两个计数原理
选修2-3第一章计数原理归纳整合
别属于不同类的两种方法是不同的方法．分步乘法计数原理的
关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标 准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续
完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才
能用分步乘法计数原理．
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【例1】 有3封信，4个信筒． (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？ (2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种
专题二
排列组合的应用
排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结 合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组 合的相关公式与方法解题．
(1)在求解排列与组合应用问题时，应注意：
①把具体问题转化或归结为排列或组合问题； ②通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
③分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
④列出式子计算并作答． (2)处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组 合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程 “分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过
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解题训练注意积累分类和分步的基本技能． (3)解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种： ①特殊元素优先安排的策略； ②合理分类和准确分步的策略； ③排列、组合混合问题先选后排的策略； ④正难则反、等价转化的策略； ⑤相邻问题捆绑处理的策略；
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要点归纳
1．两个计数原理
分步乘法计数原理与分类加法计数原理是排列组合中解决
问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原 理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题 时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目 的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一 件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原 理的关键．注意有些复杂的问题往往在分步中有分类，分 类中有分步，两个原理往往交错使用．
高中数学第六章-§6.1-第1课时-两个计数原理及其简单应用
§6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时 两个计数原理及其简单应用学习目标 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．知识点一 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法． 知识点二 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法． 思考 如何区分“完成一件事”是分类还是分步？答案 区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．1．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( × ) 2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( √ )3．在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( √ ) 4．从甲地经丙地到乙地是分步问题．( √ )一、分类加法计数原理例1 设集合A ＝{1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点位于x 轴上的椭圆有( )A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个答案 A解析 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以m >n .当m ＝4时，n ＝1,2,3；当m ＝3时，n ＝1,2；当m ＝2时，n ＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)． 延伸探究1．条件不变，结论变为“则方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点位于y 轴上的椭圆”有( )A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个答案 A解析 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以m <n ，当m ＝1时，n ＝2,3,4；当m ＝2时，n ＝3,4；当m ＝3时，n ＝4，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．2.条件变为“设集合A ＝{1,2,3,4,5}，m ，n ∈A ”，其他条件不变，有( ) A ．8个 B ．10个 C ．12个 D ．16个 答案 B解析 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以m >n . 当m ＝5时，n ＝1,2,3,4. 当m ＝4时，n ＝1,2,3. 当m ＝3时，n ＝1,2. 当m ＝2时，n ＝1.即所求的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10(个)．反思感悟 应用分类加法计数原理应注意如下问题(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．跟踪训练1 某校高三共有三个班，各班人数如下表：(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案．第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计算原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案．第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．二、分步乘法计数原理例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．问：(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？解(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步，确定a的值，共有6种方法；第二步，确定b的值，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步，确定a，由于a<0，所以有3种不同的确定方法；第二步，确定b，由于b>0，所以有2种不同的确定方法．根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为3×2＝6.反思感悟利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步．(2)计数：求出每一步中的方法数．(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．跟踪训练2从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共______个，其中不同的偶函数共________个．(用数字作答)答案18 6解析一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c 的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的二次函数3×3×2＝18(个)．若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个)．三、两个原理的综合应用例3现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．反思感悟使用两个原理的原则使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理．