高等数学中的空间解析几何
高等数学(解析几何)图形
y2
z
L
投影柱面
x2 y2 1
得交线L：
1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
x2 y2 1 .
.
z 0
.
o
.
.
x
y
z =0
2
25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
2 y2 z2 4x 4z
L:
y
2
3z 2
关于xoy面:
(x,y,z) (x,y,-z)
关于x轴:
(x,y,z) (x,-y,-z)
M(x,y,z)
y
P
(x,y,-z)
关于原点:
(x,y,z) (-x,-y,-z)
.
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
c
B A
A´
B´
c´
u
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
.
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
0 y
x
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
0 y
.
x
1. 空间直角坐标系
八个卦限
点的坐标
Ⅳ
Ⅲ
z z
Ⅱ
Ⅰ
M (x,y,z)
M (x,y,z)
0
y
y
.
x
N
x
Ⅵ
Ⅷ
Ⅴ
1. 空间直角坐标系
z
坐标和点
z
(x,y,z) M
M (x,y,z)
00
y
高教社2024高等数学第五版教学课件-7.1 空间解析几何
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为：
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→
其中、都是实数.
∘
→
→
→
设 是一个非零向量,常把与 同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→
→
,且±
→
→
均是与→
平行的单位向量（同向或反向
的两向量称为平行向量）.
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →
向量与空间解析几何
向量与空间解析几何向量与空间解析几何是高等数学中的重要分支，它们是研究空间中点、直线、平面等几何对象的数学工具。
向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。
空间解析几何则是利用向量的概念，通过坐标系和代数方法来研究空间中的几何问题。
本文将从向量的定义、运算、坐标表示以及空间解析几何的基本概念和应用等方面进行详细介绍。
一、向量的定义和运算向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。
向量的定义如下：定义1：向量是具有大小和方向的量，用一个有向线段来表示。
向量的大小称为向量的模，用符号 a 表示，方向则由有向线段的方向确定。
向量的起点和终点分别称为向量的始点和终点，用符号a和b表示。
向量的表示方法有多种，如箭头表示法、坐标表示法、分量表示法等。
向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法定义如下：定义2：向量的加法：设向量a和b的始点相同，则向量a+b的终点为向量a的终点和向量b的终点的连线的终点。
定义3：向量的减法：设向量a和b的始点相同，则向量a-b的终点为向量a 的终点和向量-b的终点的连线的终点。
向量的数乘定义如下：定义4：向量的数乘：设k为实数，则向量ka的模为k · a ，方向与向量a 的方向相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
向量的点乘定义如下：定义5：向量的点乘：设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则向量a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
向量的点乘有很多重要的性质，如交换律、分配律、结合律等，这些性质在空间解析几何中有着重要的应用。
二、向量的坐标表示向量的坐标表示是空间解析几何中的重要概念，它将向量与坐标系联系起来，使得向量的运算可以通过代数方法来进行。
在三维空间中，我们通常采用右手坐标系来表示向量，其中x轴、y轴和z轴分别垂直于彼此，并且满足右手定则。
高等数学中的空间解析几何
高等数学中的空间解析几何一、引言空间解析几何是高等数学中的重要分支之一，它研究的是空间中的点、直线、平面等几何对象的性质和相互关系。
在实际应用中，空间解析几何广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
本教案将从基本概念入手，逐步展开论述空间解析几何的相关内容。
二、点与向量1. 点的坐标表示- 在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示点在x轴、y轴、z轴上的投影。
- 点的坐标可以用向量表示，即P = x*i + y*j + z*k，其中i、j、k分别是x轴、y轴、z轴的单位向量。
