积分： (1)5e d t t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ; (3)d 12xx -⎰; (4)(5)t ; (6)d ln ln ln xx x x ⎰;(7)102tan sec d x x x ⎰; (8) 2e d x x x -⎰;(9)dsin cos x x x ⎰; (10) ⎰; (11)de e x x x-+⎰; (12)x ;(13) 343d 1x x x-⎰; (14) 3sin d cos xx x ⎰;(15)x ; (16) 32d 9x x x +⎰; (17)2d 21xx -⎰; (18) d (1)(2)xx x +-⎰;(19 2cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰; (21) sin2cos3d x x x ⎰; (22) cos cos d 2x x x ⎰; (23)sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3tansec d x x x ⎰;(25)x ; (26);(27)ln tan d cos sin xx x x ⎰; (28)21ln d (ln )xx x x +⎰;(29)2,0x a >; (30)(31)d xx⎰; (32)(33); (34),0x a >;(35)x ; (36) x ; (37)2sec ()d 1tan x x x +⎰; (38) (1)d (1e )x x x x x ++⎰(提示：令xt e =). 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰33411(2)(32)(32)(32)(32)28d d x x x x x -=---=--⎰⎰122333111(3)(12)ln 121221221131(4)(23)(23)()(23)(23)3322(5)22sin 111(6)(ln ln )ln ln l ln ln ln ln ln ln ln ln d d d d d d d d x x C x x x x x x C x Ct t C x x x x x x x x x x-=--=-+---=---=--+=--+===-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222210210112n 1(7)tan sec tan (tan )tan 11111(8)(2))222(9)22csc 22sin cos 2sin cos sin 2ln ln csc 2cot 2tan sin c d d e d e d e d(-e d d d d d 或x x x x Cx x x x x x x Cx x x x x Cx x xx xx x x x x C C x x x x x ----+⋅==+=-⋅-=-=-+===⋅⋅=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2cos 1tan ln tan os sin cos tan d d x x x Cx x x x x=⋅==+⎰⎰⎰22234(10)ln 1(11)()arctan 11()11(12)631333(13)14d d e d d e e e e e e d x x xx xx x Cx x C x x xCx x x -==-+===++++'=-=-=-==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3444432334313(1)ln 11414sin sin 1(14)cos cos cos cos cos 2(15)1218)23812d d d d d d d x x x C x x x x x x x x x x C x x x x xx x x---=--=-+----=-=-=+=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰122221(94)(94)38)d x x x -+--⎰12arcsin 23x C =3322222222999(16)()9999119(9)ln(9)2922111(17)212221)1)x x x x xx x x x x x xx x x x x C x x x x xx +-==-+++=-+=-+++==--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d2111111111(18)()(2)(1)(1)(2)32132311112ln ln ln 2133311cos(22)11(19)cos ()cos(22224C Cx x x x x x x x x x x C Cx x x t t t t t t ωϕωϕωω=-+=+++=-=--++--+-+-=-+=+-+++++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d d d d d d d 223)(2)11cos(22)(22)2411sin(22)241(20)cos ()sin()cos ()cos()1cos ()3(21)sin 2cos3t t t t t t Ct t t t t t C x x ϕωωϕωϕωωϕωωϕωϕωϕωϕωωϕω⋅=+++=+++++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰d d d d 111(sin 5sin )sin 55sin 210211cos5cos 10213133(22)cos cos (cos cos )cos ()cos ()22223222213sin sin 3221(23)sin 5sin 7(cos12x x x x x x x xx x Cx x x x x x xx x x x xCx x x =-=-=-++=+=+=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d d d 2cos 2)11cos12(12)cos 2(2)24411sin12sin 2244x x xx x x x x x C-=-+=-++⎰⎰⎰⎰d d d322322(24)tan sec tan(sec)(sec1)sec1sec sec3(25)2arctan2(arctan1(26)(arcsin)d d ddddx x x x x x xx x Cx x xCx==-=-+===+=⎰⎰⎰⎰⎰1(arcsin)arcsinx Cx=-+⎰2222222ln tan1(27)ln tan seccos sin tan1ln tan(ln tan)(ln tan)21ln111(28)(1ln)(ln)(ln)ln(ln)ln(29)d ddd d ddxx x x xx x xx x x Cxx x x x x C x x x x x x x xx a=⋅⋅==++=+==-+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x⎰利用教材§5.2例16及公式(20)可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin2222x a x a xa C Ca a a--=-.(30)令tan,(,)22ππx t t=∈-,则2secd dx t t=.所以2sec cos sinsecd dd dtt t t t t Ct====+⎰⎰tan,sin原式x t t C=∴=∴=+.(31)令3sec,(0,)2πx t t=∈,可求得被积函数在x>3上的不定积分,此时3sec tan3tand dx t t t t=⋅=故223tan3sec tan3tan3(sec1)3secd d dtx t t t t t t tt=⋅⋅==-⎰⎰⎰3tan3t t C=-+.