推荐中考数学一轮复习第二章方程组与不等式组第2节一元二次方程及其应用练习册
中考数学专题复习 一元二次方程的解法及应用
解：x2＋2 5x－1＝0，
∵a＝1，b＝2 5，c＝－1，
∴Δ＝(2 5)2－4×1×(－1)＝24＞0.
∴x＝－2
5±2 2
6＝－
5±
6，
即 x1＝－ 5＋ 6，x2＝－ 5－ 6.
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一元二次方程根的判别式
3．(2020 攀枝花)若关于 x 的方程 x2－x－m＝0 没有实数根，则 m 的值
共握了 45 次手，求参加这次会议的有多少人？
解：设参加这次会议的有 x 人，则每人将与(x－1)人握手．
依题意可列方程：
12x(x－1)＝45
.
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命题精讲 解一元二次方程
1．(2020 泰安)将一元二次方程 x2－8x－5＝0 化成(x＋a)2＝b(a，b 为常
数)的形式，则 a，b 的值分别是( A )
∵Δ＝9＋4＝13，
∴x＝－3±2
13 .
∴x1＝－3＋2
13，x2＝－3－2
13 .
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三、一元二次方程根的判别式
Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； Δ＜0⇔方程无实数根； Δ≥0⇔方程有实数根.
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3．一元二次方程 x2＋2x－4＝0 的根的情况为( C ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
方程的解
x＝－b±
b2－4ac 2a
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2.解一元二次方程： (1)解方程：(x－1)2＝4(直接开平方法)；
解：两边直接开平方，得 x－1＝±2. ∴x－1＝2 或 x－1＝－2. 解得 x1＝3，x2＝－1.
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第二节 一元二次方程及其应用
3．(2022·龙东)2022 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单 循环比赛，单循环比赛共进行了 45 场，则共有多少支队伍参加比赛（ B ） A．8 支 B.10 支 C.7 支 D.9 支
4．(2022·河南)一元二次方程 x2＋x－1＝0 的根的情况是 A．有两个不等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
D.8(1＋x2)＝11.52
8．(2021·龙东)有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有 144 人 患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 （ B ） A．14 人 B.11 人
C.10 人 D.9 人
9．方程 x2－6x＋5＝0 的解为 11或或55. 10. (2022·连云港)若关于 x 的一元二次方程 mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一 个解是 x＝1，则 m＋n 的值是 11 . 11. (2022·宿迁) 若关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋k＝0 有实数根，则 实数 k 的取值范围是 kk≤≤11.
第二节 一元二次方程及 其应用
1．(2022·临沂)方程 x2－2x－24＝0 的根是 A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝－4 C．x1＝－6，x2＝4 D．x1＝－6，x2＝－4
（B ）
2．(2022·武威)用配方法解方程 x2－2x＝2 时，配方后正确的是（ C ） A．(x＋1)2＝3 B．(x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝3 D．(x－1)2＝6
18．(2022·嘉兴)设 a5是一个两位数，其中 a 是十位上的数字(1≤a≤
9)．例如，当 a＝4 时， a5 表示的两位数是 45.
(1)尝试： ①当 a＝1 时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当 a＝2 时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当 a＝3 时，352＝1 225＝33××4×41×0010＋025；
河北省中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第2章方程组与不等式组第2节一元二次方程及应用精讲试题
第二节 一元二次方程及应用河北五年中考命题规律年份题号 考查点 考查内容 分值 总分19 一元二次方程的解法 综合题，在新定义的背景下用直接开平方法解一元二次方程 37 26(2) 一元二次方程及根的判别式利用题中已知条件列出方程，并用判别式判断根的情况 414 一元二次方程根的判别式 利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况2 212 一元二次方程根的判别式考一元二次方程无实数根求参数的取值范围 2 221 解一元二次方程 (1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式； (2)用配方法解一元二次方程10 10未考查命题规律纵观河北近五年中考，、、、考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过1次，一元二次方程根的判别式考查了3次，属基础题.河北五年中考真题及模拟一元二次方程的解法1．(河北中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a ，第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a(b 2－4ac ＞0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac2a__．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 解：x 1＝6，x 2＝－4.2．(沧州中考模拟)在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，得方程的根x 1＝－1，x 2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根x 1＝－3，x 2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是( A )A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都错误3．(石家庄二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是( B )A ．－4或－1B ．4或－1C ．4或－2D ．－4或2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系4．(河北中考)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( B ) A ．a<1 B ．a>1 C ．a ≤1 D ．a ≥15．(河北中考)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( B ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．有一根为06．(唐山十三中三模)已知关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根是2，则m ＝__1__，另一个根为__－32__．7．(唐山二模)对于实数a ，b ，定义新运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a ＜b ），例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.(1)求(－5)*(－3)的值；(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，求x 1*x 2的值． 解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6；(2)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2或3；①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3. 一元二次方程的应用8．(邯郸25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为( D )A ．48(1－x)2＝36B ．48(1＋x)2＝36C ．36(1－x)2＝48D ．36(1＋x)2＝489．(石家庄十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市投入教育经费2 500万元，预计要投入教育经费 3 600万元．已知至的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则该市要投入的教育经费为__3__000__万元．10．(河北中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x ＞0.每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n(n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100(1)求y 与x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(m ＋1)个月的利润相差最大，求m.解：(1)由题意，设y ＝a ＋bx ，由表中数据得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b120，12＝a ＋b100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝600，∴y ＝6＋600x，由题意，若12＝18－⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x ，则600x ＝0，∵x ＞0， ∴600x＞0，∴不可能；(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13，∴x ＝2n 2－26n ＋144，将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2－26n ＋144也符合， ∴k ＝13；由题意，得18＝6＋600x，解得x ＝50，∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2－13n ＋47＝0，∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0， ∴方程无实数根， ∴不存在；(3)设第m 个月的利润为W ，W ＝x(18－y)＝18x －x ⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x＝12(x －50)＝24(m 2－13m ＋47)，∴第(m ＋1)个月的利润为W′＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2－11m ＋35)， 若W≥W′，W －W′＝48(6－m)，m 取最小值1时，W －W′取得最大值240；若W ＜W′，W ′－W ＝48(m －6)，由m ＋1≤12知m 取最大值11时，W ′－W 取得最大值240； ∴m ＝1或11.,中考考点清单一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．一元二次方程的解法2.直接开 平方法这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程. 配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．公式法求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程.因式分 解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解法：(1)当b ＝0，c ≠0时，x 2＝－c a，考虑用直接开平方法解；(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解； (3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．