2. 向量的基本性质- 向量的模：向量AB的模表示为|AB|，定义为AB的长度。
- 向量的方向角：向量AB的方向角表示为(α, β, γ)，其中α、β、γ分别表示向量AB与x轴、y轴、z轴的夹角。
- 向量的共线性：若向量AB与向量CD平行或共线，则存在实数k，使得AB = kCD。
三、直线与平面1. 直线的方程- 点向式方程：直线L上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，且向量v = (a, b, c) 与直线L平行，则直线L的点向式方程为(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)，其中t为实数。
- 参数方程：直线L上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，且向量v = (a, b, c) 与直线L平行，则直线L的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中t为参数。
- 一般方程：直线L的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。
2. 平面的方程- 点法式方程：平面π上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，且法向量n = (A, B, C)垂直于平面π，则平面π的点法式方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中D = -Ax0 -By0 - Cz0。
- 一般方程：平面π的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。
高等数学-01空间解析几何(课件
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示 为向量，通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个 向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
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曲线方程
通过给定的方程，可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
高等数学中的空间解析几何
空间解析几何是高等数学中的一个重要分支，也是数学与物理学相结合的一门学科。
它主要研究的是点、线、面及其在空间中的位置关系、运动规律以及与其相关的数学方法与技巧。
空间解析几何的研究内容非常广泛，与物理学的研究方法密切相关，因此对于现代理论物理学的研究也有着重要的意义。
空间解析几何的研究对象有三维空间（3D）中的点、线、面等几何对象。
在坐标系下，我们通常使用直角坐标系或者柱坐标系来描述几何对象在空间中的位置。
直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴，它们构成了一个空间直角坐标系。
点在空间中的位置可以通过它相对于这三个坐标轴的坐标来确定，如点P的坐标可以表示为(x,y,z)。
类似地，线和面也可以通过它们在坐标系中的方程来描述和表达。
在空间解析几何中，点的位置关系和运动规律是最基本的研究对象。
两个点P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)之间的距离可以通过勾股定理来求解，即d =√((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
这一公式可以推广到若干个点之间的距离计算。
此外，我们还可以根据两点之间的距离公式来证明向量之间的线性运算、角度的计算等。
线和面是空间解析几何中的另外两个重要研究对象。
我们可以通过线的参数方程、对称式方程或者一般式方程来描述一条直线在空间中的位置。
例如，直线上的一点P可以表示为P(x,y,z) = A + λ(B - A)，其中A和B是直线上的两个点，λ为参数。
通过参数方程，我们可以很方便地计算直线上的任意一点的坐标。
同样，平面也可以通过截距式方程、一般式方程等来描述和表达。
例如，平面上的一点P可以由方程Ax + By + Cz + D = 0来表示，其中A、B、C和D为常数。
通过平面的方程，我们可以推导出平面上的点之间的距离公式，以及平面与直线相交的条件等。
空间解析几何不仅有着数学上的重要性，还在现代物理学中有着广泛的应用。
高等数学-第8章空间解析几何与向量代数
b a b≤+，向量与数的乘法a ，方向与、向量与数量乘法的性质(运算律和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速向量A B ''在轴上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1（投影定理）=cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质可推广到有限个向量的情形。
