(完整word版)七年级下册数学全等三角形的经典证明题
七下数学全等三角形压轴题组卷(word文档良心出品)
全等三角形压轴题组卷一．选择题(共5小题)1．如图所示，是瑞安部分街道示意图，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A，B，C，D，E，F，G，H为“公交汽车”停靠点，甲公共汽车从A站出发，按照A，H，G，D，E，C，F的顺序到达F站，乙公共汽车从B 站出发，按照B，F，H，E，D，C，G的顺序到达G站，如果甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，各站耽误的时间相同，两辆车速度也一样，则( )A．甲车先到达指定站B．乙车先到达指定站C．同时到达指定站D．无法确定2．如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是( )A．56°B．60°C．68°D．94°3．如图在△ABD和△ACE都是等边三角形，则△ADC≌△ABE的根据是( )A．SSSB．SASC．ASAD．AAS4．如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC 的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是( )A．n B．2n-1 C．D．3(n+1)5．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD，∠DBC=∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题(共3小题)6．如图，AC=BC ，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC ，BF ⊥AE ，交AC 延长线于F ，且垂足为E ，则下列结论：①AD=BF ； ②BF=AF ； ③AC+CD=AB ，④AB=BF ；⑤AD=2BE ．其中正确的结论有 ．第6题第7题第8题7．如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形．则下列结论：①AE=CD ．②BF=BG ．③HB ⊥FG ．④∠AHC=60°．⑤△BFG 是等边三角形，其中正确的有 ． 8．如图，∠AOB 内一点P ，P 1、P 2分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2=5cm ，则△PMN 的周长是 ． 三．解答题(共22小题)9．已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，DH 垂直平分BC 交AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC于E ，与CD 相交于点F ，试说明一下论断正确的理由： (1).∠BDC=90°； (2).BF=AC ； (3).CE=12BF ．10．已知，D是△ABC中AB上一点，并且∠BDC=90°，DH垂直平分BC交BC于点H．(1).试说明：BD=DC；(2).如图2，若BE⊥AC于E，与CD相交于点F，试说明：△BDF≌△ACD；(3).在(1)、(2)条件下，若BE平分∠ABC，试说明：BF=2CE．11．数学问题：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、O n-1，求∠BO n-1C的度数？问题探究：我们从较为简单的情形入手．探究一：如图2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于点O1，求∠BO1C的度数？解：由题意可得∠O1BC=12∠ABC，∠O1CB=12∠ACB∴∠O1BC+∠O1CB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-α)∴∠BO1C=180°-12(180°-α)=90°+12α．探究二：如图3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分线分别交于点O1、O2，求∠BO2C的度数．解：由题意可得∠O2BC=23∠ABC，∠O2CB=23∠ACB22∴∠BO2C=180°-23(180°-α)=60°+23α．探究三：如图4，∠A=α，∠ABC、∠ACB四等分线分别交于点O1、O2、O3，求∠BO3C的度数．(仿照上述方法，写出探究过程)问题解决：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、O n-1，求∠BO n﹣1C的度数．问题拓广：如图2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O1，两条角平分线构成一角∠BO1C．得到∠BO1C=90°+12α．探究四：如图3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分线分别交于点O1、O2，四条等分线构成两个角∠BO1C，∠BO2C，则∠BO2C+∠BO1C= ．探究五：如图4，∠A=α，∠ABC、∠ACB四等分线分别交于点O1、O2、O3，六条等分线构成三个角∠BO3C，∠BO2C，∠BO1C，则∠BO3C+∠BO2C+∠BO1C= ．探究六：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、O n-1，(2n-2))等分线构成(n-1)个角∠BO n-1C…∠BO3C，∠BO2C，∠BO1C，则∠BO n-1C+…∠BO3C+∠BO2C+∠BO1C= ．12．如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4cm，∠BAC=90°，O为边BC上一点，OA=OB=OC，点M、N分别在边AB、AC上运动，在运动过程中始终保持AN=BM．(1).在运动过程中，OM与ON相等吗？请说明理由．(2).在运动过程中，OM与ON垂直吗？请说明理由．(3).在运动过程中，四边形AMON的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出四边形AMON的面积．13．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．(1).当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变(填“大”或“小”)；(2).当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3).在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．14．如图，等腰直角三角形ABC，AB=BC，直角顶点B在直线PQ上，且AD⊥PQ于D，CE⊥PQ于E．(1).△ADB与△BEC全等吗？为什么？(2).图1中，AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由．(3).将直线PQ绕点B旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，那么AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由．15．如图，在等腰△ABC中，CB=CA，延长AB至点D，使DB=CB，连接CD，以CD为边作等腰△CDE，使CE=CD，∠ECD=∠BCA，连接BE交CD于点M．(1).BE=AD吗？请说明理由；(2).若∠ACB=40°，求∠DBE的度数．16．阅读理解基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD=S△ACD=12S△ABC理由：∵AD是△ABC边BC上的中线∴BD=CD又∵S△ABD=12BD×AH；S△ACD=12CD×AH∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC∴三角形中线等分三角形的面积基本应用：(1).如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．则S△ACD与S△ABC的数量关系为：；(2).如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，延长△ABC的边CA到点E，使AE=AC，连接DE．则S△CDE与S△ABC的数量关系为：(请说明理由)；(3).在图2的基础上延长AB到点F，使FB=AB，连接FD，FE，得到△DEF(如图3)．则S△EFD与S△ABC的数量关系为：；拓展应用：如图4，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC 的面积为18cm2，则△BEF的面积为cm2．17．如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC=80°，请运用所学知识，确定∠EAF的度数．18．问题发现：如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段BD与CE的数量关系．拓展探究：如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，且点B，D，E在同一直线上，AF⊥BE 于F，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系．19．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足AE=CF．求证：DE=DF．20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．(1).求证：△ACD≌△BCE；(2).若AB=3cm，则BE= cm．(3).BE与AD有何位置关系？请说明理由．21．如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D．(1).求证：AB=AD+BC；(2).若BE=3，AE=4，求四边形ABCD的面积．22．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．(1).如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2).若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？23．如图，△ABC是等边三角形，点E、F分别在边AB和AC上，且AE=BF．(1).求证：△ABE≌△BCF；(2).若∠ABE=20°，求∠ACF的度数；(3).猜测∠BOC的度数并证明你的猜想．24．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与点B、点C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1).如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= ；(2).如图2，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=50°，请你求出∠BCE的度数．(写出求解过程)；(3).探索发现，设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：．②当点D在线段BC的延长线上时，则α，β之间有怎样的数量关系？请在图3中画出完整图形并请直接写出你的结论：．25．以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．(1).试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；(2).延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；(3).把两个等腰直角三角形按如图2放置，(1)、(2)中的结论是否仍成立？请说明理由．26．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)，以AD为边做正方形ADEF，连接CF．(1).如图1，当点D在线段BC上时，求证CF+CD=BC．(2).如图2，当点D在线段BC得延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系．(3).如图3，当点D在线段BC得反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，若BC=17，CF=7，求DF的长．27．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD；CE与BD交于F，连AF，M为BC中点，连接DM交CE于N．请说明：(1).△ABD≌△NCD；(2).CF=AB+AF．28．以点A为顶点作两个等腰直角三角形(△ABC，△ADE)，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．(1).说明BD=CE；(2).延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；(3).若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．29．如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．(1).如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2).若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过后，点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？(在横线上直接写出答案，不必书写解题过程)30．如图1，已知长方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，E为CD边的中点，P 为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P经过的路程为x，△APE的面积为y．(1).求当x=5时，对应y的值；(2).如图2、3、4，求出当点P分别在边AB、BC和CE上时，y与x之间的关系式；(3).如备用图，当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APE的周长最小？若存在，求出此时∠PAD 的度数；若不存在，请说明理由．。
全等三角形的讲义整理讲义
全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。
）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。
【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边；(2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角， ∠BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。
【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等，对应角的角平分线相等）【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】 如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）A 20° B．30° C ．35° D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ， 且∠ABD=90°。
5.7探索直角三角形全等的条件
7
探索直角三角形全等的条件
1、判定两个三角形全等方法， SSS ， ASA ， AAS， SAS。 判定两个三角形全等方法， 2、如图，Rt ∆ABC中，直角边 BC 、 AC ，斜边 AB 。 如图， ABC中 A C
回 顾 与 思 考
B
A 如图， BE于 BE于 3、如图，AB ⊥ BE于C，DE ⊥ BE于E， B C D，AB=DE， （1）若∠ A=∠ D，AB=DE， ABC与 全等” 则△ ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全 等”） ASA 根据 （用简写法） F E
下面让我们一起来验证这个结论。
已知线段a、 ﹤ 和一个直角 和一个直角α， 已知线段 、c(a﹤c)和一个直角 ， 利用尺规作一个 一个Rt△ 利用尺规作一个 △ABC,使 使 ∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c. ，
a
c
α
想一想，怎样画呢？
按照下面的步骤做一做： 按照下面的步骤做一做：
⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ∠ ° M 在射线CM上截取线段 上截取线段CB=a; ⑵ 在射线 上截取线段 M B
C N 为圆心,C为半径画弧 ⑶ 以B为圆心 为半径画弧， 为圆心 为半径画弧， 交射线CN于点 于点A; 交射线CN于点A; M B
C 连接AB. ⑷ 连接 M B
N
C
A
N
C
A
N
就是所求作的三角形吗？ ⑴ △ABC就是所求作的三角形吗？ 就是所求作的三角形吗 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较， ⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较， 它们能重合吗？ 它们能重合吗？
F C
E
Байду номын сангаас
WORD版本的)数学暑假作业(三角形相似部分)
1.如图,已知D 是△ABC 的边AB 上任一点,DF//AC 交BC 于E.AF 交BC 于M,且∠B=∠F,那么△AMC ∽ △BDE 吗?请说明理由.2.已知如图,△ABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC,求证:△ABD ∽△ACB3.已知△ACB 为等腰直角三角形,∠ACB=900,延长BA 至E,延长AB 至F,∠ECF=1350, 求证:△EAC ∽△CBF.4.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC, AD ⊥AB,AD 交BC 于点E,DC ⊥BC,于AD 交于点D,求证:AC2=AE ×AD.E DCB AF E CB A DCB AMF E D CB A5.在Rt △ABC 中 ,∠ACB=Rt ∠ ,AD 平分∠CAB,CE ⊥AB 于E,交AD 于F,过F 作FG//AB 交CB 于G ,求证:CD=GB6.如图,C 为AB 上一点,E 为AD 上一点,且AB·AC=AD·AE求证:∠AEC=∠B7.如图，已知△ABD ∽△ACE ，求证：△ABC ∽ △ADE8.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,∠A=360,BD 是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2=DC·AC ．DCB AEDB ABC A E GF EDC BA9.如图，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、BC 上，AB=4，AM=1，BN=0.75。
(1)△ADM 与△BMN 相似吗?为什么?(2)求∠DMN 的度数.10.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 是AD 上一点，过C 作CF//AB,延长BP 交AC 于E,交CF 于F,求证:BP2=PE·PF11.已知:如图,D 是△ABC 的边AC 上一点,且CD=2AD,AE ⊥BC 于E,若BC=13,△BDC 的面积是39,求AE 的长.(关于角平分线的一个重要定理)12.△ABC 中,AD 是角平分线,交对边于点D,求证:BD:CD=AB:ACD C B AE DCB AFEPD C B ANM D CBA13.如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长.14.如图,在正方形ABCD 中,E 是CD 的中点,EF ⊥AE,求证:AE2=AD ×AF.15.已知:如图,四边形ABCD 中,CB ⊥BA 于B,DA ⊥BA 于点A,BC=2AD,DE ⊥CD 交AB 于E,连结CE,求证:DE2=AE ×CE.16.如图，正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，DM ⊥CE,AB=6, 求DM 的长.ME DC B A E DCB AF EDCB A FE D CB A17.已知:如图,AD 是△ABC 的角平分线,EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F.求证:FD2=FB ×FC18.已知:如图,△ABC 中,∠ACB=900,F 为AB 的中点,EF ⊥AB,求证:△CDF ∽△ECF.19.已知:如图,△ABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC,求证:△AEF ∽△ACB.20.已知:如图,DE//BC,AD2=AF ×AB,求证:△AEF ∽△ACD.21.已知:如图,△ABC 中,∠ACB=900,CD ⊥AB,DE ⊥BC,AC=6,DE=4,求CD 和AB 的长. FED C B AFEC AF EDCB FED C B A22.已知:如图,△ABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC,求证:AB ×BC=AC ×CD.23.已知:如图,CE 是Rt △ABC 的斜边上的高,BG ⊥AP,求证:CE2=ED ×EP.24.已知:如图,△ABC 中,AD=DB,∠1=∠2,求证:△ABC ∽△EAD.25.已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:△DBE ∽△ABC.21ED CB AEP GDCB A DB AE DC BA26.如图,∠B=900,AB=BE=EF=FC=1.求证:△AEF ∽△CEA27.如图,在梯形ABCD 中,AB ⊥BC,∠BAD=900,对角线BD ⊥DC.(1)△ABD 与△DCB 相似吗?请说明理由.(2)如果AD=4,BC=9,求BD 的长.28.已知:如图,在正方形ABCD 中,P 是BC 上一点,且BP=3PC,Q 是CD 的中点,△ADQ 与△QCP 是否相似?为什么?29.已知:如图,D 是AC 上一点,BE//AC,AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ,∠1=∠2.则BF 是FG 和EF 的比例中项吗?请说明理由.QP DCB A DCB A F E CB A4321DCB A30.如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高,∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F.求证:AC ×AE=AF ×AB.31.如图,AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,DE ⊥DF,且DE 和DF 分别交AB 、AC 于点E 、F. 求证:32.如图,已知△ABC 中∠ACB=900,AC=BC,点E,F 在AB 上,∠ECF=450.(1)△ACF ∽△BEC(2)设△ABC 的面积为S,求证:AF·BE=2S 450FECB AFE D CB AFED CB A GFEDCB A BDBE AD AF33.如图，正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，MN=1，线段MN 的两端在BC 、CD 上，若△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似，求CM 的长。
全等三角形易错题(Word版 含答案)
根据题意，由等腰三角形的性质可得BD是AE的垂直平分线，进而得到AD＝ED，求出 的度数即可得到 关于 的函数表达式．
【详解】
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，
同理可得∠NCD=90°，
∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，
在△BDM和△CDE中，
∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，
∴∠MDE=∠BDC=140°，
∵∠MDN=70°，
7．如图，在四边形 中， ， ， ，点 为 边上一点，连接 . ， 与 交于点 ，且 ，若 ， ，则 的长为_______________.
