数学建模D题

数学建模D题储药柜的优化设计摘要储药柜采用横向隔板和竖向隔板交叉的形式形成了不同类型的储药槽，用以储存各种各样的药品。

为了保证药品分拣的准确率，防止发药错误，一个储药槽内只能摆放同一种药品。

因为药品种类的复杂性，为每一种药品都设计一款匹配的储药槽基本上是不可能的，而只用类型很少的较大的药槽来储存药品的话对于小型的药品来说又是浪费储存空间。

所以本文建模的目的就是要通过数学模型来找出最适合的储药柜大小类型，一方面满足储存多种类型药品的需要，一方面节省储存空间。

本文在建模的过程中主要运用了组距分组的思想，将不同大小规格的药品按照长宽高不同的要求分成不同的组别，采用一定的标准就规格相近的药品分为一类，再按照不同的排序方法进行排序，找出每一类中需要储存空间最大的一种药品，确定一种类型的储药槽规格，则该类药品都放在这样一个储药槽中。

本建模最重要的两个方面：一是确定分组标准，将给定的药盒分为不同的组别，我们主要采用了组距分组法；二是寻找优化方法，实现目标优化，找到既适合储存药品，又节省空间的方法，我们主要采用了寻找最大面积法。

此外，在数据分组中我们利用了Excel的数据处理能力，在对分组数据进行可视化处理的时候，又用了matlab进行了图形的绘制。

关键字：目标优化组距分组最大面积法问题重述储药柜的结构类似于书橱，通常由若干个横向隔板和竖向隔板将储药柜分割成若干个储药槽。

为保证药品分拣的准确率，防止发药错误，一个储药槽内只能摆放同一种药品。

药品从后端放入，从前端取出。

为保证药品在储药槽内顺利出入，要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留2mm的间隙，同时还要求药盒在储药槽内推送过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转。

在忽略横向和竖向隔板厚度的情况下，建立数学模型，给出下面几个问题的解决方案。

1.药房内的盒装药品种类繁多，药盒尺寸规格差异较大，附件1中给出了一些药盒的规格。

请利用附件1的数据，给出竖向隔板间距类型最少的储药柜设计方案，包括类型的数量和每种类型所对应的药盒规格。

2. 药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为宽度冗余。

增加竖向隔板的间距类型数量可以有效地减少宽度冗余，但会增加储药柜的加工成本，同时降低了储药槽的适应能力。

设计时希望总宽度冗余尽可能小，同时也希望间距的类型数量尽可能少。

仍利用附件1的数据，给出合理的竖向隔板间距类型的数量以及每种类型对应的药品编号。

3.考虑补药的便利性，储药柜的宽度不超过2.5m、高度不超过2m，传送装置占用的高度为0.5m，即储药柜的最大允许有效高度为1.5m。

药盒与两层横向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为高度冗余，平面冗余＝高度冗余×宽度冗余。

在问题2计算结果的基础上，确定储药柜横向隔板间距的类型数量，使得储药柜的总平面冗余量尽可能地小，且横向隔板间距的类型数量也尽可能地少。

4. 附件2给出了每一种药品编号对应的最大日需求量。

在储药槽的长度为1.5m、每天仅集中补药一次的情况下，请计算每一种药品需要的储药槽个数。

为保证药房储药满足需求，根据问题3中单个储药柜的规格，计算最少需要多少个储药柜。

问题假设1.假设所给数据样本具有普遍的的代表性。

2. 假设药盒在推送过程中不会因为发生变形，影响结果。

3．假设药品体积最大时，其它比它体积小的药品都可装进问题分析问题一：首先，在这个问题中我们需要明确我们解决此问题的目的是要给出竖向隔板间距类型最少的储药柜设计方案，包括此类型的数量以及每种类型对应于那些规格的药品盒。

其次，我们再来分析我们需要怎么做。

第一，因为是给出竖向隔板之间的的储药柜设计方案，所以我们先只关注药品盒的宽度，利用Excel 的排序功能将药盒的宽度进行升序排序。

第二，我们要确定分组的标准，这就要利用题目中给出的三个条件：防并排重叠，防侧翻或水平旋转。

设n为药槽，药类型的总个数，i为类型的编号（i=1、2、……n），假设药槽的宽度为Wi盒的长为l i，宽为w i,高为ℎi。

则药盒并排重叠的临界值为：2w i-2，侧翻的临界值为：√ℎi2+w i2水平选转的临界值为：√l i2+w i2。

为了满足以上三个条件，设计出来的药槽的宽度必须小于等于三者中的最小值，利用Excel完成上述过程。

另外，要确定每一类的的药槽规格，可以找出此类中高与宽乘积最大的一种药盒，它的宽和高度即为此类中药槽的规格，即最大面积法。

在Excel中加入此项，并重新排序，得到答案。

问题二：参照问题一的思路，理解为竖向隔板间距类型最多的时候，我们能尽可能的保证总宽度的冗余尽可能的小。

与此同时我们又考虑到药盒与两侧竖向隔板之间的一个总宽度冗余尽可能最小，结合问题一得到的结果数据，对其的每个类型的宽度导入Matlab并用Matlab进行分组，从而取得合适的分组类型，将数据在Excel进行计算。

