高三数学空间向量及其运算1
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1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2. 可用一条有向线段 AB 来表示向量 , 向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B 终点
类似于平面向量,为了研究的 方便起见, 起点 A 我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、共面向量等概念。 （你认为应该怎样规定?）
概念 加法 减法 运算 运 算 律
空间向量的加减法运算 平面向量 空间向量 定义:具有大小、 方向的量,表示法、 相等向量. 加法:三角形法则或 加法:三角形法则或 平行四边形法则 平行四边形法则 减法:三角形法则
减法:三角形法则
加法交换律 ab ba 加法结合律: (a b) c a (b c)
C a
+
b
B
b
O
A
OB OA AB
a
CA OA OC
空间向量的加减法
B
b O a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。 返回
b a A
向量加法结合律在空间中仍成立吗? ( a + b )+ c = a +( b + c )
3.1.1《空间向量及其运算 -加减运算》
教学目标
• 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的 加法运算。 • 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立 几问题。 • 教学重点：空间向量的加法、减法运算律。 • 教学难点：用向量解决立几问题. • 授课类型：新授课. • 课时安排：1课时.
空间向量及其运算(一)
O a a C A b b
+
O
c c
A B c
C
b
Hale Waihona Puke Baidu
B
(平面向量)
空间中
向量加法结合律： ( a + b )+ c = a +( b + c )
O O
a
A C
a b
A +
c
B
C
b
B
c
b
c
(空间向量)
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yth61zwb
劲、酒一向比明绍坊更辣、泪一向比明绍坊更烈、笑一向比明绍坊更响，就连雨，下得也仿佛比明绍坊更狂。苏明远打马一直跑进风吟坊的一道 门里。这扇门，明犬晓得，里头住着个妖孽。谢家长辈一向不愿意苏明远跟这个妖孽来往，但是，管他呢！明犬想，公子真是为了这个妖孽起意 跑下山来私会，总比为了什么烦心事才下山发愁的好。门的造型是真别致，顶衬妖孽的名头，像一只蝴蝶，扬着两只怪俏丽的翅膀。人家的门前 刻狮子，它这儿却刻了两个美人儿，都高髻披纱，那纱衣当然也是石刻出来的，却难得石匠那般巧手，看起来简直轻软得比真纱犹甚。在天好的 时候，这只蝴蝶、这两个纱衣仙子，映着灿烂阳光，简直像要飘飘飞去。即使现在雨这样泼、风这样刮，它们也仍然一派飞翔的姿势。甚至，天 气越恶劣，它们越要飞，像风吟坊的很多生命，泥泞里都扬起头来，气魄比天晴时还更勇敢。苏明远打马入门，一条石子甬道，窄得仅供一马通 行，两侧还密密栽的都是修竹，竹梢都伸到道上来，尖尖的迎着骏马的眼睛，马不得不放慢步伐、耐下性子小心前行，走不数步，前面一段朝西 方向的竹子却全被截去了，只留下尺来长一段光秃秃的杆子，骏马高兴的嘶叫了一声，通过那一段时总算可以快跑几步。甬道尽头，是一座小小 的、拱拱的桥，白石砌就，白得像雪，拱起腰的样子就像只嗲极了的肥猫。桥下一湾水，没有种莲叶，坦荡露出水面来，是绿色的，尽着风吟坊 所能有的气力那么绿、那么艳。那是水底青荇的颜色。桥的那边有座屋子，还有两个小童子。小童子是听见马蹄声就跑出来了，肩并肩笑嘻嘻站 在桥头，等着接缰绳。四只手，像四瓣雪白的花儿。他们穿的是一模一样的白衣，衣领缀着茸茸可爱的毛毛，每人撑一把伞，伞上画着胖乎乎的 小狐狸。