1.2 牛顿运动定律 2

1 d (v 2 ) 2 v y[ ] F yg (4) 2 dy
h m2 g F N
讨论： v const

F const a v是变化的
2 2
Y
F
1 d (v ) v y[ ] F yg (4) m g F h 2 2 dy N
同 2y /
运动方程： （矢量方程）
kmv
m
x:
y:
dv x kmv x m dt
mg kmv y m
mg
dv y dt
dv x kv x dt
g kv y dv y dt
kmv
mg
dv x kdt (1) vx dv y dt ( 2) g kv y
a'
T
O'
a'
T m2g
m1g
2m1m2 T ( g a0 ) m1 m2
a1 a' a0
a2 a' a0
a0
例：一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机 以匀加速度a0 上升时，质量为m 的物体从斜面顶端开始下滑。 求：物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。
小球加速度为 a
a
非惯性系
惯性力
惯性系
应用牛顿运动定律
设 S ' 系( 非惯性系 ) 相对S 系( 惯性系 ) 平动，加速
度为 a 。 e
质点 m 在S 系和S ' 系的加速度分别为a , a a r 由伽俐略变换有a a a a r e
在S 系: F maa mar mae 符合牛顿第二定律 在S '系：F mae mar 不符合牛顿第二定律
dv F m X dt ? d ( mv ) dv dm F m v ? dt dt dt
dv dm dm F m v v' dt dt dt
v ?
,
v 0
,
dv dm F m v dt dt d ( mv ) 即： F dt
所以，运动方程为： M d M x g （ x v） L dt L
由（1）
v x v0e
x 0
kt
dx cos dt
t kt 0
dx v0 cos e dt
dv x v0 cos v x
vx
v0 cos kt x (1 e ) k dt k
t
0
dv y g kv y
由（2） vy v0 sin
在S '系中观察，除了实际力F外，质点还受一个大小 和方向由（-mae)表示的力，并将此力计入合力，即：
引入虚拟力或惯性力 F0 mae 则 F F0 mar 牛顿第二定律形式上成立。
说明 (1) 惯性力不是力，其只是参考系的非惯性运动的表观 显示或者说是物体的惯性在非惯性系中的表现。 (2) 惯性力是虚拟力，没有施力者，也没有反作用力。 不满足牛顿第三定律。
F Y
h N O m1 g
2 3 d [v y ] d [ y gy ] 3
2 2 2
F
两边积分：
2 2
2 3 v y y gy C 3
2
F
代入初始条件：t=0时，y=0
v 0 得C=0
F 2 gy 3
1 v y
F
2 3 y gy 3
2
v
牛顿第二定律解题类型：
力的独立性原理：什么方向的力只产生什么方向的加速度而与 其它方向的受力及运动无关。
O
V0 A
X
水平，不受力，匀速直线运动， 竖直，只受重力，竖直方向加速度
g
Y
平抛运动可以看作水平方向的匀速直线
运动和竖直方向的自由落体运动的叠加。
这是运动的叠加原理。
c ）使用时应注意单位制 S I 制中： ….米/秒2 …千克 F …牛顿
m
a
牛顿第二定律的应用： 例1.一质量为 m 的物体，以 v0 的初速度沿与水平方向成 角的方向抛出，空气的阻力与物体的动量成正比，比例 系数为 k ，求物体的运动方程。 解：建立坐标系如图 研究对象“m”受力：
mg , kmv
m dv mg kmv dt 运动方程的分量式：


v dv (t )

x x 0 F ( x )dx

v v 0 mvdv
v( x )
v (t )
2.3 非惯性力 惯性力
一、 惯性系
1 定义：适用牛顿运动定律的参考系叫做惯性参考
系；反之，叫做非惯性参考系 . 2 惯性系的性质 相对于一惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。 反之，相对于一惯性系作加速运动的参照系一定不是惯性参考 系，即一定是非惯性参考系 . 二 、惯性力 牛顿运动定律只适用惯性参照系。 在非惯性系中，不能直接使用牛顿第二定律。
y
mg
a0
N m( g a0 ) cos ar ( g a0 ) sin
N ar

