备战2020年高考数学一轮复习第4单元三角函数单元训练(A卷,理,含解析)
2020届高三数学(天津专用)一轮复习单元质检4 三角函数(A)
单元质检四三角函数(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若点(sin5π6,cos5π6)在角α的终边上,则sin α的值为()A.-√32B.-12C.1 2D.√322.已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则sin α等于()A.sin 2B.-sin 2C.cos 2D.-cos 23.函数y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最小正周期和最小值为()A.π,0B.2π,0C.π,2-√2D.2π,2-√24.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象过点(0,√3),则函数f(x)图象的一个对称中心是()A.(-π3,0) B.(-π6,0)C.(π6,0) D.(π12,0)5.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的一部分图象如图所示,将该图象上每一个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象对应的函数g(x)的解析式为()A.g(x)=sin(x+π3) B.g(x)=sin(4x+π3)C.g(x)=sin(x+π6) D.g(x)=sin(4x+π6)6.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,若x1,x2∈(-π6,π3),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于()A.1B.12C.√22D.√32二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知sin 2α=2-2cos 2α,则tan α=.8.(2018全国Ⅲ,理15)函数f(x)=cos(3x+π6)在区间[0,π]上的零点个数为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=√3sin x cos x+cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若-π2<α<0,f(α)=56,求sin 2α的值.10.(15分)设函数f(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2),其中0<ω<3.已知f(π6)=0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在区间[-π4,3π4]上的最小值.11.(15分)已知函数f(x)=sin2ωx+√3sin ωx sin(ωx+π2)(ω>0)的最小正周期为π2.(1)求出函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间[0,π3]上的取值范围.单元质检四 三角函数(A )1.A 解析 因为角α的终边上一点的坐标为(sin5π6,cos 5π6),即(12,-√32), 所以由任意角的三角函数的定义,可得sin α=-√32√(12)+(-√32)=-√32,故选A . 2.D 解析 因为r=√(2sin2)2+(-2cos2)2=2, 所以sin α=y=-cos 2.3.C 解析 因为f (x )=sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x =1+sin 2x+(1+cos 2x ) =2+√2sin (2x +π4), 所以最小正周期为π,当sin (2x +π4)=-1时,f (x )的最小值为2-√2. 4.B 解析 由题意,得√3=2sin(2×0+φ), 即sin φ=√32. 因为|φ|<π2,所以φ=π3.由2sin (2x +π3)=0,得2x+π3=k π,k ∈Z .当k=0时,x=-π6,故选B . 5.A 解析 由题意得A=1,T=5π−(-π)=π, 所以ω=2πT=2.因为f (x )的图象经过点(π,0), 所以f (π3)=sin (2π3+φ)=0,又因为|φ|<π2,所以φ=π3, 即f (x )=sin (2x +π3). 故g (x )=sin (x +π3).6.D 解析 由题中图象可得A=1,T 2=2π2ω=π3−(-π6),解得ω=2. 故f (x )=sin(2x+φ).易知点(π12,1)在函数f (x )的图象上, ∴sin (2×π12+φ)=1,即π6+φ=π2+2k π,k ∈Z .∵|φ|<π2,∴φ=π3,即f (x )=sin (2x +π3).∵x 1,x 2∈(-π6,π3),且f (x 1)=f (x 2), ∴x 1+x 2=π12×2=π6.∴f (x 1+x 2)=sin (2×π+π)=√3,故选D .7.0或12解析 ∵sin 2α=2-2cos 2α=2-2(1-2sin 2α)=4sin 2α,∴2sin αcos α=4sin 2α, ∴sin α=0或cos α=2sin α,即tan α=0或tan α=12.8.3 解析 令f (x )=cos (3x +π6)=0,得3x+π6=π2+k π,k ∈Z ,∴x=π9+kπ3=(3k+1)π9,k ∈Z .则f (x )在区间[0,π]上的零点有π9,4π9,7π9.故有3个.9.解 (1)∵函数f (x )=√3sin x cos x+cos 2x=√32sin 2x+1+cos2x2=sin (2x +π6)+12, ∴函数f (x )的最小正周期为2π2=π.(2)若-π2<α<0, 则2α+π6∈(-5π6,π6). ∵f (α)=sin (2α+π)+1=5, ∴sin (2α+π6)=13, ∴2α+π6∈(0,π6),∴cos (2α+π)=√1-sin 2(2α+π)=2√2, ∴sin 2α=sin (2α+π6-π6)=sin (2α+π6)cos π6-cos (2α+π6)·sin π6=13×√32−2√23×12=√3-2√26.10.解 (1)因为f (x )=sin (ωx -π6)+sin (ωx -π2),所以f (x )=√32sin ωx-12cos ωx-cos ωx=√32sin ωx-32cos ωx=√3(12sinωx -√32cosωx)=√3sin (ωx -π3).由题设知f (π6)=0,所以ωπ6−π3=k π,k ∈Z .故ω=6k+2,k ∈Z .又0<ω<3,所以ω=2. (2)由(1)得f (x )=√3sin (2x -π),所以g (x )=√3sin (x +π4-π3)=√3sin (x -π12).因为x ∈[-π4,3π4],所以x-π12∈[-π3,2π3].当x-π12=-π3,即x=-π4时,g (x )取得最小值-32.11.解 (1)f (x )=1-cos2ωx 2+√32sin 2ωx=√32sin 2ωx-12cos 2ωx+12=sin (2ωx -π6)+12. 因为T=π2,所以2π2ω=π2(ω>0),所以ω=2,即f (x )=sin (4x -π6)+12.于是由2k π-π2≤4x-π6≤2k π+π2(k ∈Z ), 解得kπ2−π12≤x ≤kπ2+π6(k ∈Z ). 所以f (x )的单调递增区间为[kπ2-π12,kπ2+π6](k ∈Z ). (2)因为x ∈[0,π], 所以4x-π6∈[-π6,7π6], 所以sin (4x -π6)∈[-12,1], 所以f (x )∈[0,32].故f (x )在区间[0,π3]上的取值范围是[0,32].。
高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数解三角形(A)(文含解析)新人教A版
单元质检卷四 三角函数、解三角形(A )(时间:60分钟 满分:76分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京延庆一模,5)下列函数中最小正周期为π的函数是( ) A.y=sin x B.y=cos 12xC.y=tan 2xD.y=|sin x|2.若f (x )=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3 D.π23.(2020河南洛阳一中测试)在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边经过点P (3,4),则sin α2017π2=( )A.45 B.35C.35D.454.(2020天津和平一模,6)已知函数f (x )=sin 2x 2sin 2x+1,给出下列四个结论,其中正确的结论是( )A.函数f (x )的最小正周期是2πB.函数f (x )在区间π8,5π8上单调递减C.函数f (x )的图象关于x=π16对称D.函数f (x )的图象可由函数y=√2sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到 5.(2020河南高三质检,11)已知函数f (x )=√3sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<π2,当f (x 1)f (x 2)=3时,|x 1x 2|min =π,f (0)=32,则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期为2πB.函数f (x )的图象的一个对称中心为π6,0C.函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x=π3D.函数f (x )的图象可以由函数y=√3cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到 6.(2021北京朝阳期中,10)已知奇函数f (x )的定义域为π2,π2,且f'(x )是f (x )的导函数.若对任意x ∈π2,0,都有f'(x )cos x+f (x )sin x<0,则满足f (θ)<2cos θ·fπ3的θ的取值范围是( )A.π2,π3B.π2,π3∪π3,π2C.π3,π3 D.π3,π2二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分. 7.(2020山东烟台一模,13)已知tan α=2,则cos 2α+π2= .8.(2020河北邢台模拟,理15)设a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边.已知A=π3,b=1,且(sin 2A+4sin 2B )c=8(sin 2B+sin 2C sin 2A ),则a= .三、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(12分)已知函数f (x )=cos 2x+√3sin(πx )cos(π+x )12. (1)求函数f (x )在区间[0,π]上的单调递减区间;(2)在锐角△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知f (A )=1,a=2,b sin C=a sin A ,求△ABC 的面积.10.(12分)(2020福建福州模拟,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设√3b sin A=a (2+cos B ). (1)求B ;(2)若△ABC 的面积等于√3,求△ABC 的周长的最小值. 11.(12分)(2020山东淄博4月模拟,18)已知点A ,B 分别在射线CM ,CN (不含端点C )上运动,∠MCN=2π3,在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若a ,b ,c 依次成等差数列,且公差为2,求c 的值;(2)若c=√3,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC 的周长,并求周长的最大值.参考答案单元质检卷四 三角函数、解三角形(A )1.D A 选项的最小正周期为T=2π1=2π;B 选项的最小正周期为T=2π12=4π;C 选项的最小正周期为T=π2;D 选项,由其图象可知最小正周期为π.故选D . 2.A 由于函数f (x )=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,所以f 4π3=0,即2×4π3+φ=k π+π2,φ=k π13π6(k ∈Z ).所以|φ|min =π6.3.B 由三角函数的定义可知tan α=43,由题可知α为第一象限角,∴cos α=35,sin α20172π=sin απ2=cos α=35.4.B 函数f (x )=sin2x 2sin 2x+1=sin2x+cos2x=√2sin 2x+π4,T=2π2=π,故A 不正确;由π2+2k π≤2x+π4≤3π2+2k π,k ∈Z ,解得π8+k π≤x ≤5π8+k π,k ∈Z ,令k=0,则π8≤x ≤5π8,故函数f (x )在区间π8,5π8上单调递减,故B 正确;x=π16时,y=√2sin 2×π16+π4≠±√2,故C 不正确;由函数y=√2sin2x的图象向左平移π4个单位长度得到函数f (x )=√2sin 2x+π2,所以D 不正确.故选B .5.D 因为f (x )=√3sin(ωx+φ),所以f (x )max =√3,又f (x 1)f (x 2)=3,所以f (x 1)=f (x 2)=√3或f (x 1)=f (x 2)=√3,因为|x 1x 2|min =π,所以f (x )的最小正周期为π,所以ω=2,故A 错误;又f (0)=32,所以sin φ=√32,又|φ|<π2,所以φ=π3,所以f (x )=√3sin 2x+π3,令2x+π3=k π(k ∈Z ),得x=π6+kπ2(k ∈Z ),所以函数f (x )图象的对称中心为π6+kπ2,0(k ∈Z ),所以B 错误;由2x+π3=π2+k π(k ∈Z ),解得x=π12+kπ2(k ∈Z ),故C 错误;y=√3cos2x=√3sin 2x+π2,向右平移π12个来单位长度得y=√3sin 2x π12+π2=√3sin 2x+π3=f (x ),故D 正确,故选D . 6.D 构造函数g (x )=f (x )cosx , 则g'(x )=f '(x )cosx+f (x )sinxcos 2x ,因对任意x ∈π2,0,都有f'(x )cos x+f (x )sin x<0,所以g'(x )<0,即函数g (x )在π2,0上单调递减.由f (θ)<2cos θ·fπ3,得f (θ)cosθ<f(π3)cosπ3,所以θ>π3,又f (x )的定义域为π2,π2,则θ∈π3,π2.7.45 cos 2α+π2=sin2α =2sin αcos α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α =2tanαtan 2α+1=44+1=45.8.2 因为(sin 2A+4sin 2B )c=8(sin 2B+sin 2C sin 2A ),所以(a 2+4b 2)c=8(b 2+c 2a 2). 又因为b=1,所以(a 2+4b 2)bc=8(b 2+c 2a 2),a 2+4b 22=8×b 2+c 2-a 22bc=8cos A=4,即a 2+4b 22=4,解得a=2.9.解(1)f (x )=cos 2x √3sin x cos x 12 =1+cos2x2−√32sin2x 12=sin 2x π6,令2k ππ2≤2x π6≤2k π+π2,k ∈Z ,得k ππ6≤x ≤k π+π3,k ∈Z ,∵x ∈[0,π],∴函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间为0,π3和5π6,π.(2)由(1)知f (x )=sin 2x π6,∴f (A )=sin 2Aπ6=1,∵△ABC 为锐角三角形,∴0<A<π2,∴π6<2A π6<5π6,∴2A π6=π2,即A=π3. ∵b sin C=a sin A ,∴bc=a 2=4, ∴S △ABC =12bc sin A=√3.10.解(1)因为√3b sin A=a (2+cos B ),由正弦定理得√3sin B sin A=sin A (2+cos B ). 因为A ∈(0,π),所以sin A>0,所以√3sin B cos B=2, 所以2sin B π6=2.因为B ∈(0,π),所以B π6=π2,即B=2π3. (2)依题意√3ac 4=√3,即ac=4.所以a+c ≥2√ac =4,当且仅当a=c=2时取等号.又由余弦定理得b 2=a 2+c 22ac cos B=a 2+c 2+ac ≥3ac=12,所以b ≥2√3,当且仅当a=c=2时取等号.所以△ABC 的周长的最小值为4+2√3.11.解(1)∵a ,b ,c 依次成等差数列,且公差为2,∴a=c 4,b=c 2,又∠MCN=2π3,即cos C=12,由余弦定理可得a 2+b 2-c 22ab=12,将a=c 4,b=c 2代入,得c 29c+14=0,解得c=7或c=2.又c>4,∴c=7.(2)在△ABC 中,由正弦定理可得ACsin∠ABC =BCsin∠BAC =ABsin∠ACB , ∴AC sinθ=BCsin(π3-θ)=√3sin2π3,即AC=2sin θ,BC=2sin (π3-θ).∴△ABC 的周长f (θ)=|AC|+|BC|+|AB|=2sin θ+2sin (π3-θ)+√3 =212sin θ+√32cos θ+√3 =2sin θ+π3+√3. 又θ∈0,π3,∴π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,f (θ)取得最大值2+√3.。
数学一轮复习第4章三角函数解三角形第1讲三角函数的基本概念同角三角函数的基本关系与诱导公式试题1理
第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题·考点自测1.已知下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关;③若sin α=sin β，则α与β的终边相同；④若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确的个数是（）A.1B.2 C。
3 D。
42。
sin 2·cos 3·tan 4的值（）A。
小于0 B。
大于0C。
等于0 D.不存在3.已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α—cos α= （）A.√32+12B。
-√32+12C。
√32−12D。
-√32−124.[2019全国卷Ⅰ,7，5分]tan 255°= （）A.-2—√3B。
—2+√3C。
2—√3 D.2+√35.[2020全国卷Ⅱ，2,5分］［理]若α为第四象限角,则 （ ) A 。
cos 2α>0 B 。
cos 2α〈0 C 。
sin 2α>0 D.sin 2α<06。
已知sin α+cos α=12，α∈(0,π),则1-tanα1+tanα= ( )A.—√7B.√7C.√3 D 。
-√3图4-1—17。
[2019北京,8,5分］如图4—1-1，A ，B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 （ ） A 。
4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β8.[2018全国卷Ⅰ，11，5分］已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A （1，a ）,B （2,b )，且cos 2α=23，则｜a -b ｜=（ ）A.15B .√55C 。
2√55D.1拓展变式1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图4-1—3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短，则方案更优.2.（1）［2021洛阳市联考］已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合，终边与直线y=3x重合,且sin α<0，P（m，n）是角α终边上一点，且｜OP｜=√10(O为坐标原点）,则m-n 等于（）A.2B.-2C.4 D。
2020届高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.4三角函数的图像和性质练习(含解析)
专题4.4 三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质. 【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )【微点提醒】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2【答案】 A【解析】 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 3.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )【解析】 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2【答案】 C【解析】 由题意T ＝2π2＝π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1C.35D.15【答案】 A【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________. 【答案】 －π6【解析】 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 【考点聚焦】考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【答案】(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 【规律方法】 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π【解析】 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【答案】 A【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】 A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增 (2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【答案】 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32【解析】 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.【规律方法】 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. (2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9. 【规律方法】1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . f (x )＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确. C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】 C【解析】 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π. 2.(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8 【答案】 C【解析】 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 3.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2【答案】 C【解析】 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2. 5.若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x 【答案】 B 【解析】 ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增. 二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 【答案】 5π6【解析】 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 7.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 【解析】 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )， 所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 8.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.【答案】 23【解析】 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ， 所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3. 10.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )【答案】 D【解析】 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ).12.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24 【答案】 A【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 13.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ) 【解析】 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23. 【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.【答案】 π2【解析】 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2.。
天津专用2020届高考数学一轮复习单元质检4三角函数A含解析新人教A版
因为.
11.解(1)f(x)=sin2ωx=sin2ωx-cos2ωx+=sin.
因为T=,所以(ω>0),
所以ω=2,
即f(x)=sin.
于是由2kπ-≤4x-≤2kπ+(k∈Z),
解得≤x≤(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=,
即f(x)=sin.
∵x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),
∴x1+x2=×2=.
∴f(x1+x2)=sin,故选D.
7.0或解析∵sin2α=2-2cos2α=2-2(1-2sin2α)=4sin2α,
∴2sinαcosα=4sin2α,
∴sinα=0或cosα=2sinα,
A.B.
C.D.
5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一部分图象如图所示,将该图象上每一个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象对应的函数g(x)的解析式为()
A.g(x)=sinB.g(x)=sin
C.g(x)=sinD.g(x)=sin
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于()
所以sinα==-cos2.
3.C解析因为f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=1+sin2x+(1+cos2x)
=2+sin,
所以最小正周期为π,
当sin=-1时,f(x)的最小值为2-.
