巧用代入法解题

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代入法及其多种形式详析1

代入法及其多种形式详析代入法是考试中最为常见的解题方法之一。

代入法以其解题速度快而备受广大考生欢迎。

另外，代入法有效的避开了解题的常规思路，绕掉了题目中隐含的各种关系，即使考生不会解题，也能用代入法得出正确的答案。

在目前公务员考试整体难度越来越难，题量越来越大，解题时间越来越少的情况下，代入法是考生们必须要很好运用的解题方法。

当然，代入法本身也具有局限性。

有些题目是无法运用代入法进行解题的。

还有些题目，运用代入法的话，速度不见得比其他方法快；因为代入法有的甚至要代入三个选项进行验证，才能得出正确答案。

代入法有多种形式，以下一一介绍。

1．直接代入法（验证法）：直接将选项代入题干中进行验证。

例题1：1999年，一个青年说“今年我的生日已经过了，我现在的年龄正好是我出生年份的四个数字之和”，这个青年是哪年生的？A．1975 B．1976 C．1977 D．1978正确答案B。

解析：此题可以用代入法，如果代入A，则他的年龄为22岁，1999－22=1978，矛盾；代入B，他的年龄为23，1999－23=1976，所以答案为B。

例题2.一个五位数，左边三位数是右边两位数的5倍，如果把右边的两位数移到前面，则所得新的五位数要比原来的五位数的2倍还多75，则原来的五位数是：A.12525B.13527C.17535D.22545正确答案A。

解析：采用代入法。

12525×2＋75=25125，显然A答案符合要求，即选择A。

2．特殊值代入法：将题干中某种未知量用特殊值（通常是方便计算）代入，求出结果。

例题3.一辆汽车以60千米/时的速度从A地开往B地，它又以40千米/时的速度从B 地返回A地，则汽车行驶的平均速度为（）千米/小时。

A.50B.48C.30D.20正确答案B。

解析：特殊值代入法。

假设AB两地距离为120千米，那么可迅速计算得B。

3．代入法的其他形式：代入法经常和粗略判断法，排除法，猜证结合法等综合运用，限于篇幅，本文不具体介绍，希望能够起到抛砖引玉的效果。

整体代入法巧解数学难题+整体法与隔离法练习题

初中数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想【例1】已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7相应练习：1. 若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式221x x -+的值等于（）．A ．2B ．3C ．－2D ．42.若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=3.先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0．总结：此类题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解。

【例2】.已知114a b -=，则2227a ab ba b ab---+的值等于（） A.6 B.6- C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．总结：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．【例4】逐步降次代入求值：已知m 2-m -1=0，求代数式m 3-2m +2005的值．相应练习：1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值.2、已知m 是方程2310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值.总结：此类题目通常为初中阶段很少接触到得三次方程甚至更高次的方程，那么用初中阶段的知识直接解题时肯定行不通的，所以这个时候我们就要考虑如何降次的问题。

快速解题技巧小学数学中的简便方法

快速解题技巧：小学数学中的简便方法一、巧妙运用数学规律，提高解题速度在小学数学中，有许多规律可以利用，通过巧妙运用数学规律，可以大大提高解题速度。

例如，在解决一些数字规律问题时，可以先观察数字序列中各项数字之间的规律，找到解题的关键信息，从而快速找到答案。

此外，还可以利用一些数学公式，如乘法分配律、乘法结合律等，简化解题过程，提高解题速度。

二、巧用代入法，化难为易在解决一些复杂问题时，可以将问题中的某些条件代入到已知条件中，化难为易。

例如，在解决一些代数方程问题时，可以将方程中的某些项代入另一个方程中，从而得到一个简单的问题。

这种方法需要学生具有一定的观察力和想象力，能够从复杂的问题中找出关键信息，并灵活运用已知条件解决问题。

三、利用几何知识，解决图形问题在小学数学中，几何知识也是非常重要的一个方面。

通过利用几何知识，可以解决许多图形问题。

例如，在解决一些面积、体积等问题时，可以利用几何公式（如正方形面积公式、圆柱体体积公式等）来简化解题过程。

此外，还可以利用几何图形之间的位置关系，通过观察和测量，找到解决问题的途径。

四、观察和分析问题，找到关键信息在解决数学问题时，观察和分析问题是非常重要的一步。

只有找到问题的关键信息，才能找到解决问题的途径。

因此，学生需要具备一定的观察力和分析能力，能够从问题中找出关键信息，并运用已知条件解决问题。

为了提高观察和分析问题的能力，学生可以在平时多做一些练习题，通过不断的实践和反思，提高自己的解题能力。

五、注重细节，避免出错在解决数学问题时，细节决定成败。

因此，学生需要注重解题过程中的细节，避免出错。

例如，在解决一些计算问题时，要认真核对数字和符号，避免出现错误；在解决一些几何问题时，要认真测量各个角度和边长，避免出现误差。

此外，学生还需要养成检查的好习惯，发现错误及时纠正，避免因小错误而导致整个解题过程无效。

总之，简便方法是提高小学数学解题速度的重要手段之一。

巧用“整体代入”数学思想方法解决数学问题

巧用“整体代入”数学思想方法解决数学问题作者：郑兴万来源：《教育周报·教研版》2017年第23期在解决数学问题的时候，有时不能直接解决问题，可以考虑使用“整体代入”数学思想方法解决问题，往往能起到事半功倍的效果。