只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断④错误．
【详解】
解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A＋∠ABE=90°，∠ABE＋∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
全等三角形易错题（Word版 含答案）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为___________．
(完整word版)七年级数学下---全等三角形之动点问题练习
七年级数学下---全等三角形之动点问题练习1、如图，在直角三角形ABC中，/ B= 90°, A吐5cm BO6cm 点P从点B开始沿BA以1cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cn/s的速度向点C运动•几秒后，△ PBQ 的面积为9亦？2、如图所示，已知△ ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题:(1)填空: △ ABC的面积为;(2)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由.(3)在点P与点Q的运动过程中，△ BPC是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由.(4)当厶BPQ是直角三角形时，求t的值。
3、如图(1)，AB= 4cm, AC丄AB BD丄AB AOBD= 3cm 点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动•它们运动的时间为t (s)(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t = 1时，△ ACP与△ BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2）,将图（1）中的“AC丄AB BD L AB'为改“/ CAB=Z DBA= 60°”，其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△人。
卩与厶BPC全等？若存在，求出相应的x、t 的值；若不存在，请说明理由.4、如图，△ ABC中，/ ACB=90，AC=6 BC=8点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点.点P和Q分别以1和3的运动于E,QHl速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE丄l5、如图,已知三角形ABC中,AB=AC=24S米,BC=16，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上从4厘米/秒的速度由B向C运动,同时，点Q在线段CA上由C向A运动,当Q的运动速度为多少厘米/秒时，能在某一时刻使三角形BPD与三角形CQP全等.6 如图，在长方形ABCD中, BC=8cm AC=10cm动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P, Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ设点P的运动时间为t秒，当t为多少秒时，△ PQC是以PQ 为底的等腰三角形.7、已知：如图，在△ ABC中, AB=AC=18 BC=12点D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒3 个单位的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由C点向A点匀速运动，连接DP QP设点P的运动时间为t秒，解答下列问题：8、（1）根据点P的运动，对应的t的取值范围为（）、A. 0€（壬4 B. c. 0€£壬12 D.910、（2）若某一时刻△ BPD与△ CQP全等，贝U t的值与相应的CQ的长为（）A.t=2 ，CQ=9B.t=1 ，CQ=3或t=2，CQ=9C.t=1 ，CQ=3或t=2，CQ=6D.t=1 ，CQ=3(3) 若某一时刻△ BPD^A CPQ 贝U a=( )A. J B.2 C.3 D.七年级数学下---全等三角形之动点问题练习答案：2、(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 垂直，即△ BPC 为直角三角形.理由是:••• AB=AC=BC=6，V.当点Q 到达点C 时，BP=3cm •••点P 为AB 的中点.••• QPL BA (等边三角形三线合一的性质).(2)假设在点P 与点Q 的运动过程中，△ BPQ 能成为等边三角形，二BP=PQ=BQ •••6-t=2t ，解得t=2 .•••当t=2时，△ BPC 是个等边三角形.3、( 1)当 t=1 时，AP=BQ=,1 BP=AC=3 又/ A=Z B=90°,在厶 ACP^P ^ BPQ 中,AP=BQZA=ZBAC 二BF •••△ ACP^A BPQ( SAS . ACP M BPQ /-Z APC # BPQ M APC V ACP=90 .•••/ CPQ=90，即线段PC 与线段PQ 垂直.广―P=2综上所述，存在I *二1或I 巳使得△ ACP 与△ BPQ 全等4、解：•••△ PEC 与 QFC 全等，•斜边 CP=CQ 有三种情况：① P 在 AC 上, Q 在 BC 上, CP=6-t ，CQ=8-3t ，/ 6-t=8-3t ，•/ t=1 ;② P 、Q 都在 AC 上，此时 P 、Q 重合，• CP=6-t=3t-8，•/ t=3.5 ;③ Q 在 AC 上, P 在 BC 上, CQ=CP 3t-8=t-6，•/ t=1，AC+CP=1，答：点P 运动1或3.5或12时，△ PEC 与 QFC 全等。
(完整word版)七年级数学下---全等三角形之动点问题练习
七年级数学下---全等三角形之动点问题练习1、如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm／s 的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm／s的速度向点C运动．几秒后，△PBQ 的面积为9cm2？2、如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到达点C 时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）填空：△ABC的面积为；（2）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．（3）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． (4)当△BPQ是直角三角形时，求t的值。
3、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A 向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t 的值；若不存在，请说明理由．4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l 于E，QF⊥l于F，问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由。
全等三角形易错题(Word版 含答案)
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5Q（厘米/秒）；（2）点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【解析】【分析】（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得△BPD≌△CQP；②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x秒，即可列出方程1562202x x，解方程即可得到结果.【详解】（1）①因为t＝1（秒），所以BP＝CQ＝6（厘米）∵AB＝20，D为AB中点，∴BD＝10（厘米）又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD与△CQP中，BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②因为V P ≠V Q ，所以BP ≠CQ ，又因为∠B ＝∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ，故CQ ＝BD ＝10．所以点P 、Q 的运动时间84663BP t （秒）， 此时107.543Q CQ V t （厘米/秒）．（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得1562202x x ， 解得x=803(秒) 此时P 运动了8061603（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.2．如图1，等腰△ABC中，AC =BC ＝∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，D 为线段AO 上一动点，以CD 为一边在CD 下方作等腰△CDE ,使CD =CE 且∠DCE=45˚，连结BE .(1) 求证：△ACD ≌△BCE ；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、CQ,若CP ＝CQ ＝5,求PQ 的长.(3) 连接OE ，直接写出线段OE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，45DAC ∴∠=，ACD BCE ≌，45PBC DAC ∴∠=∠=，∴在Rt BHC 中,2242422CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，3PH QH ∴==，6.PQ ∴=()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.最小值为：42 2.OE =-3．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m, CE ⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DEF 的形状.【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF 为等边三角形【解析】解：（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA ＝∠CEA=900．∵∠BAC ＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD ．又AB="AC" ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ．∴DE="AE+AD=" BD+CE ．（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE ． ∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ．∴DE=AE+AD=BD+CE ．（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．∴△DEF为等边三角形．（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．4．在四边形ABCD 中，E 为BC 边中点.（Ⅰ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点F 为AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD（Ⅱ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点F，G 均为AD上的点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+12BC+CD.【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC ，即可得出结论． 【详解】（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠FAE ，在△ABE 和△AFE 中， AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△AFE （SAS ），（2）∵△ABE ≌△AFE ，∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，∵E 为BC 的中点，∴BE=CE ，∴FE=CE ，∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC ，在△DEF 和△DEC 中，FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DEF ≌△DEC （SAS ），∴DF=DC ，∵AD=AF+DF ，∴AD=AB+CD ；（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，∴BE=CE=12BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），△DEG ≌△DEC （SAS ），∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，∵BE=CE ，∴FE=GE ，∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∴∠AEF+∠GED=60°，∴∠GEF=60°，∴△EFG 是等边三角形，（2）∵△EFG 是等边三角形，∴GF=EF=BE=12BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+12BC ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．5．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE ，PE 交CD 于F（1）证明：PC=PE ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE考点：三角形全等的证明6．如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC边的中点连接AD，则易证AD＝BD＝CD，即AD＝12BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于12BC．理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，即可证得AH＝BC，此时AD＝12BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.【解析】【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【详解】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝12 BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠HCD＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CF2+CH2，∵DF⊥EH，ED＝DH，∴EF＝FH，∴EF2＝BE2+CF2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．证明方法类似（2）．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点，且AE CD =，BD 与EC 交于点F ，则BFE ∠的度数是___________度；②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时BFE ∠的度数是____________度；（2）如图③，在ABC ∆中，AC BC =，ACB ∠是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，若ACB α∠=，求BFE ∠的大小（用含法α的代数式表示）．【答案】（1）60；（2）60；（3）BFE α∠=【解析】【分析】（1）①只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD ，推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；②只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°；（2）只要证明△AEC ≌△CDB ，可得∠E=∠D ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【详解】解：（1）①如图①中，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD ，∴△ACE ≌△CBD ，∴∠ACE=∠CBD ，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60；②如图②，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60；（2）如图③中，图③点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴=，OC OA∴∠=∠=OAC ACOα=-，∴∠=∠︒180EAC DCBα=，AE CDAC BC=，∴∆≅∆，AEC CDB∴∠=∠，E D∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=．BFE D DCF E ECA OACα【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．∆是等边三角形，点D在边AC上（“点D不与,A C重合），点E是射线8．如图，ABCBC上的一个动点（点E不与点,B C重合），连接DE，以DE为边作作等边三角形DEF∆，连接CF.（1）如图1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且,C F在直线DE的同侧时，过点D作//DG AB，DG交BC于点G，求证：CF EG=；（2）如图2，当DE反向延长线与AB的反向延长线相交，且,C F在直线DE的同侧时，求证：CD CE CF=+；（3）如图3，当DE反向延长线与线段AB相交，且,C F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF=CD+CE，理由见详解.【解析】【分析】(1)由ABC∆是等边三角形，//DG AB，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG∆是等边三角形，易证∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，即可得到结论；(2)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，即可得到结论；(3)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，即可得到结论.【详解】（1）∵ABC∆是等边三角形，//DG AB，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG∆是等边三角形，∴DG=DC.∵DEF∆是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF，在∆ GDE和∆ CDF中，∵DE DFGDE CDFDG DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，∴CF EG=；（2）过点D作DG∥AB交BC于点G，如图2，∵ABC∆是等边三角形，//DG AB，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，∴CF GE =，∴CD CG CE GE CE CF ==+=+（3）CF =CD +CE ，理由如下：过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图3，∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC=GC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，∴CF GE ==GC+CE=CD+CE.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.9．已知：4590ABC A ACB ∆∠=∠=，，，点D 是AC 延长线上一点，且22AD =+，，M 是线段CD 上一个动点，连接BM ，延长MB 到H ，使得HB MB =，以点B 为中心，将线段BH 逆时针旋转45，得到线段BQ ，连接AQ ．（1）依题意补全图形；（2）求证：ABQ AMB ∠=∠；（3）点N 是射线AC 上一点，且点N 是点M 关于点D 的对称点，连接BN ，如果QA BN =， 求线段AB 的长．