与直角有关的折叠、旋转作业

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二次函数(旋转,折叠)

二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△ND D1面积的2倍，求点N的坐标．2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=m x2+2mx+n上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．5、在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2．请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题（1）所求的抛物线的图象上；（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．6、如图抛物线y=a x2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．7、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB．（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．（3）当α=90°时，如图乙．请探究：经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．9、在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90°，得到矩形DEFG （如图1）．（1）若抛物线y=- x 2+bx+c 经过点B 和F ，求此抛物线的解析式；（2）将矩形DEFG 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负方向平移，平移t 秒时，所成图形如图2所示．①图2中，在0＜t ＜1的条件下，连接BF ，BF 与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q ，设矩形DEFG 与矩形OABC 重合部分的面积为S1，△AQF 的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？如果不变，求出其值；②在0＜t ＜3的条件下，P 是x 轴上一点，请你探究：是否存在t 值，使以PB 为斜边的Rt △PFB 与Rt △AOC 相似？若存在，直接写出满足条件t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．10、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11.已知如图，抛物线n mx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，2），连结BC 、AD .(1)求C 点的坐标及抛物线的解析式；(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；(3)设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）答案1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．[解析] （1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．【解析】（1）本题需先根据题意把A （-2，4）和点B （1，0）代入抛物线y=mx2+2mx+n中，解出m、n的值即可．（2）本题需先根据四边形AA′B′B为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式．（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到A′、B′的坐标，再过点A′作A′H⊥x轴，得出BH和A′H的值，再设菱形AA′B′B的中心点M，作MG⊥x轴，根据中位线性质得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标．3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．【解析】（1）依题意得点E在射线CB上，横坐标为4，纵坐标根据勾股定理可得点E．（2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°．（3）设CG=x，则EG=x，FG=6-x，根据勾股定理求出CG的值．（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-4）2，把点A的坐标代入求出a值．当x=7时代入函数解析式可得解．4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．【解析】（1）根据四边形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B′的坐标，设直线BB′的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N 两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论．【解答】（3）①在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，所以，二次项系数和一次项系数不变，根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，新解析式就为：y=-12x2+2x；②在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-12，这时根据已经求出的C′（-1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（-6，0），代入解出解析式为y=-12x2-3x；③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合，此时另一点过（6，0），所以解出解析式为y=-12x2+3x．5、在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2．请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题（1）所求的抛物线的图象上；（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．【解析】（1）过C作CD⊥AB于D，根据A、C的坐标，易求得AD、CD的长，在Rt△ACB中，CD⊥AB，利用射影定理可求得BD的长（也可利用相似三角形得到），由此求得点B的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）根据△ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上，可过C2作C2D1⊥AB1，根据△ACD≌△AC2D1得AD1、CD1的长，从而求出点C2的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）在（1）题中求得了抛物线的二次项系数，即可用m表示出平移后的抛物线顶点坐标，得(m，4m-m22)，由于此顶点在△ACB的边上或内部，因此顶点横坐标必在0≤m≤5的范围内，然后分三种情况考虑：①顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标．②求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标，那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标．③求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标，方法同②．结合上面四个不等关系式，即可得到m的取值范围．6、如图抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．【解析】（1）抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）的对称轴是x=-a2a=-12，又因与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，求出A、B点的坐标，解决第一问；（2）因为S△ABC=3，△PBC的面积是3，说明P点一定在过A点平行于BC的直线上，且一定是与抛物线的交点，因此求出过A点的直线，与抛物线联立进一步求得答案；（3）连接DC、BC，证明三角形相似，利用旋转的性质解决问题．7、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB．（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）根据旋转的性质知△COD≌△AOB，则OC=OA、OD=OB，由此可求出C、D 的坐标，进而用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）将（1）题所得的抛物线解析式化为顶点式，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式；联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标；取E点关于平移后抛物线对称轴的对称点E′，那么直线E′F与此对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线E′F的解析式，联立这条对称轴的解析式即可得到P点的坐标；（3）可根据对称轴方程设出P点坐标，分别表示出PE、PF、EF的长；由于△PEF的直角顶点没有确定，因此要分成三种情况考虑：①∠EPF=90°，②∠PEF=90°，③∠PFE=90°；可根据上述三种情况中不同的直角边和斜边，利用勾股定理列出关于P点纵坐标的方程，求出P点的坐标．8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．（3）当α=90°时，如图乙．请探究：经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．【解析】（1）根据旋转的知识可得AB=AF，根据∠BAF=60°可得∴△ABF为等边三角形；（2）利用△AGB为直角三角形，根据勾股定理可得CG的长，也求得了G的坐标，利用点A、G的坐标可得所求的直线解析式；（3）易得F坐标，利用顶点式可得经过点F，且以点B为顶点的抛物线，易得H的坐标，把横坐标代入所得函数解析式，看是否等于纵坐标即可．9、在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形DEFG（如图1）．（1）若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F，求此抛物线的解析式；（2）将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，平移t秒时，所成图形如图2所示．①图2中，在0＜t＜1的条件下，连接BF，BF与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q，设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1，△AQF的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？如果不变，求出其值；②在0＜t＜3的条件下，P是x轴上一点，请你探究：是否存在t值，使以PB为斜边的Rt △PFB与Rt△AOC相似？若存在，直接写出满足条件t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．【解析】（1）首先确定点B、F的坐标，将点的坐标代入函数解析式，解方程组即可求得；（2）①首先求得对称轴，根据题意用t表示出S1、S2的值即可求得．②利用相似三角形的性质即可求得：过点F作FP⊥FB，FP交x同于点P，延长FE交AB 于点M，要使Rt△PFB∽Rt△AOC，只要FB：FP=2：1即可，而Rt△BMF∽Rt△PGF，所以根据FBFP=FMFG只须FMFG=21，列出方程解答即可求出此时点P的坐标．第10、11题答案省略。

