许坤武两角和与差的余弦
三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式
三角恒等式
两角和与差的正弦公式
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny
两角和与差的正切公式
tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)
倍角公式
《三角恒等变换两角和与 差的正弦余弦正切公式》
xx年xx月xx日
目录
• 三角恒等变换 • 两角和与差的正弦余弦正切公式 • 应用举例 • 相关知识点链接
01
三角恒等变换
定义和性质
定义
三角恒等变换是利用三角函数的性质及公式，对不同的角进 行恒等变换的方法。
性质
三角恒等变换的实质是角的变换，通过已知角表达未知角， 常用公式包括和差角公式、倍角公式、半角公式等。
两角和与差的正弦
01
了解并熟悉$\sin(x+y)$和$\sin(x-y)$的计算公式。
两角和与差的正切
02
了解并熟悉$\tan(x+y)$和$\tan(x-y)$的计算公式。
特殊角的正弦余弦正切值
03
熟悉0度到90度之间的一些特殊角的正弦、余弦和正切值。
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两角差的正切公式
总结词
两角差的正切公式是三角恒等变换中的基础公式之一， 用于求解或化简三角函数值。
详细描述
设角度$\alpha$和$\beta$的差为$\varphi$，则两角 差的正切公式为$\tan\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \frac{\sin\alpha\cos\beta \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta}$
三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式两角和与差的正切公式
三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式两角和与差的正切公式三角恒等变换是数学中一组重要的等式，用于研究三角函数间的关系。
这些恒等变换的证明是通过运用三角函数的定义和基本关系推导而出的。
其中，两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等变换中的一类重要公式。
接下来，我们将详细介绍这些公式的数学推导和应用。
两角和与差的正弦公式：正弦是一个周期函数，它在一个周期内有无数个对称点。
假设角A和角B都是处于0到2π之间的角，则角A和角B可以写成：A=π+x，B=π-x根据三角函数的定义，我们可以得到：sin(A) = sin(π + x) = - sin(x)sin(B) = sin(π - x) = sin(x)利用这些关系，我们可以推导出两角和与差的正弦公式：sin(A + B) = sin(π + x + π - x) = - sin(x) + sin(x) = 0这就是两角和的正弦公式。
同样地，可以通过其他方式推导出两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin(π + x - (π - x)) = sin(2x) = 2sin(x)cos(x)两角和与差的余弦公式：利用三角函数的定义和性质，可以得到余弦公式：cos(A) = cos(π + x) = - cos(x)cos(B) = cos(π - x) = - cos(x)利用这些关系，可以推导出两角和与差的余弦公式：cos(A + B) = cos(π + x + π - x) = - cos(x) - cos(x) = - 2cos(x)这就是两角和的余弦公式。
同样地，可以通过其他推导方法得到两角差的余弦公式：cos(A - B) = cos(π + x - (π - x)) = cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1两角和与差的正切公式：正切是正弦与余弦的商，因此两角和与差的正切公式可以由正弦和余弦的公式推导而出。
两角和与差的余弦公式ppt
最后总结课程内容和收获，提出思考和进一步学习的方向
02
两角和与差的余弦公式概述
余弦函数是周期函数，最小正周期为2π。
余弦函数的基本性质
周期性
余弦函数的振幅为1。
振幅
余弦函数在不同相位上具有不同的形状。
相位
基于三角函数的和差公式
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny
两角和与差的余弦公式可以用于解决各种问题，如振动分析、信号处理、控制系统等领域。
掌握两角和与差的余弦公式对于进一步学习和应用也有很大的帮助。
03
两角和与差的余弦公式在解决实际问题时，需要考虑精度和稳定性，有时可能会出现误差较大的情况。
两角和与差的余弦公式的局限性
01
两角和与差的余弦公式只适用于角度之和或差的情况，不能用于任意两个角度。
直线交点坐标
两角和的余弦公式可以用来求解两条直线的交点坐标，其中涉及到直线的方向向量和交线的方向向量之间的夹角。
解析几何中的两角和与差的余弦公式
05
两角和与差的余弦公式总结与展望
1
两角和与差的余弦公式的重要性
2
3
三角函数在数学、物理、工程等多个领域有广泛应用，而两角和与差的余弦公式是三角函数的核心内容之一。
课堂练习题
思考题和作业题
完成教材或其他参考资料上的相关思考题和作业题，通过不同的题型锻炼应用能力。
可以自己设计一些问题，运用所学的两角和与差的余弦知识进行求解，提升自主思考和创新能力。
思考两角和与差的余弦公式在解三角形、向量、函数等其他数学领域的应用。
参考资料推荐
《高中数学》（人教版）教材，第一章 三角函数 第4节 两角和与差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
两角和与差的余弦公式证明
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的,因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同,认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法,对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用。
下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴,垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A,过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C,那么cosβ＝OA，sinβ＝AP,并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP ＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难。
此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题。
方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1（x1，y1），P2（x2，y2)，则有｜P1P2 ｜= 。
在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α,α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1（1，0）、P2（cosα，sinα)、P3（cos （α+β)，sin（α+β))、。
∵，且，∴，∴,∴，∴，∴,。
说明:该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点,建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况,还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式
2023年高考数学一轮复习讲义——两角和与差的正弦、余弦和正切公式
