第一章_概率论基础
第1章 概率论基础(共12课时)
解：(1) A1 A2 A3 .
(2) A1 A2 A3 . (3) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
A1 A2 A3 A1 A2 A3 .
(4) A1 A2 A3 或 A1 A2 A3.
§1.2
随机事件及其概率
数理统计部分则是以概率论作为理论基础，通过抽样对总体 进行估计与统计推断。
第一章
概率论基础
概率论简史
概率论起源——16、17世纪欧洲国家贵族的赌博游戏： 【问题1】同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10， 哪种情况出现的可能性较大？ 【问题2-德· 梅耳问题】17世纪中叶，法国贵族德· 梅耳发现了 这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比 较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却 很少。这是什么原因呢？ 【问题3-分赌注问题】两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢 得5局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终 止赌博，应如何分赌本？
§1.2
随机事件及其概率
1.2.3 事件的概率及性质
1．频率与概率的统计定义 【定义1.3】设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条 件下，把E独立的重复做n次，nA表示事件A在这n次试验中发生 的次数（称为频数）．比值fn(A) = nA / n称为事件A在这次试验 中发生的频率．
易知频率有如下性质：
《概率论与数理统计》
— Probability and Mathematical Statistics —
数学与计算机学院
数学教研室
1
《概率论与数理统计》
第1章
第1讲 第2讲 第3讲 第4讲
概率论基础 PPT课件
正概率点为至多可列个
连续型 其他
任何随机变量X都是从负无穷到正无穷
离散型随机变量特点：正概率点为有限个或者可列个
0，1：正概率点 P(1)=1/2
P(0)=1/2
非离散型
连续型 其他
三.随机变量(random variable)的分布
4.1 概率的数学（公理化）定义 概率就是广义的函数
数学定义：设E是一个随机试验，Ω为它的样本空间，以E中所有的随机事件 组成的集合（事件体）为定义域，定义一个函数P(A)（其中A为任一随机事件），
且P(A)满足以下三个公理，则称函数P(A)为事件A的概率。
公理1（非负性） 0≤P(A)≤1 公理2（规范性） P(Ω)=1 公理3（可列可加性） 若A1,A2, …,An,…两两相斥，则
第一章 概率论基础
§1.1 概率简述
1. 随机现象及其统计规律性
在一组不变的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象， 这类现象的一个共同点是： 事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种。
2. 随机试验与随机事件 我们把对随机现象进行的一次观测或者一次实验统称为一个试验， 如果这个试验满足下面的三个条件： （1）在相同的条件下，试验可以重复地进行；（可重复） （2）试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果； （3）在进行试验前不能确定出现哪一个结果。（不可预测） 那么我们就称它是一个随机试验，简称试验。一般用字母E表示。
数值p为事件A在条件S下发生的概率(probability) ，记作P(A)=p。
例2：捕鱼问题
× f
n
A
n
P
A
池塘中有鱼若干（不妨假设为n条），先捞上1000条作记号，放回后再
概率论基础知识
对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，即P{X＝a}＝0。事实上0≤P{X＝a}≤P{a－△x＜X≤a}＝F(a)－F(a－△x).P{a＜X≤b}＝P{a≤X≤b}＝P{a＜X＜b}.
定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
多个事件相互独立：一般，设A1，A2，…，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。
推论：①若事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。
第一章 概率论的基本概念
一、事件运算常用定律（设A,B,C为事件）：
二、频率与概率
1.概率的公理化定义：
①非负性：对于每一个事件A，有P加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj＝∅，i≠j，i,j＝1,2,…，有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋….
P{X＞s＋t|X＞s}＝P{X＞t}
3.正态分布(高斯分布)[X～N(μ,σ2)]：
正态分布性质：
①曲线关于x＝μ对称，这表明对于任意h＞0有P{μ－h＜X≤μ}＝P{μ＜X≤μ＋h }.
②当x＝μ时取到最大值 ，x离μ越远，f(x)的值越小。
③在x＝μ±σ处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。
标准正态分布：μ＝0，σ＝1.其概率密度和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示，即有：
②若n个事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
概率论基础
第1章概率论基础＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝本章将复习与总结概率论的基本知识也扩充一些新知识点，比如：1）利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的概率密度函数，2）随机变量的条件数学期望3）特征函数4）瑞利与莱斯分布5）随机变量的基本实验方法＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝1.1概率公理与随机变量1.2多维随机变量与条件随机变量1.3随机变量的函数1.4数字特征与条件数学期望121.5特征函数1.6典型分布1.7随机变量的仿真与实验＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝1.1概率公理与随机变量此句作为后面每页ppt的标题＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝随机试验（Random Experiment）：对随机现象做出的观察与科学实验。
样本空间（Sample space）：随机试验所有的基本可能结果构成的集合称Ω。
Ω的元素为样本点（Sample point）。
事件（Event）是试验中“人们感兴趣的结果”构成的集合，是Ω的子集。
各种不同的事件的总体构成一个事件集合，称为事件域F。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝事件是随机的。
赋予事件一个出现可能性的度量值，称为概率（Probability ）。
“可能性的度量值”是 “宏观”意义下（即大数量的情形下）的比例值，由相对频率（Relative frequency ）来计算，()AA n P A n ≈=试验中出现的次数总试验次数 （n 很大）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝概率公理： 任何事件A 的概率满足：（1） 非负性：任取事件A ，()0P A ≥ （2） 归一性：()=1P Ω（3） 可加性：若事件,A B 互斥，即，A B ⋂=∅，则，()()()=P A B P A P B ⋃+＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 事件概率的基本性质：（1） ()=0P ∅ （2） ()01P A ≤≤（3） ()()P A P B ≤，如果A B ⊆ （4） ()()()P AB P A P A B ≤≤⋃＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 条件事件：A B B A =事件发生条件下的事件 条件概率（Conditional probability ），()()()P AB P B A P A =， ()0P A >＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 事件A 与B 独立（Independent ）等价地定义为()()()P AB P A P B =多个事件12,,,n A A A 彼此独立，()()()()1212m m k k k k k k P A A A P A P A P A =＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 事件的最基本运算：（参见教材）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝例1.1 分析掷均匀硬币问题。
第1章概率论基础2.
