六、 动力学问题的有限元法

上节导出的单元质量矩阵为： M •
e
e N NdV
T V
该矩阵称为协调质量矩阵或一致质量矩阵。因为它和刚 度矩阵依据同样的原理、过程和插值函数导出，还表示质量在单元上呈某种分布。
• 此外，有限元中还经常采用集中质量矩阵，它是一个对
角矩阵，由假定单元质量集中在节点上得到。
•
对于3节点三角形单元，按上述公式计算得到的一致质量

t+Δ t时刻的位移解 at t 从t时刻的运动方程建立：

将加速度和速度的差分格式代入上式，得到：

上式就是求离散时间点上位移解的递推公式。但该算法
有起步问题（见P449）。

中心差分法特点如下：
1）是显式算法，并且当质量阵和阻尼阵都是对角阵时，利
用该递推公式求解运动方程时不需要进行矩阵求逆，这个 特点在非线性问题中将更有意义。 2）是条件稳定算法。时间步长必须小于某个临界值：
t+Δ t 时刻位移的公式：

由于从上式求解 t+Δ t 时刻位移时需要对非对角的等效
刚度阵求逆，因此称为隐式算法。

当算法中的参数满足一定条件时，该算法是无条件稳定 的。此时，步长的选择取决于解的精度，可以根据对结 构响应有主要贡献的若干基本振型的周期来确定。通常
可取为所要考虑的基本振型周期中最小周期的二十分之
•
•
1) 准静态问题 指边界条件和/或体力变化缓慢，或者物体内加速度分
布均匀等类型的问题。这类变形体问题的平衡微分方程
中忽略了惯性项，但载荷是时间的函数。在某时刻t， 采用动静法将整体惯性力转化为体力，或者忽略惯性力。
对应此刻载荷的静力学解作为t时刻的解。工程上可取
随时间变化载荷的最大值的静力学解作为问题的准静态 解。 尽管这种静态情况在实际上并不存在，但作为一种基本 力学模型，在工程实践上具有重要意义。很多实际问题
a
i
ui ( t ) vi (t ) (i 1,2, , n ) w (t ) i
•
为建立有限元动力学响应控制方程，利用达朗倍尔原
理，在每个时刻 t，将连续介质中质点加上惯性力 u
和阻尼力 u ，则系统的动力学问题转化为等效静
•
当求解该微分方程组，得出节点位移响应后，其它计
算步骤与静力分析相同。
• 有限元动力学方程的求解虽然可以采用常规的常微分
方程组解法，但由于实际问题有限元模型的阶数往往
很高，用常规方法不经济，通常采用一些对有限元方 程有效的解法，主要分为两类：直接积分法和振型叠 加法。
第三节 质量矩阵和阻尼矩阵
1、协调质量矩阵和集中质量矩阵
•
对于上述后两类问题，描述质点平衡和运动的微分方程
相同，包含惯性力项和阻尼力项。其数值求解方法主要
是有限元法。
第二节 动力学问题的有限元方程
• 在连续介质的动力学问题中，描述力学参量的坐标是 四维：3个空间坐标和一个时间坐标。进行有限元法求
解时，只对空间区域进行离散化，得到离散多自由度 系统的动力学模型。
一。

对结构动力学问题，所关心的较低阶振型的周期比全系
• 其有限元法步骤与静力学问题相同。只是在单元上对
随时间变化的节点位移进行插值，得到单元内随时间 变化的假设位移场：
u
Na
e
u
u( x, y , z, t ) v ( x, y , z, t ) w( x, y , z, t )
a1 e a a 2 a n
力学问题。对等效系统应用虚功原理：