第10讲立体几何翻折与旋转问题(解析版)待定

第10讲立体几何翻折与旋转问题1．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：①AC BD ⊥；②ADC ∆是正三角形；③AB 与CD 成60︒角；④AB 与平面BCD 成60︒角．则其中正确结论的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：取BD 的中点E ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥．BD ∴⊥面AEC ．BD AC ∴⊥，故①正确．设正方形边长为a ，则AD DC a ==，AE EC ==． AC a ∴=．ADC ∴∆为等边三角形，故②正确．ABD ∠为AB 与面BCD 所成的角为45︒，以E 为坐标原点，EC 、ED 、EA 分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则(0A ，0，)2，(0B ，2-，0)，(0D ，2，0)，C ，0，0)．(0AB =，，)，2(2DC =，，0)． cos AB <，12DC >=， AB ∴<，60DC >=︒，故③正确．ABD ∠为AB 与面BCD 所成的角为45︒，故④不正确．故选：C ．3．矩形ABCD 中，AB =，1BC =，将ABC ∆与ADC ∆沿AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为( )A ．[0,]6πB ．[0,]3πC ．[0,]2πD ．2[0,]3π 【解答】解：由题意，初始状态，直线AD 与直线BC 成的角为0，DB =时，AD DB ⊥，AD DC ⊥，AD ∴⊥平面DBC ，AD BC ⊥，直线AD 与直线BC 成的角为2π， ∴在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为[0，]2π．故选：C ．4．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =．将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“ AB 与CD ”，“ AD 与BC ”均不垂直【解答】解：如图，AE BD ⊥，CF BD ⊥，依题意，1AB =，BC =AE CF =BE EF FD ==A ，若存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直，则BD AE ⊥，BD ∴⊥平面AEC ，从而BD EC ⊥，这与已知矛盾，排除A ；B ，若存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直，则CD ⊥平面ABC ，平面ABC ⊥平面BCD取BC 中点M ，连接ME ，则ME BD ⊥，AEM ∴∠就是二面角A BD C --的平面角，此角显然存在，即当A 在底面上的射影位于BC 的中点时，直线AB 与直线CD 垂直，故B 正确；C ，若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则BC ⊥平面ACD ，从而平面ACD ⊥平面BCD ，即A 在底面BCD 上的射影应位于线段CD 上，这是不可能的，排除CD ，由上所述，可排除D故选：B ．5．在Rt ABC ∆中，2C π∠=，1AC =，BC D 是AB 边上的动点，设BD x =，把BDC ∆沿DC 翻折为△B DC '，若存在某个位置，使得异面直线B C '与AD 所成的角为3π，则实数x 的取值范围是( )A ．0x <<B 2x <<C ．0x <D 2x << 【解答】解：把BDC ∆沿DC 翻折，形成了一个圆锥．过点C 作//CE AB ，则AB 与B C '所成的角等于CE 与B C '所成的角，设AB 与BC 所成的角的大小为θ，设BCD α∠=．则30230θα︒<<+︒，23060α+︒>︒，15α∴>︒，135BDC ∴∠<︒．BCD ∆中，sin sin BC BDBDC α=∠，∴sin sin15sin sin135BDC α︒=>=∠︒，x ∴>，又2x <．∴2x <<．故选：B ．6．如图，在Rt ABC ∆中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD ∆沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是( )A ．(0B ．2]C ．D ．(2，4]【解答】解：由题意得，AD CD BD ===，BC x =，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==，翻折后，在图2中，此时CB AD ⊥．BC DE ⊥，BC AD ⊥，BC ∴⊥平面ADE ， BC AE ∴⊥，DE BC ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，1AB AC ∴==，AE ∴AD =在ADE ∆中：12>12<+③0x >；由①②③可得0x <<．如图3，翻折后，当△1B CD 与ACD ∆在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD B CD ∠=∠=∠，又190CBD BCD B CD ∠+∠+∠=︒， 130CBD BCD B CD ∴∠=∠=∠=︒，60A ∴∠=︒，tan60BC AC =︒，此时1x ==综上，x 的取值范围为(0，故选：A ．7．如图，在直二面角A BD C --中，ABD ∆、CBD ∆均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 中点E ，将ABE ∆沿BE 翻折到△1A BE ，在ABE ∆的翻折过程中，下列不可能成立的是( )A ．BC 与平面1A BE 内某直线平行B ．//CD 平面1A BEC ．BC 与平面1A BE 内某直线垂直D ．1BC A B ⊥【解答】解：连结CE ，当平面1A BE 与平面BCE 重合时，BC ⊂平面1A BE ，∴平面1A BE 内必存在与BC 平行和垂直的直线，故A ，C 可能成立；在平面BCD 内过B 作CD 的平行线BF ，使得BF CD =，连结EF ，则当平面1A BE 与平面BEF 重合时，BF ⊂平面1A BE ，故平面1A BE 内存在与BF 平行的直线，即平面1A BE 内存在与CD 平行的直线，//CD ∴平面1A BE ，故B 可能成立．若1BC A B ⊥，又11A B A E ⊥，则1A B 为直线1A E 和BC 的公垂线， 1A B CE ∴<，设11A B =，则经计算可得CE =与1A B CE <矛盾，故D 不可能成立．故选：D ．8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CAB θ∠=，M 为AB 的中点．将ACM ∆沿着CM 翻折至△A CM '，使得A M MB '⊥，则θ的取值不可能为( )A ．9π B ．6π C ．5π D ．3π 【解答】解：如图所示，把△A CM '继续旋转，一直旋转到平面ABC 里面，这时A '在A ''位置，这时2999AMN A MN πππ∠=+==∠''，4599A MB πππ''∠=-=，此时，A MB ∠''是直线A M '和BM 所成的最小角，592ππ>不成立，θ∴的取值不可能为9π．故选：A ．9．在斜边长为5的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上运动，将CBD∆沿BD翻折到△1C BD位置，且使得三棱锥1C ABD-体积最大，则AD长为()A．2B．52C．3D．4【解答】解：如图，ABC∆为等腰直角三角形，且斜边5AC=，则2AB BC==，设(05)AD x x=<<，则15CD C D x==-，则BD==．要使三棱锥1C ABD-体积最大，则平面1C BD⊥平面ABC，再设1C到平面ABC的距离为h，则1111sin224BD h BC C Dπ=，可得2(5)2xh-=115225sin242224ABDS AB AD x xπ∆===．∴三棱锥1C ABD-体积2222(5)15255223424525525()()xx xV xx x--+==-+-+．当52x=时，25x x-+有最大值254有最小值52，此时V有最大值为12548．AD∴长为52．故选：B．二．填空题（共7小题）10．将边长为2，锐角为60︒的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F，G分另AC，BD，BC的中点，则下列命题中正确的是②③④．（将正确的命题序号全填上）①//EF AB；②EF是异面直线AC与BD的公垂线；③//CD平面EFG；④AC垂直于截面BDE．【解答】解：设AD的中点为M，连接FM，则//AB FM，FM与EF相交，∴与AB为异面直线，故①错误；EF由ABC ADC∆≅∆可得BE DE=，⊥，EF BD∴⊥，同理可得EF AC∴是异面直线AC与BD的公垂线，故②正确；EF由中位线定理可得//∴平面EFG，故③正确；CDFG CD，//⊥，∴⊥，同理可得：DE ACAB BC=，BE AC∴⊥平面BDE．故④正确．AC故答案为：②③④．11．在ABC∠=︒，D是边AC上一点，将ABD ∆中，已知AB=BC=45ABC∆沿BD折起，得到三棱锥A BCD=，则x的取值范围-，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM x为．【解答】解：ABC∠=︒，ABC∆中由余弦定理得：已知AB=BC=45AC AB BC cocB ==ABC ∆为等腰直角三角形，如下图a 所示．ABD ∆沿BD 折起，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上时，如图b ，AM ⊥面BCD ，MN ，AN 都于BD 垂直，折叠前在图a 中AM BD ⊥于N 点，在图a 中过A 作1AM BC ⊥于1M ，动点D 与C 无限接近时，折痕BD 接近BC ，这时M 接近1M ，在图b 中，AB 是Rt AMB ∆的斜边，所以BM AB <，1BM BM AB ∴<<，1Rt ABM ∆中，112BM BC =BM x ∴=∈，；故答案为：．12．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下列命题正确的是 ①②④ ．（写出所有正确的命题的编号） ①线段BM 的长是定值； ②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使1DE AC ⊥； ④存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．【解答】解：①取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则1//MF DA ，//BF DE ，∴平面//MBF 平面1A DE ，//MB ∴平面1A DE ，故D 正确由1A DE MFB ∠=∠，112MF A D ==定值，FB DE ==定值，由余弦定理可得2222cos MB MF FB MF FB MFB =+-∠，所以MB 是定值，故①正确． ②B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球上，故②正确，若③成立，则由DE CE ⊥，可得DE ⊥面1A EC1DE A E ∴⊥，而这与11DA A E ⊥矛盾故③错误．