微积分
高等数学微积分公式
高等数学微积分公式高等数学微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
在微积分的学习中，我们需要掌握许多公式，在处理函数的变化过程中起到了非常重要的作用。
下面是高等数学中常见的微积分公式。
一、导数公式1.常数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} C=0\]其中C为常数。
2.幂函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} x^{n}=nx^{n-1}\]其中n为常数。
3.自然指数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} e^{x}=e^{x}\]4.对数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}\]5.三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin(x)=cos(x)\]\[\frac{d}{dx} cos(x)=-sin(x)\]6.反三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\] \[\frac{d}{dx} cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]7.复合函数的导数公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\]二、微分公式1.常数函数的微分公式：\[d(C)=0\]其中C为常数。
2.幂函数的微分公式：\[d(x^{n})=nx^{n-1}dx\]其中n为常数。
3.指数函数的微分公式：\[d(e^{x})=e^{x}dx\]4.三角函数的微分公式：\[d(sin(x))=cos(x)dx\]\[d(cos(x))=-sin(x)dx\]5.反三角函数的微分公式：\[d(sin^{-1}(x))=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]\[d(cos^{-1}(x))=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]6.复合函数的微分公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[dy=\frac{dy}{du}\times du\]三、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某点的值表示为一系列关于该点的导数的和。
微积分运算公式
微积分运算公式微积分是数学中的一个分支，主要研究函数的变化趋势和极限。
在微积分中，运算公式是非常重要的知识点，下面我们来介绍一些常见的微积分运算公式。
1. 导数的四则运算法则在微积分中，导数的四则运算法则是非常重要的。
具体来说，如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的和、差、积、商的导数分别有以下的公式：（f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^22. 微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是用来研究函数的变化趋势的。
具体来说，如果f(x)在[a,b]上是可导的，那么在[a,b]中至少存在一个点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
3. 泰勒展开式泰勒展开式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某个点附近展开成无穷级数的形式。
具体来说，如果有一个函数f(x)，那么它在x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2!](x-a)^2+...+[f^(n)(a)/n!](x -a)^n+...。
4. 曲率公式曲率是描述一个曲线弯曲程度的量，曲率公式可以用来计算曲线在每个点处的曲率。
具体来说，如果有一条曲线y=f(x)，那么它在x 处的曲率为：k=(|y''|)/[1+(y')^2]^1.5。
以上就是微积分中的一些常见运算公式，掌握了这些公式可以更好地理解微积分的基础知识，也有助于在实际问题中应用微积分的方法来解决问题。
微积分 数学概念
微积分数学概念
微积分是数学中研究函数变化率、曲线斜率、面积和体积等问题的分支学科。
它主要包括导数和积分两个部分。
1. 导数（Derivative）：导数描述了函数在某一点的变化率。
如果函数在某一点存在导数，那么导数给出了函数在该点的斜率。
它可以用于求解曲线的切线方程、优化问题和速度、加速度等物理问题。
2. 积分（Integral）：积分描述了函数在一段区间上的面积或
体积。
它可以用于求解曲线下的面积、函数的平均值、质量与密度的问题等。
积分的逆运算是导数，所以它们是紧密相关的。
其他与微积分相关的概念包括：
3. 极限（Limit）：极限是描述函数逐渐趋近某一值的过程。
它在导数和积分的计算中起着重要的作用。
4. 泰勒级数（Taylor Series）：泰勒级数是一种将函数表示为
无穷级数的方法。
它可以用于近似计算各种函数的值。
5. 偏导数（Partial Derivative）：偏导数是多元函数的导数。
它描述了函数在某一变量变化时的变化率。
6. 链式法则（Chain Rule）：链式法则描述了复合函数的导数