下面就我在教学中用“整体代入”数学思想方法解决的几个数学问题。

以此提供给大家参考，不妥之处请指正。

一、利用“整体代入”数学思想方法解决实际中方程组的求解问题1.甲、乙两人合作完成一项工程需24天，若乙先干10天后甲加入则需20天完成；问甲乙单独完成这项工程各需多少天？解：设甲、乙单独完成这项工程过需x天，y天，依据意得；。

将①式代入②式得，解得y=60. 将y=60代入①式得x=40.经验根知：x=40是方程组的解。

由此发现整体代入在解决问题中取到的功效显而一见。

二、利用“整体代入”数学思想方法解决代数式的求值问题在学习了代数式的化简求值之后，对代数式的化简求值，有时在不能直接求出代数式值的情况下，可以考虑使用”整体代入”数学思想解决问题。

问题2.已知，求的值。

分析：因为，所以。

两边同除以m得；，于是 =25+2=27，因此 +（）=1+27=28。

利用“整体代入”数学思想方法解决与一元二次方程根与系数有关的代数式的求值问题。

问题3.设a、b是方程的两个实数根，求代数式的值。

解：由一元二次方程根与系数的关系，得a+b=-1，又因为a是方程的实数根，所以即：，因此， = =2009+（-1）=2008三、利用“整体代入”数学思想方法解决求三角形的周长问题问题4. 如图，Rt∆ABC的内切圆ʘO与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D、E）上任一点P作ʘO的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，若ʘO 的半径为r ，求Rt∆MBN的周长。

