4-02-连续函数的性质

3 2
∴ 方程x − 4 x + 1 = 0在(0,1)内至少有一根ξ .
3 2
至于方程的根的计算,以后有“闭区间套定理” 至于方程的根的计算,以后有“闭区间套定理” 予以解释,并可用所谓的“二分法” 予以解释,并可用所谓的“二分法”进行近似计 算得到. 算得到.
数学家的笑话----解是存在的 数学家的笑话----解是存在的 ---工程师、 工程师、化学家和数学家住在一家老客栈的三 个相邻房间里。当晚先是工程师的咖啡机着了火, 个相邻房间里。当晚先是工程师的咖啡机着了火 他嗅到烟味醒来,拔出咖啡机的电插头 拔出咖啡机的电插头,将之扔出窗 他嗅到烟味醒来 拔出咖啡机的电插头 将之扔出窗 然后接着睡觉。 外,然后接着睡觉。过一会儿化学家也嗅到烟味醒 然后接着睡觉 他发现原来是烟头燃着了垃圾桶。 来,他发现原来是烟头燃着了垃圾桶。他自言自语 他发现原来是烟头燃着了垃圾桶 怎样灭火呢?应该把燃料温度降低到燃点以下 道:“怎样灭火呢 应该把燃料温度降低到燃点以下 怎样灭火呢 应该把燃料温度降低到燃点以下, 把燃烧物与氧气隔离.浇水可以同时做到这两点 浇水可以同时做到这两点。 把燃烧物与氧气隔离 浇水可以同时做到这两点。” 于是他把垃圾桶拖进浴室,打开水龙头浇灭了火 打开水龙头浇灭了火,就 于是他把垃圾桶拖进浴室 打开水龙头浇灭了火 就 回去接着睡觉。 回去接着睡觉。
ϕ( x0 ) = u0 , 而函数 y = f ( u) 在点 u = u0 连续 , 则复合函数 y = f [ϕ( x )]在点 x = x0也连续 .
证 Q f ( u ) 在 点 u = u0 连 续 ,
∴ ∀ ε > 0, ∃ η > 0, 使 当 u − u0 < η 时 , 恒 有 f ( u ) − f ( u0 ) < ε 成 立 . 又 Q lim ϕ ( x ) = ϕ ( x 0 ) = u0 ,
( f ( a ), f (b ) ) 上 连 续 且 严 格 单 调 增 加.
x0 − ε < x1 < x0 < x2 < x0 + ε , ∴∀y ∈ U ( y0 , δ ) ⊂ ( f ( a ) , f ( b ) ) , 由于y1 ≤ y0 − δ < y < y0 + δ ≤ y2 , 因此x0 − ε < x1 = f −1 ( y1 ) < f −1 ( y2 ) = x2 < x0 + ε , ∴∀y ∈ U ( y0 , δ ), ∃ f − 1 ( y ) − f −1 ( y0 ) = f ( y ) − x0 < ε ,
那末， 那末，对于A与B之间的任意一个数 C ，在开区 间(a, b)内至少存在一点 ξ，使得 f (ξ ) = C
(a < ξ < b).
介值定理的一个等价的表述 定理6’(介值定理) 定理 (介值定理) 在闭区间上连续的函数必 取得介于最大值M与最小值 之间的任何值. 与最小值m之间的任何值 取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.
µ
µ ln x
⇒ y = e ,内连续, 讨论µ不同值.
(均在其定义域内连续 ) 均在其定义域内连续 命题1 命题 基本初等函数在定义域内是连续的. 基本初等函数在定义域内是连续的.
命题2 一切初等函数在其定义区间内都是 一切初等函数在其定义区间 定义区间内都是 命题 连续的. 连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 定义区间是指包含在定义域内的区间.
x
★ 对数函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1)
在(0, +∞ )内单调且连续 ;
对于幂函数 y = x , µ ∈ Q时
µ
可由连续的定义很容易地证 明其在定义域内的连续性; \ µ ∈ R\ Q时幂函数x 的定义
µ
域为(0, +∞ ),
µ ∈ R\ Q时幂函数x 的定义域为 \
x → x0
∴ 对 η > 0, ∃ δ > 0, 使 当 x − x 0 < δ 时 ,
又 Q lim ϕ ( x ) = ϕ ( x0 ) = u0 ,
x → x0
∴ 对η > 0, ∃δ > 0, 使当 x − x0 < δ 时, 有 ϕ ( x ) − ϕ ( x0 ) = u − u0 < η 成立. 因此, ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当 x − x0 < δ 时, f ( u) − f ( u0 ) = f [ϕ ( x )] − f ( u0 ) < ε 成立. ∴ lim f [ϕ ( x )] = f ( u0 ) = f [ lim ϕ ( x )].
