§5.9.1余弦定理(1)
余弦定理简介
余弦定理简介全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：余弦定理是解决三角形中角和边的关系的重要定理，它是三角学中的基本知识之一。
余弦定理可以帮助我们求解不规则三角形中的各种边长和角度。
在学习三角学和解决实际问题中，余弦定理起着至关重要的作用。
余弦定理的表述为：在一个三角形ABC中，设角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c，则有以下公式成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosCc是角C的对边，a和b分别是角A和角B的对边，cosC是角C 的余弦值。
余弦定理的推导过程可以通过几何运算和三角函数的知识来得到。
假设在三角形ABC中，将角C分成两个小角α和β，利用三角形内角和为180°的性质，我们可以得到：α + β = C根据三角函数的性质，我们知道：cos(α+β) = cosCcos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ再根据余弦定理的定义，我们有：c = a cosβ + b cosα联立以上两个方程，我们可以得到余弦定理的表达式，即：这就是余弦定理的推导过程，通过操纵和变换三角函数的关系，我们可以得到这个关键性质的定理。
余弦定理在解决三角形中的各种问题时能够提供很大的帮助。
通过利用余弦定理，我们可以求解未知边长和角度，进而解决实际问题。
在测量不规则三角形的边长时，我们可以利用余弦定理来计算，而不必通过复杂的几何推导。
在航海、建筑等领域，余弦定理也都有着广泛的应用。
在高中数学教学中，余弦定理是一个必须掌握的基础知识。
它不仅可以帮助学生理解三角形内角和为180°的性质，还可以锻炼学生的逻辑思维和解决问题的能力。
通过练习余弦定理的应用，学生可以提高自己的数学能力和思维能力。
余弦定理是三角学中一个重要的定理，它在解决不规则三角形中的各种问题时起着至关重要的作用。
通过学习和掌握余弦定理，我们可以更好地理解三角形的性质，提高自己的数学水平，并应用到实际生活中去。
高中数学余弦定理
在等腰三角形中，两边长度相等，对应的角度相等或互补，也可以利用余弦定理进行计算。
等腰三角形的余弦定理证明
03
CHAPTER
余弦定理的推论
总结词
利用余弦定理可以证明三角形的内角和等于180度。
详细描述
根据余弦定理，在任意三角形ABC中，有cosA=(b²+c²-a²)/2bc，同理可以得到其他角的余弦值。将三个角的余弦值相加，得到cosA+cosB+cosC=0，由此可以证明三角形ABC的内角和为180度。
题目
解析
根据余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。将已知数值代入公式，即可求出墙角C的大小。
运用余弦定理解决实际问题的能力
THANKS
感谢您的观看。
VS
利用余弦定理可以解决与三角形相关的各种问题，如求边长、角度等。
详细描述
通过已知条件（如两边及夹角、三边）利用余弦定理可以求解三角形的各种问题。例如，已知三角形的两边及夹角，可以通过余弦定理求出第三边；已知三角形的三边，可以通过余弦定理求出三角形的角度等。
总结词
04
CHAPTER
余弦定理的实例应用
余弦定理在解三角形问题中应用广泛，能够解决已知两边及夹角或三边求角的问题。
当已知三角形的两边及夹角时，可以通过余弦定理求出第三边。同样地，当已知三角形的三边时，也可以利用余弦定理求出三角形的角度。
详细描述
总结词
余弦定理在求三角形的角度问题中同样具有应用价值，能够通过已知的两边及夹角或三边求出三角形的角度。
掌握余弦定理在复杂问题中的应用
总结词
在三角形ABC中，已知a=3, b=4, B=45°，求边c的大小。
10分钟学会-余弦定理
10分钟学会-余弦定理
余弦定理是三角学中的重要定理，用于计算三角形的边长或角度。
下面是一个简单的解释：
余弦定理用于计算一个三角形的边长，基于三角形的两个边和它们夹角的余弦值之间的关系。
假设我们有一个三角形，其中边长分别为a、b和c，而夹角对应的顶点分别为A、B和C。
则余弦定理可以表示为：
c2 = a2 + b2 - 2ab * cos(C)
其中，c表示三角形的第三边长，a和b分别表示另外两条边的长度，C表示这两条边夹角的大小，cos表示夹角的余弦值。
利用余弦定理，我们可以在已知两边长度和它们夹角的情况下，计算出第三边的长度。
也可以在已知三边长度的情况下，计算出夹角的大小。
需要注意的是，余弦定理适用于任意三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
它为解决三角形相关问题提供了重要的数学工具。