解：由切线长定理可得.DM=PM，NP=NE.连接OD、OE，则四边形ODBE是正方形。

所以DB=BE=OD=OE=r，于是Rt∆MBN的周长为：BM+BN+MN=BM+MP+BN+NP=BM+MD+BN+NEBD+BE=2 BD=2r。

物理化学解题技巧指导

物理化学解题技巧指导学习技巧有很多种，不同的学习技巧应用于不同的场合。

有应用在考试上的技巧，和学习新知识的技巧。

例于如何做笔记，如何管理时间。

今天小编给大家带来一些物理化学的解题技巧。

一.高分拿选择五大法宝1.运用整体法解答选择题1)确定物体系或者全过程为研究对象。

这要根据所求来确定，如果所研究的问题是几个物体的同一过程，那么就选取物体系为研究对象;如果是一个物体的多个运动过程，则要考虑选取全过程为研究过程。

2)分析研究对象的现象及规律。

这就要求对所研究的问题有全面的认识、对所选的研究对象有仔细的受力分析、运动过程分析，找出所适用的物理定律和公式，为整体法的运用做铺垫。

3)运用分析出的物理规律定向或定量分析解题。

这是最后一步，也是最简单的一步只要选择了正确的研究对象并分析出规律，解题会变的非常简单。

2.善用特殊值代入法解选择题1)特殊值法。

有些问题如果直接计算可能非常繁琐，但是能把握物理过程变化的有规律性的话，此时若取出一个特殊值代入，得到的结论应该也是满足的，这种方法尤其适用于选择题的快速求解。

2)极端法。

对于所考虑的物理问题，从它所能取的最大值或最小值方面进行分析，即符合问题的范围区间，此时将最大值或最小值代人相应的表达式，从而得到正确答案。

3.概念选择题应从基本概念出发1)对概念的准确记忆和正确理解。

2)将所学习过的概念进行分类。

把所学的内容进行分类：化繁为简，重点突出，这样有利于答题时进行分析、比较、综合和概括。

把概念分类也能使物理学习更加系统、规范。

3)将所学过的概念系统化。

物理是一门综合系统的学科。

学习物理要逐步在头脑中建立一个清晰概念系统，不但能够加深对基础知识的理解，而且使同学们在学习的过程中少走弯路。

4)分析题干，掌握概念选择题的特征。

分析提干法适用于基本不转弯的比较简单的选择题，这种概念选择题主要考察考生对物理知识的记忆和理解程度，概念选择题属于常识性的题目，一般难度不大。

4.多项选择题不强行多选1)首先确保每道题都能拿到一分。

八年级数学上册第十五章分式方法专题巧用分式方程的解求字母的值或取值范围习题新人教版

2
6
6
②当 2m＋1≠0 时，x＝－
.若－
＝3，分母为 0，此时方程无解，
2m＋1
2m＋1
3
6
解得 m＝－；若－
＝0，分母为 0，此时方程无解，但无 m 的值与之对应．
2
2m＋1
1
3
2m＋x
2
综上所述，当 m＝－或 m＝－时，关于 x 的分式方程
－1＝无解．
2
2
x－3
x
类型三利用分式方程的解的取值范围求字母的值或取值范围
x＞ 7 .
a－3
∴－1≤
<0，解得－4≤a＜3，即整数 a＝－4，－3，－2，－1，0，1，2.分
7
a＋1
a＋1
式方程去分母，得 x＋a－2＝3x－3，解得 x＝
.∵x＝
为整数，且 x≠1，
2
2
∴a＝－3 或－1，∴所有满足条件的整数 a 的值之和为－3－1＝－4.
3
1
∴若这个分式方程有解，m 的取值范围是 m≠±1，且 m≠－ .
3
2m－x

3.若关于x的分式方程
＋1＝无解，求m的值.
−1
（x＋3）（x－1）
2m－x
x
2m－3
解：分式方程
＋1＝
去分母、整理，得 x＝
.
（x＋3）（x－1）
x－1
2
若分式方程无解，则 x＝1 或 x＝－3.
2m－3
5
当 x＝1 时，

5.若关于x的分式方程
－1＝
的解为非负数，求k的取值
−3
（x－3)(x－1）
范围.
解：分式方程去分母，得 x(x－1)－(x－3)(x－1)＝k，去括号、合并

数学习题解析：巧解常见数学难题

数学习题解析：巧解常见数学难题引言数学是一门精确而又深奥的学科，对于很多人来说，解决数学难题似乎是一件困难而又令人头疼的事情。

然而，只要我们能够掌握一些巧妙的解题方法和技巧，就能够轻松地解决常见的数学难题。

在这篇文章中，我们将会为大家解析几个常见的数学难题，并教大家一些巧妙的解题技巧。

解题技巧1：利用整数性质整数是数学中非常重要的概念之一，利用整数的性质可以帮助我们解决很多数学难题。

下面我们用一个例子来说明这个技巧。

例题1：求解1到1000之间所有奇数的和。

解法：我们可以利用整数的性质来简化这个问题。

首先，我们知道奇数是相邻的两个整数之间的差，而1到1000之间共有500个整数，因此奇数也有500个。

我们可以利用这个性质来求解奇数的和。

首先，我们可以找到最小的奇数1和最大的奇数999。

这两个数的和为1000。

接下来，我们找出次小的奇数3和次大的奇数997，它们的和为1000。

我们可以发现，每两个相邻的奇数的和都为1000。

由于我们要求解1到1000之间所有奇数的和，那么我们可以把这500对相邻的奇数的和相加起来。

因此，1到1000之间所有奇数的和为500 * 1000 = 500000。

通过利用整数的性质，我们可以简化原本复杂的问题，轻松地得出答案。

解题技巧2：利用代数方程代数方程是数学中常用的工具之一，通过建立方程可以帮助我们解决很多数学难题。

下面我们用一个例子来说明这个技巧。

例题2：求解一个数字的三倍和它自身的和等于40，求这个数是多少。

解法：设这个数字为x，根据题目中的条件，我们可以建立一个方程：3x + x = 40。

将方程化简，得到 4x = 40，继续化简得到 x = 10。

通过建立方程，我们可以将原问题转化成一个简单的方程求解问题，从而得到答案。

解题技巧3：利用几何图形几何图形是数学中常见的工具之一，通过利用几何图形的性质可以帮助我们解决很多几何难题。

下面我们用一个例子来说明这个技巧。

高考数学题难题巧解思路与方法

高考数学题难题巧解思路与方法一、定义法求解所谓定义法，就是直接用数学定义解题。

选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。

【例1】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C 1的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（）（A ）1342222=-y x（B ）15132222=-y x（C ）1432222=-y x（D ）112132222=-y x【巧解】由题意椭圆的半焦距为5=c ，双曲线2C 上的点P 满足|,|8||||||2121F F PF PF <=- ∴点P 的轨迹是双曲线，其中5=c ，4=a ，∴3=b ，故双曲线方程为1342222=-y x ，∴选（A ）巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）A ．6B ．3C ．2D ．33巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）（A ）217（B ）3（C ）5（D ）29 【例2】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为450的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的长为8，则=p ．【巧解】依题意直线AB 的方程为2p x y -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x y 222消去y 得：04322=+-p px x ，设),(11y x A ，),(22y x B ，∴p x x 321=+，根据抛物线的定义。