§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β； (6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. 2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)32sin α＋12cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( × ) 教材改编题1．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．－210 B.210C ．－7210 D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210. 2．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ . 答案 12解析 原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12. 3．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 答案 17解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.题型一 两角和与差的三角函数公式例1 (1)(2022·包头模拟)已知cos α＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6等于() A.13 B.12C.22D.33 答案 D解析 ∵cos α＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1，∴cos α＋12cos α＋32sin α＝32cos α＋32sin α＝3⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝33.(2)化简：①sin x ＋3cos x ＝ .答案 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3解析 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ②24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝ .答案 22sin ⎝⎛⎭⎫7π12－x解析 原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫7π12－x . 教师备选1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22答案 B解析 因为sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6sin π6＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6sin π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1. 所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝33. 2．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－112答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，tan α＝－34， 又tan(π－β)＝12， ∴tan β＝－12， ∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝－34＋121＋⎝⎛⎭⎫－34×⎝⎛⎭⎫－12＝－211. 思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1 (1)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小值为( ) A. 2B ．－2C ．－ 2 D. 3答案 C解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 ＝sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4＋sin 2x cos π4－cos 2x sin π4＝2sin 2x . ∴y 的最小值为－ 2.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3cos α，tan β＝33，则tan(α＋β)＝ . 答案 －33 解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝3cos α，所以－sin α＝3cos α，故tan α＝－3， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3＋331＋3×33 ＝－2332＝－33.题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例2 (1)(多选)已知α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是( ) A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝13C ．β－α＝－π3D ．β－α＝π3答案 AD解析 由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝12，即选项A 正确，B 错误；∵γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0<β－α<π2，∴β－α＝π3，即选项D 正确，C 错误．(2)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14 B.13C.12 D.53答案 B解析 ∵C ＝120°，∴tan C ＝－ 3.∵A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝－tan C .∴tan(A ＋B )＝3，tan A ＋tan B ＝3(1－tan A tan B )，又∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝13.延伸探究 若将本例(2)的条件改为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则C 等于() A ．45° B ．135°C ．150°D ．30°答案 A解析 在△ABC 中，因为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1＝－tan C ， 所以tan C ＝1，所以C ＝45°.教师备选1．若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ . 答案 2解析 tan ⎝⎛⎭⎫－3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β， 所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.2．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .答案 －12解析 ∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12， ∴sin(α＋β)＝－12. 思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 跟踪训练2 (1)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b答案 D 解析 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°) ＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增， 所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .答案 4解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4. 