因式分解法解一元二次方程典型例题
一元二次方程四种解法例题
一元二次方程四种解法例题一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。
下面是四种解法例题：1. 解法一：使用因式分解法例题：解方程x^2 - 5x + 6 = 0解答：首先，观察方程中的系数 a、b、c，可以发现 a = 1，b = -5，c = 6。
根据因式分解法，我们需要找到两个数的乘积等于 c，且两个数的和等于 b。
在本例中，c = 6，因此我们需要找到两个数的乘积等于 6。
观察可知，3 和 2 的乘积等于 6，且它们的和等于 -5。
因此，我们可以将方程进行因式分解：(x - 3)(x - 2) = 0根据零乘法，当一个乘积等于 0 时，至少有一个因子等于 0。
因此，我们可以得到以下两个方程：x - 3 = 0 或 x - 2 = 0解上述两个方程，得到：x = 3 或 x = 2所以，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为 x = 3 或 x = 2。
2. 解法二：使用求根公式例题：解方程2x^2 - 3x - 2 = 0解答：根据求根公式，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在本例中，a = 2，b = -3，c = -2。
将这些值代入求根公式，我们可以得到：x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4*2*(-2))) / (2*2)= (3 ± √(9 + 16)) / 4= (3 ± √25) / 4= (3 ± 5) / 4因此，我们得到两个解：x1 = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2x2 = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -1/2所以，方程2x^2 - 3x - 2 = 0的解为 x = 2 或 x = -1/2。
3. 解法三：使用配方法例题：解方程x^2 + 4x - 5 = 0解答：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用配方法来求解。
因式分解法解一元二次方程典型例题
典型例题一例 用因式分解法解以下方程：(1) y2＋y ＋ ＝ ；(2) t (2 t － 1) ＝ 3(2 t － 1) ； (3)(2 x － 1)( x － 1) ＝ ．7 6 0 1解：（1）方程可变形为 ( y ＋ 1)( y ＋ 6) ＝0y ＋1＝0 或 y ＋6＝0 ∴y 1＝－ 1， y 2 ＝－ 6(2) 方程可变形为 t (2 t －1) － 3(2 t － 1) ＝0 (2 t －1)( t －3) ＝ 0， 2t －1＝0 或 t －3＝01∴t 1＝ ，t 2＝3．(3) 方程可变形为 2x 2 －3x ＝ 0 x(2 x －3) ＝ 0，x ＝0 或 2x － 3＝ 0∴ x 1＝ 0，x 2 ＝ 32说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，假如左侧的代数式能够分解为两个一次因式的乘积， 而右侧为零时， 则可令每一个一次因式为零， 获得两个一元一次方程， 解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2) 应用因式分解法解形如 ( x － a)( x － b) ＝c 的方程，其左侧是两个一次因式之积，但右侧不是零，所以应转变为形如 ( x － e)( x － f ) ＝0 的形式，这时才有x 1＝ e ， x 2 ＝f ，不然会产生错误，如 (3) 可能产生以下的错解：原方程变形为： 2x － 1＝ 1 或 x －1＝1．∴ x 1＝ 1， x 2 ＝2．(3)在方程 (2)中，为何方程两边不可以同除以 (2t － 1)，请同学们思虑典型例题二例 用因式分解法解以下方程6x 2 3 3x 2 2x6解：把方程左侧因式分解为：( 2x3)(3x 2)0 ∴ 2x 3 0 或 3x 2 0∴ x 13 2 , x 232说明 : 对于无理数系数的一元二次方程， 若左侧可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
典型例题三例 用因式分解法解以下方程。
因式分解法解一元二次方程(含答案)
因式分解法解一元二次方程一．解答题（共11小题）1．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0；（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0．2．解方程：（1）（x﹣3）2﹣16＝0；（2）x2+2x﹣3＝0．3．解下列方程：（1）x2﹣4x＝0；（2）x（x﹣2）＝x﹣2．4．解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6．5．解一元二次方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2+2x﹣3＝0．6．解下列方程：（1）x2﹣3x＝0（2）x2+4x﹣5＝07．请用适当的方法解下列方程：（1）4x﹣2＝2x2；（2）（x+1）2+2＝3（x+1）．8．用适当的方法解下列方程：（1）2x2+5x＝7．（2）x2+8x+15＝0．9．解方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0；（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0．10．用适当的方法解方程：（1）x2＝7x；（2）x2+4x﹣5＝0．11．阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0．解得：x1＝2，x2＝﹣1∵x≥0，故x＝﹣1舍去，∴x＝2是原方程的解；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0．解得：x1＝﹣2，x2＝1∵x＜0，故x＝1舍去，∴x＝﹣2是原方程的解；综上所述，原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2．解方程x2+2|x+2|﹣4＝0．参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0；（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0．【分析】（1）利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程；（2）利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程．【解答】（1）∵x2﹣2x﹣15＝0，∴（x﹣5）（x+3）＝0，∴x﹣5＝0或x+3＝0，∴x1＝5，x2＝﹣3；（2）∵（x+4）2﹣5（x+4）＝0，∴（x+4）（x+4﹣5）＝0，∴x+4＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．2．解方程：（1）（x﹣3）2﹣16＝0；（2）x2+2x﹣3＝0．【分析】（1）先移项得到（x﹣3）2＝16，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝16，x﹣3＝±4，所以x1＝7，x2＝﹣1；（2）x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣3，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．3．解下列方程：（1）x2﹣4x＝0；（2）x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】（1）将等号左边提公因式，用因式分解法即可求出方程的解；（2）移项将等号右边化为0，左边因式分解，再用因式分解法求出方程的解．【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝0，∴（x﹣4）＝0，∴x＝0或x﹣4＝0，∴x1＝0，x2＝4；（2）∵x（x﹣2）＝x﹣2，∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，∴x1＝2，x2＝1．【点评】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．4．解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6．【分析】（1）将方程变形后用直接开平方法可求出方程的解；（2）将方程变形，右边化为0，左边分解因式，即可把原方程化为两个一元一次方程，从而求出原方程的解．