4.B解析由题意,得=2sin(2×0+φ),
高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第四章三角函数与解三角形4-4Word版含答案
真题操练集训π31．若 cos 4 － α＝ 5，则 sin 2α ＝ ()71 A. 25B. 517C ．－ 5D ．－ 25答案： Dπππ2分析：因为 cos 4 － α ＝ cos4 cosα＋ sin4 ·sinα ＝ 2 (sin α＋ cos α)33 2187＝ 5，所以 sinα ＋ cos α ＝5 ，所以 1＋ sin 2α ＝ 25，所以 sin 2 α＝－ 25，应选 D.ππ1＋ sin β2．设 α ∈ 0， 2 ， β∈ 0， 2，且 tan α ＝ cos β ，则 ()ππA ．3α － β＝ 2B ．2α － β ＝ 2π π C ．3α ＋ β＝ 2 D ．2α ＋ β ＝ 2答案： Btan1＋ sin β分析：解法一：由 α ＝ cos β ，得sin α 1＋ sin βcos α ＝ cos β ，即 sinα cos β ＝cosα ＋cos αsinβ ，π∴sin( α －β ) ＝ cos α ＝ sin2 － α .π π ∵α ∈ 0， 2 ， β ∈ 0， 2 ，π π ππ∴α － β ∈ － 2 ， 2 ， 2 － α ∈ 0， 2 ，∴由 sin( α－ β ) ＝ sin π － α ，得2ππα－ β ＝ 2 － α ，∴ 2α － β ＝ 2 .1＋ sin β 1＋ cos π－ β解法二： tan2α ＝cos β ＝ sin π－ β22cos 2 π － β＝42 β ＝ cotπ －βπβ π4 22sin4 － 2 cos 4 － 2＝tanπ π βtan πβ2 － 4－24 ＋ 2 ，π β∴α ＝ k π ＋ 4 ＋ 2 ， k ∈ Z∴ 2α － β ＝2k π ＋ π， k ∈Z. 2π当 k ＝ 0 时，知足 2α－ β ＝ 2 ，应选 B.3．已知 2cos 2x ＋ sin 2 x ＝ A sin( ω x ＋ φ ) ＋ b ( A >0) ，则 A ＝ ________， b ＝ ________.答案：2 1分析：因为 2cos 2x ＋ sin 2x ＝ 1＋cos 2 x ＋ sin 2x ＝ 2sin 2x ＋π4 ＋ 1，所以 A ＝ 2，b ＝ 1.π π π4．已知函数 f ( x ) ＝ 3sin( ωx ＋ φ ) ω ＞0，－ 2 ≤ φ ＜ 2 的图象对于直线x ＝ 3 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 π .(1) 求 ω 和 φ 的值；(2) 若 fα3 π＜ α ＜2π3π＝ 3 ，求 cos α ＋ 2的值．2 4 6解： (1) 因为 f ( x ) 的图象上相邻两个最高点的距离为π ，所以 f ( x ) 的最小正周期 T ＝ π，2π进而 ω＝ T ＝ 2.π又因为 f ( x ) 的图象对于直线 x ＝ 3 对称，ππ所以2× 3＋φ ＝ k π＋ 2 ， k ＝ 0，± 1，± 2， .因为－ π 2≤ φ＜ π 得2k ＝0，所以 φ ＝π2－2π3 ＝－ π6 .(2) 由 (1) 得 fα3sin2·α π 32＝2－＝ 4 ，6π 1所以 sin α － 6 ＝ 4.由π6 ＜ α ＜2π3 得 0＜α － π6 ＜π2 ，所以 cos α － π＝ 1－ sin 2α － π66＝1－ 1 2＝15.44所以 cos3π＝ sinα ＝sin ππα ＋ 2 α － 6 ＋ 6π ππ π＝sin α － 6 cos 6 ＋ cos α － 6 sin61 3 15 1＝ ×2 ＋×24 43＋ 15＝8.课外拓展阅读给值求角忽略角的范围致误已知 α ，β 为三角形的两个内角，1 5 3 cos α ＝ ，sin( α ＋ β ) ＝，则 β ＝ ________.7141∵ 0<α <π ，cos α ＝7，1 24 3 ∴sinα ＝1－ 7＝ 7 .5 3又∵ sin( α＋ β ) ＝，145 3 2 11∴cos( α ＋β ) ＝－1－14＝－ 14.3∴sinβ ＝sin ＝ sin( α ＋ β )cos α － cos( α ＋ β)sin α＝ 2 .π2π 又∵ 0<β <π，∴ β ＝ 3 或 3 .(1)不可以依据题设条件减小 α ，β 及 α ＋ β 的取值范围，在由同角基本关系式求 sin( α＋ β ) 时不可以正确判断符号，产生两角解．(2) 结论处应由 cos β 的值确立β 的取值，由 sin β 确立结论时易出现两解而造成失误．124 3 ππ因为 0<α<π ，cos α ＝7，所以 sin α ＝ 1－ cos α ＝ 7 ，故 3 <α < 2 . 又因为 0<α533π2π＋β <π， sin(α＋β ) ＝14 <2，所以 0<α＋β < 3或3 <α＋β <π.ππ2π由3 <α < 2，知3 <α＋β <π，所以 cos( α＋β ) ＝－1－ sin 211α ＋β＝－14，所以 cos β＝ cos1＝cos( α＋β )cosα＋sin(α ＋β )sinα ＝，2π又 0<β <π，所以β＝3 .π3答题启迪利用三角函数值求角时，要充足联合条件，确立角的取值范围，再选用适合的三角函数进行求值，最后确立角的详细取值．。
2020版高考数学一轮总复习 第四单元三角函数与解三角形 课后作业全集 含解析
任意角的三角函数1．(2018·龙岩期中)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点P (6，y )是角α的终边上一点，且sin α＝－45，则y 的值为(D)A ．4B ．－4C ．8D ．－8由题意知P 的坐标为(6，y )，由三角函数定义知，sin α＝y36＋y2＝－45，得m ＝－8.2．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为(A)A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12)设Q 的坐标为(x ，y )，则x ＝cos(π－7π3)＝cos(π－2π－π3)＝cos(π－π3)＝－12.y ＝sin(π－7π3)＝sin(π－2π－π3)＝sin(π－π3)＝32. 3．若tan α>0，则(C) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin 2α>0 D ．cos 2α>0由tan α>0得α在第一、三象限．若α在第三象限，则A ，B 都错．由sin 2α＝2sin αcos α知sin 2α>0，C 正确． α取π3，cos 2α＝cos 2π3＝－12<0，D 错．4．(2018·湖北5月冲刺试题)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π3，弦长为40 3m 的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(B)(其中π≈3，3≈1.73) A ．15 m 2B ．16 m 2C ．17 m 2D ．18 m 2因为圆心角为2π3，弦长为40 3 m ，设半径为R ，则203R ＝sin π3＝32，所以R ＝40， 圆心到弦的距离d ＝R cos π3＝40×12＝20.所以弦＝403，矢＝R －d ＝20. 弧田实际面积＝13πR 2－12×弦长×d＝16003π－4003＝908， 由经验公式得：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)＝12(403×20＋20×20) ＝4003＋200＝892. 其误差为908－892＝16(m 2)．5. α的终边与π6的终边关于直线y ＝x 对称，则α＝ 2k π＋π3(k ∈Z ) .因为π3的终边与π6的终边关于y ＝x 对称，所以α＝2k π＋π3(k ∈Z )．6．已知角α终边过点(3，－1)，则2sin α＋3cos α的值为 12 .因为sin α＝y r ＝－12，cos α＝x r ＝32；所以2sin α＋3cos α＝2×(－12)＋3×32＝12.7. 如果角α的终边在直线y ＝3x 上，求cos α与tan α的值．因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以角α的终边在第一、三象限．当α的终边在第一象限时，因为直线过点(1,3)， 因为r ＝1＋32＝10，所以cos α＝1010，tan α＝3. 当α的终边在第三象限时，同理可得 cos α＝－1010，tan α＝3.8．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α＜cos α＜sin α，则P 所在的圆弧是 (C)A.ABB.CDC.EFD.GH由题知四段弧是单位圆上的第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限的弧，在AB 上，tan α＞sin α，不满足； 在CD 上，tan α＞sin α，不满足；在EF 上，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，且cos α＞tan α，满足； 在GH 上，tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，不满足．9．在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且|OP |＝r (r >0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r，称sicos θ为“θ的正余弦函数”．若sicos θ＝0，则sin(2θ－π3)＝ 12.因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上．所以θ＝2k π＋π4，或θ＝2k π＋5π4，k ∈Z .当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin(2θ－π3)＝sin(4k π＋π2－π3)＝cos π3＝12；当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin(2θ－π3)＝sin(4k π＋5π2－π3)＝cos π3＝12.综上得sin(2θ－π3)＝12.10．要建一个扇环形花园，外圆半径是内圆半径的2倍，周长为定值2l ，问当圆心角α(0<α<π)为多少时，扇环面积最大？最大面积是多少？设内圆半径为r ，则外圆半径为2r ，扇环面积为S ，因为αr ＋α·2r ＋2r ＝2l ，所以3α＝2l －2rr，所以S ＝12α·(2r )2－12α·r 2＝32α·r 2＝12·2l －2r r ·r 2＝(l －r )·r ＝－r 2＋lr ＝－(r －12l )2＋14l 2，所以当r ＝12l 时，S 取得最大值，此时3α＝2l －2r r ＝2，α＝23.当α＝23时，S 取得最大值14l 2.同角三角函数的基本关系与诱导公式1．tan 300°＋－sin 765°的值是(B)A ．1＋ 3B ．1－ 3C ．－1－ 3D ．－1＋ 3原式＝tan(360°－60°)＋＋＋＝－tan 60°＋1tan 45°＝1－ 3.2．(2018·广州一模)已知sin(x －π4)＝35，则cos(x ＋π4)＝(D)A.45B.35 C ．－45 D ．－35(方法一)进行角的配凑cos(x ＋π4)＝cos[π2＋(x －π4)]＝－sin(x －π4)＝－35.(方法二)换元法设x －π4＝θ，则cos θ＝35，且x ＝θ＋π4，所以cos(x ＋π4)＝cos(θ＋π4＋π4)＝cos(π2＋θ)＝－sin θ＝－35.3．(2018·华南师大附中模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是(A)A.35 B ．－35 C ．－3 D ．3由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2. 所以cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋12sin 2αsin 2α＋cos 2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan α1＋tan 2α＝1＋21＋4＝35. 4．(2018·湖北宜昌模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为(B)A.23 B ．－23C.13 D ．－13由已知sin θ＋cos θ＝43，平方得2sin θ·cos θ＝79，而(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，又θ∈(0，π4)，所以cos θ>sin θ>0，所以sin θ－cos θ<0，故sin θ－cos θ＝－23. 5．已知cos α＝15，－π2<α<0，则π2＋αα＋π－αα的值为612.π2＋αα＋π－αan α＝－sin αtan αsin α＝－cos αsin α，因为cos α＝15，－π2<α<0，所以sin α＝－265.所以原式＝－cos αsin α＝－15－265＝612. 6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为 1－ 5 .由题意⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝－m2，sin θ·cos θ＝m4，且Δ＝4m 2－16m ≥0，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝m 24，所以m 24＝1＋m2，所以m ＝1± 5.由Δ＝4m 2－16m ≥0，得m ≤0，或m ≥4，所以m ＝1－ 5. 7．已知tan α＝2. (1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sinαcos α－cos 2α－1的值．(1)tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.8．如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为(513，1213)，∠AOB ＝90°，则tan ∠COB ＝(B)A.512 B ．－512 C.125 D ．－125因为cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋90°)＝－sin ∠COA＝－1213.又因为点B 在第二象限， 所以sin ∠COB ＝1－cos 2∠COB ＝513， 所以tan ∠COB ＝sin ∠COB cos ∠COB ＝－512.9．已知x ∈R ，则函数y ＝(1＋sin x )(1＋cos x )的值域为 [0，32＋2] .因为y ＝(1＋sin x )(1＋cos x )＝1＋sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝12t 2＋t ＋12＝12(t ＋1)2，t ∈[－2，2]．所以所求函数的值域为[0，32＋2]．10．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55.(1)求tan α的值；(2)把11－sin αcos α用tan α表示出来，并求出其值．(1)因为cos α－sin α＝－55， 所以(cos α－sin α)2＝15.所以1－2sin αcos α＝15，即sin αcos α＝25，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝95，因为0<α<π2，所以sin α＋cos α＝355.与cos α－sin α＝－55联立解得： sin α＝255，cos α＝55，所以tan α＝2.(2)11－sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α－tan α＋1， 因为tan α＝2，所以11－sin αcos α＝22＋122－2＋1＝53.两角和与差的三角函数1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于(D) A ．0 B.12C.32D ．1原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.2．(2018·临沂期中)已知f (x )＝sin(x ＋π6)，若sin α＝35(π2<α<π)，则f (α＋π12)＝(B)A ．－7210B ．－210C.210D.7210由sin α＝35(π2<α<π)，得cos α＝－45.所以f (α＋π12)＝sin(α＋π12＋π6)＝sin(α＋π4)＝22(sin α＋cos α)＝22×(35－45)＝－210. 3．(2018·淄博模拟)已知cos(α＋π6)＋sin α＝235，则sin(α＋4π3)的值是(A)A ．－235 B.235C ．－45 D.45因为cos(α＋π6)＋sin α＝32cos α＋12sin α＝sin(α＋π3)＝235，所以sin(α＋π3)＝235.所以sin(α＋4π3)＝sin(α＋π3＋π)＝－235.4．若tan α＝2tan π5，则α－3π10α－π5＝(C)A ．1B ．2 C ．3 D ．4因为cos(α－310π)＝cos(α＋π5－π2)＝sin(α＋π5)，所以原式＝α＋π5α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝tan α＋tanπ5tan α－tanπ5.又因为tan α＝2tan π5，所以原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.5．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π2)，tan α＝2，则cos(α－π4)＝ 31010 .cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α)． 又由α∈(0，π2)，tan α＝2，知sin α＝255，cos α＝55，所以cos(α－π4)＝22×(55＋255)＝31010.6．(2017·江苏卷)若tan(α－π4)＝16，则tan α＝ 75.(方法一)因为tan(α－π4)＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16，所以6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，所以tan α＝75.(方法二)tan α＝tan[(α－π4)＋π4] ＝α－π4＋tan π41－α－π4π4＝16＋11－16×1＝75.7．已知α是第二象限角，sin α＝35，β为第三象限角，tan β＝43.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求cos(2α－β)的值．(1)因为α是第二象限角，sin α＝35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，又tan β＝43，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝724.(2)因为β为第三象限角，tan β＝43，所以sin β＝－45，cos β＝－35.又sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝725，所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35.8．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)某房间的室温T (单位：摄氏度)与时间t (单位：小时)的函数关系是：T ＝a sin t ＋b cos t ，t ∈(0，＋∞)，其中a ，b 是正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则a ＋b 的最大值是(A)A ．5 2B ．10C ．10 2D ．20由辅助角公式：T ＝a sin t ＋b cos t ＝a 2＋b 2sin(t ＋φ)，其中φ满足条件：sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.则函数T 的值域为[－a 2＋b 2，a 2＋b 2]， 由室内最大温差为2a 2＋b 2＝10， 得a 2＋b 2＝5，a 2＋b 2＝25， 设a ＝5cos θ，b ＝5sin θ，则a ＋b ＝5cos θ＋5sin θ＝52sin(θ＋π4)，故a ＋b ≤52，当且仅当a ＝b ＝522时等号成立．9．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ －12.因为sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②所以①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， 所以sin αcos β＋cos αsin β＝－12，所以sin(α＋β)＝－12.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．由条件得cos α＝210，cos β＝255. 因为α，β为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝7210， 同理可得sin β＝55.所以tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝α＋β＋tan β1－α＋ββ＝－3＋121－－12＝－1. 因为α，β为锐角，所以0<α＋2β<3π2，所以α＋2β＝3π4.倍角公式及简单的三角恒等变换1．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于(D) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6因为sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝6. 2．已知sin 2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝(A)A.16B.13 C.12 D.23因为sin 2α＝23，所以cos 2(α＋π4)＝1＋α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.3．(2018·佛山一模)已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2(θ＋π4)＝(C)A.12B.13 C.14 D.15由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4， 即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，所以sin θcos θ＝14，所以cos 2(θ＋π4)＝1＋θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.4．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝(B)A.15B.55C.255D ．1由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，所以cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23， 所以tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，所以|a －b |＝55. 5．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝ 2 ，b＝ 1 .因为2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，所以A ＝2，b ＝1.6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝ －45 .因为tan(π4＋θ)＝3，所以1＋tan θ1－tan θ＝3，所以tan θ＝12.sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 7．已知cos α＝35，cos(α－β)＝1213，且0<β<α<π2，求cos β的值．因为cos α＝35，0<α<π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，因为0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，又cos(α－β)＝1213，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝513， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝35×1213＋45×513＝5665.8.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°的值为(C)A ．－32 B ．－12C.12D.32原式＝＋－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.9.3tan 12°－3212°－＝ －4 3 .原式＝2312sin 12°－32212°－＝－23－sin 24°cos 24°＝－43sin 48°2sin 24°cos 24°＝－4 3.10．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan α＋β1＋tan 2αtan α＋β＝－211.三角函数的图象与性质（一）1．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为(B)A ．1 B. 2 C. 3 D ．2|MN |＝|sin a －cos a |＝2|sin(a －π4)|≤ 2.2．函数f (x )＝3sin x ＋cos(π3＋x )的最大值为(C)A ．2 B. 3 C ．1 D.12因为f (x )＝3sin x ＋12cos x －32sin x＝32sin x ＋12cos x ＝sin x cos π6＋cos x sin π6＝sin(x ＋π6)．所以f (x )的最大值为1.3．(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos(π2－x )的最大值为(B)A ．4B ．5C ．6D ．7因为f (x )＝cos 2x ＋6cos(π2－x )＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112，又sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B. 4．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin(x ＋π3)＋cos(x －π6)的最大值为(A)A.65 B ．1 C.35 D.15(方法一)因为f (x )＝15sin(x ＋π3)＋cos(x －π6)＝15(12sin x ＋32cos x )＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin(x ＋π3)， 所以当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.(方法二)因为(x ＋π3)＋(π6－x )＝π2，所以f (x )＝15sin(x ＋π3)＋cos(x －π6)＝15sin(x ＋π3)＋cos(π6－x ) ＝15sin(x ＋π3)＋sin(x ＋π3) ＝65sin(x ＋π3)≤65.所以f (x )max ＝65. 5．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 在区间[－π4，π4]上的最小值为 1－22 .f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54，因为x ∈[－π4，π4]，所以－22≤sin x ≤22，所以当x ＝－π4，即sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－12－22＝1－22.6．如图，半径为R 的圆的内接矩形周长的最大值为 42R .设∠BAC ＝θ，周长为p ，则p ＝2AB ＋2BC ＝2(2R cos θ＋2R sin θ) ＝42R sin(θ＋π4)≤42R ，当且仅当θ＝π4时取等号．所以周长的最大值为42R .7．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2(x －π6)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π3，π4]上的最大值和最小值．(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－x －π32＝12(12cos 2x ＋32sin 2x )－12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin(2x －π6)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间[－π3，－π6]上是减函数，在区间[－π6，π4]上是增函数，且f (－π3)＝－14，f (－π6)＝－12，f (π4)＝34，所以f (x )在区间[－π3，π4]上的最大值为34，最小值为－12.8．(2018·天津市和平区月考)若f (x )＝2cos(2x ＋φ)(φ>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且当φ取最小值时，x 0∈(0，π2)，使得f (x 0)＝a ，则a 的取值范围是(D)A ．(－1,2]B ．[－2，－1)C ．(－1,1)D ．[－2,1)因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2π3＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－2π3(k ∈Z )，因为φ>0，所以φmin＝π3，此时f (x )＝2cos(2x ＋π3)． 因为x 0∈(0，π2)，所以2x 0＋π3∈(π3，4π3)，所以－1≤cos(2x 0＋π3)<12，所以－2≤2cos(2x 0＋π3)<1，即－2≤f (x 0)<1，因为f (x 0)＝a ，所以－2≤a <1，故选D.9．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 23.因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以当x ＝π4时，f (x )取得最大值，即f (π4)＝cos(π4ω－π6)＝1，所以π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝8k ＋23，k ∈Z .因为ω>0，所以当k ＝0时，ω取得最小值23.10．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围．(1)f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12. 因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，因此0≤sin(2x －π6)＋12≤32.即f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围为[0，32]．三角函数的图象与性质（二）1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为(C) A.π4 B.π2C ．πD ．2π(方法一：直接法)由已知得f (x )的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，又f (x )＝tan x1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋sin xcos x 2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(方法二：验证法)因为f (x ＋π)＝f (x )，所以π是f (x )的周期；f (x ＋π2)＝x ＋π21＋tan2x ＋π2＝－tan x 1＋tan 2x≠f (x )，所以π2不是f (x )的周期．故选C.2．