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB =【解析】【分析】（1）根据题意可以补全图形；（2）根据三角形外角的性质即可证明；（3）作QE ⊥AB ，根据AAS 证得QEB BCM ≅，根据HL 证得Rt QEA Rt BCN ≅，设法证得2AB CD =，设AC BC x ==，则2AB x =，22CD x =，结合已知22AD =+，构建方程即可求解. 【详解】（1）补全图形如下图所示：（2）解：∵∠ABH 是ABM 的一个外角，∴ ABH BAM AMB ∠=∠+∠∵ABH HBQ ABQ ∠=∠+∠ 又∵45HBQ BAM ∠=∠=︒∴ABQ AMB∠=∠（3）过Q 作QE⊥AB，垂足为E，如下图：∵⊥QE AB∴90QEB BCM∠=∠=︒，在QEB和BCM 中，QEB BCMQBE BMCQB BM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QEB BCM≅(AAS)∴EB CM=，QE BC=，在Rt QEA和Rt BCN中∵QE BC=，Q A BN=∴Rt QEA Rt BCN≅ (HL)∴AE CN CM MD DN==++∵点N是点M关于点D的对称点，∴MD DN=∴22AE CM MD EB MD=+=+∴()2222AB AE EB EB MD EB MD CD=+=+=+=设AC BC x==，则2AB x=，22CD x=，又∵22AD=，22AD AC CD x x=+=+∴222x x+=解得：2x=∴22AB=【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．10．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45 ，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝4．∴t＝4÷1＝4（秒），故t的值为4．（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，∴PA ＝PA '，又AP ＝PB ，∴PA ＝PA '＝PB ，∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '＝180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°，∴∠AA 'B ＝45°，即∠OA 'B ＝45°；（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，①如图3，若△ABP ≌△MBP ，则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，∴△AOP ≌△MDP （AAS ），∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，∴M 的坐标为：（6，-4）．②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====，∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，∴∠BAF ＝∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====，∴M 的坐标为：（4，7），③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====，∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====，∴M 的坐标为：（10，﹣1）．综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．。
苏科版数学七年级下期末复习提优专题三角形word版含解析
本文由一线教师精心整理/word可编辑初一期末复习专题-三角形模块一：三角形三边关系1．如果一个三角形的两边长分别是1cm，2cm，那么这个三角形第三边长可能是（）A．1cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得2﹣1＜x＜2+1，即 1＜x＜3．故选：B．2．如果三角形的两边长分别为5 和 7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是A．10 B．11 C．16 D．26【解答】解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12．由于第三边的长为偶数，则 a 可以为 4cm 或 6cm 或 8cm 或 10cm．∴三角形的周长是5+7+4=16cm或5+7+6=18cm或5+7+8=20cm或5+7+10=22cm．故选：C．3．一个等腰三角形的边长分别是4cm 和 7cm，则它的周长是 15cm 或 18cm ．【解答】解：①当腰是4cm，底边是 7cm 时，能构成三角形，则其周长=4+4+7=15cm；②当底边是 4cm，腰长是 7cm 时，能构成三角形，则其周长=4+7+7=18cm．故答案为：15cm 或 18cm．4．一个三角形的三边长分别是 xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过10cm，则 x 的取值范围是（）A．x≤133B．1＜ x≤133C．D．1＜ x≤73【解答】解：∵三角形的三边长分别是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过10cm，∴x+2＜x+x+1，x+x+1+x+2≤10，解得：x＞1，，所以 x 的取值范围是 1＜x≤73，故选：D．5．一个三角形的三边长分别为 xcm、（x+2）cm、（x+4）cm，它的周长不超过39cm，则 x 的取值范围是 2＜x≤11 ．【解答】解：∵一个三角形的3 边长分别是 xcm，（x+2）cm，（x+4）cm，它的周长不超过 39cm，解得 2＜x≤11．故答案为：2＜x≤11．6．已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b）C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b 【解答】解：设第三边长x．根据三角形的三边关系，得a﹣b＜x＜a+b．∴这个三角形的周长m 的取值范围是a﹣b+a+b＜L＜a+b+a+b，即2a＜L＜2a+2b．故选：B．7．现有长为 57cm 的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每小段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意 3 小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为 8 ．【解答】解：因为 n 段之和为定值 57cm，故欲 n 尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1cm，且任意 3 段都不能拼成三角形，因此这些小段的长度只可能分别是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，但 1+1+2+3+5+8+13+21=54＜57，1+1+2+3+5+8+13+21+34=88＞57，所以 n 的最大值为 8．故答案为 8．模块二：三角形中求角度8．如图，△A BC 的角平分线AD 交 BD 于点D，∠1=∠B，∠C=66°，则∠BAC 的度数是 76° ．【解答】解：∵△ABC 的角平分线 AD 交 BD 于点 D，∴∠C AD=∠1=1∠BAC，2∵∠1=∠B，∴∠ADC=∠1+∠B=2∠1，在△ABC 中，∠B+2∠1+∠C=180°，∴3∠1=180°﹣∠C=114°，∴∠1=38°，∴∠BAC=2∠1=76°．故答案为76°9．将一副直角三角板如图放置，使含 30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 75 度．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．10．在锐角△ABC 中，三条高交于点H，若∠BHC=110°，则∠BAC= 70 °．【解答】解：如图所示，∵CF⊥AB，B E⊥AC，∴∠AFC=∠AEB=90°，∵∠E HF=∠BHC=110°，∴∠A=360°﹣∠AFC﹣∠AEB﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°．故答案为：70．11．一个正三角形和一副三角板（分别含30°和45°）摆放成如图所示的位置，且AB∥CD，则∠1+∠2= 75° ．【解答】解：连接 AC，∵A B∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°．∵∠BAG=30°，∠EC D=60°，∴∠E AC+∠ACE=180°﹣30°﹣60°=90°．∵∠CE D=60°，∴∠GEF=180°﹣90°﹣60°=30°．同理∠E GF=180°﹣∠1﹣90°=90°﹣∠1，∠GFE=180°﹣45°﹣∠2=135°﹣∠2，∵∠GEF+∠EGF+∠GFE=180°，即30°+90°﹣∠1+135°﹣∠2=180°，解得∠1+∠2=75°．故答案为：75°．12．如图，方格中的点A，B 称为格点（格线的交点），以AB 为一边画△A BC，其中是直角三角形的格点 C 的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图所示：以AB 为一边画△A BC，其中是直角三角形的格点C 共有 4 个，故选：B．13．我们都知道“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，据此，请你叙述四边形的一个外角与它不相邻的三个内角的数量关系与它不相邻的三个内角的和减去180° ．【解答】解：四边形的一个外角与相邻的内角互补，而四个内角的和是360 度，则四边形的一个外角等于：与它不相邻的三个内角的和减去180°．故答案是：与它不相邻的三个内角的和减去180°．模块三：三角形模型14．已知△A BC 中，∠A=α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C=90°+12α ；在图（2）中，设∠B 、∠C 的两条三等分角线分别对应交于 O 1、O 2，则∠BO 2C= 60°+23α ；请你猜想，当∠B 、∠C 同时 n 等分时，（n ﹣1）条等分角线分别对应交于 O 1、 O 2，…，O n ﹣1，如图（3），则∠BO n ﹣1C= （用含 n 和α的代数式表 示）．【解答】解：在△ABC 中，∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣α，∵O 2B 和 O 2C 分别是∠B 、∠C 的三等分线，∴∠O 2BC+∠O 2CB=23（∠ABC+∠ACB ）=23（180°﹣α）=120°﹣23α； ∴∠BO 2C=180°﹣（∠O 2BC+∠O 2CB ）=180°﹣（120°﹣23α）=60°+23α；在△ABC 中，∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣α，∵O n ﹣1B 和 O n ﹣1C 分别是∠B 、∠C 的 n 等分线，∴ ∠ O n ﹣ 1BC+ ∠ O n ﹣ 1CB= 1n n -（ ∠ ABC+ ∠ ACB ） = 1n n-（ 180 ° ﹣ α ） = 0180(1)n n -﹣(1)n nα-． ∴ ∠ BO n ﹣ 1C=180 ° ﹣ （ ∠ O n ﹣ 1BC+ ∠ O n ﹣ 1CB ） =180 ° ﹣ （0180(1)n n -﹣(1)n nα- ）故答案为：60°+23 α；(1)n nα-+0180n 15．如图，在△ABC 中，∠A =m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点 A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和 ∠A 1CD 的平分线交于点 A 2，得∠A 2；…∠A 2021BC 和∠A 2021CD 的平分线交于点 A 2021，则∠ A 2021= 20132m度．【解答】解：∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CA=12∠ACD ， ∵∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ， 即12∠ACD=∠A 1+12∠ABC ， ∴∠A 1=12（∠ACD ﹣∠ABC ）， ∵∠A+∠ABC=∠ACD ，∴∠A=∠ACD ﹣∠ABC ，∴∠A 1=12∠A ， ∴∠A 1=12m °， ∵∠A 1=12∠A ，∠A 2=12∠A 1=212∠A， 以此类推∠A 2021=201312∠A=20132m °． 故答案为：20132m．16．如图，在△ABC 中，∠A=40°，D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，则∠BDC= 110° ．【解答】解：∵D点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，∴∠C BD=∠ABD=12∠ABC，∠BCD=∠ACD=12∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，∴∠DBC+∠DCB=70°，∴∠BDC=180°﹣70°=110°，故答案为：110°．模块四：多边形17．在一个 n（n＞3）边形的 n 个外角中，钝角最多有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【解答】解：∵一个多边形的外角和为360°，∴外角为钝角的个数最多为3个．故选：B．18．若 n 边形的内角和是它外角和的2 倍，则 n= 6 ．【解答】解：设所求多边形边数为n，则（n﹣2）•180°=360°×2，解得 n=6．19．如图是由射线 AB、BC、CD、DE、EA 组成的图形，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360° ．【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为：360°．20．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是 8 边形．【解答】解：设所求正n 边形边数为 n，则1080°=（n﹣2）•180°，解得n=8．故答案为：8．模块五：面积问题21．如图，△A BC 三边的中线 AD、BE、CF 的公共点为 G，若 S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是 4 ．【解答】方法 1解：∵△ABC 的三条中线 AD、BE，CF 交于点 G，∴S△CGE=S△AGE=13S△A CF，S△BGF=S△BGD=13S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=12S△ABC =12×12=6，∴S△CGE=13S△ACF=13×6=2，S△BGF=13S△BCF=13×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故答案为 4．方法 2设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG 的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得： S1=S2 ， S3=S4 ， S5=S6 ， S1+S2+S3=S4+S5+S6 ①，S2+S3+S4=S1+S5+S6②由①﹣②可得 S1=S4，所以S1=S2=S3=S4=S5=S6=2，故阴影部分的面积为4．22．如图，A、B、C 分别是线段 A1B，B1C，C1A 的中点，若△A BC 的面积是 1，那么△A1B1C1的面积 7 ．【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A、B 分别是线段 A1B，B1C 的中点，∴S△ABB1=S△ABC=1，S△A1AB1=S△ABB1=1，∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，∴△A1B1C1 的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．故答案为：7．23．如图，在△ABC 中，C1，C2 是 AB 边上的三等分点，A1，A2，A3 是 BC 边上的四等分点，AA1 与 CC1 交于点 B1，CC2 与 C1A2 交于点 B2，记△AC1B1，△C1C2B2，△C2BA3 的面积为 S1，S2，S3．若 S1+S3=9，S2= 4 ．【解答】解：根据图形和已知条件发现：S1=12S△ACC1，S2=13S△CC1C2，S3=14S△CC2B，S△ACC1=S△CC1C2=S△CC2B，∴S1=32S2，S3=34S2，若 S1+S3=9，S2=4．24．（1）如图①，AD 是△ABC 的中线，△A BD 与△A CD 的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）若三角形的面积记为S，例如：△ABC 的面积记为 S△ABC，如图②，已知S△ABC=1，△ABC 的中线 AD 、CE 相交于点 O ，求四边形 BDOE 的面积． 小华利用（1）的结论，解决了上述问题，解法如下：连接 BO ，设 S △BEO =x ，S △BDO =y ， 由（1）结论可得：1122BCE ABD ABC S S S ∆∆∆===， S △BCO =2S △BDO =2y ，S △BAO =2S △BEO =2x ．则有BEO BCO BCE BAO BDO BADS S S S S S ∆∆∆∆∆∆+=⎧⎨+=⎩， 即122122x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 所以13x y +=． 即 四边形 BDOE 的面积为13请仿照上面的方法，解决下列问题：①如图③，已知 S △ABC =1，D 、E 是 BC 边上的三等分点，F 、G 是 AB 边上的三等分点，AD 、 CF 交于点 O ，求四边形 BDOF 的面积．②如图④，已知 S △ABC =1，D 、E 、F 是 BC 边上的四等分点，G 、H 、I 是 AB 边上的四等分 点，AD 、CG 交于点 O ，则四边形 BDOG 的面积为110． 【解答】解：（1）S △ABD =S △ACD ．∵AD 是△A BC 的中线∴BD=CD ，又∵△ABD 与△A CD 高相等，∴S △ABD =S △ACD ．（2）①如图 3，连接 BO ，设 S △BFO =x ，S △BDO =y ，S △BCF =S △ABD =13S △ABC =13S △BCO =3S △BDO =3y ，S △BAO =3S △BFO =3x ．则有BFO BCO BCF BDO BAO BAD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆+=⎧⎨+=⎩即133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． ， 所以 x+y=16，即四边形 BDOF 的面积为16； ②如图，连接 BO ，设 S △BDO =x ，S △BGO =y ，，S △BCG =S △ABD =14S △ABC =14， S △BCO =4S △BDO =4x ，S △BAO =4S △BGO =4y ．则有BGO BCO BCG BDOBAO BAD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆+=⎧⎨+=⎩， 即144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 所以 x+y=110，即四边形 BDOG 的面积为110， 故答案为：110． 模块六：综合题25．证明：三角形三个内角的和等于180°． 已知： △A BC ．求证： ∠BAC+∠B+∠C =180° ．【解答】解：已知：△ABC ， 求证：∠BAC+∠B+∠C =180°， 证明：过点 A 作 EF ∥BC ，∵E F ∥B C ，∴∠1=∠B ，∠2=∠C ，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°． 即知三角形内角和等于 180°． 故答案为：△ABC ；∠BAC+∠B+∠C =180°．26．如图①，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD=∠B．（1）求证：CD⊥AB；（2）如图②，若∠BAC 的平分线分别交 BC，CD 于点 E，F，求证：∠AEC=∠C FE．【解答】（1）证明：∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠B=∠ACD，∴∠B+∠BCD=90°，又∵∠CDB+∠B+∠BCD=180°，∴∠C DB=90°，∴CD⊥AB；（2）在△A CE 中，∠AEC+∠C AE=90°，在△AFD 中，∠FAD+∠AFD=90°，∵AE 平分∠BAC，∴∠C AE=∠FAD，∴∠AEC=∠AFD，又∵∠CFE=∠AFD，∴∠AEC=∠C FE．27．在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、BC 上（不与点 A、B、C 重合），点 P 是直线 AB 上的任意一点（不与点A、B 重合）．设∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．（1）如图，当点 P 在线段 AB 上运动，且 n=90°时①若PD∥BC，PE∥AC，则m= 90° ；②若 m=50°，求 x+y 的值．（2）当点 P 在直线 AB 上运动时，直接写出x、y、m、n 之间的数量关系．【解答】解：（1）①如图1，∵PD∥B C，PE∥AC，∴四边形 DPEC 为平行四边形，∴∠DPE=∠C，∵∠DPE=m，∠C=n=90°，∴m=90°；②∵∠ADP=x，∠PEB=y，∴∠C DP=180°﹣x，∠CEP=180°﹣y，∵∠C+∠C DP+∠DPE+∠CE P=360°，∠C=90°，∠DPE=50°，∴90°+180°﹣x+50°+180°﹣y=360°，∴x+y=140°；（2）分五种情况：①y﹣x=m+n，如图2，理由是：∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，∴∠DFP=n+180°﹣y，∵x+m+∠DFP=180°，∴x+m+n+180°﹣y=180°，∴y﹣x=m+n；②x﹣y=m﹣n，如图3，理由是：同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，∴x﹣y=m﹣n；③x+y=m+n，如图4，理由是：由四边形内角和为 360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，∴x+y=m+n；④x﹣y=m+n，如图5，理由是：同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，∴x﹣y=m+n；⑤y﹣x=m﹣n，如图6，理由是：同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，∴y﹣x=m﹣n．。