一般地，条件概率与无条件概率之间的大小无确定的关系
1.2基本概念
全概率公式与贝叶斯（Bayes） 公式 已知
B
i 1
n i 1
n
i
; Bi B j
B1
AB1
AB2 A
ABn Bn
A ABi ; ( ABi )( AB j )
B
2
n i 1
全概率公式
(1)
P( ABC ) P( A) P( B) P(C )
(2)
注：1) 不能由关系式(1)推出关系式(2), 反之亦然;
2) 仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立.
A, B, C 相互独立⇒A, B, C 两两独立
1.2基本概念
☞定义 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立是指下面的关系式同时 成立：
i 1
在观察两个事件关系的时候，有时候需要知道 A条件下B发生的概率P(A|B)，有时候需要知 道B条件下A发生的概率P(B|A) Bayes公式揭示了这两个概率之间的关系
1.2基本概念
1.2.3 事件的独立性 P( AB) 定义：设 A , B 为两事件，若 则称事件 A 与事件 B 相互独立。 两事件相互独立的性质： 若 P( A) 0, 则P( B) P( B A) 若
n
3
☞解(Ⅱ)：此样本空间为: 基本事件总数: 3 1 2 4 (正， )（正，反） 正， （反，正） ， （反，反） ， n=4 . 事件A “掷出 1 次正面” 由 2 个样本点( 正, 反 ) ,( 反, 正 ) 组成， 2. 即 m ，故 m 1
P( A)
概率论基础1
集合A的元素 集合 的元素(element)： 的元素 ：
属于集合A的某一元素； 属于集合 的某一元素； 的某一元素
集合A的子集 集合 的子集(subset)： 的子集 ：
如果集合B的任一元素又是集合 的元素 则称B为 的子集 的子集； 如果集合 的任一元素又是集合A的元素，则称 为A的子集； 的任一元素又是集合 的元素，
物理学家的定义： 物理学家的定义：频数极限
设在某实验中观测到了n个事例，其中种类为 的事例出现了 的事例出现了r次 设在某实验中观测到了 个事例，其中种类为E的事例出现了 次，则 个事例 某事例的种类为E的概率定义为 的概率定义为： 某事例的种类为 的概率定义为： r 0 ≤ p( E ) ≤ 1 p(E) = n →∞
维因图(Venn 维因图(Venn Diagram)
A
A
A B
A∪B
A B
A∩B
1.4 概率的性质
二、概率的加法定律(Addition rule of probability) 概率的加法定律
定义: 定义 p(A): 集合 中某一事件发生的概率 集合A中某一事件发生的概率 中某一事件发生的概率; p(B): 集合 中某一事件发生的概率 集合B中某一事件发生的概率 中某一事件发生的概率; p( A ∪ B ) : 属于 或属于 的某一事件发生的概率 属于A或属于 的某一事件发生的概率; 或属于B的某一事件发生的概率 p( A ∩ B ) : 既属于 又属于 的某一事件发生的概率 既属于A又属于 的某一事件发生的概率; 又属于B的某一事件发生的概率 加法定律: 加法定律
a) b) c)
p(Ei ) ≥ 0;
第一章_概率论基础
注2
随机变量概念的理解
1） 对于ω∈Ω，有唯一X(ω)与之对应, 随机变量 X可理解为 从样本空间 Ω到实数集 Rx的一个映 射.
A
B
易知 A+= A+=A
n个事件A1,A2,…,An中至少有一个发生 是一个事件, 称为事件的和, 记作： A1+A2+…+An 或 A1A2…An
可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生, 记作
A
i 1
i
或
A
i 1
i
事件的交(积)
两个事件A与B同时发生, 即"A且B", 是一 个事件, 称为事件A与B的交. 它是由既属于A 又属于B的所有公共样本点构成的集合. 记作 AB 或 AB
事件间的关系及其运算
为了直观, 经常使用图示来表示事件, 一般地, 用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件 或者整个样本空间, 其中的一个子区域表示 一具体的事件.
A
事件的包含
如果事件A发生必然导致事件B发生， 即属 于A的每一个样本点都属于B，则称事件B包含事 件A或称事件A含于事件B，记作： BA或AB
A
B
易知 A=A A=
对立事件
事件"非A"称为A的对立事件(或逆事件). 它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成 的集合. 记作 A
显然
AA , A A , AA
A
A
事件的差
事件A发生而事件B不发生, 是一个事件, 称为事件A与B的差. 它是由属于A但不属于B 的那些样本点构成的集合. 记作 AB
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
第一章 概率论基础
第一章 概率论基础概率论是大学数学基础课，假设读者已经修过该课程。
本章对概率论的基本概念、公式进行复习，并不追求数学上的严格性与逻辑性，重点介绍概率论基本知识及Matlab 在概率论中的应用。
概率论是研究随机现象的科学。
随机现象是和确定性现象相对的，后者是在一定条件下必然发生的现象，如向上投掷一枚硬币，硬币必然要落下；前者是在一定条件下可以出现这种结果，也可以出现那种结果的现象，如向上投掷一枚硬币，硬币落下时可能正面朝上，也可能反面朝上（正面和反面是相对的，假设国徽为正面，则数字为反面；反之亦然）。
随着人类对自然和社会研究的深入，遇到的随机现象会越来越多，必然要引入概率论。
例如，物理学中研究自由落体运动，硬币的下落距离和时间有确定的数学关系，如果要进一步深入研究，就会提出这样的问题：硬币落地后是出现正面还是反面？出现正面和反面的可能性各为多少？这就涉及概率论。
概率论起源于十七世纪，它最初是为赌博服务的，后来逐步发展为数学的一个分支。
在概率论的发展史上，瑞士数学家贝努利由于提出著名的“大数定律”而被称为概率论的奠基人，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫为概率论建立了公理化体系结构，奠定了严密的数学基础。
随着科学的发展，概率论的应用比以往任何时候都更加广泛。
例如，从前的天气预报都是“硬”预报，即对未来某一天的天气做出唯一性判断，而现在的天气预报朝着“软”预报即概率预报的方向发展，它指出未来某天出现某种天气的概率为多少，以便人们做出适当的决策。
基于概率的软判决在数字通信中运用广泛，例如，在Turbo码中，基于概率的软判决可以作为边信息输入接收端，以提高对数据（即“0”或“1”）正确判决的概率。
1.1 概率论的基本概念随机现象——指在个别试验中呈现出不确定性，而在大量重复试验中又表现出统计规律性的现象，它的反面是确定性现象，确定性现象在一次试验中肯定发生或肯定不发生。
随机试验——指具有以下几个特点的试验：（1）在一定条件下可以重复地进行；（2）结果不唯一，并且是明确的；（3）试验前不能确定出现哪种结果。
第一章概率论基础知识
P{x1Xx2}P{x1Xx2}P{Xx1} F(x2)F(x1)P{Xx1}
2020/12/26
■分布函数的性质
⑴ 单调不减性：若x1 x2，则 F(x1) F(x2)
⑵ 归一 性：对任意实数x, 0Fx1，且
F ( )lim F (x)0,F( )lim F(x)1 ;
解 由题意可知 RX{0,1,2,3}，则 X 的分布律为
X0
1
2
3
p k p 3 C31(1p)p2 C32(1p)2p (1 p )3
2020/12/26
将 p 1/2带入可得 X 的分布律为
X0
1
2
3
pk 1
3
3
1
8
8
8
8
2020/12/26
2.常用的离散型随机变量
（1） (0—1)分布 定义1 如果随机变量X的分布律为
x
x
⑶ 右连续性：对任意实数 X F (x 0 ) lim F (t) F (x ).