行测：数学思想巧解逻辑朴素推理题

在逻辑的题目中有很多题型会涉及到一些数学的知识，很多题目也可以用数学的方法进行多角度的思考和巧解。

例一：有三对夫妻去参加一个舞会，已知每个丈夫都没有和自己的妻子跳舞，且每个人的舞伴都是确定的，三个丈夫分别是小王、小李、小张，三个妻子分别是小美、小丽、小俏。

在舞会中小王在和小丽跳舞，小李在和小俏跳舞，小张在和小李的妻子跳舞。

问三对夫妻真正的对应关系是怎么样的?A.小王-小俏小李-小美小张-小丽B.小王-小丽小李-小俏小张-小美C.小王-小美小李-小俏小张-小丽D.小王-小俏小李-小丽小张-小美解析：对于这类题目一般做法是采用列表连线法，小王和小丽跳舞说明小王妻子不是小丽，同理小李妻子不是小俏，而小王和小张不是同一个人因此他们的舞伴一定也不是同一个人，因此小丽也不是小李的妻子。

可画出列表：小王小李小张小美小丽小俏可以确定小丽是小张的妻子，小美是小李的妻子，小俏是小王的妻子选A。

巧解：这题除了用常用的列表连线之外还可以用数学中错位重排的思想进行解题。

根据数学错位重排的思想可以快速确定三组元素错位重排可能性是2种Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)。

因此直接写出错位重排方案即1 2王李张李张王张王李而题目中有条件：小张在和小李的妻子跳舞，说明是两种情况中的第二种，因此和小王跳舞的小丽就是小张的妻子，和小李跳舞的小俏就是小王的妻子。

在做题中如果能够熟练的掌握这种方法就能够快速的解决该类错位重排的问题。

例二：小赵、小钱、小孙一起打羽毛球，每局两人比赛，另一人休息。

三人约定每一局的输方下一局休息。

结束时算了一下，小赵休息了2局，小钱共打了8局，小孙共打了5局。

则参加第9局比赛的是：A.小赵和小钱B.小赵和小孙C.小钱和小孙D.以上皆有可能解析：该题首先突破口在小赵休息了2局说明小钱小孙共打了2局，而小钱小赵既打了6局，小赵小孙打了3局，因此三人一共打了6+3+2=11局。

此时就需要用到数学中的插空思想，因为规则是赢了就可以继续比赛而输了就要换人，因此小孙打的5局对于总局数的11局就只能插空出现，且小孙不能参加第一局的比赛。

07 利用整体代入思想解题

∴
点评：本题三次构造，然后用替换，逐渐靠近答案，难度升级【难度】较难
10．已知是方程一个根，求的值．【答案】2015 【解析】试题分析：
把已知方程变形求出与，代入所求代数式，即可求解．
试题解析：解：∵是方程一个根
∴ ∴，
【难度】较难
（整体加减） 11．已知，则【答案】12 【解析】试题分析：已知因式分解得，而，故即可得解．试题解析：解：由得
∴ 故选B．【难度】较易
类型三函数与图象中的整体思想
19．已知与成正比例（1）试说明是的一次函数；（2）如果时，，时，，求与的函数关系式．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）我们把与都看成一个整体，设，得出从而说明是的一次函数（2）当我们把握两组数值代入解析式中后得到一个三元二次方程组，显然不能求出每个未知数的值，但我们可以把看作一个整体，就可以求出，，从而求出与的函数关系式是，在这个问题中两次用到整体思想．试题解析：解：（1）∵与成正比例，
∴设整理得 ∵是常数，且 ∴是的一次函数．（2）解：当时，；时，，解得这个函数的解析式
【难度】一般
类型四几何与图形中的整体思想
（整体转换）
【例题9】如图，
．
【答案】【解析】试题分析：
由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将视为一个整体，那么应与△中外角相等，同理，分别与，相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．试题解析：解：如图，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角和
类型三函数与图象中的整体思想
【例题8】已知和成正比例（其中、是常数）（1）求证：是的一次函数；（2）如果时，；时，，求这个函数的解析式．【答案】

代入排除法快速解答余数

代入排除法快速解答余数、同余问题数学运算题目是广大考生普遍认为的考试中比较难的一类题目。

但事实上，并不是所有的数学运算题目都难，如果掌握了相应的题型和方法，还是挺简单的。

下面就教给大家一个快速解答数学运算题中余数、同余问题的解答方法——代入排除法。

代入排除法是指将题目的选项直接代入题干当中验证来判断选项正误的方法。

这是处理“客观单选题”非常行之有效的方法。

最典型的运用这种方法的题型之一就是余数、同余问题。

余数、同余问题，简单的说就是题目中涉及到余数的问题，题目中会明确的给出或者暗含“除以几余几”这样的信息。

余数、同余问题如果题干里说XX数字满足YY条件，最后问XX数字是多少，都直接用代入排除法。

【例1】15. 某生产车间有若干名工人，按每四个人一组分多一个人，按每五个人一组分也多一个，按每六个人一组分还是多一个，该车间至少有多少名工人?（2009年北京社招）A. 31B. 41C. 61D. 122【答案】C【解析】题中的条件实际上是指工人总数除以4余1，除以5余1，除以6余1。