跟踪训练3如图，甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解要从甲地到丙地共有两类不同的方案：第1类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成：第1步，从甲地到乙地，有3条公路可走；第2步，从乙地到丙地，有2条公路可走．根据分步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有3×2＝6(种)不同的走法．第2类，从甲地不经乙地到丙地，有2条水路可走，即有2种不同的走法．由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有6＋2＝8(种)不同的走法．1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为()A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不对答案 B2．从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为() A．6 B．5 C．3 D．2答案 B3．现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为()A．7 B．64 C．12 D．81答案 C4．用1,2,3这三个数字能写出________个没有重复数字的两位偶数．答案 25．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法．答案481．知识清单：(1)分类加法计数原理．(2)分步乘法计数原理．2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：“分类”与“分步”不清，导致计数错误．1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有()A．24种B．9种C．3种D．26种答案 B解析不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法．2．图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，则不同的取法共有()A．120种B．16种C．64种D．39种答案 B解析由于书架上有3＋5＋8＝16(本)书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法．3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是()A．1 B．3 C．6 D．9答案 D解析这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个答案 C解析要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数．5．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为()A．14 B．13 C．12 D．10答案 B解析由已知得ab≤1.当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.6．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法________种．答案16解析由分步乘法计数原理得共有4×4＝16(种)走法．7．若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．答案5 6解析对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6(种)不同的方法．8．用1,2,3这3个数字可写出没有重复数字的整数有________个．答案15解析分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个；第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个．∴可写出没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个)．9．有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加．(1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？解(1)选1人，可分三类：第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法；第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法．共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法．(2)选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行：第1步，选教师，有3种不同的选法；第2步，选男同学，有8种不同的选法；第3步，选女同学，有5种不同的选法．共有3×8×5＝120(种)不同的选法．10．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？解分两类完成：第一类：当A 或B 中有一个为0时，表示直线为x ＝0或y ＝0，共有2条； 第二类：当A ，B 都不取0时，直线Ax ＋By ＝0被确定需分两步完成： 第一步，确定A 的值，从1,2,3,5中选一个，共有4种不同的方法； 第二步，确定B 的值，共有3种不同的方法． 由分步乘法计数原理，共确定4×3＝12(条)直线．由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线有2＋12＝14(条)．11．某班小张等4位同学报名参加A ，B ，C 三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A 小组，则不同的报名方法有( ) A ．27种 B ．36种 C ．54种 D ．81种 答案 C解析 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法，选C.12．(多选)已知集合A ＝{－1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则对于方程x 2m ＋y 2n ＝1的说法正确的是( )A ．可表示3个不同的圆B ．可表示6个不同的椭圆C ．可表示3个不同的双曲线D ．表示焦点位于x 轴上的椭圆有3个 答案 ABD解析 当m ＝n >0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示圆，故有3个，选项A 正确；当m ≠n 且m ，n >0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示椭圆，焦点在x ，y 轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，选项B 正确；若椭圆的焦点在x 轴上，则m >n >0，当m ＝4时，n ＝2,3；当m ＝3时，n ＝2，即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D 正确；当mn <0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6个，选项C 错误．13.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )A ．26B ．24C ．20D ．19答案 D解析因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.14．从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为()A．2 B．4 C．6 D．8答案 D解析分两类：第一类，公差大于0，有①1,2,3，②2,3,4，③3,4,5，④1,3,5，共4个等差数列；第二类，公差小于0，也有4个等差数列，即①3,2,1，②4,3,2，③5,4,3，④5,3,1.根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8(个)不同的等差数列．15．设m∈{1,2,3,4}，n∈{－12，－8，－4，－2}，则函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是________．答案11 16解析根据题意，f′(x)＝3x2＋m，又因为m>0，所以f′(x)＝3x2＋m>0，故f(x)＝x3＋mx＋n在R上单调递增，若函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点，只需满足条件f(1)≤0且f(2)≥0，所以m＋n≤－1且2m＋n≥－8，所以－2m－8≤n≤－m－1，当m＝1时，n取－2，－4，－8；当m＝2时，n取－4，－8，－12；当m＝3时，n取－4，－8，－12；当m＝4时，n取－8，－12.共11种取法，而m有4种选法，n有4种选法，则函数f(x)＝x3＋mx＋n有4×4＝16(种)情况，故函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是11 16.16．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”．解“渐升数”由小到大排列，则1在首位，2在百位的“渐升数”有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)；1在首位，3在百位，4在十位的“渐升数”有5个；1在首位，3在百位，5在十位的“渐升数”有4个，此时“渐升数”有21＋5＋4＝30(个)，因此按从小到大的顺序排列，第30个“渐升数”必为1 359.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