一元二次方程根的判别式3．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由__b 2－4ac__来判定，我们将__b 2－4ac__称为根的判别式．4．判别式与根的关系：(1)b 2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根；(2)b 2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b 2－4ac ＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0；(2)当a ，c 异号时，Δ>0.一元二次方程的应用5．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论．6．一元二次方程应用问题常见的等量关系：(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用， 利润率＝利润÷进货价．,中考重难点突破一元二次方程的解法【例1】(保定十七中二月调研)解下列方程：(1)(x －2)2＝12；(2)x 2－4x ＋1＝0；(3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2＝2x.【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b ＝－4是偶数，可以用配方法解；(3)因为b ＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解．【答案】解：(1)直接开平方，得x －2＝±22，即x 1＝2＋22，x 2＝2－22；(2)配方，得(x －2)2＝3，直接开平方，得x －2＝±3，即x 1＝2＋3，x 2＝2－3；(3)∵a＝1，b ＝－3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x ＝－（－3）±52×1，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52； (4)分解因式，得x(x －2)＝0.即x 1＝2，x 2＝0.1．方程(x －3)(x ＋1)＝0的解是( C ) A ．x ＝3 B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝－1D ．x 1＝－3，x 2＝12．(唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为( A ) A ．(x ＋2)2＝9 B ．(x －2)2＝9 C ．(x ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＝1 3．用公式法解方程：(1)(广东中考)x 2－3x ＋2＝0； 解：x 1＝1，x 2＝2；(2)(兰州中考)x 2－1＝2(x ＋1)． 解：x 1＝－1，x 2＝3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】(包头中考)若关于x 的不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0根的情况是( A )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【解析】解不等式x －a 2＜1得x ＜1＋a 2，而不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，所以1＋a2＝1，解得a ＝0，又因为Δ＝a 2－4＝－4，所以关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根．故选C .【答案】C4．(唐山丰润二模)方程x 2－x ＋3＝0根的情况是( D ) A ．只有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根5．(保定博野模拟)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( C )A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a≠1D ．a<－26．(咸宁中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是( B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断 一元二次方程的应用【例3】(达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率．【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可．【答案】(1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染( A ) A ．17人 B ．16人 C ．15人 D ．10人【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x ＋1)人，每人传染x 个人，则传染x(x ＋1)人．两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x 个人＋第二轮传染的x(x ＋1)人，列方程：1＋x ＋x(1＋x)＝256，解得x 1＝15，x 2＝－17.因为x 表示人数，所以x ＝－17不合题意，应舍去；取x ＝15，故选C .【答案】C【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【解析】设降价x 元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x 件，再由单件利润×数量＝2 100即可．【答案】解：设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加2x 件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.整理，得x 2－35x ＋300＝0. 解得x 1＝15，x 2＝20. ∵要尽快减少库存，∴x ＝15不合题意，舍去，只取x ＝20.答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．【例6】(南通中考)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m ，宽为40 m 的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a m .(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽．【解析】(1)用含a 的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可．【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)； (2)由题意，得60×40－(60－2a)(40－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)． 答：此时甬道的宽为5 m .7．(巴中中考)某地外贸收入为2.5亿元，外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为( A )A ．2.5(1＋x)2＝4B ．(2.5＋x%)2＝4C ．2.5(1＋x)(1＋2x)＝4D ．2.5(1＋x%)2＝48．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为( C )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝09．(原创)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__个人．如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染．10．为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，每棵所出售的这批树苗售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，那么该校共购买了多少棵树苗？解：设该校共买了x 棵树苗． 120×60＝7 200(元)． ∵7 200＜8 800，∴购买树苗超过60棵；x[120－0.5(x－60)]＝8 800，x1＝220，x2＝80，当x＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，∴x＝220舍去．∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．。
【精选推荐】中考数学复习第二单元方程(组)与不等式(组)(一元二次方程的解法及应用)全新完整版
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
2．已知a是方程x2－2x－3＝0的一个根，则代数式 a2－2a－1的值为_____2_____.
3．用适当的方法解下列方程： (1)(x＋2)2－9＝0; (2)x2＋5x＝0； 解：(1)移项，得(x＋2)2＝9. 由此可得x＋2＝±3， x1＝1，x2＝－5. (2)因式分解，得x(x＋5)＝0. 于是得x＝0，或x＋5＝0， x1＝0，x2＝－5.
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
五、一元二次方程的应用
步相骤同：，列即一审元、二设次、方列程、解解应、用验题以的及步答骤和列一次方程组解应用题的步骤
应 用
常见类型增利长润率问问题题：总12b利..为增设润增长a为＝长率基单后＝础件的基量增利量础，量润，量m×则×为销a1平01售0＋均%量m增n长＝率b ，n为增长次数，
所有一元 二次方程
＋c＝ 0(a≠0，
b2－
4ac≥0)
方程的解
x＝± ka－h
－b± b2－4ac x＝③_____2_a____
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
方法
因式分 解法
方程的形
适用的方程
方程的解
式
容易变形为
(x－a)(x－b) (x－a)(x－
＝0形式的 b)＝0
x1＝a，x2＝b
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
(3)2x2－4x－1＝0; (4)2x2－3x＝3.
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析 第二章 方程(组)与不等式(组)一元一次不等式(组)及其应用
(2)不等式②的解集为________;
(3)把不等式组的解集在如图的数轴上表示出来;
解:在数轴上表示不等式组的解集如解图.
1≤x＜3
(4)不等式组的解集为____________;
1,2
(5)不等式组的整数解为________.
解图
解
答
变式2－1
是(
C
－＋3＜5,
(2023·娄底)不等式组ቊ
的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元,则最多
可购买这种型号的水基灭火器多少个?
解:设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型
号的干粉灭火器(50－x)个.
根据题意,得540x＋380(50－x)≤21 000,解得x≤12.5.
∵x为整数,∴x的最大值为12.
∴最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
解
1.若a>b,则下列四个选项一定成立的是( A )
A.a＋2>b＋2
B.－3a>－3b
C. ＜
4
4
D.a－1＜b－1
2.(2022·益阳)若x=2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解,则这个不
等式组是( D )
＜1,
A.ቊ
＜－1
＜1,
B.ቊ
> －1
> 1,
C.ቊ
＜－1
> 1,
不等式的解集 不等式的解的全体称为不等式的解集
2.不等式的性质
性质
性质1
内容
应用
不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号
b±c
的方向不变,即如果a>b,那么a±c>_______
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第二节 一元二次方程及其应用
11.(2021·海淀区校级模拟)如图，某小区规划在一 个长 30 m、宽 20 m 的长方形 ABCD 土地上修建三条 同样宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积 都为 78 m2，那么通道的宽应设计成多少 m？设通道 的宽为 x m，由题意列得方程 x2－35x＋66＝0.
解：设降低 x 元，超市每天可获得销售利润 3 640 元，由题意，得 (38－x－22)160＋x3×120＝3 640， 整理得 x2－12x＋27＝0，∴x＝3 或 x＝9.
∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x＝9， ∴售价为 38－9＝29(元/千克)． 答：水果的销售价为每千克 29 元时，超市每天可获得销售利润 3 640 元．
B．x2＋3x＋2＝0
C．x2－2x＋1＝0
D．x2＋2x＋3＝0
( D)
5．(2021·湘潭)为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药
品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 64 元，求平均每次降价的百
分率．设平均每次降价的百分率为 x，可列方程为
( A)
A．100(1－x)2＝64
12．(2021·济宁)设 m，n 是方程 x2＋x－2 021＝0 的两个实数根，则 m2
＋2m＋n 的值为 2200220 .
0
a b
2 1
13．对于实数 a，b，c，d，我们定义运算c d＝ad－bc，例如：3 5
x x－2
＝2×5－1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若6 x
＝4，则 x
17．(2021·内江)若关于 x 的一元二次方程 ax2＋4x－2＝0 有实数根，则
a 的取值范围为 a≥－2且
中考数学复习第二单元方程(组)与不等式(组)课时训练一元一次不等式(组)及其应用
课时训练(七)一元一次不等式(组)及其应用(限时:35分钟)|夯实基础|1.[2019·广安]若m>n,下列不等式不一定成立的是()A.m+3>n+3B.-3m<-3nC.>D.m2>n22.[2019·陇南]不等式2x+9≥ (x+2)的解集是()A.x≤B.x≤-3C.x≥D.x≥-33.[2018·益阳]不等式组211-2的解集在数轴上表示正确的是 ()图K7-14.[2019·德州]不等式组2(-112-1-2的所有非负整数解的和是()A.10B.7C.6D.05.[2019·南充]若关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解,则a的取值范围为 ()A.-5<a<-3B.- ≤a<-3C.-5<a≤-3D.- ≤a≤-36.[2019·聊城]若不等式组12-1无解,则m的取值范围为()A.m≤2B.m<2C.m≥2D.m>27.[2019·重庆B卷]某次知识竞赛共有20题,答对一题得10分,答错或不答扣5分,小华得分超过120分,他至少要答对的题的个数为()A.13B.14C.15D.168.[2019·绵阳]红星商店计划用不超过4200元的资金购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件,据市场行情,销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元,两种商品均售完.若所获利润大于750元,则该店进货方案有()A.3种B.4种C.5种D.6种9.[2019·株洲]若a 为有理数,且2-a 的值大于1,则a 的取值范围为 . 10.[2019·益阳]不等式组-1 0 -的解集为 .11.[2019·大庆]已知x=4是不等式ax -3a -1<0的解,x=2不是不等式ax -3a -1<0的解,则实数a 的取值范围是 . 12.[2019·包头]已知不等式组 2 9 - 1 - 1的解集为x>-1,则k 的取值范围是 .13.[2019·宜宾]若关于x 的不等式组-2-12 - 2- 有且只有两个整数解,则m 的取值范围是 .14.[2018·山西]2018年国内航空公司规定:旅客乘机时,免费携带行李箱的长,宽,高之和不超过115 cm .某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的宽为20 cm,长与高的比为8∶11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm .15.(1)解不等式:4(x -1)-12<x.(2)[2019·新疆]解不等式组: 2 ( -2 ①22 -②并把解集在数轴上表示出来.16.若不等式组2112(-的整数解是关于x的方程2x-4=ax的解,求a的值.17.[2019·荆州]为拓宽学生视野,促进书本知识与生活实践的深度融合,荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动.在此次活动中,若每位老师带队14名学生,则还剩10名学生没老师带;若每位老师带队15名学生,就有一位老师少带6名学生.现有甲、乙两种大型客车,它们的载客量和租金如表所示:2名老师.(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人?(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆车上至少要有2名老师,可知租车总辆数为辆.(3)学校共有几种租车方案?最少租车费用是多少? |拓展提升|18.[2019·镇江]下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组2(2-1 -0的解集的是()图K7-219.[2019·重庆B卷]若数a使关于x的不等式组-21(--2(1-有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程1-2-11-=-3的解为正数,则所有满足条件的整数a的值之和是() A.-3 B.-2 C.-1 D.1【参考答案】1.D2.A3.A4.A [解析]解不等式5x +2>3(x -1),得x>-2;解不等式12x -1≤ -2x ,得x ≤ ; ∴不等式组的解集为-2<x ≤ .∴不等式组的非负整数解为0,1,2,3,4,这些非负整数解的和为10. 故选A .5.C [解析]解不等式2x +a ≤1 得:x ≤1-2, 不等式有两个正整数解,一定是1和2, 根据题意得:2≤1-2<3,解得:-5<a ≤-3. 故选C .6.A [解析]解不等式1 < 2-1,得x>8,当4m ≤8时,原不等式组无解,∴m ≤2 故选A . 7.C [解析] 设小华答对的题的个数为x 题,则答错或不答的题的个数为(20-x )题,可列不等式10x -5(20-x )>120,解得x>142,即他至少要答对的题的个数为15题.故选C . 8.C [解析]设该店购进甲种商品x 件,则购进乙种商品(50-x )件, 根据题意,得:0 100( 0- 200 10 20( 0- 0解得:20≤x<25,∵x 为整数,∴x=20,21,22,23,24, ∴该店进货方案有5种. 9.a<1 10.x<-311.a ≤-1 [解析]因为x=4是不等式ax -3a -1<0的解,所以4a -3a -1<0,a<1, 因为x=2不是不等式ax -3a -1<0的解, 所以2a -3a -1≥0 所以a ≤-1,所以a ≤-1.12.k ≤-2 [解析] 解2x +9>-6x +1得x>-1.解x -k>1得x>k +1.∵不等式组的解集为x>-1,∴k +1≤-1,解得k ≤-2.13.-2≤m<1 [解析]-2-1 ① 2 - 2- ② 解不等式①得:x>-2, 解不等式②得:x ≤2 ,∴不等式组的解集为-2<x ≤2,∵不等式组只有两个整数解, ∴0≤2 <1,解得:-2≤m<1,故答案为-2≤m<1.14.55 [解析] 设长为8x cm,高为11x cm,由题意可得20+8x +11x ≤11 解得:x ≤ .∴11x ≤ .15.解:(1)化简4(x -1)-12<x 得4x -4-12<x , ∴3x<92,∴x<2,∴原不等式的解集为x<2.(2)解不等式①,得:x<2. 解不等式②,得:x>1.所以,不等式组的解集为:1<x<2. 在数轴上表示如图所示:16.解:解不等式组得-1 -所以不等式组的解集为-3<x<-1, 则满足条件的整数解为-2,把x=-2代入方程2x -4=ax ,得-4-4=-2a ,解得a=4.17.[解析] (1)设参加此次研学活动的老师有x 人,学生有y 人,根据“若每位老师带队14名学生,则还剩10名学生没老师带;若每位老师带队15名学生,就有一位老师少带6名学生” 即可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论.(2)利用租车总辆数(至少)=师生人数÷ 结合每辆客车上至少要有2名老师,即可得出租车总辆数为8辆.(3)设租35座客车m 辆,则需租30座的客车(8-m )辆,根据8辆车的座位数不少于师生人数及租车总费用不超过3000元,即可得出关于m 的一元一次不等式组,解之即可得出m 的取值范围,结合m 为正整数即可得出租车方案数.设租车总费用为w 元,根据租车总费用= 00×租用35座客车的数量+ 20×租用30座客车的数量,即可得出w 关于m 的函数关系式,再利用一次函数的性质即可解决最值问题.