④取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则平面//MBF 平面1A DE ，可得④正确；故正确的命题有：①②④，故答案为：①②④．13．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CAB θ∠=，M 为AB 的中点，将ACM ∆沿着CM 翻折至△A CM '，使得A M MB '⊥，则θ的取值可能为 ②③④ （填上正确的所有序号） ①9π②7π③6π④3π【解答】解：如图，设A '在平面BMC 上的射影为A ''，则由题意知，点A ''在直线CM 的垂线A A '''上，要使A M MB '⊥，则A M MB ''⊥，因此只需考虑其临界情况，即当A M MB ''⊥时，点A 与点A ''关于直线CM 对称，4AMD A MD BMC π''∴∠=∠=∠=，又AM MC =，AMC ∴∆是以MAC ∠为底角的等腰三角形，24CAM MCA πθ∴∠+∠==，8πθ∴=．因此当8πθ时，有A M MB '⊥，θ∴的取值可能为7π，6π，3π．故答案为：②③④．14．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，沿对角线BD 将ABD ∆折起得到△1A BD ，且点1A 在平面BCD 上的射影O 落在BC 边上，记二面角1C A B D --的平面角的大小为α，则sin α的值等于34．【解答】解：CD BC ⊥，又1CD AO ⊥，1A O BC O =，CD ∴⊥平面1A BC ，1CD A B ∴⊥．又11A B A D ⊥，1A B ∴⊥平面1CA D ．1CA D ∴∠是二面角1C A B D --的平面角．在Rt △1ACD 中，13sin 4CD A D α==．故答案为：3415．已知ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A =M 为AB 的中点，现将ACM ∆沿CM 折成三棱锥P CBM -，当二面角P CM B --大小为60︒时，ABPB【解答】解：如图，取BC 中点E ，连接AE ，设AECM O =，再设2AC =，由90C ∠=︒，tan A BC=在Rt MEC ∆中，可得tanCME ∠Rt ECA ∆中，求得tan 2AEC ∠=， cot AEM ∴∠90CME AEM ∠+∠=︒，有AE CM ⊥． PO CM ∴⊥，EO CM ⊥，POE ∠为二面角P CM B --的平面角为60︒，2AE ==1sinOE CME =⨯∠，PO ∴=．在POE ∆中，由余弦定理可得PE == 222PE CE PC ∴+=，即PE BC ⊥．则2PB PC==．在Rt ACB ∆中，求得AB =∴ABPB=16．已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为43π；当三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为．【解答】解：已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，如图：2AB =，1AD =，1CD =，AC ∴BC ，BC AC ∴⊥，取AC 的中点E ，AB 的中点O ，连结DE ，OE ，当三棱锥体积最大时，∴平面DCA ⊥平面ACB ，OB OA OC OD ∴===，1OB ∴=，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：43π．由题意，A ，B ，C ，D 均在外接球上，AC BC =BC AC ⊥，AB ∴为直径，1OB R ∴==， 1OD ∴=，过E 作OE AC ⊥，则2OE =， 1OD =，∴，∴三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为1132⨯．故答案为：43π．三．解答题（共15小题）17．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC∆折起，使点C 到达点P的位置，且PF BF⊥．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则12AE AD=，12BF BC=，由于四边形ABCD为正方形，所以EF BC⊥．由于PF BF⊥，EF PF F=，则BF⊥平面PEF．又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面PEF中，过P作PH EF⊥于点H，连接DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH EF⊥，则PH⊥面ABFD，故PH DH⊥．在三棱锥P DEF-中，可以利用等体积法求PH，因为//DE BF且PF BF⊥，所以PF DE⊥，又因为PDF CDF∆≅∆，所以90FPD FCD∠=∠=︒，所以PF PD ⊥，由于DEPD D =，则PF ⊥平面PDE ，故13F PDE PDE V PF S -∆=，因为//BF DA 且BF ⊥面PEF ，所以DA ⊥面PEF ，所以DE EP ⊥．设正方形边长为2a ，则2PD a =，DE a =在PDE ∆中，PE ，所以2PDE S ∆=，故3F PDE V -=，又因为2122DEF S a a a ∆==，所以23F PDE V PH a -==，所以在PHD ∆中，sin PH PDH PD ∠=即PDH ∠为DP 与平面ABFD ．18．如图，在矩形ABCD 中，2,AB AD ==，ABPCDFEE ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把CDF ∆折起，点C 到达点P 的位置，使1PE =．（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求二面角P DF E --的正弦值．【解答】证明：（1）E 、F 分别为AD ，BC 的中点，//EF AB ∴且DE ，在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，AD EF ∴⊥，⋯⋯⋯⋯⋯（1分）由翻折的不变性，2,PD PF CF DE ====，DF =，又1PE =，有222PD PE DE =+，DE PE ∴⊥，即AD PE ⊥，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）又PEEF E =，PE ，EF ⊂平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） AD ⊂平面ABFD ，∴平面PEF ⊥平面ABFD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）解：（2）过点P 作PH EF ⊥交EF 于H ，由平面垂直性质定理得PH ⊥平面ABFD ，过点P 作PO DF ⊥交DF 于O ，连结OH ，则OH DF ⊥，POH ∴∠为二面角P DF E --的平面角．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）222PE PF EF +=，90EPF ∴∠=︒，由等面积法求得7PH PO =．在直角POH ∆中，sin PH POH PO ∠==，即二面角P DF E --．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）19．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB BC ==AD =E ，F 分别是线段AD ，CD 的中点．以EF 为折痕把DEF ∆折起，使点D 到达点P 的位置，G 为线段PB 的中点．（1）证明：平面//GAC 平面PEF ；（2）若平面PEF ⊥平面ABCFE ，求直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接CE ，由题意知，四边形ABCE 为正方形，连接BE 交AC 于O ，连接OG ，所以O 为BE 中点，又因为G 为PB 中点，所以//OG PE ，因为E ，F 分别为AD ，CD 中点，所以//AC EF ，因为OGAC O =，PEEF E =，AC ，OG ⊂平面ACG ，PE EF ⊂平面PEF ，所以平面//GAC 平面PEF ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：(0A ，0)，C 0，0)，B0)，(2P 2，1)，G ，，1)2， 32(4AG =，324，1)2,(2AC =,2,0),2(2AP =，322，1),设平面PAC 的法向量为(n x =,y ,)z ,20202AC n x AP n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =-,(1n =,1-,所以直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值为2||2||||10AG n AG n ⋅==⋅⋅20．已知D ，E 分别为边AB ，AC 上的一点，//DE BC 且||(01)||AD AB λλ=<<，如图所示，将ADE ∆沿DE 折起为△1A DE ，使A 点位于1A 点的位置，连接1A A ，1A B ，1A C ．（1）当12λ=时，记平面1A BC 与平面1A DE 的交线为l ，证明：1l AA ⊥；（2）若ABC ∆为直角三角形，2ABC π∠=，且将ADE ∆沿DE 折成直二面角，求当λ为何值时，平面1A BC与平面1A DE 所成的二面角为3π．【解答】解：（1）证明：当12λ=时，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，ADE ∆沿DE 折起为△1A DE ，所以1||||||A D AD BD ==，所以190AA B ∠=︒，所以11AA A B ⊥，又1||||||A E AE EC ==，同理可得11AA AC ⊥，而111A BA C A =，且都在平面1A BC 内，所以1AA ⊥平面1A BC ，又BC 在平面1A BC 内， 1AA BC ∴⊥，//DE BC ，BC 在平面1A BC 内，DE 不在1A BC 内， //DE ∴平面1A BC ，又平面1A BC 与平面1A DE 的交线为l ，//DE l ∴， //BC l ∴，1l AA ∴⊥；（2）90ABC ∠=︒，DE AB ⊥，∴以D 为坐标原点，DE ，DA ，1DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设||1AB =，||2BC a =，则||AD λ=，故(0D ，0，0)，(0A ，λ，0)，(0B ，1λ-，0)，(2C a ，1λ-，0)，11(2,0,0),(0,0,),(2,0,0),(2,1,)E a A BC a AC a λλλλ==--，设平面1A BC 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1202(1)0m BC ax m AC ax y z λλ⎧==⎪⎨=+--=⎪⎩，可取(0,,1)1m λλ=-，设平面1A DE 的一个法向量为(0,1,0)n =，平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角为3π，∴||||1cos 3||||2(m n m n λπλλ===， 22210λλ∴+-=，解得λ． 