x
方法（二）取升降机为参考系
惯性力 F0 ma0 mg N F0 mar
x 方向 N sin mar cos
y
mg
牛顿第一运动定律 伽利略相对性原理
恒矢量 F 0 时，v 惯性 惯性参照系 Nhomakorabea回顾
凡相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性系 .
对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相同的形式，与惯 性系的运动无关 .
牛顿第三运动定律 F F21 12
力是物体之间的相互作用
dv (t ) dp (t ) 牛顿第二运动定律 F (t ) ma (t ) m dt dt
注意：a）要注意定律的瞬时性---力的作用 与加速度是瞬时对应的。 今天 明天 F b ）要注意定律的矢量性----定律中 的力和加速度都是矢量。 平面自然坐标系 直角坐标系
a
FX ma X
FY ma y FZ maZ
F ma Fn ma n
力的独立性原理：什么方向的力只产生什么方 向的加速度而与其它方向的受力及运动无关。
1 x vg dt d ( x 2 v 2 ) 2 x 2 ( xv )2 1 x g dx 0 d ( x 2v 2 ) 0 2 1 1 2 2 3 gx x v 3 2 2 2 v g x 3
2
当 x=L 时
2 v gL 3
xgdt d ( xv )
两边同乘 x v ：
m r v a F
对一维运动或用分量式求解时
t v dv F (t ) m t F (t )dt v mdv v (t ) 0 0 dt
t v m dv F (v ) m dt t0 v0 F ( v ) dt dv dv F ( x) m mv dt dx
例：质量分别为 m1 和 m2 的两物体用轻细绳相连接后，
悬挂在一个固定在电梯内的定滑轮的两边。滑轮和绳
的质量以及所有摩擦均不计。当电梯以 a0=g/2 的加速
度下降时，求m1 和 m2 的加速度和绳中的张力。
解 取电梯为参考系
对m1 有 m1 g T m1a0 m1a'
对m2 有 m2 g T m2 a0 m2 a' m1 m2 a' ( g a0 ) m1 m2
（2）在刚刚下落时，链条盘在桌子边缘
研究对象：链条的落下部分
建立坐标：如图
O
受力分析： F
m
g dv xv L dx
x
F
M ( x g) L
g v xdx 0 vdv L
L 0
运动方程：
g L 1 2 v L 2 2
2
v
gL
dv dm dm F m v v' dt dt dt
d (m2 v) d (yv) F yg (1) F yg (2) dt dt
Y
F
已知：t=0时，y=0 v 0 a const 求y=h时, F ?
m2 g O
m1 g 讨论：
F h N
d (yv) F yg (2) dt dy dv v y F yg dt dt
已知：t=0时，y=0 v 0 a const 求h= y时, F ? v const 求高度y时, F ? y m2 g F F const 求高度y时, v ? N 解：以链条整体作为研究 对象。以地面为参照 O 系建立坐标OY m1 g 分析：因力等于动量的变化 链条动量的变化只是被拉起来的的部分，在桌面 上的部分动量总是为零。故有：(N与m1g 抵消) Y F
v0 cos kt x (1 e ) k
1 gt kt y 2 ( g kv0 sin )(1 e ) k k
r (t ) x(t )i y(t ) j
例2.一条质量为 M 长为 L 的均匀链条，放在一光滑 的水平桌面上，链子的一端有极小的一段长度被推出桌 子的边缘在重力作用下开始下落，试求在下列两种情况 下链条刚刚离开桌面时的速度：
（1）在刚刚下落时，链条为一直线形式 解：（1）链条在运动过程中，各部分的速度、 加速度都相同。
o
M
L
x
F
研究对象：整条链条 建立坐标：如图 M ( xg ) 受力分析： F L M dv 运动方程： xg M
L dt