§2-1 数理统计学的基本概念

简单随机样本
满足下列两条抽样要求的样本称为
总体 X 的 简单随机样本，简称 样本。 放回抽样 不放回抽样
抽样要求
（1）代表性
要求被抽到的每一个个体都能代表总体。
要求样本的每一分量 Xi 与总体 X 具有相同的分布。
（2）独立性 要求抽取的 n 个个体的观察结果相互之间 是互不影响的。 要求 X1, X2, …, Xn 相互独立。
因此，每个 Xi 都是随机变量，
从而样本 ( X1, X2, …, Xn )是一个 n 维随机向量。 一次抽样的结果是 n 个具体的数据 ( x1, x2, 本 ( X1, X2, …, Xn )的一个观测值，简称样本值。 不同的抽样将得到不同的样本值。
…,
xn )，称为样
二．为什么要抽样？什么是样本？
§2-1
数理统计学的基本概念
一．什么是总体？什么是个体？
二．为什么要抽样？什么是样本？
三．为什么要引进统计量 ？
什么是统计量 ？
一． 什么是总体 ？ 什么是个体 ？
一．什么是总体？什么是个体？
总体 个体
例（1） 研究问题中所涉及的对象全体称为总体。
组成总体的每个元素称为个体。 研究某工厂生产的一批灯泡的使用寿命。 该批灯泡的全体就组成一个总体
F ( xi )
i 1 n
二．为什么要抽样？什么是样本？
例题 1
设总体 X 服从参数为 p 的 0 -1 分布， 求样本 ( X1, X2, …, Xn ) 的联合分布律。 0 -1 分布 X 0 1 P { X = x } = p x( 1 -p ) 1-x x =0,1
P
1-p
p
P{X 1 x1，X 2 x2， ，X n xn } P{ X i xi }
…,
Xn ) 中不含任何未知参数， 则称
g ( X1, X2, …, Xn )是一个统计量。
如果 ( x1, x2, …, xn ) 是样本 的一个观测值，则称 g( x1, x2, …, xn ) 是统计量 g ( X1, X2, …, Xn ) 的一个
观测值。
三．为什么要引进统计量？什么是统计量？
二．为什么要抽样？ 什么是样本？
二．为什么要抽样？什么是样本？
抽样
观察数量指标 X 的取值，以便获得关于总体的信息。 这一抽取个体的过程称为抽样（采样）。 总体中的哪些个体在抽样中被抽到，要依机会而定。 （抽样的随机性）
按一定法则，从总体中抽取一部分个体进行试验，
样本
按一定法则，从总体中所抽取的一小部分个体称
为样本（子样）。 从总体 X 中抽取的 n 个个体 X1, X2, …, Xn ,记为
（ X1, X2, …, Xn ），称为来自总体 X 的容量为 n 注记
由于抽样的随机性， 容量为 n 的样本 ( X1, X2, …, Xn )中， 每个 Xi 都是从总体 X 中随机抽取的， 它的取值就在总体 X 的可能取值范围内随机取得，
三．为什么要引进统计量？什么是统计量？
抽样分布
统计量是样本的函数，它是一个随机变量。 统计量的分布称为抽样分布。
二．为什么要抽样？什么是样本？
重要结论
若 ( X1, X2, …, Xn ) 为来自总体 X ~ F (x) 的一个样本， 则 X1 , X2 ,
…,
Xn 相互独立，并且都服从同一分布 F (x) ，
因此，样本 ( X1, X2, …, Xn ) 的联合分布函数为
F ( x1 , x2 ,, xn ) FX1 ( x1 )FX 2 ( x2 ) FX n ( xn )
f ( x)
1 e 2σ
n
( x μ )2 2σ 2
（ x ）
n 1 e 2σ ( xi μ ) 2 2σ 2
f ( x1，x2， ，xn ) f X i ( xi )
i 1
n 2
i 1
(2)

n 2
(σ )
2

1 exp{ 2σ 2
2 ( x μ ) } i i 1
n
三．为什么要引进统计量 ？
什么是统计量 ？
三．为什么要引进统计量？什么是统计量？
统计量
设 ( X1, X2, …, Xn ) 是来自总体 X 的一个样本， g ( X1, X2, …, Xn ) 是 ( X1, X2, …, Xn ) 的函数， 并且 g ( X1 , X2 ,
i 1
n
p (1 p)
xi i 1
n
1 xi
p i 1 (1 p )
xi
n
n
xi
i 1
n
二．为什么要抽样？什么是样本？
例题 2
设总体 X 服从正态分布 N(， ² )， 求样本 ( X1, X2, …, Xn ) 的联合概率密度。 正态分布 N(， ² )
例题 3
设总体 X ～ N( ， ² )，其中 未知， ²
已知， ( X1, X2, …, Xn ) 为来自总体 X 的一个样本。
1 T1 2 σ
Xi
i 1
n
T2 ( X i μ) 2
i 1
n
三．为什么要引进统计量？什么是统计量？
引进什么样的统计量？
矩型统计量
顺序统计量
每只灯泡就是一个个体
例（2）
通过重复秤量，估计某物件的重量。 一切可能的秤量结果组成一个总体 每一个可能的秤量结果都是一个个体
一．什么是总体？什么是个体？
注记
正态（分布）总体 指数分布总体
在实际中，人们往往关心的不是研究对象的一切方面， 而是它的某个数量指标 X（例如，灯泡的使用寿命，中学生 的身高，钢筋的强度等等）。 X 是一个随机变量。 总体是指数量指标 （随机变量）X 可能取值的全体。 个体就是数量指标 （随机变量）X 的一个具体取值。 总体分布：数量指标 （随机变量）X 的分布函数。 总体的数字特征：数量指标 （随机变量）X 的数字特征。 总体是一个带有确定概率分布的随机变量。
样本 k 阶中心矩
三．为什么要引进统计量？什么是统计量？
例题 4
设总体 X 的四阶矩存在， =E(X ) ， ² = D(X )
k=E(X − )k, k=3,4
( X1, X2, …, Xn ) 为来自总体 X 的一个样本，则
（ 1 ）
E( X )
D( X )
2
n
2 ( n 1 ) （2） E ( S 2 ) n 4 4 4 2 ( 2 ) 3 4 4 D( S 2 ) 4 n n2 n3 (n 1) 3 2 （3） Cov ( X , S ) n2
三．为什么要引进统计量？什么是统计量？ 矩型统计量
样本均值
1 n X Xi n i 1
n 1 S 2 ( X i X )2 n i 1
样本方差 样本 k 阶原点矩
1 n k Ak X i , k 1 ,2 n i 1
1 n k Bk X i X , k 2 ,3 n i 1