由3sec,(0,)2πx t t=∈得tan3t=,又由3secx t=得33sec,cos,arccos3xt t tx x===,333arccos 3arccos )x C C x x∴=+=+ 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分.11333arccos 3(arccos )33arccos d π x C C x x x Cx=+=-+=+⎰综上所述有33arccos x C x=+. (32)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 11cos sin cos sin cos sin cos 2sin cos 11111(sin cos )ln sin cos 22sin cos 2211arcsin ln .22d d d d d t t t tt t tt t t tt t t t C t t t t x C x ++-=⋅=++=++=++++=++⎰⎰⎰⎰ (33)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =2cos 1(1)sec ()1cos 1cos 22tan arcsin .2d d d d t t tt t t t t t t C x C ∴==-=-++=-+=-⎰⎰⎰(34)21(2d d x a x x a =+=+⎰arcsinxa C a=⋅. (35)令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=,所以2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d tx t t t t t t t t=⋅==-⎰⎰⎰⎰cot arcsin 2x t t C C x =--+=--+.(36)2d x x x ==12(1)ln12d xx Cxx=+=+++⎰由被积函数知x≤-2或x>0,令1xt=,当x>0时,(此时t>0)221222211222(12)(12)2.d dddx t tt ttt t CC C Cxx--==-=-=-++=-=-=-+=-+⎰当x≤-2时,此时12t-≤<221233311222(12)(12).d ddx t tt ttt t t CC C Cx--==-==++===+=+⎰综上所述:原式= ln1Cx+.(37)2222sec sec11()(1tan)1tan(1tan)(1tan)1tand d dx xx x x C x x x x==+=-+ ++++⎰⎰⎰.(38)令e x=t,则x=ln t,d x=1td t.11ln1111(ln)(ln)(1)ln(1ln)ln(1ln)ln1ln11(ln)(1ln)ln lnln1lnln1lnln ln ln ln ln ln111d d d ded dee e ee xxx x xx x tx t t t t t x x t t t t t t t t t t t tt t t t Ct t t tt t t txC C x Cxx x xx ++⎡⎤=⋅==-⎢⎥++++⎣⎦=-+=-+++=-+=+-+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题5-31.求下列不定积分：(1) sin dx x x⎰; (2) e d x x x-⎰;(3) arcsin d x x ⎰; (4) ecos d xx x -⎰;(5) 2e sin d 2xx x -⎰; (6) 2tan d x x x ⎰; (7) 2e d t t t -⎰; (8)2(arcsin )d x x ⎰; (9)2e sin d x x x ⎰;(10) x ⎰;(11)cos(ln )d x x ⎰; (12)2(1)sin 2d x x x -⎰;(13)ln(1)d x x x -⎰; (14)22cosd 2x x x ⎰; (15)32ln d xx x⎰; (16)sin cos d x x x x ⎰;(17)2cot csc d x x x x ⎰; (18)22(1)e d xx x x +⎰; (19)1(ln ln )d ln x x x+⎰; (20)e ln(1e )d x x x +⎰; (21) 23sin d cos x x x ⎰;(22)22ln(d (1)x x x x +⎰; (23)2e d (1)x x x x +⎰; (24)arctan 322e d (1)xx x x +⎰. 解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰(2)()(1)e d de e e d e e d e e e x x x x x x xxxx x x x x x x x C x C---------=-=-+=---=--+=-++⎰⎰⎰⎰21(3)arcsin arcsin arcsin (1)2arcsin d x x x x x x x x x x x C=-=+-=+⎰⎰⎰(4)cos cos cos (sin )cos sin cos sin cos e d de e e d e de e e e d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x---------=-=-+-=-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰12cos (sin cos )(sin cos )cos 2e d e e e d x x x xx x x x C x x x x C----∴=-+-∴=+⎰⎰22221111(5)sin sin sin cos 22222222e d de e e d x x x x x x x xx x ----=-=-+⋅⎰⎰⎰2222222211sin cos 22821111sin cos (sin )2282822111sin cos sin 2282162e de e e e d e e e d x xx x x x x x x xx x x x x x x x--------=--=--+-=---⎰⎰⎰2221221711sin sin cos 16222822sin (cos 4sin )21722e d e e e d e x x x x x x x xx C x x xx C-----∴=--+∴=-++⎰⎰222222222222221(6)tan (sec )sec 211(tan )tan tan 221tan ln cos 2111(7)2221111(2)2424d d d d de d de e e d e e d e t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cx t t t t tt t t -------=-=-=-=--=+-+=-=-+=---=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222(8)(arcsin )(arcsin )2arcsin (arcsin )2arcsin (arcsin )2(arcsin )2e d d t Cx x x x x x xx x x x x x xx x x x -+=-⋅=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(arcsin )21cos 211(9)sin cos 222211cos 222e d e d e d e d e e d x x x x x x x x x x Cx x x x x x xx x=+-+-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰cos 22sin 24cos 2e e e d x x x x x x x =+-⎰11cos 2(cos 22sin 2),511111(cos 22sin 2)(sin 2cos 2).2102510e d e 原式e e e x x x x x x x x x C x x C x x C ∴=++∴=-++=--+⎰(10)t =,则32,3d d x t x t t ==22222223336363663663(22)32)e d de e e d e de e e e d e e e e t t t t t t t t t t t t t x t t t t t tt t t t t t t C t t C C===-=-=-+=-++=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(11)令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,cos(ln )cos cos de e cos e sin e cos sin e e cos e sin e cos cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2d e d d d d d d t t t ttttttx x t t t t t t t t t t t tx x x x x xxx x x x C===+=+=+-=+-∴=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222211(12)(1)sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2(2)2211cos 2cos 2cos 222111cos 2cos 2sin 222211cos 2cos 2sin 