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝5．【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．5．解一元二次方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2+2x﹣3＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】（1）解：（x﹣2）2＝9，x﹣2＝±3，x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，∴x1＝5，x2＝﹣1．（2）解：x2+2x﹣3＝0，∴（x﹣1）（x+3）＝0，则x﹣1＝0或x+3＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．解下列方程：（1）x2﹣3x＝0（2）x2+4x﹣5＝0【分析】（1）利用因式分解法把原方程化为x＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可；（2）利用因式分解法把原方程化为x+5＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝3；（2）（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣5，x2＝1..【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．7．请用适当的方法解下列方程：（1）4x﹣2＝2x2；（2）（x+1）2+2＝3（x+1）．【分析】（1）先化成一般式，再因式分解即可；（2）把x+1看成一个整体，利用因式分解法解即可．【解答】解：（1）原方程化为x2﹣2x+1＝0；∴（x﹣1）2＝0，∴x﹣1＝0或x﹣1＝0，∴x1＝x2＝1；（2）移项得（x+1）2﹣3（x+1）+2＝0，因式分解得（x+1﹣1）（x+1﹣2）＝0，∴x+1﹣1＝0或x+1﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了直接开平方法解一元二次方程．8．用适当的方法解下列方程：（1）2x2+5x＝7．（2）x2+8x+15＝0．【分析】（1）利用十字相乘法因式分解，解出x的值即可；（2）利用十字相乘法因式分解，解出x的值即可．【解答】解：（1）2x2+5x＝7，因式分解得，（2x+7）（x﹣1）＝0，所以x1＝﹣，x2＝1；（2）x2+8x+15＝0，因式分解得（x+3）（x+5）＝0，所以x1＝﹣3，x2＝﹣5．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．9．解方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0；（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0，（x﹣5）（x+3）＝0，x﹣5＝0或x+3＝0，x1＝5，x2＝﹣3；（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，（x+4）（x﹣1）＝0，x+4＝0或x﹣1＝0，x1＝﹣4，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．10．用适当的方法解方程：（1）x2＝7x；（2）x2+4x﹣5＝0．【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵x2＝7x，∴x2﹣7x＝0，∴x（x﹣7）＝0，则x＝0或x﹣7＝0，解得x1＝0，x2＝7；（2）∵x2+4x﹣5＝0，∴（x+5）（x﹣1）＝0，则x+5＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．11．阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0．解得：x1＝2，x2＝﹣1∵x≥0，故x＝﹣1舍去，∴x＝2是原方程的解；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0．解得：x1＝﹣2，x2＝1∵x＜0，故x＝1舍去，∴x＝﹣2是原方程的解；综上所述，原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2．解方程x2+2|x+2|﹣4＝0．【分析】分x+2大于等于0与小于0两种情况，利用绝对值的代数意义化简所求方程，求出解即可．【解答】解：当x+2≥0，即x≥﹣2时，方程变形得：x2+2x＝0，即x（x+2）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2；当x+2＜0，即x＜﹣2时，方程变形得：x2﹣2x﹣8＝0，即（x﹣4）（x+2）＝0，解得：x1＝4（不合题意，舍去），x2＝﹣2（不合题意，舍去），综上，原方程的解为x＝0或x＝﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．。
因式分解解一元二次方程136题（有答案）ok
分解因式法解一元二次方程专项练习136题（有答案）题（有答案）1．3（x ﹣2）2﹣x （x ﹣2）=0=0，，2．3x 3x（（x+2x+2））=5=5（（x+2x+2））3．2x 2﹣8x=04.4. x 2﹣3x 3x﹣﹣4=04=0．．5．x 2﹣2x 2x﹣﹣3=03=0．．6．x （x ﹣3）﹣）﹣44（3﹣x ）=0=0，，7. 3（x ﹣2）2=x =x（（x ﹣2）；8. 2x 2﹣5x 5x﹣﹣3=09. （3x 3x﹣﹣1）2=（x+1x+1））210. x （x ﹣6）=2=2（（x ﹣8）1111．．4+44+4（（1+x 1+x））+4+4（（1+x 1+x））2=191212．．x 2﹣4x 4x﹣﹣5=013. 13. 33（5﹣x ）2=2=2（（5﹣x ）14.14.（（x ﹣3）2=2=2（（3﹣x ）．1515．．2x 2+x +x﹣﹣6=06=0．．1616．．2x 2﹣x ﹣1=01=0；；17. 3x （x ﹣1）=2=2（（x ﹣1）2．1818．．x （x ﹣5）+4x=01919．． x 2﹣2x=02020．．（x ﹣3）2+2x +2x（（x ﹣3）=0=0；；2121．．x 2﹣3x=03x=0；；2222．．（x ﹣2）2=（2x+32x+3））22323．．3x 2﹣11x 11x﹣﹣4=04=0．．2424．．2x 2x（（x ﹣1）﹣）﹣x+1=0 x+1=025. 2x 2+x +x﹣﹣3=02626．．x 2﹣2x 2x﹣﹣15=015=0；；27. 2x （x ﹣3）+x=3+x=3．．28. x （x ﹣3）=15=15﹣﹣5x 5x；；2929．．（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）=03030．．x （x ﹣2）﹣）﹣x+2=0x+2=0x+2=0；；31. 2x 2﹣3x 3x﹣﹣5=05=0．．32.32.．．4x 2﹣x ﹣1=3x 1=3x﹣﹣2， 33.34.34.（（x ﹣3）2﹣2（x ﹣1）=x =x﹣﹣7． 35. 3x （x ﹣2）﹣）﹣22（x ﹣2）=036. 3x 2﹣x ﹣2=02=0；；37. （x ﹣6）2﹣（﹣（33﹣2x 2x））2=0=0．．3838．．（x ﹣3）2=5=5（（3﹣x ）（x ﹣3）2=5=5（（3﹣x ）3939．．（2x+12x+1））2=2=2（（2x+12x+1））4040．．（3x 3x﹣﹣1）（x ﹣1）=（4x+14x+1））（x ﹣1）．4141．．x 2﹣x ﹣6=06=0，，4242．．x 2﹣8（x+6x+6））=04343．．2x 2﹣6x=06x=0．．4444．．（x ﹣3）（x+1x+1））=54545．．2x 2﹣8x=08x=0；；4646．．x 2+2x +2x﹣﹣15=047. 2x 2﹣5x 5x﹣﹣7=048. 2y （y ﹣3）=4=4（（y ﹣3）49. x 2﹣7x 7x﹣﹣18=050. 3x 2+8x +8x﹣﹣3=05151．． 2x （x ﹣3）=9=9﹣﹣3x5252．．x 2﹣4x=553. ﹣8x 2+10x=05454．．3x 2+4x +4x﹣﹣7=07=0，，55. 3x 2﹣5x+2=056. 2（x ﹣3）2=x 2﹣3x5757．．x 2=3x =3x；； 58. （3x 3x﹣﹣2）2=（2x 2x﹣﹣3）259. （y ﹣2）2+2y +2y（（y ﹣2）=060.2y 60.2y（（y+2y+2））=y+2=y+2．．61. 