3.2-两个计数原理
4. 用 0,1,2,3,4 可以组成多少个无重复数字的 比 2 300 大的四位数？
解法：按千位是 2,3,4 分三类： 第一类：千位是 2 的有 2×3×2＝12(个)； 第二类：千位是 3 的有 4×3×2＝24(个)； 第三类：千位是 4 的有 4×3×2＝24(个)； 则由分类加法计数原理有 N＝12＋24＋24＝60(个)．
例1.书架的第1层放有5本不同的数学书，第2层放有3 本不同的语文书，第3层放有2本不同的英语书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2）从书架的第1、2、3层各取1本不同的书，有多少 种不同的取法？
解：（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可 分3个步骤完成：
第1步有5种方法；
第2步有3种方法；
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类 区别1 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
区别2
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
例2： 用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码？ （2）四位数？ （3）四位奇数？
（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步 骤：
第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种 不同的选取方法；
第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取 一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；
第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种 不同的选取方法；
高二培优特训：两个计数原理
培优特训：分类加法原理与分步乘法原理知识锦囊1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．4.使用分类加法计数原理时两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.5.利用分步乘法计数原理解题时三个注意点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步．分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成．考点一、分类加法原理1．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A．7种B．9种C．14种D．70种2．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是（）A．8B．10C．11D．13A．5B．8CB=，在6．已知集合{2,4,6,8,10}A=，{1,3,5,7,9}则其中m n>的数对有多少个考点二、分步乘法原理1．甲、乙分别从4门不同课程中选修1门，且2考点三、两个计数原理的综合应用．12号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、6．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了通”它把火锅分为三个层次，一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；A．108B．考点四、涂色问题A．72B．962．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法3．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有4．西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有4．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A．1050种B．1260种C．1302种D．1512种。
两个计数原理与排列、组合的基本问题
从n个不同的元素中取出m个元素 （m≤n），不考虑顺序的不同，叫 做从n个元素中取出m个元素的一 个组合。
常见问题类型及解决方法
相邻问题
不相邻问题
定序问题
分组问题
对于某几个元素要求相邻的问 题，可以先将这几个元素看作 一个整体，然后再进行排列。
对于某几个元素要求不相邻的 问题，可以先将其他元素排好 ，然后再将这几个元素插入到 空位中。
01
02
03
编码方式数量
在编码理论中，计数原理 用于计算给定信息量的编 码方式总数。
错误检测和纠正
在错误检测和纠正中，利 用计数原理可以确定给定 编码方式下可检测或纠正 的错误数量。
码字重量分布
码字重量分布问题涉及计 算给定编码方式下，具有 特定重量的码字数量，这 也需要用到计数原理。
其他领域应用举例
A(4,4)=24种排法。因此，总的排列数为2×24=48种。 • 例题2：7个人站成一排，其中甲、乙两人不能站在一起的排列数有多少种？ • 解答：先考虑7个人全排列的情况，有A(7,7)=5040种排法。再考虑甲、乙两人站在一起的情况，将甲、乙两
人看作一个整体进行排列，有A(2,2)=2种排法。再将这个整体与其余5人进行排列，有A(6,6)=720种排法。因 此，甲、乙两人站在一起的总排列数为2×720=1440种。所以，甲、乙两人不能站在一起的排列数为50401440=3600种。
02
根据选取元素的方式和限制条件 的不同，计数原理可以分为加法 原理和乘法原理两大类。
加法原理与乘法原理
加法原理
如果完成一件事情有n类方法，第一类方法有m1种不同的方式， 第二类方法有m2种不同的方式，……，第n类方法有mn种不同 的方式，那么完成这件事情共有m1+m2+…+mn种不同的方法。
计数原理知识梳理-2024届高三数学一轮复习
计数原理知识梳理一、两个原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．推广：如果完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，…，在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：N ＝m 1＋m 2＋…＋m n ．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．推广：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…,做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：N ＝m 1×m 2×…×m n ．(1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏； ②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复； ③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法． 5.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件． (3)对完成各步的方法数要准确确定． 6. 应用两种原理解题要注意 (1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； (3)有无特殊条件的限制； (4)检验是否有重漏．7.与两个计数原理有关问题的解题策略(1)在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理. (2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．二、排列与组合 1.排列；如果与顺序无关，则是组合． 2.排列数、组合数的定义、公式、性质全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，全排列数公式：所有全排列的个数，即(1)(2)21!nn A n n n n =⨯-⨯-⋅⋅⋅⨯⨯=．3.排列、组合问题的求解常用方法与技巧解排列组合综合问题，先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，具体有下面几种常用方法： (1)特殊元素或特殊位置优先法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．优先安排．(2)相邻问题捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列． (3)相间问题插空法：对不相邻问题，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．