薛定谔方程1波函数的统计解释

合集下载

量子力学第1章-1-2(第3讲)

越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理概念，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。
量子波函数的概率解释有不足
玻恩的概率解释：“波函数的振幅的平方是粒子被发现的概率” 。不是完整诠释，只关注所谓的可观察量（振幅），忽略了相位（因为不属于可观察量）。
杨振宁说，规范场论就是相位场。相位是其根本。振幅与相位合起来用复数表示。
x=0
dx
由于
d 2(x,t)
dx2
0
x0
故 x 0 处，粒子出现概率最大。
注意
（1）归一化后的波函数
(r , t
)
仍有一个模为一的因
子 ei 不定性（ δ为实函数）。
若 r,t 是归一化波函数，那末， r,tei 也是
归一化波函数，与前者描述同一概率波。
（2）只有当概率密度 (r,t) 对空间绝对可积时，才
2
(r,t) dx
A2
ea2x2 dx
A2
1
a2
归一化常数
1/ 2
A a/
归一化的波函数1/ 2Fra bibliotek1a2x2 i t
(r,t) a / e 2 2
（2）概率分布： (x, t) (x, t) 2 a ea2x2
（3）由概率密度的极值条件
d(x, t) a 2a2 xea2x2 0
相位是复杂性之源，相位导致纠缠，纠缠导致记忆与电子相干。自由度的纠缠和相干，往往会造就许多意想不到的结果。
作业题
1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? 并指出每
个状态由哪几个波函数描写。
1 ei2x / , 4 ei3x / ,
2 ei2x/ , 5 ei2x / ,

波函数与薛定谔方程

波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。

波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。

本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。

一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。

对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。

波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。

波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。

另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。

二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。

薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。

薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。

三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。

解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。

薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。

波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。

波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。

四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。

首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。

这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。

其次，波函数还包含了粒子的相位信息。

波函数和薛定谔方程

波函数和薛定谔方程一、波函数的统计解释、叠加原理和双缝干涉实验微观粒子具有波粒二象性<德布罗意假设）；德布罗意关系<将描述粒子和波的物理量联系在一起）物质波<微观粒子—实物粒子）引入波函数<概率波幅）—描述微观粒子运动状态对于微观粒子来说，如果不考虑“自旋”一类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。

至少在目前量子力学框架中，我们不能获得比波函数更多的物理信息。

b5E2RGbCAP微观粒子的状态用波函数完全描述——量子力学中的一条基本原理该原理包含三方面内容：粒子的状态用波函数表示、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。

要明确“完全”的含义是什么。

按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量子态，若已知单粒子<不考虑自旋）波函数，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如动量等粒子的其它力学量的概率分布也均可通过波函数而完全确定。

由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的一切物理信息。

从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述。

p1EanqFDPw 必须强调指出，波函数给出的有关粒子的“信息”本质上是统计性质的。

例如，在适当条件下制备动量为p的粒子，然后测量其空间位置，我们根本无法预言测量的结果，我们只能知道获得各种可能结果的概率。

DXDiTa9E3d很自然，人们会提出这样的疑问：既然量子力学只能给出统计结果，那就只需引入一个概率分布函数<象经典统计力学那样），何必假定一个复值波函数呢？RTCrpUDGiT事实上，引入复值波函数的物理基础，乃是量子力学中的又一条基本原理——叠加原理。