5x 2+3x=062. （3x 3x﹣﹣2）2=（2x 2x﹣﹣3）263. x （x ﹣3）=5=5（（x ﹣3）；64. （2x+32x+3））2﹣5（2x+32x+3））+4=0+4=0．．65. （2x 2x﹣﹣7）2﹣5（2x 2x﹣﹣7）+4=066. （3x 3x﹣﹣1）2=x 2+6x+967.67.（（2x+22x+2））2=3=3（（2x+22x+2））（x ﹣1）68.68.（（x+7x+7））（x ﹣3）+4x +4x（（x+1x+1））=069.2x 69.2x（（x+3x+3）﹣）﹣）﹣33（x+3x+3））=070. x ﹣2=x 2=x（（x ﹣2）71. x 2+8x +8x﹣﹣9=07272．．x （2x 2x﹣﹣5）=4x =4x﹣﹣1010．．7373．（．（．（2x 2x 2x﹣﹣5）2﹣（﹣（x+4x+4x+4））2=07474．．2（x ﹣1）2=x 2﹣1 75.76. 4x （2x 2x﹣﹣1）=3=3（（2x 2x﹣﹣1）；77. 2x 2+x +x﹣﹣1=01=0．．78. （3x 3x﹣﹣2）（x+4x+4））=（3x 3x﹣﹣2）（5x 5x﹣﹣1）； 79. （x+1x+1））（x+3x+3））=15=15．．80.x 2﹣5x 5x﹣﹣6=081. x 2﹣2x=9982. （x ﹣3）2﹣4x+12=083. 4（x+1x+1））2=9=9（（x ﹣2）284. x 2=2x85. （x+4x+4））2=5=5（（x+4x+4））87. 16（x ﹣1）2=22588. 4x 2﹣4x+1=x 2﹣6x+989. 9（x+1x+1））2=4=4（（x ﹣1）2（4）x 2﹣4x+4=4x+4=（（3﹣2x 2x））290. （x ﹣2）2=（3﹣2x 2x））2．91. （x+2x+2））2﹣1010（（x+2x+2））+25=09292．．x 2﹣2（p ﹣q ）x ﹣4pq=04pq=0．．9393．．x 2+10x+21=0+10x+21=0，，9494．．2（x ﹣2）2=3=3（（x ﹣2）95. 3（x ﹣5）2=2=2（（5﹣x ）， 96. ，97. 5x 2﹣4x 4x﹣﹣12=012=0，， 98. （x ﹣）=5x =5x（（﹣x ），9999．．9（x ﹣2）2﹣4（x+1x+1））2=0=0．． 100100．．．101101．．（2）x 2﹣8x+15=08x+15=0；； 103. 6x 2﹣x ﹣12=012=0．．104. 2x 2﹣x ﹣6=0105. ﹣x 2+6x +6x﹣﹣5=0106. （x ﹣5）2=（2x 2x﹣﹣1）（5﹣x ）107. （x+1x+1））（x+2x+2））=3x+6=3x+6．．108. x 2﹣9=09=0，，109. x 2+3x +3x﹣﹣4=04=0，，110. x 2﹣3x+2=03x+2=0，，111. 4（3x 3x﹣﹣1）2 =25=25（（2x+12x+1））2．112. （3x+53x+5））2﹣4（3x+53x+5））+3=0113. （3x+23x+2））（x+3x+3））=x+14114. 3（x+1x+1））2=（x+1x+1））115.115.（（x ﹣2）2﹣4=0116.116.（（x ﹣3）2+2x +2x（（x ﹣3）=0117.117.（（3x 3x﹣﹣1）2=（x+1x+1））2118.118.（（x+5x+5））2﹣2（x+5x+5）﹣）﹣）﹣8=08=08=0．．119. x 2﹣8x=9120. （x ﹣2）2=（2x+32x+3））2．121. x 2﹣3=33=3（（x+1x+1））；122. （y ﹣3）2+3+3（（y ﹣3）+2=0123. 7x （5x+25x+2））=6=6（（5x+25x+2））124124．．（3）6（x+4x+4））2﹣（﹣（x+4x+4x+4）﹣）﹣）﹣2=0 2=0 125. x 2﹣（﹣（3m 3m 3m﹣﹣1）x+2m 2﹣m=0m=0，，126126．．x 2﹣2x 2x﹣﹣224=0224=0．．127.127.．．128128．．5x 5x（（x ﹣3）﹣（）﹣（x x ﹣3）（x+1x+1））=0=0．．129129．．x 2﹣11x+28=0130. 4y 2﹣25=025=0；；131.131.（（2x+32x+3））2﹣36=036=0；；132. x 2﹣3x+2=03x+2=0；；133. 2t 2﹣7t 7t﹣﹣4=04=0；；134. 5y （y ﹣1）=2=2（（y ﹣1）135. x 2+（1+2）x+3+=0=0；；136.136.（（x ﹣3）2+（x+4x+4））2﹣（﹣（x x ﹣5）2=17x+24=17x+24．．137.x 2﹣3|x|3|x|﹣﹣4=0参考答案：1．3（x ﹣2）2﹣x （x ﹣2）=0=0，， （x ﹣2）（3x 3x﹣﹣6﹣x ）=0=0，， x ﹣2=0或2x 2x﹣﹣6=06=0，， 解得：解得：x x 1=2=2，，x 2=3=3；； 2．3x 3x（（x+2x+2））=5=5（（x+2x+2））原方程可化为3x 3x（（x+2x+2）﹣）﹣）﹣55（x+2x+2））=0=0，， （3x 3x﹣﹣5）（x+2x+2））=0=0，， 解得x 1=﹣2，3．2x 2﹣8x=0因式分解，得因式分解，得2x 2x（（x ﹣4）=0=0，， 于是得，于是得，于是得，2x=02x=0或x ﹣4=04=0，， 即x 1=0=0，，x 2=4=4．．4. x 2﹣3x 3x﹣﹣4=04=0．．因式分解，得（因式分解，得（x x ﹣4）（x+1x+1））=0=0，， 于是得，于是得，x x ﹣4=0或x+1=0x+1=0，， 解得：解得：x x 1=4=4，，x 2=﹣15．x 2﹣2x 2x﹣﹣3=03=0．．原方程可以变形为（原方程可以变形为（x x ﹣3）（x+1x+1））=0 x ﹣3=03=0，，x+1=0 ∴x 1=3=3，，x 2=﹣1．6．x （x ﹣3）﹣）﹣44（3﹣x ）=0=0，， （x ﹣3）（x+4x+4））=0=0，， x ﹣3=0或x+4=0x+4=0，， 解得：解得：x x 1=3=3，，x 2=﹣4；7. 3（x ﹣2）2=x =x（（x ﹣2）； 整理得3（x ﹣2）2﹣x （x ﹣2）=0 即（即（x x ﹣2）（x ﹣3）=0 x 1=2=2，，x 2=3 8. 2x 2﹣5x 5x﹣﹣3=0 9. （3x 3x﹣﹣1）2=（x+1x+1））2原方程可化为：（3x 3x﹣﹣1）2﹣（﹣（x+1x+1x+1））2=0=0，， （3x 3x﹣﹣1+x+11+x+1））（3x 3x﹣﹣1﹣x ﹣1）=0=0，， ∴4x=0或2x 2x﹣﹣2=02=0，， 解得：解得：x x 1=0=0，，x 2=1=1；；10. x （x ﹣6）=2=2（（x ﹣8）x 2﹣6x=2x 6x=2x﹣﹣16x 2﹣8x+16=0（x ﹣4）2=0 x 1=x 2=4 =41111．．4+44+4（（1+x 1+x））+4+4（（1+x 1+x））2=19原式可变为4（1+x 1+x））2+4+4（（1+x 1+x）﹣）﹣）﹣15=0 15=0 [2[2（（1+x 1+x）﹣）﹣）﹣3][23][23][2（（1+x 1+x））+5]=0 x 1=，x 2=﹣1212．．x 2﹣4x 4x﹣﹣5=0 （x ﹣5）（x+1x+1））=0 x ﹣5=0或x+1=0 x 1=5=5，，x 2=﹣1 13. 13. 33（5﹣x ）2=2=2（（5﹣x ） 原方程可变形为：原方程可变形为：3（5﹣x ）2﹣2（5﹣x ）=0 （5﹣x ）[3[3（（5﹣x ）﹣）﹣2]=0 2]=0 （5﹣x ）（1313﹣﹣3x 3x））=0 则x 1=5=5，，x 2=14.14.（（x ﹣3）2=2=2（（3﹣x ）． 原式可变为原式可变为原式可变为 （x ﹣3）2﹣2（3﹣x ）=0 （x ﹣3）（x ﹣1）=0 x 1=3=3，，x 2=1（x+2x+2））（2x 2x﹣﹣3）=0 x+2=0或2x 2x﹣﹣3=0 ∴x 1=﹣2，x 2=．1616．．2x 2﹣x ﹣1=01=0；；原方程可化为：原方程可化为：（x ﹣1）（2x+12x+1））=0=0，， x ﹣1=0或2x+1=02x+1=0，， 解得：解得：解得：x x 1=1=1，，x 2=﹣． 17. 3x （x ﹣1）=2=2（（x ﹣1）2．原方程可化为：原方程可化为：3x 3x 3x（（x ﹣1）﹣）﹣22（x ﹣1）2=0=0，， （x ﹣1）（3x 3x﹣﹣2x+22x+2））=0=0，， x ﹣1=0或x+2=0x+2=0，， 解得：解得：x x 1=1=1，，x 2=﹣21818．．x （x ﹣5）+4x=0 即x （x ﹣5+45+4））=0 x （x ﹣1）=0 ∴x 1=0=0，，x 2=11919．． x 2﹣2x=0 x （x ﹣2）=0 ∴x=0或x ﹣2=0 ∴x 1=0=0，，x 2=2=2．．2020．．（x ﹣3）2+2x +2x（（x ﹣3）=0=0；；原方程可化为：（x ﹣3）（x ﹣3+2x 3+2x））=0 （x ﹣3）（x ﹣1）=0 x 1=3=3，，x 2=1=1．． 2121．．