题型三 角的变换问题例3 (1)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫π3，5π6，若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－5π6＝513，则sin(α－β)的值为( ) A.1665B.3365C.5665D.6365答案 A解析 由题意可得α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π， β－5π6∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－5π6＝－1213， 所以sin(α－β)＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－⎝⎛⎭⎫β－5π6 ＝－45×513＋⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－1213 ＝1665. (2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .答案 －1 12解析 ∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan (α＋2β)－tan β1＋tan (α＋2β)tan β＝2－(－3)1＋2×(－3) ＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝－1－(－3)1＋(－1)×(－3)＝12.教师备选(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43， tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β) ＝－211. 思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等．跟踪训练3 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝ . 答案 π4 解析 因为α，β均为锐角， 所以－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－1010， 所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55， 所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4. (2)已知0<α<π2<β<π，tan α＝43，cos(β－α)＝210，则sin α＝ ，cos β＝ . 答案 45 －22解析 因为0<α<π2，且tan α＝43， 所以sin α＝45，cos α＝35， 由0<α<π2<β<π， 则0<β－α<π，又因为cos(β－α)＝210， 则sin(β－α)＝7210， 所以cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α ＝210×35－7210×45＝－22. 课时精练1．(2022·北京模拟)tan 105°等于( )A ．2－ 3B ．－2－ 3C.3－2 D ．－ 3答案 B解析 tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°·tan 45°＝3＋11－3＝(3＋1)2(1－3)(1＋3)＝4＋23－2＝－2－ 3.2．已知点P (x ，22)是角α终边上一点，且cos α＝－13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α等于() A ．－3＋226 B.3＋226C.3－226D.22－36答案 A解析 因为点P (x ，22)是角α终边上一点，则有cos α＝x x 2＋(22)2＝x x 2＋8，而cos α＝－13，于是得x x 2＋8＝－13，解得x ＝－1，则sin α＝22x 2＋8＝223，因此，cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos π6cos α－sin π6sin α＝32×⎝⎛⎭⎫－13－12×223＝－3＋226，所以cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－3＋226.3.sin 10°1－3tan 10°等于( )A ．1 B.14C.12 D.32 答案 B解析 sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10° ＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14.4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于() A.3π4 B.π4或3π4C.π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z )答案 C解析 由sin α＝55，cos β＝31010， 且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010 ＝22， 又0<α＋β<π，故α＋β＝π4. 5．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12答案 BCD解析 对于A ，方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，A 错误． 对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确．对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12，C 正确．对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12，D 正确． 6．(多选)已知cos(α＋β)＝－55，cos 2α＝－513，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( ) A ．sin 2α＝1213B ．cos(α－β)＝19565C ．cos αcos β＝8565D ．tan αtan β＝118答案 AC解析 因为cos(α＋β)＝－55， cos 2α＝－513，其中α，β为锐角， 所以sin 2α＝1－cos 22α＝1213，故A 正确； 因为sin(α＋β)＝255， 所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－513×⎝⎛⎭⎫－55＋1213×255＝29565，故B 错误； cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] ＝12⎝⎛⎭⎫－55＋29565＝8565， 故C 正确；sin αsin β＝12[cos(α－β)－cos(α＋β)] ＝12⎣⎡⎦⎤29565－⎝⎛⎭⎫－55＝21565， 所以tan αtan β＝218，故D 错误． 7．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .答案 sin(α＋γ)解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．8．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 －5665解析 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以3π2<α＋β<2π， π2<β－π4<3π4， 因为sin(α＋β)＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213， 所以cos(α＋β)＝45， cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665. 9．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值． 解 ∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2， π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. 10．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解 (1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2. 又∵tan(α－β)＝－13＜0， ∴－π2＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050.11．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．－3 B.13C ．－13D ．3答案 C解析 由cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)得sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α ＝1－21－1×(－2)＝－13. 