求导方式。
它是微积分中的重要计算规则。
以上只是微积分中的一部分概念，微积分在数学和应用科学中有广泛的应用，例如物理学、工程学、经济学等领域。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
数学微积分公式大全
数学微积分公式大全
微积分是数学中一个重要的分支，它不仅是高等数学，工程学，物理学等领域的重要理论基础，而且在实际工作中也有广泛的应用。
所以，掌握微积分的公式是学习微积分的必备条件。
以下是数学微积分中常用的几个公式：
1.积公式：
（1）梯形公式：∫f（x）dx=（f（a）+f（b））/2*（b-a）
（2）抛物线公式：∫f（x）dx=（f（a）+4f（（a+b）/2）+f（b））/6*（b-a）
（3）Simpson公式：∫f（x）dx=（f（a）+4f（（a+b）/2）+f （b））/3*（b-a）
2.数公式：
（1）泰勒公式：f（x）=f（x）+f（x+h）/h
（2）差分公式：f（x）=（f（x+h）-f（x-h））/2h
（3）高阶差分公式：f（x）=（f（x+h）-2f（x）+f（x-h））/h^2 3.数极限公式：
（1）接近无穷大的极限：limx→∞f（x）=L（L可以是无穷大或者无穷小）
（2）无穷微小值的极限：limx→0f（x）=L（L可以是无穷大或者无穷小）
4.分方程公式：
（1）常微分方程：y=f（x,y）,y（x0）=y0
（2）偏微分方程：u（x,y）=f（x）（也称作拉普拉斯方程）
（3）双曲型微分方程：u（x,y）=f（x，y）
（4）积分方程：y=f（x）+F（x）
上述公式只是数学微积分中一小部分，它们虽然不多，但是包含着微积分的主要概念。
如果能够熟练掌握，就可以解决微积分中的各种问题。
此外，我们还应该注意微积分中其他重要的概念，比如微元、极限、曲线积分、积分变换等。
只有充分地了解这些概念和公式，才能更好地掌握微积分，帮助我们理解其中的精髓。
微积分的公式大全
微积分的公式大全微积分是数学中的重要分支，涵盖了一系列的公式，用于计算和解决各种与变化相关的问题。
下面是微积分中的一些重要公式：1.导数的基本公式：- 常数的导数：$$\frac{d(c)}{dx}=0$$，其中c为常数。
- 幂函数的导数：$$\frac{d(x^n)}{dx}=nx^{n-1}$$，其中n为常数。
- e的指数函数的导数：$$\frac{d(e^x)}{dx}=e^x$$。
- 对数函数的导数：$$\frac{d(\ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}$$。
2.常见初等函数的导数：- 正弦函数的导数：$$\frac{d(\sin(x))}{dx}=\cos(x)$$。
- 余弦函数的导数：$$\frac{d(\cos(x))}{dx}=-\sin(x)$$。
- 正切函数的导数：$$\frac{d(\tan(x))}{dx}=\sec^2(x)$$。
- 反正弦函数的导数：$$\frac{d(\arcsin(x))}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$。
- 反余弦函数的导数：$$\frac{d(\arccos(x))}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$。
3.基本微分法则：- 常数乘积法则：$$\frac{d(cu)}{dx}=c\frac{du}{dx}$$。
- 加法法则：$$\frac{d(u+v)}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$$。
- 乘法法则：$$\frac{d(uv)}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$$。
- 商法则：$$\frac{d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$$。
- 复合函数求导法则：如果y是x的函数，z是y的函数，则$$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}$$。
微积分公式大全
x 1 1 x2 )=ln( + ) |x| >0 a பைடு நூலகம் x2 duv = udv + vdu
csch-1 (
1 e x 1 e 2 x
|+C
duv = uv = udv + vdu → udv = uv - vdu cos2θ-sin2θ=cos2θ cos2θ+ sin2θ=1 cosh2θ-sinh2θ=1 cosh2θ+sinh2θ=cosh2θ
-1 -1
2
sin-1(-x) = -sin-1 x cos-1(-x) = - cos-1 x tan-1(-x) = -tan-1 x cot-1(-x) = - cot-1 x sec-1(-x) = - sec-1 x csc-1(-x) = - csc-1 x
x sinh-1 ( )= ln (x+ a 2 x 2 ) x R a x cosh-1 ( )=ln (x+ x 2 a 2 ) x≧1 a x 1 ax tanh-1 ( )= ln ( ) |x| <1 a 2a ax
1
x Dx sinh ( )= a
-1
1 a2 x2 1 x2 a2
sinh x dx = x sinh x- 1 x + C
2
-1
-1
sin 3θ=3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ →sin3θ= ¼ (3sinθ-sin3θ) →cos3θ=¼(3cosθ+cos3θ)