x 2﹣3x=03x=0；； x （x ﹣3）=0 ∴x 1=0=0，，x 2=3 =32222．．（x ﹣2）2=（2x+32x+3））2（x ﹣2）2=（2x+32x+3））2 即（即（x x ﹣2）2﹣（﹣（2x+32x+32x+3））2=0（3x+13x+1））（x+5x+5））=0 x 1=﹣5，x 2=2323．．3x 2﹣11x 11x﹣﹣4=04=0．． 把方程3x 2﹣11x 11x﹣﹣4=0 即（即（x x ﹣4）（3x+13x+1））=0=0，， 解得x 1=4=4，，x 2=．∴（∴（x x ﹣1）（2x 2x﹣﹣1）=0 ∴x ﹣1=0或2x 2x﹣﹣1=0 解得x 1=1=1，，x 2=； 25. 2x 2+x +x﹣﹣3=0原方程变形为：原方程变形为：（x ﹣1）（2x+32x+3））=0 ∴x 1=1=1，，x 2=2626．．x 2﹣2x 2x﹣﹣15=015=0；；原式可化为：原式可化为：原式可化为： （x ﹣5）（x+3x+3））=0 得x 1=5=5，，x 2=﹣327. 2x （x ﹣3）+x=3+x=3．．原式可化为：（x ﹣3）（2x+12x+1））=0 得，x 2=328. x （x ﹣3）=15=15﹣﹣5x 5x；；x （x ﹣3）=﹣5（x ﹣3）（x ﹣3）（x+5x+5））=0 x 1=3=3，，x 2=﹣52929．．（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）=0 （x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）=0=0，， （x ﹣1）（x ﹣1﹣2）=0=0，， ∴x ﹣1=0或x ﹣3=03=0，， ∴x 1=1=1，，x 2=33030．．x （x ﹣2）﹣）﹣x+2=0x+2=0x+2=0；；原方程可化为：原方程可化为：x x （x ﹣2）﹣（）﹣（x x ﹣2）=0=0，， （x ﹣2）（x ﹣1）=0=0，， 解得：解得：x x 1=2=2，，x 2=1=1；；31. 2x 2﹣3x 3x﹣﹣5=05=0．．原方程可化为：（2x 2x﹣﹣5）（x+1x+1））=0=0，， 2x 2x﹣﹣5=0或x+1=0x+1=0，， 解得：解得：x x 1=，x 2=﹣1 32.32.．∵．∵．∵4x 4x 2﹣x ﹣1=3x 1=3x﹣﹣2，∴4x 2﹣4x+1=0 即（即（2x 2x 2x﹣﹣1）2=0=0，， 解得33.33.解：解：34.34.（（x ﹣3）2﹣2（x ﹣1）=x =x﹣﹣7．移项，合并同类项得，移项，合并同类项得，（x ﹣3）2﹣3x+9=03x+9=0，， 即，（x ﹣3）2﹣3（x ﹣3）=0=0，， 因式分解得，（x ﹣3﹣3）（x ﹣3）=0 则x ﹣3=0或（或（x x ﹣6）=0=0，， 解得，解得，x x 1=3=3，，x 2=6=6．． 35. 3x （x ﹣2）﹣）﹣22（x ﹣2）=0 （x ﹣2）（3x 3x﹣﹣2）=0 x 1=2=2，，x 2=； 36. 3x 2﹣x ﹣2=02=0；； 原方程变形得，原方程变形得， （3x+23x+2））（x ﹣1）=0 ∴，x 2=1=1；；37. （x ﹣6）2﹣（﹣（33﹣2x 2x））2=0=0．． 原方程变形得，原方程变形得，（x ﹣6+36+3﹣﹣2x 2x））（x ﹣6﹣3+2x 3+2x））=0 （x+3x+3））（3x 3x﹣﹣9）=0∴x 1=3=3，，x 2=﹣33838．．（x ﹣3）2=5=5（（3﹣x ）（x ﹣3）2=5=5（（3﹣x ） （x ﹣3）2+5+5（（x ﹣3）=0 （x ﹣3）（x+2x+2））=0 ∴x 1=3=3，，x 2=﹣2．3939．．（2x+12x+1））2=2=2（（2x+12x+1））原方程可化为：（2x+12x+1））2﹣2（2x+12x+1））=0=0，， （2x+12x+1））（2x+12x+1﹣﹣2）=0=0，， （2x+12x+1））（2x 2x﹣﹣1）=0=0，， 解得：解得：x x 1=﹣，x2=．4040．．（3x 3x﹣﹣1）（x ﹣1）=（4x+14x+1））（x ﹣1）． （3x 3x﹣﹣1）（x ﹣1）﹣（）﹣（4x+14x+14x+1））（x ﹣1）=0=0，， （x ﹣1）[（3x 3x﹣﹣1）﹣（）﹣（4x+14x+14x+1））]=0]=0，， （x ﹣1）（x+2x+2））=0=0，， ∴x 1=1=1，，x 2=﹣2．4141．∵．∵．∵x x 2﹣x ﹣6=06=0，， ∴（∴（x+2x+2x+2））（x ﹣3）=0=0，， ∴x+2=0或x ﹣3=03=0，， 解得x 1=3=3，，x 2=﹣2．4242．．x 2﹣8（x+6x+6））=04343．．2x 2﹣6x=06x=0．．原方程变形为2x 2x（（x ﹣3）=0 ∴2x=0或x ﹣3=0 ∴x 1=0=0，，x 2=34444．．（x ﹣3）（x+1x+1））=5 x 2﹣2x 2x﹣﹣8=08=0，， （x ﹣4）（x+2x+2））=0∴x 1=4=4，，x 2=﹣2．4545．．2x 2﹣8x=08x=0；；因式分解，得2x 2x（（x ﹣4）=0=0，， 2x=0或x ﹣4=04=0，， 解得，解得，x=0x=0或x=4x=4；；4646．．x 2+2x +2x﹣﹣15=0 （x+5x+5））（x ﹣3）=0 x+5=0或x ﹣3=0 ∴x 1=﹣5，x 2=3=3；；47. 2x 2﹣5x 5x﹣﹣7=0因式分解得（因式分解得（x+1x+1x+1））（2x 2x﹣﹣7）=0 解得：，x 2=﹣1；48. 2y （y ﹣3）=4=4（（y ﹣3） 2y 2y（（y ﹣3）﹣）﹣44（y ﹣3）=0 （y ﹣3）（2y 2y﹣﹣4）=0=0（（2分）分） ∴y 1=3=3，，y 2=249. x 2﹣7x 7x﹣﹣18=0 解：（x ﹣9）（x+2x+2））=0 x ﹣9=0或x+2=0 ∴x 1=9=9，，x 2=﹣250. 3x 2+8x +8x﹣﹣3=0解：方程可以化为（解：方程可以化为（x+3x+3x+3））（3x 3x﹣﹣1）=0 ∴x+3=0或3x 3x﹣﹣1=0 即x 1=﹣3，x 2=．5151．． 2x （x ﹣3）=9=9﹣﹣3x 2x 2x（（x ﹣3）﹣（）﹣（99﹣3x 3x））=0 2x 2x（（x ﹣3）+3+3（（x ﹣3）=0 （x ﹣3）（2x+32x+3））=0 x 1=3=3，，x 2=﹣x 2﹣4x 4x﹣﹣5=0 （x ﹣5）（x+1x+1））=0 ∴x ﹣5=05=0，，x+1=0∴原方程的解为：∴原方程的解为：x x 1=5=5，，x 2=﹣1．53. ﹣8x 2+10x=0 x （1010﹣﹣8x 8x））=0 ∴x 1=0=0，，x 2= 5454．．3x 2+4x +4x﹣﹣7=07=0，， （x ﹣1）（3x+73x+7））=0=0，， x ﹣1=0或3x+7=03x+7=0，， 解得：55. 3x 2﹣5x+2=0原式变形为：（3x 3x﹣﹣2）（x ﹣1）=0 ∴x 1=1=1，，x 2=56. 2（x ﹣3）2=x 2﹣3x 原方程变形为：原方程变形为：原方程变形为： 2（x ﹣3）2=x =x（（x ﹣3） （x ﹣3）[2[2（（x ﹣3）﹣）﹣x]=0 x]=0 （x ﹣3）（x ﹣6）=0 ∴x 1=3=3，，x 2=6 5757．．（1）x 2=3x =3x；； 移项得，移项得，x x 2﹣3x=03x=0，， 因式分解得，因式分解得，x x （x ﹣3）=0=0，， 解得，解得，x x 1=0=0，，x 2=3=3；；58. （3x 3x﹣﹣2）2=（2x 2x﹣﹣3）2解：解：3x 3x 3x﹣﹣2=2=±（±（±（2x 2x 2x﹣﹣3）3x ﹣2=2x 2=2x﹣﹣3或3x 3x﹣﹣2=2=﹣（﹣（﹣（2x 2x 2x﹣﹣3） 解得：解得：x x 1=﹣1，x 2=1=1；；59. （y ﹣2）2+2y +2y（（y ﹣2）=0解：（y ﹣2）（y ﹣2+2y 2+2y））=0 解得：解得：y y 1=2=2，，y2=60.60.．．2y 2y（（y+2y+2））=y+2=y+2．．原方程变形为：原方程变形为：2y 2y 2y（（y+2y+2）﹣（）﹣（）﹣（y+2y+2y+2））=0=0，， 即（即（y+2y+2y+2））（2y 2y﹣﹣1）=0=0，， 解得y 1=﹣2，y2=．∴x 1=0=0，，x 2=﹣．62. （3x 3x﹣﹣2）2=（2x 2x﹣﹣3）2（3x 3x﹣﹣2）2﹣（﹣（2x 2x 2x﹣﹣3）2=0=0，， （3x 3x﹣﹣2+2x 2+2x﹣﹣3）（3x 3x﹣﹣2﹣2x+32x+3））=0=0，， 5（x ﹣1）（x+1x+1））=0=0，， 即：即：x x ﹣1=0或x+1=0 ∴x 1=1=1，，x 2=﹣163. x （x ﹣3）=5=5（（x ﹣3）； x （x ﹣3）﹣）﹣55（x ﹣3）=0=0，，（x ﹣3）（x ﹣5）=0=0，， ∴x 1=3=3，，x 2=5=5；；64. （2x+32x+3））2﹣5（2x+32x+3））+4=0+4=0．． （2x+32x+3））2﹣5（2x+32x+3））+4=0 （2x+32x+3﹣﹣4）（2x+32x+3﹣﹣1）=0 （2x 2x﹣﹣1）（x+1x+1））=0=0，， ∴x 1=，x 2=﹣165. （2x 2x﹣﹣7）2﹣5（2x 2x﹣﹣7）+4=0 （2x 2x﹣﹣7﹣4）（2x 2x﹣﹣7﹣1）=0；x 2=466. （3x 3x﹣﹣1）2=x 2+6x+9 （3x 3x﹣﹣1）2﹣（﹣（x x ﹣3）2=0 即（即（2x+12x+12x+1））（x ﹣2）=0 x 1=2=2，，x 2=﹣0.567.67.