12．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B ．315sin x ＋35cos x ＝35sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 C ．f (x )＝sin x 2＋cos x 2的最大值为2 D ．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1答案 AD解析 对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 正确；对于B ， 315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故B 错误； 对于C ，f (x )＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4， 所以f (x )的最大值为2，故C 错误；对于D ，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确．13．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝ .答案 －3π4解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β ＝－3a 1－(3a ＋1)＝1. 又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β<0，tan α·tan β>0， 所以tan α<0且tan β<0，所以－π2<α<0且－π2<β<0， 即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4. 14．(2022·阜阳模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．答案 [－1，1]解析 由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. ∵π2≤α≤π， ∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．15．(2022·河北五校联考)已知x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π8 答案 B解析 由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )得sin x cos y ＋cos x sin y＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y 1＋tan x tan y＝2tan y 1＋3tan 2y ＝21tan y＋3tan y ≤33， 当且仅当tan y ＝33时等号成立， 由于f (x )＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 又x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则x －y 的最大值为π6. 16.如图，在平面直角坐标系Oxy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知S △OAM＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解 (1)由题意知，|OA |＝|OM |＝1，因为S △OAM ＝12|OA |·|OM |sin α＝55， 所以sin α＝255， 又α为锐角，所以cos α＝55. 因为点B 是钝角β的终边与单位圆O 的交点，且点B 的纵坐标是210， 所以sin β＝210，cos β＝－7210， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×⎝⎛⎭⎫－7210＋255×210＝－1010. (2)因为sin α＝255，cos α＝55， cos(α－β)＝－1010， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝255×⎝⎛⎭⎫－7210－55×210＝－31010， 所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－22， 因为α为锐角，sin α＝255>22， 所以α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.。
两角和与差的正弦余弦公式
两角和与差的正弦余弦公式两角和公式：设角A和角B是两个任意角，我们要求它们的正弦和余弦。
首先，根据三角函数的定义，角A的正弦和余弦分别为sinA和cosA，角B的正弦和余弦分别为sinB和cosB。
现在我们来求两个角的和，设C=A+B，则C的正弦和余弦分别为sinC和cosC。
根据三角函数的和差化积公式，我们有：sinC = sin(A+B) = sinA * cosB + cosA * sinBcosC = cos(A+B) = cosA * cosB - sinA * sinB这就是两角和的正弦和余弦公式。
两角差公式：设角A和角B是两个任意角，我们要求它们的正弦和余弦。
首先，根据三角函数的定义，角A的正弦和余弦分别为sinA和cosA，角B的正弦和余弦分别为sinB和cosB。
现在我们来求两个角的差，设C=A-B，则C的正弦和余弦分别为sinC和cosC。
同样根据三角函数的和差化积公式，我们有：sinC = sin(A-B) = sinA * cosB - cosA * sinBcosC = cos(A-B) = cosA * cosB + sinA * sinB这就是两角差的正弦和余弦公式。
总结：sin(A+B) = sinA * cosB + cosA * sinBcos(A+B) = cosA * cosB - sinA * sinBsin(A-B) = sinA * cosB - cosA * sinBcos(A-B) = cosA * cosB + sinA * sinB这些公式在解决各种三角函数问题时十分有用。
通过这些公式，我们可以将一个复杂的三角函数问题转化为简单的代数运算问题来求解。
例如，我们可以利用两角和公式来证明sin60°* cos30° +cos60°* sin30° = sin90°，通过代入sin60°=1/2、cos30°=√3/2、cos60°=1/2、sin30°=1/2和sin90°=1，可以发现等式成立，这说明两角和公式在这个例子中是正确的。
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB ＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |=.在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. ∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法.文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S △OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcos α；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsin β.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. ＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ). 由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果.。
1第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式课件人教新课标
2．函数 y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4的最小值为(
)
A. 2
B．－2
C．－ 2
D. 3
解析：选 C.因为 y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4＝sin 2xcosπ4＋cos 2xsinπ4＋sin 2xcosπ4－cos 2xsinπ4＝ 2sin 2x，所以所求函数的最 小值为－ 2.