-1
sech-1(
x 1 1 x2 )=ln( + )0≦x≦1 a x x2
积分微分公式
积分微分公式摘要：一、引言二、积分与微分的概念1.积分的定义2.微分的定义三、积分与微分的关系1.微积分基本定理2.反函数定理四、积分微分公式1.基本积分公式2.基本微分公式五、实际应用1.物理中的应用2.工程中的应用六、结论正文：一、引言在数学的发展历程中，积分与微分是两个重要的概念。
它们在解决实际问题中发挥着关键作用，如物理、工程等领域。
本文将对积分与微分的关系进行详细阐述，并通过实例介绍它们在实际应用中的价值。
二、积分与微分的概念1.积分的定义积分是对一个函数在某一区间上的累积效果进行度量的方法。
通俗地说，就是求解一个曲线下的面积。
数学上，我们可以用以下符号表示：∫f(x)dx其中，f(x) 表示被积函数，x 表示自变量，∫ 表示积分符号。
2.微分的定义微分是对一个函数在某一点上的变化率进行度量的方法。
用数学符号表示为：f"(x)其中，f(x) 表示被微分函数，x 表示自变量，" 表示微分符号。
三、积分与微分的关系1.微积分基本定理微积分基本定理是积分与微分之间的桥梁。
它表明，如果一个函数f(x) 在区间[a, b] 上可积，那么f(x) 在[a, b] 上的原函数（即微分后的函数）可以表示为：F(x) = ∫f(x)dx此外，微积分基本定理还给出了求解定积分的逆运算方法，即求解原函数（微分后的函数）。
2.反函数定理反函数定理是微积分基本定理的推广。
它表明，如果一个函数f(x) 在区间[a, b] 上可积，并且f(x) 在[a, b] 上单调，那么f(x) 在[a, b] 上存在反函数，且反函数也是可积的。
四、积分微分公式1.基本积分公式基本积分公式是一些常用的积分计算方法，例如：∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C其中，n 为常数，C 为积分常数。
2.基本微分公式基本微分公式是一些常用的微分计算方法，例如：(f(x) + g(x))" = f"(x) + g"(x)(cf(x))" = cf"(x)(f(x)g(x))" = f(x)g"(x) + g(x)f"(x)五、实际应用1.物理中的应用在物理学中，积分与微分发挥着重要作用。
微积分的基本概念与性质
微积分的基本概念与性质微积分是数学中的一个重要分支，它研究函数的变化率和曲线的面积，是实现数学建模和理论推导的基础。
微积分的基本概念和性质对于深入理解和应用微积分都至关重要。
本文将介绍微积分的基本概念和性质，帮助读者对微积分有更清晰的了解。
一、微积分的基本概念1.1 函数与导数在微积分中，函数是一个很常见的概念。
函数关系可以通过图像、表达式或者散点给出，它描述了一个变量与另一个变量之间的依赖关系。
函数导数是描述函数变化率的工具，表示了函数曲线在某一点的切线斜率。
对于函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
1.2 极限与连续微积分中的极限是一种趋近某个值的概念。
当自变量趋近于某个特定的值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。
极限是微积分中计算导数和定积分的基础。
而连续是一个函数在一段区间上没有任何断裂或间断点的特性。
若函数在某点处连续，则导数也存在，这种关系称为微积分基本定理。
1.3 定积分与不定积分定积分是计算曲线下面积的工具，也可以理解为曲线与x轴之间的有向面积。
定积分可以用一系列无限小的面元相加的方式计算。
不定积分是定积分的逆运算，表示函数的原函数。
不定积分和定积分是微积分中使用最广泛的工具，它们被广泛应用于物理、生物、经济等领域的建模与求解过程中。
二、微积分的性质2.1 导数的运算法则导数是微积分中的重要概念，它有许多运算法则可以简化求导的过程。
常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商积法则等。
这些运算法则能够帮助我们快速计算函数的导数，从而更方便地研究函数的特性和行为。
2.2 积分的性质积分也有一些重要的性质。
其中，积分的线性性质是最基本也是最常用的性质之一。
根据积分的线性性质，我们可以将一个复杂的积分问题拆解为多个简单的积分问题，并逐个求解。
此外，积分还具有区间可加性、导数与积分的关系等性质，通过合理运用这些性质，可以更加灵活地进行积分运算。
微积分的公式大全
微积分的公式大全1.导数公式：- 限定义导数：f'(a) = lim[h->0] (f(a+h)-f(a))/h-幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)-指数函数的导数：(e^x)'=e^x- 对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x-三角函数的导数：- (sin(x))' = cos(x)- (cos(x))' = -sin(x)- (tan(x))' = sec^2(x)-反三角函数的导数：- (arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)- (arccos(x))' = -1/√(1-x^2)- (arctan(x))' = 1/(1+x^2)2.