在函数①y ＝cos |2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为(A)A ．①②③B ．①③④C ．②③D ．①③①y ＝cos |2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos(2x ＋π6)的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan(2x －π4)的最小正周期T ＝π2.因此最小正周期为π的函数为①②③.3．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则(B)A ．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0 C ．ω≥1 D．ω≤－1(方法一：直接法)由y ＝tan x 在(－π2，π2)内是增函数知ω<0，且T ＝π|ω|≥π，即－1≤ω<0，选B.(方法二：特值法)取ω＝－1满足题意，排除A ，C ；又取ω＝－2，不满足题意，排除D ，故选B.4．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在[0，π4]上是减函数的θ的一个值可以是(D)A ．－π3 B.π3C.π6D.2π3f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)，因为f (x )是奇函数，所以θ＋π3＝k π，即θ＝k π－π3，k ∈Z ，排除B ，C.若θ＝－π3，则f (x )＝2sin 2x 在[0，π4]上递增，排除A.故选D.5．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间是 (k π－3π4，k π＋π4)(k ∈Z ) .由k π－π2<x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－3π4<x <k π＋π4(k ∈Z )．6．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [k π＋38π，k π＋78π](k ∈Z ) .因为f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1 ＝12sin 2x －12cos 2x ＋32 ＝22sin(2x －π4)＋32， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 所以f (x )的递减区间为[k π＋38π，k π＋78π](k ∈Z )．7．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f (2π3)的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．(1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f (2π3)＝(32)2－(－12)2－23×32×(－12)，所以f (2π3)＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin(2x ＋π6)，所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是[π6＋k π，2π3＋k π]，k ∈Z .8．(2018·天津卷)将函数y ＝sin(2x ＋π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数(A)A ．在区间[3π4，5π4]上单调递增B ．在区间[3π4，π]上单调递减C ．在区间[5π4，3π2]上单调递增D ．在区间[3π2，2π]上单调递减函数y ＝sin(2x ＋π5)的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin[2(x －π10)＋π5]＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为[3π4，5π4]，一个单调减区间为[5π4，7π4]．由此可判断选项A 正确．9．函数f (x )＝sin(x －π3)的图象为C ，有如下结论：①图象C 关于直线x ＝5π6对称；②图象C 关于点(4π3，0)对称；③函数f (x )在区间[π3，5π6]内是增函数．其中正确的结论的序号是 ①②③ .(写出所有正确结论的序号)①把x ＝5π6代入f (x )＝sin(x －π3)得f (5π6)＝sin(5π6－π3)＝sin π2＝1， 所以图象C 关于直线x ＝5π6对称．②把x ＝4π3代入f (x )＝sin(x －π3)得f (4π3)＝sin(4π3－π3)＝sin π＝0， 所以图象C 关于点(4π3，0)对称．③由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，所以2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z .取k ＝0，得到一个增区间为[－π6，5π6]，而[π3，5π6－π6，5π6]， 所以函数f (x )在区间[π3，5π6]内是增函数．10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos(π4＋φ)＝0.又|φ|<π2，所以φ＝π4.(2)由(1)得f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，所以f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]．g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )． 从而，最小正实数m ＝π12.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质1．(2018·雁峰区校级期末)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能为(B)A ．－3π4B ．－π4C.π4D.5π4y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后变为函数y ＝sin[2(x ＋π8)＋φ]＝sin(2x ＋π4＋φ)的图象，又y ＝sin(2x ＋π4＋φ)为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝π4＋k π(k ∈Z )．若k ＝0，则φ＝π4；若k ＝－1时，φ＝－3π4；若k ＝1时，φ＝5π4，故选B.2．为了得到 y ＝sin(x ＋π3)的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移m 个单位长度或向右平移n 个单位长度(m ，n 为正数)，则|m －n |的最小值为(A)A.23πB.34πC.45πD.56πy ＝sin x 向左平移m 个单位长度，得到y ＝sin(x ＋π3), 所以m ＝π3＋2k 1π(k 1∈Z )，y ＝sin x 向右平移n 个单位长度，得到y ＝sin(x ＋π3)，所以n ＝53π＋2k 2π(k 2∈Z )，所以|m －n |最小值即|π3＋2k 1π－53π－2k 2π|＝|－43π＋2(k 1－k 2)π| 的最小值．当k 1－k 2＝1时， |m －n |的最小值为|2π－43π|＝23π，所以所求的最小值是23π.3．(2018·佛山一模)把曲线C 1：y ＝2sin(x －π6)上所有点向右平移π6个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2，则C 2(B)A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点(π12，0)对称 D ．关于点(π，0)对称y ＝2sin(x －π6)――→向右平移π6个单位y ＝2sin(x －π3)――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin(2x －π3)． 对于曲线C 2：y ＝2sin(2x －π3)． 令x ＝π4，得y ＝1，不是最值，所以它的图象不关于直线x ＝π4对称，A 错误；令x ＝5π12，得y ＝2为最值，所以它的图象关于直线x ＝5π12对称，B 正确；令x ＝π12，得y ＝－1，所以它的图象不关于点(π12，0)对称，C 错误；令x ＝π，得y ＝－3，故它的图象不关于点(π，0)对称，D 错误．4．(2018·石家庄市一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如下图所示，则f (11π24)的值为(D)A ．－62B ．－32C ．－22D ．－1显然A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 因为f (x )的图象经过点(π3，0)，结合正弦函数的图象特征知，2×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z .所以f (x )＝2sin(2x ＋2k π＋π3)，k ∈Z ，所以f (11π24)＝2sin(11π12＋2k π＋π3)＝2sin(2k π＋π＋π4)＝－2sin π4＝－1，k ∈Z .故选D.5．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω为常数且ω>0)的图象相交的相邻两点间的距离是πω.直线y ＝a 与曲线y ＝tan ωx 相邻两点间的距离就是此曲线的一个最小正周期，为πω. 6．(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)(－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为 －π6.由题意得f (π3)＝sin(23π＋φ)＝±1，所以23π＋φ＝k π＋π2，所以φ＝k π－π6，k ∈Z .因为φ∈(－π2，π2)，所以取k ＝0得φ＝－π6.7．已知函数f (x )＝3sin(x 2＋π6)＋3.(1)指出f (x )的周期、振幅、初相、对称轴； (2)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(3)说明此函数图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到．(1)周期T ＝4π，振幅A ＝3，初相φ＝π6，由x 2＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )即为对称轴． (2)列表：描点，连线，得到f (x )在一个周期内的图象．(3)①由y ＝sin x 的图象上各点向左平移π6个长度单位，得y ＝sin(x ＋π6)的图象．②由y ＝sin(x ＋π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(x 2＋π6)的图象．③由y ＝sin(x 2＋π6)的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin(x 2＋π6)的图象．④由y ＝3sin(x 2＋π6)的图象上各点向上平移3个长度单位，得y ＝3sin(x 2＋π6)＋3的图象．8．(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f (5π8)＝2，f (11π8)＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则(A)A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24因为f (5π8)＝2，f (11π8)＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，所以f (x )的最小正周期为4(118π－58π)＝3π， 所以ω＝2π3π＝23，所以f (x )＝2sin(23x ＋φ)．因为f (5π8)＝2，所以2sin(23×58π＋φ)＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，所以取k ＝0，得φ＝π12.9．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin(2x＋π3)的图象重合，则φ＝ 5π6.将y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后，得到y ＝cos[2(x －π2)＋φ]＝cos(2x －π＋φ)＝sin(2x －π＋φ＋π2)＝sin(2x ＋φ－π2)，而它与函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象重合，令2x ＋φ－π2＝2x ＋π3＋2k π(k ∈Z )，得φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )．又－π≤φ<π，故φ＝5π6.10．设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (π6)的值．(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin(2x －π3)＋3－1，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )(或(k π－π12，k π＋5π12)(k ∈Z ))．(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x －π3)＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin(x －π3)＋3－1的图象， 再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1， 所以g (π6)＝2sin π6＋3－1＝ 3.正弦定理与余弦定理1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于(C) A ．60° B．45° C ．120° D．30°因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又因为0°<A <180°，所以A ＝120°.2．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝(B)A.31010B.1010 C.510 D.515EB ＝EA ＋AB ＝2，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝5，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4.由正弦定理，得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC CE ＝15＝55，所以sin ∠CED ＝55sin ∠EDC ＝55sin 3π4＝1010. 3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝(A)A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×(55)2－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝52＋12－2×5×1×(－35)＝32，所以AB ＝32＝4 2.4．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝(D)A.310B.1010 C.55 D.31010如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，由勾股定理得，AB ＝13a 2＋13a 2＝23a . 同理，在Rt △ACD 中，AC ＝13a 2＋23a 2＝53a . 因为S △ABC ＝12AB ·AC ·sin∠BAC ＝12BC ·AD ，所以12×23a ×53a ·sin∠BAC ＝12a ·13a ，所以sin ∠BAC ＝310＝31010. 5．(2016·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝ 1 .在△ABC 中，∠A ＝2π3，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .因为a ＝3c ，所以3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以b 2＋bc －2c 2＝0， 所以(b ＋2c )(b －c )＝0，所以b －c ＝0，所以b ＝c ，所以b c＝1.6．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝6 .如图，在△ABD 中，由正弦定理，得ADsin B＝ABsin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝22. 所以∠ADB ＝45°，所以∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°. 所以∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，所以BC ＝AB ＝2， 所以AC ＝ 6.7．在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90. 所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝3310＝1010， 由题设知0＜B ＜π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ， 所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B π－2B ＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.8. △ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的范围是(A)A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π4<C <π2D.π6<C <π3设AC ＝x ，则1<x <3，cos C ＝4＋x 2－14x ＝3＋x 24x ＝34x ＋x 4≥234x ·x 4＝32，当且仅当x ＝3时，取“＝”． 故0<C ≤π6.9．设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝145.因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665. 因为b sin B ＝c sin C ，又b ＝3，所以c ＝b sin C sin B ＝145.10．(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos(B －π6)．(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos(B －π6)，得a sin B ＝a cos(B －π6)，即sin B ＝cos(B －π6)，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos(B －π6)，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.正弦定理、余弦定理的综合应用1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 一定是(A) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不确定2．在△ABC 中，两边的差为2，两边夹角的余弦值为35，且三角形面积为14，则这两边的长分别是(D)A ．3,5B ．4,6C ．6,8D ．5,7不妨设两边为b ，c (b >c )，则b －c ＝2，cos A ＝35，则sin A ＝45，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝25bc ＝14，所以bc ＝35.所以b ＝7，c ＝5.3．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于(C)A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝60 3 m ，在Rt △ABD 中，BD ＝ADtan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)m ，所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.4．(2016·山东卷)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝(C)A.3π4B.π3C.π4D.π6因为b ＝c ，所以B ＝C .又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A2.由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )，即sin 2A ＝2sin 2(π2－A 2)(1－sin A )，即sin 2A ＝2cos 2A2(1－sin A )，即4sin 2A2cos 2A2＝2cos 2A2(1－sin A )，整理得cos 2A2(1－sin A －2sin 2A2)＝0，即cos 2A2(cos A －sin A )＝0.因为0<A <π，所以0<A 2<π2，所以cos A2≠0，所以cos A ＝sin A ．又0<A <π，所以A ＝π4.5．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点间的距离是6 千米．在△ABC 中，∠ACB ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，解得AC ＝ 6.6．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是152，cos ∠BDC ＝ 104.依题意作出图形，如图所示， 则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则cos ∠ABC ＝14，sin ∠ABC ＝154.所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152. 因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14，所以CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝10. 由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.7.(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .因为AB →·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6.又S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6.。
2019-2020年高考数学大一轮总复习 第四章 三角函数与解三角形同步训练 理
2019-2020年高考数学大一轮总复习 第四章 三角函数与解三角形同步训练 理A 级训练(完成时间：15分钟)1.给出下列命题，其中正确的是( )(1)弧度角与实数之间建立了一一对应；(2)终边相同的角必相等；(3)锐角必是第一象限角；(4)小于90°的角是锐角；(5)第二象限角必大于第一象限角．A ．(1)B ．(1)(2)(5)C ．(3)(4)(5)D ．(1)(3)2.(xx·全国大纲)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )A.45B.35C ．－35D ．－453.若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为( )A ．4 3B ．－43C ．±4 3 D.34.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是(其中k ∈Z )( )A ．α＋β＝πB ．α－β＝π2C ．α－β＝(2k ＋1)πD ．α＋β＝(2k ＋1)π 5.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos2θ 6.将－1485°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是____________________．7.半径为12 cm 的圆中，弧长为8π cm 的弧，其所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为__________________________．8.集合A ＝{x |k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z }，集合B ＝{x |－2≤x ≤3}，求A ∩B .B 级训练(完成时间：20分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]下列说法正确的是( )A ．第二象限的角比第一象限的角大B ．若sin α＝12，则α＝π6C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关2.[限时2分钟，达标是( )否( )]下列各组角中，终边相同的角是( )A.k 2π与k π＋π2(k ∈Z ) B ．k π±π3与k 3π(k ∈Z ) C ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π(k ∈Z )D ．k π＋π6与k π±π6(k ∈Z ) 3.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知0≤α≤2π，点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则α的取值范围是__________________________．4.[限时2分钟，达标是( )否( )]在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的速度旋转，则经过5秒后点P 转过的弧长是 100 cm.5.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图所示，终边落在直线y ＝3x 上的角的集合为____________________．6.[限时5分钟，达标是( )否( )]解答下列问题：(1)若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；(2)若tan(cos θ)·tan(sin θ)＞0，试指出θ所在象限，并用图形表示出θ2所取的范围．7.[限时5分钟，达标是( )否( )]一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，若两只蚂蚁均从点A (1,0)同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．C 级训练(完成时间：8分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )2.[限时5分钟，达标是( )否( )] 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－32，12)． (1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数y ＝3f (π2－2x )－2f 2(x )的最大值及对应的x 的值．第2讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式A 级训练(完成时间：10分钟)1.若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( ) A ．0 B.34 C ．1 D.542.α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( ) A.15 B ．－15C.513 D ．－5133.cos(－174π)－sin(－174π)的值是( ) A. 2 B ．－2C ．0 D.224.若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α的值是 1 .5.若f (cos x )＝cos3x ，则f (sin30°)的值为 －1 .6.求证：tan 2π－αsin －2π－αcos 6π－αcos α－πsin 5π＋α＝tan α.求sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°的值．B 级训练(完成时间：15分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·全国大纲)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 2.[限时2分钟，达标是( )否( )] 使1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α值的范围是( ) A ．2k π－π＜α＜2k π(k ∈Z )B ．2k π－π≤α≤2k π(k ∈Z )C ．2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z ) D ．只能是第三或第四象限角3.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D.34.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cosπx x ≤0f x －1＋1 x ＞0，则f (43)的值为__________． 5.[限时2分钟，达标是( )否( )]si n(π＋π6)sin(2π＋π6)sin(3π＋π6)…sin(xxπ＋π6)的值等于__________． 6.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知sin(π＋α)＝－13.计算： (1)cos(α－3π2)；(2)sin(π2＋α)；(3)tan(5π－α)．C 级训练(完成时间：7分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]已知sin α＋cos α＝－15(0≤α≤π)，则tan α＝__________. 2.[限时4分钟，达标是( )否( )]已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A ；(2)若1＋2sin B cos Bcos2B－sin2B＝－3，求tan B.第3讲三角函数的图象与性质A 级训练(完成时间：10分钟)1.设α，β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.下列函数中，周期为π2的是( ) A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x 4D ．y ＝cos4x 3.设M 和m 分别表示函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于 －2 . 4.sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集是 (0，π) .5.函数y ＝sin (2x ＋π3)的图象的对称中心为 ；对称轴为__________________．6.(1)求函数y ＝2sin 2x ＋cos x －1的定义域．(2)求函数y ＝3sin x ＋1sin x ＋2的值域．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，且其图象的一条对称轴是直线x ＝π8， (1)求φ的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．B 级训练(完成时间：15分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]函数f (x )＝sin(πx ＋π2)，x ∈[－1,1]，则( ) A ．f (x )为偶函数，且在[0,1]上单调递减B ．f (x )为偶函数，且在[0,1]上单调递增C ．f (x )为奇函数，且在[－1,0]上单调递增D ．