备战2020年高考数学一轮复习第4单元三角函数单元训练(A卷,理,含解析)

单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第4单元 三角函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．162．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合．若点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．23．已知tan 1α=，则212cos sin 2αα+=（ ） A ．2B ．2-C ．3D ．3-4．sin15cos15︒-︒的值等于（ ） A ．62B ．62-C ．22-D ．225．若π4sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-6．函数()sin()0,0,|π|2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则5π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．3-B ．12-C ．3D ．3 7．已知曲线πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点1π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期π2T =B ．函数()y g x =在11π17π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．曲线()y g x =关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()y g x =关于直线π6x =对称 8．关于x 的方程sin 26πx m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[0,π]内有相异两实根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．使函数()sin()3cos()f x x x ϕϕ=+++为偶函数，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数的ϕ的一个值为（ ）A ．π3-B ．2π3C ．5π6-D ．π610．在[0,2π]内，不等式1cos 2x <的解集是（ ） A ．π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()sin()0,02πf x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若4πx =-是()f x 图象的一条对称轴，π,04⎛⎫⎪⎝⎭ 是()f x 图象的一个对称中心，则（ ）A ．41()k k ω=+∈NB ．43()k k ω=+∈NC ．21()k k ω=+∈ND ．2()k k ω=∈*N12．已知函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．π6B．π3C．2π3D．5π6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．tan570︒=__________．14．函数的最小正周期是_________．15．若21cos32mxm-=+，且，则实数的取值范围是________．16．已知函数，若当y取最大值时，；当y取最小值时，，且ππ,,22αβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是R．（1）若60α=︒，，求扇形的弧长及该弧长所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是30cm，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？18．（12分）已知函数()324πsinf x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈R．（1）填写下表，用“五点法”画()324πsinf x x⎛⎫=-⎪⎝⎭在一个周期内的图象．xπ85π89π8 2π4x-0π2π3π22ππ3sin24x⎛⎫-⎪⎝⎭0 0 0 （2）求函数()f x的最小正周期和单调递增区间．19．（12分）如图，以Ox 为始边作角α与(0π)ββα<<<，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3cos 5sin sin cos αααα+-的值；（2）若OP OQ ⊥，求3cos 4sin ββ-的值．20．（12分）已知函数π()4sin cos 33f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3()3m f x m -<<+对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）函数)2()2sin cos 0f x x x x ωωωω=+->，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π3．（1）求ω的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，求()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间；（3）在（2）的条件下，求方程()(02)g x t t =<<在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内所有实根之和．22．（12分）已知向量33cos ,sin 22OA x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，11cos ,sin 22OB x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，且ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． （1）若()f x OA OB =⋅u u u r u u u r，求函数()f x 关于x 的解析式；（2）求()f x 的值域；（3）设()2t f x a =+的值域为D ，且函数()2122g t t t =+-在D 上的最小值为2，求a 的值．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第4单元 三角函数 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】扇形的弧长8l =，半径2r =，由扇形的面积公式可知，该扇形的面积182S rl ==．故选A ． 2．【答案】B【解析】∵点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，∴3tan 3aa α==， 则π1tan 1tan 41tan 2ααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭，故选B ． 3．【答案】A【解析】因为222212cos 3cos sin 3tan 42sin 22sin cos 2tan 2αααααααα+++====，故选A ． 4．【答案】C【解析】sin(4530sin15co )cos(45s1)530=︒-︒-︒-︒-︒︒，sin 45cos30cos45sin30(cos45cos30sin 45sin30sin15cos1)5⇒=︒︒-︒︒-︒︒+︒︒-︒︒，11sin15c 212o s 5︒-⇒==︒C ． 5．【答案】B【解析】∵π4sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2πππ327sin 2cos 212sin 16362525x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B ．6．【答案】C【解析】由题意和图像可得，2A =，2πππ236ω⎛⎫⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ω=， ()2sin(2)f x x ϕ∴=+，代入点2π,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭可得π2sin 226ϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合2ϕπ<，可得π6ϕ=-，故函数的解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5ππ2π2sin 22sin 2121263f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．7．【答案】C【解析】由题意知：()()ππsin 2sin 2266g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则πsin 2112g ϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，π22π2k ϕ∴=+，k ∈Z ，()πcos 26g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()g x 最小正周期2ππ2T ==，可知A 错误； 当11π17π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]π22π,3π6x +∈，此时()g x 单调递减，可知B 错误； 当2π3x =时，3π26π2x +=且3πcos 02=，所以2π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知C 正确； 当π6x =时，(π)(2)(3)f f f >->-且πcos 02=，所以π,02⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知D 错误． 本题正确选项C ． 8．【答案】C【解析】方程有两个相异实根等价于2y m =与πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不同的交点，当0πx ≤≤时，ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 由sin x 图象可知1212m ≤<，解得11,42m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．本题正确选项C ． 9．【答案】C【解析】因为函数()sin())2si 3πn f x x x x j j j 骣琪=++=++琪桫为偶函数， 所以π2π3k ϕ+=（k 为奇数），排除A 和B ， 当6ϕ5π=-时，()2sin π2f x x 骣琪=-琪桫， 函数()f x 在区间[]()2π,π2πk k k Z +?