t x
具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分 布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。
2020/12/26
例1 已知 F xA arcx tB a，n求 A，B。
解
FAB0
2
FAB1
A1
F'xfx
2020/12/26
例1 设X 的分布函数为 Fx1e2x, x0
0, x0
求 P X 2 ,P X 3 ,fx .
解 PX2F2 1e4
P X31PX31F3 e 6
fxFx
2e
2
x
概率论与数理统计 第一章 概率论基础
3) 事件 A 与 B 的差
由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
实例 设 Ｃ＝“长度合格但直径不合格” ，Ａ ＝ “长度合格”，Ｂ＝ “直径合则格”C. A B.
图示 A 与 B 的差. B A
AA B
B
B A
B A AB
1.2.2 事件间的关系及运算
称为必然现象；
实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
1.1.1 随机试验
【概率论简史】
1933 年 ， 柯 尔 莫 哥 洛 夫 （ Kolmogorov ， 俄 ， 1903-1987）在他的名著《概率论基础》一书中， 提出了概率公理化定义，并得到数学家们的普遍承 认．公理化体系给概率论提供了一个逻辑上的坚实基 础，使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其 他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分 支紧密联系起来．
1 = {正面，反面}．
1.1.2 样本空间
“抛一颗骰子观察朝上一面的点数”：
2 = {1，2，3，4，5，6}．
“某品牌电视机的寿命”：
3 = {t | t 0}．
“110每天接到的报警次数”：
4 = {0，1，2，…}．
“圆心在原点的单位圆内任取一点”：
5 = {(x，y) | x2 + y2 1}．
在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取得 了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，其应 用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预 报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、经济研 究、金融和管理等领域．
第一章 概率论的基本理论
第一章 概率论的基本理论前苏联数学家柯尔莫哥洛夫，1933年创立概率公理化体系。
⎧⎨⎩确定现象随机现象§1. 随机试验例：1E ：抛一枚硬币，观察正反面出现情况； {}1,H T Ω=2E ：将一枚硬币抛三次，观察正反面出现情况；{}2,,,,,,,HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT Ω=3E ：抛两颗色子，观察出现点数和； {}32,3,4,,12Ω=4E ：在一批灯管中任取一只，测试它的寿命； {}40t t Ω=≥ 5E ：将一尺之棰折成三段，观察各段长度；(){}5,,0,0,0,1x y z x y z x y z Ω=>>>++=特点：()()()123⎧⎪⎨⎪⎩试验可以在相同条件下重复进行；试验结果具有多种可能性，但能事先知道所有可能结果；进行试验前不能确定哪一结果出现。
满足上述特点的试验称之为随机试验，通过随机试验来研究随机现象。
§2. 样本空间 随机事件一、 样本空间随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。
样本空间通常用S 或Ω来表示。
（见上节）样本空间的元素——样本点。
二、 随机事件样本空间S 的子集——随机事件（事件），用,,A B C 表示；基本事件，必然事件，不可能事件。
事件A 发生⇔A 中有一样本点出现。
例1、 2E 2S1A ：第一次出现H {}1,,,A H H H H H T H T H HT T = 2A ：三个均出现T {}2A T T T =三、 事件间关系与事件的运算E S ,A B k A S ⊂1. A B ⊂ 事件B 包含事件A A 发生导致B 发生 A B =⇔A ⊂B 且B A ⊂。
2. A B ⋃1nk k A =1k k A ∞=3. A B A B ⋂1nk k A =1k k A ∞=4. A B A B -=5. A B ⋂=∅ ,A B 不相容，互斥6. A B S ⋃=且A B ⋂=∅——,A B 互逆，或对立事件 A B = A S A =- 算律同集合论例 设,,A B C 表示三个随机事件：○1 A 出现，,B C 都不出现 ABC ○2 ,A B 都出现，C 不出现 ABC ○3 三个事件均出现 ABC ○4 三个事件至少有一个出现 A B C ⋃⋃ ○5 三个事件均不出现 A B C ○6 不多于一个事件出现 ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC○7 不多于两个事件出现 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC or ABC ○8 三个事件至少有两个出现 ABC ABCABCABC○9 ,A B 至少有一个出现,C 不出现 ()A B C +⋅ ○10 ,,A B C 中恰好有两个出现 ABC ABC ABC§3. 频率与概率一、 排列、组合复习1. 不可重复排列（不放回） ()()()()!121!rn n A n n n n r n r =---+=-2. 可重复排列 (放回)n 个不同元素取r 个（未必不同）组成的排列种数 rn 3. 不可重复组合rnC n r ⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 乘法原理、加法原理二、 频率1、E, n 次，A, A n()An n f A n=2、性质11121.0()12()13()()()()n n k n k n n n k f A f S A A f A A f A f A f A ≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩=++……、、均不相容………… 例1， P8 例2， P9可见，n 逐渐增大-------()n f A 逐渐趋于一个常数-------------------频率稳定性-------- 统计规律性------- 概率（事件发生可能性的） -----------------概率定义三、 概率 Probability1. 定义： E S A E ⊂ 实数()P A 满足：()()()()()()()1210213,,,,,n i j P A P S A A A i j A A ⎧≥⎪⎪=⎨⎪≠⋅=∅⎪⎩非负性规范性设两两互不相容，即：时则()()()()1212nn P A A A P A P A P A =++++（可列可加性）则称P 为概率，()P A 为事件A 的概率。
概率论基础
几种常见的连续随机变量及其分布:
◎ 均匀分布 U(a,b)
f
(
x)
b
1
a
,
a
x
b;
0, 其它.