21．如图所示，等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，满足1AD =，DE AB ⊥．将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --为直二面角，连接1A B ，1A C ．（1）求二面角1C A B D --的余弦值；（2）线段1A E 上是否存在点P ，使得直线CP 与平面1A BC 所成的角为60︒？若存在，求出1A P 的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知，BD DE ⊥，1A D DE ⊥，二面角1A DE B --为直二面角，190A DB ∴∠=︒，即1A D BD ⊥，以D 为原点，DB 、DE 和1DA分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0D ，0，0)，(2B ，0，0)，1(2C ，0)，1(0A ，0，1)，(0E0)，∴1(2A B =，0，1)-，11(2AC =，1)-，设平面1A BC 的法向量为(m x =，y，)z ，则1100m A B m A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20102x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1x =，则y ，2z =，∴(1m =，2)， BD DE ⊥，1A D DE ⊥，且1A D 、BD ⊂面1A BD ，1A DBD D=，DE ∴⊥面1A BD ，∴平面1A BD 的法向量为(0n =，1，0)，13cos ,||||4433m n m n m n ∴<>===⨯，二面角1C A B D --为锐二面角，故二面角1C A B D --的余弦值为14．（2）设线段1A E 上存在点(P x ，y ，)z 满足题意，且11([0,1])A P A E λλ=∈，则(x ，y ，1)(0z λ-=1)-，0x ∴=，y =，1z λ=-，即点(0P，1)λ-，∴1(2CP =-，-1)λ-，由（1）知，平面1A BC 的法向量为(1m =，2)，而CP 与平面1A BC 所成的角为60︒sin 60|cos CP ∴︒=<，12(1)2||||||||CP m m CP m λ-+-+->===，解得43λ=或8[05∉，1]，故不存在点P 满足题意．22．已知直角三角形ABC 中，6AC =，3BC =，90ABC ∠=︒，点D ，E 分别是边AC ，AB 上的动点（不含A 点），且满足AD AE =1)．将ADE ∆沿DE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE ，连结AB 、AC （图2)．()I 求证：AD ⊥平面BCDE ；()II 求四棱锥A BCDE -体积的最大值．【解答】证明：()6I AC =，3BC =，90ABC ∠=︒，AB ∴=AD ABAE AC==， ADE ABC ∴∆∆∽，90ADE ABC ∴∠=∠=︒，即AD DE ⊥．平面ADE ⊥平面BCDE ，且平面⋂平面DE =，AD ⊆平面ADE ，AD ∴⊥平面BCDE ．解：()II 设DE x =，则2AE x =，AD =，)221392ABC ADE BCDE S S S x x ∆∆∴=-=⨯⨯=-四边形．)()2311199332A BCDE BCDE V S AD x x x -∴=⋅=-=-四边形，(0x <<．令333()9(0)2f x x x x=-<，则2()93f x x '=-，令()0f x '=得x =当0x <<时，()0f x '>x <<()0f x '<．()f x ∴在上单调递增，在上单调递减，∴当DE =，即AE =，3AD =时，四棱锥A BCDE -体积最大．此时12A BCDE V -=⨯=23．等边三角形ABC 的边长为3，点D ，、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==．将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B 、1A C ．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）求1A E 与平面1A BC 所成角的正弦值．（3）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由题知在图1中，在ADE ∆中，1AD =，2AE =，则2222cos 3DE AD AE AD AE A =+-=，即得：DE =，所以222AE AD DE =+，即得90ADE ∠=︒，则在图2中，有1A D DE ⊥，BD DE ⊥，二面角1A DE B --的平面角190A DB ∠=︒，即得1A D BD ⊥，1A D BD ⊥，1A D DE ⊥，且BD ，DE ⊂平面BCDE ，BDDE D =，1A D ∴⊥平面BCED ．（2）解：由（1）知：1A D BD ⊥，1A D DE ⊥，BD DE ⊥，所以以D 为空间直角坐标系的原点，以DB 、DE 、1DA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -．则(0D ，0，0)，1(0A ，0，1)，(0E 0)，(2B ，0，0)，1(2C ，∴3(2BC =-，1(2BA =-，0，1)，1(0A E =1)-，令平面1A BC 的法向量为(,,)n x y z =，由130220n BC x y n BA xz ⎧=-+=⎪⎨⎪=-+=⎩，得(1n =，2)，记1A E 与平面1A BC 所成角为θ，则1sin |cos ,|14143nA E θ=<>==++． 1A E ∴与平面1A BC 所成角的正弦值为．（3）解：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒．令BP BC λ=，则113(2,,1)2PA BA BP λ=-=-，而平面1A BD 的一个法向量为(0m =，1，0)，则由113||2||||PA m m PA =，解得56λ=， ∴在线段BC 上存在点P ，使得直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =．24．如图1，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC ==，D ，E分别是AC ，AB 上的点，CD BE ==将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，使得A B A C ''==．（1）证明：平面A BC '⊥平面BCD ；（2）求A B '与平面A CD '所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：取BC 中点O ，连结OD ，OE ，A B AC '='，O 为BC 中点，AO BC ∴'⊥，132BO BC ∴==，A O '在OCD ∆中，2222cos 5OD CD OC CD OC OCD =+-∠=．OD ∴ 在△A OD '中，22235A O OD A D '+=+='，AO OD ∴'⊥，BCOD O =，AO ∴'⊥平面BCD ，AO '⊂平面A BC '，∴平面A BC '⊥平面BCD ．（2）解：以O 为原点，在平面BCDF 内过O 作BC 的垂线为x 轴，OB 为y 轴，OA '为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A '，0，(0C ，3-，0)，(1D ，2-，0)，(0B ，3，0)，∴(0CA '=，3，(1DA '=-，2，设(n x =，y ，)z 是平面A CD '的法向量，则3020n CA y n DA x y ⎧'=+=⎪⎨'=-++=⎪⎩，令1x =，得(1n =，1-，(0A B '=，3，，设A B '与平面A CD '所成角为θ，则||sin ||||5n A B n A B θ'==='cos θ==A B '∴与平面A CD '．25．如图1，ABC ∆是等腰直角三角形32AB AC ==，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，2CD BE ==．将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，使得23A B A C '='=．（1）证明：平面A BC '⊥平面BCD ；（2）求A B '与平面A CD '所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在图1中，易得3OC =，AC =，AD =，连结OD ，OE ，在OCD ∆中，由余弦定理可得0cos45OD OC CD ，由翻折不变性可知2A D '=， 222A O OD A D ''∴+=，A O OD '∴⊥．同理可证A O OE '⊥，又ODOE O =，A O '∴⊥平面BCDE ．∴平面A BC '⊥平面BCD ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥．以O 为坐标原点，OH 、OB 、OA '分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．则(0O ，0，0)，(0A '，0，(0C ，3-，0)，(1D ，2-，0)，(0B ，3，0)CA '=，(DA '=-．设平面A CD '的法向量为(n x =，y ，)z3020n CA y N DA x y ⎧'==⎪⎨'=-+=⎪⎩⇒(1,1,n =-，又(0,3,A B '=．cos ,n A B <'>==．A B ∴'与平面A CD '． 26．已知如图一Rt ABC ∆，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 在BC 上，且3BF FC =，G 为DC 中点，将ADE ∆沿DE 折起，BEF ∆沿EF 折起，使得A ，B 重合于一点（如图二），设为P ，（1）求证：EG ⊥平面PDF ；（2）求二面角C PF E --的大小．