(4)定序问题倍除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． (5)多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理． (6)分球问题隔板法：相同元素的分配问题常用“隔板法”,每组至少一个．(7) 分组分配问题的策略：对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑．对于整体均分，分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．对于部分均分，若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！．(8)间接法：正难则反、等价转化的方法，比如“至少”或“至多”含有几个元素的题型． 三、二项式定理 1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝(n ∈N *)，等号右边的式子称为()na b +的二项展开式．(2)通项公式：T k ＋1＝ ，它表示第 项；注意：(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题． 2.二项展开式的特征：（1）二项展开式共有 项；（2）二项式系数依次为组合数012,,,,,,knn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅；（3）各项次数都等于二项式的幂指数n ；（4）字母a 的指数由n 开始按降幂排列到0，b 的指数由0开始按升幂排列到n ． 注意：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是特指相应的组合数C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关． 3.4.(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝ .(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝ .5.求二项展开式中特定项(或系数)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项T k ＋1＝C k n a n －k b k，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k ；第三步，把k 代入通项中，即可求出T k ＋1，有时还需要先求n ，再求k ，才能求出T k ＋1或者其他量． 6.求三项展开式中某些特定项(或系数)的策略(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．7.二项式定理中的字母可取任意数或式，在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.8.二项展开式中系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，注意解出k 后要检验首末两项．。
计数原理
第一章．计数原理一．两个基本计数原理分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…..在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+….mn种不同的方法。
分布计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1个有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，….做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+….+mn种不同的方法。
二．排列一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。
排列数三．组合一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合数㈠简单问题直接法例一．某班级有男生40人，女生20人，⑴从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？60⑵从中任选男女各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？800例二．五名学生报名参加思想体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？1024例三．七个人做两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，有多少种不同的坐法？5040㈡相邻问题捆绑法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法720⑵若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，则有多少种排法288㈢不相邻问题插空法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要互不相邻，有多少种排法1440⑵若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种排法144例二．8张椅子排成一排，有四个人就坐，每个人一个座位，恰有3个连续的空位的做法共有几种480例三．5名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有几种例四．七人排成一排，甲乙两人必须相邻，且甲乙都不与丙相邻，则有不同的排法几种？960㈣特殊元素或特殊位置的优先考虑例一．4个男生，3个女生排队，⑴甲不站中间也不站两端，共有多少种排法？2880⑵甲乙中间至少有2个人，有多少种排法2400⑶甲必须在已的右边，有多少种排法2520例二．从6人中选出4人分别到莨山，韶山，衡山，张家界4个旅游景点游览，要求每个景点只有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲不去衡山景点，乙不去韶山景点，则不同的安排方法有几种252例三．从6名运动员中选出4人参加4*100米接力，⑴若甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则有多少种排法252⑵若甲乙都不跑第一棒，则有多少种排法240⑶若甲乙不跑中间两棒，则有多少种排法144例四．将五列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道，b列车不停在第二轨道，那么不同的停车方法有几种78例五．要排出某一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术，6门课各一节的课程表，要求数学课排在前三节，英语课不排在第六节，则不同的排法有几种？288㈤涂色问题例一．在矩形的绿地四角各方一盆花，现有6种不同颜色的花，若要求同一边的两端摆放不同的颜色，则不同的摆放方式有多少种630例二．将三种作物种在5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法有多少种□□□□□42例三．在田字格中用四种颜色涂，要求相邻的格子颜色不能相同，有多少种不同的涂法㈥几何问题例一．平面内有12个点，任何3点不在同一直线上，以每3点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形220例二．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得到多少个不同的三角形216例三．∠A的两条边除A点分别有3给点和四个点，则有这些点，共能构成多少个不同的三角形42例四．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作为三角形，其中直角三角形有多少个？48例五．共有11层台阶，一个人可以一次走一个台阶或两个台阶，⑴若他恰在第七步走完，共可以有多少种走法35⑵若他要在7步内走完，共可以有多少种走法41例六．甲乙丙3人到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上得人不区分站的位置，则不同的站法有几种？例七．某市有7条南北向街道，5条东西向街道，⑴图中共有多少个矩形210⑵从A点到B点最短路线的走法有多少种？210㈦分组分配例一．对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有几种可能576例二．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案有几种？90例三．从7名男运动员和5名女运动员中，选出4名进行男女混合双打乒乓球比赛，则不同的配组方法有几种420例四．共有8个人，其中6个人会英语，有5个人会法语，现从中选出6个人，3个人翻译英语，3个人翻译法语，共有多少种可能？55例五．若7个人身高都不同，从中取出6人，站成2排，每排3人，要求每一列前排比后排的人矮，共有几种站法？630㈦至多至少恰好间接法例一．袋中有5双不同的鞋子，从中取出4只⑴恰好有2双，共有几种可能？10⑵恰好有2只成双，共有几种可能120⑶至少有2只成双，有几种可能130⑷每只都不成双，有几种可能？80例二．将7名学生分配到甲乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方式有几种？112例三．设有编号12345的五个球和编号为12345的五个盒子，现将五个球放入盒子内，要求每个盒子内放一个球，⑴若恰有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法有几种20⑵若至多有两个球的编号与盒子相同，则这样的投放方法有多少种？109三个人站成一排，要调整位置，每个人都不站在自己的位置上，有2种方法。