◎ 正态分布 N (, 2 )
f (x)
1
e
(
x
2
)2
2
◎ 指数分布 e()
ex , x 0;
f (x) 0, x 0,
0
1.2 随机变量及其分布
1.2.2 多维随机变量及其分布
定义1.5 设 ( ,F , P)是概率空间, X X (e) ( X1, , Xn )
i 1
i 1
i 1
精益 生产
❖ 精益生产是国际汽车计划组织对日本丰田始 创JIT生产模式的赞誉之称。精益生产是一种 以最大限度地减少运营成本为主要目标的生 产方式。
❖ 精——少而精，不投入多余生产要素，只在 适当时间生产必要的产品
❖ 益——所有经营活动有益有效，具有经济性
精益生产 的特点
• 消除一切浪费 • 追求精益求精和不断改善 • 去掉一切不增值的岗位
作业的分类
1、浪费作业：只使成本增加而不产生附加价值的作业。 2、纯作业： 是指组装零部件等能够产生附加价值的作业。 3、附加作业：是指像更换作业程序等不产生附加价值，但又必须
伴随着纯作业一起实施的作业。
虽然是产生附加价 值的作业，但需 要进一步改善
浪费 纯作业 作业
消除不必要的作业
改善不产生附加价 值的作业，使其作 业时间无限接近零
(1) P() 0;
(2) 若 A, B F , A B, 则 P(B \ A) P(B) P( A);
(3) 设 An F , n 1, 2, .
李贤平-概率论基础-第一章
例：历史上著名的投掷硬币试验.
例:高尔顿钉板试验
2.概率的描述性定义：
频率的稳定性说明：随机事件发生的可能性大小是 随机事件本身固有的、不随人们意志改变的一种客观属 性，因此可以对它进行度量。
随机事件A发生的可能性大小的度量，称为A发生的 概率 (probability)，记作P(A).
表现
概率
2.事件的并运算
A与B的并事件，记为 A B ，由属 于A或B的所有样本点组成，即
A
B
例. A = { HHH }，B = { TTT } , 则 A∪B = { HHH，TTT }, 三次都是同一面. 特别地，对任意的随机事件 A ， A ∪ A = A ， A ∪ = A， A ∪ = 当 A、B 不相容时，称它们的并为和，并记作A+B.
3.事件的交运算
A与B的交事件,记为 A B或AB，由 属于A及B的样本点组成，即
例. A = { H∗∗ }，B = { } ，则 AB = { HH∗}， 前两次都是正面。 特别地，对任意的随机事件 A ， A∩A = A, A∩ = , A∩ = A.
事件的并与交运算可推广到可列个事件的情形：
1.1.3 频率的稳定性
1.频率的定义 在相同的条件下进行了 n 次重复试验，记nA 是随机事件 A 发生的次数 (又称频数) ，则定 义随机事件 A 发生的频率为 nA Fn (A) = n 。 频率描述了一个随机事件发生的频繁程度。
大量的随机试验表明：
(1) 频率具有随机波动性，即对于同一个随机 事件来说，在相同的试验次数下，得到的 频率也不一定会相同。 (2) 频率还具有稳定性，总是在某一个具体数值 附近波动，随着试验次数的不断增加，频率的 波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。 频率的稳定性表明随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出的规律)。
第1章-概率论基本知识1
P ( X xk ) pk ,
x1 p1 x2 p2
… …
k 1, 2 ,...
… …
X pk
xk pk
分布列
常见离散型随机变量的分布
0-1分布 若随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分 布为 P(X=1)= p，P(X=0)=1-p (0<p<1) 则称X服从参数为p的0-1分布。 二项分布 若随机变量X的概率分布为
3.右连续
F(x+0)=F(x)
1.2.3 离散型随机变量
离散型随机变量 定义 1.6 如果随机变量X的全不可能取值只有有限多个 或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。
定义 1.7 设 xk(k=1,2,…) 是离散型随机变量 X 所取的一切可能 值，pk是X取值xk的概率，则称 为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
1 { X x} X x k k 1
{ X x} { X x} { X x}
{ x1 X x 2 } { X x 2 } { X x1 }
1.2.2 随机变量的分布函数 设X是一个随机变量，称
F ( x ) P ( X x ),
x
则称X为连续型随机变量, f(x)称为X的概率密度函 数,简称为概率密度或分布密度。
概率密度的性质
(1) f ( x ) 0;
(3) P ( a X b ) f ( x ) dx;
a
( 2) f ( x ) dx 1;
b
( 4 ) P ( X x ) 0;
•基本事件 •复合事件 •必然事件 •不可能事件
随机事件之间的关系
第一讲概率论基本知识
第一章 概率论基础知识概率论是随机过程的基础，在传统的概率论中，限于各种原因，往往借助于直观理解来说明一些基本概念，这对于简单随机现象似乎无懈可击，但对于一些复杂随机现象就难以令人信服了.随着随机数学理论的不断完善，随机过程越来越成为现代概率论的一个重要分支和发展方向. 为了更好地学习随机过程，我们必须对基础概率论的理论有一个比较深入和全面的了解.本章就是在此基础上系统介绍概率论基础知识，包括概率空间、随机变量及其分布、数学期望的若干性质、特征函数和母函数、随机变量列的收敛性及其相互关系、条件数学期望等.1．1 概率空间概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，由于随机现象的普遍性，使得概率论具有极其广泛的应用.随机试验是概率论的基本概念之一，随机试验所有可能结果组成的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω.Ω中的元素ω称为样本点，Ω中的子集A 称为随机事件，样本空间Ω也称为必然事件，空集Φ称为不可能事件.定义 1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合簇（collection ）（或称集类），如果 （1）Ω∈F ；（2）若A ∈F ，则\A A =Ω∈F ；（取余集封闭） （3）若n A ∈F ,1,2,n = ，则1n n A ∞=∈ F ；（可列并封闭）则称F 为σ-代数（sigma algebra -）（B orel 域或事件域（field of events ）），（,ΩF ）称为可测空间（m easurable space ）.由定义可以得到 （4）Φ∈F ；（5）若,A B ∈F ，则\A B ∈F ；（取差集封闭）（6）n A ∈F ,1,2,n = ，则1ni i A = ，1ni i A = ，1i i A ∞= ∈F （有限交，有限并，可列交封闭）定义1.2 设（,ΩF ）为可测空间，()P ⋅是定义在F 上的实值函数，如果 （1）任意A ∈F ,0()1P A ≤≤；（非负性） （2）()1P Ω=；（正规性）（3）对两两互不相容事件12,,A A （当i j ≠时，i j A A =Φ ），有11()i ii i P A P A ∞∞==⎛⎫=⎪⎝⎭∑ （可列可加性）. 则称P 是（,Ω F）上的概率（p r o b a b i l i ），(,ΩF ，P ）称为概率空间（probability space ），()P A 为事件A 的概率. 由定义知（4）,A B ∈F ,A B ⊂，则(\)()()P B A P B P A =- （可减性）一事件列{,1}n A n ≥称为单调增列，若1,1n n A A n +⊂≥；称为单调减列，若1,n n A A +⊃1n ≥. 