答案：
6＋ 4
2
6－ 2 4
栏目 导引
给角求值
求值：
(1)cos 105°；
sin 50°－sin 20°cos 30°
(2)
cos 20°
.
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【解】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)
＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°
B＝30°时，
sin B＋sin C 取得最大值 1.
【答案】 (1)B (2)1
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
辅助角公式及其运用 (1)公式形式：公式 asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)(或 asin α ＋bcos α＝ a2＋b2cos(α－φ))将形如 asin α＋bcos α(a，b 不同时 为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． (2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要 求变形后角 α 的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
第三章 三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
考点
学习目标
两角和与差的正 弦、余弦公式
两角和与差的余弦课件
公式意义
两角和的余弦等于两个角 的余弦之积减去两个角的 正弦之积
公式证明
根据三角函数的和差化积 公式和三角函数的积化和 差公式可以证明
两角差的余弦公式
公式定义
$\cos(α-β)=\cos α\cos β+\sin α\sin β$
公式意义
两角差的余弦等于两个角 的余弦之积加上两个角的 正弦之积
公式证明
解决物理问题等。随着科学技术的不断发展，该公式将在更多的领域得
到应用和发展。
THANKS
感谢观看
在信号处理中的应用
信号的合成与分解
使用两角和与差的余弦公式，可以将一 个信号分解为多个信号的叠加，也可以 将多个信号合成为一个信号。
VS
信号的调制与解调
在信号调制过程中，使用两角和的余弦公 式可以将一个低频信号加载到高频载波上 ；在信号解调过程中，使用两角差的余弦 公式可以从高频信号中提取出低频信号。
重要性质
该公式具有一些重要的性质，例如，当两个角度的和或差 为90度时，余弦值为0；当两个角度的和或差为180度时 ，余弦值为-1等。
应用范围
该公式在解决三角形问题、极坐标系问题以及在信号处理 等领域都有广泛的应用。
对两角和与差的余弦公式的展望
01
进一步研究
尽管我们已经得到了两角和与差的余弦公式，但是对该公式的进一步研
05
CATALOGUE
两角和与差的余弦公式的变式与扩展
两角和的余弦公式的变式
公式变形
$\cos(A+B) = \cos A \cos B \sin A \sin B$
证明
利用和差角公式和三角函数的和 角公式进行变形。
应用
用于计算两角和的余弦值，或者 利用已知的两角和的正弦、余弦
《两角和与差的余弦》课件
学生在学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式后，需要进一步探索两角和 与差的余弦公式的推导和应用。
课程目标
知识目标
情感、态度与价值观目标
使学生掌握两角和与差的余弦公式的 推导过程，理解其几何意义。
培养学生对数学的兴趣和热爱，体验 数学在解决实际问题中的价值，培养 团队协作和交流沟通能力。
能力目标
两角差的余弦公式
公式形式
cos(α-β)
公式推导
利用三角函数的差角公式，将cos(α-β)拆解为cosαcosβ+sinαsinβ
公式应用
用于计算两角差的余弦值，是解决三角函数问题的重要公式之一。
公式推导过程
利用三角函数的和角公式，将 cos(α+β)拆解为cosαcosβ-sinαsinβ
通过推导过程，可以发现两角和与差 的余弦公式具有对称性和统一性，是 三角函数知识体系中的重要组成部分 。