这条原理告诉我们，两种状态的叠加，绝不是概率相加，而是带有相位的复值波函数的叠加<数学求和）。

正因如此，在双缝干涉实验中，我们才能看见屏上的干涉花纹。

5PCzVD7HxA实物粒子双缝干涉实验分析我们首先只打开一条狭缝，根据粒子的波动性，可以预言屏上将显示波长<为粒子动量）的单缝衍射花纹。

波函数和薛定谔方程

px ∂ 2Ψ = − Ψ， ∂x 2 h2
2
py ∂ 2Ψ = − Ψ 2 2 ∂y h pz ∂ 2Ψ = − Ψ ∂z 2 h2
2
2
h p2 2 − ∇ Ψ= Ψ 2m 2m (3)
是同一个量子态的不同表述
Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数； C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；二者描写同一量子状态。
r r Ψ (r , t ) 与 c( p, t ) 有类似的物理意义 r 2 Ψ (r , t ) 是指在t时刻，粒子在r处出现的概率密度 r 2 c( p, t ) 是指在t时刻，粒子具有动量p的概率密度
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波（物质波） h E 的频率及波长为 λ= ν = p i rr h ( p⋅r − Et ) r 自由粒子平面波函数 ψ (r , t ) = Ae h
2.1 波函数的统计解释
另一种理解：为防止电子间发生作用，让电子一个一个地入射，发现时间足够长后的干涉图样和大量电子同时入射时完全相同。（1989）粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之间相互作用的结果。
2.3 含时薛定谔方程
2.3.1 经典粒子的动力学方程
r r dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m dt
t = t0
2r r d r 粒子满足的方程是牛顿方程： F = m 2 dt
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
dτ ∫ ∞
→∞
2.2 态叠加原理

波函数与薛定谔方程

x x ( r ) x ( r )dr 三维情况: p x p x ( r ) x ( r )dr p F F ( r )F ( r )dr
若波函数未归一化,则 ( r )F (r )dr F F ( r ) ( r )dr
没有归一化,
∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A (A 是大于零的常数),则有
∫∞ |A-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1 也就是说,A-1/2Ψ (r , t ) 是归一化的波函数,与Ψ (r , t )描写同一几率波,(A)-1/2 称为归一化因子. 注意:对归一化波函数仍有一个模为一的因子不确定性.若Ψ(r , t )
一般情况下,如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态,那么它们的线性叠加
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2
也是该体系的一个可能状态,其中 C1
和 C2 是复常数,这就是量子力学的态叠加原理.
态叠加原理一般表述:
若Ψ1 ,Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态, 则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ...
p x | c ( p x ) |2 dp x
(二)力学量算符
(1)动量算符
既然ψ(x) 是归一化波函数,相应动量表象波函数为c(px) 一一对应,相互等价的描述粒子的同一状态,那末动量的平均值也应可以在坐标表象用ψ(x)表示出来.但是ψ(x)不含px变量, 为了能由ψ(x)来确定动量平均值,动量 px必须改造成只含自变量 x 的形式,这种形式称为动量 px的算符形式,记为
x y z
A1e
考虑一维积分若取 A1= (2)-1/2, 则:
*

量子力学第二章波函数和薛定谔方程

x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )

2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：

2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e

(r ) p
1 (2)

3 2
e
i pr
(r , t )

( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的

量子力学第二章波函数和薛定谔方程

2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
电子源
P
P
O
感
Q光QBiblioteka 屏在电子衍射实验中，照相底片上
r 点附近衍射花样的强度正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在 r 点附近的几率。
波动观点
明纹处：电子波强|ψ(x,y,z,t)|2大
粒子观点
电子出现的概率大
暗纹处：电子波强|ψ(x,y,z,t)|2小
平方成比例。
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：在 t 时刻，r 点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：
dW (x, y, z, t) C 2 (x, y, z, t) 2 d 其中C是比例系数。
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是：
是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
(x, y, z,t)
dW(x, y, z,t)
d
C2 (x, y, z,t) 2
几率密度 probability density
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为：
W (t) dW (x, y,z,t)d C2 (x, y, z,t) 2 d

大学物理(下册) 14.6 波函数薛定谔方程

1.所描述的状态称为 F 的本征态，而上式则称为本征值方程；
2.波函数的标准条件：单值、有限和连续；
例题 14.6.1 设质量为m的粒子沿x轴方向运动，其势能为： , x 0,x a Ep u ( x) 0, 0 x a （14.6.15）
无限深势阱：该势能如图所示形如一无限深的阱，故称无限深势阱，本问题为求解该一维无限深势阱内粒子的波函数。
2 2 1 f ( t ) (x, y,z ) 推出： i V (x, y,z ) f (t ) t 2m (x, y,z )
设常量E：
1 f (t ) i E f (t ) t
2
[
2m
V (x, y,z )] (x, y,z ) E (x, y,z )
o
a
x
解：分析因为势能不随时间变化，故粒子波函数满足定态薛定谔方程，在势阱内势能为零故其定态薛定谔方程为：
定态薛定谔方程为：
Ep
k 2mE
d 2 k 0 2 dx
2
其通解为： ( x)
A sin kx B cos kx
o
a
x
由波函数的标准条件：单值、有限和连续可得：
2.定态薛定谔方程势能函数： V V ( x, y, z ) 波函数可以分离为坐标函数和时间函数的乘积：
(x, y,z,t ) (x, y,z ) f (t )
（14.6.8）
将其代入薛定谔方程式：
2 f (t ) i (x, y,z ) 2 (x, y,z ) f (t ) V (x, y,z ) (x, y,z ) f (t ) t 2m
2
解之得：定态波函数：