解:(1)设参加此次研学活动的老师有x 人,学生有y 人, 依题意,得: 1 10 1 - 解得: 1 2答:参加此次研学活动的老师有16人,学生有234人.(2)8 [解析] ∵每辆车上至少要有2名老师,∴客车总数不超过8辆,又要保证所有师生都有车坐,∴客车总数不能小于2 1= 0 (取整为8)辆,综合起来可知租车总辆数为8辆.故答案为:8.(3)设租35座客车m 辆,则需租30座的客车(8-m )辆, 依题意,得: 0(8- 2 1 00 20(8- 000解得:2≤m ≤ 12.∵m 为正整数,∴m=2,3,4,5,∴共有4种租车方案. 设租车总费用为w 元,则w=400m +320(8-m )=80m +2560, ∵80>0,∴w 的值随m 值的增大而增大, ∴当m=2时,w 取得最小值,最小值为2720. ∴学校共有4种租车方案,最少租车费用是2720元. 18.B [解析]由x +2>a 得x>a -2,A .由数轴知x>-3,则a=-1,∴-3x -6<0,解得x>-2,与数轴不符;B .由数轴知x>0,则a=2,∴3x -6<0,解得x<2,与数轴相符合;C .由数轴知x>2,则a=4,∴7x -6<0,解得x<,与数轴不符;D .由数轴知x>-2,则a=0,∴-x -6<0,解得x>-6,与数轴不符;故选B . 19.A [解析] 第一部分:解一元一次不等式组 -2 1( - ①-2 (1- ② 解不等式①,得:x ≤ 解不等式②,得:x> 2 11. 因为有且仅有三个整数解, 所以三个整数解分别为:3,2,1. 所以2 11的范围为0≤2 11<1,解得-2. ≤a<3.第二部分:求分式方程1-2-11-=-3的解,得y=2-a ,根据分式方程的解为正数和分式方程的分母不能为零,得0 1 即 2-0 2- 1解得:a<2且a ≠1. 第三部分:根据第一部分a 的范围和第二部分a 的范围,找出a 的公共范围:-2. ≤a<2且a ≠1所以满足条件的整数a 为-2,-1,0. 它们的和为:-2-1+0=-3. 故选A .。
【人教版】2019年福建省中考数学复习第二章方程组与不等式组第二节一元二次方程及其应用同步训练【含答案】
第二节 一元二次方程及其应用姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2018·莆田质检)若x ＝1是关于x 的方程x 2－2x ＋c ＝0的一个根，则c 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 2．(2018·临沂)一元二次方程y 2－y －34＝0配方后可化为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12 2＝1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝34 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝343．(2018·山西)下列一元二次方程中，没有实数根的是( )A ．x 2－2x ＝0B ．x 2＋4x －1＝0C ．2x 2－4x ＋3＝0D ．3x 2＝5x －2 4．(2018·安徽)若关于x 的一元二次方程x(x ＋1)＋ax ＝0有两个相等的实数根，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2或2D ．－3或1 5．(2018·甘肃省卷)关于x 的一元二次方程x 3＋4x ＋k ＝0有两个实根，则k 的取值范围是( )A ．k≤－4B ．k ＜－4C ．k≤4D ．k ＜36．(2018·眉山)若α，β是一元二次方程3x 2＋2x －9＝0的两根，则βα＋αβ的值是( ) A.427 B ．－427 C ．－5827 D.58277．(2018·安徽)据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%，假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a 万件和b 万件，则( )A ．b ＝(1＋22.1%×2)aB ．b ＝(1＋22.1%)2a C ．b ＝(1＋22.1%)×2a D ．b ＝22.1%×2a 8．(2018·宜宾)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元，预计2019年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为( )A ．2%B ．4.4%C ．20%D ．44%9．(2017·甘肃省卷)如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )A. (32－2x)(20－x)＝570B. 32x＋2×20x＝32×20－570C. (32－x)(20－x)＝32×20－570D. 32x＋2×20x－2x2＝57010．(2018·扬州)若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2015的值为____________．11．(2018·聊城)已知关于x的方程(k－1)x2－2kx＋k－3＝0有两个相等的实根，则k的值是________．12．(2018·绍兴)解方程：x2－2x－1＝0.13．(2018·齐齐哈尔)解方程：2(x－3)＝3x(x－3)．14. (2018·玉林)已知关于x的一元二次方程：x2－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)给k取一个负整数值，解这个方程．15．(2018·北京)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．16．(2018·沈阳)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．1．(2018·三明质检)定义运算：a·b＝2ab，若a，b是方程x2＋x－m＝0(m＞0)的两个根，则(a＋1)·a－(b＋1)·b的值为( )A．0 B．2 C．4m D．－4m2．(2017·温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3.现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0.它的解是( )A. x1＝1，x2＝3B. x1＝1，x2＝－3C. x1＝－1，x2＝3D. x1＝－1，x2＝－33．(2018·盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天销售数量为________件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？参考答案1．C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.C 7.B 8.C 9.A10．2 018 11.3412．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.13．x 1＝3，x 2＝23. 14．(1)k ＞－3；(2)取k ＝－2，则方程变形为x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.15．解：(1)当b ＝a ＋2时，∵Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根．(2)∵方程有两个相等的实数根，∴b 2－4a ＝0，取a ＝1，b ＝2，则原方程变为x 2＋2x ＋1＝0，解得x 1＝x 2＝－1.16．(1)答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【拔高训练】1．A 2.D3．(1)26；(2)答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1 200元．。
最新人教版中考数学考点复习第二章方程(组)与不等式(组) 第二节一元二次方程及其应用
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命题点 1：一元二次方程的解法(近 3 年考查 4 次) 1．(2020·荆州第 18 题 8 分)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方 程的过程补充完整，求出 x 的值． 【问题】解方程：x2＋2x＋4 x2＋2x－5＝0. 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设 x2＋2x＝t(t≥0)，则有 x2＋2x＝t2. 原方程可化为：t2＋4t－5＝0.
