大学物理,波动

2 y t 2
u2
2 y x 2
对于t 和x 都是线形的，若：y1 和y2是该方程的解，则y1 +y2也是方程的解。
因此，波的叠加原理与方程的线性密切相关。
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二、波的干涉
１.波的干涉 两束叠加的波在交迭区域某些点处振幅始终最大，另一些位置振幅始
终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变.称这种稳定的
x dE dV A sin t u
2 2 2
（3）
由（3）式可知：某体元的总能为空间和时间的函数。 注意：波动过程中体元势能是由于体元的形变而为体元所有。
13
4. 能量密度 单位体积媒质所有的能量, 用ε 表示，由（3）式知：
x A sin t dV u dE
x 1 cos 2 t dt u
（4）
14
二、平均能流密度、波的强度
媒质中体元的能量由振动状态决定，而振动状态又以波
动传播，所以能量也以波速传播。现取波面上一面元 ds ， 则在一周期内体积为uTds的柱体内的能量均得流过该面元， 流过的能量为： uTds ，则：单位时间通过单位面积的能量：
2
y
A
x
又因为横波： u横
N

，所以有：
x dE p dV A sin t 2 u 1
2 2 2
（2’）
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(1)和(2’ )式比较，得： dE p dE k 。
即：体元的动能和势能具有相同的数值，同时达最大或最小。 3. 总能 由前面讨论，某体元的总能等于两者之和，即：
四、 平面简谐波方程的多种形式：
y A cos t kx x y A cos[2 t ] x y A cos[2 t ] u
例题 图（1）、图（2）分别表示 t=0 和 t=2s 时的某一平面简谐波的 波形图，试写出此平面简谐波方程。
（1）
4
x y A cos[ t ] u
其中，u 为振动状态传播的速度，叫波速，也叫相速。⑴式就是平面简
谐波方程。
动沿x 轴负方向传播，则波动方程为：
x 从⑴式看出：x 处质元的振动比原点处的质元落后 。若：波 u
x y ( x, t ) A cos[ t ] u
2. 应用 : t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
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t 时刻波面
· · · · ·
t+t时刻波面
波传播方向
t + t
· ·· · · · · t · · · ·· · ·
ut 平面波
球面波
3. 不足 二. 波的衍射 1. 现象 波传播过程中当遇到障碍物时,能 绕过障碍物的边缘而传播的现象。
x dEk dVv dV A sin t 2 2 u 1
2 0
1
2
2
2
（1）
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2. 势能 又由
x dy sin t dx y x u u O y 体元的剪切应变为： ，所以：体元剪切应变势能为： x
y 1 2 A2 x 2 dE p NdV NdV sin t （2） 2 2 2 u x u 1
例如：一根均匀柔软的细绳的振动，形成的波就是横波。 2.纵波：媒质中各体元振动的方向与波传播的方向平行。 例如：空气中的声波，空气中体元时而靠近，时而疏远。 3.表面波：在两中媒质的界面上传播的波。例如：水面波。
波的产生
2
5.波面：波传播时，同相位各点所组成的面。 6.波前：离波源最远，即“最前方”的波面。 7.波射线：与波面垂直且表明波的传播方向的线叫波射线。 8.平面波：波前为平面的波。波线是互相平行的。 9.球面波：波前为球面。点波源在均匀的和各向同性媒质中
的位移，即t时刻的波形。 由⑴可知：x 处体元振动的周期、频率和圆频率：
T
2
注意： 不一定是振动系统的固有频率而取决于波源频率，所以⑴中的形式 不意味着各体元作简谐振动。
6