波函数及薛定谔方程

N ⋅ dV | Ψ ( x , y , z , t ) |2 的物理意义：
t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比
t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的概率
t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
注意：
物质波的波函数不表示任何实在物理量的波动，不描述介质中运动状态（相位）传播的过程,
NN
标准条件
Ψ是单值、有限、连续的。
二、薛定谔方程：是波函数 Ψ所遵从的方程 — 量子力学的基本方程 , 是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
1. 建立（简单→复杂，特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
Ψ (x,t)
=Ψ e−
i ℏ
(
E
t
−
px
⋅
x
)
0
=
Ψ
0e
+
i ℏ
p
x
⋅x
−i Et
2 x
2m
代入
d2ψ ( x) dx2
=
−
px ℏ2
2
ψ
(
x
)*
得
d 2ψ ( x ) dx2
+
2 mE ℏ2
ψ
(x)
=
0
即一维自由粒子的振幅方程
p
2 x
=
2mE
一维定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
E
=
Ek
+
Ep
=
p
2 x
2m
+U
px2 = 2m(E −U )
代入
d2ψ ( x) dx2
∴ 建立关于振幅函数 ψ(x)的方程 —— 振幅方程

波函数薛定谔方程

H.M.Qiut i t x U x m ∂∂=Ψ+−),(22§13.7 波函数及其统计解释薛定谔方程一、波函数及其统计解释H.M.Qiu波函数波函数还应该归一化1=ΨΨ∫dV H.M.Qiu将波函数()()22例1()()exp 2x x απαΨ=−H.M.Qiuπ例2H.M.Qiu量子力学的哲学基础概率概念的引入意味着：在已知给定条件下，H.M.Qiu二、薛定谔方程1.自由粒子的薛定谔方程A i t x exp =−−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦H.M.Qiu()()exp x xt A Et p x Ψ=−−⎢⎥⎣⎦时薛定谔方程22i t m x =−∂∂ H.M.Qiu⎥⎦⎢⎣z y x 22∂Ψ∂Ψ一维自由粒子薛定谔方程H.M.Qiu补充：关于算符H.M.Qiu2x m t ⎦⎣∂∂2i Ψ哈密顿算符薛定谔方程H.M.Qiu0ˆ=tH∂∂若即U (x,t )与时间无关，称为定态)1()()(… t ET td t dT i =)2()()(ˆ…x E x H Φ=Φ能量取确定值的状态H.M.Qiu)()(),(t T x t x E E E ΦΨ=Ee x C =)(Φ)1()(…t ET td i =)2()()(ˆ…x E x HΦ=ΦH.M.Qiu()00,x x a ⎧≤≥例1(22sin 0Et he x x aa ππ−⎨≤≤⎪⎩H.M.Qiu问题：何处找到粒子的几率最大？1n =由题意：2x =处找到粒子的几率最大在2ax =例1解归一化波函数为:()⎧H.M.Qiu定态薛定谔方程在不同坐标系下的表示直角坐标系：H.M.Qiu▲薛定谔方程是线性微分方程补充：关于态叠加原理H.M.Qiu补充：力学量的平均值2⎛⎞Ψ含时薛定谔方程：任意力学量B 的平均值为ˆB BdV ψψ∗=∫。