实际情境
结合实际情境，设计一些涉及两角和与差的余弦公式的实际问题，让学生在解决实际问题中提高数学应用能力和 问题节课的重点与难点
重点
理解两角和与差的余弦公式，掌握其推导过程和应用。
难点
如何将两角和与差的余弦公式应用于实际问题中，以及公式的变形和拓展。
学习收获与感悟
收获
通过本节课的学习，学生能够熟练掌握两角和与差的余弦公式，了解其在三角函数和解 析几何等领域的应用。
感悟
学生在学习过程中应注重培养自己的逻辑思维和问题解决能力，学会运用所学知识解决 实际问题。
下节课预告
01
下节课将重点讲解三角函数的图 像和性质，包括正弦、余弦、正 切函数的图像和周期性、奇偶性 等性质。
在解决实际问题中的应用
两角和与差的余弦公式ppt
利用向量的方法证明
向量证明
向量的点积
将角差向量用单位向量表示，通过向 量的点积和差积运算，得到两角和与 差的余弦公式。
对于两个向量$\mathbf{a}$和 $\mathbf{b}$，它们的点积定义为 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\ma thbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$， 其中$\theta$是两个向量的夹角。
04
两角和与差的余弦公式的应用
在解三角形题中的应用
判断三角形形状
利用两角和的余弦公式，通过计算三角形的三边长，可以判 断三角形形状，如直角三角形、等边三角形等。
求解三角形面积
在解三角形题中，有时需要求解三角形的面积，此时可以通 过两角和的余弦公式，先求出其中一个角的正弦或余弦值， 再利用面积公式求解。
向量的差积
对于两个向量$\mathbf{a}$和 $\mathbf{b}$。它们的差积定义为 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=|\m athbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\ma thbf{n}$。其中$\theta$是两个向量 的夹角
利用三角函数的方法证明
在求某些三角形的度数时，可以使用两角和与差的余弦公式解三角形方程，如求 解三角形内角度数等。
三角形度数范围
在求某些三角形的度数时，有时需要确定三角形度数的范围，此时可以通过两角 和与差的余弦公式结合正弦定理或余弦定理进行求解。
05
两角和与差的余弦公式的一般化推广
一般化的推广形式
推广到任意角的余弦公式
两角和与差的余弦公式的形式
两角和的余弦公式
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式两角和与差的正弦余弦公式
解决三角函数问题
利用两角和的正切公式求三角函数的值
利用两角差的正切公式求三角函数的值
03
三角恒等变换
三角恒等变换的定义
定义
三角恒等变换是指利用三角函数的和、差、倍、半等关系，将一个式子化为另一 个式子的过程。
三角恒等变换的常用公式
和角公式、差角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式、半角公式等。
正弦函数在区间[2kππ/2,2kπ+π/2]上单调递增 ，在区间 [2kπ+π/2,2kπ+3π/2]上 单调递减
05
三角恒等变换的证明方法
通过两角和与差的正弦公式证明
总结词
通过两角和与差的正弦公式，可以将不同角度的三角函数值转化为相同角度或相 反角度的三角函数值，从而证明恒等式。
证明方法
利用两角和与差的正弦公式，将正弦函数的角度进行加减，得到证明结果。
正切函数是定义在整个复 平面上的，因此是 无界函 数。
奇偶性
正切函数的奇 偶性
正弦函数是奇函数，即对 于任意的实数x，都有sin(x) = -sin(x)；余弦函数是 偶函数，即对于任意的实 数x，都有cos(-x) = cos(x) 。
对于任意的实数x，都有 tan(-x) = -tan(x)。
增减性
三角恒等变换的证明方法
通过已知的三角恒等式证明新的三角恒等式，通常需要使用已知的推论或定理进 行推理和证明。
证明方法：直接证明、间接证明、反证法等。
三角恒等变换的应用
应用领域
