离散数学习题解答

离散数学习题解答
数理逻辑习题
1.
（1）要是明天不下雨且我有时间，那么我去步行街购物。
设p：明天下雨q：我有时间r：我去步行街购物
（2）如果小王和小张是一个组，那么这次英语竞赛一定取胜。
设p：小王和小张是一个组q：这次英语竞赛一定取胜
（3）除非天下雨，否则他不乘出租车上班。
设p：天下雨q：他乘出租车上班
设p：马会飞。q：羊吃草。r：母鸡是飞鸟。s：烤熟的鸭子会跑。
前提： ， ，
结论：
证明：
① 前提引入
② 前提引入
③ ①②拒取式
④ 前提引入
⑤ ③④拒取式
⑥ ⑤等值演算
⑦ ⑥化简规则
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（1）有会说话的机器人。
设： ：x是机器人。 ：x会说话。
符号化为：
（2）尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明。
设： ：x是人。 ：x很聪明。
符号化为：
（3）并不是所有的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ车都比火车快。
设： ：x是汽车。 ：y是火车。 ：x比y快。
符号化为：
（4）有的人不吃萝卜，但人都要喝水。
设： ：x是人。 ：x吃萝卜。 ：x要喝水。
符号化为：
（5）男人一定比女人高，是不对的。
设： ：x是男人。 ：y是女人。 ：x比y高。
符号化为：
（6）某些汽车慢于所有的火车，但至少有一火车快于每一汽车。
（4）自反
（5）对称
（6）对称
13
14
[a]=[b]={a,b}，[c]=[d]={c,d}。
15
（1）证明：
1） ， ，所以R自反。
2） ，
，所以R对称。
3） ， ，
，
，
由 和 可得 。
。所以R传递。
由1），2），3）可证R是A×A上的等价关系。
（2） 具有R关系，
具有R关系，
具有R关系，
具有R关系，
具有R关系，
由R确定的划分为{{ },
{ },
{ },
{ },
{ },
{ },
{ }}
19
（1）必要性
R循环，由 则 ，所以R对称，
由 则 ，因为R对称，由 ，可得 ，所以R传递，
因R自反，所以综上所述，R是等价关系。
（2）充分性
R是等价关系，所以R自反；
R是等价关系， 则 ，因为R对称，所以可得 ，故R是循环的。
设： ：x是汽车。 ：y是火车。 ：x比y慢。
符号化为：
（7）两个不相等的实数间，必存在第三个实数。
设： ：x是实数。 ：x和y相等。 ：z在x和y之间。
符号化为：
19
（1）x是任意自然数，2x=x。真值为假。
（2）x和y是任意自然数，若x+2=y，那么y+2=x。真值为假。
（3）x和y是任意自然数，存在自然数z，使得x+y=z。真值为真。
22
极大元：7，8，9，10，11，12；
极小元：1
最小元：1
最大元：无
24
上界：12，下界：1，最小上界：12，最大下界：1。
27
（1）单射，不是满射
（2）不是满射，也不是单射
（3）不是满射，也不是单射
（4）是满射，不是单射
（5）是单射，不是满射
（6）不是单射，也不是满射
29
（1）计算 。
（2）确定商集 。
5
方法：等值演算、主范式、真值表
（2）
6
（3）
的对偶公式：
7
（1）
8
（1）
（2）
（3）
（4）可满足式
9
（1）
真值表法也很简单：00，10，11时是1，01时是0。
10
（1）
14
（1）如果今天是星期六，我们就要到独秀峰或象鼻山去玩，如果独秀峰人太多，我们就不去独秀峰。今天是星期六。独秀峰游人太多，所以我们去象鼻山玩。
20
（1）命题公式的代换实例。永真式
（3）个体域：自然数。 ：x=y。真命题。 ：x>y。假命题。可满足式。
24
（1）
（2）
25、
设 ：x是无理数。 ：x是有理数。 ：x能表示成分数。
前提： ，
结论：
证明：
① 前提引入
② ①量词等值式
③ ②等值式
④ ③等值式
⑤ ④全称量词消去规则
⑥ 前提引入
⑦ ⑥全称量词消去规则
解：
设p：今天是星期六。q：我们到独秀峰玩。r：我们到象鼻山玩。s：独秀峰游人多。
前提： ， ， 。
结论：
证明：
① 前提引入
② 前提引入
③ ①②假言推理
④ 附加前提引入
⑤ 前提引入
⑥ ④⑤假言推理
⑦ ③⑥析取三段论
（2）如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟。如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑。烤熟的鸭子不会跑。所以，羊不吃草。
⑧ ⑤⑦假言三段论
⑨ ⑧全称量词引入规则
集合论与关系习题
2
文氏图求解，答案是5人。
5
解：
7
解：R的关系矩阵为
R的关系图为：
9
dom(A)={1,2,3}，dom(B)={1,2,4}，ran(A)={2,3,4}，ran(B)={2,3,4}。
11
， ， ，
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（1）自反
（2）反对称、传递
（3）自反、对称、传递
（4）我反悔，仅当太阳从西边出来。
设p：我反悔q：太阳从西边出来
（5）如果 在点 处可导，则 在点 处可微。反之亦然。
设p： 在点 处可导q： 在点 处可微
（6）明天既不是晴天也不是下雨天。
设p：明天是晴天q：明天是雨天
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（2）
0
0
0
0
0
0
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公式是可满足式。