222d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x x -=-=--=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2212sin 22111cos 2cos 2sin 2cos 2222413()cos 2sin 2222d x x xx x x x x x Cxx x x C-=-++++=--++⎰2222222221(13)ln(1)ln(1)()ln(1)2221111111ln(1)ln(1)(1)2212221111ln(1)()ln 122221(1)ln(1)2d d d d d d x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x Cx x x -=-=----+=--=--+---=--+-+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰211.42x x C --+ 2222232321cos 11(14)cos cos 22221111sin sin sin 6262d d d d d d x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x+=⋅=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰3232321111sin cos sin cos cos 626211sin cos sin .62d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =++=++-=++-+⎰⎰333222323223232232ln 111(15)ln ()ln 3ln 11131ln 3ln ()ln ln 6ln 131ln ln 6ln ()1361ln ln ln 613ln ln d d d d d d d x x x x x xx x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x =-=-+=--=--+=---=---+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3266ln 1(ln 3ln 6ln 6) x x Cx x x x x Cx --+=-++++ 11(16)sin cos sin 2cos 22411cos 2cos 2cos 2cos 2244481cos 2sin 248d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C==-=-+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰()222221(17)cot csc csc csc csc 211csc csc csc cot 2222d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x C=-=-=-+=--+⎰⎰⎰⎰222222222222222222211(18)(1)(1)(1)221111(1)2(1)()2222111(1)222e d e d de e e d e e d e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x C+=+=+=+-⋅=+-=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰11111(19)(ln ln )ln ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln ln ln ln ln d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x Cx x+=+=-⋅⋅+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(20)ln(1)ln(1)(1)(1)ln(1)(1)1(1)ln(1)(1)ln(1)e e e d e d e e e e d e e e e d e e e xxxxxxxxxx x x x x x x x x C +=++=++-+⋅+=++-=++-+⎰⎰⎰⎰2233sin (21)tan sec tan (sec )tan sec sec cos d d d d x x x x x x x x x x x x=⋅==-⎰⎰⎰⎰ 2223323cos sin sin tan sec tan sec sec cos cos sin tan sec ln sec tan cos d d d d x x xx x x x x x x x x xxx x xx x x+=-=--=--+⎰⎰⎰⎰ 于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos d xx x x C x x x =-++⎰, 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰. 22211(22)ln(()211121ln(12(1)2d d d x x x x x x x =-++=+++=-++⎰⎰⎰令x =tan t , (,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t dt21131sec cos sin sec d d d t t t t t C C t =⋅==+=+⎰⎰ ∴原式=2ln(2(1)x C x +. 211(23)()(1)111111e e d e d e e d e e ee d e x x x x xxxxx x x x x x x x x x x x x x x C C x x x=-=-+⋅+++++=-+=-++=++++⎰⎰⎰⎰arctan arctan arctan arctan 322(24)(1)e e d e xx xx x x x x ==+⎰⎰arctan arctan arctan arctan arctan 322(1)e 1e e e x x x x xx x =-=+⎰于是arctan arctan 13222(1)e e d x xx x C x =++⎰,所以arctan arctan 322(1)e e d x x x x C x =++⎰.习题5-4求下列不定积分：(1) 21d 1x x +⎰; (２)5438d x x x x x +--⎰;(３)sin d 1sin xx x +⎰; (4) cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 (1)令322111(1)(1)11A Bx Cx x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是2322222123(1)3(1)1112111331612()2411ln ln 11361(1)ln 61d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x Cx x x x Cx x -⎡⎤-=⎢⎥+-++⎣⎦-=-++-+-+=-++-++=-+⎰⎰⎰⎰⎰542233323323288(2)(1)11832111111ln 8()13221218ln 3ln 4ln 1132d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x xx x xx x x xx x x x x x x Cx x x +-+-=+++--=+++---=+++--++⋅--+=+++--+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 222sin sin (1sin )1(3)cos (sec 1)1sin cos cos 1tan sec tan cos d d d d x x x x x x x x x x xx x C x x x Cx-==---+=-++=-++⎰⎰⎰⎰注本题亦可用万能代换法(4)令tan2xt =,则 222222112sin ,cos ,cot ,2arctan ,1121d d t t t x x x x t x t t t t t--=====+++ 则222221cot 21111221sin cos 112221111111ln ln tan tan 222222d d d d d t x t t x t t t t t t x x t t t t t x x t C Ct --=⋅==--+++++++=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰。