三角恒等变换在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
常见问题
化简和求值，解方程，证明恒等式等。
04
三角函数的相关概念
三角函数的定义
许坤武两角和与差的余弦
教学课题：两角差的余弦公式厦门杏南中学高中数学许坤武一、概述：本节课选自人教版数学必修4第三章第一节《两角和差的正弦、余弦和正切公式》，这是第一课时。
本节课的内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单个角的三角函数表示的两角和与差的三角函数。
两角和差公式是三角变换的基本依据，因此本课是继续研究三角变换的基础，同时在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面也有着广泛的应用。
本节课两角差的余弦公式正是本章所涉及的所有公式的源头，所以如何上好这节课显得尤其重要。
在知识产生过程中，是由本书的前面两章的知识点推导出了新知识，符合知识产生的规律，符合学生认知的规律。
另外，课本中丰富的生活实例引导学生用数学的眼光看待生活、体验生活，在问题的研究中，体验用数学知识解决实际问题，增强了学生的数学应用意识。
二、教学目标分析：1.知识与技能（1）学生能够理解推导两角差的余弦公式的过程，复习巩固向量的应用；（2）学生通过简单的知识应用，初步理解公式的结构和应用。
2.过程与方法教师创设情境，并通过向量的手段证明两角差的余弦公式并加以应用。
在研究过程中，学生从特殊到一般的探究方法，巩固了数形结合，分类讨论的数学思想。
3.情感态度价值观在数学知识的发现和产生过程中，学生理解了数学研究的思想方法，体会了数学研究的应用严谨性，体会了数学的广泛应用性，感受到数学的美，从而提高了学生生对数学学习的热爱，激发学生学习数学、研究数学的热情。
教学重点: 两角差的余弦公式的推导教学难点:将公式中的αβ、角推广到任意角，从特殊到一般的探究思想三、学习者特征分析本节课面向高一年的同学。
结合我校的实际及平时对学生的了解，教师感受到，这些同学经过高一的学习，已经较好的掌握了高中数学学习的方法，学习积极性强。
这是教学过程中的一个有利因素。
但是，我们的学生基础相对不是特别扎实，主动思考的表现得不够突出，同时，在学习过程中，学生更习惯于对知识的直接背诵和直接运用，探究能力明显不足。
两角和与差的正弦余弦课件
图像绘制
绘制两角和与差的正弦余弦函数图像
使用数学软件（如GeoGebra、Desmos等）绘制两角和与差的正弦余弦函数的 图像，以便直观地展示函数的变化趋势和性质。
调整参数观察图像变化
通过调整角度、振幅等参数，观察图像的变化规律，以便更好地理解函数的性质。
图像分析
弦和余弦函数。
正弦余弦的奇偶性
奇偶性总结
奇偶性的应用
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。这意味着它们具有不同的对称 特性。
奇偶性在解决物理问题、进行数学分 析等方面都有应用。了解奇偶性有助 于更好地理解和应用正弦和余弦函数。
奇偶性描述
奇函数在对称轴两侧相等角度范围内 具有相反的函数值，而偶函数在对称 轴两侧相等角度范围内具有相同的函 数值。
分析函数图像的对称性
观察两角和与差的正弦余弦函数的图 像，分析其对称性，并理解其几何意 义。
分析函数的最值和零点
通过分析图像，找出函数的最值点和 零点，以便更好地理解函数的极值和 周期性。
图像变换
图像的平移变换
通过平移函数图像，理解平移对函数值的影响，并掌握平移变换的规律。
图像的伸缩变换
通过伸缩函数图像，理解伸缩对函数值的影响，并掌握伸缩变换的规律。
特殊角度下的正弦余弦关系
sin(α) = cos(90° - α) cos(α) = sin(90° - α) sin(180° - α) = sin(α) cos(180° - α) = -cos(α)
特殊角度下的正弦余弦图像
正弦函数图像
周期为360°，波形曲线，值域为[-1,1]
余弦函数图像
谢谢您的聆听
THANKS
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教学课题：两角差的余弦公式
厦门杏南中学高中数学许坤武
一、概述：
本节课选自人教版数学必修4第三章第一节《两角和差的正弦、余弦和正切公式》，这是第一课时。