f (x )为奇函数，且在[－1,0]上单调递减2.[限时2分钟，达标是( )否( )]函数f (x )＝tan(ωx －π4)与函数g (x )＝sin(π4－2x )的最小正周期相同，则ω＝( ) A ．±1 B ．1C ．±2D ．23.[限时2分钟，达标是( )否( )]定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为( ) A ．－12 B.12C ．－32 D.324.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知函数y ＝sin πx 3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( ) A ．6 B ．7C ．8D ．95.[限时3分钟，达标是( )否( )]给出下列命题：①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin(23x ＋π2)的图象关于点(π12，0)成中心对称图形． 其中正确的序号为( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤6.[限时4分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝tan(13x －π6)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (3π2)的值； (3)设f (3α＋7π2)＝－12， 求sin π－α＋cos α－π2sin α＋π4的值．C 级训练(完成时间：7分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )](xx·全国大纲)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间(π6，π2)是减函数，则a 的取值范围是 (－∞，2] .2.[限时4分钟，达标是( )否( )]设函数f (x )＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ，其中0<ω<2.(1)若f (x )的最小正周期为π，求f (x )的单调增区间；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用A 级训练(完成时间：10分钟) 1.将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin x ＋π3B ．y ＝sin x －π3C ．y ＝sin(x －π3)D ．y ＝sin(x ＋π3)2.将函数y ＝sin x 的图象上每点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移π6个单位，得到的函数解析式为( )A ．y ＝sin(2x ＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π3)C ．y ＝sin(x 2＋π6)D ．y ＝sin(x 2＋π12)3.函数y ＝－52sin(4x ＋23π)的图象与x 轴各个交点中离原点最近的一点是( )A ．(π12，0)B ．(－π12，0)C ．(－π6，0)D ．(π6，0)4.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离y cm 和时间t (s)的函数关系式为y ＝6sin(2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s5.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]的图象如图所示，则ω＝ 3 .6.方程cos 2x ＝x 的实根的个数为 1 个．7.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示：(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．B 级训练(完成时间：18分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( )A.π2B.3π8C.π4D.π82.[限时2分钟，达标是( )否( )]若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1 B.2 C. 3 D ．23.[限时2分钟，达标是( )否( )] (xx·浙江)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位4.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·辽宁)将函数y ＝3sin2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间π12，7π12上单调递减B ．在区间π12，7π12上单调递增C ．在区间－π6，π3上单调递减D ．在区间－π6，π3上单调递增5.[限时2分钟，达标是( )否( )]设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图象关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数6.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．7.[限时2分钟，达标是( )否( )]若函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．8.[限时4分钟，达标是( )否( )]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．C 级训练(完成时间：7分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝πcos(x 4＋π3)，如果存在实数x 1、x 2，使得对任意实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是________．2.[限时4分钟，达标是( )否( )] 观察下列等式：①cos2α＝2cos 2α－1；②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos10α＝m cos 10α－1280cos 8α＋1120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1；可以推测，m －n ＋p ＝ 962 .第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级训练(完成时间：10分钟)1.已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19C.19D.532.计算sin105°＝( )A ．－6－24 B.6－24C ．－6＋24 D.6＋243.若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin(α＋π4)＝( )A ．－7210 B.7210C ．－210 D.2104.已知α为第二象限角，sin α＝35，则tan2α＝__________.5.已知sin α＋2cos α＝0，则sin2α＋cos2α＝__________.6.计算：2cos 2α－12tan π4－α·sin 2π4＋α.7.已知tan α＝17，tan β＝13，并且α，β均为锐角，求α＋2β的值．B 级训练(完成时间：27分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知f (x )＝3cos2x ＋2sin x cos x ，则f (13π6)＝( )A. 3 B ．－3 C.32 D ．－322.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝________. 3.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知α为锐角，且cos(α＋π4)＝35，则sin α＝ .4.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝2sin(πx 6＋π3)(0≤x ≤5)，点A 、B 分别是函数y ＝f (x )图象上的最高点和最低点．(1)求点A ，B 的坐标以及OA →·OB →的值；(2)设点A ，B 分别在角α、β的终边上，求tan(α－2β)的值．[限时5分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)，x ∈R 的最大值是1，其图象经过点M (π3，12)．(1)求f (x )的解析式；(2)已知α，β∈(0，π2)，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值．6.[限时5分钟，达标是( )否( )] 已知函数f (x )＝a sin x ·cos x －3a cos 2x ＋32a ＋b (a ＞0)． (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)设x ∈[0，π2]，f (x )的最小值是－2，最大值是3，求实数a ，b 的值．7.[限时6分钟，达标是( )否( )](xx·广东)已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4)，x ∈R ，且f (5π12)＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ)．C 级训练(完成时间：8分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝__________.2.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)(x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求f(x)的表达式；(2)设g(x)＝f(x)－3f(x＋π4)，求函数g(x)的最小值及相应的x的取值集合．第6讲正弦定理与余弦定理A 级训练(完成时间：15分钟)1.设a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 和∠C 的对边，则△ABC 的面积为( ) A.12ab sin A B.12ab sin B C.12ab sin C D.12ab cos C 2.△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2＋b 2＜c 2，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形3.在△ABC 中，∠A ＝π3，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则边AC 的长为( )A ．1 B.3 C ．2 D ．34.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ＝135°，B ＝15°，c ＝1，则三边中最大边长为________．5.在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，c ＝3，A ＝45°，则角C ＝ 60°或120° .6.已知：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边．求证：a sin A ＝b sin B ＝csin C.若a ，b ，c 是△ABC 中A ，B ，C 的对边，A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．B 级训练(完成时间：18分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]在△ABC 中，若∠A ＝512π，∠B ＝14π，AB ＝62，则AC ＝( )A. 3 B ．23 C ．3 3 D ．432.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·天津)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.553.[限时2分钟，达标是( )否( )]在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝( ) A.817 B.1517 C.1315 D.13174.[限时2分钟，达标是( )否( )]在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、C 、若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝__________.5.[限时5分钟，达标是( )否( )] (xx·全国)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ；(2)若sin A sin C ＝3－14，求C .6.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足3sin C cos C －cos 2C ＝12.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，且c ＝3，求a 、b 的值．C 级训练(完成时间：12分钟)1.[限时6分钟，达标是( )否( )](xx·浙江)△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝____________.2.[限时6分钟，达标是( )否( )] (xx·湖南)如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．第7讲 解三角形应用举例A级训练(完成时间：15分钟)1.若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B 的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°2.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．5海里B．10海里C．52海里D．53海里3.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为() A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时4.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为__________千米．5.假设甲、乙、丙三镇两两之间的距离皆为20公里，两条笔直的公路交于丁镇，其中一条通过甲、乙两镇，另一条通过丙镇．现在一比例精确的地图上量得两公路的夹角为45°，则丙、丁两镇间的距离为________公里．6.如图，在海中一灯塔D的周围有两个观察站A和C.已知观察站A在灯塔D的正北5海里处，观察站C在灯塔D的正西方．海面上有一船B，在A点测得其在南偏西60°方向4海里处，在C点测得其在北偏西30°方向上．(1)求两观测点A与C的距离；(2)设∠BCA＝θ，求cos(θ－45°)．B级训练(完成时间：15分钟)1.[限时2分钟，达标是()否()]事故救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距1003海里，渔船B被困海面，已知B 距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是() A．100海里B．200海里C．100海里或200海里D．1003海里2.[限时3分钟，达标是()否()]如图，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，我海上救生艇在A 处获悉后，立即测出该船在方位角45°方向，相距10海里的C 处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的速度行驶，救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救，则救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为( )A.15小时B.13小时 C.25小时 D.23小时 3.[限时2分钟，达标是( )否( )]为了测量塔AB 的高度，先在塔外选择和塔脚在一条水平直线上的三点C 、D 、E ，测得仰角分别为θ、2θ、4θ，CD ＝30 m ，DE ＝10 3 m ，则θ＝ 15° ，塔高AB ＝ 15 m .4.[限时3分钟，达标是( )否( )]如图，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .5.[限时5分钟，达标是( )否( )]某测量员做地面测量，目标A 与B 相距3千米，从B 处测得目标C 在B 的北偏西60°的方向上，从A 处测得C 在A 的正北方向，他从A 向C 前进2千米到达D 处时，发现B 、D 两处也相距2千米，试求A 与C 的距离．C 级训练(完成时间：10分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )] (xx·四川)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于 60 m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)2.[限时7分钟，达标是( )否( )]某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内．(1)求∠BAC 的大小；(2)求点O 到直线BC 的距离．第四章 三角函数与解三角形第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数【A 级训练】1．D 解析：因为角的弧度制是与实数一一对应的，第一个命题正确；终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等；锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是负角；象限角不能比较大小．所以(1)(3)的说法是正确的．2．D 解析：直接利用任意角的三角函数的定义求解．因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.3．B 解析：由三角函数的定义，有tan420°＝a－4.因为tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，所以a－4＝3，所以a ＝－4 3.4．D 解析：因为α，β角的终边关于y 轴对称，所以α＋β2＝π2＋k π，(k ∈Z )，即α＋β＝π＋2k π，(k ∈Z )．5．C 解析：因为2k π＜θ＜2k π＋π2(k ∈Z )，所以k π＜θ2＜k π＋π4(k ∈Z )，4k π＜2θ＜4k π＋π(k ∈Z )．可知θ2是第一、第三象限角，sin θ2、cos θ2都可能取负值，只有tan θ2能确定为正值.2θ是第一、第二象限角，cos2θ可能取负值．6．－10π＋7π4 解析：－1485°＝－1485×π180＝－33π4＝－10π＋7π4.7．{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z } 解析：因为圆心角α＝8π12＝2π3，所以与α终边相同的角的集合为{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z }．8．解析：对k π＋π4≤x ＜k π＋π2，取k ＝0，有π4≤x ＜π2，取k ＝－1，有－3π4≤x ＜－π2.当k 取其他值时，[k π＋π4，k π＋π2)与[－2,3]没有公共元素．故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜－π2或π4≤x ＜π2}．【B 级训练】 1．D 解析：排除法可解．第一象限角370°不小于第二象限角100°，故A 错误；当sin α＝12时，也可能α＝5π6，所以B 错误；当三角形内角为π2时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故C 错误．2．C 解析：由于k 2π表示π2的整数倍，而k π＋π2＝(2k ＋1)π2表示π2的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A 不满足条件．由于k π±π3＝(3k ±1)π3表示π3的非3的整数倍，而k π3表示π3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故B 不满足条件．(2k ＋1)π表示π的奇数倍，(4k ±1)π也表示π的奇数倍，故(2k ＋1)π与(4k ±1)π(k ∈Z )是终边相同的角，故C 满足条件．k π＋π6＝6k ＋1π6，表示π6的(6k ＋1)倍，而k π±π6＝表示π6的6k ±1倍，故这两个角不是终边相同的角，故D 不满足条件．3．{α|π4＜α＜π2或π＜α＜5π4}解析：由已知，点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，可得：sin α＞cos α，tan α＞0，所以π4＋2k π＜α＜π2＋2k π或π＋2k π＜α＜5π4＋2k π，k ∈Z .因为0≤α≤2π，所以π4＜α＜π2或π＜α＜5π4. 4．100 解析：如图，连接OP 且延长到圆点A ，因为CD ＝6 cm ，OD ＝5 cm ，所以OP ＝4 cm. 因为A 、P 两点角速度相同，所以5秒后P 点转过的角度为25弧度．所以P 转过的弧长为25×4＝100(cm)． 5．{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z } 解析：因为直线y ＝3x 的斜率为3，则倾斜角为60°， 所以终边落在射线y ＝3x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在射线y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }， 所以终边落在直线y ＝3x 上的角的集合是： S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z } ＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }． 6．解析：(1)因为θ在第四象限，所以0＜cos θ＜1＜π2，－π2＜－1＜sin θ＜0.所以sin(cos θ)＞0，cos(sin θ)＞0， 所以sin(cos θ)·cos(sin θ)＞0. (2)由题意可知中， ⎩⎨⎧ tan cos θ>0tan sin θ>0或⎩⎨⎧tan cos θ<0tan sin θ<0， 所以⎩⎨⎧0<cos θ<10<sin θ<1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<cos θ<0－1<sin θ<0， 即θ在第一象限或第三象限．若θ在第一象限，则θ2的取值范围如图①所示；若θ在第三象限，则θ2的取值范围如图②所示(见阴影部分，不含边界)．7．解析：根据题意可知：14α，14β均为360°的整数倍， 故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z ，从而可知α＝m 7·180°，β＝n7·180°，m ，n ∈Z .又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限， 则2α，2β在第二象限． 又0°＜α＜β＜180°， 从而可得0°＜2α＜2β＜360°， 因此2α，2β均为钝角， 即90°＜2α＜2β＜180°. 于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°.所以45°＜m 7·180°＜90°，45°＜n7·180°＜90°，即74＜m ＜72，74＜n ＜72. 又因为α＜β，所以m ＜n ， 从而可得m ＝2，n ＝3.即α＝(3607)°，β＝(5407)°.【C 级训练】1．C解析：如图，取AP的中点为D，设∠DOA＝θ，则d ＝2R sin θ＝2sin θ，l ＝2θR ＝2θ，所以d ＝2sin l2，故选C.2．解析：(1)因为角α终边经过点P (－32，12)， 所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.所以sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36.(2)因为f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R .所以y ＝3cos(π2－2x )－2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin(2x －π6)－1.所以y max ＝2－1＝1，此时sin(2x －π6)＝1,2x －π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π3，k ∈Z .第2讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式【A 级训练】1．B 解析：利用齐次分式的意义将分子分母同时除以cos α(cos α≠0)得，原式＝2tan α－1tan α＋2＝34. 2．D 解析：因为α是第四象限角，tan α＝－512＝sin αcos α，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝－513.3．A 解析：原式＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cos π4＋sin π4＝ 2.4．1 解析：因为sin α＋sin 2α＝1，所以sin α＝1－sin 2α＝cos 2α，所以cos 2α＋cos 4α＝sin α＋sin 2α＝1.5．－1 解析：由特殊角的三角函数得：sin30°＝cos60°，所以f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos(3×60°)＝cos180°＝－1.6．证明：左边＝sin 2π－αcos 2π－α·sin －αcos －αcos α－π＋2πsin π＋α＝sin －α·－sin αcos αcos －αcos π＋α－sin α ＝－sin αcos αcos α－cos α ＝tan α＝右边． 所以原等式成立． 7．解析：设S ＝sin 20°＋sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°，S ＝sin 290°＋sin 289°＋sin 288°＋…＋sin 20°，所以2S ＝(sin 20°＋sin 290°)＋…＋(sin 290°＋sin 20°)＝1×91. 所以S ＝45.5. 【B 级训练】1．C 解析：因为a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0＜cos 35°＜1，所以 c ＞b ＞a .2．A 解析：1－cos α1＋cos α＝1－cos α21＋cos α1－cos α＝|1－cos α||sin α|＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0，故选A.3．C 解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32，又|φ|＜π2，所以cos φ＝12.所以tan φ＝－ 3.4.32 解析：当x ＞0时，f (x )＝f (x －1)＋1， 故f (43)＝f (43－1)＋1＝f (13)＋1＝f (13－1)＋1＋1＝f (－23)＋2＝cos(－2π3)＋2＝－12＋2＝32. 5.122014 解析：原式＝(－12)12(－12)…12＝122014. 6．解析：因为sin(π＋α)＝－sin α＝－13，所以sin α＝13.(1)cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sin α＝－13.(2)sin(π2＋α)＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89.因为sin α＝13，所以α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝－223.(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，因为sin α＝13，所以α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，所以tan α＝24.所以tan(5π－α)＝－tan α＝－24.②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，所以tan(5π－α)＝－tan α＝24.【C 级训练】1．－34 解析：因为sin α＋cos α＝－15，所以(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝1＋2sin αcos α＝125.所以sin αcos α＝－1225.所以1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan α＋1tan α＝－2512，所以12tan 2α＋25tan α＋12＝0.所以tan α＝－43或－34.因为0≤α≤π，sin α＞0，cos α＜0，sin α＋cos α＝－15＜0，所以|sin α|＜|cos α|，所以|tan α|＜1，tan α＝－43不符合题意．2．解析：(1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1.① 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1， 即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，则A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝2π3时不成立，故A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，因为cos B ≠0，所以tan 2B －tan B －2＝0， 所以tan B ＝2或tan B ＝－1.因为tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去，故tan B ＝2.第3讲 三角函数的图象与性质【A 级训练】1．C 解析：在开区间(－π2，π2)中，函数y ＝tan x 为单调增函数，所以设α，β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的充分必要条件． 2．D 解析：根据公式T ＝2πω，y ＝sin x2的周期为：T ＝4π，排除A ，y ＝sin2x 的周期为：T ＝π，排除B ，y ＝cos x4的周期为：T ＝8π，排除C.3．－2 解析：因为－1≤cos x ≤1，所以－43≤13cos x －1≤－23.所以M ＝－23，m ＝－43.所以M＋m ＝－2.4．(0，π) 解析：如图所示是y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，由图可知满足sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集是(0，π)．5．(12k π－π6，0)(k ∈Z ) x ＝12k π＋π12(k ∈Z )解析：因为2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，所以x ＝12k π－π6，k ∈Z ，所以函数y ＝sin (2x ＋π3)的图象的对称中心：(12k π－π6，0)k ∈Z .因为2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝12k π＋π12，k ∈Z ，所以函数y ＝sin (2x ＋π3)的图象的对称轴方程为：x ＝12k π＋π12，k ∈Z .6．解析：(1)为使函数有意义，需满足2sin 2x ＋cos x －1≥0，即2cos 2x －cos x －1≤0，解得－12≤cos x ≤1.由余弦函数的图象或单位圆，如图所示，所以定义域为{x |2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)由y ＝3sin x ＋2－5sin x ＋2＝3－5sin x ＋2.