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7．(数学文化)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其 中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多 阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长 与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意，长比宽多__12__步．
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2．利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值时，常见的变形有：
①x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； ②x11＋x12＝x1x＋1xx2 2； ③(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
④(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1； ⑤xx21＋xx21＝x12x＋1xx2 22＝(x1＋xx2)1x2－2 2x1x2； ⑥|x1－x2|＝ (x1＋x2)2－4x1x2.
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命题点 2：一元二次方程的应用(近 3 年考查 6 次)
2．(2021·襄阳第 6 题 3 分)随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐
年下降．两年前生产一吨药的成本是 5 000 元，现在生产一吨药的成本
是 4 050 元．设生产成本的年平均下降率为 x，下面所列方程中正确的是
中考数学一轮复习第二章方程组与不等式组第2节一元二次方程及其应用课件
答：m的值是25.
练习 新兴商场经营某种儿童益智玩具.已知成批购 为20元，调查发现：销售单价是30元时，月销售量 而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但 价不能高于40元.每件玩具的售价定为多少元时，月 为2520元？
解：设每件玩具上涨x元，则售价为(30＋x)元， 则根据题意，得(30＋x－20)(230－10x)＝2520. 整理方程，得x2－13x＋22＝0， 解得：x1＝11，x2＝2， 当x＝11时，30＋x＝41>40， ∴x＝11不合题意，舍去，∴x＝2， ∴每件玩具售价为：30＋2＝32(元)． 答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为
（2）化积：把方程的另 为两个一次因式的积；
分解 法
（2）方程一边为0， 另一边易于分解成两
（3）转化：令每个因式 转化为两个一元一次方
个一次因式的乘积 （4）求解：解这两个一
程，它们的解就是原方
1.b2-4ac② ＞ 0 方程有两个不相等的实数根
根 的 判 别
即x=- b b2 4ac
2a
2.b2-4ac=0 方程有③ 两个 的实数根
3.b2-4ac④ ＜ 0 方程无实数根
式
4.作用：（1）判断一元二次方程根的情况；（ 程根的情况，确定未知字母的值或范围（注意：
数不为0）
注意：①用判别式解决问题时，首先应将复杂的一 程变为一般式;②只有一元二次方程才能直接用判 二次项系数含有字母时，要分类讨论
解法 适用方程类型
方法或步骤
ax2+c＝0(a≠0，ac<0)
直接 开平 方法
形如(x+m)2=n(n≥0)
中考数学一轮温习第二章方程与不等式第2节一元二次方程及其应用试题
第二节一元二次方程及其应用课标呈现，指引方向1．明白得配方式，能用配方式、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是不是有实根和两个实根是不是相等．3．能依照具体问题中的数量关系列出一元二次方程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．能依照具体问题的实际意义，查验方程的解是不是合理．4．*了解一元二次方程的根与系数的关系．考点梳理，夯实基础1．在整式方程中，只含有个未知数，而且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程，它的一样形式是．其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项：叫做二次项的系数．叫做一次项的系数．【答案】1，2，ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2，bx，c，a，b．2．一元二次方程的解法：（1）直接开平方式：形如x2＝a（a≥0）或（x－b）2＝a（a≥0）的一元二次方程，就可用直接开平方的方式．（2）配方式的一样步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数：②移项，使方程左侧为二次项和一次项，右边为常数项：③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为（x＋m）2＝n的形式：⑤若是n是非负数，即n≥0，就能够够用直接开平方求出方程的解．若是n＜0．则原方程无解．（3）公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是：．【答案】x（b2－4ac≥0）（4）因式分解法：因式分解法的一样步骤是：①将方程的右边化为 ;②将方程的左侧化成两个一次因式的乘积：③令每一个因式都等于0，取得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解确实是原一元二次方程的解．【答案】03．一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0（a≠0）（1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有的实数根，即x＝．（ 2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有的实数根，即x1＝x2＝．【答案】两个相等，－2b a（3） b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 实数根． 【答案】没有*4．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两实根别离为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ． 【答案】－b a ，ca． 第一课时考点精析，专项冲破考点一 一元二次方程的解【例1】（2016攀枝花）若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为 （ ） A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或4 【答案】C解题点拨：把x ＝－2代入已知方程，列出关于a 的新方程，通过解新方程能够求得a 的值． 解：依照题意，将x ＝－2代入方程x 2＋32ax －a 2＝0，得：4－3a －a 2＝0， 即a 2＋3a －4＝0． （a －1）（a ＋4）＝0， ∴a －1＝0，或a ＋4＝0， 解得：a ＝1或－4， 故选：C ．考点二 一元二次方程的解法 【例2】解方程：（1）2（x －2）2－1＝0 （2） x 2－2x －2＝0（3） y 2－7y ＋10＝0 （4） 4x 2－5x ＋2＝0解题点拨：解一元二次方程时对方程结构的观看很重要，可先考虑可否用直接开平方，分解因式法，若不行则用求根公式法． 解：（1）（x －2）2＝12，∴x －2，x ＝2，∴x 1＝2，x 2＝2 （2）a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，△＝b 2－4ac ＝4－4×1×（－2）＝12，∴x ＝1∴x 1＝1x 2＝1（3） （y －2）（y －5）＝0，y 1＝2，y 2＝5．（4）a ＝4，b ＝－5，c ＝2， ∴△＝25－4×2×4＝－7＜0． ∴方程没有实数根．考点三 根的判别式和韦达定理【例3】（1）（2016白贡）已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －（m －2）＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞1 B ．m ＜1 C ．m ≥1 D ．m ≤1 【答案】C解题点拨：依照关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，可知△≥0．从而能够求得m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，∴△＝b2－4ac＝22－4×1×[－（m－2）]≥0，解得m≥1．故选C．（2）（2016聊城）若是关于x的一元二次方程kx2－3x－1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是．【答案】k＞－94且k≠0．解题点拨：依照一元二次方程的概念和△的意义取得k≠0且△＞0，即（－3）2－4×k×（－1）＞0，然后解不等式即可取得k的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程kx2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（－3）2－4×k×（－1）＞0，解得：k＞－94且k≠0．（3）设m，n别离为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根．则m2＋3m＋n＝．【答案】2016解题点拨：先利用一元二次方程根的概念取得m2＝－2m＋2018．则m2＋3m＋n可化简为2018＋m＋n，再依照根与系数的关系取得m＋n＝－2．然后利用整体代入的方式计算．