【解答】（1）证明：如图一，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE DC ⊥，DE PD ⊥，又2DE =，2225DF DC CF =+=，由3334BF FC CB ===，故3PF =，所以222PD DF PF +=，故PD DF ⊥，又DEDF D =，DE ，DF ⊂平面DEFC ，所以PD ⊥平面DEFC ，又EG ⊂平面DEFC ，故EG PD ⊥，如图，以直线DE ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， (2E ，0，0)，(0C ，2，0)，(0P ，0，2)，(1F ，2，0)，(0G ，1，0)， (2,1,0),(1,2,0)EG DF =-=，220EG DF =-+=，故EG DF ⊥，又PD DF D =，DP ，DF ⊂平面PDF ，故EG ⊥平面PDF ；（2）解：设平面PCF 的法向量为(,,)m x y z =， (1,0,0),(1,2,2)CF FP ==--，由0220CF m x FP m x y z ⎧==⎪⎨=--+=⎪⎩，得(0,1,1)m =，设平面PEF 的法向量为(,,)n a b c =，则(1,2,0)EF =-，由20220EF n a b FP n a b c ⎧=-+=⎪⎨=--+=⎪⎩，得(2,1,2)n =，由122cos ,223m n +<>==，结合图象知二面角为钝角，故二面角C PF E --为135︒．27．等边ABC ∆的边长为3，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且满足2AE BDEC DA==（如图①)，将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B ，1A C （如图②)．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P （不包括端点），使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出1A P 的长，若不存在，请说明理由．x ⎰【解答】（1）证明：由题意可知11A D =，12A E =，60DAE ∠=︒，DE ∴= 22211A D DE A E ∴+=，1A D DE ∴⊥，二面角1A DE B --成直二面角，即平面1A DE ⊥平面BDE ，平面1A DE ⋂平面BDE DE =，1A D ∴⊥平面BCED ．（2）由（1）可知DE BD ⊥，以D 为原点，以DB ，DE ，1DA 为坐标轴建立空间坐标系D xyz -，如图所示，则(0D ，0，0)，(2B ，0，0)，1(0A ，0，1)，1(2C，0)，则3(2BC =-，0)，(2DB =，0，0)，令(01)BP BC λλ=<<，则3(22DP DB BP λ=+=-，0)，即3(22P λ-，0)，∴13(22A P λ=-，1)-，由（1）知(0n =，1，0)为平面1A BD 的一个法向量，则111cos ,||||(2n A P n A P n A P <>===，解得56λ=，即13(4A P =，1)-，152A P∴=．∴线段BC上存在点P使得直线1PA与平面1A BD所成的角为60︒，且152A P=．28．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足12AD CEDB EA==（如图1)．将ADE∆沿DE折起到△1A DE的位置，使二面角1A DE B--成直二面角，连结1A B、1A C（如图2)．（1）求证：1A D⊥平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线1PA与平面1A BD所成的角为60︒？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）正ABC∆的边长为3，且12AD CEDB EA==1AD∴=，2AE=，ADE∆中，60DAE∠=︒，由余弦定理，得DE ==2224AD DE AE +==，AD DE ∴⊥．折叠后，仍有1A D DE ⊥二面角1A DE B --成直二面角，∴平面1A DE ⊥平面BCDE 又平面1A DE ⋂平面BCDE DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥ 1A D ∴⊥平面BCED ；（2）假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒ 如图，作PH BD ⊥于点H ，连接1A H 、1A P 由（1）得1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED 所以1A D PH ⊥1A D 、BD 是平面1A BD 内的相交直线，PH ∴⊥平面1A BD由此可得1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角，即160PA H ∠=︒设(03)PB x x =，则cos602xBH PB =︒=，sin 60PH PB =︒在Rt △1PA H 中，160PA H ∠=︒，所以12xA H =，在Rt △1DA H 中，11A D =，122DH x =-由22211A D DH A H +=，得222111(2)()22x x +-=解之得52x =，满足03x 符合题意所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =．29．等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==（如图1)．将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图2)．（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面BCED ；（Ⅱ）若点P 在线段BC 上，52PB =，求直线1PA 与平面1A BD 所成的角．【解答】（Ⅰ）证明：因为等边ABC ∆的边长为3，且12AD CE DB EA ==，所以1AD =，2AE =．在ADE ∆中，60DAE ∠=︒，由余弦定理得DE 因为222AD DE AE +=，所以AD DE ⊥．折叠后有1A D DE ⊥．因为二面角1A DE B --是直二面角，所以平面1A DE ⊥平面BCED ．又平面1A DE ⋂平面BCED DE =， 1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥，所以1A D ⊥平面BCED ．（Ⅱ）解：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒．如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ．由（Ⅰ）有1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ，所以1PH A D ⊥．又1A DBD D =，所以PH ⊥平面1A BD ．所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角．设PB x =，(03)x ，则2xBH =，PH x =．在Rt △1PA H 中，160PA H ∠=︒，所以112A H x =，在Rt △1A DH 中，122DH x =-．由22211A D DH A H +=，得222111(2)()22x x +-=．解得52x =，满足03x ，符合题意．所以在线段BC 上存在点，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =．30．如图，ABC ∆中，2AB =，1BC =，90ABC ∠=︒，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折到△A DE '的位置，使平面A DE '⊥平面BCED ．（1）当D 为AB 的中点时，设平面A BC '与平面A DE '所成的二面角的平面角为(0)2παα<<，直线A C '与平面A DE '所成角为β，求tan()αβ+的值；（2）当D 点在AB 边上运动时，求四棱锥A BCED '-体积的最大值．【解答】解：（1）作CF DE ⊥于F ，连接A F '，则CF ⊥平面A DE '， CA F β∴∠'=，在矩形BCFD 中，1CF BD ==，1DF BC ==，在Rt △A DF '中，A F '=，tan CF A F β=='，作//A P DE '，//DE BC ，//A P BC ∴'，平面A BC '⋂平面A DE A P '='，A P A D '⊥'，A P A B '⊥'，4BA D πα∴∠'==，1tan(3αβ+∴+=+ （2）设A D x '=，(0,2)x ∈，则2xDE =，2BD x =-， ∴四棱锥A BCED '-体积3(1)(2)1423212xx x x V x +--==， 24312xV -∴'=，令0V '=，可得x =递增，在，2)递减，x ∴时，四棱锥A BCED '-． 31．等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC上的点，且满足12AD CE DB EA ==（如图1)．将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图2)．（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面:BCED（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD ？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：等边ABC ∆的边长为3，且12AD CE DB EA ==，1AD ∴=，2AE =，在ADE ∆中，60DAE ∠=︒，由余弦定理得DE222AD DE AE +=，AD DE ∴⊥，拆叠后有1A D DE ⊥，二面角1A DE B --是直二面角，∴平面1A DE ⊥平面BCED ，又平面1A DE ⋂平面BCED DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥，1A D ∴⊥平面BCED ．（Ⅱ）解：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD ，如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H ，1A P ，由（Ⅰ）有1A D ⊥平面BCDE ，PH ⊂平面BCED ，1A D PH ∴⊥，又1A DBD D =，PH ∴⊥平面1A BD ，1PA H ∴∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角，直线1PA 与平面1A BD ， 160PA H ∴∠=︒，设(03)PB x x =，则2xBH =，PH =，在Rt △1PA H 中，160PA H ∠=︒，∴112A H x =，在Rt △1A DH 中，111,22A D DH x ==-，由22211A D DH A H +=，得222111(2)()22x x +-=，解得52x =，满足03x ，符合题意，∴在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD ，此时52PB =．。