当sin x ＝1时，y max ＝43，当sin x ＝－1时，y min ＝－2.所以函数的值域为[－2，43]．7．解析：(1)因为x ＝π8是函数图象的一条对称轴，所以sin(2×π8＋φ)＝±1.所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，所以f (x )＝sin(2x －3π4)，由题意得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间是[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z .【B 级训练】1．A 解析：因为函数f (x )＝sin(πx ＋π2)＝cosπx ，故函数为偶函数，故排除C 、D.当x ∈[0,1]时，πx ∈[0，π]，函数y ＝cosπx 是减函数．2．A 解析：g (x )的周期为2π2＝π，函数f (x )＝tan(ωx －π4)的周期是π|ω|，由题意可知π|ω|＝π，所以ω＝±1.故选A.3．D 解析：因为f (x )的最小正周期是π，所以f (5π3)＝f (5π3－2π)＝f (－π3)．因为函数f (x )是偶函数，所以f (5π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.故选D.4．C 解析：函数y ＝sin πx3的周期T ＝6，则5T 4≤t ，所以t ≥152.所以t min ＝8. 5．C 解析：②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2，因为2＜32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③α，β是第一象限角且α＜β.例如：45°＜30°＋360°， 但tan45°＞tan(30°＋360°)，即tan α＜tan β不成立；⑤把x ＝π12代入函数y ＝sin(23x ＋π2)≠0，所以点(π12，0)不是函数y ＝sin(23x ＋π2)的对称中心．6．解析：(1)f (x )的最小正周期为T ＝π13＝3π；(2)将x ＝3π2代入得：f (3π2)＝tan(3π6－π6)＝tan π3＝3； (3)由f (3α＋7π2)＝－12，得tan[13(3α＋7π2)－π6]＝－12，即tan(π＋α)＝－12，所以tan α＝－12.因为cos α≠0，则原式＝sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝－12－1－12＋1＝－3.【C 级训练】1．(－∞，2] 解析：利用导数将f (x )在(π6，π2)为减函数转化为导数f ′(x )≤0在(π6，π2)恒成立，f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ＝－4sin x cos x ＋a cos x .因为 x ∈(π6，π2)，所以 cos x ＞0.因为 f ′(x )≤0在(π6，π2)恒成立，即－4sin x ＋a ≤0在(π6，π2)恒成立，所以 a ≤(4sin x )min .又y ＝4sin x 在(π6，π2)的最小值接近2，故a ≤2.2．解析：f (x )＝32sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12.(1)因为T ＝π，ω>0，所以2π2ω＝π，所以ω＝1.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z .所以，f (x )的单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π]，k ∈Z .(2)因为f (x )＝sin(2ωx ＋π6)＋12的一条对称轴方程为x ＝π3.所以2ω·π3＋π6＝π2＋k π，k ∈Z .所以ω＝32k ＋12，k ∈Z .又0<ω<2，所以－13<k <1，所以k ＝0，ω＝12.第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 【A 级训练】1．C 解析：根据函数图象的平移变换的法则，函数f (x )的图象向右平移a 个单位得到函数f (x －a )的图象，所以将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，所得图象的函数解析式是y ＝sin(x －π3)．2．B 解析：由题意，将函数y ＝sin x 的图象上每点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，可得y ＝sin2x ，再把所得图象向左平移π6个单位，可得y ＝sin[2(x ＋π6)]＝sin(2x ＋π3)．3．A 解析：由4x ＋23π＝k π(k ∈Z )，得x ＝k 4π－π6，当k ＝0时，得点A (－π6，0)，当k ＝1时，得点(π12，0)，显然π12＜π6，所以函数y ＝－52sin(4x ＋23π)的图象与x 轴各个交点中离原点最近的一点是(π12，0)．4．D 解析：T ＝2πω＝2π2π＝1 s.5．3 解析：由图中可以看出：32T ＝π，所以T ＝23π＝2πω，所以ω＝3.6．1 解析：cos 2x ＝x 的实根即函数y ＝cos 2x 与y ＝x 的图象交点的横坐标，故可以将求根个数的问题转化为求两个函数图象的交点个数．如图在同一坐标系中作出y ＝cos 2x 与y ＝x 的图象，由图象可以看出两图象只有一个交点，故方程的实根只有一个．7．解析：(1)由图象可知，函数的最大值M ＝3，最小值m ＝－1，则A ＝3－－12＝2，b ＝3－12＝1，又T ＝2(23π－π6)＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1，将x ＝π6，y ＝3代入上式，得sin(π3＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1.(2)由2x ＋π6＝π2＋k π，得x ＝π6＋12k π，k ∈Z ，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1的对称轴方程为x ＝π6＋12k π，k ∈Z .【B 级训练】1．D 解析：由已知，周期为π＝2πω，ω＝2，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，sin[2(x ＋φ)＋π4]＝±cos2x .代入选项验证知D 正确．2．B 解析：由题意知：f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，令F (x )＝|sin x －cos x |＝2|sin(x －π4)|，当x －π4＝π2＋k π，x ＝3π4＋k π，即当a ＝3π4＋k π时，函数F (x )取到最大值 2.3．C 解析： 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π4)＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x＝2sin(3x ＋π2)＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝ 2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到．4．B 解析：y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．5．C 解析：由对称轴x ＝12k π＋π12，k ∈Z ，A 不正确，(π4，0)代入函数表达式对B 选项检验知命题错；C 项，平移后解析式为f (x )＝sin[2(x ＋π12)＋π3]＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，故其为偶函数，命题正确；D 项，由于x ∈[0，π6]时2x ＋π3∈[π3，2π3]，此时函数在区间内不单调，不正确．6.π6解析：利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)的交点横坐标，列方程求解． 由题意，得sin(2×π3＋φ)＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.7.34 解析：因为f (x )在[－T 4，T4]上递增， 故[－2π3，2π3]⊆[－T 4，T 4]，即T 4≥2π3.所以ω≤34，所以ωmax ＝34.8．解析：(1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)由题意得g (x )＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)，故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin(2x ＋π6)－2cos(2x ＋π6)＝22sin(2x －π12)，由22sin(2x －π12)＝6，得sin(2x －π12)＝32，因为0＜x ＜π，所以－π12＜2x －π12＜2π－π12.所以2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，所以x ＝5π24或x ＝3π8.所求点的坐标为：(5π24，6)或(3π8，6)．【C 级训练】1．4π 解析：因为f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，所以x 1、x 2是函数f (x )对应的最大、最小值的x ，故|x 1－x 2|一定是T 2的奇数倍，因为函数f (x )＝πcos(x 4＋π3)的最小正周期T ＝2π14＝8π，所以|x 1－x 2|＝(2n －1)×T2＝4(2n －1)π(n ＞0，且n ∈Z )．所以|x 1－x 2|的最小值为4π.2．962 解析：因为2＝21,8＝23,32＝25，…，128＝27， 所以m ＝29＝512.观察可得n ＝－400，p ＝50， 所以m －n ＋p ＝962.第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【A 级训练】1．B 解析：因为sin α＝23，所以cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝－19.2．D 解析：sin105°＝sin(90°＋15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋24.3．A 解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－1－1625＝－35，所以sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－35×22－45×22＝－7210.4．－247 解析：因为α为第二象限角，又sin α＝35，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.5．－75解析：因为sin α＋2cos α＝0，所以tan α＝－2.所以sin2α＋cos2α＝2sin αcos α＋cos 2α－sin 2α＝2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1－tan 2αtan 2α＋1＝－75.6．解析：原式＝cos2α2sin π4－αcos π4－α·cos 2π4－α＝cos2α2sin π4－α·cos π4－α＝cos2αsin π2－2α＝cos2αcos2α＝1.7．解析：因为tan α＝17＜1，tan β＝13＜1，且α、β均为锐角，所以0＜α＜π4，0＜β＜π4.所以0＜α＋2β＜3π4.又tan2β＝2tan β1－tan 2β＝34，所以tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan αtan2β＝17＋341－17×34＝1.所以α＋2β＝π4.【B 级训练】1．A 解析：函数y ＝2sin x cos x ＋3cos2x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)，f (13π6)＝2sin(2×13π6＋π3)＝2sin 14π3＝2sin 2π3＝ 3.2．－47 解析：tan2α＝tan(α＋β＋α－β)＝tan α＋β＋tan α－β1－tan α＋βtan α－β＝3＋51－3×5＝－47.3.2104．解析：(1)因为0≤x ≤5，所以π3≤πx 6＋π3≤7π6，所以－12≤sin(πx 6＋π3)≤1.当πx 6＋π3＝π2， 即x ＝1时，sin(πx 6＋π3)＝1，f (x )取得最大值2；当πx 6＋π3＝7π6， 即x ＝5时，sin(πx 6＋π3)＝－12，f (x )取得最小值－1.因此，点A 、B 的坐标分别是A (1,2)、B (5，－1)．所以OA →·OB →＝1×5＋2×(－1)＝3.(2)因为点A (1,2)、B (5，－1)分别在角α、β的终边上，所以tan α＝2，tan β＝－15，因为tan2β＝2×－151－－152＝－512，所以tan(α－2β)＝2－－5121＋2－512＝292.5．解析：(1)依题意有A ＝1，则f (x )＝sin(x ＋φ)，将点M (π3，12)代入得sin(π3＋φ)＝12，而0＜φ＜π，所以π3＋φ＝5π6，所以φ＝π2，故f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈(0，π2)，所以sin α＝1－352＝45，sin β＝1－12132＝513，f (α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝35×1213＋45×513＝5665. 6．解析：(1)f (x )＝a sin x ·cos x －3a cos 2x ＋32a ＋b ＝a2sin2x －32a (1＋cos2x )＋3a 2＋b ＝a2sin2x －3a 2·cos2x ＋b ＝a sin(2x －π3)＋b .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z ，故函数的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z .(2)因为x ∈[0，π2]，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以－32≤sin(2x －π3)≤1.所以f (x )min ＝－3a2＋b ＝－2，f (x )max ＝a ＋b ＝3，解得a ＝2，b ＝－2＋ 3.7．解析：(1)因为 f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，所以A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4)，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，所以 3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32，所以 6cos θ＝32，所以cos θ＝64.又θ∈(0，π2)，所以 sin θ＝1－cos 2θ＝104，所以 f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.【C 级训练】1．－17解析：因为α为第三象限角，。
带答案高中数学第一轮复习必修4三角函数练习题
高中数学必修 4 三角函数练习题一、选择题1 、 下列各三角函数值中，取负值的是（） ;Asin(-660 0) B.tan(-160)C.cos(-740 0)D.sin(-420 0)cos57 02 、 α 角是第二象限的角，│ cos │= cos, 则角属于：（）2 2 2A ． 第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限 .3 、已知、 是第二象限的角，且 coscos ，则 （）A.; B. sin sin ； C. tantan ； D. 以上都不对 .4 、函数 y= sin(2x+) 的一个增区间是 ( )4A. [-, ] B.[-3 , ] C.[-,0] D.[- , 3]4 48 828 85 、已知 -6 x<,cosx= m1 , 则 m 的取值范围是 ()3m 1A ． m<-1 B. 3<m ≤ 7+43 C. m>3 D. 3<m ≤ 7+43 或 m<-16 、已知函数f xcos x,则下列等式中成立的是：（）2A ． f 2 x f xB ． f 2 x f xC ． fxf xD ． fxf x二、填空题7 cos2 sin 2 ,则在第 _____ 象限；、sincos8 、 tan1 , 则 sin22sin cos3 cos2=_________.39 、 2sin cos 3 sin ，则 cos =________ ；10 、函数 y= log 1 sin x 的定义域是________.211、满足 sin(x －) ≥1的 x 的集合是 ____________________;4 212 、关于函数f x 4sin 2 x x R ,有下列命题：3①由f x1 f x2 0 可得x1 x2必是π的整数倍；②y f x 的表达式可改写为 f x 4 cos 2x；6③y f x 的图象关于点,0 对称；6④y f x 的图象关于直线x6对称 .以上命题成立的序号是__________________.13 、函数的两倍 , y=f(x) 的图象上每个点的纵坐标保持不变, 然后再将整个图象沿 x 轴向左平移个单位将横坐标伸长到原来,得到的曲线与2y= 1sinx 的图象相同, 则y=f(x) 的函数表达式是_________________; 2三、解答题14 、当2k 2k k Z 时，化简：4 41 2 sin cos 1 2 sin cos15 、已知 sin、 cos 是方程 4x 22 6x m 0 的两实根，求 :(1) m 的值；（ 2） sin 3cos3的值 .16 、已知 0 2 ，且 sin 、 cos是方程 x2kx k 1 0 的两根，求函数 y x2kxk的值域 .417、函数 y A sin x的一个周期内的图象如下图，求 y 的解析式。
2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习单元质检卷四 三角函数、解三角形(A)Word版含解析
单元质检卷四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018河北衡水中学金卷一模,1)已知集合M={x|x2-2x-3≤0},N={y|y=3-cos x},则M∩N=()A.[2,3]B.[1,2]C.[2,3)D.⌀2.(2018河南商丘一中月考)已知P(-,n)为角β的终边上的一点,且sin β=,则n的值为()A.±B.C.-D.±23.(2018陕西西安一模)已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α=()A. B. C.- D.-4.(2018湖南长沙一模,3)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图像中相邻两对称轴的距离为,若角φ的终边经过点(3,),则f的值为()A. B. C.2 D.25.(2018山东济宁一模,7)将函数f(x)=2sin--1的图像向右平移个单位长度,再把所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图像,则图像y=g(x)的一个对称中心为() A. B.C.-D.-6.(2018河南郑州三模,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-,b=4,则△ABC面积的最大值为()A.4B.2C.3D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2018重庆5月调研,14)函数f(x)=2cos2x+sin x cos x-1的最大值是.8.(2018河北衡水中学押题二,13)在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2a sin B=b,则cos-=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2018北京朝阳模拟,15)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥0.10.(15分)(2018山西太原一模,17)△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求角B;(2)若b=,求△ABC面积的最大值.11.(15分)(2018山东潍坊一模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+2c)cos B+b cos A=0.(1)求B;(2)若b=3,△ABC的周长为3+2,求△ABC的面积.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(A)1.A集合M={x|x2-2x-3≤0}=[-1,3],N={y|y=3-cos x}=[2,4],则M∩N=[2,3],故选A.2.B由题意可得|OP|=,∴sin β==,∴n=±.又∵sin β=,∴n>0,∴n=.3.C∵sin α+2cos α=,∴sin2α+4sin α·cos α+4cos2α=.用降幂公式化简得4sin 2α=-3cos 2α,∴tan 2α==-.故选C.4.A由题意,得T=2×=π ∴ω=2.∵tan φ=,∴φ=,∴f(x)=sin.f=sin=.5.C将函数f(x)=2sin--1的图像向右平移个单位,再把所有的点的横坐标缩短到原来的,得函数表达式为f(x)=2sin--1,令2x-=kπ k∈Z,求得x=kπ+,得y=g(x)的一个对称中心为-,故选C.6.A∵在△ABC中,-=,∴(2a-c)cos B=b cos C,∴(2sin A-sin C)cos B=sin B cos C.∴2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin(B+C)=sin A,得cos B=,即B=,由余弦定理可得16=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac≥2ac-ac,∴ac≤16 当且仅当a=c时取等号,∴△ABC的面积S=ac sin B=ac≤4.7.f(x)=2cos2x+sin x cos x-1=cos 2x+sin 2x=sin(2x+φ),其中tan φ=2,所以f(x)的最大值为.8.-由正弦定理得2sin A sin B=sin B,∵sin B≠0 ∴sin A=.A为锐角,∴A=,∴原式=cos-=-sin=-,故答案为-.9.解 (1)因为f(x)=sin2x+cos2x+sin 2x-cos 2x=1+sin 2x-cos 2x=sin-+1,所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)可知,f(x)=sin-+1.当x∈时,2x-∈-,sin-∈-,sin-+1∈[0,+1].当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值0.所以当x∈时,f(x)≥0.10.解 (1)利用正弦定理,得=1+,即sin(B+C)=cos C sin B+sin C sin B,∴sin B cos C+cos B sin C=cos C sin B+sin C sin B,∴cos B sin C=sin C sin B,又sin B≠0 ∴tan B=1,B=.(2)由(1)得B=,由余弦定理可得:b2=a2+c2-2ac cos B,则有2=a2+c2-ac,即有2+ac=a2+c2,又由a2+c2≥2ac,则有2+ac≥2ac,变形可得:ac≤=2+,则S=ac sin B=ac≤.即△ABC面积的最大值为.11.解∵(a+2c)cos B+b cos A=0,∴(sin A+2sin C)cos B+sin B cos A=0,(sin A cos B+sin B cos A)+2sin C cos B=0,sin(A+B)+2sin C cos B=0,∵sin(A+B)=sin C,∴cos B=-,∵0<B<π ∴B=.(2)由余弦定理得9=a2+c2-2ac×-,化简得a2+c2+ac=9,∴(a+c)2-ac=9,∵a+b+c=3+2,b=3,∴a+c=2,∴ac=3, ∴S△ABC=ac sin B=×3×=.。
备战2020年高考数学一轮复习 第4单元 三角函数单元训练(A卷,文,含解析)
1单元训练金卷▪高三▪数学卷(A)第4单元 三角函数注意事项:1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是( ） A ．8B ．6C ．4D ．12．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合．若点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点,则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．2- B ．12- C ．12 D ．23．已知tan 1α=，则212cos sin 2αα+=（ ） A ．2B ．2-C ．3D ．只装订不密封 准考证号 考场号 座位号24．sin15cos15︒-︒的值等于（ ） A ．62B ．62-C ．22-D ．225．若π4sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ） A ．725 B ．725- C ．2425D ．2425- 6．函数()sin()0,0,|π|2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则5π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ )A ．3B ．12- C 3 D 37．已知曲线πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点1π,12⎛⎫-⎪⎝⎭， 则（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期π2T =B ．函数(y g =C ．曲线()y g x =关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线y g=8．关于x 的方程sin 26πx m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[0,π]内有相异两实根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．312⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．312⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．使函数()sin()3)f x x x ϕϕ=++为偶函数，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数的ϕ的一个值为（ ） A ．π3- B ．2π3C ．5π6-D ．π610．在[0,2π]内，不等式1cos 2x <的解集是（ )A ．π0,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．5π0,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()sin()0,02πf x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若34πx =-是()f x 图象的一条对称轴，π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，则( ） A ．41()k k ω=+∈N B ．43()k k ω=+∈N C ．21()k k ω=+∈ND ．2()k k ω=∈*N 12．已知函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的最小正周期为π，且对x ∈R，()π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[]0,a 上单调递减,则a 的最大值是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．tan570︒=__________． 14．函数的最小正周期是_________．15．若21cos 32m x m -=+，且，则实数的取值范围是________．16．已知函数，若当y取最大值时,;当y 取最小值时，，且ππ,,22αβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知一扇形的圆心角是,所在圆的半径是R ． （1）若60α=︒，，求扇形的弧长及该弧长所在的弓形面积；(2）若扇形的周长是30cm,当为多少弧度时,该扇形有最大面积？418．（12分）已知函数()324πsin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．(1）填写下表，用“五点法"画()324πsin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图象．xπ85π8 9π82π4x -0 π2π3π22ππ3sin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．519．（12分）如图,以Ox 为始边作角α与(0π)ββα<<<，它们的终边分别与单位圆相交于点P ,Q ,已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3cos 5sin sin cos αααα+-的值;（2）若OP OQ ⊥，求3cos 4sin ββ-的值．20．（12分）已知函数π()4sin cos 33f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．6(1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若3()3m f x m -<<+对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）函数)2()2sin cos 0f x x x x ωωωω=+->，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π3． （1)求ω的值;（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的7图象，求()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间；(3）在（2）的条件下，求方程()(02)g x t t =<<在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内所有实根之和．22．（12分）已知向量33cos ,sin 22OA x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11cos ,sin 22OB x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．（1）若()f x OA OB =⋅，求函数()f x 关于x 的解析式;（2)求()f x 的值域；（3）设()2t f x a =+的值域为D ，且函数()2122g t t t =+-在D 上的最小值为2，求a 的值．81单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第4单元 三角函数 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】扇形的弧长8l =，半径2r，由扇形的面积公式可知，该扇形的面积182S rl ==．故选A ． 2．【答案】B【解析】∵点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，∴3tan 3aaα==，则π1tan 1tan 41tan 2ααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭,故选B ． 3．【答案】A 【解析】因为222212cos 3cos sin 3tan 42sin 22sin cos 2tan 2αααααααα+++====，故选A ．4．