解：∵m为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的实数根，∴m2＋2m－2018＝0，即m2＝－2m＋2018，∴m2＋3m＋n＝－2m＋2018＋3m＋n＝2018＋m＋n，∵m，n别离为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，∴m＋n＝－2．∴m2＋3m＋n＝2018－2＝2016．课堂训练，当堂检测1．（2016沈阳）一元二次方程x2－4x＝12的根是（）A．x1＝2，x2＝－6 B．x1＝－2，x2＝6C．x1＝－2，x2＝－6 D．x1＝2，x2＝6【答案】B2．（2016新疆）将一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为（）A．（x－3）2＝14 B．（x－3）2＝4 C．（x＋3）2＝14 D．（x＋3）2＝4【答案】A3．（1）（2016大连）若关于x的方程2x2＋x－a＝0有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是．（2）（2016成都）已知关于x的方程3x2＋2x－m＝0没有实数解，则m的取值范围是．【答案】（1）a＞－18；（2）m＜－13．4．解下列方程：（1）2x2＋2x＝1．解：△＝4－4×2×（－1）＝12，∴x∴x1，x2（ 2）x2－＋10＝0．解：△＝48－4×1×10＝8，∴x＝4322＝23±2，∴x1＝ 23＋2，x2＝23±2．（3）x2－10x＋21＝0．解：∵（x－3）（x－7）＝0，∴x1＝3，x2＝7．中考达标，模拟自测A组基础训练一、选择题1．（2016舟山）一元二次方程2x2－3x＋1＝0根的情形是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A2．（2016黄冈）若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根别离为x1，x2，则x1＋x2的值是（）A．－4 B．3 C．－43D．43【答案】D3．（2016枣庄）若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是（）【答案】B4．（2016福州）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0必然有实数根的是（）A．a＞0 B．a＝0 C．c＞0 D．c＝0【答案】D二、填空题5．（2016菏泽）已知x＝m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝．【答案】66．（2015通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程x2－7x＋10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为．【答案】207．（1）（2016云南）若是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．（2）（2016桂林）若关于x的一元二次方程（k－1）x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【答案】（1）1或2，（2）k＜5．且k≠1．三、解答题8．选择适当的方式解下列方程：（1）12（x＋3）2＝2．解：x1＝－1，x2＝－5．（2）31）x2－x＝0．解：x 1＝0，x 2＝． （3）x 2－＋2＝0．解：x 1＝2，x 2＝2． （4）2（3x －2）＝ （2－3x ）（x ＋1）解：x 1＝23，x 2＝－3． 9．（2016东山）若t 为实数，关于x 的方程x 2－4x ＋t －2＝0的两个非负实数根为a 、b ，则代数式（a 2－1）（b 2－1）的最小值是多少？解：依题意得：a ＋b ＝4，ab ＝t －2（a 2－1）（b 2－1）＝（ab ）2－（a 2＋b 2）＋1＝（ab ）2－（a ＋b ）2＋2ab ＋1＝（t －2）2＋2（t －2）－15＝t 2－2t －15， 又()1642020t ab t ⎧∆=--⎪⎨=-⎪⎩＞≥，得2≤t ＜6，因此，当t ＝2时，t 2－2t －15有最小值－15．B 组 提高练习10．（2016大庆）若x 0是方程ax 2＋2x ＋c ＝0（a ≠0）的一个根，设M ＝1－ac ，N ＝（ax 0＋1）2，则M 与N 的大小关系正确的为 （ ）A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确信 【答案】B（提示：∵x 0是方程ax 2＋2x ＋c ＝0（a ≠0）的一个根，∴ax 02＋2x 0＋c ＝0，即ax 02＋2x 0＝－c ，则N －M ＝（ax 0＋1）2－（1－ac ）＝a 2x 02＋2ax 0＋1－1＋ac＝a （ax 02＋2x 0）＋ac ＝－ac ＋ac ＝0，∴M ＝N ，故选：B ）11．（2016呼和浩特）已知a ≥2，m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，则（m －1）2＋（n －1）2的最小值是 ． 【答案】6（提示：∵m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，∴m ，n 是关于x 的方程x 2－2ax ＋2＝0的两个根，∴m ＋n ＝2a ，mn ＝2，∴（m －1）2＋（n －1）2 ＝m 2－2m ＋1＋n 2－2n ＋1＝（m ＋n ）2－2mn －2（m ＋n ）＋2＝4a 2－4－4a ＋2＝4（a －12）2－3，∵a ≥2，∴当a ＝2时，（m －1）2＋（n －1）2有最小值， ∴（m －1）2＋（n －1）2的最小值＝4（a －12）2－3＝4（2－12）2－3＝6．） 12．（2016鄂州）关于x 的方程（k －1）x 2＋2kx ＋2＝0 （1）求证：不管k 为何值，方程总有实数根．（2）设x 1，x 2是方程（k －1）x 2＋2kx ＋2＝0的两个根，记S ＝21x x ＋12x x ＋x 1＋x 2，S 的值能为2吗？若能，求出现在k 的值．若不能，请说明理由．解：（1）①当k －1＝0即k ＝1时，方程为一元一次方程2x ＋2＝0，x ＝－1，有一个解； ②当k －1≠0即k ≠1时，方程为一元二次方程，△＝（2k ）2－4×2（k －1）＝4k 2－8k ＋8＝4（k －1）2＋4＞0 方程有两不相等的实数根综合①②得不论k 为何值，方程总有实根．（2）∵x1＋x2＝－2 1 kk-，x1·x2＝21k-，∴S＝()21212122x x x xx x+-＋x1＋x2∴S＝()248421k kk-+-＝2k－2若S＝2则2k－2＝2．k＝2．∴S的值能为2．现在k的值为2．第二课时考点精析，专项冲破考点四、增加率问题【例4】（2016泰州）随着互联网的迅速进展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增加到2015年的392万元．求该购物网站平均每一年销售额增加的百分率．解题点拨：增加率问题，一样用增加后的量＝增加前的量×（1＋增加率），参照本题，若是设平均增加率为x，依照“从2013年的200万元增加到2015年的392万元”，即可得出方程．解：设该购物网站平均每一年销售额增加的百分率为x，依照题意，得：200（1＋x）2＝392，解得：x1＝ 0．4，x2＝－2．4（不符合题意，舍去）．答：该购物网站平均每一年销售额增加的百分率为40%．考点五、销售问题【例5】（2015乌鲁木齐）某商品此刻的售价为每件60元，每礼拜可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每礼拜可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想取得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？解题点拨：本题的实质是两个量以标准上下转变，取得两个一次式，再将这两个一次式相乘即取得一元二次方程．解：设降价x元，则售价为（60－x）元，销售量为（300＋20x）件，依照题意得，（60－x－40）（300＋20x）＝6080，解得x1＝1，x2＝4，又顾客得实惠，故取x＝4，即定价为56元，答：应将销售单价定为56元．考点六、几何问题【例6】（2015湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽别离为多少时，猪舍面积为80m2?解题点拨：用x表示出与几何图形相关的量，依照条件结合几何性质成立方程或关系式．解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x m能够得出平行于墙的一边的长为（25－2x＋1）m，由题意得x（25－2x＋1）＝80，化简，得x2－13x＋40＝0，解得：x1＝5，x2＝8，当x＝5时，26－2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26－2x＝10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．课堂训练，当堂检测1．（2016年台州）有x支球队参加篮球竞赛，共竞赛了45场，每两队之间都竞赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．12x（x－1）＝ 45 B．12x（x＋1）＝45 C．x（x－1）＝45 D．x（x＋1）＝45【答案】A2．（2015宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，打算在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为602．两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则能够列m 关于x的方程是（）A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0 C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0【答案】C3．