(完整版)两个计数原理与排列组合知识点及例题(最新整理)
m
1
mm
1
2m
1n
m
1
m
n!
1!n
m
1 ! n
2n
1
m
n 1 !n
2!
m
1 !
C m1 n2
右
另法：利用公式
C
m n
Cm n1
C
m1 n1
推得
左
C m1 n
C nm
C
m n
C m1 n
C m1 n1
Cn n1
C m1 n2
右
点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质
并列需要分类计算
解：（1）A 中每个元都可选 0,1,2 三者之一为像，由分步计数原理，共有 3 3 3 3 34 个不同
映射
（2）根据 a, b, c, d 对应的像为 2 的个数来分类，可分为三类：
第一类：没有元素的像为 2，其和又为 4，必然其像均为 1，这样的映射只有一个；
第二类：一个元素的像是
（1）6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人； （2）6 名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾； （3）从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒； （4）6 人排成一排，甲、乙必须相邻； （5）6 人排成一排，甲、乙不相邻； （6）6 人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）
根据分类计数原理和点 A 共面三点取法共有 3C53 3 33 种
（2）取出的 4 点不共面比取出的 4 点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取 4 点（ C140
例 1 完成下列选择题与填空题
两个计数原理及其简单应用 课件
分步乘法计数原理的应用 [典例] 从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整 数，则分别满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位数的偶数． [解] (1)三位数有三个数位， 百位 十位 个位 故可分三个步骤完成： 第 1 步，排个位，从 1,2,3,4 中选 1 个数字，有 4 种方法； 第 2 步，排十位，从剩下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法；
两个计数原理及其简单应用
1．分类加法计数原理
2．分步乘法计数原理
[点睛]
两个原理的区别
区别一 区别二
每类方法都能独立完 成这件事．它是独立 的、一次的且每次得 到的是最后结果，只 需一种方法就完成
任何一步都不能独立 完成这件事，缺少任 何一步也不可，只有 各步骤都完成了才能 完成这件事
各类方法之间是互斥 的、并列的、独立的
法二：分析个位数字，可分以下几类： 个位是 9，则十位可以是 1,2,3，…，8 中的一个，故共有 8 个； 个位是 8，则十位可以是 1,2,3，…，7 中的一个，故共有 7 个； 同理，个位是 7 的有 6 个； …… 个位是 2 的有 1 个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 8＋7＋6＋5 ＋4＋3＋2＋1＝36(个)． [答案] 36
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
两个计数原理的简单综合应用
[典例] 在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋， 有 2 名会下围棋但不会下象棋，另 2 名既会下象棋又会下围棋， 现在从 7 人中选 2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少 种不同的选法？
[解] 选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的 3 人中选或在既会下象棋又会下围棋的 2 人中选；选参加围棋比 赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的 2 人中选或在既会下象 棋又会下围棋的 2 人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．
计数原理及举例
计数原理及举例一、两个原理：1．加法原理。
一般地，如果完成一件事情需要n 类办法，在第一类办法中，有1m 种不同方法，在第二类办法中有2m 种不同方法，…，在第n 类办法中，有n m 种不同方法。
那么完成这件事共有n m m m +++ 21种方法。
上述原理称为加法原理。
2．乘法原理。
如果完成一件需要n 个步骤，做第一步有1m 种方法，做第二步有2m 种方法，…，做第n 步有n m 种方法，那么完成这件事共有n m m m ⨯⨯⨯ 21 种方法。
上述原理称为乘法原理。
让我们来看一个简单的例子。
如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路，从丁地到丙地也有3条路。
问：从甲地到丙地共有多少种不同的走法？此题中，首先可根据加法原理，把从甲到丙的走法分为两类。
① 由甲过乙至丙，② 由甲过丁至丙。
而这两类办法中，都需要两个步骤，要应用乘法原理来算，最后总的方法为： 2×4+3×3=17（种）。
下面让我们来看几个具体的题。
例1：有一堆火柴共12根，如果规定每次取1~3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？此题要用到加法原理：要拿第n 根火柴，可以从第（n-3）、（n-2）及（n-1）根三种基础上来考虑。
如果拿第(n-3)根有a 种办法，拿第（n-2）根有b 种办法，拿第(n-1)根有c 种办法，因此拿第n 根共有（a+b+c ）种办法。
因此只要知道拿1根、2根、3根的火柴数就可以得到具体的种数。
1，2，4，7，13，24，44，81，149，274，504，927，…例2：从2，3，4，5，6，10，11，12这八个数中，取出两个数组成一个最简真分数，共有多少种取法？此题显然是根据分子或分母的情况来分类，最后种数为15种。
例3：在下图中，从A 点沿实线走最短路径到B 点，有多少种走法？甲 乙 丁丙AB P35种，可从图上逐个标注数字，除左边和下边都是1外，其余每个点的种数在计算时都是一个加法原理的应用。
两个计数原理说
分步乘法计数原理是组合数学中的基本原理之一，用于计算完成一件事情的不同方法的数量。它基于将整个过程 分解为一系列的步骤，并计算每个步骤的不同方法的数量，然后将这些数量相乘，得到总的不同方法数。
应用场景
排列组合问题
排列组合问题中经常需要使用分 步乘法计数原理来计算不同排列
或组合的数量。例如，计算从 $n$个不同元素中取出$k$个元
算法设计
在算法设计中，两个计数原理可以用 于优化算法的时间复杂度和空间复杂 度。
THAБайду номын сангаасKS
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两个计数原理的区别与联 系
区别
应用场景不同
两个计数原理的应用场景不同。乘法原理主要应用于多步 骤、多因素的问题，而加法原理则更适用于单一事件或步 骤的计数问题。
计算方式不同
乘法原理是采用连续相乘的方式，考虑每一步的选择方式 数量，然后相乘得出总数。而加法原理则是将各个独立事 件的发生概率直接相加。
02
分步乘法计数原理
定义
定义
分步乘法计数原理是指完成一件事情，需要分成$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有 $m_2$种不同的方法，……，做第$n$步有$m_n$种不同的方法，则完成这件事情共有$N=m_1 times m_2 times ldots times m_n$种不同的方法。
的问题，可能需要同时使用这两种原理来解决。
03
共同点
两个计数原理都基于概率的思想，都是用来计算事件发生的可能性。无
论是采用乘法原理还是加法原理，都需要对事件的独立性和互斥性有清
晰的认识。
04
两个计数原理的应用
在组合数学中的应用
排列组合计算
两个计数原理优秀课件
排列问题
排列是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列的问题。排列数表示为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n×(n-1)×...×(n-m+1)。
组合问题
组合是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），不考虑顺序的问题。组合数表示为C(n,m)，计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
练习题2
一个骰子有6个面，分别标有数字1-6，求掷出偶数点的概率？
解析2
在解决概率问题时，需要先明确问题的条件和要求，然后根据概率的基本概念和公式进行计算。
概率计算练习题及解析
总结词
练习题3
解析1
解析2
练习题2
练习题1
掌握决策的基本原则和方法
一个公司有5个项目需要投资，每个项目的投资额和收益率都不同，如何分配资金才能使得总收益率最大？
01
02
03
04
两个计数原理的发展趋势与展望
THANKS.