【答案】C【解析】sin(4530sin15co )cos(45s1)530=︒-︒-︒-︒-︒︒， sin 45cos30cos45sin30(cos45cos30sin 45sin3sin15cos15⇒=︒︒-︒︒-︒︒+︒︒-︒，11sin15c 212o s 5︒-⇒=︒，故本题选C ． 5．【答案】B【解析】∵π4sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴2πππ327sin 2cos 212sin 16362525x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选B ．6．【答案】C【解析】由题意和图像可2得,2A =,2πππ236ω⎛⎫⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ω=，()2sin(2)f x x ϕ∴=+，代入点2π,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭可得π2sin 226ϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,结合2ϕπ<，可得π6ϕ=-,故函数的解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5ππ2π2sin 22sin 2121263f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选C ．7．【答案】C【解析】由题意知：()()ππsin 2sin 2266g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则πsin 2112g ϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，π22π2k ϕ∴=+，k ∈Z ,()πcos 26g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()g x 最小正周期2ππ2T ==，可知A 错误;当11π17π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]π22π,3π6x +∈，此时()g x 单调递减，可知B 错误；当2π3x时，3π26π2x +=且3πcos 02=,所以2π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知C 正确;当π6x =时，(π)(2)(3)f f f >->-且πcos02=，所以π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知D 错误． 本题正确选项C ．8．【答案】C【解析】方程有两个相异实根等价于2y m=与πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不同的交点， 当0πx ≤≤时，ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由sin x 图象可知1212m ≤<，解得11,42m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．本题正确选项C ． 9．【答案】C【解析】因为函数()sin()3cos()2si 3πn f x xxx为偶函数， 所以π2π3k ϕ+=(k 为奇数)，排除A 和B ，当6ϕ5π=-时,()2sin π2f x x，函数()f x 在区间2π,π2πk k kZ上是增函数，故()f x 在区间0,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,故选C ．10．【答案】C【解析】在[0,2π]内，当1cos 2x =时，π3x =或5π3x =,因为1cos 2x <，所以由函数()cos [0,2π]y x x =∈的图像可知,不等式的解集是π5π,33,故选C ．11．【答案】C【解析】因为4πx =-是()f x 图象的一条对称轴，所以πππ()42m m ωϕ-+=+∈Z ①， 又因为π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，所以ππ()4n n ωϕ+=∈Z ②， ②-①得，2()1(,)n m m n ω=--∈Z ，,m n ∈Z，()n m ∴-∈Z ，所以ω可以表示为21()k k ω=-∈Z ,已知0ω>，所以ω是从1开始的奇数，对照选项，可以选C ．12．【答案】B【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π,所以2π2πω==，又对任意的x ，都使得()π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在π3x =上取得最小值，则2ππ2π3k ϕ+=+，k ∈Z ，即π2π,3k k ϕ=+∈Z ，所以()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2π2π2π,3k x k k ≤+≤+∈Z ，解得ππππ,63k x k k -+≤≤+∈Z ，则函数()y f x =在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是π3．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】33【解析】由题意可得()3tan570tan 180330tan303︒=︒⨯+︒=︒=．故答案为33．14．【答案】2π3 【解析】函数的最小正周期是2π2π33T ==,故填2π3．15．【答案】(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由，可得，所以211132m m --≤≤+，即2113221132m m m m -≥-+-≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,即510323032m m m m +≥++≥+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得或15m ≥-．所以实数的取值范围为(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭．故答案为(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭．16．【答案】32【解析】由题得函数2213sin sin 1sin 24y x x x ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，∵ππ,,22αβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，，， 当取最大值时，，即,可得2πα=-;当取最小值时,，即1sin 2β=，可得π6β=， 那么()2π3sin sin 3βα-==3．三、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）()10πcm 3,()2π350cm 32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）当扇形的圆心角为2rad ，半径为15cm 2时,面积最大，为2225cm 4．【解析】（1）设弧长为l ，弓形面积为， ∵π603α=︒=,，∴()10πcm 3l R α==弧长．()2110π1πππ310210sin 10cos 50cm 2326632S S S ∆⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭弓扇． （2）由,∴()302015l R R =-<<,从而()221115225302152224S l R R R R R R ⎛⎫=⋅⋅=-⋅=-+=--+⎪⎝⎭．∴当半径15cm 2R =时,()1530315cm 2l =-⨯=,扇形面积的最大值是2225cm 4，这时12radRα==．∴当扇形的圆心角为2rad ，半径为15cm 2时,面积最大,为2225cm 4．18．【答案】（1）见解析;（2）π，π3ππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z．【解析】(1)填表和作图如下．xπ83π8 5π8 7π8 9π82π4x -π2π3π22π11126561n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭0 3 03-（2)函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令2π224ππππ22k x k -+≤-≤+，k ∈Z ,解得3ππππ88k x k -+≤≤+，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z．19．【答案】（1)117；(2）0．【解析】（1）由题意知，3cos 5α=-，4sin 5α，∴3cos 5sin 11sin cos 7αααα+=-．（2）由题意知，(cos ,sin )Q ββ,则(cos ,sin )OQ ββ=．∵OP OQ ⊥，∴0OP OQ ⋅=，∴34cos sin 055ββ-+=,即3cos 4sin 0ββ-=．20．【答案】（1）π;（2)(1,3-．【解析】（1）1()4cos sin 2f x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos sin 2x x x x x =-+π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期是π．（2）令π23t x =-，π2π,33t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(2sin t ⎤∈⎦，即(()f x ⎤∈⎦．由题意知332m m ⎧-≤⎪⎨+>⎪⎩,解得13m -<≤-,即实数m的取值范围是(1,3-．21．【答案】(1)32ω=；（2）单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦、10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(3）40π9．【解析】（1）函数()22sin cos sin22sin 2(0)3πf x x x x x x ωωωωωωω⎛⎫=++=+> ⎪⎝⎭，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π2π23ω=，32ω∴=，()2sin 3π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）将函数()y f x =的向右平移π6个单位，可得π2sin 32sin 36π36πy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象;再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到()32sin 2π6y g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象． 由4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得311π,266π6πx ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令32π2π2262πππx k k -≤-≤+，求得4π2π4π4π3939k k x -≤≤+，故()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦、10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(3）在（2)的条件下，()32si 6πn 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为4π3，故()32si 6πn 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有2个周期， ()g x t-在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有4个零点，设这4个零点分别为1x ，2x ,3x ，4x ，由函数()g x 的图象特征可得124π29x x+=，344π4π293x x +=+,123440π9x x x x ∴+++=．22．【答案】（1）()cos 2f x x =；（2）[]0,1;（3）2a =或6a =-．【解析】（1）()313131cos cos sin sin cos cos2222222f x OA OB x x x x x x x⎛⎫=⋅=-=+= ⎪⎝⎭．（2）由（1）知，()cos 2f x x =，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ2,22x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦,[]cos 20,1x ∴∈, 即()f x 的值域为[]0,1．(3)由（2）知：()[]2,2f x a a a +∈+，即[],2D a a =+, ①当21a +≤-，即3a ≤-时,()()()()2min1222222g t g a a a =+=+++-=，解得6a =-或0a =（舍）；②当12a a <-<+，即31a -<<-时，()()min 1511222g t g =-=--=-，不合题意；③当1a ≥-时,()()2min 1222g t g a a a ==+-=，解得2a =或4a =-（舍），综上所述,2a =或6a =-．。
2020年全国A卷数学三角函数题型训练
2020年全国A卷数学三角函数题型训练一、导言数学三角函数是高中数学中重要的内容之一，它在多个领域中有着广泛的应用。
为了帮助考生更好地掌握三角函数的知识点，下面将通过解析2020年全国A卷数学试题中的三角函数题型，进行训练和复习。
二、题型分析下面将列举2020年全国A卷数学试题中的三角函数题型，进行详细分析和解答。
1. 题目1已知角A的终边过点P(-3, 4)，且sinA > 0，求角A的一般位置。
解析：根据题目中的已知条件，我们可以得出以下信息：- 终边过点P(-3, 4)：终边与x轴正向夹角大于0度小于180度，或大于360度小于540度。
即角A的一般位置为第二象限或第四象限。
- sinA > 0：根据三角函数的定义可知，sinA > 0时，角A的终边在单位圆上对应的纵坐标大于0。
考虑到点P(-3, 4)在第二象限，因此角A的一般位置在第二象限。
综上所述，角A的一般位置为第二象限。
2. 题目2若sin^2θ + cos^2θ = 1，则sinθ + cosθ的最大值是多少？解析：根据题目中的已知条件，我们可以得出以下信息：- si n^2θ + cos^2θ = 1：这是三角函数的基本恒等式，对于任意的角度θ都成立。
- sinθ + cosθ：根据三角函数的定义可知，sinθ和cosθ的值的范围都是[-1, 1]。
因此，sinθ + cosθ的值的范围是[-2, 2]。
为了求得sinθ + cosθ的最大值，我们需要找到sinθ和cosθ取得最大值的情况。
由于sinθ和cosθ的值域是[-1, 1]，当它们取最大值1时，sinθ + cosθ的最大值为2。
综上所述，sinθ + cosθ的最大值为2。
3. 题目3已知sinx = 0，求x的所有解。
解析：根据题目中的已知条件，sinx = 0时，我们可以得出以下信息：- 根据三角函数的定义可知，sinx = 0时，角度x的终边在单位圆上对应的纵坐标为0。
2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习试题：第四章+三角函数、解三角形+课时规范练19+Word版含答案
2020版高考文科数学（北师大版）一轮复习试题课时规范练19函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用基础巩固组1.(2018湖南长郡中学仿真,3)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像()A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像()A.关于点对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于直线x=对称3.(2018河北衡水中学金卷十模,10)将函数y=sin x-的图像向右平移个单位,再将所得的图像所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),则所得图像对应的函数的一个递增区间为()A. B.C. D.4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.105.(2018河北衡水中学月考,10)将函数f(x)=2sin4x-的图像向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图像,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是()A.最小正周期为πB.图像关于直线x=对称C.图像关于点对称D.初相为6.(2018河南洛阳一模)将函数f(x)=2sin(ω>0)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)的图像,若函数g(x)在区间-上是增加的,则ω的最大值为()A.3B.2C. D.7.(2018河北衡水中学金卷一模,11)已知函数f(x)=sin ωx-2cos2+1(ω>0),将f(x)的图像向右平移φ个单位,所得函数g(x)的部分图像如图所示,则φ的值为()A. B. C. D.8.函数y=A sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则()A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin9.(2018北京,理11)设函数f(x)=cos(ω>0),若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为.10.已知函数y=3sin.(1)用五点法作出函数的图像;(2)说明此图像是由y=sin x的图像经过怎么样的变化得到的.综合提升组11.(2018河南商丘二模,11)将函数f(x)=cos2sin-2cos+(ω>0)的图像向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)在上是增加的,则ω的最大值为()A.2B.4C.6D.812.(2018山西吕梁一模,11)将函数f(x)=2sin的图像向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到g(x)的图像,若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为()A. B. C. D.13.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图像关于点对称,若将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图像,则实数m的最小值为.。
备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学(理) 第4单元 三角函数 B卷 Word版含答案
单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第4单元 三角函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出★答案★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．1sin 0.5B ．sin0.5C ．2sin1D ．1cos0.52．已知平面直角坐标角系下，角α顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(4,3)P ，则πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425B ．2425-C ．2425或2425-D ．7253．已知2cos sin αα=，则cos2α=（ ） A ．512+ B ．512- C ．12D ．52-4．方程错误!未找到引用源。
的两根为错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，且ππ,,22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则错误!未找到引用源。
（ ） A ．π4B ．3π4-C ．5π4D ．π4或3π4- 5．cos π345x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么错误!未找到引用源。
（ ）A ．1825B ．2425±C ．725-D ．7256．若函数()π()sin 0,2f x A x A ωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则为了得到()f x 图象，只需将函数()sin g x A x ω=的图象（ ）A ．向左平移π6个长度单位 B ．向左平移π3个长度单位 C ．向右平移π6个长度单位 D ．向右平移π3个长度单位 7．函数()sin 2π2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与函数错误!未找到引用源。
2020届高考数学一轮复习单元检测四三角函数解三角形提升卷单元检测理含解析新人教A版
单元检测四三角函数、解三角形(提升卷)考生注意：．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共页．．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．．本次考试时间分钟，满分分．．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题(本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下列命题中正确的是( )．终边在轴正半轴上的角是零角．三角形的内角必是第一、二象限内的角．不相等的角的终边一定不相同．若β＝α＋·°(∈)，则角α与β的终边相同答案解析对于，因为终边在轴正半轴上的角可以表示为α＝π(∈)，错误；对于，直角也可为三角形的内角，但不在第一、二象限内，错误；对于，例如°≠－°，但其终边相同，错误，故选.．已知角θ的终边经过点，则的值为( )答案解析因为点在角θ的终边上，所以θ＝－，则＝＝，故选.．(·四川成都龙泉驿区第一中学模拟)已知＝，则等于( )．－．±．－答案解析∵＝＝＝，∴＝＝＝－＝×－＝－.．(·南充模拟)设()＝(π＋α)＋(π＋β)，其中，，α，β都是非零实数，若()＝－，则()等于( )．．．．－答案解析由题知，()＝(π＋α)＋(π＋β)，其中，，α，β都是非零实数，若()＝( π＋α)＋( π＋β)＝－α－β＝－，则α＋β＝，所以()＝(π＋α)＋(π＋β)＝α＋β＝，故选.．已知函数()＝ω(ω>)，若＝()在上为增函数，则ω的最大值为( )．．．．答案解析由已知，函数()包含坐标原点的单调递增区间是.若函数＝()在上为增函数，则⊆，只要≥，得ω≤.所以ω的最大值为.．设＝°，＝°，＝°，则( )．>>．>>．>>．>>答案解析由题可知＝°＝°，因为°>°，所以>，利用三角函数线比较°和°，易知°>°，所以>.综上，>>，故选.．若函数()＝(＋θ)＋(＋θ)是偶函数，则θ的最小正实数值是( )答案解析()＝(＋θ)＋(＋θ)＝·.因为()为偶函数，所以当＝时，＋θ＋＝θ＋＝π＋(∈)，解得θ＝π＋(∈)．当＝时，θ取得最小正实数值，故选.．若函数()＝(ω＋φ)的部分图象如图所示，则()等于( )答案解析由题图知，函数()的最小正周期＝＝π，＝，所以ω＝＝，()＝，由点在函数()的图象上，可知＝，又<φ<，所以φ＝－，所以()＝.．在△中，角，，所对的边分别为，，＝(＋)＋(＋)．则角的大小为( )答案解析由正弦定理得＝(＋)＋(＋)，化简得＋－＋＝，所以＝＝＝－，又∈(，π)，解得＝，故选.．已知函数()＝－，将()的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数()的图象，若()·()＝－，则－的值可能为( )．π答案解析由题意得()＝－－＝－，则()＝，故函数()的最小正周期＝＝.由()·()＝－，知()与()的值一个为，另一个为－，故－＝＝(∈)．当＝时，－＝，故选.．在△中，角，，，所对的边分别为，，，＋＝，＝，已知是上一点，且△＝，则等于( )答案解析设＝＝＝，则由·＋＝，得 (·＋)＝，即(＋)＝，所以＝，即＝.又＝，所以＝，所以△＝＝，所以＝＝－＝，故选.．已知()＝ω－ω(ω>)在区间上是增函数，且在区间[，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )答案解析()＝ω(＋ω)－ω＝ω，所以是含原点的单调递增区间，因为函数()在区间上是增函数，所以⊆，所以解得ω≤.又ω>，所以<ω≤.因为函数()在区间[，π]上恰好取得一次最大值，所以≤π<，解得≤ω<.综上ω的取值范围为，故选.第Ⅱ卷(非选择题共分)二、填空题(本题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上)．已知锐角α满足＝α，则αα＝.答案解析由＝α，得(α＋α)＝α－α，因为α＋α≠，所以可化简得α－α＝，即(α－α)＝－αα＝，解得α·α＝.．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为，外圆半径为，内圆半径为，则制作这样一面扇面需要的布料为.答案π解析由扇形的面积公式，知制作这样一面扇面需要的布料为×××－×××＝π()．．在△中，角，，所对的边分别为，，，＝，△的面积为，且＋＝(－)，则＋＝.答案解析由＋＝(－)，得(＋)＝＝－，又，，为△的内角，所以＋＝，所以＝.由△＝＝，得＝.又＝＝＝，解得＋＝.．已知函数()＝－，若存在，，…，满足≤<<…<≤π，且()－()＋()－()＋…＋(－)－()＝(≥，∈*)，则的最小值为．答案解析()＝－＝＝．由＝的图象知，对，＋(＝，…，)有()－(＋)＝()－()＝，则要使取得最小值，应尽可能多的使(＝，…，)取得极值点，所以在区间[π]上，当的值分别为＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝π时，取得最小值.三、解答题(本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．(分)已知α＝，(α－β)＝，且<β<α<.()求α的值；()求β.解()由α＝，<α<，得α＝＝＝，∴α＝＝×＝，∴α＝＝＝－.()由<β<α<，得<α－β<，又(α－β)＝，∴(α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)，得β＝[α－(α－β)]＝α(α－β)＋α(α－β)＝×＋×＝，∴β＝.．(分)已知函数()＝(ω＋φ)的图象关于直线＝－对称，且图象上相邻的两个最高点之间的距离为π.()求ω和φ的值；()当∈时，求函数()的值域．解()因为函数()的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π，所以＝＝π，解得ω＝.因为函数()的图象关于直线＝－对称，所以×＋φ＝＋π(∈)，解得φ＝＋π(∈)．又－<φ<，所以φ＝－.()由()知()＝，因为≤≤，所以－≤－≤，所以－≤≤，则－≤()≤.所以当∈时，函数()的值域为.．(分)在△中，设边，，所对的角分别为，，，，都不是直角，且＋＝－＋.()若＝，求，的值；()若＝，求△面积的最大值．解()∵·＋·＝－＋，∴＋－＝，∴＝，∵≠，∴＝.又∵＝，由正弦定理，得＝，∴＝，＝.()＝＋－≥－，即≥－，∴≥，当且仅当＝时取等号．∴≤，∴＝≤，∴△面积的最大值为.．(分)已知函数()＝＋.()求函数()的最小正周期；()确定函数()在[，π]上的单调性；()在△中，，，分别是内角，，的对边，若＝，＋＝，△的面积为，求边的长．解()()＝＋＋－＝＋，∴()的最小正周期＝＝π.()令π＋≤－≤π＋(∈)，解得π＋≤≤π＋(∈)，∴()的单调递减区间是(∈)．同理()的单调递增区间为，∈，故()在上为减函数，在和上为增函数．()∵()＝＋，＝，∴＝，又－<－<，∴＝.∵△的面积为，∴＝，解得＝∵＋＝，∴＝＋－＝(＋)－＝，∴＝.。
2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第四章 三角函数含答案