某商场销售一批名牌衬衫，平均天天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价方法，经调查发觉，若是每件衬衫每降价元，商场平均天天可多售出 1件，若商场平均天天要盈利1200元，为了减少库存，每件衬衫应降价元．【答案】204．（2016贺州）某地域2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．（1）求2014年至2016年该地域投入教育经费的年平均增加率；（2）依照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地域国民生产总值的增加情形，该地域到2018年需投入教育经费4250万元，若是按（1）中教育经费投人的增加率，到2018年该地域投入的教育经费是不是能达到4250万元？请说明理由．121.144.169.196.解：（1）设增加率为x，依照题意2015年为2900（1＋x）万元，2016年为2900（1＋x）2万元．则 2900（1＋x）2＝3509，解得x＝＝10%，或x＝－（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增加率为10%．（2）2018年该地域投入的教育经费是 3509×（1＋10%）2＝（万元）．＜4250．答：按（1）中教育经费投入的增加率，到2018年该地域投入的教育经费不能达到4250万元．中考达标，模拟自测A组基础训练一、选择题1．（2016大连）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量持续增加，若月平均增加率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（）A．100（1＋x） B．100（1＋x）2 C．100（1＋x2） D．100（1＋2x）【答案】B2．（2015衡阳）绿苑小区在计划设计时，预备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，而且长比宽多10米，设绿地的宽为x米，依照题意，可列方程为（）A．x（x－10）＝900 B．x（x＋10）＝900C．10（x＋10）＝900 D．2[x＋（x＋10）]＝900【答案】B3．（2015安徽）我省2013年的快递业务量为1．4亿件，受益于电子商务进展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛进展，2014年增速位居全国第一，若2015年的快递业务量达到亿件，设2015年与2014年这两年的平均增加率为x，则下列方程正确的是（）A．（1＋x）＝ B．（1＋2x）＝C．（1＋x）2＝ D．（1＋x）＋（1＋x）2＝【答案】C4．（2015白贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，则矩形的长是（）米．A．25 B．50 C．25或50 D．以上都不正确【答案】C二、填空题5．（2016十堰）某种药品原先售价100元，持续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则那个百分率是．【答案】10%6．（2015巴中）如图，某农场有一块长40m．宽32m的矩形种植地，为方便治理，预备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，则小路的宽是．【答案】2m7．（2015兰州）股票天天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停：当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停，已知一支股票某天跌停，以后两天时刻又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增加率为x，则x知足的方程是．【答案】（1＋x）2＝1三、解答题8．某校语文备课组为了增强学生写作爱好开办刊物《萌芽》，取得了全校师生的欢迎．他们将刊物以适当的价钱销售后所得利润资助贫困学生，已知印制100本《萌芽》的本钱比印制40本的2倍还多440元．（1）求每本《萌芽》的本钱是多少元？（2）经销售调查发觉：每本《萌芽》售价定为33元，可售出 120本，若每本降价1元，可多售出 20本，为尽可能增加销量让更多的人读到这本刊物，当每本降价多少元时，可取得1400元的利润资助贫困学生？解：（1）设每本《萌芽》的本钱是x元，100x＝2×40x＋440解得：x＝ 22答：每本《萌芽》的本钱是22元．（2）设每本降价y元时，可获1400元利润；（33－y－22）（120＋20y）＝1400解得：y1＝1（舍去），y2＝4答：每本降价4元时，可获1400元利润．9．（2016内江）某中学课外爱好活动小组预备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设那个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，那个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？若是有，求出最大值和最小值：若是没有，请说明理由．解：（1）苗圃园与墙平行的一边长为（30－2x）米．依题意可列方程x（30－2x）＝72，即x2－15x＋36＝0．解得x1＝3，x2＝12．因为墙长为18米，因此x1＝3舍去∴x＝12．（2）依题意，得8≤30－2x≤18．解锝6≤x≤11．面积S＝x（30－2x）＝－2（x－152）2＋2252（6≤x≤11）．①当x＝152时，S有最大值，S最大＝2252；②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×（30－22）＝88．B组提高练习10．一玩具城以49元／个的价钱购进某种玩具进行销售，并估量当售价为56元／个时，天天能售出14个玩具．现需进一步伐整销售方案．将每一个玩具的售价提高了a%，从而天天的销售量降低了2a%，当天天的销售利润为147元时，则a的值为（）A．或20 B．或25 C．20或25 D．25或75【答案】B（提示：依照题意，56（1＋n%）·14 （l－2a%）－14 （1－2a%）·49= 147，解得a=25或．）11．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市持续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，现在顾客要购买这种商品，最划算的超市是．【答案】乙（提示：在甲家超市购买需付：m（1－20%）2= 元；在乙家超市购买需付：m（1－40%）=元；在丙家超市购买需付：m（1－30%）（1－10%）= 元．而实际问题m>0，故>>，因此顾客在乙家超市购买最划算．）12．近期猪肉价钱不断走高，引发丁民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价钱每千克达到必然的单价时，政府将投入储蓄猪肉以平抑猪肉价钱．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价钱不断走高，5月20日比年初价钱上涨了60%．某市民在今年5月20日购买千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价钱为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价钱为每千克40元．5月21日，某市决定投入储蓄猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售，某超市按规定价出售一批储蓄猪肉，该超市在非储蓄猪肉的价钱仍为每千克40元的情形下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储蓄猪肉的销量占总销量的÷，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了二.%，求a 的值．解：（1）设今年年初猪肉价钱为每千克x 元； 依照题意得：（1＋60%）x ≥100， 解得：x ≥25．答：今年年初猪肉的最低价钱为每千克25元： （2）设5月20日两种猪肉总销量为1；依照题意得： 40（1－a %） ×34（1＋n %）＋40×14（1＋a %）= 40（1＋110a %）, 令a %=y ，原方程化为： 40（1－y ）×34 （l ＋y ） ＋40×14 （l ＋y ）= 40（1＋110y ）， 整理得：250y y -=， 解得：y =，或y =0（舍去）， 则a %=，∴a =20； 答：a 的值为20.。
人教版2019年中考数学一轮复习第二章方程组与不等式组第二节一元二次方程及其应用同步测试
第二节 一元二次方程及其应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列方程中，一定是一元二次方程的是( ) A ．3x 2＋2x ＝0B ．5x 2－6y －3＝0 C ．ax 2－x ＋2＝0 D ．3x 2－2x －1＝02．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋3c ＝0有一个解为x ＝1，则c 的值为( ) A ．－2 B ．－1C ．1D ．23．用配方法解一元二次方程x 2－6x －10＝0时，下列变形正确的为( ) A ．(x ＋3)2＝1 B ．(x －3)2＝1C ．(x ＋3)2＝19D ．(x －3)2＝194．一元二次方程x 2－4x ＝12的根是( ) A ．x 1＝2，x 2＝－6 B ．x 1＝－2，x 2＝6 C ．x 1＝－2，x 2＝－6 D ．x 1＝2，x 2＝65．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为( )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0 C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝06．若一元二次方程ax 2－bx －2 019＝0有一解为x ＝－1，则a ＋b ＝______________. 7．(2018·江苏淮安中考)一元二次方程x 2－x ＝0的根是______________________．8．解方程：x2－3x＋2＝0.9．