余弦定理解释
余弦定理解释
嘿，你知道余弦定理不？这玩意儿可太神奇啦！比如说，你看那三
角形，它就像一个小小的神秘世界。
三边的关系就像是这个世界的密码，而余弦定理就是解开密码的钥匙！
咱就说，在一个三角形里，有三边a、b、c，那余弦定理就告诉咱，a² = b² + c² - 2bc×cosA。
这就好像是在说，三边之间有着一种特殊的联系，就像好朋友之间的那种默契！你想想，是不是很有意思？
举个例子啊，有个三角形，三边分别是 3、4、5，那咱就能用余弦
定理来算算它们之间的关系。
哎呀，你说这多神奇，就这么一个简单
的公式，就能搞清楚这么复杂的三角形。
你再想想，如果没有余弦定理，咱要搞清楚这些三角形的事儿得多
麻烦呀！那简直就像在黑暗中摸索一样。
我记得我以前学这个的时候，一开始还觉得有点难理解呢，但是后
来多做了几道题，嘿，突然就开窍了！就像突然找到了宝藏的入口一
样兴奋！
而且啊，余弦定理可不只是在数学课本里有用哦，在现实生活中也
有很多地方能用到呢！比如说在建筑设计里，要确保建筑物的结构稳定，不就得考虑三角形的稳定性嘛，这时候余弦定理就派上用场啦！
总之，余弦定理真的是超级重要，超级有用！它就像是数学世界里的一颗璀璨明星，照亮了我们探索三角形奥秘的道路！你现在是不是也对它更感兴趣啦？。
初中余弦定理及其应用知识点
初中余弦定理及其应用知识点余弦定理是初中数学中重要的几何定理之一，它描述了一个三角形的边与角之间的关系。
在本文中，我们将详细介绍初中余弦定理的概念、推导过程以及其在实际应用中的几个重要知识点。
1. 余弦定理的概念及推导余弦定理是利用三角形中的余弦关系，将三角形的边与角进行关联的数学定理。
对于任意一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中，c为三角形的斜边长，a和b为与角C对应的两条边的长度，cosC为角C的余弦值。
推导余弦定理的过程可以使用向量运算、正弦定理等多种方法，这里我们以向量运算为例进行推导。
假设三角形ABC的向量边长分别为a、b、c，向量AB与向量AC的夹角为θ，则向量c可以表示为c = b - a。
根据向量的模与夹角的余弦关系，我们可以得到以下等式：|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cosθ由于|c| = c，|a| = a，|b| = b，θ = C，上述等式可以转化为余弦定理的标准形式。
2. 余弦定理的应用2.1 三角形的边长求解余弦定理可以应用于解决在已知三角形的两边长和夹角的情况下，求解第三边长的问题。
根据余弦定理的公式，我们可以将c^2 = a^2 +b^2 - 2ab*cosC转化为解一元二次方程的形式，然后应用求根公式求解。
2.2 三角形的角度求解除了边长求解外，余弦定理还可以用于求解已知三角形的三个边长而未知的角度。
通过对余弦定理进行变换和化简，可以得到求解夹角的公式：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)根据公式，我们可以通过给定的三边长，计算出角C的余弦值，然后再通过查表或使用计算器求解具体的角度。
2.3 三角形形式判断另外一个应用余弦定理的重要知识点是判断三个给定边长是否能够构成一个三角形。
根据余弦定理的公式，如果存在一个角C，使得cosC为正数，则可以得出结论该三边长可以构成一个三角形。
余弦定理公式大全
余弦定理公式大全余弦定理是三角形中一个重要的几何定理，它可以通过三个边的长度来计算出三个角的大小。
余弦定理的公式包含了三个版本，根据给定的已知条件来选择相应的公式。
第一个版本的余弦定理是用于计算三角形的边长的。
假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a，b和c，对应的顶点角度为A，B和C。
那么可以使用以下公式计算出任意边长：c² = a² + b² - 2ab cos(C)a² = b² + c² - 2bc cos(A)b² = a² + c² - 2ac cos(B)这些公式可以根据已知的两个边长和它们之间的夹角来计算第三个边长。
第二个版本的余弦定理是用于计算三角形的角度的。
假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a，b和c，对应的顶点角度为A，B和C。
那么可以使用以下公式计算出任意角度的值：cos(A) = (b² + c² - a²) / 2bccos(B) = (a² + c² - b²) / 2accos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab这些公式可以根据已知的三个边长来计算出相应的角度。
第三个版本的余弦定理是用于计算三角形的面积的。