第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3. [答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cosθ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D.2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°. 3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z . 4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( )A. 3 B ．－ 5 C. 5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案： 39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角．(1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos αAT ，因为－3π4解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线<α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cosα<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z)．2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π2＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .考点一 三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23[题组训练]1.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角， 联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－552. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2.答案：23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－33考点二 同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165 B ．－165C.85D ．－85(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12[解析] (1)sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1，将tan α＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0， 所以cos α－sin α＝－12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ＋cos 2φ＝1，sin φcos φ＝43，cos φ<0，解得cos φ＝－35.2．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋sin θcos θ＝________. 解析：sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)， 即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2， 从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－15，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝15，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125， 整理得2sin αcos α＝－2425.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝4925，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0， 所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝75.答案：75[课时跟踪检测]A 级1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34B ．－34C.43 D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0D.12－32解析：选A 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3 ＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.4．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值为( ) A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15， 得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.6．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )化为3cos A ＝3sin A ，则tan A ＝33，则A ＝π6，将cos A ＝－3cos(π－B )化为 cos π6＝3cos B ，则cos B ＝12，则B ＝π3，故△ABC 为直角三角形．7．化简：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________.解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ8．化简：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________. 解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α ＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值为________． 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.B 级1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3D ．－ 3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74， 所以cos α－sin α＝－72， 所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－25，∴sin θ＝2cos θ－25，∴⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1， ∴5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，即⎝⎛⎭⎫cos θ－35⎝⎛⎭⎫5cos θ＋75＝0. 又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝35，∴sin θ＝45，∴sin θ＋cos θ＝75.答案：753．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2， 因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2， 所以1＋2×m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.故当sin θ＝32，cos θ＝12时，θ＝π3； 当sin θ＝12，cos θ＝32时，θ＝π6.第三节 三角函数的图象与性质一、基础知识1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1). 函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点). (2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角函数性质的注意点(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y ＝tan x 无单调递减区间；y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.二、常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π (k ∈Z )．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2 (k ∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．第一课时 三角函数的单调性 考点一 求三角函数的单调区间[典例] (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．[解] (1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．[题组训练]1．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为________． 解析：作出y ＝|tan x |的示意图如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎦⎤π2，π 2．函数g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的单调递增区间为________． 解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数g (x )的单调递增区间，只需求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间．由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2 3．(2019·金华适应性考试)已知函数f (x )＝3cos 2x －2sin 2(x －α)，其中0<α<π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－1. (1)求α的值；(2)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．解：(1)由已知得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－2sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝－3－2cos 2α＝－3－1，整理得cos 2α＝12. 因为0<α<π2，所以cos α＝22，α＝π4.(2)由(1)知，f (x )＝3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝3cos 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝3cos 2x ＋sin 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1. 易知函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令t ＝2x ＋π3，则函数f (x )可转化为y ＝2sin t －1.显然函数y ＝2sin t －1与y ＝sin t 的单调性相同， 当函数y ＝sin t 单调递减时， 2k π＋π2≤t ≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．考点二 求三角函数的值域(最值)[典例] (1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. [答案] (1)B (2)1[变透练清]1.(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－332，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－332，32.(变条件)若本例(2)中函数f (x )的解析式变为：函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，则f (x )的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋cos x (－2≤t ≤2)，则sin x cos x ＝t 2－12，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y ＝t ＋12t 2－12取最大值为2＋12.故f (x )的最大值为22＋12.答案：22＋123．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________． 解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π考点三 根据三角函数单调性确定参数[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________． [解析] (1)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， 则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4，∴a 的最大值是π4.(2)法一：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，2π3(ω>0)， 所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤－πω2，2πω3， 因为f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34.法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 需⎩⎨⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω，ω>0，即0<ω≤34.[答案] (1)A (2)⎝⎛⎦⎤0，34[解题技法]已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[题组训练]1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，故T ＝π，所以ω＝2πT＝2，又因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 答案：322．（2019·贵阳检测）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 解析：由π2<x <π，得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， 所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案：⎣⎡⎦⎤12，54[课时跟踪检测]A 级1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的部分不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3. 4．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，πB.⎣⎡⎦⎤π3，2π3C.⎣⎡⎦⎤0，2π3D.⎣⎡⎦⎤2π3，π解析：选A 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又因为f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π3，π.5．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值为( ) A ．1 B.1－32C.32D ．1－ 3解析：选A 函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6. 当2x －π6＝5π6时，函数f (x )取得最小值为1.6．(2019·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( ) A.14 B.13C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sinωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 7．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：要使函数有意义，需sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ， 由函数的图象得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，故原函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． 答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 8．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.答案：59．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． 解析：因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤3π2，即－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故f (x )的最大值为2，最小值为－3，它们之和为2－ 3. 答案：2－ 310．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 解析：法一：由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数 的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二：由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案：3211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 12．已知函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．解：(1)因为函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 所以函数f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π， 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．B 级1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”表示)．解析：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 10π21， b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2， c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2， 所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 答案：c <a <b2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x ) 的图象关于直线x ＝π4对称， ∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， ∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π， ∴2πω≥π，∴ω≤2， 又∵ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，有{ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5， 所以a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，有{ b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.第二课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性考点一 三角函数的周期性[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则正整数k 的值为________． [解析] (1)由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由题意知1<πk <2，即π2<k <π.又因为k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] (1)C (2)2或3[解题技法]1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法；(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期． 2．有关周期的2个结论(1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|.(2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|.[题组训练]1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ， 所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π； 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，得－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π考点二 三角函数的奇偶性[典例] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3C.5π6D.2π3[解析] 因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6. [答案] C[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[题组训练]1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.2．若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3－θ， 因为函数f (x )为奇函数， 所以－π3－θ＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π－π3，k ∈Z ，故tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π3＝－ 3. 答案：－ 3考点三 三角函数的对称性[典例] (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称(2)(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．。
第四单元三角函数( 基础过关)-2021年高考数学一轮复习(解析版)
第四单元 三角函数A 卷 基础过关检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020沈阳市第一七0中学期末】已知a 是第一象限角，那么2a是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一或第三象限角【答案】D【解析】依题意得22()2k a k k Z πππ<<+∈，则()24a k k k Z πππ<<+∈， 当2k n n Z =∈， 时，2a是第一象限角当2+1k n n Z =∈， 时，2a是第三象限角，故选D .2.【2020浙江省高一单元测试】若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．79-B ．13-C ．13D ．79【答案】A【解析】由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a πππππ+=--+=--=-- 27[12sin ()]69a π=---=-，故选A ．3. 【2020浙江省考试】已知角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B ．10C ．10-D ．10【答案】C【解析】因为角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以45m =-所以由任意角的三角函数的定义得4sin 5α=-，35=cos α 则πsin α4⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2sin cos αα+= 210- 故选C4. 【2020云南省云南师大附中高三其他（理）】已知角4πα+的终边与单位圆221x y +=交于03,P x ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin 2α等于（ ） A ．13- B ．23-C ．13D ．23【答案】A【解析】由任意角三角函数定义可得π3sin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则πsin 2cos 22αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2π12sin 143α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 故选A .5.【2020黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理）】函数()35sin 55x xx x f x -+=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得()000055x xf -+==+，所以排除选项,C D .由题得()3115sin111055f -+=>+，所以选A. 故选A.6. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2 B ．–1C ．1D ．2【答案】D【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-， 令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选D ．7.【2020广东省高三月考（理）】己知1sin 54πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．78-B ．78 C ．18D ．18-【答案】A【解析】因为1sin 54πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以322cos 2cos 2cos 2555πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22cos 212sin 55ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2171248故选A.8. 【2020梅河口市第五中学高三其他（理）】从数学内部看，推动几何学发展的矛盾有很多，比如“直与曲的矛盾”，随着几何学的发展，人们逐渐探究曲与直的相互转化，比如：“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB BC =，90ABC ∠=︒，以AC 为直径作半圆，再以AB 为直径作半圆AMB ，那么可以探究月牙形面积（图中黑色阴影部分）与AOB 面积（图中灰色阴影部分）之间的关系，在这种关系下，若向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．41π+ B ．21π+ C ．32D ．11π+ 【答案】B【解析】不妨设2AB a =，则22AC a =，则如图，月牙形的面积2211(2)24AMB AOBAOBS a a S S ππ⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦，所以月牙形的面积和三角形的面积相等，而()22122AOBSaa =⨯=.整个图形的面积()22212(1)2S aa a ππ=⨯⨯+=+.阴影部分的面积为222AOBSa =，由几何概型的概率计算公式得：所求概率为21π+. 故选B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选BC ．10. 【2020山东省高三二模】已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数()y g x =的图像. 若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则（ ） A ．()y f x =图像关于点(,0)12π-对称B ．()f x 在5(0,)12π单调递增C ．()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解 D ．()g x 在5()124ππ,有且仅有3个极大值点 【答案】AC【解析】将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位后变为：sin 6x ωπωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12后变为：sin 26x ωπωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 所以()sin 26g x x ωπωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为()g x 的最小正周期为2π，所以222ππω=，解得：2ω=.所以()sin 43g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为()g x 为偶函数，所以,32ππφk πk Z +=+∈，所以6,k k Z πϕπ=+∈. 因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ. 所以()sin 4cos 42g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()sin(2)6f x x π=+. 对于选项A ，因为()sin 2()sin 0012126f πππ⎡⎤-=-+==⎢⎥⎣⎦，所以()y f x =图像关于点(,0)12π-对称，故A 正确.对于选项B ，因为x ∈5(0,)12π时，2,66x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，设26t x π=+，则()sin ,,6f t t t ππ⎛⎫=∈⎪⎝⎭， 因为f t 在,6π⎛⎫π⎪⎝⎭不是单调递增，所以()f x 在5(0,)12π不单调递增，故B 错误.对于选项C ，()cos 22xg x =，()sin(2)6f x x π=+，画出(),2x f x g ⎛⎫⎪⎝⎭在5(0,)4π图像如图所示:从图中可以看出：(),2x f x g ⎛⎫⎪⎝⎭在5(0,)4π图像有三个交点，所以()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解，故C 正确.对于选项D ，()cos 4g x x =在5()124ππ,的图像如图所示：从图中可以看出()g x 在5()124ππ,有且仅有2个极大值点，故D 选项错误. 故选AC.11. 【2020山东省高三其他】将函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则下列关于函数()f x 的说法正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 的最小正周期是2π C ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 【答案】AD【解析】由题意可得()2sin 22sin 22cos 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 函数()y f x =是偶函数，A 正确： 函数()y f x =最小周期是22ππ=，B 错误； 312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭12x π=不是函数()y f x =图象的对称轴，C 错误；04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心，D 正确.故选AD.12. 【2020山东省实验中学高三月考】已知2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+＞，下面结论正确的是（ ）A ．若()11f x =，()21f x =-，且12x x -的最小值为π，则ω=2B ．存在ω∈(1,3)，使得f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称 C ．若f (x )在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围是4147[,)2424D ．若f (x )在[,]64ππ-上单调递增，则ω的取值范围是(0,23]【答案】BCD【解析】依题意()2cos 23f x x πω⎛⎫=-+⎪⎝⎭，0>ω，()11f x -≤≤. 对于A 选项，若()11f x =，()21f x =-， 且12x x -的最小值为π， 则12222T ππππωωω=⇒==⇒=， 故A 选项错误.对于B 选项，当2ω=时，()2cos 43f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，向右平移6π个单位长度后得到2cos 4cos 463y x x ππ⎡⎤⎛⎫=--+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 其为偶函数，图象关于y 轴对称.故B 选项正确.对于C 选项，02x π≤≤，则22224333x πππωωπ≤+≤+， 若()f x 在[]0,2π上有恰有7个零点，则152174232πππωπ≤+<， 解得41472424ω≤<，故C 选项正确. 对于D 选项，64x ππ-≤≤，则222233323x ωπππωππω-+≤+≤+，若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，则22332223k k ωπππωππππ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，即62243k k ωω≤-+⎧⎪⎨≤+⎪⎩，由于,0k Z ω∈>，故20,03k ω=<≤. 所以D 选项正确. 故选BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 【2020浙江省高一单元测试】已知02πβα<<<，点(1,P 为角α终边上的一点，且sin sin cos cos 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则角β=________．【答案】3π．【解析】∵(1,P ，∴||7OP =，∴sin α=，1cos 7α=．