最后得到竖向隔板间距类型的数量和每种类型对应的药品编号。

问题三：根据问题要求，要使平面冗余尽可能的小。

我们可以利用假设一因素一定从而转求另一因素的方法来满足条件的要求。

根据问题二的结果，从一定的条件下，肯定了我们的方法及宽度冗余一定时可转求高度冗余的方法来求得结果使总平面冗余量尽可能的小。

所以我们将高度进行分组，从而确定储药柜的横向隔板间距。

结合题二的数据也就得到了单个储药柜的规格。

问题四：针对问题四，找出影响储药柜个数的主要因素，建立各因素之间的关系式，给出目标模型。

储药柜的增加可以归结为储药槽个数的增加，而导致储药槽的增加受储药柜长度和高度的影响，通过建立高度与储药柜个数的关系以及长度与储药柜个数的关系，找出最大值，并选取不小于该值的整数作为最优解。

符号说明：问题一模型的建立与求解：设并排重叠的临界值L1：2w i-2，侧翻的临界值L2：√ℎi2+w i2水平选转的临界值L3：√l i2+w i2。

药槽宽度W=Wi（i=1、2……n）；w i+2≤ Wi ≤min {L1,L2,L3}目标函数是使得竖向间距类型最少，约束条件是使得药品放入槽内可以顺利推出，并且不会出现水平旋转、侧翻和并排重叠的现象。

防止水平旋转即，防止侧翻即，防止并排重叠，三种都必须防止，则必须小于等于三者的最小值。

用EXCEL处理附件1数据，得到图1可以看出，从12mm~18mm为第一类，药盒宽度在这区间的都属于这一类，当药盒宽度大于16mm，即药槽宽度大于18mm 时，进入下一个阶段，对应的药盒宽度为30mm，即药槽宽度为32mm，以此类推，得到最少需要的药槽类型数为4种，分别为18mm，32mm，43mm，57mm。

统计得到每一类的数量分别为217,1105,303,294.再计算出每一类中高与宽的乘积，并排序，如图2，找到每一类中面积最大的药盒，它们的高和宽再加上2mm就是药槽的规格。

得到的四种药盒如表1，从而确定出四种类型的高。

表1 得到的最少类型及数量如表2表2………………图1………………图2问题二模型的建立与求解：问题二是在问题一的基础上的进一步深入，故在问题一模型的四种类型的基础上，我们再进一步的考虑为使药盒与两侧竖向隔板之间的一个总宽度冗余尽可能最小，将原始数据导入Matlab中并筛选出四种类型的相关数据，并用Matlab将四种类型分别进行组距分组，根据通过Matlab对数据的分析与处理，我们将药品分成了16类，并找出了各类中体积最大的药品数据，然后根据药盒与两侧竖向隔板之间、上下两层横向隔板之间应留2mm的间隙，故加上各类型中宽和高的间隙，得到16种不同类型的药品柜格，如下表所示：统计之后每种类型的对应的药品编号如下表，最后，我们建立模型，根据各类中宽度冗余的临界值减去存在宽度冗余的宽度值的平均值，再乘以各类型中存在宽度冗余的宽度的数量，各类型中宽度冗余的总和就是储药柜的宽度冗余，其中为类型数，为各类中宽度冗余的临界值，为各类中存在宽度冗余的宽度值的平均值，为各类型中存在宽度冗余的宽度的数量有：最终得出宽度冗余为8354。

问题三模型的建立与求解：根据问题要求，得知储药柜的宽度不超过 2.5m(2500mm)，有效高度不超过1.5m(1500mm)，平面冗余= KR*GR∑==njjWMinV1∑==mkkHMinL1t s.}22,,min{22222-++≤≤+iiiiiiwwhwlWw15002≤≤+Hhi15001≤∑=mk kmH25001≤∑=nj jnW要求平面冗余最小，基于题二结果，宽度冗余一定则高度冗余越小，从而平面冗余就越小。

所以我们首先将原始数据中的高度提出来，然后利用Matlab 进行多次分组，以及分布的正态性检验和参数估计。

分组图分布的正态性检验然后选择用组中值来代表这组数据，最终得到了组数据，也就是确定了8种横向隔板间距类型。

再找出题二中16种竖向隔板间距类型所对应的横向隔板间距类型，从而就得到了单个储药柜的63种规格。

如下表。

并计算出高度冗余量为55468，而平面冗余高度冗余宽度冗余，则平面冗余量为445629912。

问题四模型的建立与求解：依据问题三中单个储药柜的规格，计算最少需要多少个储药柜。

我们可从问题三的模型中提取相关数据求出相关规格每种药品对应的体积。

从而求出每个药槽所能容纳的最大药盒数，再根据每个药盒规格的日最大需求量，最终算出药槽的个数。

然后用竖向隔板间距以及横向搁板间距类型作为限制条件筛选出每个药槽所能够装的最大盒数和没种药所能装的最大药槽数，从小往大依次装填。

结合问题三中所得的63种规格的药槽，我们通过对附件2的数据重新处理，得出各种药品所需的药槽数，以及各种药槽所需的总数，制成表7数据表示宽、高，如下，为了使药柜数量尽量小，可以考虑药槽降级使用，如只要满足药品高度不低于药槽高度的一半，高度为76的药品可以放入药槽高度为90,104等药槽中。