所以为同余问题，又求的是具体的数字，所以采用代入排除法求解。

A选项不满足除以4余1，B选项不满足除以6余1，D选项不满足除以6余1，所以答案肯定是C选项。

【例2】46.今有物不知其数，三三数之余一，五五数之余二，七七数之余三，此物至少有：（2010广西）A.37个B.52个C.97个D.157个【答案】B【解析】题中的条件实际上说的是所求数除以3余1，除以5余2，除以7余3。

所以为同余问题，又求的是具体的数字，所以采用代入排除法。

因为求的是至少，所以从最小的数开始代入，经验证，A选项不满足除以7余3，而B选项三个条件都满足，所以选B。

【例3】36.在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是多少？（2010年9月联考）A.237B.258C.279D.290【答案】C【解析】本题的关系是：被除数+除数=319-21-6=292，没有其他条件了，所以只能采用代入排除法求解。

用洛必达法则巧解高考数学压轴题-李文星

用洛必达法则巧解高考数学压轴题-李文星洛必达法则是高等数学中的一个重要定理，可以用来解决一些极限问题。

在高考数学中，也经常会遇到一些需要使用洛必达法则来解决的压轴题。

以我遇到的一个高考数学压轴题为例，题目如下：
已知函数\(f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x^2-1}\)，求函数\(y = f(x)\)在点\(x = 1\)处的极限。

根据洛必达法则，我们需要计算\(\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-
1}\)。

首先，我们计算\(\lim_{x\to 1}(x-1)\)。

显然，当\(x\)趋近于1时，\(x-1\)也趋近于0。

接下来，我们计算\(\lim_{x\to 1}f(x)\)。

将函数\(f(x)\)代入后，得到：
\(\lim_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}\)。

因此，我们有\(\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1} = \lim_{x\to
1}\frac{0}{x-1} = 0\)。

所以，函数\(y=f(x)\)在点\(x=1\)处的极限为0。

通过以上步骤，我们成功地使用洛必达法则解决了这个压轴题。

洛必
达法则的核心思想是将问题转化为求导数的问题，通过求导数的方式来计
算极限。

在解决高考数学压轴题时，洛必达法则可以帮助我们更快地得到
答案，提高解题效率。

除了洛必达法则，高考数学中还有许多其他的解题方法和技巧。

在备战高考数学时，我们不仅需要掌握这些方法和技巧，还需要多做题、多总结，提高自己的解题能力。

希望我们都能在高考中取得好成绩！。

巧用代入排除法

巧用代入排除法数量关系中有些题型利用代入排除法解决非常快，能够达到事半功倍的效果。

当题干中存在等量关系，但是不易列方程或解方程且选项中给的信息很全时，首选代入排除法。

那么代入排除法适用哪些题型呢？那我们一起来了解一下：一、年龄问题年龄自身具备一定的特点：年龄是一个整数，人与人之间的年龄差不变，年龄同时增长同时减少。

根据以上特点，我们可以采用代入排除法解决年龄问题。

例：甲乙两人的年龄和正好是80岁，甲对乙说：“我像你这么大时，你的年龄正好是我当时年龄的一半”。

甲今年（）A. 32B. 40C. 48D.45解析：根据题干得知存在等量关系，且甲的年龄大于乙的年龄，代入A 、B 不符合条件,根据最后的条件可知甲的年龄为偶数，可以排除D,故选C 。

二、数字类问题数字类题目如果正面解决不好解决，利用题干中存在等量关系可以选择代入排除法解决。

例：在一种室内游戏中，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc ，但规定该数中不能有数字0且三个数字彼此不同。

然后魔术师再要求他记下5个数 cab ,acb ，bac ,bca ,cab 并把这 5 个数加起来求出和 N ，只要参赛者讲出 N 的大小，魔术师就能说出原数abc 是什么。

如果 N=3194，那么abc 是多少？A.136B.358C.582D.812解析：答案B 。

可将选项中的数值分别代入3194=++++cba cab bca bac acb 。

看哪个满足该等式即可。

代入时不必算具体数值，运用尾数法即可排除 D 、C ，之后将 A 、B 代入验证即可。

三、不易解或者不易列方程例：某单位为筹建一个学习中心，鼓励大家踊跃捐书。

已知甲捐书的量比乙多 9 本，乙捐书的量比丙多 6 本，甲捐书量的倒数与乙捐书量的倒数之和等于丙捐书量倒数的一半，问甲捐书多少本？A.15B.16C.17D.18 解析：答案D 。

根据题意，甲-9=乙，乙-6=丙。

若选择 A ，则甲为 15、乙为6，丙为 0，不符合题意，排除；若选择 B ，甲、乙、丙的量依次为 16、7、1，显然甲捐书量的倒数与乙捐书量的倒数之和不等于丙捐书量倒数的一半，排除；同理排除C，选择D。