排列组合练习题及解析
总结词
理解概率的基本概念和计算方法
练习题3
一个硬币有两面，正面和反面，掷一次出现正面的概率为多少？
练习题1
一个袋子中有5个红球和3个蓝球，从中随机取出3个球，求取出红球数的概率？
解析1
概率的计算公式为$P(A) = frac{有利于A的基本事件数}{全部可能的基本事件数}$。通过这个公式可以计算出不同情况下概率的大小。
分类计数原理定义
分类计数原理在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，例如在排列组合、概率论、统计学等领域都有涉及。
分类计数原理的应用
例如，从A地到B地有3种交通方式，每种方式都有各自的路线和费用，则从A地到B地的总路线和总费用就是三种交通方式路线和费用的总和。
§1.1两个计数原理
种不同的方法．
例1
某班共有男生28名,女生20名,从该班选出学 生代表参加校学生代会.
(1)若学校分配给该班1名代表,有多少种不同的选
法?
(2)若学校分配给该班2名代表,且男,女生代表各1
名,有多少种不同的选法?
例2(1)：在由电键组A与B所组成的并 联电路中，只合上一只开关以接通电路,使 电灯发光的方法有多少种？
(3)密码为4到6位,每位均为0到9这10个数字
中的一个,这样的密码共有多少个?
例4
用4种不同颜色给如图所示的地图上 色,要求相邻两块涂不同的颜色,共有多少种 不同的涂法?
分层训练
必做题:
P9 选做题:
练习 2,3,4,5
1,用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数? 2,用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字 的4位奇数?
人们在社会生活的各个方面都常需要进行计数 比如:(1)电话号码的编排;
(2)密码的设定;
(3)彩票的设计; (4)集成电路的布线安排; (5)计算机的程序编制等
某市目前汽车牌照的号码使用2个英文字
母 后接4个阿拉伯数字的方式构成(其中第一个字 母是固定不变的),那么可能的汽车牌照号码共 有多少个?估计该市到2008年汽车保有量将达 到1000000辆,到时怎样调整汽车牌照号码的构 成方式,就可以满足需要了?
N m1 m 2 m n
种不同的方法．
问题二：从甲地到乙地，要从甲地选乘火 车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一 天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中， 从甲地到乙地共有多少种不同的走法 ？
这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘 火车或汽车中的任何一种车、后乘汽车两个步骤， 才能从甲地到乙地．
完整版两个计数原理
两个计数原理两个计数原理1•分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m i种不同的方法, 在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N m i m2 L 种不同的方法•例从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有____________ 种练习一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有 _种.2•分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m i种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N m1 m2 L m*种不同的方法•例1一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种不同的选法•例2 一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有种•练习1从分别写有0,1，2，3，…，9十张数字的卡片中，抽出两张，数字和为奇数的卡片共有种不同的抽法。
数字和为偶数的卡片共有种不同的抽法•练习2从1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x) ax2 bx c 的系数，可组成不同的二次函数共有—，其中不同的偶函数共有个.18,63两个原理的综合应用例1如图10-1-2所示，从A地到B地有3条不同的道路,从B地到C地有4 条不同的道路，从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路.（1）从A地到C地共有多少种不同的走法？（14）（2）从A地到C地再回到A 地有多少种不同的走法？（196）⑶从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时不同的道路，有多少种走法？（182）⑷从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时完全不同的道路，有多少种走法？（122）例2如下图的街道上，从A到B不走回头路，则有n i& 11不同的走法.（15）例3某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元. 某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29 中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花_____________________ 钱•（2100）练习1如图，从A C有___________ 种不同走法•（6）练习2在3000到8000之间有_______ 无重复数字的奇数.（1232个）分两类；一类是以3、5、7为首位的四位奇数，可分三步完成：先排首位有 3 种方法，再排个位有4种方法，最后排中间两个数位有8 X7种方法，所以共有 3 X4 X8 X7=672 个.另一类是首位是4或6的四位奇数，也可以3步完成，共有2 X5 X8X7=560个•由分类计数原理得共有672+560=1232 个.练习3有一角、二角、五角人民币各一张，一元人民币3张，五元人民币2张，一百元人民币2张,由这些人民币可组成_____ 中不同的非零币值.（287 ）练习4用0, 1，2，3，4，5可以组成—无重复数字且比2000大的偶数（120）.涂色问题 例1如图：某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中 A 、B 、C 、D 每一部分只写一种 颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有1 -------A―i1------------* B 斗一CD例2如图，用4种不同的颜色涂入 图中的矩形A ，的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）A练习1如图所示，用五种不同的颜色，给图中标有①，②，③，④的各个部分涂色,每部分只能涂一种颜色，且相邻部分要涂不同色，那么不同涂色的方法种数为 _____ （240 ）种（180）A . 72 种B . 48 种C . 24 种D . 12 种例2有5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有种可能.练习2用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色,(260)□ □ □练习3将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的五个区域内，要求相邻三 模型法（投信法） （1）可重复问题例1有5名同学报名参加4个课外活动小组，若每人限报1个，共有 _ 中不 同的报名方法•若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有种不同的涂色方法的两个区域的颜色都不相同，贝U 不同的涂色方法有种例1将三封信投入4个邮箱，不同的投法有_________ 种.例2有3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有____ 中不同的报名方案•例3有数学、物理、文学3个课外活动小组,6个同学报名，每人限报一组，一共有种报名的方法•（2）无重复问题例1把4张不同的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完, 则不同的分法共有种•练习1五个工程队承建某个工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项, 其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有___种.（96）练习2从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4中蔬菜中选3中，分别种在不同土质的三四间接法和排除法例1已知集合A a i ,a 2,a 3,a 4以集合B bb ， 合B 为值域能构成 _____ 不同函数•（ 14）例2从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数, 数，可得到 ____ 个不同的对数值.（17）块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法有种.（18）则以集合A 为定义域，以集分别作为对数的底数和真练习 1 用数字2，3组成四位数，且数字 2 ，3至少都出现一次，这样的四位数共有____ 个.（14 ）练习 2 用0，1，L ，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数个数为（252）。
两个计数原理
分析：整个模块的任 意一条路径都分两步 完成：第1步是从开 始执行到A点；第2步 是从A点执行到结束。 而第步可由子模块1 或子模块2或子模块3 来完成；第二步可由 子模块4或子模块5来 完成。因此，分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径 A
4 44 4＝4100 种不同的RNA分子.