（（2x+22x+2））2=3=3（（2x+22x+2））（x ﹣1） （2x+22x+2））2﹣3（2x+22x+2））（x ﹣1）=0 即（即（2x+22x+22x+2））【2x+22x+2﹣﹣3（x ﹣1）】=0 ∴（∴（x x ﹣5）（x+1x+1））=0 x 1=﹣1，x 2=568.68.（（x+7x+7））（x ﹣3）+4x +4x（（x+1x+1））=0 化简：（x+7x+7））（x ﹣3）+4x +4x（（x+1x+1））=0 整理得，整理得，5x 5x 2+8x +8x﹣﹣21=021=0，， 因式分解得，因式分解得，（5x 5x﹣﹣7）（x+3x+3））=0=0，， 即5x 5x﹣﹣7=0或x+3=0x+3=0，， 所以x 1=，x 2=﹣3．69.69.．．2x 2x（（x+3x+3）﹣）﹣）﹣33（x+3x+3））=070. x ﹣2=x 2=x（（x ﹣2） 即x ﹣2﹣x （x ﹣2）=0 （x ﹣2）（1﹣x ）=0 x 1=2=2，，x 2=1=1；；71. x 2+8x +8x﹣﹣9=0 （x+9x+9））（x ﹣1）=0 x 1=﹣9，x 2=17272．．x （2x 2x﹣﹣5）=4x =4x﹣﹣1010．． 原方程可变形为：原方程可变形为： x （2x 2x﹣﹣5）﹣）﹣22（2x 2x﹣﹣5）=0=0，， （2x 2x﹣﹣5）（x ﹣2）=0=0，， 2x 2x﹣﹣5=0或x ﹣2=02=0；； 解得x1=，x 2=2=2．．7474．（．（．（2x 2x 2x﹣﹣5）2﹣（﹣（x+4x+4x+4））2=0因式分解，得因式分解，得[（2x 2x﹣﹣5）+（x+4x+4））][][（（2x 2x﹣﹣5）﹣（）﹣（x+4x+4x+4））]=0]=0，， 整理得，（3x 3x﹣﹣1）（x ﹣9）=0 解得，解得，x x 1=，x 2=9=9．．7474．．2（x ﹣1）2=x 2﹣1 原方程即为2（x ﹣1）2﹣（﹣（x x 2﹣1）=0=0，， 2（x ﹣1）2﹣（﹣（x+1x+1x+1））（x ﹣1）=0=0，， （x ﹣1）[2[2（（x ﹣1）﹣（）﹣（x+1x+1x+1））]=0]=0，， （x ﹣1）（x ﹣3）=0=0，， x 1=1=1，，x 2=3=3；； 75.（x ﹣1）（x ﹣+3+3））=0=0，， ∴x 1=1=1，，x 2=-376. 4x （2x 2x﹣﹣1）=3=3（（2x 2x﹣﹣1）； 原方程可化为：原方程可化为：原方程可化为：4x 4x 4x（（2x 2x﹣﹣1）﹣）﹣33（2x 2x﹣﹣1）=0=0，， （2x 2x﹣﹣1）（4x 4x﹣﹣3）=0=0，， 2x ﹣1=0或4x 4x﹣﹣3=03=0，， 解得：，；77. 2x 2+x +x﹣﹣1=01=0．．原方程可化为：（2x 2x﹣﹣1）（x+1x+1））=0=0，， 2x ﹣1=0或x+1=0x+1=0，， 解得：，x 2=﹣1．78. （3x 3x﹣﹣2）（x+4x+4））=（3x 3x﹣﹣2）（5x 5x﹣﹣1）； 解：（3x 3x﹣﹣2）（x+4x+4）﹣（）﹣（）﹣（3x 3x 3x﹣﹣2）（5x 5x﹣﹣1）=0 （3x 3x﹣﹣2）[（x+4x+4）﹣（）﹣（）﹣（5x 5x 5x﹣﹣1）]=0（3x 3x﹣﹣2）（﹣（﹣4x+54x+54x+5））=0 3x 3x﹣﹣2=0或﹣或﹣4x+5=0 4x+5=0；79. （x+1x+1））（x+3x+3））=15=15．． 方程整理得：方程整理得：方程整理得：x x 2+4x +4x﹣﹣12=0 （ x+6）（x ﹣2）=0 x 1=﹣6，x 2=2=2．．80. x 2﹣5x 5x﹣﹣6=0 解：（x ﹣6）（x+1x+1））=0=0，， x ﹣6=0或x+1=0x+1=0，，∴原方程的解是x 1=6=6，，x 2=﹣1． 81. x 2﹣2x=99解：解：（x ﹣1111））（x+9x+9））=0=0，， x ﹣11=0或x+9=0x+9=0，， ∴原方程的解是x 1=11=11，，x 2=﹣9． 82. （x ﹣3）2﹣4x+12=0解：解：（x ﹣3）2﹣4（x ﹣3）=0=0，， （x ﹣7）（x ﹣3）=0=0，，x ﹣3=0或x ﹣7=07=0，， ∴原方程的解是x 1=3=3，，x 2=7=7．． 83. 4（x+1x+1））2=9=9（（x ﹣2）2解：（2x+22x+2））2=（3x 3x﹣﹣6）2， （2x+2+3x 2x+2+3x﹣﹣6）（2x+22x+2﹣﹣3x+63x+6））=0=0，， 即：（5x 5x﹣﹣4）（8﹣x ）=0=0，， x=8或x=，∴原方程的解是84. x 2=2x移项，得x 2﹣2x=02x=0，， 因式分解，得x （x ﹣2）=0=0，， 所以x=0或x=2x=2．．85. （x+4x+4））2=5=5（（x+4x+4））移项，得，移项，得，（x+4x+4））2﹣5（x+4x+4））=0=0，， 因式分解得，（x+4x+4））[（x+4x+4）﹣）﹣）﹣5]=05]=05]=0，， x+4=0或x ﹣1=01=0，， 解得，解得，解得，x x 1=﹣4，x 2=187. 16（x ﹣1）2=225 16（x ﹣1）2﹣152=0=0，，所以所以[4[4[4（（x ﹣1）+15][4+15][4（（x ﹣1）﹣）﹣15]=015]=015]=0，， 即4x+11=04x+11=0，，4x 4x﹣﹣19=019=0，， 得x 1=﹣，x 2=．88. 4x 2﹣4x+1=x 2﹣6x+9方程变为（方程变为（2x 2x 2x﹣﹣1）2﹣（﹣（x x ﹣3）2=0=0，，所以所以[[（2x 2x﹣﹣1）+（x ﹣3）][][（（2x 2x﹣﹣1）﹣（）﹣（x x ﹣3）]=0]=0，， 即3x 3x﹣﹣4=04=0，，x+2=0x+2=0，， 得x 1=，x 2=﹣2．89. 9（x+1x+1））2=4=4（（x ﹣1）2（4）x 2﹣4x+4=4x+4=（（3﹣2x 2x））2原方程变为原方程变为[3[3[3（（x+1x+1））]2﹣[2[2（（x ﹣1）]2=0=0，，所以所以[3[3[3（（x+1x+1））+2+2（（x ﹣1）][3][3（（x+1x+1）﹣）﹣）﹣22（x ﹣1）]=0]=0，， 即（即（5x+15x+15x+1））（x+5x+5））=0=0，， 得x 1=﹣，x 2=﹣5．90. （x ﹣2）2=（3﹣2x 2x））2． （x ﹣2）2﹣（﹣（33﹣2x 2x））2=0=0，， （x ﹣2+32+3﹣﹣2x 2x））（x ﹣2﹣3+2x 3+2x））=0=0，， （1﹣x ）（3x 3x﹣﹣5）=0=0，， 所以x 1=1=1，，x 2=91. （x+2x+2））2﹣1010（（x+2x+2））+25=0 因式分解得，因式分解得，因式分解得，[[（x+2x+2）﹣）﹣）﹣5]5]2=0=0，， 解得，解得，x x 1=x 2=39292．．x 2﹣2（p ﹣q ）x ﹣4pq=04pq=0．． ∵x 2﹣2（p ﹣q ）x ﹣4pq=0 ∴（∴（x x ﹣2p 2p））（x+2q x+2q））=0=0，， ∴x 1=2p =2p，，x 2=﹣2q 2q．．9393．．x 2+10x+21=0+10x+21=0，，把左边分解因式得：（x+3x+3））（x+7x+7））=0=0，， 则：则：x+3=0x+3=0x+3=0，，x+7=0x+7=0，， 解得：解得：x x 1=﹣3，x 2=﹣7．94.294.2（（x ﹣2）2=3=3（（x ﹣2）∵2（x ﹣2）2=3=3（（x ﹣2）， ∴（∴（x x ﹣2）（2x 2x﹣﹣4﹣3）=0=0，， 即x ﹣2=0或2x 2x﹣﹣7=07=0，， 解得：解得：x x 1=2=2，，x2=；95. 3（x ﹣5）2=2=2（（5﹣x ）， 变形得：变形得：33（5﹣x ）2=2=2（（5﹣x ）， 移项得：移项得：33（5﹣x ）2﹣2（5﹣x ）=0=0，， 分解因式得：（5﹣x ）（1313﹣﹣3x 3x））=0=0，， 则：则：55﹣x=0x=0，，1313﹣﹣3x=03x=0，， 解得：解得：x x 1=5=5，，x 2=；96.，分解因式得：（x ﹣）（x ﹣）=0=0，，则x ﹣=0=0，，x ﹣=0=0，， 解得：解得：x x 1=，x 2=．97. 5x 2﹣4x 4x﹣﹣12=012=0，， （5x+65x+6））（x ﹣2）=0=0，， 5x+6=0，x ﹣2=02=0，， x 1=﹣，x 2=2=2．． 98. （x ﹣）=5x =5x（（﹣x ）， （x ﹣）+5x +5x（（x ﹣）=0=0，，（x ﹣）（1+5x 1+5x））=0=0，，x ﹣=0=0，，1+5x=01+5x=0，， x 1=，x 2=﹣．