假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a，b和c，对应的顶点角度为A，B和C。
那么可以使用以下公式计算出三角形的面积：Area = (1/2)ab sin(C)Area = (1/2)bc sin(A)Area = (1/2)ac sin(B)这些公式可以根据已知的两个边长和它们之间的夹角来计算三角形的面积。
余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具，可以计算未知长度、未知角度以及三角形的面积。
这些公式的推导过程可以使用几何或者代数方法来完成，可以在几何相关的书籍、教材以及网上的数学资源中找到相关的推导过程。
余弦定理简介
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
余弦定理是解决三角形中的边长和角度之间关系问题的一个重要定理。它是由三角函数中的余弦函数得到的，因此得名余弦定理。余弦定理在三角学中有着非常重要的应用，尤其是在解决无法用正弦定理或者其他方法解决的三角形问题时，余弦定理往往发挥着重要作用。
余弦定理的表述很简单：在一个三角形ABC中，已知边长a、b、c和夹角A、B、C之间的关系可用余弦定理表示如下：
第二篇示例：
余弦定理，又称余弦定律，是平面三角形中的一种重要定理，用于解决三角形中的角和边之间的关系。余弦定理广泛应用于数学、物理、工程等领域，在解决实际问题中起着重要作用。本文将简要介绍余弦定理的概念、推导过程以及应用范围。
余弦定理描述了三角形的边和角之间的关系。在一个三角形ABC中，假设三边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，余弦定理可以表达为：
余弦定理是一个十分有用和实用的数学定理，它可以帮助我们更好地理解和解决三角形中的问题。通过掌握余弦定理的概念、推导过程和应用范围，我们可以更好地应用数学知识和技术解决实际生活中的问题，提高我们的数学应用能力和解决问题的能力。希望本文对您对余弦定理有所帮助，也希望您能够进一步深入学习和探索相关数学知识，拓展您的数学视野和思维能力。【2000字】
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosA
a、b、c为三角形的三条边长，A、B、C为对应的夹角，cosA、cosB、cosC为各角的余弦值。
这个定理可以被用来计算三角形中的未知长度或角度，通过已知的边长和夹角可以求解出其他未知量。这种定理的重要性在于它提供了一种方法来解决不完全信息下的三角形问题，可以灵活地运用在各种场景中。
无论是在数学理论中还是在实际生活中，余弦定理都是一个非常实用的工具。通过掌握余弦定理，我们可以更准确地解决各种三角形相关的问题，提高数学和解决问题的能力。余弦定理也可以启发我们对数学规律和自然现象的进一步探索，是数学学习中的一大亮点。希望大家能够认真学习余弦定理，并运用它解决实际问题，从而提升自己的数学水平和解决问题的能力。
余弦定理 课件
解：由余弦定理的推论得
cos A b2 c2 a2 87.82 161.72 134.62 0.5543,
2bc
2 87.8 161.7
A≈56°20′;
cos B c2 a2 b2 134.62 161.72 87.82 0.8398,
2ca
2 134.6 161.7
B D C
∴ AB= 13 . 猜想：AB²=AC²+BC²－2AC×BC×cosC 对任意三角形是否成立？
三.疑难解惑1
•从什么途径来解决问题1?
长度、方向是向量的特征.联系已学过的 知识，运用向量工具解决三角形中的度量问 题.
证明猜想：
证明：在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.
可见，余弦定理可以看作是勾股定理的推 广，或者说勾股定理是余弦定理的特例.
归纳总结余弦定理的作用：
利用余弦定理，可以解决以下两类有关 三角形的问题
（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和 其他两个角； （2）已知=8,c=3,A= 60°，求a.
a²= b²+c²－2bccosA = 64+9－2×8×3cos 60° = 49，
余弦定理
一.目标导学
1.能否从量化的角度研究已知三角形的两边 及夹角求出它的另一边和另两个角的问题?
2.能从什么途径来解决问题1呢?
3.怎么确定解决已知三角形的三边求三角 形的角的问题?
4.从余弦定理和余弦函数的性质你能推 出什么结论吗?
二.主体自学
•1.能从什么途径来解决问题1呢? •2.怎么确定解决已知三角形的三边求三 角形的角的问题?
•3.从余弦定理和余弦函数的性质你能 推出什么结论吗?