(完整版)初中数学三角形证明题经典题型训练汇总
2015年 05月 03日初中数学三角形证明组卷．选择题（共 20 小题）1．（ 2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交 AB 与 D ，交 BC 于 E ，连接 AE ，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（ ）2 ．（ 2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠A=36°， BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）4．（ 2014?丹东）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40°， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交AC 于点 E ，连接 BE ，则∠ CBE 的度数为（ ）C 12D53．（ 2014 秋? 西城区校级期中）如图，在△ ABC 中， AD 是它的角平分线， A B=8cm ，AC=6cm ，C 16 ： 9D 9： 163：4WORD格式可编辑A 70°B 80°C 40°D 30°度数为（ ）6．（2014? 山西模拟）如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ AOD ，若∠ AOC=3°5 ， 则∠BOD7 ．（2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交 BC 边于8．（2014 秋? 腾冲县校级期末） 如图，已知 BD 是△ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（）5．（ 2014? 南充）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，且 D 为 BC 上一点，CD=AD ， AB=BD ，则∠ B 的C 40D 45A 145°B 110C 70°D 35°60°的角的个数是（C4D5等于（ ）D ，若 AB=10， AC=5，则图中等于9．（2014春? 栖霞市期末） 在 Rt △ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点 D 到 AB 的距离 DE=3.8cm ，则 BC 等于（10 ．（ 2014秋? 博野县期末）△ ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离 相等；∠ A=40°，则∠ BOC （= ）A 110°B 120°C 130°D 140°B3 C6D 不能确定B 7.6cm 11.4cmD 11.2cm11 ．（2013秋? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，A 3.8cm若 PE=6，则 PF 的长为（12 ．（ 2013秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D ， 交 AB 于点 E ，已知 AE=1cm ，△ACD 的周长为 12cm ，则△ ABC 的周长是（ ）16．（2014 秋? 万州区校级期中）如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点， BF=CD ，C 15cmD 16cm13．（2013秋? 西城区期末） 如图，∠BAC=13°0 等于（ ）14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用条件是（ ）， 若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则∠ PAQ80°D 105°HL ”判定 Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′全等的B ．∠A=∠A ′， AB=A ′B ′ D ．∠B=∠B ′， BC=B ′C ′15．（2014 秋 ? 淄川区校级期中）如图， M N 是线段 AB 的垂直平分线， C 在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（ ）A BC > PC+APB BC <PC+APC BC=PC+APD BC ≥ PC+APCE=BD，那么∠ EDF等于（）不一定成立的是（ ）B ． 90°﹣ ∠AC ． 180°﹣∠AD45°∠A17．（ 2014 秋 ? 泰山区校级期中）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论A ． △ABD ≌△ ACDC ． AD 是△ ABC 的角平分线B ． AD 是△ ABC 的高线D ．△ABC 是等边三角18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点 P 是△ ABC 内的一点，若 PB=PC ，则（A ．点 P 在∠ABC 的平分线上 C ．点 P 在边 AB 的垂直平分线上 B ． 点 P 在∠ ACB 的平分线上 D ．点 P 在边 BC 的垂直平分线上19．（ 2013? 河西区二模） 如图， 在∠ECF 的两边上有点 B ，A ，D ，BC=BD=D ，A 且∠ADF=75°， C 25° D 30°A 90°﹣∠A20 ．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB 的平分线 OC 上任意一点， PM ⊥OA 于 M ， PN ⊥OB 于 N ，连接 MN 交 OP 于点 D ．则① PM=P ，N ②MO=N ，O ③OP ⊥MN ，④MD=N ．D 其中正确 的有（ ）．解答题（共 10 小题）21 ．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知 ON 是∠AOB 的平分线， OM 、OC 是∠ AOB 外的射线．1）如果∠ AOC α= ，∠ BOC β= ，请用含有 α， 的式子表示∠ NOC ． 那么∠ MON 的度数是多少？A 1 个2）如果∠ BOC=9°0 ， OM 平分∠ AOC ，22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， C 、 D 是垂足，连接 CD ，且交 OE 于点 F ．（1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2∠C ， BD 平分∠ ABC ，DE ⊥AB（ E 在 AB 之间），DF ⊥BC ，已知 BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC 的周长．24 ．（ 2014 秋? 大石桥市期末） 如图， 点 D 是△ ABC 中 BC 边上的一点， 且 AB=AC=C ，DAD=BD ， 求∠BAC 的度数．EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ ABC的大小（用含α 的式子表示）；分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠ BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B=∠C．27．（2012 秋? 天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．28 ．（2013秋? 高坪区校级期中）如图，△ ABC 中，AB=AD=A，E DE=EC，∠DAB=30°，求∠C 的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+C．E30．（2011? 龙岩质检）如图，AD是△ ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△ AEF 是等腰三角形．2015年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共 20 小题）1．（ 2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交 AB 与 D ，交 BC 于 E ，连接 AE ，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（ ）考 线段垂直平分线的性质． 点：分 先根据勾股定理求出 AE=13，再由 DE 是线段 AB 的垂直平分线，得出BE=AE=13． 析：解解：∵∠ C=90°，答：∴A E=，∵DE 是线段 AB 的垂直平分线， ∴BE=AE=1；3 故选： A ．点 本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出 AE 是解题的关评： 键．2．（ 2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=36°， BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）考 等腰三角形的判定；三角形内角和定理．C 12D5点：专证明题．题：分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，析：解解：共有 5 个．答：（1）∵ AB=AC ∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ ABC、∠BCD 的角平分线∴∠ EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠ EBC=∠ ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠ A=36°，AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB= （180°﹣36°）=72°，又BD是∠ ABC的角平分线，∴∠ ABD= ∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△ CDE 和△ BCD是等腰三角形．故选：A．点此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，评：题．3．（2014秋? 西城区校级期中）如图，在△ ABC 中，AD是它的角平分线，考角平分线的性质；三角形的面积．点：专计算题．题：C 16 ：9 D 9：16即可得出答案．属于中档AB=8cm，AC=6cm，则S △ABD：S△ACD=（）3：4分 首先过点 D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由 AD 是它的角平分线，根据角平分线的性质， 析： 即可求得 DE=DF ，由△ ABD 的面积为 12，可求得 DE 与 DF 的长，又由 AC=6，则 可求得△ ACD 的面积．解 解：过点 D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E 、F ⋯（ 1 分） 答： ∵AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=D ，F ⋯（ 3 分） ∴S △ABD= ? DE? AB=12， ∴DE=DF=⋯3 （ 5 分）∴S △ADC= ? DF? AC= ×3×6=9⋯（ 6 分）∴S △ABD ： S △ACD =12： 9=4： 3．点 此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性 评： 质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（ 2014? 丹东）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠A=40°， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，连接 BE ，则∠ CBE 的度数为（ ）考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 专题： 几何图形问题．分析： 由等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，即可求得∠ ABC 的度数，又由线段 AB 的垂直 平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，可得 AE=BE ，继而求得∠ ABE 的度数，则可求得答 案．解答： 解：∵等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40°，∴∠ ABC=∠C==70°，∵线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，A 70°B 80°C 40D 30°故选 A ．∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014? 南充）如图，在△ ABC 中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A 30°B 36°C 40°D 45考等腰三角形的性质．点：分求出∠ BAD=2∠ CAD=∠2 B=2∠C 的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠ B，析：解解：∵ AB=AC，答：∴∠ B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=A，D∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36° 故选：B．点本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出评：∠BAD=2∠CAD=∠2 B=2∠C 关系．6．（2014? 山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠ AOD，若∠ AOC=3°5 ，则∠BOD 等于（）A 145°B 110C 70°D 35°考 角平分线的定义． 点：分 首先根据角平分线定义可得∠ AOD=∠2 AOC=7°0 ，再根据邻补角的性质可得∠ BOD 析： 的度数．解 解：∵射线 OC 平分∠ DOA ． 答： ∴∠ AOD=∠2 AOC ，∵∠ COA=3°5 ， ∴∠ DOA=7°0 ，∴∠ BOD=18°0 ﹣70°=110°， 故选： B ．点 此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分． 评：7．（ 2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交 D ，若 AB=10， AC=5，则图中等于 60°的角的个数是（ ）考点： 线段垂直平分线的性质． 分析： 根据已知条件易得∠ B=30°， ∠ BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答： 解：∵∠ ACB=90°， AB=10， AC=5，∴∠ B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60° ∵DE 垂直平分 BC ，∴∠ BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=9°0 ﹣30°=60°． ∴∠BDE 对顶角 =60°，∴图中等于 60°的角的个数是 4． 故选 C ．点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识． 线段的垂直平分线上的点到 线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014 秋? 腾冲县校级期末） 如图，已知 BD 是△ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（ ）BC 边于C4 D5考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD 是△ABC的中线，∴AD=C，D∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+A）D ﹣（BC+BD+C）D=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春? 栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点 D 到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（考点：角平分线的性质．分析：由∠ C=90°，∠ CAB=60°，可得∠B 的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠ CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠ C=90°，∠ CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠ CAB，∴DC=DE=3.，8 ∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.．4 故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB 的距离DE即为CD长，是解题的关键．B3 C6 D 不能确定B 7.6cm 11.4cm D 11.2cmA 3.8cm10．（2014 秋? 博野县期末）△ ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相 等；∠ A=40°，则∠ BOC （= ）A 110°B 120°C 130°D 140°角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质． 计算题．由已知， O 到三角形三边距离相等，得 O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求 出∠BOC 的度数．解 解：由已知， O 到三角形三边距离相等，所以 O 是内心， 答： 即三条角平分线交点，AO ， BO ，CO 都是角平分线，所以有∠ CBO ∠= ABO= ∠ABC ，∠ BCO ∠= ACO= ∠ACB ， ∠ABC+∠ACB=18﹣0 40=140 ∠OBC ∠+ OCB=70 ∠BOC=18﹣0 70=110° 故选 A ．点 此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识 评： 点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013 秋? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，若考点 ： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 专题 ： 计算题．分析： 利用角平分线性质得出∠ POF=∠POE ，然后利用 AAS 定理求证△ POE ≌△ POF ，即可 求出 PF 的长．考点专题分）4解答： 解：∵ OC 平分∠ AOB ，∴∠ POF=∠POE ， ∵PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PFO=∠PEO ， PO 为公共边，∴△ POE ≌△ POF ， ∴PF=PE=6． 故选 C ．点评： 此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此 题的关键是求证△ POE ≌△ POF ．12．（2013 秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D ， 交 AB 于点 E ，已知 AE=1cm ，△ACD 的周长为 12cm ，则△ ABC 的周长是（ ）考 线段垂直平分线的性质． 点： 分 要求△ ABC 的周长，先有 AE 可求出 AB ，只要求出 AC+BC 即可，根据线段垂直平分线析： 的性质可知， AD=BD ，于是 AC+BC=AC+CD+A 等D 于△ ACD 的周长，答案可得． 