最后得到最少所需的储药柜数为12。

模型的评价优点：运用Excel和Matlab处理数据求解模型得到结果比较准确，可视化程度高。

缺点：在对数据进行分析时，分组方法的选择会较大影响分析结果，如果真的要应用到工程实际可能还需要进一步实际操作，优化模型。

附件数据处理表源文件药品编号长(mm) 高(mm) 宽(mm) 旋转临界值侧翻临界值并排临界值min(E,F,G) 高*第一类竖向间距类型W=18mm，共217个669 100 100 10 100.4987562 100.4987562 18 18 100 774 100 100 10 100.4987562 100.4987562 18 18 100 1352 100 100 10 100.4987562 100.4987562 18 18 100 1482 110 80 10 110.4536102 80.62257748 18 18 800 1908 100 70 10 100.4987562 70.71067812 18 18 700 1471 110 60 10 110.4536102 60.8276253 18 18 600 1785 112 62 11 112.5388822 62.96824597 20 20 682 909 80 61 11 80.75270893 61.98386887 20 20 671 1083 115 56 11 115.5248891 57.07013229 20 20 616 668 100 100 12 100.7174265 100.7174265 22 22 120 332 110 63 12 110.6526095 64.13267498 22 22 756 405 102 57 12 102.7034566 58.24946352 22 22 684 253 120 72 13 120.7021127 73.1641989 24 24 936255 120 71 13 120.7021127 72.18032973 24 24 923 254 120 70 13 120.7021127 71.19691005 24 24 910 471 127 64 13 127.6636205 65.30696747 24 24 832 1465 122 62 13 122.6906679 63.34824386 24 24 806 975 100 60 13 100.8414597 61.39218191 24 24 780 107 116 58 13 116.7261753 59.43904441 24 24 754 1032 94 53 13 94.89467846 54.5710546 24 24 689 603 120 76 14 120.8139065 77.27871635 26 26 106 1535 115 74 14 115.8490397 75.31268154 26 26 103 1082 110 73 14 110.8873302 74.33034374 26 26 102 1490 120 70 14 120.8139065 71.38627319 26 26 980 122 95 67 14 96.02603814 68.44705983 26 26 938 1179 106 67 14 106.9205312 68.44705983 26 26 938 87 135 66 14 135.7239846 67.46851117 26 26 924 348 118 66 14 118.8276062 67.46851117 26 26 924 456 112 66 14 112.8716085 67.46851117 26 26 924 1133 112 66 14 112.8716085 67.46851117 26 26 924 84 110 62 14 110.8873302 63.56099433 26 26 868 1486 122 62 14 122.8006515 63.56099433 26 26 868 274 109 60 14 109.8954048 61.6116872 26 26 840 1297 126 59 14 126.7753919 60.63827174 26 26 826 398 96 56 14 97.01546269 57.72347876 26 26 784 527 81 56 14 82.20097323 57.72347876 26 26 784 1367 110 56 14 110.8873302 57.72347876 26 26 784 197 98 55 14 98.99494937 56.75385449 26 26 770 923 96 55 14 97.01546269 56.75385449 26 26 770 1097 81 52 14 82.20097323 53.85164807 26 26 728 612 110 47 14 110.8873302 49.04079934 26 26 658 1071 110 47 14 110.8873302 49.04079934 26 26 658 476 105 46 14 105.9292217 48.08326112 26 26 644 881 106 46 14 106.9205312 48.08326112 26 26 644 1070 106 46 14 106.9205312 48.08326112 26 26 644 1336 76 44 14 77.27871635 46.17358552 26 26 616 61 65 43 14 66.49060084 45.22167622 26 26 602 1051 95 41 14 96.02603814 43.32435804 26 26 574 723 135 86 15 135.8307771 87.29833904 28 28 129 699 135 77 15 135.8307771 78.44743463 28 28 115 1200 117 77 15 117.9576195 78.44743463 28 28 115 1449 120 76 15 120.9338662 77.46612163 28 28 114 1594 115 75 15 115.974135 76.4852927 28 28 1121791 120 73 15 120.9338662 74.52516354 28 28 109 1792 130 73 15 130.8625233 74.52516354 28 28 109 620 120 72 15 120.9338662 73.54590403 28 28 108 834 117 72 15 117.9576195 73.54590403 28 28 108 1321 120 72 15 120.9338662 73.54590403 28 28 108 1464 122 72 15 122.9186723 73.54590403 28 28 108 1635 115 72 15 115.974135 73.54590403 28 28 108 4 91 71 15 92.2279784 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