上是增函数， 故()f x 在区间0,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，故选C ．10．【答案】C【解析】在[0,2π]内，当1cos 2x =时，π3x =或5π3x =，因为1cos 2x <，所以由函数()cos [0,2π]y x x =∈的图像可知，不等式的解集是π5π,33骣琪琪桫，故选C ． 11．【答案】C【解析】因为4πx =-是()f x 图象的一条对称轴，所以πππ()42m m ωϕ-+=+∈Z ①， 又因为π,04⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，所以ππ()4n n ωϕ+=∈Z ②，②-①得，2()1(,)n m m n ω=--∈Z ，,m n ∈Z Q ，()n m ∴-∈Z ，所以ω可以表示为21()k k ω=-∈Z ，已知0ω>，所以ω是从1开始的奇数，对照选项，可以选C ． 12．【答案】B【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以2π2πω==， 又对任意的x ，都使得()π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在π3x =上取得最小值，则2ππ2π3k ϕ+=+，k ∈Z ， 即π2π,3k k ϕ=+∈Z ，所以()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2π2π2π,3k x k k ≤+≤+∈Z ，解得ππππ,63k x k k -+≤≤+∈Z ， 则函数()y f x =在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是π3．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】33【解析】由题意可得()3tan570tan 180330tan303︒=︒⨯+︒=︒=．故答案为33．14．【答案】2π3【解析】函数的最小正周期是2π2π33T ==，故填2π3． 15．【答案】(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭U【解析】由，可得，所以211132m m --≤≤+，即2113221132m m m m -≥-+-≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即510323032m m m m +≥++≥+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得或15m ≥-．所以实数的取值范围为(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭U ．故答案为(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭U ．16．【答案】32【解析】由题得函数2213sin sin 1sin 24y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∵ππ,,22αβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，，，当取最大值时，，即，可得2πα=-；当取最小值时，，即1sin 2β=，可得π6β=，那么()2π3sin sin 32βα-==，故答案为32．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）()10πcm 3，()2π350cm 32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）当扇形的圆心角为2rad ，半径为15cm 2时， 面积最大，为2225cm 4． 【解析】（1）设弧长为l ，弓形面积为，∵π603α=︒=，，∴()10πcm 3l R α==弧长． ()2110π1πππ310210sin 10cos 50cm 232663S S S ∆⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭弓扇． （2）由，∴()302015l R R =-<<，从而()221115225302152224S l R R R R R R ⎛⎫=⋅⋅=-⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．∴当半径15cm 2R =时，()1530315cm 2l =-⨯=， 扇形面积的最大值是2225cm 4，这时12rad Rα==． ∴当扇形的圆心角为2rad ，半径为15cm 2时，面积最大，为2225cm 4． 18．【答案】（1）见解析；（2）π，π3ππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【解析】（1）填表和作图如下．xπ8 3π8 5π8 7π8 9π82π4x -π2 π3π22π11126561n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭0 3 0 3- 0（2）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==， 令2π224ππππ22k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，解得3ππππ88k x k -+≤≤+，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．19．【答案】（1）117；（2）0． 【解析】（1）由题意知，3cos 5α=-，4sin 5α=，∴3cos 5sin 11sin cos 7αααα+=-． （2）由题意知，(cos ,sin )Q ββ，则(cos ,sin )OQ ββ=u u u r．∵OP OQ ⊥，∴0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，∴34cos sin 055ββ-+=，即3cos 4sin 0ββ-=．20．【答案】（1）π；（2）(1,33⎤-⎦．【解析】（1）13()4cos sin 32f x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos 23cos 3sin 23cos2x x x x x =- π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期是π． （2）令π23t x =-，π2π,33t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 则3sin t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，(2sin 3,2t ⎤∈-⎦，即(()3,2f x ⎤∈-⎦．由题意知3332m m ⎧-≤⎪⎨+>⎪⎩，解得133m -<≤，即实数m 的取值范围是(1,33--．21．【答案】（1）32ω=；（2）单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦、10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）40π9．【解析】（1）函数()223cos 2sin cos 33cos2sin22sin 2(0)3πf x x x x x x ωωωωωωω⎛⎫=++=+> ⎪⎝⎭，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π2π23ω=， 32ω∴=，()2sin 3π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）将函数()y f x =的向右平移π6个单位，可得π2sin 32sin 36π36πy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()32sin 2π6y g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象．由4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得311π,266π6πx ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令32π2π2262πππx k k -≤-≤+，求得4π2π4π4π3939k k x -≤≤+， 故()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦、10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）在（2）的条件下，()32si 6πn 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为4π3，故()32si 6πn 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有2个周期，()g x t -在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有4个零点，设这4个零点分别为1x ，2x ，3x ，4x ，由函数()g x 的图象特征可得124π29x x +=，344π4π293x x +=+，123440π9x x x x ∴+++=． 22．【答案】（1）()cos 2f x x =；（2）[]0,1；（3）2a =或6a =-．【解析】（1）()313131cos cos sin sin cos cos2222222f x OA OB x x x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． （2）由（1）知，()cos 2f x x =，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ，ππ2,22x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，[]cos 20,1x ∴∈，即()f x 的值域为[]0,1．（3）由（2）知：()[]2,2f x a a a +∈+，即[],2D a a =+， ①当21a +≤-，即3a ≤-时，()()()()2min 1222222g t g a a a =+=+++-=， 解得6a =-或0a =（舍）；②当12a a <-<+，即31a -<<-时，()()min 1511222g t g =-=--=-，不合题意； ③当1a ≥-时，()()2min 1222g t g a a a ==+-=，解得2a =或4a =-（舍），综上所述，2a =或6a =-．。