(完整word版)高等数学不定积分相关题目和答案

不定积分一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 如果xe-是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰。

2. 若()2cos 2xf x dx C =+⎰，则()f x = 。

3. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 。

4.()()f x df x =⎰ 。

5. sin cos x xdx =⎰。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设3()ln sin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（）。

A . cot 4xB . cot 4x -C . 3cos4xD . 3cot 4x2. ln x dx x =⎰（）。

A . 21ln 2x x C + B .21ln 2x C + C . ln x C x+ D .221ln xC x x-+ 3. 若()f x 为可导、可积函数，则（）。

A . ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰B . ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰C .()()f x dx f x '=⎰ D . ()()df x f x =⎰4. 下列凑微分式中（）是正确的。

A . 2sin 2(sin )xdx d x = B .d = C . 1ln ()x dx d x = D . 21arctan ()1xdx d x=+ 5. 若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（）。

A . 222(1)x C ++ B . 222(1)x C --+C . 221(1)2x C ++D . 221(1)2x C --+三、计算题（每小题8分，共48分） 1. 2194dx x -⎰2.3. dx x⎰4. arcsin xdx ⎰5. dx x xx ⎰++21arctan6. .)1(21222dx x x x ⎰++四、综合题（本大题共2小题, 总计22分）1.（10分）求⎰'''⋅-'dx x f x f x f x f x f ])()()()()([32的值。

不定积分习题包含答案24页PPT

31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
不定积分习题包含答案
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在我们的后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收敛。
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9、只为具不好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎能克服任何恐惧。因为，请记住，除了在脑海中，恐惧无处藏身。-- 戴尔．卡耐基。

(2021年整理)不定积分练习题及答案

(完整版)不定积分练习题及答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)不定积分练习题及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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不定积分练习题211sin )_________2x dx -=⎰一、选择题、填空题：、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =⎰、若是的原函数，则：3sin(ln )______x dx =⎰、2224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1()7(),_________;18()arcsin ,______()x x x e f x f x xdx y F x f x f ax b dx f e f x dx c dx xe xf x dx x c dx f x --===+==+==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族点的积分曲线是、则、设则、设则____;9'(ln )1,()________;10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κϕϕ=+==-====⎰⎰⎰、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c ϕ+++13()[()]()()[()]()()()()()()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx dx C df x f x D df x f x c ====+⎰⎰⎰⎰、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______11()()ln ()()ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+⎰、设则：15______1()()()2arcsin(21)2()arcsin(21)A c B c C x c D x c=+-+-+16()[,][,]()()()()()()()()'()f x a b a b A f x B f x C f x D f x f x 、若在上的某原函数为零，则在上必有____的原函数恒等于零；的不定积分恒等于零；恒等于零；不恒等于零,但导函数恒为零。

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