：向量a 在坐标轴上的投影向量向量a 在三条坐标轴上的投影由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a 量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、2x a a a =+acos a b cos a b (,)a b =为向量之间的夹角并且0θπ≤≤。
2a =，因此我们可以把a a ∙简记为x y z z 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， cos ab θ所以2cos xa b a ba θ∙==+两个向量垂直的充分必要条件是sin a b θ，它的方向是垂直于。
a b ⨯=sin a b b 为两边的平行四边形的面积。
如果向量a ={,,a a a }，{,}b b =则a b ⨯=..........x y zi j a a b b b 两向量平行的充分必要条件为也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。
决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。
注意向量的平行、垂直关系及角度。
利。
高等数学教材解析几何
高等数学教材解析几何解析几何是高等数学中的一门重要学科，它是研究平面和空间中几何图形的性质和变换规律的数学分支。
作为高等数学教材的内容之一，解析几何既深刻又具体地描述了几何问题，并通过数学方法进行分析和求解。
本文将对高等数学教材中的解析几何进行详细解析，为读者解释其基本概念、常用方法以及应用场景。
1. 直线与平面在解析几何中，直线和平面是两个基本的几何要素。
直线可以通过方程、向量等方式表示，而平面则可以由点和法向量确定。
在教材中，我们学习了直线和平面的基本性质，并能够应用它们解决实际问题，比如求直线与平面的交点、直线在平面上的投影等。
2. 向量与坐标向量是解析几何的重要工具，它可以表示从一个点到另一个点的位移。
在高等数学教材中，我们学习了向量的定义、运算法则以及坐标表示方法。
通过向量，我们可以更加直观地理解几何图形之间的关系，并可以通过向量的性质进行证明和推导。
3. 直线与曲线的方程直线和曲线在解析几何中经常出现，并且可以通过数学方程进行表示。
对于直线而言，我们学习了直线的点斜式、截距式等不同的表示方法，并能够根据给定条件求出直线的方程。
而对于曲线，我们掌握了圆、椭圆、抛物线、双曲线等常见曲线的方程，并能够分析其性质和特点。
4. 空间几何与立体图形除了平面几何外，解析几何还包括了空间几何的内容。
在高等数学教材中，我们学习了空间中点、直线、平面的位置关系以及其方程表示。
此外，我们还研究了立体图形的性质，比如球、圆柱、锥体等，并能够通过解析几何的知识进行计算和推导。
5. 解析几何的应用解析几何不仅仅是一门抽象的数学学科，它也有着广泛的应用场景。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，解析几何都扮演着重要的角色。
通过解析几何的方法，我们可以分析和解决各种实际问题，比如物体的运动轨迹、工程结构的设计等。
总结起来，解析几何是高等数学教材中的一门重要学科，它通过数学方法来研究和解决几何问题。
通过学习解析几何，我们可以更加深入地理解几何图形的性质和变换规律，并能够将其应用于实际问题的求解中。
高等数学解析几何
解 设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
|MA| 2=|MB| 2，
即
(04) 2(01) 2(z7) 2=(30) 2(50) 2(2z) 2．
解之得
z = 14 ， 9
所以，所求的点为M(0, 0, 14 )． 9
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
曲面的方程、研究曲面的两个基本问题 球面的方程
作一个以M 1和M 2为对角线
z
顶点的长方体，使其三个相邻
M2
的面分别平行于三个坐标面． 与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|，
M1
P
O y1
Qy
y2
x
二、空间两点间的距离
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
都不满足方程F(x，y，z)=0， 那么，方程F(x，y，z)=0就叫做 曲面S的方程，而曲面S就叫做方 x 程F(x，y，z)=0的图形．
z F(x，y，z )=0
M(x，y，z ) S
O
y
例1 建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、半径为R的球面的方程． 解 设M(x，y，z)是球面上的任一点，那么
条可以确定一个平面，这样
z
定出的三个平面统称为坐标
面．x轴及y轴所确定的坐标
面叫做 xOy面，另两个坐标
面是 yOz 面和zOx面.
O
y
x
坐标面：
三条坐标轴中的任意两
条可以确定一个平面，这样
z
定出的三个平面统称为坐标
面．x轴及y轴所确定的坐标
面叫做 xOy面，另两个坐标
面是 yOz 面和zOx面.