谈谈整式求值中的代入方法

教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。

谈谈整式求值中的代入方法已知字母的值，求与之相关的整式的值是是整式运算中的一个重要内容。

求整式的值一个重要步骤就是代入，而代入是有技巧的，不同的代入方法直接影响求解的顺利与否。

下面就向同学们介绍几种适用的代入方法。

供同学们参考。

一、直接代入求值例1 求当a=－3，b=23时，代数式a2+ab+3b2的值分析：用字母数值代替代数式中的字母，按代数式指明的运算，计算出结果。

解：当a=3，b=23时，原式=（－3）2+（－3）×23+3×（23）2=9－2+3×49=325。

评注：1、相应数字均应代人相应字母，不能错位，特别是有两个或两个以上字母时，切不要代错；2、代人时，除按已知给定的数值，将相应的字母换成相应的数字外，其他的运算符号，运算顺序，原来的数值都不改变；4、代数式中省去的“×”号或“·”号，代人具体数后应恢复原来的“×”号，遇到字母取值是分数或者负数时，应根据实际情况添上括号．5、代入时一定要书写规范，如当a=－3时，a2=（－3）2，而不是a2= －32，（23）2不等于322等，只有书写规范，才能反映出代数式所隐含的运算顺序。

二、先化简，再代入求值例2、当x=19，y=－18时，求代数式（5x－3y）－（2x－y）+（3x－2x）的值分析：直接代入，项数太多，运算量较大；如果先化简，然后代入，则较简便。

解：原式=5x －3y －2x+y+3y －2x=x+y ，当x=19，y=－18时，原式=－172评注：化简时，一定要注意去括号和合并同类项的正确。

三、整体代入求值例3、已知a 2-a-4=0，求a 2-2(a 2-a+3)-21(a 2-a-4)-a 的值. 分析：仔细观察已知式所求式，它们当中都含有a 2-a ，可以将a 2-a-4=0转化为a 2-a=4，再把a 2-a 的值直接代入所求式即可。

高升专数学答题技巧

高升专数学答题技巧
高升专数学答题技巧有10个，这10个答题技巧如下：
1.快速审阅全卷：在答题之前，快速浏览整个试卷，了解试卷的题型和难度分
布，为后续答题做好准备。

2.选择题使用代入、排除、图像等办法选出答案：在解答选择题时，可以采用
代入法、排除法、图像法等不同的方法，以最快的速度选出正确答案。

3.大题不要空着：对于不会做的题目，可以尝试写出题目相关的公式，这样能
够赚取一定的步骤分。

4.注意小题巧解：在解答小题时，要善于使用数形结合、特值等方法，以提高
解题速度和准确率。

5.一旦思路清晰，迅速作答：在解题过程中，一旦思路清晰，就要迅速作答，
不要在一两个小题上纠缠，以免浪费时间。

6.杜绝小题大做：对于小题，要尽量避免过于复杂的方法和步骤，以免浪费时
间和精力。

7.灵活转化：在解题过程中，要善于使用转化思想，将复杂问题转化为简单问
题，以便更好地解决。

8.善于分析：对于一些难题，要善于分析，找出问题的关键点，以便更好地解
决。

9.适当估算：在解题过程中，可以适当进行估算，以便更好地把握问题的大致
范围。

10.极限思维：在解题过程中，可以运用极限思维，将问题推向极端情况，以便
更好地理解问题。

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巧解分式方程的常用方法专题练习(解析版)