解解：∵ DE 是 AB 的垂直平分线，答： ∴AD=BD ， AB=2AE=2又∵△ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ ABC 的周长是 12+2=14cm ． 故选 B点 此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端 评： 点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关 键．13．（2013秋? 西城区期末）如图，∠BAC=13°0 ，若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则∠PAQ 等于（ ）考点：线段垂直平分线的性质． 点：分析：根据线段垂直平分线性质得出 BP=AP ，CQ=AQ ，推出∠ B=∠BAP ，∠C=∠QAC ，求出 ∠B+∠C ，即可求出∠ BAP+∠QAC ，即可求出答案．C 15cmD 16cmC 80°D 105°A 13cmB 14cm A 50° B 75解 解：∵ MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ， 答： ∴BP=AP ， CQ=AQ ，∴∠B=∠PAB ，∠C=∠QAC ，∵∠ BAC=13°0 ， ∴∠B+∠C=180°﹣∠ BAC=50°，∴∠ BAP+∠CAQ=5°0 ， ∴∠PAQ=∠BAC ﹣（∠ PAB+∠QAC ）=130°﹣50°=80°， 故选： C ．点 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注 评： 意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用“ HL ”判定AB=A ′B ′ ． BC=B ′C ′考 直角三角形全等的判定． 点：分 根据直角三角形全等的判定方法（ HL ）即可直接得出答案． 析： 解 解：∵在 Rt △ ABC 和 Rt △A ′B ′C ′中，答： 如果 AC=A ′C ′， AB=A ′B ′，那么 BC 一定等于 B ′C ′，Rt △ ABC 和 Rt △A ′B ′C ′一定全等， 故选 C ．点 此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基 评： 础题．15．（2014 秋 ? 淄川区校级期中）如图， 在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（考点： 线段垂直平分线的性Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′全等的MN 是线段 AB 的垂直平分线，）C 在 MN 外，且与 A 点C BC=PC+APD BC ≥ PC+APC AC=A ′ C ′，D ∠ B=∠B ′，B BC < PC+AP分析： 从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB ，结合图形知 BC=PB+P ，C通过等量代换得到答案．解答： 解：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴PA=PB ．∵BC=PC+B ，P ∴BC=PC+A ．P 故选 C ．点评： 本题考查了垂直平分线的性质： 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离 相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014 秋? 万州区校级期中）如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点， BF=CD ， CE=BD ，那么∠ EDF 等于（ ）考点： 等腰三角形的性质．分析： 由 AB=AC ，利用等边对等角得到一对角相等，再由 BF=CD ， BD=CE ，利用 SAS 得到三角形 FBD 与三角形 DEC 全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出解答： 解：∵ AB=AC ， ∴∠B=∠C °， 在△BDF 和△CED 中，，∴△ BDF ≌△CED （ SAS ）， ∴∠ BFD=∠CDE ，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠ B=180°﹣ 则∠ EDF=180°﹣（∠ FDB+∠EDC ）=90°﹣ ∠A ． 故选 B ．点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的 关键．90° ﹣ ∠A∠A ，=90°BC 180°﹣∠A17．（2014 秋? 泰山区校级期中）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论B AD 是△ ABC 的 ． 高线D △ ABC 是等边 ． 三角形考点 ： 等腰三角形的性质．分析： 利用等腰三角形的性质逐项判断即可． 解答： 解：A 、在△ ABD 和△ ACD 中，，所以△ ABD ≌△ACD ，所以 A 正确；B 、因为 AB=AC ， AD 平分∠ BAC ，所以 AD 是 BC 边上的高，所以 B 正确； C 、由条件可知 AD 为△ ABC 的角平分线；D 、由条件无法得出 AB=AC=B ，C 所以△ ABC 不一定是等边三角形，所以 D 不正确；故选 D ．点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点 P 是△ ABC 内的一点，若 PB=PC ，则（考点： 线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由 线段 BC 的垂直平分线上． PC=PB 即可得出 P 在解答：解：∵ PB=PC ，∴P 在线段 BC 的垂直平分线上，．DC AD 是△ ABC的 ． 角平分线A 点 P 在∠ ABC ． 的平分线上C 点 P 在边AB ． 的垂直平分 B 点 P 在∠ ACB ． 的平分线上D 点 P 在边BC ． 的垂直平不一定成立的是（故选 D ．点评： 本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（ 2013? 河西区二模） 如图， 在∠ECF 的两边上有点考 等腰三角形的性质． 点：分 根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ ECF 的度数． 析： 解解：∵ BC=BD=D ，A 答： ∴∠ C=∠BDC ，∠ ABD=∠BAD ， ∵∠ABD=∠C+∠BDC ，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°． 故选： C ．点 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运 评： 用．20．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB 的平分线 OC 上任意一点， PM ⊥OA 于 M ，PN ⊥OB 于 N ，连接 MN 交 OP 于点 D ．则① PM=P ，N ②M O=NO ，③OP ⊥MN ，④MD=N ．D其中正确考 角平分线的性质． 点：B ，A ，D ，BC=BD=D ，A 且∠ADF=75°，C 25°D 30°的有（ ）A 1 个分由已知很易得到△ OPM≌△ OPN，从而得角相等，边相等，进而得△ OM≌P △ ONP，析：△PMD≌△PND，可得MD=N，D ∠ ODN∠= ODM=9°O，答案可得．解解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA 于M，PN⊥OB 于N答：连接MN交OP于点D，∴∠ MOP∠= NOP，∠OMP∠= ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=N，POM=O，N 又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=N，D∠ ODN∠= ODM=9°O，∴OP⊥MN∴① PM=P，N ②MO=N，O③OP⊥MN，④MD=ND 都正确．故选D．点本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并评：利用△ OM≌D △OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10 小题）21．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠ AOCα= ，∠ BOCβ= ，请用含有α，β 的式子表示∠ NOC．（2）如果∠ BOC=9°0 ，OM平分∠ AOC，那么∠ MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠ AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠ AON，即可得出∠ NOC；（2）先利用角平分线求出∠ AOM= ∠AOC，∠ AON= ∠AOB，即可得出解答：解：（1）∵∠ AOCα= ，∠ BOCβ= ，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠ AOB的平分线，∴∠AON= （α﹣β），∠NOCα= ﹣（α﹣β）= （α +β）；（2）∵OM平分∠ AOC，ON平分∠ AOB，∴∠AOM= ∠AOC ，∠AON= ∠AOB ， ∴∠MON ∠= AOM ﹣∠AON= (∠AOC ﹣∠AOB )点评： 本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， C 、D 是垂足，连接 CD ，且交 OE 于点F ．考点 ： 线段垂直平分线的性质． 专题 ： 探究型．分析： （ 1）先根据 E 是∠ AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA 得出△ODE ≌△OCE ， 可得出 OD=OC ， DE=CE ， OE=OE ，可得出△ DOC 是等腰三角形，由等腰三角形的性 质即可得出 OE 是 CD 的垂直平分线；（ 2）先根据 E 是∠ AOB 的平分线，∠ AOB=6°0 可得出∠ AOE=∠BOE=3°0 ，由直 角三角形的性质可得出 OE=2DE ，同理可得出 DE=2EF 即可得出结论．解答： 解：（ 1）∵E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， ∴DE=C ，EOE=O ，E∴Rt △ODE ≌Rt △OCE ， ∴OD=O ，C∴△DOC 是等腰三角形， ∵OE 是∠AOB 的平分线， ∴OE 是 CD 的垂直平分线； ( 2)∵ OE 是∠ AOB 的平分线，∠ AOB=6°0 ， ∴∠ AOE=∠BOE=3°0 ， ∵EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，∴OE=2D ，E ∠ ODF=∠OED=6°0 ， ∴∠EDF=30°， ∴DE=2EF ， ∴OE=4E ．F= ∠BOC= × 90° =45°EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，DE⊥AB （ E 在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ ABD=∠CBD，即可求得∠ CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=C，D∵BD平分∠ ABC，∴DE=D，F∴△ DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=．12点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋? 大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=C，DAD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠ CAD=∠CDA=∠2 DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠ BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA 的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵ AD=BD∴设∠ BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD ∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠ DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠ DBA=36°∴∠ BAC=3∠DBA=10°8 ．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ ABC 的大小（用含α 的式子表示）；（2）以点 B 为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠ BDE 的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC 的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠ BCD=∠BDC，再求出∠ CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣ ×30°=75°，由题意得：BC=BD=B，E由BC=BD得∠ BDC=∠C=75°，∴∠CBD=18°0 ﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=7°5 ﹣30°=45°，由BD=BE得故∠BDE的度数是67.5 °．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠ BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B=∠C．考等腰三角形的判定．点：分由条件可得出DE=DF，可证明△ BDE≌△ CDF，可得出∠ B=∠C，再由等腰三角形的析：判定可得出结论．解证明：（1）∵AD平分∠ BAC，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，答：∴DE=D，F在Rt △BDE和Rt △CDF中，，，∴Rt △BDE≌Rt △CDF（HF），∴∠ B=∠C；（2）由（1）可得∠ B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质评：得出DE=DF是解题的关键．27．（2012 秋? 天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ ABC，根据三角形内角和定理求出∠ A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ ABD，即可求出答案．解答：解：∵ AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF 是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=6°7 ﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ ABC 和∠ ABD的度数，题目比较好．28．（2013 秋? 高坪区校级期中）如图，△ ABC 中，AB=AD=A，E DE=EC，∠DAB=30°，求∠C 的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=A，E DE=EC，得到∠ B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠ C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=∠2 C，根据∠ DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠3 C=105°，求得∠C 即可．解答：解：∵ AB=AD=A，E DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ ADE=∠AED=∠C+∠EDC=∠2 C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ ADC=∠ADE+∠EDC=∠3 C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+C．E考 等腰三角形的性质．点：专 证明题．题：分由 DE ∥BC ， BF 平分∠ ABC ， CF 平分∠ ACB 可知， DB=DF ， CE=EF ．便可得出结论．析：解 证明：∵ BF 平分∠ ABC （已知） ， CF 平分∠ ACB （已知） ，答： ∴∠ ABF=∠CBF ，∠ ACF=∠FCB ；又∵ DE 平行 BC （已知）∴∠ DFB=∠FBC （两直线平行，内错角相等） ，∠ EFC=∠FCB （两直线平行，内错角 相等），∴∠DBF=∠DFB ，∠EFC=∠E CF （等量代换）∴DF=DB ， EF=EC （等角对等边）∴DE=BD+C ．E点 此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利 评： 用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．DE ， DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E 、F ，连 考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析： 根据角平分线的性质知∠ BAD=∠CAD ；然后根据已知条件“ DE ， DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E 、F ”得到∠ DEA=∠DFA=90°；再加上公共边 AD=AD ，从而证明，△ADE ≌△ ADF ；最后根据全等三角形的对应边相等证明△ AEF 的两边相等，所解答： 证明：∵ AD 是△ ABC 的平分线，∴∠ BAD=∠CAD ，（ 3 分） 又∵DE ， DF 分别垂直 AB 、AC 于 E ，F∴∠ DEA=∠ DFA=90°（ 6 分）又∵ AD=AD ，∴△ ADE ≌△ ADF ． （8分） ∴AE=AF ，即△ AEF 是等腰三角形（ 10分）30．（ 2011? 龙岩质检）如图， AD 是△ ABC 的平分线，点本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根评：据全等三角形的判定定理ASA判定△ ADE≌△ADF．。
全等三角形章末练习卷(Word版 含解析)