显然，如果{,1}n A n ≥为单调增列，则1lim n in i A A∞→∞==；如果{,1}n A n ≥为单调减列，则1lim n in i A A∞→∞==.（5）（概率的连续性）若{,1}n A n ≥是递增或递减的事件列，则lim ()(lim )n n n n P A P A →∞→∞=定义1.3 设(,ΩF ，P ）为概率空间，B ∈F ，且()0P B >，如果对任意A ∈F ，记()(|)()P AB P A B P B =则称(|)P A B 为事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率（conditional probability ）. 由条件概率的定义可得到： （1）乘法公式 设,A B ∈F ，则()()(|)P AB P B P A B =一般地，若i A ∈F ,1,2,,i n = ，且121()0n P A A A -> ，则121121312121()()(|)(|)(|)n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A --=（2） 全概率公式 设(,ΩF ，P ）是概率空间，A ∈F ，i B ∈F ,1,2,,i n =()i j B B i j =Φ≠，且1,()0,ni i i B P B ==Ω> ，则1()()(|)niii P A P B P A B ==∑（3） （Bayes 公式）设(,ΩF ，P ）是概率空间，A ∈F ，i B ∈F ,1,2,,i n =()i j B B i j =Φ≠，且1,()0,()0ni i i B P B P A ==Ω>> ，则1()(|)(|)()(|)i i i niii P B P A B P B A P B P A B ==∑一般地，若12,,,n A A A ∈ F ，有11()()nni ii i P A P A ===∏ , 则称F 为独立事件簇.1.2 随机变量及其分布随机变量是概率论的主要研究对象之一，随机变量的统计规律用分布函数来描述. 定义 1.4 设(,ΩF ，P ）为概率空间，()X X ω=是定义在Ω上的实值函数，如果对于任意实数x ，有()1(,]Xx --∞={}:()X x ωω≤∈F ，则称()X ω为F上的随机变量（random variable ），简记为..r v X .随机变量实质上是（,ΩF ）到(,R B ()R ）上的可测映射（函数），记1(){()|X XB B σ-=∈B ()R }⊂F ，称()X σ为随机变量X 所生成的σ域.称{}()1()():()((,])(,]F x P X x P X xP X x P Xx ωω-=≤=≤=∈-∞=-∞为随机变量X 的分布函数(distribution function )(简记.d f ).由定义，分布函数有如下性质：（1）()F x 为不降函数：即当12x x <时，有12()()F x F x ≤； （2）()lim ()0,x F F x →-∞-∞==()lim ()1x F F x →+∞+∞==；（3）()F x 是右连续的，即()()F x F x ο+=可以证明，定义在R 上的实值函数()F x ，若满足上述三个性质，必能作为某个概率空间(,ΩF ，P ）上某个随机变量的分布函数.推广到多维情形，类似可得到定义 1.5 设(,ΩF ，P ）为概率空间，()12()(),(),,()n X X X X X ωωωω== 是定义在Ω上的n 维空间n R 中取值的向量实值函数.对于任意12(,,,)n n x x x x R =∈ ，有{}1122:(),(),,()n n X x X x X x ωωωω≤≤⋅⋅⋅≤∈F ，则称()X X ω=为n 维随机变量，称12()(,,,)n F x F x x x P =⋅⋅⋅={}1122:(),(),,()n n X x X x X x ωωωω≤≤⋅⋅⋅≤为()12()(),(),,()n X X X X X ωωωω==⋅⋅⋅的联合分布函数.随机变量有两种类型：离散型随机变量和连续型随机变量，离散型随机变量的概率分布用概率分布列来描述：(),1,2,k k p P X x k === ，其分布函数为()k k x xF x p ≤=∑；连续型随机变量的概率分布用概率密度函数()f x 来描述，其分布函数为()()x F x f t dt -∞=⎰.类似地可定义n 维随机变量12(,,,)n X X X X = 的联合分布列和联合分布函数如下： 对于离散型随机变量12(,,,)n X X X X = ，联合分布列为()121122,,,n x x x n n p P X x X x X x ====其中,i i i x I I ∈为离散集，1,2,,i = n ，X 的联合分布函数为： 1,12,,121,2,,(,,,)(,,,)n i i nn x x n x y i n F y y y p y y y R ≤==⋅⋅⋅∈∑对于连续型随机变量12(,,,)n X X X X = ，如果存在n R 上的非负函数12(,,,)n f x x x ，对于任意12(,,,)nn y y y R ∈ ，有12(,,,)n X X X X = 的联合分布函数12121212(,,,)...(,,,)n y y y n n n F y y y f x x x dx dx dx -∞-∞-∞⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰12(,,,)n f x x x 为X 的联合密度函数.1.3 数学期望及其性质设()X X =⋅是定义在概率空间(,ΩF ，P ）上的.r v ，如果||X dP Ω<∞⎰，就称.r v .X的数学期望（expectation ）或均值存在（或称.r v .X 是可积的），记为E X ，有下列定义：EX XdP Ω=⎰利用积分变换，也可写成()EX xdF x +∞-∞=⎰.设()g x 是1R 上的B orel 可测函数，如果.r v .()g X 的数学期望存在，即|()|E g X <∞，由积分变换可知()()()()Eg X g X dP g x dF x +∞Ω-∞==⎰⎰设k 是正整数，若.r v .k X 的数学期望存在，就称它的k 阶原点矩（k th -moment aboutthe origin ），记为k α，即()kkk EXx dF x α+∞-∞==⎰设k 是正整数，若.r v .||k X 的数学期望存在，就称它的k 阶绝对原点矩（k th - absolute m o m e n tabout the origin ），记为k β，即 ||||()kkk E X x dF x β+∞-∞==⎰类似地，X 的k 阶中心矩（k th - central moment ）k μ和k 阶绝对中心矩（k th -absolutely central moment ）k υ分别定义为1()()()kkk E X EX x dF x μα+∞-∞=-=-⎰1||||()kkk E X EX x dF x να+∞-∞=-=-⎰我们称二阶中心矩为方差（variance ），记为V a r X 或D X ，显然有22221VarX μναα===-关于数学期望，容易验证下列的性质：（1）若.r v .X ，Y 的期望E X 和E Y 存在，则对任意实数,αβ，()E X Y αβ+也存在，且()E X Y EX EY αβαβ+=+（2）设A ∈F ，用A I 表示集A 的示性函数，若E X 存在，则()A E XI 也存在，且()A AE XI XdP =⎰（3）若{}k A 是Ω的一个划分，即()i j A A i j =Φ≠ ，且i iA Ω= ，则iA i EX XdP XdP Ω==∑⎰⎰关于矩的存在性，有如下的必要条件和充分条件定理1.1 设对.r v X 存在0p >，使||pE X <∞，则有lim (||)0px x P X x →∞≥=定理1.2 设对.r v X 0(.)a s ≥，它的.d f 为()F x ，那么E X <∞的充要条件是(1())F x dx ∞-<∞⎰此时EX =(1())F x dx ∞-⎰推论1.1 ||E X <∞的充要条件是0()F x dx -∞⎰与0(1())F x dx +∞-⎰均有限，这时有EX =(1())F x dx ∞-⎰()F x dx -∞-⎰推论 1.2 对于0,||pp E X <<∞<∞的充要条件是11(||)p n P X n ∞=≥<∞∑，也等价于11(||)p n nP X n ∞-=≥<∞∑1.4 特征函数和母函数特征函数是研究随机变量分布又一个很重要的工具，用特征函数求分布律比直接求分布律容易得多，而且特征函数有良好的分析性质.