9999．．9（x ﹣2）2﹣4（x+1x+1））2=0=0．．9（x ﹣2）2﹣4（x+1x+1））2=0（3x 3x﹣﹣6+2x+26+2x+2））（3x 3x﹣﹣6﹣2x 2x﹣﹣2）=0=0，， 整理得：（5x 5x﹣﹣4）（x ﹣8）=0=0，， 解方程得：解方程得：x x 1=，x 2=8 100100．．．x （x ﹣2）=2=2（（x+6x+6））， x 2﹣2x=2x+122x=2x+12，， x 2﹣4x 4x﹣﹣12=012=0，， （x ﹣6）（x+2x+2））=0=0，， x 1=6=6，，x 2=﹣2． ∴原方程的根为x 1=6=6，，x 2=﹣2101101．．（2）x 2﹣8x+15=08x+15=0；；把左边分解因式得：（x ﹣3）（x ﹣5）=0=0，， 则x ﹣3=03=0，，x ﹣5=05=0，，解得：解得：x x 1=5=5，，x 2=3=3；； 102. ； 移项得：移项得：y y 2﹣2y+2=0y+2=0，， （y ﹣）2=0=0，，两边开方得：两边开方得：两边开方得：y y ﹣=0=0，，则y 1=y 2=； 103. 6x 2﹣x ﹣12=012=0．． 由原方程，得由原方程，得由原方程，得 （2x 2x﹣﹣3）（3x+43x+4））=0=0，， 解得，解得，x=x=，或x=x=﹣﹣104. 2x 2﹣x ﹣6=0原方程化为（原方程化为（2x+32x+32x+3））（x ﹣2）=0=0，， 解得x 1=﹣，x 2=2=2；； 105. ﹣x 2+6x +6x﹣﹣5=0 原方程化为原方程化为x 2﹣6x+5=0分解因式，得（分解因式，得（分解因式，得（x x ﹣1）（x ﹣5）=0=0，， 解得x 1=1=1，，x 2=5=5；；106. （x ﹣5）2=（2x 2x﹣﹣1）（5﹣x ） 移项，得（移项，得（x x ﹣5）2+（2x 2x﹣﹣1）（x ﹣5）=0=0，， 提公因式，得（提公因式，得（x x ﹣5）（x ﹣5+2x 5+2x﹣﹣1）=0=0，， 解得x 1=5=5，，x 2=2107. （x+1x+1））（x+2x+2））=3x+6=3x+6．． ∵（∵（x+1x+1x+1））（x+2x+2））=3x+6=3x+6，， ∴（∴（∴（x+1x+1x+1））（x+2x+2））=3=3（（x+2x+2））， ∴（∴（∴（x+1x+1x+1））（x+2x+2）﹣）﹣）﹣33（x+2x+2））=0=0，， ∴（∴（∴（x+2x+2x+2））（x+1x+1﹣﹣3）=0=0，， ∴x+2=0或x+1x+1﹣﹣3=0 ∴x 1=﹣2，x 2=2108. x 2﹣9=09=0，， x 2=9=9，， 解得：解得：解得：x x 1=3=3，，x 2=﹣3，109. x 2+3x +3x﹣﹣4=04=0，， （x ﹣1）（x+4x+4））=0=0，， 解得：解得：x x 1=1=1，，x 2=﹣4，110. x 2﹣3x+2=03x+2=0，， （x ﹣1）（x ﹣2）=0=0，， 解得：解得：x x 1=1=1，，x 2=2111. 4（3x 3x﹣﹣1）2=25=25（（2x+12x+1））2．∵4（3x 3x﹣﹣1）2﹣2525（（2x+12x+1））2=0=0，，∴[2[2（（3x 3x﹣﹣1）﹣）﹣55（2x+12x+1））][2][2（（3x 3x﹣﹣1）+5+5（（2x+12x+1））]=0]=0，， ∴2（3x 3x﹣﹣1）﹣）﹣55（2x+12x+1））=0或2（3x 3x﹣﹣1）+5+5（（2x+12x+1））=0=0，， ∴x 1=﹣，x 2=﹣．112. （3x+53x+5））2﹣4（3x+53x+5））+3=0 设3x+5=y 3x+5=y，则原方程变为，则原方程变为，则原方程变为 y 2﹣4y+3=04y+3=0，，∴（∴（y y ﹣1）（y ﹣3）=0=0，， 解得，解得，y=1y=1或y=3y=3；；①当y=1时，时，3x+5=13x+5=13x+5=1，解得，解得x=x=﹣﹣；②当y=3时，时，3x+5=33x+5=33x+5=3，解得，，解得，，解得，x=x=x=﹣﹣；∴原方程的解是x=x=﹣﹣，或x=x=﹣﹣； 113. （3x+23x+2））（x+3x+3））=x+14 由原方程，得由原方程，得 （x+4x+4））（3x 3x﹣﹣2）=0=0，， 解得x=x=﹣﹣4，或x=；114. 3（x+1x+1））2=（x+1x+1）） 移项得，移项得，33（x+1x+1））2﹣（﹣（x+1x+1x+1））=0=0，， 提公因式得，（x+1x+1））（3x+33x+3﹣﹣1）=0=0，， 即x+1=0或3x+33x+3﹣﹣1=01=0，， 解得x 1=﹣1，x 2=﹣115.115.（（x ﹣2）2﹣4=0∵（∵（x x ﹣2﹣2）（x ﹣2+22+2））=0=0，， ∴x ﹣2﹣2=0或x ﹣2+2=02+2=0，，∴x 1=4=4，，x 2=0=0；； 116.116.（（x ﹣3）2+2x +2x（（x ﹣3）=0 ∵（∵（x x ﹣3）（x ﹣3+2x 3+2x））=0=0，， ∴x ﹣3=0或x ﹣3+2x=03+2x=0，， ∴x 1=3=3，，x 2=1=1；；117.117.（（3x 3x﹣﹣1）2=（x+1x+1））2∵3x 3x﹣﹣1=1=±（±（±（x+1x+1x+1））， 即3x 3x﹣﹣1=x+1或3x 3x﹣﹣1=1=﹣（﹣（﹣（x+1x+1x+1））， ∴x 1=1=1，，x 2=0=0；；118.118.（（x+5x+5））2﹣2（x+5x+5）﹣）﹣）﹣8=08=08=0．．∵[（x+5x+5）﹣）﹣）﹣4][4][4][（（x+5x+5））+2]=0+2]=0，， ∴（∴（x+5x+5x+5）﹣）﹣）﹣4=04=0或（或（x+5x+5x+5））+2=0+2=0，， ∴x 1=﹣1，x 2=﹣7．119. x 2﹣8x=9 变形为：变形为：x x 2﹣8x 8x﹣﹣9=09=0，， （x ﹣9）（x+1x+1））=0=0，， 则：则：x x ﹣9=0或x+1=0x+1=0，， 解得：解得：x x 1=9=9，，x 2=﹣1；120. （x ﹣2）2=（2x+32x+3））2． 变形为：（x ﹣2）2﹣（﹣（2x+32x+32x+3））2=0=0，， （x ﹣2+2x+32+2x+3））（x ﹣2﹣2x 2x﹣﹣3）=0=0，， （3x+13x+1））（﹣（﹣x x ﹣5）=0=0，， 则：则：3x+1=03x+1=03x+1=0，﹣，﹣，﹣x x ﹣5=05=0，， 解得：解得：x x 1=﹣，x 2=﹣5．121. x 2﹣3=33=3（（x+1x+1））； 整理得整理得x 2﹣3x 3x﹣﹣4=04=0，， ∴（∴（∴（x+1x+1x+1））（x ﹣4）=0=0，， ∴x+1=0或x ﹣4=04=0，， ∴x 1=﹣1，x 2=4=4；；122. （y ﹣3）2+3+3（（y ﹣3）+2=0 ∵（∵（y y ﹣3+23+2））（y ﹣3+13+1））=0=0，， ∴y ﹣3+2=0或y ﹣3+1=03+1=0，， ∴y 1=1=1，，y 2=2=2；；123. 7x （5x+25x+2））=6=6（（5x+25x+2）） ∵7x 7x（（5x+25x+2）﹣）﹣）﹣66（5x+25x+2））=0=0，， ∴（∴（5x+25x+25x+2））（7x 7x﹣﹣6）=0=0，， ∴5x+2=0或7x 7x﹣﹣6=06=0，， ∴x 1=﹣，x 2=124124．．（3）6（x+4x+4））2﹣（﹣（x+4x+4x+4）﹣）﹣）﹣2=0 2=06（x+4x+4））2﹣（﹣（x+4x+4x+4）﹣）﹣）﹣2=02=02=0，， [3[3（（x+4x+4）﹣）﹣）﹣2][22][22][2（（x+4x+4））+1]=0+1]=0，， （3x+43x+4））（2x+72x+7））=0=0，， 3x+4=03x+4=0，，2x+7=02x+7=0，， 解得：解得：x x 1=﹣，x 2=﹣；125. x 2﹣（﹣（3m 3m 3m﹣﹣1）x+2m 2﹣m=0m=0，， （x ﹣m ）[x [x﹣（﹣（﹣（2m 2m 2m﹣﹣1）]=0]=0，， x ﹣m=0m=0，，x ﹣（﹣（2m 2m 2m﹣﹣1）=0=0，， 解得：解得：x x 1=m =m，，x 2=2m =2m﹣﹣1126126．．x 2﹣2x 2x﹣﹣224=0224=0．． x 2﹣2x 2x﹣﹣224=0 （x ﹣1616））（x+14x+14））=0=0，， 解得：解得：x x 1=16=16；；x 2=﹣1414．． 127.127.．．方程两边同时乘以2，得（，得（x+3x+3x+3））2=4=4（（x+2x+2））2， 移项，得（移项，得（x+3x+3x+3））2﹣4（x+2x+2））2，=0=0，， （x+3+4x+8x+3+4x+8））（x+3x+3﹣﹣4x 4x﹣﹣8）=0=0，， 即5x+11=0或﹣或﹣3x 3x 3x﹣﹣5=05=0，， 解得x 1=﹣，x 2=﹣；128128．．5x 5x（（x ﹣3）﹣（）﹣（x x ﹣3）（x+1x+1））=0=0．．