µ
(0, +∞ ), y = x = e
u
µ
µ ln x
⇒ y = e , u = µ ln x , 由指数函数的连续性, 对数函数 的 连 续 性 ,以 及 复 合 函 数 的 连 续 性定理, 可知函数 x = e x ∈ (0, +∞ )时处处连续. +∞
µ µ ln x
在
★ y= x =e
有 m ≤ f ( x) ≤ M ,
取 K = max{ m , M },
则有 f ( x ) ≤ K .
∴ 函数 f ( x )在[a , b]上有界 .
定理 6(介值定理) (介值定理)
设函数 f (x)在闭区间 [a, b]
上连续， 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a) = A 及 f (b) = B,
点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义 点的邻域内没有定义
函数在区间[1, +∞ )上连续.
五、闭区间上连续函数的性质 闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数具有性质 闭区间上的连续函数具有性质: 性质 最大值和最小值存在定理; 最大值和最小值存在定理 介值定理或曰零点存在定理. 介值定理或曰零点存在定理
−1
显然y1 ≤ y0 − δ < y0 < y0 + δ ≤ y2 , ∃x ∈ ( a , b ) , 使得y = f ( x ), x = f ( y )
−1
所以说x = f ( y )在点y0处连续.
−1
例如, 我们在前面已经证明了x = a (a > 0, a ≠ 1)在y ∈ ( −∞ , +∞ )时连续, Q 对∀y0 ∈ ( −∞ , +∞ ), 有
y
几何解释: 几何解释:
a o
y = f (x)
ξ1 ξ2
ξ3
b x
连续曲线弧 y = f ( x )的两个 端点位于 x轴的不同侧 , 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点 .
例1 证明方程 x 3 − 4 x 2 + 1 = 0在
区间 (0,1)内至少有一根.
证明
令 f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 1, 则f ( x )在[0,1]上连续, 又 f (0) = 1 > 0, f (1) = −2 < 0,由零点定理, ∃ ξ ∈ (a , b), 使f (ξ ) = 0,即 ξ − 4ξ + 1 = 0,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
二、反函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 定理 续反函数. 续反函数.
π π 例如, x = sin y在y ∈[− , ]时单调增加且连续, 2 2 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在(−∞, +∞)上单调且连续.
),那末在开区间 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 ), 那末在开区间 (a, b )内至 的一个零点, 少有函数 f ( x ) 的一个零点 , 即至少有一 点 ξ (a < ξ < b ) ， 使 f (ξ ) = 0 .
即方程 f ( x) = 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释: 几何解释:
y
M B y = f (x) C a o x1 ξ1 A m
ξ2 ξ3 x2 b
x
定义: 定义:
如果x0使f ( x0 ) = 0, 则x0 称为函数 f ( x )的零点.
零点定理) 定理 6’’( 零点定理)设函数 f ( x ) 在闭区间
[a, b ]
上连续， 异号( 上连续 ， 且 f (a ) 与 f (b ) 异号 ( 即
定理4(最大值和最小值定理) 定理 (最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. 的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x ) ∈ C [a , b], 则 ∃ξ 1 , ξ 2 ∈ [a , b], 使得 ∀x ∈ [a , b], 有 f (ξ 1 ) ≥ f ( x ), f (ξ 2 ) ≤ f ( x ).
x → x0 x → x0
1 例如 : u = 在( −∞ , 0) U (0, +∞ )内连续, y = sin u在 x 1 ( −∞ , +∞ )内连续,∴ y = sin 在( −∞ , 0) U (0, +∞ )内连续. x
四、初等函数的连续性 ★ 三角函数及反三角函数在它们的定义 域内是连续的. 域内是连续的 ★ 指数函数 y = a (a > 0, a ≠ 1) 在( −∞ , +∞ )内单调且连续;
4-02 连续函数的性质
一、四则运算的连续性
定理1 定理
若函数 f ( x ), g ( x )在点 x0处连续 ,
f ( x) ( g ( x0 ) ≠ 0 ) 则 f ( x ) ± g ( x ), f ( x ) ⋅ g ( x ), g( x ) 在点 x0处也连续 .