大学高数空间解析几何
学习空间解析几何有助于培养人的逻辑思维和抽象 思维能力，提高解决问题的能力。
空间解析几何的历史与发展
早期发展
空间解析几何起源于17世纪，随着笛卡尔坐标系的建立和 解析几何方法的完善，开始形成独立的数学分支。
近代发展
随着计算机科学和数学的不断发展，空间解析几何在理论 和应用方面都取得了重要进展，如微分几何、线性代数和 微分方程等与空间解析几何的交叉融合。
详细描述
如果两个平面的法向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是共线的，即存在一个非零实数 $lambda$ 使得 $mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，那么这两个平面就是平行的。如果两个平面的法向量不共线，那么 这两个平面就是相交的。
04
空间几何的应用
空间几何在计算机图形学中的应用
01
02
03
三维建模
空间几何用于创建三维模 型，包括曲面建模、实体 建模和参数化建模等。
光照计算
空间几何用于计算物体表 面的光照效果，以实现逼 真的渲染效果。
动画制作
空间几何用于动画制作中 的骨骼绑定、运动轨迹规 划和角色动画等，以创建 动态的视觉效果。
05
空间几何的习题与解答
平面与平面的交线
总结词求平面与平面Fra bibliotek交线，需要消元法或参数方程法。
详细描述
平面与平面的交线可以通过消元法或参数方程法来求解。消元法是通过联立两个平面的方程组，然后消元得到一 个一元一次方程，这个一元一次方程就是两平面的交线。参数方程法则是设定一个参数，将两个平面的方程都表 示成参数的函数，然后令参数相等，解出交线的参数方程。
未来展望
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，空间解析几何将 继续发挥重要作用，并有望在人工智能、机器学习等领域 取得新的突破和应用。
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
空间解析几何.pdf
第一章 高等数学 第一节 空间解析几何一、向量代数（一）向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。
模等于1的向量叫做单位向量，向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。
向量a 与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c ，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。
向量的加法符合下列运算规律： ① 交换律 a + b = b + a② 结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量 b 与 a 的负向量-a 的和，即b - a = b + (-a)由向量加法的三角形法则可知：() |a| = |-a|向量 a 与实数λ的积记作λa ，它是一个向量，它的模它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。
向量与数的乘积符合下列运算规律：由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：定理 设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使 b =λa 。
（二）向量的坐标设有空间直角坐标系 O - xyz ， i、 j、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12a M M是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。
向量的模、方向角与坐标之间关系：其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。
利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：（三）数量积 向量积设向量a 和向量 b 的夹角为θθπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ⋅ ，其大小为||||cos a b θ，即a ⊥b 的充分必要条件是 a .b =0向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角φ的余弦，即利用向量在轴上的投影，可将数量积表为向量 a 和向量 b 的向量积为一个向量 c ，记作 a × b ，即c ＝ a × b ，c 的模c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面， c 的指向按右手法则确定。
高等数学第7章 向量代数与空间解析几何
30
31
32
7.2.4 向量线性运算的坐标表示
33
34
35
36
7.2.5 向量数量积的坐标表达式 设有两个向量
37
38
39
40
41
42
43
44
习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦 限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点 的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影 点的坐标。
21
22
23
7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系 在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直 且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇 指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
24
25
7.2.2 向量的坐标表示 设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如 图7.17所示。