又sin cos cos sin αβαβ-=，∴sin()αβ-=∵02πβα<<<，∴02παβ<-<，∴13cos()14αβ-=，∴sin[(]sin )ααββ=--sin cos()cos sin()ααβααβ=---131 7147142=⨯-⨯=． ∵02πβ<<，∴3πβ=．故答案为3π. 14. 【2020江苏省西亭高级中学高三其他】已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则当ϕ的绝对值取最小时，4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为____.【答案】3【解析】由于函数()()2sin 2f x x ϕ=+的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，()212k k Z πϕπ∴⨯+=∈，()6k k Z πϕπ∴=-∈，当0k =时，ϕ最小，此时6πϕ=-，因此，2sin 2sin 34263f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为3.15. 【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)42παααα+=+=+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为1316. 【2020山东省高三月考】函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=__________；将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移(0)2b b π<<个单位后，得到一个偶函数的图象，则b =__________.【答案】4π 38π【解析】根据函数的图象可得134884T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=，所以2ω=， 又因为18f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以sin 218πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以242k ππϕπ+=+，k Z ∈， 所以24k πϕπ=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以4πϕ=. 所以()sin(2)4f x x π=+，将()f x 的图象沿x 轴向右移b 个长度单位得函数()sin 2sin 2244y x b x b ππ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象， 因为函数sin 224y x b π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是偶函数，所以242b k πππ-=+，k Z ∈， 所以28k b ππ=--，k Z ∈， 因为02b π<<，所以1k =-，38b π=. 故答案为4π；38π. 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 【2020浙江省课时练习】已知点P 是曲线()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><上的一个最高点，且(9)(9)f x f x -=+，x ∈R ，曲线在(1,9)内与x 轴有唯一一个交点，求函数()f x 的解析式.【答案】3()88f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】点P 是曲线()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><上的一个最高点∴A =1x =是曲线的一条对称轴.(9)(9),f x f x x R -=+∈，∴直线9x =也是曲线的一条对称轴.又曲线在(1,9)内与x 轴有唯一一个交点，∴直线1x =，直线9x =是曲线的两条相邻对称轴， ∴9182T =-=，∴16T =，∴216πω=，∴8πω=，∴()8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵点P 是曲线上的一个最高点， ∴12()82k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，∴32()8k k πϕπ=+∈Z . ∵||ϕπ<，∴38πϕ=.故函数()f x 的解析式为3()88f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.18．【2020天津高三二模】已知函数()()21cos cos 2f x x x x x =+-∈R （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性； 【答案】（1）π；（2）()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【解析】（1）依题意，()211cos 21cos cos 2sin 222226x f x x x x x x +π⎛⎫=-=+-=+ ⎪⎝⎭ 所以2T ωπ==π.（2）依题意，令222262k x k πππ-+π≤+≤+π，k ∈Z ， 解得36k x k ππ-+π≤≤+π，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππ⎡⎤=-+π+π⎢⎥⎣⎦，易知,46AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.19．【2020四川省仁寿一中高三其他】已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）给出函数()f x 的解析式，并说明理由； （2）求函数()f x 的单调递增区间 【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，理由见解析；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】（1）若函数()f x 满足条件③， 则()0sin 1f A ϕ==-. 这与0A >，02πϕ<<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④.由条件①，得2ππω=，又因为0>ω，所以2ω=. 由条件②，得2A =. 由条件④，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=.所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.20．【2020铜川市第一中学高一期末】已知cos 10β=，sin()5αβ-=，且π02βα<<<.（1）求tan 2β的值； （2）求sin α的值.【答案】（1）7tan 224β=-（2【解析】（1）由cos 10β=，π02β<<，得sin 10β==. sin tan 7cos βββ==. 则222tan 277tan 21tan 1724βββ⨯===---.（2）由π02βα<<<，得π02a β<-<，所以cos()a β-===sin sin[()]ααββ=-+sin()cos cos()sin a ββαββ=-+-=+=.21.【2020浙江省高三其他】已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-- （1）求函数()f x 的单调递增区间及其图象的对称中心； （2）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.【答案】（1）调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称中心是1,1,212k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭；（2）1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）()1cos 21sin 2222x f x x +=-- 12cos 2122x x =-- sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，故()f x 的单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由26x k ππ-=，k Z ∈，得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以其图象的对称中心是1,1,212k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭.（2）∵51212x ππ-≤≤，∴22363x πππ-≤-≤， ∴3sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，从而31sin 2106x π⎛⎫--≤--≤ ⎪⎝⎭ 则()f x 的值域是31,0⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 22. 【2020山东省高三三模】如图，半圆O 的直径AB =2，点C 在AB 的延长线上，BC =1，点P 为半圆上异于A ，B 两点的一个动点，以点P 为直角顶点作等腰直角PCD △，且点D 与圆心O 分布在PC 的两侧，设PAC θ∠=．（1）把线段PC 的长表示为θ的函数； （2）求四边形ACDP 面积的最大值． 【答案】（1）298cos PC θ=- 02θθ⎧⎫π<<⎨⎬⎩⎭； （2）5 【解析】（1）依题设易知APB △是以APB ∠为直角的直角三角形，又2,AB PAB θ=∠=，所以2cos PA θ=.在3,△中，PAC AC PAC θ=∠=，由余弦定理得，2222cos PC PA AC PA AC θ=+-⋅ 2224cos 912cos 98cos θθθ=+-=-.所以298cos PC θ=- 定义域为02πθθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. （2）四边形ACDP 面积为S ， 则211=sin 22△△APC PCD S S S AP AC PC θ+=⋅⋅+ ()2112cos 3sin 98cos 22θθθ=⋅⋅⋅+⋅-()31sin 254cos 222θθ=+⋅- 35sin 22cos 222θθ=-+()954242θϕ=+-+ ()55sin 2,22θϕ=-+ 其中34cos ,sin ,55ϕϕϕ==为锐角. 因为43sin 5ϕ=<所以03ϕπ<<. 又因为02θπ<<，所以23θϕπ-<-<π， 所以当2=2θϕπ-时，S 取得最大值为55=522+.所以四边形ACDP 面积的最大值为5 .。
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单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第4单元 三角函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．162．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合．若点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．23．已知tan 1α=，则212cos sin 2αα+=（ ） A ．2B ．2-C ．3D ．3-4．sin15cos15︒-︒的值等于（ ） A ．62B ．62-C ．22-D ．225．若π4sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-6．函数()sin()0,0,|π|2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则5π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．3-B ．12-C ．3D ．3 7．已知曲线πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点1π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期π2T =B ．函数()y g x =在11π17π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．曲线()y g x =关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()y g x =关于直线π6x =对称 8．关于x 的方程sin 26πx m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[0,π]内有相异两实根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．使函数()sin()3cos()f x x x ϕϕ=+++为偶函数，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数的ϕ的一个值为（ ）A ．π3-B ．2π3C ．5π6-D ．π610．在[0,2π]内，不等式1cos 2x <的解集是（ ） A ．π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()sin()0,02πf x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若4πx =-是()f x 图象的一条对称轴，π,04⎛⎫⎪⎝⎭ 是()f x 图象的一个对称中心，则（ ）A ．41()k k ω=+∈NB ．43()k k ω=+∈NC ．21()k k ω=+∈ND ．2()k k ω=∈*N12．已知函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．π6B．π3C．2π3D．5π6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．tan570︒=__________．14．函数的最小正周期是_________．15．若21cos32mxm-=+，且，则实数的取值范围是________．16．已知函数，若当y取最大值时，；当y取最小值时，，且ππ,,22αβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是R．（1）若60α=︒，，求扇形的弧长及该弧长所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是30cm，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？18．（12分）已知函数()324πsinf x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈R．（1）填写下表，用“五点法”画()324πsinf x x⎛⎫=-⎪⎝⎭在一个周期内的图象．xπ85π89π8 2π4x-0π2π3π22ππ3sin24x⎛⎫-⎪⎝⎭0 0 0 （2）求函数()f x的最小正周期和单调递增区间．19．（12分）如图，以Ox 为始边作角α与(0π)ββα<<<，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3cos 5sin sin cos αααα+-的值；（2）若OP OQ ⊥，求3cos 4sin ββ-的值．20．（12分）已知函数π()4sin cos 33f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3()3m f x m -<<+对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）函数)2()2sin cos 0f x x x x ωωωω=+->，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π3．（1）求ω的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，求()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间；（3）在（2）的条件下，求方程()(02)g x t t =<<在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内所有实根之和．22．（12分）已知向量33cos ,sin 22OA x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，11cos ,sin 22OB x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，且ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． （1）若()f x OA OB =⋅u u u r u u u r，求函数()f x 关于x 的解析式；（2）求()f x 的值域；（3）设()2t f x a =+的值域为D ，且函数()2122g t t t =+-在D 上的最小值为2，求a 的值．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第4单元 三角函数 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】扇形的弧长8l =，半径2r =，由扇形的面积公式可知，该扇形的面积182S rl ==．故选A ． 2．【答案】B【解析】∵点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，∴3tan 3aa α==， 则π1tan 1tan 41tan 2ααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭，故选B ． 3．【答案】A【解析】因为222212cos 3cos sin 3tan 42sin 22sin cos 2tan 2αααααααα+++====，故选A ． 4．【答案】C【解析】sin(4530sin15co )cos(45s1)530=︒-︒-︒-︒-︒︒，sin 45cos30cos45sin30(cos45cos30sin 45sin30sin15cos1)5⇒=︒︒-︒︒-︒︒+︒︒-︒︒，11sin15c 212o s 5︒-⇒==︒C ． 5．【答案】B【解析】∵π4sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2πππ327sin 2cos 212sin 16362525x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B ．6．【答案】C【解析】由题意和图像可得，2A =，2πππ236ω⎛⎫⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ω=， ()2sin(2)f x x ϕ∴=+，代入点2π,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭可得π2sin 226ϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合2ϕπ<，可得π6ϕ=-，故函数的解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5ππ2π2sin 22sin 2121263f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．7．【答案】C【解析】由题意知：()()ππsin 2sin 2266g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则πsin 2112g ϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，π22π2k ϕ∴=+，k ∈Z ，()πcos 26g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()g x 最小正周期2ππ2T ==，可知A 错误； 当11π17π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]π22π,3π6x +∈，此时()g x 单调递减，可知B 错误； 当2π3x =时，3π26π2x +=且3πcos 02=，所以2π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知C 正确； 当π6x =时，(π)(2)(3)f f f >->-且πcos 02=，所以π,02⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知D 错误． 本题正确选项C ． 8．【答案】C【解析】方程有两个相异实根等价于2y m =与πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不同的交点，当0πx ≤≤时，ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 由sin x 图象可知1212m ≤<，解得11,42m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．本题正确选项C ． 9．【答案】C【解析】因为函数()sin())2si 3πn f x x x x j j j 骣琪=++=++琪桫为偶函数， 所以π2π3k ϕ+=（k 为奇数），排除A 和B ， 当6ϕ5π=-时，()2sin π2f x x 骣琪=-琪桫， 函数()f x 在区间[]()2π,π2πk k k Z +?上是增函数， 故()f x 在区间0,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，故选C ．10．【答案】C【解析】在[0,2π]内，当1cos 2x =时，π3x =或5π3x =，因为1cos 2x <，所以由函数()cos [0,2π]y x x =∈的图像可知，不等式的解集是π5π,33骣琪琪桫，故选C ． 11．【答案】C【解析】因为4πx =-是()f x 图象的一条对称轴，所以πππ()42m m ωϕ-+=+∈Z ①， 又因为π,04⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，所以ππ()4n n ωϕ+=∈Z ②，②-①得，2()1(,)n m m n ω=--∈Z ，,m n ∈Z Q ，()n m ∴-∈Z ，所以ω可以表示为21()k k ω=-∈Z ，已知0ω>，所以ω是从1开始的奇数，对照选项，可以选C ． 12．【答案】B【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以2π2πω==， 又对任意的x ，都使得()π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在π3x =上取得最小值，则2ππ2π3k ϕ+=+，k ∈Z ， 即π2π,3k k ϕ=+∈Z ，所以()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2π2π2π,3k x k k ≤+≤+∈Z ，解得ππππ,63k x k k -+≤≤+∈Z ， 则函数()y f x =在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是π3．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】33【解析】由题意可得()3tan570tan 180330tan303︒=︒⨯+︒=︒=．故答案为33．14．【答案】2π3【解析】函数的最小正周期是2π2π33T ==，故填2π3． 15．【答案】(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭U【解析】由，可得，所以211132m m --≤≤+，即2113221132m m m m -≥-+-≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即510323032m m m m +≥++≥+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得或15m ≥-．所以实数的取值范围为(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭U ．故答案为(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭U ．16．【答案】32【解析】由题得函数2213sin sin 1sin 24y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∵ππ,,22αβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，，，当取最大值时，，即，可得2πα=-；当取最小值时，，即1sin 2β=，可得π6β=，那么()2π3sin sin 32βα-==，故答案为32．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）()10πcm 3，()2π350cm 32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）当扇形的圆心角为2rad ，半径为15cm 2时， 面积最大，为2225cm 4． 【解析】（1）设弧长为l ，弓形面积为，∵π603α=︒=，，∴()10πcm 3l R α==弧长． ()2110π1πππ310210sin 10cos 50cm 232663S S S ∆⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭弓扇． （2）由，∴()302015l R R =-<<，从而()221115225302152224S l R R R R R R ⎛⎫=⋅⋅=-⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．∴当半径15cm 2R =时，()1530315cm 2l =-⨯=， 扇形面积的最大值是2225cm 4，这时12rad Rα==． ∴当扇形的圆心角为2rad ，半径为15cm 2时，面积最大，为2225cm 4． 18．【答案】（1）见解析；（2）π，π3ππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【解析】（1）填表和作图如下．xπ8 3π8 5π8 7π8 9π82π4x -π2 π3π22π11126561n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭0 3 0 3- 0（2）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==， 令2π224ππππ22k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，解得3ππππ88k x k -+≤≤+，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．19．【答案】（1）117；（2）0． 【解析】（1）由题意知，3cos 5α=-，4sin 5α=，∴3cos 5sin 11sin cos 7αααα+=-． （2）由题意知，(cos ,sin )Q ββ，则(cos ,sin )OQ ββ=u u u r．∵OP OQ ⊥，∴0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，∴34cos sin 055ββ-+=，即3cos 4sin 0ββ-=．20．【答案】（1）π；（2）(1,33⎤-⎦．【解析】（1）13()4cos sin 32f x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos 23cos 3sin 23cos2x x x x x =- π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期是π． （2）令π23t x =-，π2π,33t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 则3sin t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，(2sin 3,2t ⎤∈-⎦，即(()3,2f x ⎤∈-⎦．由题意知3332m m ⎧-≤⎪⎨+>⎪⎩，解得133m -<≤，即实数m 的取值范围是(1,33--．21．【答案】（1）32ω=；（2）单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦、10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）40π9．【解析】（1）函数()223cos 2sin cos 33cos2sin22sin 2(0)3πf x x x x x x ωωωωωωω⎛⎫=++=+> ⎪⎝⎭，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π2π23ω=， 32ω∴=，()2sin 3π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）将函数()y f x =的向右平移π6个单位，可得π2sin 32sin 36π36πy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()32sin 2π6y g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象．由4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得311π,266π6πx ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令32π2π2262πππx k k -≤-≤+，求得4π2π4π4π3939k k x -≤≤+， 故()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦、10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）在（2）的条件下，()32si 6πn 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为4π3，故()32si 6πn 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有2个周期，()g x t -在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有4个零点，设这4个零点分别为1x ，2x ，3x ，4x ，由函数()g x 的图象特征可得124π29x x +=，344π4π293x x +=+，123440π9x x x x ∴+++=． 22．【答案】（1）()cos 2f x x =；（2）[]0,1；（3）2a =或6a =-．【解析】（1）()313131cos cos sin sin cos cos2222222f x OA OB x x x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． （2）由（1）知，()cos 2f x x =，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ，ππ2,22x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，[]cos 20,1x ∴∈，即()f x 的值域为[]0,1．（3）由（2）知：()[]2,2f x a a a +∈+，即[],2D a a =+， ①当21a +≤-，即3a ≤-时，()()()()2min 1222222g t g a a a =+=+++-=， 解得6a =-或0a =（舍）；②当12a a <-<+，即31a -<<-时，()()min 1511222g t g =-=--=-，不合题意； ③当1a ≥-时，()()2min 1222g t g a a a ==+-=，解得2a =或4a =-（舍），综上所述，2a =或6a =-．。