积分公式：- 不定积分的基本公式：∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx - 幂函数的积分：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (其中C为常数) - 指数函数的积分：∫e^x dx = e^x + C- 对数函数的积分：∫1/x dx = ln，x， + C (其中C为常数)-三角函数的积分：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C-反三角函数的积分：- ∫1/√(1-x^2) dx = arcsin(x) + C- ∫-1/√(1-x^2) dx = arccos(x) + C- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3.基本定理：- 第一基本定理：∫[a, b] f'(x)dx = f(b) - f(a) (即导函数的积分等于原函数在区间上的差)- 第二基本定理：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a) (即函数的积分等于其原函数在区间上的差)4.微分方程：- 一阶线性ODE通解：y = ∫[a, x] f(t)*e^(∫[a, t] p(u)du) dt + Ce^(∫[a, x] p(t)dt)-二阶常系数齐次线性ODE通解：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)-二阶常系数非齐次线性ODE通解：- 非齐次线性ODE的特解：y = yp- 齐次线性ODE的通解：y = yp + C1e^(r1x) + C2e^(r2x)5.极限公式：- 极限定义：lim[x->a] f(x) = L (当x趋近于a时，f(x)趋近于L) -极限的四则运算法则：- lim[x->a] [f(x) + g(x)] = lim[x->a] f(x) + lim[x->a] g(x) - lim[x->a] [f(x) - g(x)] = lim[x->a] f(x) - lim[x->a] g(x) - lim[x->a] [f(x) * g(x)] = lim[x->a] f(x) * lim[x->a] g(x) - lim[x->a] [f(x) / g(x)] = lim[x->a] f(x) / lim[x->a] g(x) (其中g(a)不等于0)- 极限函数的连续性：如果lim[x->a] f(x) = f(a)和lim[x->a]g(x) = g(a)，则lim[x->a] [f(x) + g(x)] = f(a) + g(a)和lim[x->a] [f(x) * g(x)] = f(a) * g(a)。
高数常用微积分公式24个
高数常用微积分公式24个为了更好地帮助大家理解高等数学中的微积分，本文主要介绍高数常用的微积分公式24个。
首先，介绍最基本的微积分概念。
微积分是一个广义的概念，它包括微分学和积分学。
微分学是研究变动数量的变化率，变量可以表达为函数。
积分学则是将某一函数在不同区域上的积分和运算，可以表示为面积、重量或其他距离变化的概念。
其次，介绍高数常用的微积分公式。
1、微分中的基本公式：（1）函数的定义域x的导数，表示为f′(x)（2）复合函数的导数，表示为f′(g(x))（3）二阶导数的定义，表示为f″(x)2、积分中的基本公式：（1）求解定积分，表示为∫[a, b]f(x)dx（2）定积分的换折叠公式，表示为∫[a, b]f(x)dx=[a,c]f(x)dx+[c, b]f(x)dx（3）求解不定积分，表示为∫f（4）二重积分的定义，表示为∫[a, b]∫[c, d]f(x,y)dydx （5）定义域积分，表示为∫[S]f(x,y)ds3、微分与积分的关系：微分与积分有着相互联系的关系。
积分是将函数某一段区间的值累积为某一量，而微分则是积分的反过程，求出函数在有限的区间内的变化率。
这一关系也被称为微分法和积分法的反射关系。
4、偏微分的基本公式：偏微分是指关于同一变量的偏导数。
它是微分中比较复杂的一种形式，通常与多元函数相关，旨在研究函数变化率在同一点上受其他变量影响的情况。
它的基本公式为f′(x, y)=f/x, f′(x, y)=f/y。
5、常见的微分与积分公式：（1）指数函数的求导公式，表示为f′(x)=ae^(ax)（2）对数函数的求导公式，表示为f′(x)=1/x（3）三角函数的求导公式，表示为f′(x)=cos(x),f′(x)=sin(x)（4）椭圆函数的求导公式，表示为f′(x)=2a(a+bx)/(b^2-a^2)（5）反椭圆函数的求导公式，表示为f′(x)=-2a(a+bx)/(b^2-a^2)（6）求极限的求导公式，表示为limX→0f′(x)=f(0)（7）求微积分的积分公式，表示为∫[a,b]f(x)=F(b)-F(a)最后，本文介绍了高数常用的微积分公式24个，包括微分、积分、偏微分以及极限的求导公式，利用这些公式，大家就可以更好地理解微积分的概念，从而更好地学习高等数学中的微积分内容。
什么是微积分
有关-----《微积分》PB08207226 舒小婷什么是微积分？它是一种数学思想，…无限细分‟就是微分，…无限求和‟就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。
如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。
整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。
（对于我们浅学微积分的大学生来说，莱布尼茨的影响感觉更大一些）微积分是从四个方面的问题来的：（1）求曲线的长度、区域的面积、物体的体积等；（2）求曲线的切线；（3）求运动物体的速度；（4）求一些问题的极大、极小值。
当然，这些问题在一些简单的情形下，可以不用微积分，但当情形略为复杂一些时，则非用微积分不可。
而反过来，微积分的诞生，不仅能解上述这些问题，而且其用处大大地超出了这些问题。