量子物理基础 15.6 波函数一维定态薛定谔方程

光源
N
摄谱仪
v0 +△v v0 v0 - △ v
S z e
磁矩 r
(2) 解释
• 磁场作用下的原子附加能量磁矩和角动量的关系
r L
e r µ =− L 2me r
的方向）向 z 轴（外磁场 B 的方向）投影
µ
e e µz = − Lz = − (mlh) = −ml µB µB ——玻尔磁子 2me 2me r r 由于磁场作用, 由于磁场作用原子附加能量为 ∆E = −µ ⋅ B= −µ cosθ B l µBB = −µz B = m
2 (k12 − k2 )2 sin 2 (k2a) R= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2 2 4k12k2 T= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2
U0
Ⅰ
E
Ⅱ
Ⅲ
T + R =1
讨论
0
a
入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回 I 区。
N=3000 电子数 N=7 N=70000 N=20000 电子数 N=100 电子双缝干涉图样
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率粒子在 r 2 dW =| Ψ(r , t) | dV r * r =Ψ(r , t)Ψ (r , t)dV
r Ψ(r ,t)
r r
o
dV
说明 • t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率粒子在
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为区域，
d2Ψ( x) 2mE + 2 Ψ( x) = 0 2 dx h

波函数及薛定谔方程

即：
Ψ dV = 1 ∫∫∫
2
波函数归一化条件
波函数满足的条件：单值、有限、连续、波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一满足的条件
四薛定谔方程的建立
1、一维自由粒子薛定谔方程的建立、一维自由粒子薛定谔薛定薛定谔方程是量子力学基本假设之一，薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明以一维自由粒子为例
2 mE 2mE = k2 2 ℏ
Φ( x) = A sin(kx + ϕ )
(0 < x < a )
d Φ 2 +k Φ =0 2 dx
2
（2）确定常数 A、ϕ ）势阱无限深 ~ 阱外无粒子
Φ( x) = A sin(kx + ϕ )
(0 < x < a )
Φ (a) = 0
（x≤0 x≥a）由波函数连续性连续性，由波函数连续性，边界条件： Φ (0) = 0 ϕ=0 Asinϕ = 0 Asinka =0
－费曼－费曼－
玻恩（的波函数统计解释: 玻恩（M..Born)的波函数统计解释的波函数统计解释
t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV
中的概率，成正比。中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。内概率：出现在 dV 内概率：
dW = Ψ ( r , t ) dV
2
dV=dx dy dz 概率密度：概率密度： w = dW = Ψ ( r , t ) 2 = ΨΨ
用指数形式表示：用指数形式表示：波的强度
x
y = Ae
I∝A
−i 2π ( vt − )
λ
)
x
λ
取复数实部