全等三角形章末练习卷（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明CAI≅BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC ABCAE BADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE≅BAD∴ICA ABJ∠=∠∴BFE CAB∠=∠（8字形）∴°120CFD∠=在CAI和BAJ中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.2．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE ，∵线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，∴CA=CB ，CE=CD ，∵72ABC EDC ∠=∠=︒=∠DEC ，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD ，在∆ACE 与∆BCD 中，∵CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE ≅∆BCD （SAS ）， ∴∠AEC=∠BDC ，设∠AEC=∠BDC=x ，则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x ）=x-20°，∴在∆BDE 中，∠EBD=180°-（72°-x ）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．3．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4（cm 2）．故答案是：4．4．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，点E 为AD 边上一点，连接BD .CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE AB ∥，若8AB =，6CE =，则BC 的长为_______________.【答案】27【解析】【分析】由AB AD =，BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上，因此，可连接AC 交BD 于点O ，易证ABD △是等边三角形，EDF 是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度，应用勾股定理可求解.【详解】解：如图，连接AC 交BD 于点O∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形∴30BAO DAO ∠=∠=︒，8AB AD BD ===，4BO OD ==∵CE AB ∥∴30BAO ACE ∠=∠=︒，60CED BAD ∠=∠=︒∴30DAO ACE ∠=∠=︒∴6AE CE ==∴2DE AD AE =-=∵60CED ADB ∠=∠=︒∴EDF 是等边三角形∴2DE EF DF ===∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-=∴2223OC CF OF =-=∴2227BC BO OC +=【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，D 为BC 上一点，DA ⊥AC ，AD=24 cm ，则BC的长________cm．【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA⊥AC，AD=24 cm∴DC=2AD=48cm，∵∠BAC=120°，DA⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴∠B=∠BAD∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.6．在△ABC 中，∠ACB＝90º，D、E 分别在 AC、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°【解析】【分析】根据题意画出图形，设∠BAC的度数为x，则∠B=90°-x，∠EFB =135°-x，∠BEF=2x-45°，当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.【详解】∵∠ACB＝90º，△CFD是等腰三角形，∴∠CDF=∠CFD=45°，设∠BAC的度数为x，∴∠B=90°-x，∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，∴∠DFE=∠BAC=x，∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，∵∠ADE=∠FDE，∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：①当FE=FB时，如图1，则∠BEF=∠B，∴90-x=2x-45，解得：x=45；②当BF=BE时，则∠EFB=∠BEF，∴135-x=2x-45，解得：x=60，③当EB=EF时，如图2，则∠B=∠EFB，∴135-x=90-x，无解，∴这种情况不存在.综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.故答案是：45°或60°.图1 图2【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.7．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..8．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝8，AO ＝BO ，点M 是射线CO 上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为______．【答案】7或34【解析】【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．【详解】如图1，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OB=4，又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等边三角形，∴BM=BO=4，∴Rt△ABM中，AM22-3AB BM如图2，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OA=4，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4；如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM22-=43MO OB∴Rt△ABM中，AM22AB BM+47综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为3474．故答案为43 7或4．9．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB－2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.10．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．【详解】延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示：∵M为EF中点，∴ME＝MF，在△BME和△GMF中，BM MG BME GMFME MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BME ≌△GMF （SAS ），∴FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，S △BEM ＝S △GFM ，∴FG ∥BE ，∴∠C ＝∠GFC ，∵∠A +∠C ＝180°，∠DFG +∠GFC ＝180°，∴∠A ＝∠DFG ，∵AB ＝BE ，∴AB ＝FG ，在△DAB 和△DFG 中，AB FG A DFGAD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△DFG （SAS ），∴DB ＝DG ，S △DAB ＝S △DFG ，∵MG ＝BM ，∴DM ⊥BM ，∴五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积＝12×BG ×DM ＝12×8×3＝12， 故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知点M(2,2)，且，在坐标轴上求作一点P ，使△OMP 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）A ．B ．(0,4)C ．(4,0)D ．)【答案】D【解析】【分析】分类讨论：OM=OP ；MO=MP ；PM=PO ，分别计算出相应的P 点，从而得出答案．【详解】∵M(2,2),且,且点P 在坐标轴上当22OM OP == 时P 点坐标为：()()22,0,0,22±± ，A 满足；当22MO MP ==时：P 点坐标为：()()4,0,0,4，B 满足；当PM PO =时：P 点坐标为：()()2,0,0,2，C 满足故答案选：D【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．12．如图，ABC ，分别以AB 、AC 为边作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ，连接BE 、CD ，BE 的延长线与CD 交于点F ，连接AF ，有以下四个结论：①BE CD =；②FA 平分EFC ∠；③FE FD =；④FE FC FA +=．其中一定正确的结论有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 根据等边三角形的性质证出△BAE ≌△DAC ，可得BE =CD ，从而得出①正确；过A 作AM ⊥BF 于M ，过A 作AN ⊥DC 于N ，由△BAE ≌△DAC 得出∠BEA =∠ACD ，由等角的补角相等得出∠AEM =∠CAN ，由AAS 可证△AME ≌△ANC ，得到AM =AN ，由角平分线的判定定理得到FA 平分∠EFC ，从而得出②正确；在FA 上截取FG ，使FG =FE ，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE ≌△CFE ，可得AG =CF ，即可求得AF =CF +EF ，从而得出④正确；根据CF +EF =AF ，CF +DF =CD ，得出CD ≠AF ，从而得出FE ≠FD ，即可得出③错误．【详解】∵△ABD 和△ACE 是等边三角形，∴∠BAD =∠EAC =60°，AE =AC =EC ．∵∠BAE +∠DAE =60°，∠CAD +∠DAE =60°，∴∠BAE =∠DAC ，在△BAE 和△DAC 中，∵AB ADBAE DACAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE=CD，①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．∵△BAE≌△DAC，∴∠BEA=∠ACD，∴∠AEM=∠ACN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，∴∠AME=∠ANC．在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，∴△AME≌△ANC，∴AM=AN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠ACD=180°，∴∠EAC+∠EFC=180°．∵∠EAC=60°，∴∠EFC=120°．∵FA平分∠EFC，∴∠EFA=∠CFA=60°．∵EF=FG，∠EFA=60°，∴△EFG是等边三角形，∴EF=EG．∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，∴∠AEG=∠CEF，在△AGE和△CFE中，∵AE ACAEG CEFEG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE≌△CFE（SAS），∴AG=CF．∵AF=AG+FG，∴AF=CF+EF，④正确；∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，∴FE≠FD，③错误，∴正确的结论有3个．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．13．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（）A．①②③④B．①④③②C．①④②③D．②①④③【答案】B【解析】【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解：已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②在射线AM上截取AB＝a；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④连结AC、BC．△ABC即为所求作的三角形．故选答案为B．本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.的正方形网格中，A，B是如图所示的两个格点，如果C也是格点，且14．在一个33ABC是等腰三角形，则符合条件的C点的个数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】【分析】根据题意、结合图形，画出图形即可确定答案.【详解】解：根据题意，画出图形如图：共8个.故答案为C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据题意、画出符合实际条件的图形是解答本题的关键.15．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC【答案】B试题解析：A.ABC 和CDE △均为等边三角形，60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒，，，在ACD 与BCE 中，{AC BCACD BCE CD CF =∠=∠=，ACD BCE ∴≌，AD BE ∴=，正确.B .据已知不能推出F 是AC 中点，即AC 和BF 不垂直，所以AC BE ⊥错误，故本选项符合题意.C.CFG 是等边三角形，理由如下：180606060ACG BCA ∠=︒-︒-︒=︒=∠，ACD BCE ≌，CBE CAD ∴∠=∠，在ACG 和BCF 中，{CAG CBFAC BCBCF ACG ∠=∠=∠=∠，ACG BCF ∴≌，CG CH ∴=，又∵∠ACG=60° CFG ∴是等边三角形，正确.D.CFG 是等边三角形，60CFG ACB ∴∠︒=∠﹦，.FG BC ∴ 正确.故选B.16．如图，已知AD 为ABC ∆的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE ∆，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED ∆为等腰三角形；⑤BDE ACE S S ∆∆=，其中正确的有( )A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤【答案】D【解析】【分析】 ①根据等腰直角三角形的性质即可证明∠CBE ＝∠DAE ，再得到△ADE ≌△BCE ； ②根据①结论可得∠AEC ＝∠DEB ，即可求得∠AED ＝∠BEG ，即可解题；③证明△AEF ≌△BED 即可；④根据△AEF ≌△BED 得到DE=EF, 又DE ⊥CF ，故可判断；⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE ＝EF ，S △AEF ＝S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE ＝S △ACE ，所以S △BDE ＝S △ACE ．【详解】①∵AD 为△ABC 的高线，∴CBE ＋∠ABE ＋∠BAD ＝90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE ＝∠BAE ＝∠BAD ＋∠DAE ＝45°，AE ＝BE ，∴∠CBE ＋∠BAD ＝45°，∴∠DAE ＝∠CBE ，故①正确；在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；②∵△ADE ≌△BCE ，∴∠EDA ＝∠ECB ，∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴∠EDC ＋∠ECB ＝90°，∴∠DEC ＝90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE ＝∠ADB ＋∠ADE ，∠AFE ＝∠ADC ＋∠ECD ，∴∠BDE ＝∠AFE ，∵∠BED ＋∠BEF ＝∠AEF ＋∠BEF ＝90°，∴∠BED ＝∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD＝AF故③正确；∵△AEF≌△BED∴DE=EF, 又DE⊥CF，∴△DEF为等腰直角三角形，故④错误；④∵AD＝BC，BD＝AF，∴CD＝DF，∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形，∵DE⊥CE，∴EF＝CE，∴S△AEF＝S△ACE，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF＝S△BED，∴S△BDE＝S△ACE．故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．17．如图，已知等边△ABC的边长为4，面积为43，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（）A．3 B．2C．3D．3【答案】C【解析】【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，∴BD⊥AC，EC＝2，连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，∴PE+PC的最小值是22-=．4223-＝22AC E C故选C．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．18．如图所示，在四边ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，若在BC和CD上分别找一点M，使得△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为（）A．110°B．120°C．140°D．150°【答案】B【解析】【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【详解】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB=120°，∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，故选B．【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用，根据轴对称的性质，得出M，N的位置是解题的关键．19．如图，O是正三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+33；⑤S△AOC+S△AOB=6+934．其中正确的结论是（）A．①②③⑤B．①③④C．②③④⑤D．①②⑤【答案】A【解析】试题解析：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确； S 四边形AOBO ′=S △AOO′+S △OBO′=12×3×4+3×42=6+43， 故结论④错误； 如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形， 则S △AOC +S △AOB =S 四边形AOCO″=S △COO″+S △AOO″=123293， 故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选A ．20．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．详解：∵60BAC ∠=︒，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴12EBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， 故①正确．如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴AD 为BAC ∠的平分线，∴DF DG =，∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC ∠=︒，∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．∴BDF CDG ∠=∠，∵在BDF 和CDG △中，90BFD CGD DF DGBDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDF ≌()CDG ASA ，∴DB CD =， ∴1(180120)302DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，1302BAE BAC ∠=∠=︒， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，故②正确．∵DB DE DC ==，∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选：D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．。
(完整word版)全等三角形难题集锦(整理)
34、在等边 的两边AB，AC所在直线上分别有两点M,N,D为 外一点，且 , ， ，探究：当点M，N分别爱直线AB,AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及 的周长与等边 的周长L的关系．
27、已知AE⊥AB，AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
28、已知BE,CF是 的高，且BP=AC,CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
29、已知E是正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上，且∠DAE=∠FAE。求证：
30、已知PA= ，PB=4,以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。
①当 旋转至如图②位置，点 , ， 在同一直线上时, 与 的数量关系是．
②当 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？ 与 存在怎样的数量关系？请说明理由．
10、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
(1）请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母)；
20、如图1、图2、图3，△AOB,△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，
（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。
（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图2的位置,请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗?为什么?