∵（∵（x x ﹣3）（5x 5x﹣﹣x ﹣1）=0=0，， ∴x ﹣3=0或5x 5x﹣﹣x ﹣1=01=0，，∴x 1=3=3，，x 2=129129．．x 2﹣11x+28=0 x 2﹣11x+28=011x+28=0，， （x ﹣4）（x ﹣7）=0=0，， x ﹣4=04=0，，x ﹣7=07=0，，x 1=4=4，，x 2=7130. 4y 2﹣25=025=0；； （2y+52y+5））（2y 2y﹣﹣5）=0=0，， 所以y 1=﹣，y 2=；131.131.（（2x+32x+3））2﹣36=036=0；； （2x+32x+3））2﹣36=036=0；； （2x+3+62x+3+6））（2x+32x+3﹣﹣6）=0=0，， 所以x 1=﹣，x 2=；132. x 2﹣3x+2=03x+2=0；； （x ﹣1）（x ﹣2）=0=0，， 所以x 1=1=1，，x 2=2=2；；133. 2t 2﹣7t 7t﹣﹣4=04=0；； （t ﹣4）（2t+12t+1））=0=0，， 所以t 1=4=4，，t 2=﹣；134. 5y （y ﹣1）=2=2（（y ﹣1）方程变形得：方程变形得：5y 5y 5y（（y ﹣1）﹣）﹣22（y ﹣1）=0=0，， 因式分解得：（y ﹣1）（5y 5y﹣﹣2）=0=0，， 可得y ﹣1=0或5x 5x﹣﹣2=02=0，， 解得：解得：y y 1=1=1，，y 2=．135. x 2+（1+2）x+3+=0=0；；（x+）（x+1+）=0x+=0或x+1+=0∴x 1=﹣，x 2=﹣1﹣．136.136.（（x ﹣3）2+（x+4x+4））2﹣（﹣（x x ﹣5）2=17x+24=17x+24．． 原方程整理得：原方程整理得：x x 2﹣5x 5x﹣﹣24=0 （x ﹣8）（x+3x+3））=0 ∴x 1=8=8，，x 2=﹣3．137.x 2﹣3|x|3|x|﹣﹣4=0|x|2﹣3|x|3|x|﹣﹣4=0 （|x||x|﹣﹣4）（|x|+1|x|+1））=0|x||x|﹣﹣4=0|x|+14=0|x|+1≠≠0 ∴|x|=4∴x 1=4=4，，x 2=﹣4．。
因式分解法解一元二次方程典型例题
例 用因式分解法解下列方程： (1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：（1）方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0 y ＋1＝0或y ＋6＝0 ∴y 1＝－1，y 2＝－6(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0 (2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0 ∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0 x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0 ∴x 1＝0，x 2＝23说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考典型例题二例 用因式分解法解下列方程6223362+=+x x x解：把方程左边因式分解为：0)23)(32(=-+x x∴032=+x 或023=-x ∴ 32,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
例 用因式分解法解下列方程。
1522+=y y解: 移项得：01522=--y y 把方程左边因式分解 得：0)3)(52(=-+y y ∴052=+y 或03=-y∴.3,2521=-=y y说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
因式分解法解一元二次方程典型例题
典型例题一例 用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：（1）方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0 y ＋1＝0或y ＋6＝0 ∴y 1＝－1，y 2＝－6(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0 ?(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0 ∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0 x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0 ∴x 1＝0，x 2＝23说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考—典型例题二例 用因式分解法解下列方程6223362+=+x x x解：把方程左边因式分解为：0)23)(32(=-+x x∴032=+x 或023=-x ∴ 32,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
|典型例题三例 用因式分解法解下列方程。
1522+=y y解: 移项得：01522=--y y 把方程左边因式分解 得：0)3)(52(=-+y y ∴052=+y 或03=-y∴.3,2521=-=y y|说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
因式分解法解一元二次方程典型例题
因式分解法解一元二次方程典型例题解：（1）把方程左边因式分解为：2x-1)(3x-2)=02x-1=0或3x-2=0x1=1/2，x2=2/32）把方程左边因式分解为：27(x-1)(x+4)=0x-1=0或x+4=0x1=1，x2=-4说明：在用因式分解法解一元二次方程时，要注意将方程整理为一般式，然后将左边的代数式分解为一次因式的乘积，令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，也可以用因式分解法求出方程的解。
分析：一元二次方程通常可以用因式分解的方法求解，也可以用配方法或求根公式求解。
在解题时需要注意将方程化为A·B=0的形式，然后通过A=0或B=0求解方程的根。
解：（1）将方程化为2x^2-5=0的形式，移项得2x^2=5，再将两边都除以2得x^2=5/2.解这个方程得x=±√(5/2)。
2）将方程化为5x^2+2=2-2x-x^2的形式，移项得6x^2+2x-2=0.使用配方法，将6x^2+2x-2表示为(√6x+√2)^2-8=0的形式，然后移项得(√6x+√2)^2=8，再开根号得√6x+√2=±2√2.解这个方程得x=(±2√2-√2)/6=-√2/3或1/2.3）将方程化为2(x-3)^2+2(x^2-1)=4x+1的形式，移项得2x^2-5x-4=0.使用求根公式，得x=(5±√41)/4.4）使用求根公式，得x=(43±√(-39))/2.由于方程中出现了负数的平方根，因此该方程无实数解。
5）使用配方法，将方程表示为3(x-1/3)^2+1/3=0的形式，然后移项得3(x-1/3)^2=-1/3.由于方程左边是一个正数乘以一个平方，因此该方程无实数解。
所以方程有实数解，即20m2x2+11mnx-3n2=0可用求根公式求解，得x1,211mn±√(11^2m^2n^2+240mn^2)/40m^211n/4m。
一元二次方程的解法( 因式分解法练习)
3x+ 5 １ 5 ∴ x1= , x2= 3 3
快速抢答：
下列各方程的根分别是多少？
(1) x( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
(
)
一 解下列方程
1.4 x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2 x;
3.(2 x 3)2 4(2 x 3);
1 7 1.x1 ; x2 . 42 5 2.x1 ; x2 1. 3 3 1 3.x1 ; x2 . 2 2 4.x1 3; x2 9.
； 3 .x 2 (3 2 ) x 18 0; 2 4. (4 x 2) x(2 x 1)
9.x 12x 27 0;
2
2.x1 5; x2 3. 3.x1 3; x2 2. 1 4 4.x1 ; x2 . 2 5 7 5.x1 2; x2 . 4 3 6.x1 2; x2 . 3 7.x1 3, x2 6. 8.x1 0; x2 1. 9.x1 3, x2 9.
同学们再见
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
下面的解法正确吗？如果不 正确，错误在哪？
解方程 ( x 5)( x 2) 18 解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
二
解下列方程
; 1.x1 5; x2 2.