本节课的内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单个角的三角函数表示的两角和与差的三角函数。
两角和差公式是三角变换的基本依据，因此本课是继续研究三角变换的基础，同时在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面也有着广泛的应用。
本节课两角差的余弦公式正是本章所涉及的所有公式的源头，所以如何上好这节课显得尤其重要。
在知识产生过程中，是由本书的前面两章的知识点推导出了新知识，符合知识产生的规律，符合学生认知的规律。
另外，课本中丰富的生活实例引导学生用数学的眼光看待生活、体验生活，在问题的研究中，体验用数学知识解决实际问题，增强了学生的数学应用意识。
二、教学目标分析：
1.知识与技能
（1）学生能够理解推导两角差的余弦公式的过程，复习巩固向量的应用；
（2）学生通过简单的知识应用，初步理解公式的结构和应用。
2.过程与方法
教师创设情境，并通过向量的手段证明两角差的余弦公式并加以应用。
在研究过程中，学生从特殊到一般的探究方法，巩固了数形结合，分类讨论的数学思想。
3.情感态度价值观
在数学知识的发现和产生过程中，学生理解了数学研究的思想方法，体会了数学研究的应用严谨性，体会了数学的广泛应用性，感受到数学的美，从而提高了学生生对数学学习的热爱，激发学生学习数学、研究数学的热情。
教学重点: 两角差的余弦公式的推导
教学难点:将公式中的αβ
、角推广到任意角，从特殊到一般的探究思想
三、学习者特征分析
本节课面向高一年的同学。
结合我校的实际及平时对学生的了解，教师感受到，这些同学经过高一的学习，已经较好的掌握了高中数学学习的方法，学习积极性强。
这是教学过程中的一个有利因素。
但是，我们的学生基础相对不是特别扎实，主动思考的表现得不够突出，同时，在学习过程中，学生更习惯于对知识的直接背诵和直接运用，探究能力明显不足。
所以，在问题的设置和引导方面，要多下功夫，多一些层次，多一些台阶，更充分地调动学生的参与意识，更注重与学生的交流。
四、教学策略选择与设计
1．多层次多角度进行问题情景的设置，以问题作为教学的出发点和衔接，体现以问题为载体、以学生为主体的教学理念。
2．公式探究过程中，采用了从特殊到一般逐层递进的思维方法。
3．注意启发式教学，引导学生通过观察、思考和探索，自己提出猜想，研究猜想，自己发现公式，证明公式，从而达到培养学生积极钻研的学习态度和独立解决问题的意识。
4.通过引导学生交流讨论及阅读课本，培养学生自主学习的能力和合作探究能力。
五、教学资源： 计算机，圆规,三角板 六、教学过程
C B A M βαy
x P 1P
O
θB A
O x y 由向量数量积的概念，有OA OB OA OB ⋅=⋅⋅由向量的数量积的坐标表示，有：cos cos αβ=+
cos sin sin βαβ+ 称为：差角的余弦公式
公式的结构特点；
及时归纳小结，有
)cos sin()sin 3
βαββ++=
,2)π；求cos()4π
α-的值。
（供学有余力的学生选用）
各个学生之间存在的差异，作业的方式。
七、教学流程图
八、学生学习情况评价表
九、帮助和总结
本节课，教师引导学生通过三角函数线和向量的方法，推导和证明了两角和差的余弦公式，并通过例题和练习巩固应用。
在设计过程中，着重向学生展示了数学问题的研究过程，体现了从特殊到一般的研究方法，也渗透了分类讨论等思想方法。
分析讲解的重点放在如何提出猜想和如何证明猜想。
当学生提出不正确的猜想时，引导他们应用已学的知识自我分析交流，自己断定。
当学生的思维碰到难点时，教师及时进行有效的指导，借助三角函数的定义和向量两个知识点来研究问题，自然而顺利地突破难点、突出重点、发展思维的目的。
具体分析过程中，一方面给学生更多的时间去阅读课本，培养学生的自学能力，另一方面，针对本节课中学生容易出现的几个问题，设计了多个小问题，分层次进行解决。
同时课堂中的提问，整体提问还是个别提问，问题的设置能依据课堂实际教学生成，使得问题意识能更好的渗透到教学的每个环节。
多媒体辅助教学在本节课中也有明显的体现，从复习引入到公式推导到例题分析，采用PPT投影的方式，使得整个教学过程流畅，容量增加，凸显了数学与计算机的整合。