作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。
他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。
圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。
意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。
这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备“神奇”的阿基米德。
积分和微积分
微积分包括微分和积分，积分包括不定积分和定积分。
一、微分：如果函数在某点处的增量可以表示成△y=A△x+o(△x) (o(△x)是△x的高阶无穷小）且A是一个与△x无关的常数的话，那么这个A△x就叫做函数在这点处的微分，用dy表示,即dy=A△x△y=A△x+o(△x),两边同除△x有△y/△x=A+o(△x)/△x,再取△x趋于0的极限有lim△y/△x=lim[A+o(△x)/△x]=limA+lim[o(△x)/△x]=A+0f'(x)=lim△y/△x=A所以这里就揭示出了,导数与微分之间的关系了,某点处的微分:dy=f'(x)△x通常我们又把△x叫自变量的微分,用dx表示所以就有dy=f'(x)dx.证明出了微分与导数的关系正因为f'(x)=dy/dx,所以导数也叫做微商（两个微分的商）二、积分求积分的过程,与求导的过程正好是逆过程,好加与减,乘与除的关系差不多。
1、不定积分：求一个函数f(x)的不定积分,就是要求出一个原函数F（x）,使得F'(x)=f(x)，而F(x)+C（C为任意常数）就是不定积分∫f'(x)dx的所有原函数，不定积分其实就是这个表达式：∫f'(x)dx2、定积分：定积分与不定积分的区别是,定积分有上下限,∫（a,b）f'(x)dx而不定积分是没有上下限的,因而不定积分的结果往往是个函数,定积分的结果则是个常数,这点对解积分方程有一定的帮助。
三、联系和区别微积分包括微分和积分，积分包括不定积分和定积分。
其中，不定积分没有积分上下限，所得原函数后面加一个常数C；定积分是在不定积分的基础上，加上了积分上下限，所得的是数。
dy/dx 叫导数，将dx乘到等式右边，就是微分。
扩展资料：微分、定积分、不定积分的几何意义：1、微分：设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。
微积分公式大全
微积分公式D x sinh -1(ax)=221x a + cosh -1(ax)=221ax - tanh -1(ax)= 22x a a -± coth -1(a x)=sech -1(a x )= 22x a x a -- csch -1(x/a)=22xa x a +-⎰ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C⎰ cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C⎰ tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ½ ln | 1-x 2|+ C ⎰ coth -1 x dx = x coth -1 x- ½ ln | 1-x 2|+ C⎰ sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C ⎰ csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + Csin 3θ=3sin θ-4sin 3θ cos3θ=4cos 3θ-3cos θ →sin 3θ= ¼ (3sin θ-sin3θ) →cos 3θ=¼(3cos θ+cos3θ)sin x = j e e jx jx 2-- cos x = 2jxjx e e -+ sinh x = 2x x e e -- cosh x = 2x x e e -+正弦定理:αsin a= βsin b =γsin c =2R余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bc cos αb 2=a 2+c 2-2ac cos βc 2=a 2+b 2-2ab cos γsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β μsin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α + sin β = 2 sin ½(α+β) cos ½(α-β) sin α - sin β = 2 cos ½(α+β) sin ½(α-β) cos α + cos β = 2 cos ½(α+β) cos ½(α-β) cos α - cos β = -2 sin ½(α+β) sin ½(α-β)tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan μ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±μe x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 ∑=ni 11= n∑=ni i 1= ½n (n +1)∑=ni i 12=61n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [½n (n +1)]2Γ(x) =⎰∞tx-1e -td t = 