定义 1.6 设X 是n 维随机变量（随机向量），分布函数为()F x ，称()F x 的Fourier Stieltjes -变换()()(),itXitxg t E ee dF x t ∞-∞==-∞<<∞⎰为X 的特征函数(characteristic function ).简记.c f从本质上看，特征函数是实变量t 的复值函数，随机变量的特征函数一定是存在的. 当X 是离散型随机变量，分布列(),1,2,k k p P X x k === ，则1()kitx k k g t ep ∞==∑当X 是连续型随机变量，概率密度函数为()f x ，则()(),itxg t ef x dx t ∞-∞=-∞<<∞⎰从定义，我们能够看出特征函数有如下性质： （1）(0)1;g =（2）（有界性）|()|1;g t ≤ （3）（共轭对称性）()();g t g t -=（4）（非负定性）对于任意正整数n 及任意实数12,,,n t t t 和复数12,,,n z z z ，有,1()0nk l k l k l g t t z z =-≥∑（5）（连续性）()g t 为n R 上一致连续函数；（6）有限多个独立随机变量和的特征函数等于各自特征函数的乘积，即随机变量12,,,n X X X 相互独立，12n X X X X =+++ 的特征函数为：12()()()()n g t g t g t g t =其中()i g t 为随机变量i X 的特征函数；（7）（特征函数与矩的关系）若随机变量X 的n 阶矩n EX 存在，则X 的特征函数()g t 可微分n 次，且当k n ≤时，有()(0)k k k g i EX =；（8）随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定.定理1.3 (B ocher 定理) n R 上函数()g t 是某个随机变量特征函数当且仅当()g t 连续非负定且(0)1g =.定理1.4 （逆转公式） 设()F x 是随机变量X 的分布函数，相应的特征函数为()g t 若12,x x 为()F x 的连续点，则12211()()lim()2itx itx TT Tee F x F x g t dt itπ--→∞---=-⎰很显然，具有相同特征函数的两个分布函数是恒等的.由此还可推出一个事实：一个随机变量是对称的，当且仅当它的特征函数是实的. 事实上，由X 的对称性知X 和X -有相同的分布函数，根据定义()()()itX itXg t E e E eg t g t -===-=，也就是说()g t 是实的；反之，从()()()itX itXg t Ee g t g t Ee -===-=知X 和X -有相同的特征函数，因此，它们的分布函数相等，这说明X 是对称的.例1.1 设X 服从(,)B n p ，求X 的特征函数()g t 及2,,EX EX D X解 X 的分布列为{},1,0,1,2,,k k n kn P X k C p q q p k n -===-=()()()n nitxk k n kk it k n kit nnnk k g t eC p qCpe qpe q --=====+∑∑因此 0(0)()|itt d E X ig ipe qnp dt='=-=-+=22222202()(0)()()|it t d EXi g i pe q npq n p dt=''=-=-+=+故 22()D X EX EX npq =-= 例1.2 设~(0,1)X N ，求X 的特征函数()g t解 22()itx xg t edx ∞--∞=由于2222||||itx xxixe xe--=221||xx edx ∞--∞<∞⎰，可对上式两边求导，得2222()()itx xitx xg t ixedx e de∞∞---∞-∞'==-⎰2222()x x itx itx edx tg t ∞∞---∞-∞=--=-于是得到微分方程 ()()g t t g t '+=. 这是变量可分离型方程，有()()dg t tdt g t =-两边积分得 2l n ()2g t tc=-+，得方程的通解为 22()tcg t e -+=.由于(0)1g =，因此，0c =.于是X 的特征函数为22()tg t e -=例1.3 设,X Y 相互独立，~(,),~(,)X B n p Y m p ，证明：~(,)X Y n m p ++ 证明 ,X Y 的特征函数分别为()(),()(),1itnitmX Y g t q pe g t q pe q p =+=+=-X Y +的特征函数为()()()(),1it n mX Y X Y g t g t g t q pe q p ++==+=-即X Y +的特征函数是服从参数为,n m p +二项分布的特征函数，由唯一性定理~(,)X Y n m p ++附表一给出了常用分布的均值、方差和特征函数.在研究只取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较方便.定义1.7 设随机变量X 的分布列为(),0,1,2,k p P X k k === 其中01k k p ∞==∑，称()()kk k k P s E s p s ∞===∑为X 的母函数（或称概率生成函数）（p r o b a b i l i t y generating function ）.母函数具有下列性质：（1）非负整数值随机变量的分布列由其母函数唯一确定； （2）(1)1P =，()P s 在||1s ≤绝对且一致收敛；（3）若随机变量X 的l 阶矩存在，则可以用母函数在1s =的导数值来表示，特别地， 有2(1),(1)(1)EX P EXP P ''''==+；（4）独立随机变量之和的母函数等于母函数的积.证明 （1）01(),0,1,2,nkkkk k k k k k n P s p s p s p s n ∞∞===+==+=∑∑∑两边对s 求n 阶导数，得到()1()!(1)(1)n k nn k k n Ps n p k k k n p s∞-=+=+--+∑令0s =，则()(0)!n n p n p =，因此()(0),0,1,!n n pp n n ==（3）由0()kk k P s p s ∞==∑，得到11()k kk P s kps∞-='=∑，令1s ↑，得到1(1)kk EX kpP ∞='==∑，类似可得到 2(1)(1)E X PP '''=+ 例1.4 从装有号码为1,2,3,4,5,6的小球的袋中，有放回地抽取5个球，求所得号码总和为15的概率.解 令i X 为第i 次取得的小球的号码，且i X 相互独立，125X X X X =+++ 为所取的球的号码的总和.i X 的母函数为261()()6i P s s s s =+++X 的母函数为 5265655551()()(1)(1)66s P s s s s s s -=+++=--所求概率为()P s 展开式的15s 的系数，因此，5651{15}6P X ==1.5 随机变量列的收敛性定义 1.8设{},;1n X X n ≥概率空间(,ΩF ，P ）上随机变量，如果存在集A ∈F ，()0P A =，当cA ω∈时，有lim ()()n n X X ωω→∞=，则称n X 几乎处处收敛（convergencealm ost everywhere ）到X ，简称n X ..a s 收敛到X ，记为n X X → ..a s下面我们给出..a s 收敛的一个判别准则.