他们长得也像小狐狸，笑起来就更像：“大公子偏是这样的天气爱跑来跟奴们寻开心！”是抱怨，然而抱怨得娇媚入骨。苏明远一笑， 把绳头抛给了他们。那座小屋，闪着眼睛。静静等着他。人有眼睛，所谓明眸善睐。水也有眼睛，所谓水似眼波横。小屋也有眼睛：黑漆漆的夜 晚、黑漆漆的小屋，就像一个冷清的盲人。但若灯点起、窗口有光透出来，屋子便有了精神，如人的眼眸中有了光彩。窗户就是一座屋宇的眼睛。 而这座屋子，窗口留得很小很小，细细的，有如一双倦眼，似睁非睁，拐子纹的窗格子，一格一格都嵌着不规则大小的琉璃，青碧色，仿佛异域 美人的眼睛，清媚醉人。屋子的门没有关。确切的说，根本没有门。只有几串竹叶，碧绿生青，似乎就是朝西那段路上刚砍下来的那些，编成了 帘子，悬在应该是“门”的那块地方。大雨借着风势，毫不把这点阻拦搁在眼里，放肆的就扑进屋内——扑进了水里。是
ba 加法交换律 a b成立吗？ 加法结合律
(a b) c a (b c)
作业:课本 P 练习 3
92
平面向量加减法
空间向量加减法
平面向量的加法、减法运算图示意义:
b a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
b a
向量减法的三角形法则
减向量终点指向 被减向量终点
引入
有关概念
本课小结
如何定义加 减法运算
思考2
课堂练习
作业:课本 P 练习 3
92
空间向量及其运算(一)
这是什么?
如:力、位移等.
向量
问题 1:
C
向上
B
正北
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米, 那么 OC=
O
正东
A
?
再比如课本 P90 问题……
问题 2:课本 P90 问题……
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4
返回
An A1 0
F3 F2 F1
已知F1=2000N,
F2=2000N, F3=2000N,
这三个力两两之间 的夹角都为60度, 它们的合力的大小 为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量
空间量的概念
……
空间向量及其运算(一)
一、空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.a
c b
常用 a 、 b、 c ……等小写字母来表示.
2. 可用一条有向线段 AB 来表示向量 , 向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B 终点
类似于平面向量,为了研究的 方便起见, 起点 A 我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、共面向量等概念。 （你认为应该怎样规定?）
概念 加法 减法 运算 运 算 律
空间向量的加减法运算 平面向量 空间向量 定义:具有大小、 方向的量,表示法、 相等向量. 加法:三角形法则或 加法:三角形法则或 平行四边形法则 平行四边形法则 减法:三角形法则
减法:三角形法则
加法交换律 ab ba 加法结合律: (a b) c a (b c)
C a
+
b
B
b
O
A
OB OA AB
a
CA OA OC
空间向量的加减法
B
b O a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。 返回
b a A
向量加法结合律在空间中仍成立吗? ( a + b )+ c = a +( b + c )
3.1.1《空间向量及其运算 -加减运算》
教学目标
• 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的 加法运算。 • 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立 几问题。 • 教学重点：空间向量的加法、减法运算律。 • 教学难点：用向量解决立几问题. • 授课类型：新授课. • 课时安排：1课时.