2⎰∞t2x-12te -d t =⎰∞)1(ln tx-1 d t β(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1 d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x=⎰∞+-+01)1(nm m x x d x希腊字母 (Greek Alphabets)大写小写读音 大写 小写读音 大写 小写读音 Α αalpha Ιιiota Ρρrhoa b cαβγ R倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ⎰ 顺位高d 顺位低;=212222)(221χχ--⎪⎭⎫⎝⎛ΓennnWeibullαβα--xe1⎪⎭⎫⎝⎛+Γ+111λαβλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+Γ-⎪⎭⎫⎝⎛+Γ111222λλαλ1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十亿1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一0.01 10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百万分之一0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yoctoy。
微积分数学概念
微积分数学概念微积分数学概念1. 什么是微积分？•微积分是数学的一个分支，研究变化率与积分的学科，主要包括微分学和积分学两个部分。
2. 微分学导数•导数是描述函数变化率的概念，可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
•导数的公式：f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx导数的应用•导数常用于求函数的极值、判断函数的单调性和凸凹性等问题。
•导数还可以用于描述物理学中的速度、加速度等概念。
微分方程•微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程，常用于描述自然界各种变化过程。
•微分方程的求解可以帮助我们了解和预测自然界的规律。
3. 积分学定积分• 定积分是反映函数与坐标轴所围成的曲边梯形的面积的概念。
• 定积分的公式：∫f ba(x )dx 不定积分• 不定积分是求函数的原函数的过程，也称为积分初等法。
• 不定积分的结果常常表示为：∫f (x )dx积分的应用• 积分常用于求解曲线下的面积、求函数的平均值以及解决物理学中的位移、质量和功等问题。
4. 微积分的基本定理• 微积分的基本定理是微积分学中的核心定理之一，将微分与积分联系起来。
• 第一基本定理：∫f b a′(x )dx =f (b )−f (a ) • 第二基本定理：d dx ∫f x a (t )dt =f (x ) 总结微积分是研究变化率与积分的数学学科，其中微分学主要关注函数的变化率和导数应用，积分学则关注函数的面积与定积分应用。
微积分的基本定理将微分与积分联系起来，成为微积分理论的核心。
微积分在自然科学、工程学和经济学等领域有广泛的应用。
5. 高级微积分概念极限•极限是微积分中的重要概念，描述一个数列或者函数在无穷接近某一值时的行为。
•极限的概念可以用于求函数的连续性、收敛性以及无穷级数的求和等问题。
曲线的切线与法线•切线是曲线上某一点的斜率为该点切线斜率的直线。
•法线是与切线垂直的直线，斜率为切线斜率的相反数。
泰勒级数•泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法，可以用于在一定范围内近似计算复杂函数的值。
微积分pdf
微积分pdf1. 微积分基本概念微积分是一门数学学科，主要研究函数的变化规律，其中包括求导、积分以及多元函数的求解等。
求导是指根据函数的变化规律，求出函数的导数，从而推导函数的变化趋势。
积分是指根据函数的变化规律，求出函数的积分，从而推导函数的变化趋势。
多元函数的求解是指根据多元函数的变化规律，求出多元函数的值，从而推导函数的变化趋势。
2. 微分学的应用微分学是一门重要的数学学科，在许多学科中都有广泛的应用。
它可以用来解决物理、化学、经济学、生物学和工程学等问题。
在物理学中，微分学可以用来求解动力学问题，如轨道运动、振动和波动等。
在化学学中，微分学可以用来求解反应动力学问题，如反应速率、反应温度和反应压力等。
在经济学中，微分学可以用来求解经济增长模型，如消费者理论、供给和需求模型等。
在生物学中，微分学可以用来求解生物系统的动力学问题，如激素分泌、细胞代谢和细胞增殖等。
在工程学中，微分学可以用来求解热力学、流体力学和结构力学等问题。
3. 微积分的几何意义微积分的几何意义是指它提供了一种研究几何图形的方法，它可以用来计算曲线的斜率，求解曲线的极值，计算曲线的面积，求解曲线的积分，以及计算曲线的曲率等。
它还可以用来研究多维几何图形，如曲面，曲线和曲面的交点等。
4. 微积分的数学原理微积分是对函数的研究，它研究函数的变化及其定义域上的极限。
它的基本原理是定义极限，求导数，积分，复合函数，变换等。
它的基本概念包括函数、极限、导数、积分和变换等。
它的基本定义是：函数f(x)在x=a处的导数，即f'(a)，等于函数f(x)在x=a处的极限，即lim f(x) = f'(a)。
积分是求函数的积分，即求函数的面积，可以用积分方程求解。
变换是指函数的变换，可以通过变换函数来求解函数的变换。