定理1.5 n X X → ..a s 的充分必要条件是任一ε>0，有lim (||)0m n m n P X X ε∞→∞=⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭下面给出定理1.3的一个应用.例1.5 设{}n X 是..r v 列，且11()()2n n n P X n P X n +===-=，1111122n n n P X P X n n ⎧⎫⎧⎫⎛⎫===-=-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭对于给定的ε>0,考虑1n ε>，有 1(||)0,2m mm nm n P X n ε∞∞==⎧⎫≥≤→→∞⎨⎬⎩⎭∑，因此 0n X →，..a s定义1.9 设{},;1n X X n ≥概率空间(,ΩF ，P ）上随机变量,如果对任一0ε>，{}lim ||0n n P X X ε→∞-≥=则称n X 依概率收敛（convergence in probability ）到X ，简记Pn X X −−→. 由定义，n X 依概率收敛到X ，那么极限随机变量X ..a s 是唯一的.定义 1.10 设{},;1n X X n ≥概率空间(,ΩF ，P ）上随机变量,若||rn E X （0r >）存在，且lim ||0rn n E X X →∞-=，则称 n X r 阶平均收敛（convergence in mean oforder r ）到X ，特别地，当2r =时，称为均方收敛.定义1.11 设{},;1n X X n ≥概率空间(,ΩF ，P ）上随机变量，其分布函数序列()n F x 满足lim ()()n n F x F x →∞=在每个()F x 连续点处成立，则称n X 依分布收敛（convergence indistribution ）到X .简记dn X X −−→.这里()F x 为X 的分布函数.下面我们不加证明地给出几种收敛之间的关系.a sPn n X X X X −−→⇒−−→dn X X ⇒−−→⇓..k a s n X X −−→且11(||)2kn kk P X X ∞=-≥<∞∑⇑,r rn n X X X X '−−→⇒−−→ 0r r '<< 1.6 条件数学期望设,X Y 是离散型随机变量，对一切使{}0P Y y =>的y ，定义给定Y y =时，X 的条件概率为 {,}{|}{}P X x Y y P X x Y y P Y y ======；给定Y y =时，X 的条件分布函数为(|){|}F x y P X x Y y =≤=； 给定Y y =时，X 的条件期望为(|)(|){|}xE X Y y xdF x y xP Xx Y y =====∑⎰设,X Y 是连续型随机变量，其联合密度函数为(,)f x y ，对一切使()0Y f y ≥，给定Y y =时，X 的条件密度函数为(,)(|)()Y f x y f x y f y =；给定Y y =时，X 的条件分布函数(|){|}F x y P X x Y y =≤==(|)xf x y dx ⎰； 给定Y y =时，X 的条件期望定义为 (|)(|)(|)E X Y y x d F x y x f x y d x===⎰⎰由定义可以看出，条件概率具有无条件概率的所有性质.(|)E X Y y =是y 的函数，y 是Y 的一个可能值，若在Y 已知的条件下，全面考察X 的均值，需要用Y 替代y ，(|)E X Y y =是Y 的函数，显然，它也是随机变量，称为X 在Y 条件下的条件期望（conditional expectation ）.条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念，下面我们列举以下性质：设,,X Y Z 为随机变量，()g x 在R 上连续，且,,,[()]EX EY EZ E g Y Z ⋅都存在. （1） 当X 和Y 相互独立时，(|)E X Y EX =； （2） [(|)]EX E E X Y =；（3） [()|]()(|)E g Y X Y g Y E X Y ⋅=； （4） (|)E c Y c =，c 为常数；（5） （线性可加性）[()|](|)(|)E aX bY Z aE X Z bE Y Z +=+ （,a b 为常数）； （6） 若0,X ≥则(|)0,..E X Y a s ≥ 下面只对（2）和（3）证明：证明 （2）离散型情况.设(,)X Y 的联合分布列为{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====则 [(|)](|){}jj j y E E X Y E XY y P Y y ===∑{|}{}ji i i j j y x x P X x Y y P Y y ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦∑∑ {,}{}ji ii i j i y x x x P X x Y y P Xx EX ⎡⎤======⎢⎥⎣⎦∑∑∑由此可见，E X 是给定j Y y =时X 条件期望的一个加权平均值，每一项(|)j E X Y y =所加的权数是作为条件事件的概率，称(|){}jj j y EX E XY y P Y y ===∑为全期望公式.连续型情形：设(,)X Y 的联合密度函数为(,)f x y ，则[](|)(|)()(|)()Y Y E E X Y E X Y y f y dy xf x y dx f y dy ∞∞∞-∞-∞-∞⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰(,)(,)x f x y d x d yx f x y dy d x∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰()X xf x dx EX ∞-∞==⎰(|)()Y EX E X Y y f y dy ∞-∞==⎰也称为全期望公式.全期望公式表明：条件期望的期望是无条件期望. （3）只需证明对任意使[]()|E g Y X Y y ⋅=存在的y 都有[]()|()(|)E g y X Y y g y E X Y y ⋅===因为[|](|)E X Y y xdF x y ∞-∞==⎰，因此，当y 固定时，[]()|()(|)()(|)E g y X Y y g y xdF x y g y xdF x y ∞∞-∞-∞⋅===⎰⎰()[|]g y E X Y y ==例1.6 设在某一天走进商店的人数是期望为1000的随机变量，又设这些顾客在该商店所花钱数都为期望为100元的相互独立的随机变量，并设一个顾客花钱数和进入该商店的总人数独立，问在给定的一天内，顾客们在该商店所花钱数的期望是多少？解 设N 表示这天进入该商店的总人数，i X 表示第i 个顾客所花的钱数，则N 个顾客所花的总数为1Ni i X =∑.由于 11|N N i i i i E X E E X N ==⎡⎤⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑而 1111||N n n i i i i i i E X N n E X N n E X nEX ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑因此 11|,N i i E X N N E X =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑[]111N i i E X E N E X E N E X =⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦∑由题设 11000,100EN EX == 于是11000100100000Ni i X ==⨯=∑即该天顾客花费在该商店的钱数的期望为100000元.。