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一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE ，交MD 于点G ，∵点M 为AF 的中点，点N 为EF 的中点，∴MN ∥AE ，MN=AE ，由已知得，AB=AD=BC=CD ，∠B=∠ADF ，CE=CF ，又∵BC+CE=CD+CF ，即BE=DF ，∴△ABE ≌△ADF ，∴AE=AF ，在Rt △ADF 中，∵点M 为AF 的中点，∴DM=AF ，∴DM=MN ，∵△ABE ≌△ADF ，∴∠1=∠2，∵AB ∥DF ，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM ，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN ∥AE ，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM ⊥MN ．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．2．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝；（2）试判断：旋转过程中BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3）55；（4）BD=101143．【解析】试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CECB CA=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可．试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =12n ．故答案为90°，12n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m．故答案为nm．（2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵CD BC nCE AC m==，∴△ACE ∽△BCD ，∴BD BC nAE AC m==．（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB 22AC BC -．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，∴AE 22AB BE +2263+52）可知△ACE ∽△BCD ，∴BD BCAE AC=，∴35=810，∴BD 125125．（4）∵m =6，n =2∴CE =3，CD 2，AB 22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD 22BC CD +224222+（）（）10． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，∴AM=5，AE=22AM ME=57，由（2）可知DBAE=223，∴BD=21143．故答案为210或2114．点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．3．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P 处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．（1）求证：图1中的PBC是正三角形：（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求证：IH=IJ②请求出NJ的长；（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1233）3＜a＜3，a＞3【解析】分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由Rt △IHM ≌Rt △IJN 知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x ，则IQ=QN=2x 、QJ=3x ，根据IJ=IQ+QJ 求出x 即可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可．（1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB 与DC 重合，得到折痕EF ∴PB=PC∵沿折痕BG 折叠纸片，使点C 落在EF 上的点P 处 ∴PB=BC ∴PB=PC=BC∴△PBC 是正三角形：（2）证明：①如图∵矩形AHIJ ∴∠H=∠J=90° ∵△MNJ 是等边三角形 ∴MI=NI在Rt △MHI 和Rt △JNI 中MI NIMH NJ=⎧⎨=⎩ ∴Rt △MHI ≌Rt △JNI （HL ） ∴HI=IJ②在线段IJ 上取点Q ，使IQ=NQ∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ， ∴∠HIM=∠JIN ， ∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°， ∴∠HIM=∠JIN=15°，由QI=QN 知∠JIN=∠QNI=15°， ∴∠NQJ=30°，设NJ=x ，则IQ=QN=2x ，22=3QN NJ -x ， ∵IJ=6cm ，∴2x+3x=6，∴x=12-63，即NJ=12-63（cm ）．（3）分三种情况： ①如图：设等边三角形的边长为b ，则0＜b≤6，则tan60°=3=2a b ， ∴a=3b ， ∴0＜b≤63=33； ②如图当DF 与DC 重合时，DF=DE=6， ∴a=sin60°×DE=32=33 当DE 与DA 重合时，a=63sin603==︒ ∴33a ＜3 ③如图∵△DEF是等边三角形∴∠FDC=30°∴DF=643cos303==︒∴a＞43点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．4．如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED 拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．【答案】1【解析】分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论．由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四边形ACED’为平行四边形．根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；（2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．（3）分两种情况讨论即可．详解：（1）D’A=1．理由如下：过D′作D′N⊥CD于N．∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′= 12CD′=1．由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，∴四边形ACED’为平行四边形．又∵∠DCE=90°，∴四边形ACED’为矩形；（2）如图，取BC中点即为点G，连接GD’．∵∠DCE=∠D’CE’=90°，∴∠DCE’=∠D’CG．又∵D’C= DC，CG=CE’，∴△DCE’≌△D’CG，∴GD’=E’D．（3）分两种情况讨论：①如图1．∵∠CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴∠CDE′=30°，∴∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30°，∴旋转角=∠ECE′=180°+30°=210°．②如图2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋转角=360°－30°=330°．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．5．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y 轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；（Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值．【答案】（1）（1，2）；（2）S=32t+8（0≤t≤8）；（3）当t=0时，BC+AC有最小值【解析】试题分析：（I）过M作MG⊥OF于G，分别求OG和MG的长即可；（II）如图1，同理可求得AG和OG的长，证明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=12t，AF=MG=2，分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围；（III）证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t=0时，值最小．试题解析：解：（I）如图1，过M作MG⊥OF于G，∴MG∥OB，当t=2时，OA=2．∵M是AB的中点，∴G是AO的中点，∴OG=12OA=1，MG是△AOB的中位线，∴MG=12OB=12×4=2，∴M（1，2）；（II）如图1，同理得：OG=AG=12t．∵∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAF=90°．∵∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAO=∠ACF．∵∠MGA=∠AFC=90°，MA=AC，∴△AMG≌△CAF，∴AG=CF=12t，AF=MG=2，∴EC=4﹣12t，BE=OF=t+2，∴S △BCE =12EC •BE =12（4﹣12t ）（t +2）=﹣14t 2+32t +4； S △ABC =12•AB •AC =12•216t +•21162t +=14t 2+4，∴S =S △BEC +S △ABC =32t +8．当A 与O 重合，C 与F 重合，如图2，此时t =0，当C 与E 重合时，如图3，AG =EF ，即12t =4，t =8，∴S 与t 之间的函数关系式为：S =32t +8（0≤t ≤8）；（III ）如图1，易得△ABO ∽△CAF ，∴AB AC =OB AF =OA FC =2，∴AF =2，CF =12t ，由勾股定理得：AC =22AF CF +=22122t +（）=2144t +，BC =22BE EC +=221242t t ++-（）（）=21544t +（），∴BC +AC =（ 5+1）2144t +，∴当t =0时，BC +AC 有最小值．点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．6．（10分）已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F 为BE 中点，连结DF 、CF.（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）.【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF；（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．试题解析：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE. ∴DF=CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF.∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF.同理得：∠CFE=2∠CBF，∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°.∴DF=CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的结论仍然成立．证明如下：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．∵AD=DE，∴AD=GB.∵AC=BC，∴AC-AD="BC-GB." ∴DC=GC．∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形.∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF．（3）如图，延长DF交BA于点H，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．∴∠AED=∠ABC=45°.∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE. ∴∠DEF=∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF="BF." ∴△DEF≌△HBF. ∴ED=HB.∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4.∵AD=1，∴ED=BH=1.∴AH=3.在Rt△HAD中，由勾股定理，得DH=，∴DF=，∴CF=.∴线段CF的长为.考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理．7．如图1，在△ABC中，E、D分别为AB、AC上的点，且ED//BC，O为DC中点，连结EO 并延长交BC的延长线于点F，则有S四边形EBCD=S△EBF.（1）如图2，在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，当直线MN满足某个条件时，△MON的面积存在最小值．直接写出这个条件:_______________________.（2）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（，）、（4、2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值．【答案】（1）当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，△MON的面积最小；（2）10.【解析】试题分析：（1）当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF 于G．由全等三角形的性质可以得出结论；（2）①如图3①过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N，由（1）的结论知，当PM=PN时，△MND的面积最小，此时四边形OANM的面积最大，S =S△OAD-S△MND.四边形OANM②如图3②，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，利用S=S△OCT-S△MN T，进而得出答案．四边形OCMN试题解析：（1）当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，△MON的面积最小.如图2，过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．∵S四边形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF.∴当点P是MN的中点时S△MON最小.（2）分两种情况：①如图3①过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N．延长OC、AB交于点D，易知AD = 6，S△OAD＝18 ．由（1）的结论知，当PM=PN时，△MND的面积最小，此时四边形OANM的面积最大．过点P、M分别作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1、M1．由题意得M1P1=P1A = 2，从而OM1=MM1= 2．又P(4,2)，B(6,3)∴P1A=M1P1="O" M1=P1P=2，M1M=OM=2，可证四边形MM1P1P是正方形．∴MN∥OA，∠MND=90°，NM=4，DN=4．求得S△MND＝8.∴.② 如图3②，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N．延长CB交x轴于T点，由B、C的坐标可得直线BC对应的函数关系式为 y =－x＋9 ．则T点的坐标为（9，0）．∴S△OCT=×9×=．由(1)的结论知：当PM=PN时，△MNT的面积最小，此时四边形OCMN的面积最大．过点P、M点分别作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足为P1，M1.从而 NP1=P1M1，MM1=2PP1=4．∴点M的横坐标为5，点P（4、2），P1M1= NP1= 1，TN =6．∴S△MNT=×6×4=12，S四边形OCMN=S△OCT-S△MNT =-12=＜10．综上所述：截得四边形面积的最大值为10．考点：1.线动旋转问题；2.正方形的判定和性质；3.图形面积求法；4.分类思想的应用.8．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE ，AD ⊥BE ．(2) AD=BE ，AD ⊥BE ．(3) 5-32≤PC≤5+32．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．∴AD=BE ，AD ⊥BE ．故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD ⊥BE ，∴AD=BE ，AD ⊥BE ．（3）如图3中，作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，∴PC=BE ，图3-1中，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值2，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，即5-32≤PC≤5+32．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．9．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。