巧解分式方程的常用方法专题练习一、分离常数法1、解方程：（1）11x ++32x-=0．（2）2413x x x x ++-++=6857x x x x ++-++．答案：（1）-52．（2）x =-4．解答：（1）11x ++32x-=0， ()()212x x x -+-+()()()3112x x x ++-=0， 2-x +3x +3=0，x =-52，把x =-52代入到（x +1）（2-x ）≠0， ∴x =-52是原方程的解．（2）原式=()()()()()()()()23141313x x x x x x x x ++++-++++=()()()()()()()()67585757x x x x x x x x ++++-++++， 2243x x ++=221235x x ++， 8x =-32，x =-4，把x =-4代入到（x +1）（x +3）（x +5）（x +7）≠0，∴x =-4是原方程的解．2、已知正整数x 、y 满足y =22111x x x +++，求所有符合要求的x 的值．答案：符合要求的x 的值为1，4，9．解答：y =22111x x x +++=221101x x x ++++ =()21101x x +++ =x +1+101x +， ∵x 、y 均为正整数，∴x +1=1，2，5，10，∴x =0（舍），1，4，9，∴符合要求的x 的值为1，4，9．3、解方程．（1）5223x x --=4332x x --．（2）2263104132x x x x x x +++-++++212x x ++=0．答案：（1）x =-1．（2）x =-9．解答：（1）分离常数得-1+223x -=-1+232x -，即223x -=232x -；去分母得3x -2=2x -3，即x =-1，经检验x =-1是原分式方程的解．（2）分离常数得1+51x +-3-()()212x x x -+++2-32x +=0，即()()5231122x x x x x ---++++=0，两边同时乘以（x +1）（x +2），得5（x +2）-（x -2）-3（x +1）=0，解得x =-9，经检验成立．4、解下列分式方程：（1）45x x --+89x x --=78x x --+56x x -- （2）23x x -++4122x x +--5=0 答案：（1）x =7（2）x =-143解答：（1）4758x x x x -----=5869x x x x ----- 通分得：()()358x x --- =()()369x x --- ∴（x -5）（x -8）=（x -6）（x -9）解得：x =7经检验，x =7为原方程的解（2）设23x x -+=y 则原式可转化为y +4y=5 解得y 1=1，y 2=4 ∴23x x -+=1或23x x -+=4 ∴x 无解或x =-143经检验，x =-143为原方程的解 5、解方程：223232x x x x ++-+ =22231231x x x x ++-+．答案：x =1为增根，x =0或x =-1是原方程的根．解答：原方程化为1+2632x x x -+=1+26231x x x -+，故2632x x x -+=26231x x x -+．去分母，得6x （2x 2-3x +1）=6x （x 2-3x +2）．移项，得6x （x 2-1）=0，即6x （x +1）（x -1）=0，解得x =0或x =1或x =-1经检验，x =1为增根，x =0或x =-1是原方程的根．6、解下列分式方程：（1）2232x x x x +-+-+1=2224121x x x x ++++．（2）2413x x x x ++-++=6857x x x x ++-++．答案：（1）x =-3．（2）x =-4．（3）x =-3或0．解答：（1）原方程可化为：1-212x x +-+1=2-2121x x ++，则有：212x x +- =2121x x ++，则：x 2+x -2=x 2+2x +1，解得：x =-3，经检验，x =-3时分式方程的最简公分母不为0，故原方程的解为：x =-3．（2）原方程可化为：1+11x +-（1+13x +）=1+15x +-（1+17x +），则有：1113x x -++ =1157x x -++，则：（x +5）（x +7）=（x +1）（x +3），解得：x =-4，经检验，x =-4时分式方程最简公分母不为0，故原方程的解为：x =-4．二、裂项法7、分式方程()13x x ++()()136x x +++()()169x x ++=3218x +的解x 的值为______．答案：2 解答：将分式方程变形为11133x x -+（+1136x x -+++1169x x -++）=3218x +．整理得119x x -+=()929x +，方程两边都乘以2x （x +9），得 2（x +9）-2x =9x ，解得x =2．经检验，x =2是原分式方程的解．8、解方程：()12x x + +()()124x x ++ +()()146x x ++ +…+()()120142016x x ++ =-11008．答案：无解解答：裂项：12 [112x x -++1124x x -+++…+1120142016x x -++]=-11008整理得12 [112016x x -+]=-11008，去分母并整理得x 2+2016x +10082=0，即（x +1008）2=0，解得x =-1008，经检验x =-1008是增根，所以原方程无解．9、解下列分式方程：（1）2241x x x --+1=21x x +．（2）21211x x ---=13．（3）（1x x +）2-11x +=1．（4）1x x ++5（1x x+）+6=0．（5）2132x x +++2156x x +++21712x x ++=14x +．（6）45x x --+89x x --=78x x --+56x x --．答案：（1）x =-12．（2）x =2．（3）x =-23．（4）x =-12或-56．（5）x =2．（6）x =7．解答：（1）原方程可化为：x 2-4x +x 2-1=2x （x -1），解得：x =-12，经检验，x =-12时分式的最简公分母不为0，故原方程的解为：x =-12．（2）原方程可化为：3（x +1）-6=x 2-1，即：（x -1）（x -2）=0，解得：x =1或2，经检验，x =1时分式的最简公分母等于0，x =2时分式的最简公分母不等于0，故原方程的解为：x =2．（3）原方程可化为：x 2-（x +1）=（x +1）2，解得：x =-23；经检验，x =-23时分式的最简公分母不等于0，故原方程的解为：x =-23．（4）令t =1x x +，则原方程可化为：t +5t +6=0，解得：t =-1或-5，则1x x +=-1或1x x +=-5，解得：x =-12或x =-56，经检验，x =-12或x =-56时分式的最简公分母不等于0，故原方程的解为：x =-12或-56．（5）原方程可化为：()()112x x ++ +()()123x x +++()()134x x ++=14x +，即：1112x x -++ +1123x x -+++1134x x -++=14x +，即：11x + =24x +，则：x +4=2（x +1），解得：x =2，经检验，x =2时分式的最简公分母不等于0，故原方程的解为：x =2．（6）原方程可化为：1+15x -+1+19x -=1+18x -+1+16x -，则：15x - +19x -=18x -+16x -，则：()()5959x x x x -+--- =()()8686x x x x -+---，即：22141445x x x --+ =22141448x x x --+，则：2x -14=0，解得x =7，经检验，x =7时分式的最简公分母不等于0，故原方程的解为：x =7．三、换元法10、用换元法解方程2212412x x x x ---=3时，设212x x-=y ，则原方程可化为（）． A. y -1y-3=0 B. y -4y -3=0 C. y -1y +3=0 D. y -4y +3=0 答案：B 解答：∵设212x x-=y ， ∴2212412x x x x ---=3，可转化为：y -4y=3，即y -4y-3=0． 11、用换元法解方程（1x x +）2-5（1x x +）+4=0时，可设1x x +=y ，则原方程可化为______．答案：y 2-5y +4=0解答：换元可得y 2-5y +4=0．12、根据结论：x +m x =c +m c 的解为x 1=c ，x 2=m c ；则方程x +1+11x -+=2011+12011-的解x 1=2010，x 2=______．答案：-20122011解答：设x +1=y ，则y +1y -=2011+12011-，由题意可得：y 1=2011，y 2=12011-． ∴x 1+1=2011，x 2+1=12011-． x 1=2010，x 2=-20122011． 13、用换元法解分式方程：x 2+21x +2=2（x +1x ）．答案：x 1=x 2=1．解答：原方程化为（x +1x ）2=2（x +1x ），设y =x +1x，那么原方程为y 2-2y =0，y （y -2）=0，y 1=0，y 2=2，当y 1=0时，0=x +1x ，无解，当y 2=2时，2=x +1x ， x 1=x 2=1，检验：当x 1=x 2=1时，x ≠0，所以x 1=x 2=1是原方程的解．14、解方程x 2+21x -3（x +1x ）+4=0 答案：见解答解答：设x +1x =y ，则原方程可化为（x +1x ）2-3（x +1x）+2=0，即y 2-3y +2=0，解方程得：y 1=1，y 2=2当y 1=1时，有x +1x=1，即x 2-x +1=0，此方程无实数根当y 2=2时，有x +1x =2，即x 2-2x +1=0，解得：x =1 经检验，x =1是原方程的根，∴原方程的根式x =1．15、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化，复杂问题简单化，变得容易处理．例如：在分解因式（x 2+x +1）（x 2+x +2）-12时，可以令y =x 2+x ，则：原式=（y +1）（y +2）-12=y 2+3y +2-12=y 2+3y -10=（y +5）（y -2）=（x 2+x +5）（x 2+x -2）=（x 2+x +5）（x +2）（x -1）．根据上述知识，请用换元法解决如下问题：（1）因式分解：（x 2+x -1）2+2（x 2+x -1）-35；（2）解方程组：347 5737812 573x y x yx y x y⎧+=⎪-+⎪⎨⎪-=⎪-+⎩．答案：（1）（x-2）（x+3）（x2+x+6）（2）1434 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解答：（1）（x-2）（x+3）（x2+x+6）（2）设m=5x-y，n=7x+3y原方程化为3477812m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得124mn⎧=⎪⎨⎪=⎩故152734x yx y⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得1434xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．。