第一部分+概率论基础
第一部分概率论基础内容提要：以测度的观点，讨论概率论中的相关概念，主要包括：概率空间；随机变量的定义，随机变量的数字特征，随机变量的条件期望，等等。
要求：从测度论的角度理解概率论中的相关概念，认识概率论中概念的本质；对随机变量的数字特征和条件概率和条件期望掌握其计算。
第一节随机现象与概率空间概率论是研究随机现象的数量规律的科学。
大量的自然现象的规律可描述为：（1）确定性规律：条件A→结果，表明条件A具备之后，结果就成立。
——称为条件A下的必然事件，此类事件体现的规律为确定性规律。
例如：三角形的内角之和为180；力作用于物体会产生加速度，等等。
（2）条件A下不可能发生的事件，称为条件A下不可能事件。
三角形的内角之和为280；（3）在条件A下，事件B可能发生，也可能不发生，——此类事件称为条件A下的随机事件。
例如，产品检测是否合格；通讯中中继站的故障问题；电话局受到呼叫的问题；射击命中问题，等等。
§1 概率概念的直观意义必然现象的研究，由于现行的结果直接取决于现象发生的条件，因此探究必然现象的条件，结果自然可以得到；而对随机现象这种思路是不可能的，可行的思路是研究事件的“可能性”问题。
这种想法是很自然的。
例如对于工厂生产状况的好坏判别标准是产品的合格率；药物的疗效是治愈率；涉及命中率等。
直接可操作的方法是“频率”问题。
频率在大量的实验次数之后，趋于一个常值——概率。
实际上，概率是随机现象的本质特征（而非大量试验所体现的结果）。
以上只是随机现象的描述，而非准确的定义。
严格的定义和推理规则。
内容方面可以增加知识，更主要的是训练思维方式。
1.1样本空间随机试验：相同条件下可以重复进行，而结果具有随机性的实验（结果不确定），记为E。
说明：结果集合具有确定性，可能出现的结果是确定的。
样本点：随机试验的每一个可能出现的结果，用ω表示。
样本空间：随机试验的所有可能出现的结果的集合，记作Ω。
事件：样本空间的一个子集。
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1.1 概率公理与随机变量
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1.1 概率公理与随机变量
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1.1 概率公理与随机变量
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1.4 数字特征与条件数学期望
Байду номын сангаас
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.5 特征函数
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1.5 特征函数
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1.5 特征函数
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1.5 特征函数
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本章作业
• • • • 课后习题 1.9; 1.11; 1.14; 1.16; 1.24; 1.28; 1.29; 1.30; 1.33
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1.1 概率公理与随机变量
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1.1 概率公理与随机变量
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1.1 概率公理与随机变量
第1章 概率论基础
课程内容： 1.1 概率公理与随机变量 1.2 多维随机变量与条件随机变量 1.3 随机变量的函数 1.4 数字特征与条件数学期望 1.5 特征函数 1.6 典型分布
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第1章 概率论基础
重点 • 为什么定义随机变量？ • 概率密度函数如何获取？ • 为什么要扩展为高维随机变量？ • 为什么要定义随机变量的函数？ • 为什么要研究数字特征？
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.1 概率公理与随机变量
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1.1 概率公理与随机变量
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1.1 概率公理与随机变量
• 随机变量不同于普通变量表现在两点上：
– (1) 变量可以有多个取值，并且永远不能预知 它到底会取哪个值； – (2) 变量取值是有规律的，这种规律用概率特 性来明确表述；
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1.3 随机变量的函数
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1.1 概率公理与随机变量
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1.3 随机变量的函数
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.5 特征函数
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1.5 特征函数
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第一章：概率论基础
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第1章 概率论基础
本章将复习与总结概率论的基本知识 也扩充一些新知识点，比如：
1) 利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的 概率密度函数， 2) 随机变量的条件数学期望 3) 特征函数 4) 瑞利与莱斯分布 5) 随机变量的基本实验方法
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.5 特征函数
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随机信号分析
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授课老师介绍
• 姓名： 张翔 • 联系方式 uestchero@
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课程介绍
• 授课时间：48学时 • 考核方式：20%平时+10%中期+70%期末 • 教材： 《随机信号分析》第四版，李在铭等
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1.1 概率公理与随机变量
• 因此，凡是讨论随机变量就必然要联系到 它的取值范围与概率特性。 • 在描述随机变量的概率特性时：
– 分布函数指明直到x处的累积概率； – 密度函数适用于连续取值部分。 – 离散变量，常采用分布律；
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1.2 多维随机变量与条件随机变量