,
1 T
, 2
x y ( x, t ) A cos[ t ] u
（2）
由⑵知：t 一定时，y 是x 的周期函数，也存在空间位置上的周期，波长
uT
u

（3）
即：波长是波在一个周期内传播的距离； 或，沿波传播方向相邻同相位两点间的距离。 另外，由空间位置的周期性可知：
x x t0 t0 2 u u
W
m2
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例题 一球面波，不计媒质吸收的能量，设波面S1、S2，
对应的平均能流密度为 I1、I2 ，则：单位时间内通过 不同波面的能量相同，即：
I1 S1 I 2 S2
I1 4r12 I 2 4r22 I1 I2 r2 r1 r22 r
2 1 利用（ 式 5 ）

y y1 y2 A cos(t kx ) A cos(t kx ) ( 2 A cos kx ) cos t
将 k
2

代入上式得：
2 y 2 A cos x cos t
（1）
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3. 举例
半波损失 ：波从波疏媒质垂直入射到波密媒质,反射波在边界处引起的
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2. 作图 比较两图
可用惠更斯原理作图
· a · ·
·
★ 如你家在大山后,听广播 和看电视哪个更容易? (若广播台、电视台都在山前侧) 三.波的反射和折射 1. 波的反射 (略)
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2. 波的折射
用作图法求出折射波的传播方向 BC=u1(t2-t1) AE=u2(t2-t1)
媒质1
B t1 i1 A· i2 E
y A cos(t )
其中：y 为体元距平衡位置的位移，A 、ω为波源的振幅和圆频率。 经时间
t x / u，x =0处体元的振动状态传到位于x 处的体元，即：t 时刻，
时刻处体元的振动状态一样，则x 处体元
位于x 处的体元的振动状态应与 t x / u 的运动学方程为：
x y A cos[ t ] u
§1 波的基本概念
波是振动状态的传播
波动——是振动(相位)的传播，简称波. 振动 机械振动 电磁振动 波 机械波 电磁波
机械波产生的条件： 振源和弹性介质. 弹性介质——由弹性力组合的连续介质. 弹性力 正弹性力(压、张):液体、气体、固体 切弹性力 固体
1
1.横波：媒质中各体元振动的方向与波传播的方向垂直。
uT
u

7
定义： k

u
，称为波数：
T 2 k u
Hale Waihona Puke （4）2 表示 1 表示单位长度上的波数，而 k 2 长度上波的数目。 、 k
都描述平面简谐波的空间周期性。 3. 联系平面简谐波的空间周期性与时间周期性的公式：
u
（5）
8
18
I/Wm-2 100 10-2 10-4 10-6 10-8 10-10 10-12
L/db
120 100 80
痛阈
60
40
语言区域
20 0 20
闻阈
/HZ
100 500 1000 5000 10000
19
（红线为等响度线）
声 源
声强/W m-2 1 1 10-2 10-5 10-6 10-10 10-11 10-12
· ·
C
媒质2
t2
由图有 波的折射定律
sin i1 u1 sin i2 u2
折射波传播方向
i1--入射角, i2--折射角
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§5 波的叠加和干涉 驻波 一、波的叠加
波的叠加原理：两列波相独立的传播，在两列波相遇处体元的位移等于
各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。
波的叠加原理
理论上解释：因波动方程
分震动比入射波在此引起的分振动在相位上落后 半个波长，故这种现象称半波损失。 ，即：波传播中此处相距
发生的波是球面波。波线是相交于波源的直线。 波线
波线 波面 波面
3
§2 平面简谐波
一、 平面简谐波
平面波传播时，媒质中体元均按正弦（或余弦）规律运动。
二、 平面简谐波方程（从运动学角度考虑）
描述不同时刻不同体元的运动状态。
设：一列平面简谐波沿x 轴正向传播，选择原点x =0 处体元相位为0的时刻为计 时起点，即该体元的相位为零，则 x =0处体元的运动学方程：
（2）
x ⑵式可以看出：x 处质元的振动超前于原点处的质元 u
。
5
三、 平面简谐波方程的物理意义
1. 当 x一定时， A cos[ t x ]表示x处质元的振动方程，初位 y
相是 x 。 u
u
2.
x y 当t一定时， A cos[ t ] 表示t时刻各个质元偏离平衡位置 u
声强级/dB 120
引起痛觉的声音 炮
铆 钉
声
机
120 100
70 60 20 震耳
交通繁忙的亍道
通常谈话 耳 语 树叶沙沙声 引起听觉的最低声音
响
正常
轻
极轻
10
0
20
§4
惠更斯原理
一. 惠更斯原理 1. 原理 : • 媒质中波传到的各点,都可看作开始发射 子波的子波源 (点波源)。
• 在以后的任一时刻, 这些子波面的包络 面就是实际的波在该时刻的波前 。