空间向量及其运算(一)
O a a C A b b
+
O
c c
A B c
C
b
Hale Waihona Puke Baidu
B
(平面向量)
空间中
向量加法结合律： ( a + b )+ c = a +( b + c )
O O
a
A C
a b
A +
c
B
C
b
B
c
b
c
(空间向量)
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yth61zwb
劲、酒一向比明绍坊更辣、泪一向比明绍坊更烈、笑一向比明绍坊更响，就连雨，下得也仿佛比明绍坊更狂。苏明远打马一直跑进风吟坊的一道 门里。这扇门，明犬晓得，里头住着个妖孽。谢家长辈一向不愿意苏明远跟这个妖孽来往，但是，管他呢！明犬想，公子真是为了这个妖孽起意 跑下山来私会，总比为了什么烦心事才下山发愁的好。门的造型是真别致，顶衬妖孽的名头，像一只蝴蝶，扬着两只怪俏丽的翅膀。人家的门前 刻狮子，它这儿却刻了两个美人儿，都高髻披纱，那纱衣当然也是石刻出来的，却难得石匠那般巧手，看起来简直轻软得比真纱犹甚。在天好的 时候，这只蝴蝶、这两个纱衣仙子，映着灿烂阳光，简直像要飘飘飞去。即使现在雨这样泼、风这样刮，它们也仍然一派飞翔的姿势。甚至，天 气越恶劣，它们越要飞，像风吟坊的很多生命，泥泞里都扬起头来，气魄比天晴时还更勇敢。苏明远打马入门，一条石子甬道，窄得仅供一马通 行，两侧还密密栽的都是修竹，竹梢都伸到道上来，尖尖的迎着骏马的眼睛，马不得不放慢步伐、耐下性子小心前行，走不数步，前面一段朝西 方向的竹子却全被截去了，只留下尺来长一段光秃秃的杆子，骏马高兴的嘶叫了一声，通过那一段时总算可以快跑几步。甬道尽头，是一座小小 的、拱拱的桥，白石砌就，白得像雪，拱起腰的样子就像只嗲极了的肥猫。桥下一湾水，没有种莲叶，坦荡露出水面来，是绿色的，尽着风吟坊 所能有的气力那么绿、那么艳。那是水底青荇的颜色。桥的那边有座屋子，还有两个小童子。小童子是听见马蹄声就跑出来了，肩并肩笑嘻嘻站 在桥头，等着接缰绳。四只手，像四瓣雪白的花儿。他们穿的是一模一样的白衣，衣领缀着茸茸可爱的毛毛，每人撑一把伞，伞上画着胖乎乎的 小狐狸。他们长得也像小狐狸，笑起来就更像：“大公子偏是这样的天气爱跑来跟奴们寻开心！”是抱怨，然而抱怨得娇媚入骨。苏明远一笑， 把绳头抛给了他们。那座小屋，闪着眼睛。静静等着他。人有眼睛，所谓明眸善睐。水也有眼睛，所谓水似眼波横。小屋也有眼睛：黑漆漆的夜 晚、黑漆漆的小屋，就像一个冷清的盲人。但若灯点起、窗口有光透出来，屋子便有了精神，如人的眼眸中有了光彩。窗户就是一座屋宇的眼睛。 而这座屋子，窗口留得很小很小，细细的，有如一双倦眼，似睁非睁，拐子纹的窗格子，一格一格都嵌着不规则大小的琉璃，青碧色，仿佛异域 美人的眼睛，清媚醉人。屋子的门没有关。确切的说，根本没有门。只有几串竹叶，碧绿生青，似乎就是朝西那段路上刚砍下来的那些，编成了 帘子，悬在应该是“门”的那块地方。大雨借着风势，毫不把这点阻拦搁在眼里，放肆的就扑进屋内——扑进了水里。是
ba 加法交换律 a b成立吗？ 加法结合律
(a b) c a (b c)
作业:课本 P 练习 3
92
平面向量加减法
空间向量加减法
平面向量的加法、减法运算图示意义:
b a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
b a
向量减法的三角形法则
减向量终点指向 被减向量终点
引入
有关概念
本课小结
如何定义加 减法运算
思考2
课堂练习
作业:课本 P 练习 3
92
空间向量及其运算(一)
这是什么?
如:力、位移等.
向量
问题 1:
C
向上
B
正北
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米, 那么 OC=
O
正东
A
?
再比如课本 P90 问题……
问题 2:课本 P90 问题……
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4
返回
An A1 0
F3 F2 F1
已知F1=2000N,
F2=2000N, F3=2000N,
这三个力两两之间 的夹角都为60度, 它们的合力的大小 为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量
空间量的概念
……
空间向量及其运算(一)
一、空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.a
c b
常用 a 、 b、 c ……等小写字母来表示.