（3)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么?
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME，则AM=EC，易证 ≌ ,所以 ．
(word完整版)七年级下册数学三角形全等动点问题
初一数学全等三角形之动点问题专题（B类）一、考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。
动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。
动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。
《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。
本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。
对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。
本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。
二、典型例题1、单动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动. 设点P 的运动时间为（s ），那么t=____时，△PBC 是直角 三角形？2、双动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?巩固练习，拓展思维已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?BCPA CQBPA QDBCPAA变式练习：1、已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？变式练习：2、已知等边三角形△ABC ，（1）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向点C 运动，连接CP 、AQ 交于M ，如果动点P 、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。
(完整word版)相似三角形精选好题-证明题25题
相似三角形精选好题解答题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题（本大题共25小题，共200.0分）1.如图,在中，，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．为何值时,；是否存在某一时刻，使∽？若存在，求出此时AP的长；若不存在,请说明理由；当时,求的值．2.如图，中，于是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证:∽．3.如图，已知四边形ABCD中，的延长线与AD的延长线交于点E．若，求BC的长；若,求AD的长．注意：本题中的计算过程和结果均保留根号4.如图，在中，点D在BC边上，点E在AD边上，．求证：∽；若，求AE的长．5.如图,在四边形ABCD中，,交BC于点F，连接AF．求CF的长；若,求AB的长．6.如图,在锐角三角形ABC中，点分别在边上，于点于点．求证:∽；若,求的值．7.如图，在中，，点D是BC边的中点,．求AD和AB的长;求的值．8.从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图1,在中，CD为角平分线，，求证：CD为的完美分割线．在中，是的完美分割线,且为等腰三角形,求的度数．如图中，是的完美分割线,且是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．9.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为,测得大楼顶端A的仰角为点在同一水平直线上,已知，求障碍物两点间的距离结果精确到参考数据：10.如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图已知长方体货厢的高度BC为米，，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD 的长结果保留根号11.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡AB的坡度:米,米：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比求点B距水平面AE的高度BH；求广告牌CD的高度．测角器的高度忽略不计，结果精确到米参考数据：12.如图，在中,，动点P从点C出发，沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为点的运动速度为，那么运动几秒时,和相似?13.如图所示，，点P从点B出发,沿BC向点C以的速度移动,点Q从点C出发沿CA向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？14.如图,小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为，顶部的仰角为,已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长精确到参考值：．15.如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处三点在同一直线上，又测得主教学楼顶端A的仰角为，已知测角器CD的高度为米，请计算主教学楼AB的高度,结果精确到米16.已知：如图，是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，．求证：∽；如果,求DC的长．17.如图,CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角，求树高结果保留根号18.钓鱼岛自古就是中国的领土,中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测一日,中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛设N、M为该岛的东西两端点最近距离为15海里即海里，在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东方向其中N、M、C在同一条直线上,求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离精确到海里参考数据：．19.探究证明：如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边上,，求证：．如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上,分别交于点E、点F，试猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想．拓展应用：综合、的结论解决以下问题：如图3,四边形ABCD中,，点分别在边上,求的值．20.如图，在某次数学活动课中，小明为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼CD上的E处测得旗杆底端B的仰角的度数为，测得旗杆顶端A的仰角的度数为，旗杆底部B处与教学楼底部C处的水平距离BC为9m，求旗杆的高度结果精确到．【参考数据：】21.已知,如图，在四边形ABCD中,,延长AD、BC相交于点求证：∽；．22.如图,在中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的的两边分别与边交于点E、F，且与互补．如图1，若为BC的中点时,则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；如图2，若为BC的中点时，那么中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由;如图3,若，且，直接写出______ ．23.放风筝是大家喜爱的一种运动,星期天的上午小明在市政府广场上放风筝如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上,风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为已知点在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？风筝线均为线段，，最后结果精确到1米．24.禁渔期间,我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可以船只,测得A、B两处距离为200海里,可疑船只正沿南偏东方向航行，我渔政船迅速沿北偏东方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截求该可疑船只航行的平均速度结果保留根号．25.某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地,如图，其中A、B、C三地在同一直线上,D地在A地北偏东方向，在C地北偏西方向，C地在A 地北偏东方向且，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？最后结果保留整数,参考数据：答案和解析【答案】1。
(完整word版)北师大版七年级数学下册三角形难题全解
来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）考点：三角形如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，∴AE⊥BF．（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）考点：四边形如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE≌△ADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF 的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.【答案】（1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF．【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质（1）根据旋转的概念得出；（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．（2）BE=DF，BE⊥DF；延长BE交DF于G；由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；又∠AEB=∠DEG；∴∠DGB=∠DAB=90°；∴BE⊥DF．来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）如图，在△a bc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.1.求的度数；2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.【答案】1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）∵∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，∴∠BFD=∠ABC=30°；2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）∵EH⊥BE，∴∠HEB=90°，∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．【解析】1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．三角形强化训练和深化☣1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是_________°．解析：由题意可知折叠前，由BC//AD得：∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，∠GEF=∠DEF=25°所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°则由：∠DGF+∠GFC=180°所以：∠GFC=180°－50°＝130°将纸带再沿BF第二次折叠成图C后∠GFC角度值保持不变且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=1052、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．解法1：【解析】证明：∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2＝∠3∵∠5＝∠1+∠2∠4＝∠3+∠B∴∠4＝∠5∴AE＝AF过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF＝FN∴AE＝BG解法2：解：作EH⊥BC于H，如图，∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，∴EA=EH，∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，∴∠B=∠DAC，∵∠AEC=∠B+∠ECB，∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，∴AE=AF，∴EG=AF，∵FG∥BC，∴∠AGF=∠B，∵在△AFG和△EHB中，∠GAF=∠BEH∠AGF=∠BAF=EH，∴△AFG≌△EHB（AAS）∴AG=EB，即AE+EG=BG+GE，∴AE=BG．3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．解：作CF⊥AB于F，交AD于G ，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，∵CE⊥AD，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，∴∠1=∠2，在△AGC和△CEB中∠1=∠2AC=CB∠ACG=∠CBE，∴△AGC≌△CEB（ASA），∴CG=BE，∵AD为腰CB上的中线，∴CD=BD，在△CGD和△BED中CG=BE∠GCD=∠BCD=BD，∴△CGD≌△BED（SAS），∴∠CDA=∠EDB．4、如图，已知AD和BC相交于点O ，且均为等边三角形，以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
(完整版)七年级下册数学全等三角形的经典证明
数学50题1.已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。
(1)求证：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。
2.已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．3.如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．4.如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．求证：AC=EF．5.如图，在ΔABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线。
求证：AD⊥BC，6.如图，已知AB=DE，BC=EF，AF=DC。
求证：∠EFD=∠BCAFGE DC BAAB C D EF AB CD7.如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的理由。
（1）∠DBH=∠DAC ； （2）ΔBDH ≌ΔADC 。
8.已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。
9.如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G ，DE ⊥AG 于E ，且DE ＝DC ，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
ABCDEH10.已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．11.如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．12.在△ABC 中，,AB=AC ， 在AB 边上取点D ，在AC 延长线上了取点E ，使CE=BD ， 连接DE 交BC 于点F ，求证DF=EF .P D AC M NF E DCB AB13.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.求证：EG=EF;请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。
全等三角形证明经典50的题目(含答案详解)2·优选.