100个 4
例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计 算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一 个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位，每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个 汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用 多少个字节表示？ 如00000000，10000000， 11111111.
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
答：最多可以给1053个程序命名。
例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？
两个计数原理公开课(涂色很好)
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分类计数原理在生活中的应用
例如，从北京到上海有3种交通方式（飞机、高铁、汽车）， 每种交通方式又有多种选择（如飞机有多个航班），选择任 意一种交通方式到达上海的方法数就是各种交通方式方法数 的和。
分步计数原理的应用
分步计数原理（乘法原理）
当完成一件事情需要两个或多个连续步骤，且各个步骤相互依赖时，完成这件 事情的方法数等于各个步骤的方法数之积。
两个计数原理公开课
目录
• 两个计数原理的概述 • 两个计数原理的应用 • 两个计数原理的实例解析 • 两个计数原理的练习题及答案 • 总结与展望
01
两个计数原理的概述
分类计数原理
分类计数原理定义
分类计数原理也称为加法原理，是指 完成一件事情，需要分成$n$个类， 第一类有$n_1$种不同的方法，第二 类有$n_2$种不同的方法，以此类推 ，第$n$类有$n_n$种不同的方法， 则完成这件事情共有 $N=n_1+n_2+...+n_n$种不同的方 法。
在工作方面
分类计数原理可用于计算完成一个项 目所需的不同技能的人数，而分步计 数原理可用于计算完成一个任务所需 的各个流程的人数。
03
两个计数原理的实例解析
分类计数原理实例解析
总结词
简单明了地列举了分类计数原理的实例。
详细描述
分类计数原理是指将一个复杂问题分解为若干个简单、独立的问题，分别解决后再汇总结果。例如，一个班级有 30名学生，需要组织一次春游，可以选择多种交通方式，如公交车、地铁、出租车等。根据分类计数原理，可以 分别计算每种交通方式的费用和时间，然后比较选择最优方案。
分步计数原理在计数问题中应用广泛， 例如在排列组合、概率论、统计学等 领域都有应用。
两个计数原理
思维升华
分类标准的选择 (1)应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.根据题目 特点恰当选择一个分类标准. (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一 类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能 重复，但也不能有遗漏.
跟踪训练1 (1)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有
教师备选
1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋 友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
√ A.4种 B.10种 C.18种 D.20种
依题意得，可能剩余一本画册或一本集邮册两种情况. 第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种； 第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有 C24 ＝ 6(种). 因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种).
延伸探究 若甲的车牌尾数为9，他的四位同事的车牌尾数分别为0,2,1,5， 其他条件不变，则不同的用车方案有多少种？
由题意，从5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日， 第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4(种)不同 的选择； 第二步，安排奇数日出行，可分为两类：(1)选1天安排甲的车，共有 3×2×2＝12(种)不同的选择；(2)不安排甲的车，每天都有2种选择， 共有2×2×2＝8(种)不同的选择，综上可得，不同的用车方案种数为 4×(12＋8)＝80.
