学习有限元法的课件,学通了有限元理论有助于解决实际问题

五、应力边界条件 L 0 位移边界条件
表面外法线方 向余弦矩阵
l 0 0 m 0 n L 0 m 0 l n 0 0 0 n 0 m l
d d 0
第3节 虚位移原理
虚位移原理
弹性体处于平衡状态的必要与充分条件：对于任意的、满足相容条 件的虚位移 ，外力所做的功等于弹性体所接受的总虚变形功。
0 1 0 1 0 0 1 A l 0 0 23 l 2 0 l3 0 0 1 0 0 0 0 1 l 0 0 0 0 0 0 0 0 1 l 1 l2
d
H u ( x) 1
0 0 x 0 0,
2 3 0 l l2 1 2 0 l l3
H u ( x) 0

0 0 1 0 0,
H v( x) 0
0 0 0 2 6 x
o e E E B b
第1节
等直杆单元分析续2
e
3、用虚位移原理导出梁单元的刚度矩阵
e T
k E B T B dV
刚度方程： R k
e e
EA l 0 0 K EA l 0 0
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l2 6 EI l2
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
1、分布轴力p(x)的移置
Qe N T q dx
Qe p( x) N u T dx
N u 轴向位移形函数矩阵
l p( x)dx 1 1 / l 0 Qe N i 0 1 / l l p( x) xdx N j 0 2、分布扭转力矩m(x)的移置
W U
总外力虚功：
W ( Xu Yv Zw)dxdydz ( Xu Yv Zw)dS
S1
总虚变形功：
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
Qe 0 mx ( x)Nu T dx
l
Nu 轴向位移形函数矩阵
M xi , M xj 等效结点扭力矩
Qe
M xi 1 M xj 0
l 1 / l 0 mx ( x)dx 1 / l l m ( x) xdx x 0
一、平衡方程 x xy xz X 0 x yx x y y z yz z Y 0
第2节 弹性力学基本方程
二、几何方程
u u v , xy x y x v v w y , yz y z y w w u z , zx z x z
x
五、边界条件(应力,位移) 应力
x xl xy m yz n y yxl y m yz n z zxl zy m z n
四、协调方程
2 2 2 x y xy zx xy yz 2 x 2 2 , y 2 x xy x y z x yz 2 y 2 z 2 yz xy yz zx 2 y 2 2 , z 2 y yz y z x y zx 2 2 z y 2 zx yz zx xy 2 z 2 2 , x 2 x zx z x y z xy
h( x) 1 x a a0 a1 T
H ( x) 1
x x2
x3
T

b b0
b1 b2 b3
i
ui
iv
vj
j
uj
由结点位移得 u A1 a v A2 b


x
其中:
A1
1 0 1 l
待定参数为:
EA l 0 0 EA l 0 0
0 12 EI l2 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l
第2节
等效结点力计算
等效结点力——原分布荷载按照虚功相等的原则移置到单元结点上的力
T
Qi
T
Mi
Nj
e
Qj
T e
Mj

T
单元外力虚功： W e d
q dx F
e Qe F e

N q dx F
e T T e
虚位移原理 U e W e
令： R N q dx F
S1
即：外力势能的变分表达式与外力虚功负值的表达式完全相同。
第2章 杆系结构有限元
第1节 等直杆单元分析 1、用结点位移表示单元的位移模式
位移列 阵
Qj Mj
yห้องสมุดไป่ตู้
Qi
Mi
u u
i
uj

T
v v
i
i v j j T
j
i
Ni
i
j Nj
设位移模式
u a0 a1 x, v b0 b1 x b2 x 2 b3 x 3
x
三、本构关系
zx z Z 0 x y z
y zy
1 2(1 ) [ x ( y z )], xy xy E E 1 2(1 ) y [ y ( z x )], yz yz E E 1 2(1 ) z [ z ( x y )], zx zx E E
H v ( x) 0
1 x 0 x2
x3

2、用结点位移表示应变和应力
o拉压应变， b弯曲应变
du H ( x) o dx 2 u A e B e b d v yH v( x) y dx2


T
一、平衡方程
A F 0
x A 0 0
0 y 0
0 0 z
y x 0
0 z y
z 0 x
二、几何方程
三、本构关系 四、协调方程
AT d
D
C 0
C 协调算子矩阵（略）
a A1 1u b A2
u h( x)A1
1
1 0 A2 1 0
0 1 0 0 2 3 l l l 1 2l 3l 2 0 0
1
l
1 0 1 A1 1 1 l l
1
v
结点位移表示的位移模式为:
u N u u
u
T
v H ( x)A2
v

T e T i
1 0 3 1 A2 2 l 2 l3
0 1 2 l 1 l2
0 0 3 l2 2 l3
0 0 1 l 1 l2
S1
形变势能变分:
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
即：形变势能的变分表达式与虚变形功的表达式完全相同。
外力势能变分:
V ( Xu Yv Zw)dxdydz ( Xu Yv Zw)dS
（MATLAB语言编写）
3 口试
时间：第19周前全部完成
第20周 考试结束
第1章 有限元法绪论
第1节 概述 Clough--The finite element method
起源: 50年代飞机结构矩阵分析Argyris,Turner ,Clough 60年代弹性力学平面问题,目前已涉及众多领域 实质: 对力学模型进行近似数值计算的方法 将无限自由度问题变成有限自由度问题 分析过程:结构离散化,确定位移模式,单元特性分析 整体分析,解方程,输出计算结果,其他处理 学习方法:与矩阵位移法对比—相同与不同之处 了解基本原理,各种方法的共性与实质 通过自编程序进一步熟悉原理 应用状况:标准通用软件SAP2000,ANSYS, 各种专用程序 连续体 杆系结构
形函数矩阵为:

v N v v
j

Nu h( x)A1 1 N v H ( x)A2 1
j
i ui
vi i
u
vj j
T j
T
第1节
等直杆单元分析续1
u H u ( x) e e A N v H v ( x)
y z

T
x

1 1 1 1 aD 0 E 0 0 0 0 0
1 0 0 0
对 称 2(1 ) 0 2(1 ) 0 0 2(1 )
T
已知位移列阵 d u v w 微分算子列阵
( )dxdydz 外力势能： ( Xu Yv Zw)dxdydz ( X u Y v Z w)dS V
形变势能： U
1 2 x x y y z z yz yz zx zx xy xy
研究生《有限元法》授课大纲
1 绪论、弹性力学基本方程、虚位移原理、最小势能原理 2 杆系结构有限元 3 平面问题有限元分析 4 空间与轴对称问题 5 板弯曲有限元分析 6 壳弯曲有限元分析 7 广义变分原理
理论--
公式 -- 程序 -- 实际应用