余弦定理
余弦定理
编辑
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
目录
1含义
2应用
求边
求角
3证明
三角函数证明
向量证明
4历史
1含义
如上图所示，△ABC，余弦定理可表示为：
同理，也可描述为：
当
为
时，
，余弦定理可简化为
，即勾股定理。
2应用
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：
当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
求边
余弦定理公式可变换为以下形式：
因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
求角
余弦定理公式可变换为以下形式：
因为余弦函数在
上的单调性，可以得到：
因此，如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
3证明
三角函数证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：
将等式同乘以c得到：
运用同样的方式可以得到：
将两式相加：
向量证明
中，
，
，
：
4历史
余弦定理的历史可追溯至西元三世纪前欧几里得的几何原本，在书中将三角形分为钝角和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。
余弦定理
余弦定理编辑
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形情形下的推广模式。
余玄定理
表达式
cos A=(b²+c²-a²)/2bc[1]
欧几里得
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：
当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
当已知三角形的三边，能够由余弦定理得到三角形的三个内角。
求边
余弦定理公式可变换为以下形式所以，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
求角
余弦定理公式可变换为以下形式所以，如果已知三角形的三条边，能够由余弦定理得到三角形的三个内角。
证明编辑
三角函数证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：
将等式同乘以c得到：
使用同样的方式能够得到：
将两式相加：
向量证明
中，
，
，
：。
三角形的余弦定理
三角形的余弦定理三角形的余弦定理是数学中的一个重要定理，用于求解三角形中的边长和角度。
它是由三角形中的两条边及它们夹角的余弦值之间的关系所构成的。
在数学中，三角形是由三条边和三个角所确定的一个几何形状。
而余弦定理给出了三角形中三条边之间的关系，为解决与三角形相关的问题提供了有力的工具。
余弦定理的表达式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b和c分别表示三角形的三条边的长度，而C表示夹在边a和边b之间的角度。
根据这个定理，我们可以通过已知的两边和夹角来求解第三边的长度，或者通过已知的三边来求解夹角的大小。
为了更好地理解余弦定理的原理和应用，我们可以通过一个具体的例子来进行说明。
假设我们已知一个三角形的两条边分别为边a=5cm 和边b=7cm，夹角C为60°，那么我们可以使用余弦定理来求解第三边c的长度。
根据余弦定理的公式，我们有：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 * 5 * 7 * cos(60°)c^2 = 25 + 49 - 70 * 0.5c^2 = 74 - 35c^2 = 39c ≈ √39c ≈ 6.24cm因此，根据余弦定理，我们可以得知这个三角形的第三边c的长度约为6.24cm。
除了求解三角形的边长外，余弦定理也可以用于求解三角形的角度。
当我们已知三角形的三条边长a、b和c时，我们可以利用余弦定理来求解任意一个角的大小。
设夹在边a和边b之间的角C的余弦值为cosC，那么可以通过以下公式来求解该角的大小：cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)通过代入已知的边长值，我们可以求解出角C的余弦值，并进一步求得角C的大小。
三角形的余弦定理在解决实际问题中具有广泛的应用。
例如，在测量不便或无法直接测量的情况下，可以利用余弦定理来计算远处物体的距离。
此外，在工程、导航和地理学等领域中，余弦定理也经常用于测量和计算。
余弦定理 课件
点评：1.本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题 的关键．
2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角， 再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定 理求第三角．
题型3 判断三角形的形状
例3 在△ABC中，已知c＝acos B，b＝asin C，判断三角
形形状． 解析：由余弦定理知 cos B＝a2＋2ca2c－b2， 代入 c＝acos B 得： c＝a·a2＋2ca2c－b2，∴c2＋b2＝a2， ∴△ABC 是以 A 为直角的直角三角形． 又∵b＝asin C，∴b＝a·ac，∴b＝c， ∴△ABC 也是等腰三角形． 综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．
(2)在△ABC 中，已知a＝3，b＝4，c＝6，求பைடு நூலகம்os C的值．
答案：(1)a2＋2ba2b－c2 (2)解析：由余弦定理得：
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－2114.
基础 梳理
3．在△ABC中，已知C＝90°，三边a、b、c的关系为： __c_2_＝__a_2＋__b_2__.(勾股定理)
基础 梳理
(2)在△ABC中，已知∠C＝60°，a＝3，b＝4，求边长c.
解析：由余弦定理得： c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋16－2×3×4cos 60° ＝13， 所以 c＝ 13.
基础
梳理
2 ． (1)△ABC 中 ， 用 三 边 a 、 b 、 c 表 示 cos C ＝ _____________.
点评：1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统 一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：①化边为
角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②化角为边，再 进行代数恒等变换，求出三角之间的数量关系．
余弦定理 课件
方法二 由方法一知：cosA＝bc， 由正弦定理，得bc＝ssiinnCB，∴cosA＝ssiinnCB. ∴sinCcosA＝sinB＝sin[180°－(A＋C)]＝sinAcosC＋ cosAsinC. ∴sinAcosC＝0，∵A、C 是△ABC 的内角，∴sinA≠0. ∴只有 cosC＝0，∴C＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．
∴a＝3.