5. 微积分的解法方法微积分中常用的解法方法有：1. 分部积分法：将一个复杂的积分分解为若干个简单的积分，用分部积分法求解。
微积分公式大全
微积分公式cos (α±β)=cos α cos β μsin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α - sin β = 2 cos ?(α+β) sin ?(α-β)cos α + cos β = 2 cos ?(α+β) cos ?(α-β)cos α - cos β = -2 sin ?(α+β) sin ?(α-β)tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan μ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±μe x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 ∑=ni 11= n∑=ni i 1= ?n (n +1)∑=ni i12=61n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [?n (n +1)]2Γ(x) =⎰∞tx-1e -td t = 2⎰∞t2x-12t e -d t =⎰∞)1(ln tx-1 d t β(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1 d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x=⎰∞+-+01)1(nm m x x d x希腊字母 (Greek Alphabets)大写小写读音 大写 小写读音 大写 小写读音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρrhoΒ β beta Κ κ kappa Σ σ, ? sigmaΓ γ gamma Λ λ lambda Τ τtau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilonΕ ε epsilon Ν ν nu Φ φphi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χkhi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψpsi ΘθthetaΠπpiΩω omega倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ? 顺位高d 顺位低 ;0*? =∞1 *? = ∞∞= 0*01 = 0000 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e顺位一: 对数; 反三角(反双曲)顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)算术平均数(Arithmetic mean)中位数(Median) 取排序后中间的那位数字1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十亿1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一0.01 10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百万分之一0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。
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(sin x)' cos x
sin x是 cos x的原函数。
1 (ln x)' ( x 0) x 1 ln x是 在区间(0,)内的原函数。 x
2、不定积分
定义2 在区间 I 上，设函数F ( x)是f ( x)的一个原函 数，则f ( x)的全体原函数F ( x) C称为f ( x)的 不定积分，记作 f ( x)dx。
。
b
例1:
解:
计算
b
a
sin xdx.
因 sin x在[a , b]连续，
且( cos x ) sin x
'
所以
b
a
sin xdx cos x
b a
cos a cos b.
例2
求 2
1
1 dx . x
解
1 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 dx ln | x |1 ln1 ln 2 ln 2. 2 x 2
例 3 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
解 面积 A sin xdx
0
y
cos x
0
2.
o
x
y A x o( x ),
y o( x ) A , x x
y o( x ) 则 lim A lim A. x 0 x x 0 x
即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x )在点x 0 可导,
y lim f ( x 0 ), x 0 x
y 即 f ( x 0 ) , x
从而 y f ( x 0 ) x ( x ), f ( x 0 ) x o( x ),
0 ( x 0),
函数 f ( x )在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x )和x 0 有关;
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部).