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．10．(2018·山东德州中考)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？11．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( ) A ．－3，2 B ．3，－2 C ．2，－3D ．2，312．(2019·易错题)关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0，则m 等于( ) A ．1B ．2C ．1或2D ．013．(2018·浙江嘉兴中考)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC，使∠ACB＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a2.则该方程的一个正根是( )A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长14.若△ABC 的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x 2－8x ＋15＝0的根，则△ABC 的周长是______. 15．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m ，另一边减少了3 m ，剩余一块面积为20 m 2的矩形空地，则原正方形空地的边长是______m .16．(2019·创新题)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是____________.17. (2018·湖北宜昌中考)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q ，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q 值都以平均值n 计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q 值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善． (1)求n 的值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m ，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q 值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q 值与当年因甲方案治理降低的Q 值相等，第三年，用甲方案使Q 值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q 值及a 的值．18．(2018·新疆乌鲁木齐中考)宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10 890元？设房价定为x 元．则有( ) A ．(180＋x －20)(50－x10)＝10 890B ．(x －20)(50－x －18010)＝10 890C ．x(50－x －18010)－50×20＝10 890D ．(x ＋180)(50－x10)－50×20＝10 89019．方程x 2－7|x|＋12＝0的根的情况是( ) A ．有且仅有两个不同的实根 B ．最多有两个不同的实根 C ．有且仅有四个不同的实根 D ．不可能有四个实根参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.D 4.B 5.C 6．2 019 7.x 1＝0，x 2＝1 8．解：∵x 2－3x ＋2＝0， ∴(x－1)(x －2)＝0， ∴x－1＝0或x －2＝0， ∴x 1＝1，x 2＝2.9．解：(1)∵a＝1，b ＝2m ，c ＝m 2－1， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4>0， ∴方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根． (2)∵x 2＋2mx ＋m 2－1＝0有一个根是3， ∴32＋2m×3＋m 2－1＝0， 解得m ＝－4或m ＝－2.10．解：(1)设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将(40，600)，(45，550)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝1 000， ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝－10x ＋1 000.(2)设此设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为(x －30)万元，销售数量为(－10x ＋1 000)台， 根据题意得：(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000， 整理得x 2－130x ＋4 000＝0， 解得x 1＝50，x 2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元，1∴x＝50.答：该设备的销售单价应是50万元/台． 【拔高训练】 11．A 12.B 13.B 14．8 15.7 16.－1或4 17．解：(1)由题意可得40n ＝12， 解得n ＝0.3.(2)由题意可得40＋40(1＋m)＋40(1＋m)2＝190， 解得m 1＝12，m 2＝－72(舍去)，∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1＋m)＝40(1＋50%)＝60(家)． (3)设第一年用甲方案治理降低的Q 值为x ，第二年Q 值因乙方案治理降低了100n ＝100×0.3＝30，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝30，x ＋2a ＝39.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20.5，a ＝9.5. 答：第一年用甲方案治理降低的Q 值为20.5，a 的值为9.5. 【培优训练】 18．B 19.C。
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第2节 一元二次方程及其应用
(建议答题时间：45分钟)
基础过关
1. 一元二次方程x 2－16＝0的根是( )
A.x ＝2
B. x ＝4
C. x 1＝2，x 2＝－2
D. x 1＝4，x 2＝－4
2. (2017舟山)用配方法解方程x 2＋2x －1＝0时 ，配方结果正确的是( )
A. (x ＋2)2＝2
B. (x ＋1)2＝2
C. (x ＋2)2＝3
D. (x ＋1)2＝3
3. (2017上海)下列方程中，没有实数根的是( )
A. x 2－2x ＝0
B.x 2－2x －1＝0
C. x 2－2x ＋1＝0
D.x 2－2x ＋2＝0
4. (2017重庆一外二模)已知x ＝－1是方程x 2－ax ＝3的一个解，则此方程的另一个解是( )
A. 1
B. 3
C. －3
D. 2
5. (2017重庆巴蜀一模)若关于x 的一元二次方程x 2＋m ＝3x 有两个不相等的实数解，则m 的取值范围是( )
A.m ＞94
B.m ＜94
C. m ≥94
D. m ≤94
6. (2017江西)已知一元二次方程2x 2－5x ＋1＝0的两个根为x 1，x 2，下列结论正确的是( )
A.x 1＋x 2＝－52
B.x 1·x 2＝1
C. x 1，x 2都是有理数
D. x 1，x 2都是正数
7. (2017重庆八中二模)关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋3＝0有实数根，则整数a 的最大值是( )
A. 0
B. 1
C. 43
D. 2 8. (2017安徽)一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x ，则x 满足( )
A. 16(1＋2x )＝25
B. 25(1－2x )＝16
C. 16(1＋x )2＝25
D. 25(1－x )2＝16
9. (2017无锡)某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是( )
A. 20%
B. 25%
C. 50%
D. 62.5%
10. (2017重庆南岸区模拟)新生入学时，每一个同学向全班其他同学各送一张个性化名片，以加快相互熟悉，全班共送了个性化名片1640张，求全班的总人数，设全班有x 名学生，则根据题意可列方程( )
A. x (x －1)＝1640
B.x (x ＋1)＝1640
C. 2x (x ＋1)＝1640
D. x (x －1)＝2×1640
11. (2017兰州)王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意可列方程为( )
第11题图
A. (80－x)(70－x)＝3000
B. 80×70－4x2＝3000
C. (80－2x)(70－2x)＝3000
D. 80×70－4x2－(70＋80)x＝3000
12. (2017德州)方程3x(x－1)＝2(x－1)的根为____________．
13. (2017南京)已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p＝____，q＝____．
14. (2017兰州)解方程：2x2－4x－1＝0.
15. (2017丽水)解方程：(x－3)(x－1)＝3.
16. (2017菏泽)某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
17. (2017常德)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分．下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．。