•
V

T

dV u (
T V
f
u u)dV u
S
T
T dS
将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离
散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
M a(t ) C a(t ) K a(t ) Q(t )
• 研究结构自由振动特性。设阻尼和外力均为零，则结 构自由振动有限元运动方程为：
M(t ) Ka (t ) 0 a
设各自由度作简谐运动：
a sin (t t0 )
其中 是n阶向量，表示有限元离散结构所有自由度的 振幅，ω 是该向量振动的频率。将上式代入自由振动 方程得到：
•
上述两种阻尼矩阵称为比例阻尼或振型阻尼。其比例
系数一般依赖于频率，很难精确确定。
• 一个通行的方法是将结构的阻尼矩阵简化为结构刚度
阵和结构质量阵的线性组合：
•
其中α ，β 是不依赖于频率的常数。这种振型阻尼称 为Rayleigh阻尼。当α = 0时，较高阶振型受到的阻尼
较大；当β = 0 时，较低阶振型受到的阻尼大。
3) 弹塑性动力学问题 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。
涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击，
人工地震勘探，无损探伤等。 这类问题的研究要深入到介质中的弹塑性波的传播过
程以及考虑波动效应前提下介质中应力应变的响应。
这类问题中载荷的特点是构件上载荷作用前沿时间远 少于应力波在构件中的传播时间。该状态通常由构件 高速碰撞或爆炸载荷产生。
矩阵为：
•
该单元的集中质量矩阵为：
•
实际应用中，两种质量矩阵都有应用，得到的计算结果
相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化，提
高计算效率，由此得到的自振频率常低于精确解。
•
在波传播问题和高速瞬态非线性分析中，通常采用显式 动力学求解方法配合使用线性位移单元和集中质量阵。
2、阻尼矩阵
单元阻尼矩阵：
第六单元 动力学问题的有限元法
第一节 变形体动力学问题概述
• 变形体动力学问题在工程和科学问题中非常普遍。该类 问题由随时间变化的载荷或边界条件产生。 这类动力学问题涉及的对象包括各种机械零部件、工程 结构、弹性介质。 根据问题的特点和载荷及受力体的动态特性，一般意 义上的变形体动力学问题按如下三个途径处理。
V
Ce e N T NdV
V V
Q e e N T fdV e N T TdS ——单元等效节点力向量
•
如果忽略阻尼，则结构动力学方程简化为：
M a(t ) K a(t ) Q(t )
• 上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动
方程。
• 从动力学方程导出过程可以看出，动力学问题的有限元 分析中，由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力，从而 引入了质量矩阵和阻尼矩阵，运动方程是耦合的二阶常 微分方程组，而不是代数方程组。该方程又称为有限元 半离散方程，因为对空间是有限元离散的，对时间是连 续的。
• 称为协调阻尼矩阵。这种阻尼是由阻尼力正比于质点 运动速度得到的，属于粘性阻尼。显然，这种阻尼阵 与质量矩阵成正比。 • 对结构而言，阻尼并非粘性的，而主要是由于材料内 部摩擦效应引起的能量耗散，但这种耗散机理尚未完
全清楚，更难以用数学模型表达，故通常假设这种情
况的阻尼力正比于应变速率，从而可导出比例于单元 刚度矩阵的单元阻尼阵，大多数情形下足够精确。
t tcr
Tn

Tn 是有限元系统的最小固有振动周期，通常用最小尺
寸单元的最小固有振动周期代替。因此，有限元网格中最 小单元尺寸将决定中心差分法时间步长的选择。有限元网 格划分时要考虑到这个因素，避免个别单元尺寸太小。
3）中心差分法适合用于考虑波传播效应的线性、非线性
响应分析。但是对于结构动力学问题中的瞬态响应分 析，不适合采用中心差分法，因为这类问题，重要的

大多数显式方法是条件稳定的：当时间步长大于结构 最小周期的一定比例时，计算得到的位移和速度将发 散或得到不正确的结果； 隐式方法往往是无条件稳定的，步长取决于精度，而

不是稳定性方面的考虑。

典型的显式方法是所谓的“中心差分法”，其基本思 想如下。
• 中心差分法

将某时刻的加速度和速度用中心差分表示：
振型即是指这种正则振型。
•
容易证明，固有振型具有对M和K的正交性：
• 定义：
它们分别称为固有振型矩阵和固有频率矩阵
• 利用固有振型矩阵和固有频率矩阵，结构固有振型的
正交性质可以表示成：

原来的特征值问题可以表示成：
• 固有频率和固有振型是一个结构自由振动的基本特性，
也是结构动态特性的基本要素。
•求解结构自由振动的广义特征值问题，由于系统自由度 很多，而研究系统动态响应和动态特性时，往往只需要
可近似归入准静态问题，而满足工程上的精度要求。
通过这种近似处理，可以避免大量的动力学模型解算，
而在有限的计算机资源下，可把实际问题的模型在准静
态假设前提下考虑得更细致、更实用。在许多情况下， 由此带来的对实际情况的逼近将大大抵消由于准静态假
设产生的误差。
至于哪些问题可作准静态来处理，需要综合考虑分析目
少数低阶特征值和特征向量。因此在有限元分析中发展
了许多针对上述特点的效率较高的算法。其中应用最广 泛的有Lanczos法、子空间迭代法、逆迭代法等。
第五节 瞬态响应分析
• 瞬态响应分析是计算动力强迫响应分析的最一般方法。其 目的是计算结构受随时间变化激励作用下的行为。瞬态激 励定义在时间域中，每个瞬时的大小已知。激励可以是作 用力和强迫运动。 • 根据结构和载荷的性质，可以用两种不同的数值方法进行 瞬态响应分析：直接积分法和振型叠加法。前者对全耦合 的有限元离散运动方程直接进行积分；后者利用主振型对 运动方程进行变换和解耦，结构的响应根据相应于各振型 的响应累加而成。
1、直接积分法