设边长由x 0 变到x 0 x ,
x0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x0 ,
2
2 A ( x 0 x ) 2 x 0
x 0 x
2 A x0
2 x 0 x ( x ) 2 .
(1) ( 2)
x 0 x
x0
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分; ( 2) : x的高阶无穷小, 当 x 很小时可忽略.
再例如, 设函数 y x 3 在点 x 0处的改变量
为x时, 求函数的改变量 y .
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x 0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
1
( 1)
基 本 积 分 表
(1)
x 1 (2) x dx C ( 1); 1 dx (3) ln | x | C; x dx ln x C , 说明： x 0, x 1 1 ( x) , x 0, [ln( x)] x x dx ln( x) C , x dx ln | x | C , x
dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C ; sin x
(10) sec x tan xdx sec x C ; (11) csc x cot xdx csc x C ;
(12)
e x dx e x C ; ax x C; (13) a dx ln a
所求曲线方程为
y x 1.
2
注: 1) 求导数与求不定积分是互逆运算
[ f ( x )dx] f ( x ) ; 或 d [ f ( x )dx]
F ( x )dx F ( x ) C f ( x )dx; dF ( x ) F ( x ) C
2) 同一函数的不定积分的结果形式会不同
dy f ( x ). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 该函数的导数. 导数也叫 微商". "
微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T N P
o( x )
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
o
y f ( x)
）
M
dy y
x
x0
x0 x
解 dy e ax cos bxd (bx ) sin bx e ax d ( ax )
e ax cos bx bdx sin bx e ax ( a )dx e ax (b cos bx a sin bx )dx .
小结
1 1 x 2 dx arctgx C1 ; 1 1 x 2 dx arcctgx C 2
二、 基本积分表
由于积分运算和微分运算是互逆的，因此
可以根据求导公式得出积分公式。 实例
x x 1
1
x x dx C. 1
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx 1 d (log a x ) dx x ln a 1 d (arcsin x ) dx 2 1 x 1 d (arctan x ) dx 2 1 x
可导 可微.
A f ( x 0 ).
函数 y f ( x )在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy f ( x )x .
当△x趋近于0时，
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分, 记作 dx , 即dx x .
dy f ( x )dx .
例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜
率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。
解
设曲线方程为
y f (x)
dy 2x, 根据题意知 dx 即f ( x)是2 x的一个原函数
2 xdx x C , f ( x) x 2 C ,
2
由曲线通过点（1，2） C 1,
2 x C 7
7 2
定积分 若函数 且存在原函数 上可积，且
F (x)
fபைடு நூலகம்(x) 在 [a, b上连续， ] ，则 f (x)在 [a, b]
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为
b
a
f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a)
积 分 号
f ( x )dx F ( x ) C
被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 任 意 常 数
例1 求
x
6
5
dx .
6
x 解 6
x 5 5 x , x dx C. 6
1 例2 求 dx 2 1 x
1 解 (arctan x)' 2 1 x 1 dx arctan x C. 2 1 x
(微分的实质) 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
( 2) y dy o( x )是比x高阶无穷小; ( 3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y o( x ) 1 dy A x
1 (x 0).
d (e x ) e x dx 1 d (ln x ) dx x 1 d (arccos x ) dx 2 1 x 1 d (arc cot x ) dx 2 1 x
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv d (Cu) Cdu u vdu udv d( ) v v2
x
当 x 很小时, 在点M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
微分的求法
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec 2 xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc 2 xdx
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题 导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分的联系: 可导 可微.
不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
1、原函数
定义1：如果在区间I上，对x I，都有F ' ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为f ( x) ( 或f ( x)dx )在区间I上的原函数。
(1)
( 2)
当 x 很小时, ( 2)是x的高阶无穷小o( x ),
2 y 3 x 0 x .
既容易计算又是较好的近似值
可微的条件
定理
函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函
数 f ( x )在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).