波函数及其统计解释

波函数及其统计解释波函数是量子力学中用来描述物质的状态和性质的数学工具。

它是由薛定谔方程得到的解析函数，通常用Ψ来表示。

波函数提供了关于一个粒子的位置、动量以及其他物理量的概率分布信息。

在量子力学中，波函数与粒子的运动有着密切的关系，它可以用来预测实验结果并解释量子现象。

波函数的统计解释是一种基于概率的解释方法，用来解释波函数的实际物理含义。

根据波函数的统计解释，波函数描述的是一个粒子处于不同状态的概率振幅。

具体而言，波函数的模的平方给出了在某一位置或某一状态下找到粒子的概率密度。

因此，波函数提供了一种对于微观粒子行为的统计描述。

以一维自由粒子为例，其波函数可以表示为Ψ(x,t)，其中x为位置，t为时间。

根据波函数的统计解释，粒子出现在某一位置x上的概率密度为|Ψ(x,t)|^2。

因此，波函数的平方模的积分应等于1，代表粒子一定存在于某个位置上。

波函数还可以表示粒子的动量状态。

动量算符是p = -iħ(d/dx)，其中ħ为约化普朗克常数。

粒子的动量可以由波函数Ψ(x,t)通过动量算符作用得到：pΨ(x,t) = -iħ(dΨ(x,t)/dx)。

通过这种方式，波函数提供了一种描述粒子动量的方法。

根据波函数的统计解释，波函数Ψ(x,t)也可以用来描述一个粒子的位置和动量的不确定性。

根据不确定性原理，位置的不确定度Δx和动量的不确定度Δp满足ΔxΔp ≥ ħ/2。

因此，波函数的宽度与位置不确定性和动量不确定性之间存在着一种平衡关系。

除了一维自由粒子，波函数还可以应用于描述不同势场下的粒子行为。

例如，谐振子势能场下的波函数具有特定的形式，可以用来描述谐振子的能量和态。

原子的波函数由薛定谔方程得到，它可以描述电子在原子核周围的运动状态。

总之，波函数是量子力学中一个重要的概念，它提供了对微观粒子行为的统计描述和预测。

波函数的统计解释使我们能够理解量子力学中的各种现象，并通过测量结果来验证理论的准确性。

通过适当的数学和物理推导，我们可以获得波函数的具体形式，并利用它来解释和预测量子系统的行为。

第二章波函数和 Schrodinger 方程

第二章
波函数和薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释一. 波函数 1. 经典粒子运动状态的描述 r
经典粒子的运动状态由位矢 r 和动量 p 来描述
经典粒子的描述方法反映不了波粒二象性, 坐标r和动量p不能同时确定,测不准关系. r 自由粒子可以用德布洛意平面波描述
r
2. 微观粒子的运动状态由波函数 (r , t ) 来描述
把粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性” 统一起来的是M.Born(1926)提出的概率波.
1. 单电子衍射实验
（1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;
（2）入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
单电子衍射实验结果分析： (1) “亮纹”处是到达该处的电子数多，或电子到达该处的几率大。 “暗纹”处是到达该处的电子数少，或电子到达该处的几率小。 (2) 衍射图样由电子波动性引起 “亮纹”处表示该处波强度大， “暗纹”处表示该处波强度小。结论:电子到达屏上各处的几率与波的强度成正比. 2.玻恩统计解释: 波函数在空间某点的强度(波函数模的平方)和在这点找到粒子的几率成比例，
(3) 描写的是什么样的波呢？
二. 波函数的统计解释 1.对粒子波动性的几种理解 a. 认为电子是由波包组成，因而呈现出干涉与衍射等现象，波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度. 这种看法碰到了难以克服的困难,即自由粒子的物质波包必然要扩散。这与实验是矛盾的物质波包的观点显然夸大了波动性一面,而实际上抹杀了粒子性的一面,是带有片面性的。
De Broglie 平面波,自由粒子的波函数
Ae
i ( pr Et )

波函数的统计解释

波函数的统计解释波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。

它包含了粒子的可能位置、动量等信息，但并不直接表示物理实体。

波函数的统计解释是指通过波函数计算出的统计规律，用来预测大量粒子的行为。

1.概率解释：波函数的模的平方表示在一些空间点找到粒子的概率。

例如，对于一维运动的粒子，在其中一时刻，波函数的模的平方在一些位置上的积分就给出了粒子在该位置出现的概率。

这一概率解释使得波函数的统计解释与经典物理中的概率概念有了相似之处。

2.叠加解释：波函数的叠加原理使得多个波函数之间可以相互叠加。

这意味着多个波函数所代表的可能状态同时存在，并以一定的概率进行叠加。

这种叠加解释可以用来解释干涉和衍射等现象，这些现象是波粒二象性的体现。

3.线性解释：波函数的时间演化可以通过薛定谔方程进行描述。

根据薛定谔方程，波函数的演化是线性的，即满足叠加率和线性性质。

这一线性解释意味着多个波函数之间可以相互干涉和叠加，形成新的波函数。

4.统计解释：波函数可以用来确定粒子的期望值和方差等统计量。

例如，位置算符对应的期望值可以表示粒子的平均位置，动量算符对应的期望值可以表示粒子的平均动量。

通过对波函数进行数学计算，可以得到这些统计量，并与实验结果进行比较。

5.状态解释：波函数可以表示粒子的状态，包括其位置、动量和自旋等特征。

通过对波函数进行适当的测量，可以得到特定的物理量。

测量过程会导致波函数的坍缩，从而使得粒子的状态变为测量得到的特定值。

这一解释与量子力学的测量原理密切相关。

需要注意的是，波函数的统计解释并不是完美的，它依赖于量子力学中的一些基本假设和数学工具。

例如，波函数的坍缩是一个不可逆的过程，且测量结果具有一定的不确定性。

波函数的统计解释只能给出概率分布等统计规律，而无法提供关于单个粒子行为的具体预测。

总而言之，波函数的统计解释通过描述波函数的数学属性，从而预测大量粒子的行为。

它包括概率解释、叠加解释、线性解释、统计解释和状态解释等多个方面，为我们理解量子力学中的粒子行为提供了重要的物理和数学工具。

1-波函数的统计解释与薛定鄂方程

专题1−波函数的统计诠释在量子力学中，我们用波函数),(t x ψ来描述一个微观粒子的状态，从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。