第7章 向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数 与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法 研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章 首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空 间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程 和特点.
1
7.1 向量及其运算
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（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ
高等数学 第八章
22 (3) 232 11 ．
因 | a b |2 (a b) (a b) |a |2 2a b | b |2 22 2 (3) 32 = 7 ，
故可 得
| a b| 7 ．
二、数量积的坐标运算
设非零向量 a (x1 ，y1 ，z1) ， b (x2 ，y2 ，z2 ) ，则
于是可得向量 r (x ，y ，z) 的模的坐标表达式为 | r | x2 y2 z2 ．
向量 M1M2 的模即为点 M1 (x1 ，y1 ，z1) 和点 M2 (x2 ，y2 ，z2 ) 之间的距离，即 | M1M2 | (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 ．
方向 角为
2 ， ， 3 ．
3
3
4
第三节
向量的数量积与向量积
一、数量积的定义及性质
定义 1 设 a，b 为空间中的两个向量，则数| a | | b | cos a ，b 称为向量 a，b 的数量积（也
称内积或点积），记作 a b ，读作“a 点乘 b”，即
a b | a | | b | cos a ，b ．
在空间直角坐标系中，设点 M1 的坐标为 (x1 ，y1 ，z1) ，点 M 2 的坐标为 (x2 ，y2 ，z2 ) ，则以 M1 为
起点、 M 2 为终点的向量为
M1M2 OM2 OM1 ．
因为 OM2 与 OM1 均为向径，所以 M1M2 OM2 OM1 (x2i y2 j z2k) (x1i y1 j z1k)
图8-7
交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) a+0=a a+(-a)=a
（二）向量的减法
高等数学空间解析几何知识点总结
高等数学空间解析几何知识点总结向量:既有大小又有方向的量，以有向线段表示，线段长度表示大小，线段方向表示方向。
向量相等:大小相等方向相间.也即经平移后能完全重合的向量是相等的。
的向量。
自由向量:即可以自由地平行移动。
且平移前后部代表相等何向量平行。
零向量:长度为零的向量，记作B, 方向可看作任意，s与任单位向量:长度为一个单任长度的向量叫做单位向量。
对于非零向量。
.与它同方向的单位向量叫做向量。
的单位向量，常记为。
或。
.这里有问4k1-1公式。
=间。
即向量。
等于它的模与它的单位向量的乘积。
、平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非军向量ab叫做平行向量，记作: a//b.向量的线性运算:加减法符合三角形法则(平行四边形法则)，交换律，结合律。
n个向量相加法则:使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量a，a, ...，.. 在以第一向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，此向量即为所求的和提升业绩99%的企业/个体户/服务供应商共同选择数乘向量法:规定实数1乘向量a是一个向量，记为ha。
它的模是|2a|=|l|a|。
它的方向当2>0时与a相同，当a<0时与a相反。
满足:结合律2(ua)=u(a)=(2r)a分配律(2+μ)a=Aa+μa ; 2(a+b)= a+2b向量共线定理:设向量a≠0则向量b与a共线的充要条件是:存在唯一的实数2使b=ha,依此定理得出数轴上的点与向量一一对应，进而与实数-- -对应。
推论1: b// a<存在数z使b=hayAF推论2:两个向量a与b共线的充要条件是存在不全为0的数k,1使得ka+ Ib=δ空间直角坐标系:右手规则-- -以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
高等数学教案 空间解析几何
高等数学教案空间解析几何一、教学目标1. 理解空间解析几何的基本概念和符号表示。
2. 掌握空间点、直线、平面、空间向量的坐标表示和运算。
3. 学会利用空间解析几何解决实际问题。
二、教学内容1. 空间解析几何的基本概念和符号表示空间直角坐标系点、直线、平面、空间向量的定义及符号表示2. 空间点、直线、平面的坐标表示和运算点的坐标表示直线的坐标表示和方程平面的坐标表示和方程空间向量的坐标表示和运算3. 空间解析几何的应用空间距离和角度的计算空间几何图形的位置关系空间向量的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：空间解析几何的基本概念和符号表示空间点、直线、平面的坐标表示和运算空间解析几何的应用2. 教学难点：空间向量的坐标表示和运算空间解析几何解决实际问题四、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间解析几何的基本概念、符号表示和运算方法。
2. 利用多媒体课件，展示空间几何图形的直观图像，帮助学生理解。
3. 结合实际例子，引导学生运用空间解析几何解决实际问题。
4. 布置练习题，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：空间解析几何的基本概念和符号表示2. 第二课时：空间点、直线、平面的坐标表示和运算3. 第三课时：空间向量的坐标表示和运算4. 第四课时：空间解析几何的应用（一）5. 第五课时：空间解析几何的应用（二）六、教学内容6. 空间解析几何与空间几何图形的位置关系空间两点间的距离空间直线与平面的位置关系空间直线与直线的夹角空间向量与平面的夹角7. 空间解析几何在实际问题中的应用空间中的点到直线的距离空间中的点到平面的距离空间中的直线与平面的距离空间中的直线与直线的夹角问题七、教学重点与难点1. 教学重点：空间解析几何与空间几何图形的位置关系的理解和应用空间解析几何在实际问题中的应用2. 教学难点：空间两点间的距离的计算空间直线与平面的位置关系的理解和应用八、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间解析几何与空间几何图形的位置关系的理解和应用。