(2)(多选)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是
√A.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种
B.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种
√C.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有33种
两个计数原理的应用知识点
两个计数原理的应用知识点1. 二进制计数原理•二进制计数是一种使用只有两个数字0和1的数字系统。
•二进制计数系统是计算机中最常用的计数系统之一。
•二进制计数原理是基于权值计数的，每一位的权值是2的指数值。
1.1 二进制加法•二进制加法是在二进制计数系统中进行加法运算的方法。
•在二进制加法中，当两个位数相加为0时，结果位为0；当两个位数相加为1时，结果位为1；当两个位数相加为2时，结果位为0并向前一位进位1。
1.2 二进制减法•二进制减法是在二进制计数系统中进行减法运算的方法。
•在二进制减法中，当被减数位大于减数位时，结果位为1；当被减数位等于减数位时，结果位为0；当被减数位小于减数位时，需要向前一位借位。
1.3 二进制位运算•二进制计数系统中有一些特殊的位运算操作，如与（AND）、或（OR）、非（NOT）、异或（XOR）等。
•位运算可以对二进制数据进行快速、高效的操作。
2. 十进制计数原理•十进制计数是我们常见的十个数字0-9的计数系统。
•十进制计数原理是基于权值计数的，每一位的权值是10的指数值。
2.1 十进制加法和减法•十进制加法和减法是在十进制计数系统中进行加法和减法运算的方法。
•十进制加法和减法与二进制加法和减法类似，根据位数的相加或相减进行计算。
2.2 十进制乘法和除法•十进制乘法和除法是在十进制计数系统中进行乘法和除法运算的方法。
•十进制乘法和除法与二进制乘法和除法类似，根据位数的相乘或相除进行计算。
2.3 小数计算•十进制计数系统还包括小数的计算方法。
•小数计算通过十进制点的位置来确定权值，根据位数的相加、相减、相乘或相除进行计算。
总结•二进制计数原理和十进制计数原理是计算机科学中非常重要的基础知识。
•了解和掌握二进制计数原理和十进制计数原理可以帮助我们更好地理解和使用计算机。
•通过学习和应用这些知识点，我们可以更加高效地进行二进制和十进制的计算和处理任务。
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寒假练习1(两个计数原理)
例：1.从A 村到B 村的道路有3条，从B 村到C 村的道路有2条，从A 村经B 村到C 村，不同的线路种数是
2.设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
3.从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确
定不同点的个数是_ __；
例：1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
（1） 从书架中任意取一本书，有多少种取法？
（2） 从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
2.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问： （1）从中任选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？
（2）从3个年级的学生各选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？
分类计数原理分步计数原理区别:
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 1.某农场为了考察3个水稻品种和5个玉米品种的质量,要在土质相同的土地上进行实验,每个品种安排一个块实验，应安排的实验区共有 ( )
A.8块
B.15块
C.35块
D.53
块
2.某乒乓球对有男运动员5人,女运动员6人,从中选派2人参加男女混双比赛,共有 种不同的选法.
3.从0,1,2,3,4,5,6,7七个数中任取两个数相乘,使所得的积为偶数,这样的偶数共有 ( ) 个.
A.18
B.9
C.12
D.16 4.设*
,
N
y x ∈,且x+y ≤4,则直角坐标系中满足条件的点M(x,y)共有 ( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
5.从1～9九个数字中任取两个数字组成两位数,若这两位数的数字不允许重复,则可得到 个不同的两位数; 这两位数的数字允许重复, 则可得到 个不同的两位数.
6.平面
∂内有A,B 两点,平面β内有M,N,P 三点,以这些点为顶点,最多可以作 个
三棱锥.
7.用红,黄,绿,蓝4种不同的颜色涂入 图中四个区域内,要求相邻区域的
涂色不相同,则不同的涂色方法共有 种.
8.已
知集
合A=
A
n m x Z x x ∈≤≤-∈,},102,|{,方程
12
2
=+n
y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆,则这样的椭圆共有( )个. A.45 B.55 C.78 D.91 9.从2,3,4,5,6五个数中,任取两个数分别做对数的底数与真数, 可以得到 个不同的对数值.
10.今有2个红球,3个黄球,同色球不加以区分,将这5个球排成一列有 种不同的方法. 11.某学校开设了文科选修课3门,理科选修课4门,实验选修课2门,有位学生要从中选学不同科的两门,共有多少种不同的选法?
12.(1)有4名学生报名参加数学,物理,化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法? (2)有4名学生争夺数学,物理,化学竞赛的冠军, 可能有多少种不同的结果?
(3) 有4名学生报名参加数学,物理,化学竞赛,要求每位学生最多参加一项竞赛,且每项竞赛只允许有一名学生参加, 可能有多少种不同的结果?
13.某城市的电话号码为八位数,且首位不为0. (1)该市电话用户的最大容量为多少门?
(2)电话号码中出现重复数字的最多有多少门?
1．某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队总数有( )
A ．11
B ．30
C ．56
D ．65
2．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A ．56 B ．65
C.5×6×5×4×3×22 D ．6×5×4×3×2
3．某学生在书店发现四本好书，决定至少买其中的一本，则购买方式有( ) A ．4种 B ．6种 C ．15种 D ．12种
4．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( ) A ．14 B ．16 C ．20 D ．48
5.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）
A.24
B.3
4 C.
43
D.4
6.甲、乙、丙三个电台，分别有3、4、4人，新年中彼此祝贺，每两个电台的人都彼此一一通话，那么他们一共要通话( )
A ．40次
B ．48次
C ．36次
D ．24次。
7.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示五个盒子中。
要求每个盒子
只能放一个小球，且A不能放1，2号，B必须放在与A相邻的盒子中。
则不同
的放法有（）种
A.42
B.36
C.32
D.30
8.一只青蛙在三角形ABC的三个顶点之间跳动，若此青蛙从A点起跳，跳4次后仍回到A 点，则此青蛙不同的跳法的种数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
9.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．
11．从集合{1,2,3}和{1,4,5,6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数________个．
12．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形有____个．
三、解答题
13．某校高二共有三个班，其各班人数如下表：
(1)
(2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
14．将下图中A,B,C,D,E各区域染色，要求每块区域只染一种颜色，相邻区域颜色不同，现有5种颜色可供选择，共有几种染色方案？
D
B
A
C E。