题型三 已知三边解三角形 例 3 在△ABC 中，已知 a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和 sinC.
【解析】 ∵a>c>b，∴A 为最大角． ∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×532×－572＝－12.
又∵0°<A<180°，∴A＝120°.∴sinA＝sin120°＝
3 2.
方法二 由 b<c，B＝30°，
b>csin30°＝3 3×12＝323知本题有两解．
由正弦定理，得 sinC＝csibnB＝3
33×12＝
3 2.
∴C＝60°或 120°.
当 C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得
a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6.
当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形，
2ac ，
a2＋b2－c2 cosC＝ 2ab .
要点 3 余弦定理与勾股定理 (1)若一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，则第三边 所对的角是 锐 角． (2)若一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，则第三边 所对的角是 钝 角． (3)若一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则第三边 所对的角是 直 角．
题型一 已知两边和夹角解三角形
例 1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，求 A. 【思路分析】 本题主要考查余弦定理及其应用． 思路一：可用余弦定理求边 c，再用正弦定理求角 A. 思路二：可用余弦定理求边 c，再用余弦定理的推论求角 A.
余弦定理公式大全.doc
余弦定理公式大全.doc
余弦定理：cosA=(b2+c2-a2)/2bc。
正余弦定理
指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形
的一个锐角的邻边和斜边
的比值叫这个锐角的余弦值。
判定定理
判定定理一两根判别法
若记m（c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值。
①若m（c1,c2）=2,则有两解；
②若m（c1,c2）=1,则有一解；
③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。
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余弦定理（1） 1
一．课题：余弦定理（1）
二．教学目标：1．要求学生掌握余弦定理及其证明；
2．使学生能初步运用正弦定理和余弦定理解斜三角形，并会利用计算器解决
斜三角形的计算问题。
三．教学重点：余弦定理的证明及其运用。
四．教学难点：能灵活运用正弦定理和余弦定理解斜三角形。
五．教学过程：
（一）复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题，提出问题：
1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？
2．在Rt ABC ∆中(若90C = )有：222c a b =+，在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角会有什么关系呢？
（二）新课讲解：
1．余弦定理的推导：
[问题] 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？
[推导] 如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵+= ∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+ 222AB AB BC BC =+⋅+ 222||||cos(180)AB AB BC B BC =+⋅-+ 22cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 2222-+=；
同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=．
即：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
2．强调几个问题：
①熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；
②知三求一；
③当夹角为90
时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）； ④变形：bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， ac
c b a C 2cos 2
22-+=． 即：
3．余弦定理的应用范围：
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
A
B C c a b A bc c b a cos 2222-+= B ac a c b cos 2222-+= C ab b a c
cos 2222-+=
余弦定理（1） 2 4．例题分析：
例1．在ABC ∆中，已知7=a ，10=b ，6=c ，求A 、B 和C （精确到 1）． 解：∵222222
1067cos 0.72522106
b c a A bc +-+-===⨯⨯， ∴44A ≈ ， 又∵2222227106113cos 0.807122710140
a b c C ab +-+-====⨯⨯， ∴36A ≈ ，
∴180()100B A C =-+= ．
例2．在△ABC 中，已知 2.730a =， 3.696b =，8228C '= ，解这个三角形（边长保留四
个有效数字，角度精确到1'）．
解：由：2222cos c a b ab C =+-22
2.730
3.6962 2.730 3.696cos8228'=+-⨯⨯⨯ 得
4.297c =， 又∵222222
3.696
4.297 2.730cos 0.776722 3.696 4.297
b c a A bc +-+-===⨯⨯， ∴392A '= ，
∴180()5830B A C '=-+= ．
例3．已知ABC ∆的三内角,,A B C 成等差数列，而,,A B C 三内角的对边,,a b c 成等比数列， 证明：ABC ∆为正三角形。
解：∵,,A B C 成等差数列，
∴2B A C =+，又∵180A B C ++= ，
∴60B =
，
又∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =，
又由余弦定理知： 222222cos 2cos60b a c ac B a c ac =+-=+- 22a c ac =+-
∴ac =22a c ac +-，∴2()0a c -=，∴a c =，
所以，ABC ∆为正三角形。
六．课堂练习：P131练习3，4．
七．课堂小结：1．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同
作用，在解题时正确选用；
2．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形
的形状；注意熟悉并应用余弦定理的向量形式。
八．作业： P132 习题5.9中6，7．。