因式分解法解一元二次方程典型例题
例 用因式分解法解下列方程： (1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：（1）方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0 y ＋1＝0或y ＋6＝0 ∴y 1＝－1，y 2＝－6(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0 (2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0 ∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0 x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0 ∴x 1＝0，x 2＝23说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考典型例题二例 用因式分解法解下列方程6223362+=+x x x 解：把方程左边因式分解为：0)23)(32(=-+x x ∴032=+x 或023=-x ∴ 32,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
例 用因式分解法解下列方程。
1522+=y y解: 移项得：01522=--y y 把方程左边因式分解 得：0)3)(52(=-+y y ∴052=+y 或03=-y∴.3,2521=-=y y说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
因式分解法解一元二次方程典型例题
例 用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：（1）方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0 y ＋1＝0或y ＋6＝0 ∴y 1＝－1，y 2＝－6(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0 (2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0 ∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0 x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0 ∴x 1＝0，x 2＝23说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考典型例题二例 用因式分解法解下列方程6223362+=+x x x解：把方程左边因式分解为：0)23)(32(=-+x x∴032=+x 或023=-x ∴ 32,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
例 用因式分解法解下列方程。
1522+=y y解: 移项得：01522=--y y 把方程左边因式分解 得：0)3)(52(=-+y y ∴052=+y 或03=-y∴.3,2521=-=y y说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
用因式分解法解一元二次方程练习题
用因式分解法解一元二次方程练习题一、因式分解和解方程首先，我们来解一元二次方程。
对于$x^2-5x=0$，我们可以将其因式分解为$x(x-5)=0$，得到$x=0$或$x=5$。
对于$3x^2=6x$，我们可以将其化简为$3x(x-2)=0$，得到$x=0$或$x=2$。
对于$x^2+12x=(1+2)x^2-(1-2)x$，我们可以将其写成$(1+2)x^2-(1-2)x=0$，然后再因式分解为$x(3-x)=0$，得到$x=0$或$x=3$。
对于$(2t+3)^2=3(2t+3)$，我们可以将其化简为$(2t+3)(2t+3-3)=0$，得到$t=-\frac{3}{2}$或$t=0$。
二、平方差和解方程对于$(x+5)(x-5)=0$，我们可以得到$x=-5$或$x=5$。
对于$4x^2-1=(x-2)^2=256$，我们可以将其化简为$(x-2)^2=17^2$，得到$x=15$或$x=-13$。
三、十字交叉和解方程对于$x^2-4x-21=(x-7)(x+3)=0$，我们可以得到$x=7$或$x=-3$。
对于$5x^2-(5^2+1)x+10=(5x-1)(x-2)=0$，我们可以得到$x=\frac{1}{5}$或$x=2$。
四、完全平方和解方程对于$x^2-6x+9=(x-3)^2=0$，我们可以得到$x=3$。
对于$4x^2-4x+1=(2x-1)^2=0$，我们可以得到$x=\frac{1}{2}$。
五、三角形周长根据题意，我们需要求出方程$x^2-14x+48=0$的两个根，并将其代入周长公式$2x+10$中。
将方程因式分解为$(x-6)(x-8)=0$，得到$x=6$或$x=8$。
因此，三角形的周长为$2\times6+10=22$或$2\times8+10=26$。
六、解关于$x$的方程对于$x^2-2mx-8m^2=(x-2m)(x+4m)=0$，我们可以得到$x=2m$或$x=-4m$。
因式分解法解一元二次方程典型例题
例 用因式分解法解下列方程： (1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：（1）方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0 y ＋1＝0或y ＋6＝0 ∴y 1＝－1，y 2＝－6(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0 (2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0 ∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0 x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0 ∴x 1＝0，x 2＝23说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考典型例题二例 用因式分解法解下列方程6223362+=+x x x解：把方程左边因式分解为：0)23)(32(=-+x x∴032=+x 或023=-x ∴ 32,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
例 用因式分解法解下列方程。
1522+=y y解: 移项得：01522=--y y 把方程左边因式分解 得：0)3)(52(=-+y y ∴052=+y 或03=-y∴.3,2521=-=y y说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
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典型例题一例 用因式分解法解下列方程6223362+=+x x x解：把方程左边因式分解为：0)23)(32(=-+x x∴032=+x 或023=-x∴ 32,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
典型例题二例 用因式分解法解下列方程。
1522+=y y解: 移项得：01522=--y y 把方程左边因式分解 得：0)3)(52(=-+y y ∴052=+y 或03=-y ∴.3,2521=-=y y 说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题三例 用因式分解法解下列方程 （1）021362=+-x x ；（2）0)23(9)12(322=--+x x ；分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.解：（1）原方程可变形为,0)2)(16(=--x x 016=-x 或02=-x ，∴2,6121==x x .（2）原方程可化为0)633()332(22=--+x x ，即 0)633332)(633332(=+-+-++x x x x ， ∴0)363)(6335(=-+-+x x ， ∴06335=-+x 或0363=-+x ，∴321,513221+=-=x x . 说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.典型例题四例 用因式分解法解方程： （1）03652=--x x ；（2）0)32(3)32(22=---x x ； （3）0223)222(2=+---x x ； （4）066)2332(2=++-x y .分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为0=⋅B A 的形式，然后通过0=A 或0=B ，求出21,x x .解：（1）0)4)(9(=+-x x ，09=-x 或04=+x ..4,921-==∴x x（2）0)364)(32(=---x x ， 即 0)94)(32(=--x x .∴032=-x 或094=-x ， ∴.49,2321==x x （3）[]0)223()1(=--+x x ， 即 01=+x 或0)223(=--x . ∴223,121-=-=x x . （4）0)23)(32(=--y y ， 即 032=-y 或023=-y ， ∴23,3221==y y .说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法，也可将之和因式分解法求解.典型例题五例 用适当方法解下列方程：（1）0522=-x ； （2）)21()1(2252---=+x x x x ；（3）14)1(2)3(222+=-+-x x x ； （4）010342=+-x x （5）04732=+-x x （用配方法） 解：（1）移项，得522=x ，方程两边都除以2，得252=x ， 解这个方程，得25±=x ， 1021±=x ， 即10211=x ，.10212-=x （2）展开，整理，得.042=+x x方程可变形为0)14(=+x x 0=x或014=+x ，∴ .41,021-==x x（3）展开，整理，得0151642=+-x x ，方程可变形为0)52)(32(=--x x032=-x 或052=-x∴ .25,2321==x x（4）∵ ,10,34,1=-==c b a081014)34(422>=⨯⨯--=-ac b ，∴ .23222234128)34(±=±=⨯±--=x∴ 2321+=x , 2322-=x （5）移项，得4732=-x x ，方程各项都除以3，得.34372-=-x x 配方，得222)67(34)67(37-+-=-+-x x ， 361)67(2=-x解这个方程，得6167±=-x , 即341=x ，.12=x 说明:当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式02=++c bx ax (0≠a )，若0=b ，a 、c 异号时，可用直接开平方法求解，如（l ）题．若0≠a ，0≠b ,0=c 时，可用因式分解法求解，如（2）题．若a 、b 、c 均不为零，有的可用因式分解法求解，如（3）题；有的可用公式法求解，如（4）题．配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题．而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程04)3(2=-+x 可用直接开平方法或因式分解法求解．又如方程)2)(1()14)(2(--++-x x x x 也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得0)]1()14)[(2(=--+-x x x ，用因式分解法求解，得32,221-==x x ，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以)2(-x ，这会丢掉一个根2=x ．也就是方程两边不能除以含有未知数的整式．典型例题六例 解关于x 的方程031120222=-+n mnx x m （0≠m ） 解法一：原方程可变形为0)34)(5(=+-n mx n mx 05=-n mx 或034=+n mx∵ 0≠m ，∴ .43,521mn x m n x -==解法二：∵220m a =，mn b 11=，23n c -=，ac b 42-2)11(mn =2204m ⨯-)3(2n -⨯ 036122≥=n m ，又 0≠m ，∴.40191120236112222m mnmn m n m mn x ±-=⨯±-=∴ .43,521mnx m n x -==说明 解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零．对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单．典型例题七例 已知12=-m ，试解关于x 的方程).1)(1(2)2(-+=+-x x x mx分析 由12=-m ，容易得到3=m 或1=m ．整理关干x 的方程，得032)1(2=+--mx x m ．题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当01=m-时，方程是一元一次方程；当01≠-m 时，方程是一元二次方程。
解：由12=-m ，得12±=-m ,∴ .1,321==m m 整理)1)(1(2)2(-+=+-x x x mx ，得.032)1(2=+--mx x m当3=m 时，原方程为03622=+-x x ， 解得233,23321-=+=x x 当1=m 时，原方程为032=+-x ，解得.23=x∴ 当3=m 时，233,23321-=+=x x 当1=m 时，.23=x填空题1．方程)2()2(2-=-x x 的根是2．（盐城市，1998）方程46)1)(3(+=++x x x 的解是 3．方程02)12(3)12(2=++++y y 的解是答案：1．3221==x x ， 2．212121-=+=x x ， 3．23121-=-=y y ，.解答题1． 用因式分解法解下列方程：（1）42)2(2+=+x x ； （2）0)3()3(42=---x x x ；（3）0611102=--x x ； （4）22)1(4)2(9+=-x x 。
（5）02=+x x ；（6）03522=--x x ； （7）01072=+-x x ；（8）01892=++x x ； （9）0611102=--x x ；（10）071162=-+x x . 2. 用因式分解法解下列方程：（1）5)1)(3(=+-x x ；（2）065)4(9)4(142=--+-x x ； （3）02)21(5)21(32=----x x 。
3．用因式分解法解下列关于x 的一元二次方程： （1）022=-+x k x x ；（2）02222=-+-n m mx x ；（3）054322=-+m mx x ；（4）018171522=--mx x m )0(≠m ； （5）0)(222=++-ab x b a abx )0(≠ab 4．用适当的方法解下列方程：（1）04942=-x ；（2）0942=-x x ； （3）22=-x x ；（4）62422=-x x ；（5）012=--x x ；（6）02522=+-x x .5．已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程03522=+-x x 的根，求这个三角形的周长. 答案：1．（1）0221=-=x x ，； （2）4321==x x ，； （3）522321-==x x ，； （4）54821==x x ，. （5）01=x ，12-=x （6）51-=x ，72=x （7）21=x ，52=x （8）31-=x ，62-=x （9）231=x ，522-=x （10）211=x ，372-=x . 2. （1）4221=-=x x ，； （2）7412321==x x ，； （3）256121==x x ，.3．（1）01=x ，122-=k x （2）n m x +=1，n m x -=2（3）m x 61=，m x 92-=（4）m x 321-=，m x 592=（5）a b x =1，b ax =2.4．（1）271=x ，272-=x （2）01=x ，492=x （3）21=x ，12-=x （4）261=x ，242-=x （5）2511+=x ，2512-=x （6）351+=x ，352-=x 5．提示：三角形两边之和大于第三边，三角形周长为5.4.。