2018年高中数学北师大版选修4-4课件： §2 极坐标系
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������ ������
名师点拨在一般情况下,由 tan θ 的值确定角 θ 时,可以根据点 M 所在象 限取最小正角.
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2π 3
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2π 3 2π 3 θ=2sin =2× 3 2 1 2 2π 3
π 3
,则它的直角坐标
,
=-1,
= 3.
故点 A 的直角坐标为(-1, 3). 答案:(-1, 3)
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【做一做 2-1】 已知点 M 的极坐标为 5, 是 . 解析:因为 x=5cos =- ,y=5sin 所以点 M 的直角坐标为 答案: - , 是
5 5 3 2 2 2π 3 5 2 2π 3 5 5 3 - , 2 2
,则它的直角坐标
= .
5 3 . 2
【做一做 2-2】 已知点 A 的极坐标为 -2,. 解析:因为点 A 的极坐标又可以写成 2, 所以 x=ρcos θ=2cos =2× y=ρsin
§2 极坐标系
-1-
2.1 极坐标系的概念 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化
-2-
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1 .通过回顾平面直角坐标系,体会借助坐标系研究曲线和方程的关系. 2 .了解曲线和方程的对应关系,了解两条曲线交点的求法. 3 .能利用已知条件求出曲线方程.
如图所示,建立一个平面直角坐标系,把平面直角坐标系的原点作为极 点,x 轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并且两种坐标系中取相同的单位 长度.
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【做一做 1-1】 在极坐标系中,与点 3, A. 3, C.
13π 6 17π 3, 6 13π 6 π 6
B. 3,D.
π 6 π 6 π 6 2 6
=
3 . 3
.
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【做一做 2-3】 点 P 的直角坐标为( 6, 2),化成极径是正值,极角在 0 到 2π 之间的极坐标为 . 解析:ρ= ( 6)2 + ( 2)2 =2 2,tan θ= 又点 P 在第一象限,得 θ= , 所以点 P 的极坐标是 2 2, 答案: 2 2,
π 6 5π 3,6 π 6
π 6
重合的点是(
).
解析:当 k∈Z 时,(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示同一个点. 因为 = +2π,所以点 3, 与 3,
13π 6
表示同一个点,即重合. ).
答案:A 【做一做 1-2】 在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( A.(ρ,θ) B.(ρ,-θ) C.(ρ,θ+π) D.(ρ,π-θ) 的点为(ρ,-θ). 答案:B
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(2)互化公式. 如上图所示,设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标 是(ρ,θ).如果限定 ρ 取正值,θ∈[0,2π ),那么除原点外,平面内点的直角坐标与 极坐标之间就是一一对应的. ������ = ρcos������, ①点 M 的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式是 ������ = ρsin������. ������ 2 = ������ 2 + ������ 2 , ②点 M 的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式是 tan������ = (x ≠ 0).
解析:点(ρ,θ)对应的极径为 ρ,极角为 θ,θ 关于极轴对称的角为-θ,故所求
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2 .点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件.
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当点 M 在极点时,它的极径 ρ=0,极角 θ 可以取任意值. ②为了研究问题方便,极径 ρ 也允许取负值.当 ρ<0 时,点 M(ρ,θ)的位置 可以按下列规则确定: 作射线 OP,使∠xOP=θ,在 OP 的反向延长线上取一点 M,使|OM|=|ρ| , 这样点 M 的坐标就是(ρ,θ),如图所示:
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1 .极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立. 在平面内取一个定点 O,叫作极点,从点 O 引一条射线 Ox,叫作极轴,选 定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面 极坐标系,简称为极坐标系. (2)点的极坐标的规定. ①如图所示,对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示以 Ox 为始边、OM 为终边的角,ρ 叫作点 M 的极径,θ 叫作点 M 的极角,有序实 数对(ρ,θ)叫作点 M 的极坐标,记作 M(ρ,θ).
名师点拨在一般情况下,由 tan θ 的值确定角 θ 时,可以根据点 M 所在象 限取最小正角.
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,
=-1,
= 3.
故点 A 的直角坐标为(-1, 3). 答案:(-1, 3)
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【做一做 2-1】 已知点 M 的极坐标为 5, 是 . 解析:因为 x=5cos =- ,y=5sin 所以点 M 的直角坐标为 答案: - , 是
5 5 3 2 2 2π 3 5 2 2π 3 5 5 3 - , 2 2
,则它的直角坐标
= .
5 3 . 2
【做一做 2-2】 已知点 A 的极坐标为 -2,. 解析:因为点 A 的极坐标又可以写成 2, 所以 x=ρcos θ=2cos =2× y=ρsin
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1 .通过回顾平面直角坐标系,体会借助坐标系研究曲线和方程的关系. 2 .了解曲线和方程的对应关系,了解两条曲线交点的求法. 3 .能利用已知条件求出曲线方程.
如图所示,建立一个平面直角坐标系,把平面直角坐标系的原点作为极 点,x 轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并且两种坐标系中取相同的单位 长度.
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B. 3,D.
π 6 π 6 π 6 2 6
=
3 . 3
.
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【做一做 2-3】 点 P 的直角坐标为( 6, 2),化成极径是正值,极角在 0 到 2π 之间的极坐标为 . 解析:ρ= ( 6)2 + ( 2)2 =2 2,tan θ= 又点 P 在第一象限,得 θ= , 所以点 P 的极坐标是 2 2, 答案: 2 2,
π 6 5π 3,6 π 6
π 6
重合的点是(
).
解析:当 k∈Z 时,(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示同一个点. 因为 = +2π,所以点 3, 与 3,
13π 6
表示同一个点,即重合. ).
答案:A 【做一做 1-2】 在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( A.(ρ,θ) B.(ρ,-θ) C.(ρ,θ+π) D.(ρ,π-θ) 的点为(ρ,-θ). 答案:B
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(2)互化公式. 如上图所示,设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标 是(ρ,θ).如果限定 ρ 取正值,θ∈[0,2π ),那么除原点外,平面内点的直角坐标与 极坐标之间就是一一对应的. ������ = ρcos������, ①点 M 的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式是 ������ = ρsin������. ������ 2 = ������ 2 + ������ 2 , ②点 M 的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式是 tan������ = (x ≠ 0).
解析:点(ρ,θ)对应的极径为 ρ,极角为 θ,θ 关于极轴对称的角为-θ,故所求
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当点 M 在极点时,它的极径 ρ=0,极角 θ 可以取任意值. ②为了研究问题方便,极径 ρ 也允许取负值.当 ρ<0 时,点 M(ρ,θ)的位置 可以按下列规则确定: 作射线 OP,使∠xOP=θ,在 OP 的反向延长线上取一点 M,使|OM|=|ρ| , 这样点 M 的坐标就是(ρ,θ),如图所示:
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1 .极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立. 在平面内取一个定点 O,叫作极点,从点 O 引一条射线 Ox,叫作极轴,选 定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面 极坐标系,简称为极坐标系. (2)点的极坐标的规定. ①如图所示,对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示以 Ox 为始边、OM 为终边的角,ρ 叫作点 M 的极径,θ 叫作点 M 的极角,有序实 数对(ρ,θ)叫作点 M 的极坐标,记作 M(ρ,θ).