如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。

波恩的统计诠释：{}2.(,)baa b x t dx t ψ=⎰在时刻发现粒子处于和之间的几率也就是说，ψψ=ψ*2),(t x 是几率密度，它给出在t 时刻粒子处于x 处单位体积内的几率。

由于波函数的诠释，物理上的波函数必须是归一化1),(2=ψ⎰∞∞-dx t x（或者说是可归一化的，dx t x ⎰∞∞-ψ2),( 积分为有限值）由波函数的统计诠释，波函需要满足标准条件：有限性（不排除在个别点上，ψ和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。

）；单值性（ψ应该是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的几率密度在时刻t，坐标x有唯一确定值）；连续性（由于几率密度应当连续，波函数和它的微商也必须连续，不排除微商在势能为无限大处不连续）。

由波函数的统计解释，对处于ψ态的一个粒子，对其坐标多次测量的平均值（期待值）是期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。

.测量引起波函数的坍塌存在两类完全不同的物理过程:“正常”类，波函数按薛定鄂方程“从容不迫”的演化，“测量”类，由于测量，波函数突然和不连续的坍塌。

对于坐标这个力学量，由波函数我们可以得出它的信息(几率密度、期待值)，那么其他力学量呢？力学量的期待值当粒子处于态),(t x ψ时，对于一个力学量，如果我们还想知道测量这个力学量可以得到那些特定值，得到某个特定值的几率是多少，那么该如何做？波函数的统计解释（广义统计解释）给出。

首先，我们需要知道这个力学量的本征函数。

,n n n F Φ=Φ∧λ ,...3,2,1=n 分立谱本征函数满足正交归一条件（分立谱）nm n mdx δ=ΦΦ⎰∞∞-*将体系的状态波函数ψ用算苻ˆF的本征函数nΦ展开nnncΦ=ψ∑则在ψ态中测量力学量ˆF得到结果为nλ的几率是2n c，在测量后波函数坍塌为nΦ。

薛定谔方程

薛定谔方程第一章薛定谔方程§1.1.波函数及其物理意义1. 波函数：用波函数描述微观客体的运动状态。

例：一维自由粒子的波函数推广：三维自由粒子波函数2. 波函数的强度——模的平方3. 波函数的统计解释用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。

t 时刻，出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。

t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的概率。

t 时刻，粒子在空间分布的概率密度4、波函数的归一化条件和标准条件归一化条件粒子在整个空间出现的概率为1标准条件：一般情况下，有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。

对微观客体的数学描述：脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾§1.2. 薛定谔方程是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。

1. 建立（简单→复杂，特殊→一般）一维自由粒子的振幅方程非相对论考虑2. 一维定态薛定谔方程2|),,,(|t z y x ψ1d d d d d ||2===⋅=ψ⎰⎰⎰N N N N V V N N V V V .是单值、有限、连续的ψ0)(2d )(d 222=ψ+ψx mE x x0)()(2d )(d 222=ψ-+ψx U E m x x3. 三维定态薛定谔方程4. 一般形式薛定谔方程5. 多粒子体系的薛定谔方程讨论：1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U 中粒子状态随时间的变化规律。

2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。

薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。

3、薛定谔方程是线性方程。

是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。

4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。

5、薛定谔方程是非相对论的方程。

量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。

薛定谔方程1波函数的统计解释

量子力学 第1章-1-2(第3讲)

波函数与薛定谔方程

波函数和薛定谔方程

波函数和薛定谔方程

波函数与薛定谔方程

量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程

量子力学第二章 波函数和薛定谔方程

大学物理(下册) 14.6 波函数 薛定谔方程

波函数及薛定谔方程

波函数薛定谔方程

量子物理基础 15.6 波函数 一维定态薛定谔方程

波函数及薛定谔方程

波函数及其统计解释

第二章 波函数和 Schrodinger 方程

波函数的统计解释

1-波函数的统计解释与薛定鄂方程

薛定谔方程

量子力学第1章-1-2(第3讲)

量子力学第二章波函数和薛定谔方程

量子力学第二章波函数和薛定谔方程

大学物理(下册) 14.6 波函数薛定谔方程

量子物理基础 15.6 波函数一维定态薛定谔方程

第二章波函数和 Schrodinger 方程