人教版八年级数学上册 全等三角形中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．

（1）求a，b的值；

（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，

①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；

②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．

【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可．

（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．

②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】

（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0

∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0

∴a＝﹣2，b＝4．

（2）①如图1中，

∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，

∴OP＝OB＝4，

∴P（4，0）．

故答案为（4，0）．

②∵a＝﹣2，b＝4

∴OA＝2OB＝4

又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°

∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°

①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．

∴∠PCB＝∠BOA＝90°，

又∵∠APB＝45°，

∴∠BAP＝∠APB＝45°，

∴BA＝BP，

又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，

∴∠ABO＝∠BPC，

∴△ABO≌△BPC（AAS），

∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，

∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，

∴P（4，2）．

②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．

∴∠PDA＝∠AOB＝90°，

又∵∠APB＝45°，

∴∠ABP＝∠APB＝45°，

∴AP＝AB，

又∵∠BAD+∠DAP＝90°，

∠DPA+∠DAP＝90°，

∴∠BAD＝∠DPA，

∴△BAO≌△APP（AAS），

∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，

∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，

∴P（2，﹣2）．

综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．在ABC ∆中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ∆，使90DAF ∠=︒，连接CF ．

（1）观察猜想

如图1，当点D 在线段BC 上时，

①BC 与CF 的位置关系为__________；

②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ∆≅∆）

（2）数学思考

如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

（3）拓展延伸

如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ∆沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,22CD BC AC ==CE 的长．（提示：做AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）

【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）32【解析】

【分析】

（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；

（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题．

【详解】

（1）①正方形ADEF 中，AD AF =

∵90BAC DAF ==︒∠∠

∴BAD CAF ∠=∠

在△DAB 与△FAC 中

AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴()DAB FAC SAS △≌△

∴B ACF ∠=∠

∴90ACB ACF +=︒∠∠ ，即BC CF ⊥ ；

②∵DAB FAC △≌△

∴=CF BD

∵BC BD CD =+

∴BC CF CD =+

（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC

证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形

∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，

∴∠BAD ＝∠CAF

在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△DAB ≌△FAC （SAS ）

∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF

∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，

∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°

∴∠ABD ＝180°－45°＝135°

∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°

∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，

∴CF ⊥BC

∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF

∴DC ＝CF ＋BC

（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，

∵90BAC ∠=︒

，AB AV ==

∴1422

BC AH BH CH BC =

=====， ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=