图形的平移,对称与旋转的真题汇编含答案

图形的平移，对称与旋转的真题汇编含答案
一、选择题
1．如图，在矩形中，将其折叠使落在对角线上，得到折痕那么的长度为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由勾股定理求出AC的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x，则CE= ，利用勾股定理，即可求出x的值，得到BE的长度．
【点睛】
本题考查了坐标系中点、图形的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
4．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是
A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】
在直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加上正数a（a＞1），那么所得的图案与原图案相比，图案向右平移了a个单位长度，并且向上平移了a个单位长度．
故选D．
边关系是解题关键．
16．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为( )
A．70°B．80°C．84°D．86°
【答案】BAB1C1，AB＝AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B＝∠BB1A＝∠AB1C1＝40°，从而可求得∠BB1C1＝80°.
∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，
∴E′在AD上，且E′是AD的中点，
∵AD=AB，
∴AE=AE′，

翻折旋转阅读理解难题

△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.
图①图②图③
（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
（1）如果，，
①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段所在直线的位置关系为__________，线段的数量关系为；
②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点不重合），并说明理由．
24．在 ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
3．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称、；
（2）如图，已知格点（小正方形的顶点），O（0，0），A（3，0），B(0,4)请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB.
4．如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
（1）请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上（要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹）；

平面直角坐标系翻折问题_概述说明以及解释

平面直角坐标系翻折问题概述说明以及解释1. 引言1.1 概述平面直角坐标系翻折问题是一个有趣而复杂的几何问题，涉及到平面上点的变换和操作。

在该问题中，我们需要将一个给定的平面直角坐标系进行翻折操作，以得到新的坐标系。

这个翻折操作过程经过了几何原理解释、数学推导与证明以及实例说明，并且在应用领域中也有广泛的应用。

1.2 文章结构本文将按照以下结构来阐述平面直角坐标系翻折问题：首先，在引言部分对该问题进行概述；其次，在第二部分对平面直角坐标系翻折问题进行详细定义与背景介绍，并描述相关的翻折操作过程；然后，在第三部分中通过几何原理解释、数学推导与证明以及实例说明来解释与分析该问题；接着，在第四部分中讨论该问题可能存在的潜在难点和挑战性问题，并探索发展相关理论或算法的可能性；最后，在第五部分中对主要观点和发现结果进行总结，并提出未来研究的建议。

1.3 目的本文旨在全面介绍平面直角坐标系翻折问题，并通过解释、分析和讨论的方式，深入理解该问题的几何原理和数学推导。

通过对该问题应用领域的探讨，本文还将展示平面直角坐标系翻折问题的实际意义及其未来研究方向。

最终，希望读者能够对这一问题有更深入的认识，并在相关领域中做出贡献。

2. 平面直角坐标系翻折问题:2.1 定义与背景:平面直角坐标系翻折问题是一个在几何学和数学中常见的问题。

当我们对平面上的一个图形进行翻折操作时，它会沿着某个轴线翻转，并在另一侧复制出一个镜像图形。

2.2 翻折操作过程:在平面直角坐标系中，通过将图形按照某个轴线进行对称翻转来得到镜像图形。

具体操作包括将图形上的每个点关于该轴线对称映射得到新的点，并连接这些新点以生成镜像图形。

2.3 应用领域:平面直角坐标系翻折问题广泛应用于几何学、数学建模以及计算机图形学中。

例如，在计算机图形学中，利用平面直角坐标系的翻折操作可以实现二维图像的变换和处理。

通过平面直角坐标系翻折问题，我们可以更好地理解和描述各种几何现象，并且可以将其应用于解决实际问题。

2022年九年级数学复习专题---图形的变换(平移、翻折、旋转)综合问题题

2022年中考数学复习专题---图形的变换（平移、翻折、旋转）综合题班级：___________姓名：___________学号：___________1．综合与实践问题情境：综合与实践课上，同学们以“三角形纸片的折叠与旋转“为主题展开数学活动，探究有关的数学问题．动手操作：已知：三角形纸片ABC 中，6120AB AC BC BAC ==∠=︒，，.将三角形纸片ABC 按如下步骤进行操作：第一步：如图1，折叠三角形纸片ABC ，使点C 与点A 重合，然后展开铺平，折痕分别交BC AC ，于点D E ，，连接AD ，易知AD CD =．第二步：在图1的基础上，将三角形纸片ABC 沿AD 剪开，得到ABD ∆和ACD ∆.保持ABD ∆的位置不变，将ACD ∆绕点D 逆时针旋转得到FDG ∆(点F G ，分别是A C ，的对应点)，旋转角为()0360αα︒<<︒问题解决：（1）如图2，小彬画出了旋转角0120α︒<<︒时的图形，设线段FG AC ，交于点P ，连接AG DP ，.小彬发现DP 所在直线始终垂直平分线段AG .请证明这一结论；（2）如图3，小颖画出了旋转角90α=︒时的图形，设直线AF 与直线CG 相交于点O ，连接CF 判断此时COF ∆的形状，说明理由；（3）在ACD ∆绕点D 逆时针旋转过程中，当FG BC ⊥时，请直接写出B F ，两点间的距离．2．如图，△ABC 中，已知∠C=90°，∠B=60°，点D 在边BC 上，过D 作DE ⊥AB 于E ．（1）连接AD ，取AD 的中点F ，连接CF ，EF ，判断△CEF 的形状，并说明理由（2）若．把△BED 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m=3．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，30AB ABD =∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现AEDF=_________．将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，连接,AE DF ，如图2所示，发现AEDF=_________．（2）小亮同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，连接,AE DF ，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立?并说明理由．拓展延伸：（3）在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，AE 的长为____________．4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠．P 为边BC 上一动点，将DPB 沿着直线DP 翻折到DPE ，点E 恰好落在CDP 的外接圆O 上．（1）求证：D 是AB 的中点．（2）当60BDE ∠=︒，BP =DC 的长．（3）设线段DB 与O 交于点Q ，连结QC ，当QC 垂直于DPE 的一边时，求满足条件的所有QCB ∠的度数．5．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点,F E ，使OF=2OA ，OE 2OD =，连接EF ，将FOE ∆绕点O 按逆时针方向旋转角α得到F OE ''∆，连接,AE BF ''（如图2）．（1）探究AE '与BF '的数量关系，并给予证明；（2）当30α=︒时，求证：AOE '为直角三角形．6．如图，在△ABC 中，AB =∠B =45°，∠C =60°．（1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求∠AEP 的度数． ②如图3，连结AP ，当PF ⊥AC 时，求AP 的长．7．如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN ，连结AM 、BD ．（1）AM与BD的关系是：________．（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在(2)的条件下，连接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值．8．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．9．如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．(1)如图，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC =______°；(2)如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明．(3)已知线段AB＝BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．10．我们知道，直角坐标系是研究“数形结合”的重要工具．请探索研究下列问题：（1）如图1，点A 的坐标为（-5，1），将点A 绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转90°，得对应点A '，若反比例函数(0)k y x x=>的图像经过点A '，求k 的值．（2）将（1）中的(0)ky x x =>的图像绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转45°，如图2，旋转后的图像与x 轴相交于点B ，若直线x =C 与点D ，求△BCD 的面积．（3）在（2）的情况下，半径为6的M 的圆心M 在x 轴上，如图3，若要使△BCD 完全在M 的内部，求M 的圆心M 横坐标xm 的范围（直接写出结果，不必写详细的解答过程）．11．对于平面直角坐标系xOy 中的点A 和点P ，若将点P 绕点A 逆时针旋转90︒后得到点Q ，则称点Q 为点P 关于点A 的“垂链点”，图1为点P 关于点A 的“垂链点”Q 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(0,0)，点P 关于点A 的“垂链点”为点Q ；①若点P 的坐标为(2,0)，则点Q 的坐标为________； ②若点Q 的坐标为(2,1)-，则点P 的坐标为________；（2）如图2，已知点C 的坐标为(1,0)，点D 在直线113y x =+上，若点D 关于点C 的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D 的坐标；（3）如图3，已知图形G 是端点为(1,0)和(0,2)-的线段，图形H 是以点O 为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M 为图形G 上的动点，点N 为图形H 上的动点，若存在点(0,)T t ，使得点M 关于点T 的“垂链点”恰为点N ，请直接写出t 的取值范围．12．如图，正比例函数y ＝12x 与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点A ，将正比例函数y ＝12x 向上平移6个单位，交y 轴于点C ，交反比例函数图象于点B ，已知AO ＝2BC ．（1）求反比例函数解析式；（2）作直线AB ，将直线AB 向下平移p 个单位，恰与反比例函数图象有唯一交点，求p 的值．13．综合与实践：问题情境：（1）如图，点E 是正方形ABCD 边CD 上的一点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①线段BE 和BF 的数量关系是______．②写出线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系．并说明理由；操作探究：（2）在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边CD 所在直线上的－点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①如图，点E 在线段DC 上时，请探究线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若2==，直接写出线段FM和AGDE DC a的长度．14．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝4．固定△ABC不动，将△DEF 进行如下操作：(1)操作发现如图①，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连接DC，CF，FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，那么它的面积大小是否变化呢?如果不变化，请求出其面积．(2)猜想论证如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．(3)拓展探究如图③，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求sinα翻折问题姓名：___________班级：___________学号：___________1．如图将矩形纸片ABCD 沿AE 翻折，使点B 落在线段DC 上，对应的点为F ．（1）求证：EFC DAF ∠=∠；（2）若3tan 4AE EFC =∠=，求AB 的长．2．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2,AD 是BC 边上的中线，将A 点翻折与点D 重合，得到折痕EF ，求:CE AE 的值.3．如图，点A ，M ，N 在O 上，将MN 沿MN 折叠后，与AM 交于点B ．（1）若70MAN ∠=︒，则ANB ∠=________°；（2）如图1，点B 恰好是翻折所得MN 的中点， ①若MA MN =，求AMN ∠的度数；②若tan MAN ∠=tan AMN ∠的值；（3）如图2，若222AB BN MN +=，求MBAB的值．4．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝m ，点E 是边BC 上一点，BE ＝1，连接AE ，沿AE 翻折△ABE 使点B 落在点F 处．（1）连接CF ，若CF ∥AE ，求m 的值；（2）连接DF ，若65≤DF ，求m 的取值范围．5．如图1，一张矩形纸ABCD ，ABa AD=，点,E F 分别在边,CD AB 上，且AE EF =，把ADE 沿AE 翻折得到AGE ．（1）如图1，若1AD =．（Ⅰ）当AD DE =时，AFE ∠=_____度；（Ⅱ）当//AG EF 时，求AF 的长度．（2）若直线EG 与边AB 交于点H ，当2AH FH =时，求a 的最小值．6．如图，在折纸游戏中，正方形ABCD 沿着BE ，BF 将BC ，AB 翻折，使A ，C 两点恰好落在点P ．（1）求证：45EBF ∠=︒．（2）如图，过点P 作//MN BC ，交BF 于点Q ． ①若5BM =，且10MP PN ⋅=，求正方形折纸的面积． ②若12QP BC =，求AM BM的值．7．如图，在ABC 中，12,120AC BC ACB ==∠=︒，点D 是AB 边上一点，连接CD ，以CD 为边作等边CDE △．（1）如图1，若45CDB ∠=︒，求等边CDE △的边长；（2）如图2，点D 在AB 边上移动过程中，连接BE ，取BE 的中点F ，连接,CF DF ，过点D 作DG AC ⊥于点G ． ①求证：CFDF ．②如图3，将CFD 沿CF 翻折得CFD '，连接BD '，求出BD '的最小值．8．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 是边BC 上一动点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点为点B '．（1）如图，设BE x =，BC =E 从B 点运动到C 点的过程中． ①AB CB ''+最小值是______，此时x =______； ②点B '的运动路径长为．（2）如图，设35BE a =，当点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上时，求a 的值．9．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CD 边的垂直平分线EH 交BD 于点E ，连接AE ，CE ．（1）过点A 作//AF EC 交BD 于点F ，求证：AF BF =；（2）如图2，将ABE △沿AB 翻折得到'ABE △．①求证：'//BE CE ；②若'//AE BC ，1OE =，求CE 的长度．10．如图，矩形ABCD 中，已知6AB =．8BC =，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ．将ABE △沿直线AE 翻折，点B 的对应点为点B '，延长AB '交直线CD 于点M ．（1）如图1，若点B '恰好落在对角线AC 上，求BE CE的值．（2）如图2．当点E 为BC 的中点时，求DM 之长．（3）若32BE CE =，求sin DAB '∠．11．【基础巩固】（1）如图①，ABC ACD CED α∠=∠=∠=，求证：ABC CED ∽△△．【尝试应用】（2）如图②，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F 分别为边,AD AB 上两点，将菱形ABCD 沿EF 翻折，点A 恰好落在对角线DB 上的点P 处，若2PD PB =，求AE AF的值．【拓展提高】（3）如图③，在矩形ABCD 中，点P 是AD 边上一点，连接,PB PC ，若2,4,120PA PD BPC ==∠=︒，求AB 的长．12．如图，在ABC 中，60B ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，AB CE =．（1）如图1，将ABD △沿AD 翻折到AFD ，AF 交CE 于点G ，探索线段AB 、AG 、CG 之间有何等量关系，并加以证明；（2）如图2，H 为直线BC 上任意一点，连接AH ，将AH 绕点A 逆时针旋转60°到AH '，连接CH '，若BD =，求CH '的最小值．13．如图，在矩形ABCD 中，12BC AB =，F 、G 分别为AB 、DC 边上的动点，连接GF ，沿GF 将四边形AFGD 翻折至四边形EFGP ，点E 落在BC 上，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O（1）GF 与AE 之间的位置关系是：______，GF AE 的值是：______，请证明你的结论；（2）连接CP ，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长14．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点P 在矩形的边CD 上由点D 向点C 运动.沿直线AP 翻折ADP ∆，形成如下四种情形，设DP x =，ADP ∆和矩形重叠部分（阴影）的面积为y .（1）如图4，当点P 运动到与点C 重合时，求重叠部分的面积y ；（2）如图2，当点P 运动到何处时，翻折ADP ∆后，点D 恰好落在BC 边上？这时重叠部分的面积y 等于多少？15．如图1，ABC 中，AB AC =，点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，连接DE 、DC ，DE 交AC 于点G ，且DE DC =．（1）找出一个与BDE ∠相等的角；（2）若AB =mAD ，求DG GE的值（用含m 的式子表示）；（3）如图2，将ABC 沿BC 翻折，若点A 的对应点A '恰好落在DE 的延长线上，求BE EC的值．16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，连接AD．（1）如图1，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当时，求AE的值．（2）如图2，在AC上取一点E，使得CE=13AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：DF=CF．。