全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形AD BC∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）B ACDF21 E∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°∴∠D ＝∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC ＝∠FAC∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD BCAD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=28.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
全等三角形易错题(Word版 含答案)
全等三角形易错题（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________．【答案】5 4),0,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可．【详解】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝=∴D（0）；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×y A=4，∴P（0，4）；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，由勾股定理得：OC＝AC，∴OC＝54，∴C（0，54）；故答案为：5 4),0,4⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．3．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C＝45°∴∠AME＝∠C又∵∠AME＞∠C∴这种情况不成立；②若AE＝EM∵∠B＝∠AEM＝45°∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°∴∠BAE＝∠MEC在△ABE和△ECM中，BBAE CENAE EIIC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ECM（AAS），∴CE＝AB＝6，∵AC＝BC＝2AB＝23，∴BE＝23﹣6；③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝45°∴AE平分∠BAC∵AB＝AC，∴BE＝12BC＝3．故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．4．如图，在ABC∆中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，BE AC=．若70C∠=︒，50DAC∠=︒则EBD∠的度数为______．【答案】10︒【解析】【分析】延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ≅，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．【详解】如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =∴ACD FDB ≅∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠∵AC BE =， 70C ︒∠=， 50CAD ︒∠=∴BE BF =， 70DBF ︒∠=∴50BEF F ︒∠=∠=∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=故答案为：10︒【点睛】本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出下列四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③EF=AB；④12ABCAEPFS S∆=四边形，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP=CP，∴∠PAE=∠PCF，在△APE与△CPF中，{?PAE PCFAP CPEPA FPC∠=∠=∠=∠，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=12S△ABC，①②④正确；而AP=12BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，∴故③不成立．故始终正确的是①②④．故选D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．6．如图，在ABC∆中，AB AC=，点D和点A在直线BC的同侧，,82,38BD BC BAC DBC=∠=︒∠=︒，连接,AD CD，则ADB∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC ，∴BE=BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴∠BEC =60°，EB=EC ，又∵AB=AC ，EA=EA ，∴△AEB ≌△AEC （SSS ），∴∠BEA =∠CEA =1302BEC ∠=︒， ∴∠ADB =30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D 关于直线AB 的对称点E ，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．7．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】 根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．8．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 2＝4，则△A n B n A n +1的边长为_____．【答案】2n．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∵OA2＝4，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，以此类推△A n B n A n+1的边长为 2n．故答案为：2n．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．9．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30 ，CF=43，则DH=______．【答案】23【解析】连接AF.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF.在△ABF和△CBF中，AB BCABF CBFBF BF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF≌△CBF，∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°.∵AH⊥CD，∴AH=12AF=12CF=23.∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=23.故答案为23.点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.10．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，平面直角坐标系中存在点A （3，2），点B （1,0），以线段AB 为边作等腰三角形ABP ，使得点P 在坐标轴上.则这样的P 点有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】D【解析】【分析】 本题是开放性试题，由题意知A 、B 是定点，P 是动点，所以要分情况讨论：以AP 、AB 为腰、以AP 、BP 为腰或以BP 、AB 为腰．则满足条件的点P 可求．【详解】由题意可知：以AP 、AB 为腰的三角形有3个；以AP 、BP 为腰的三角形有2个；以BP 、AB 为腰的三角形有2个．所以，这样的点P 共有7个.故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．12．已知40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当PAB ∆的周长取最小值时，APB ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．100︒D ．140︒【答案】C【解析】【分析】 设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P '、P ''，当点A 、B 在P P '''上时，PAB ∆周长为PA AB BP P P ++='''，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出APB ∠的度数．【详解】分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，P P '''交OM 、ON 于点A 、B ，连接PA 、PB ，此时PAB ∆周长的最小值等于P P '''．由轴对称性质可得，OP OP OP '=''=，P OA POA ∠'=∠，P OB POB ∠''=∠，224080P OP MON ∴∠'''=∠=⨯︒=︒，(18080)250OP P OP P ∴∠'''=∠'''=︒-︒÷=︒，又50BPO OP B ∠=∠''=︒，50APO AP O ∠=∠'=︒，100APB APO BPO ∴∠=∠+∠=︒．故选：C ．【点睛】此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.13．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】 以O 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴有两交点，这两点显然符合题意．以A 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴交与两点（O 点除外）．以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，14．如图，AB ⊥AC ，CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线，AG ∥BC ，AG ⊥BG ，下列结论：①∠BAG ＝2∠ABF ；②BA 平分∠CBG ；③∠ABG ＝∠ACB ；④∠CFB ＝135°，其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB ，∠BAG=2∠ABF ．所以可知选项①③④正确．【详解】∵AB ⊥AC ．∴∠BAC ＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB ＝180°，∴∠ABC+∠ACB ＝90°∵CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线，∴2∠FBC+2∠FCB ＝90°∴∠FBC+∠FCB ＝45°∴∠BFC ＝135°故④正确．∵AG ∥BC ，∴∠BAG ＝∠ABC∵∠ABC ＝2∠ABF∴∠BAG ＝2∠ABF 故①正确．∵AB ⊥AC ，∴∠ABC+∠ACB ＝90°，∵AG ⊥BG ，∴∠ABG+∠GAB ＝90°∵∠BAG ＝∠ABC ，∴∠ABG ＝∠ACB 故③正确．故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．15．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】A【分析】根据CE 垂直平分AD ，得AC=CD ，再根据等腰在三角形的三线合一，得ACE ECD ∠=∠，结合角平分线定义和90ACB ︒∠=，得30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=，则BD CD AC ==．【详解】∵CE 垂直平分AD∴AC=CD ＝6cm ，ACE ECD ∠=∠∵CD 平分BCE ∠∴BCD ECD ∠=∠∴30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=∴60A ︒∠=∴30B BCD ︒∠==∠∴6CD BD AC cm ===故选：A【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．16．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）A ．9个B ．7个C ．6个D ．5个【答案】B【解析】【分析】先以Rt ABC ∆三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点；也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点即得．【详解】解：①如图1，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则∆BCD就是等腰三角形；②如图2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，则∆ACE就是等腰三角形；③如图3，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于M，交AC于点F，则∆BCM、∆BCF是等腰三角形；④如图4，作AC的垂直平分线交AB于点H，则∆ACH就是等腰三角形；⑤如图5，作AB的垂直平分线交AC于点G，则∆AGB就是等腰三角形；⑥如图6，作BC的垂直平分线交AB于I，则∆BCI就是等腰三角形．故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．17．如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA＝CB, CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝α,AD,BE相交于点O，点M,N分别是线段AD,BE的中点，以下4个结论:①AD＝BE;②∠DOB＝180°－α;③△CMN是等边三角形；④连OC,则OC平分∠AOE.正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得到AD=BE；故①正确；②设CD与BE交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，得到∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC 根据线段的中点的定义得到AM=BN ，根据全等三角形的性质得到CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，得到∠MCN=α，推出△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，根据全等三角形的性质得到CH=CG ，根据角平分线的判定定理即可得到OC 平分∠AOE ，故④正确．【详解】解：①∵CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ；故①正确；②设CD 与BE 交于F ，∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC=∠BEC ，∵∠CFE=∠DFO ，∴∠DOE=∠DCE=α，∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；③∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，∴AM=12AD ，BN=12BE ， ∴AM=BN ，在△ACM 和△BCN 中 AC BC CAM CBN AM BN ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝ ∴△ACM ≌△BCN （SAS ），∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，又∠ACB=α，∴∠ACM+∠MCB=α，∴∠BCN+∠MCB=α，∴∠MCN=α，∴△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH ，CE=CD ，∴△CGE ≌△CHD （AAS ），∴CH=CG ，∴OC 平分∠AOE ，故④正确，故选：B ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．18．如图，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ∆是等边三角形；④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.【详解】连接OB ，∵AB AC =，AD ⊥BC ，∴AD 是BC 垂直平分线，∴OB OC OP ==，∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，∵AB=AC ，∠BAC =120∘∴30ABC ACB ∠=∠=︒∴30ABO DBO ∠+∠=︒，∴30APO DCO ∠+∠=．故①②正确；∵OBP ∆中，180BOP OPB OBP ∠=︒-∠-∠，BOC ∆中，180BOC OBC OCB ∠=︒-∠-∠，∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB ∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠，∵OPB OBP ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，∴260POC ABD ∠=∠=︒，∵PO OC ，∴OPC ∆是等边三角形，故③正确；在AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，则AOQ ∆为等边三角形，则120BQO PAO ∠=∠=︒，在BQO ∆和PAO ∆中，BQO PAO QBO APO OB OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴BQO PAO AAS ∆∆≌（），∴PA BQ =，∵AB BQ AQ =+，∴AB AO AP =+，故④正确.故选：D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证BQO PAO ∆∆≌是解题的关键．19．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，E 为线段AD 上一点，过E 点的线段FG 交CD 的延长线于G 点，交AC 于F 点，且EG ＝AE ，分别延长CE ，BG 交于点H ，若EH 平分∠AEG ，HD 平分∠CHG 则下列说法：①∠GDH ＝45°；②GD ＝ED ；③EF ＝2DM ；④CG ＝2DE +AE ，正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 首先证明△AEC ≌△GEC （SAS ），推出CA =CG ，∠A =∠CGE =45°，推出DE =DG ，故②正确；再证明△EDC ≌△GDB ，推出∠CED =∠BGD ，ED =GD ，由三角形外角的性质得出∠HDG =∠HDE ，进而得出∠GDH =∠EDH =45°，即可判断①正确；通过证明△EDC 和△EMD 是等腰直角三角形，得到ED 2MD ，再通过证明△EFC ≌△EDC ，得到EF =ED ，从而可判断③错误；由CG =CD +DG ，CD =AD ，ED =GD ，变形即可判断④正确．【详解】∵AC =BC ，∠ACB =90°，AD =DB ，∴CD ⊥AB ，CD =AD =DB ，∠A =∠CBD =45°．∵EH 平分∠AEG ，∴∠AEH =∠GEH ．∵∠AEH +∠AEC =180°，∠GEH +∠CEG =180°，∴∠AEC =∠CEG ．∵AE=GE，EC=EC，∴△AEC≌△GEC（SAS），∴CA=CG，∠A=∠CGE=45°．∵∠EDG=90°，∴∠DEG=∠DGE=45°，∴DE=DG，∠AEF=∠DEG=∠A=45°，故②正确；∵DE=DG，∠CDE=∠BDG=90°，DC=DB，∴△EDC≌△GDB（SAS），∴∠CED=∠BGD，ED=GD．∵HD平分∠CHG，∴∠GHD=∠EHD．∵∠CED=∠EHD+∠HDE，∠BGD=∠GHD+∠HDG，∴∠HDG=∠HDE．∵∠EDG=∠ADC=90°，∴∠GDH=∠EDH=45°，故①正确；∵∠EDC=90°，ED=GD，∴△EDC是等腰直角三角形，∴∠DEG=45°．∵∠GDH=45°，∴∠EDH=45°，∴△EMD是等腰直角三角形，∴ED MD．∵∠AEF=∠DEG=∠A=45°，∴∠AFE=∠CFG=90°．∵∠EDC=90°，∴∠EFC=∠EDC=90°．∵EH平分∠AEG，∴∠AEH=∠GEH．∵∠FEC=∠GEH，∠DEC=∠AEH，∴∠FEC=∠DEC．∵EC=EC，∴△EFC≌△EDC，∴EF=ED，∴EF MD．故③错误；∵CG=CD+DG=AD+ED=AE+ED+ED，∴CG=2DE+AE，故④正确．故选B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．20．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）【答案】A【解析】试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．试题解析：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选A．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．。
（word完整版）七年级下册-全等三角形证明经典题
（word完整版）七年级下册-全等三⾓形证明经典题七年级数学下册《全等三⾓形》专题练习1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2、已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB =3、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，证21∠=∠4、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=ACBA CDF2 1 EADB C5、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C6、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE7、已知：AB=6，AC=2，D是BC中线，求AD的取值范围。
8. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
9、已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠CDCBAFECDBADB CA10、已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C11、已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE12．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．13．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂⾜，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA14．如图，已知AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP 于D．求证：AD+BC=AB．15．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD AB CDPEDCBADCBA16．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成⽴？若成⽴请给予证明；若不成⽴请说明理由．17．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的⾯积相等的三⾓形．（直接写出结果，不要求证明）：18．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA 的延长线于F．求证：BD=2CE．19、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
七年级下册数学全等三角形的经典证明题
１、已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF.
求证:AC ∥DF ．
２、如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．
求证:BE ∥CF ．
３、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ． 求证：AC=EF ．
４、如图，在ΔABC 中，AC=AB ，AD 是BC 边上的中线。
求证：AD ⊥BC ，
５、如图，已知AB=DE ，BC=EF ，AF=DC 。
求证：∠EFD=∠BCA
６、如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的理由。
（1）∠DBH=∠DAC ； （2）ΔBDH ≌ΔADC 。
F
G
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A B
C
D
E
H
７、已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。
８、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC 的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
１０、已知：如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，
点P在BD上，PM⊥AD于M，•PN⊥CD于N，
判断PM与PN的关系．
１１、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．
１２、在△ABC中，,AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上了取点E ，使CE=BD ，连接DE交BC于点F，求证DF=EF .
P
D A
C
B
M
N
F
E
D
C B
A
F
C
B
A
E D
１３、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点， DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF. 求证：EG=EF;
请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并说明理由。
１４、如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，
AF =CE ，BD 交AC 于点M ．
i. 求证：MB =MD ，ME =MF
ii.
当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
１５、如图(1),（１） 已知△ABC 中, ∠BAC=900
, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 试说明: BD=DE+CE.
（２）若直线AE 绕A 点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何? 为什么？
（３）若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何? 请直接写出结果, 不需说明.
F
E
D
C
B
A
G。