活用代入法巧解方程组

活用代入法巧解方程组苗伟一、直接代入——一个未知数为另一个未知数的表达式例1 解方程组：⎩⎨⎧=--=.134,32y x x y 分析：方程①是用含x 的代数式表示y ，可直接把①代入②消去y.解：把①代入②，得4x-3（2x-3）=1.解得x=4.把x=4代入①，得y=5.所以原方程组的解为⎩⎨⎧==.54y x 二、变形代入——方程组中某一未知数的系数的绝对值是1例2 解方程组：⎩⎨⎧=+=-.1043,95y x y x 分析：方程①中y 的系数是-1，可将方程①变形为y=5x-9，再将其代入②即可消去y.解：由①，得y=5x-9. ③把③代入②，得3x+4（5x-9）=10.解得x=2.把x=2代入③，得y=5.所以原方程组的解为⎩⎨⎧==.1,2y x 三、整体代入——方程组中某一未知数的系数成整数倍的关系例3 解方程组：⎩⎨⎧=-=+.1078,1652y x y x 分析：方程②中x 的系数是方程①中的x 的系数的4倍，可将方程①变形为2x=16-5y ，再整体代入②，消去x.解：由①，得2x=16-5y. ③把③代入②，得4（16-5y ）-7y=10. 解得y=2.把y=2代入③，得x=3.所以原方程组的解为⎩⎨⎧==.2,3y x 四、常数代入——方程组中两个方程的常数项相等例4 解方程组：⎩⎨⎧=-=+.1153,1173x y y x 分析：方程①和方程②的常数项相等，可用常数项代入. 解：把①代入②，得3y-5x=3x+7y ，所以x=-y 21.③ 把③代入②，得3y+y 25=11.解得y=2. 把y=2代入③，得x=-1.①②①②①②①②所以原方程组的解为⎩⎨⎧=-=.2,1y x 五、参数代入——方程组中某一方程是比例的形式例5 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+.132,3241y x x y 分析：方程①的等号两边是比的形式，可设比值为k ，然后用含k 的代数式表示x ，y ，代入②即可消元.解：设k x y =+=+3241，则y=4k-1，x=3k-2. 把它们代入②，得2（3k-2）-3（4k-1）=1.解得31-=k .从而y=37-，x=-3. 所以原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.37,3y x ①②。