初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析

初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标（，）；（2）将△ABC的三个顶点的横、纵坐标都乘以－1，分别得到对应点A2、B2、C2，画出△A2B2C2，则△ABC和△A2B2C2关于对称；（3）将△ABC在网格中平移，使点B的对应点B3坐标为（－6，1），画出△A3B3C3.【答案】(1) 5，﹣3; (2)画图见解析，原点；（3）画图见解析.【解析】（1）根据题意得出各对应点坐标进而求出即可；（2）利用已知得出各对应点坐标进而求出即可；（3）利用平移规律得出各对应点平移距离，进而求出即可．试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为；（5，﹣3）；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，△ABC和△A2B2C2关于原点对称；（3）如图所示：△A3B3C3即为所求．【考点】1.作图-旋转变换；2.作图-轴对称变换；3.作图-平移变换．2.如图，有四块全等的直角三角形纸片，直角边长分别是1，2，请利用这四块纸片按下列要求在6×6方格纸中各拼一个图形（四块纸片都要用上，无缝隙且无重叠部分），直角顶点在格点上．（1）图甲中作出是轴对称图形而不是中心对称图形；（2）图乙中作出是中心对称图形而不是轴对称图形；（3）图丙中作出既是轴对称图形又是中心对称图形．【答案】【解析】理解轴对称中心对称的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 .根据其特征画出相应图形即可.【考点】1.轴对称；2.中心对称3.在图中，画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1，写出△ABC关于轴对称的△A2B2C2的各点坐标.【答案】画图见解析，A2（-3，-2），B2（-4，3），C2（-1，1）．【解析】利用轴对称性质，作出A、B、C关于x轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于x轴对称的△A2B2C2；然后根据图形写出坐标即可．试题解析：△ABC的各顶点的坐标分别为：A（-3，2），B（-4，-3），C（-1，-1）；所画图形如下所示，其中△A2B2C2的各点坐标分别为：A2（-3，-2），B2（-4，3），C2（-1，1）．【考点】作图-轴对称变换．4.如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN=5cm，则△OEF的周长为 .【答案】5cm．【解析】∵O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，∴OE=ME，OF=NF，∵MN=5cm，∴△OEF的周长为：OE+EF+OF=ME+EF+NF=MN=5（cm）．故答案为：5cm．【考点】轴对称的性质．5.在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？【答案】（1）作图见试题解析；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质结合图形解答．试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【考点】1．作图-轴对称变换；2．作图-平移变换．6.下列图形是四家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（）【答案】C.【解析】根据轴对称图形的定义，沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，选项A、B、D中的图形无论怎么折叠，都不能使左右两部重合，只有选项C符合题意，选项C可左右对折或上下对折都能使直线两旁的部分重合，故选C.【考点】轴对称图形的定义.7.一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码___________.【答案】【解析】本题是轴对称中的镜面对称问题，水面相当于一个平面镜，因为镜面对称的性质是在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称。

中考数学压轴题第四部分图形的平移翻折与旋转

4.1 图形的平移、翻折与旋转1.如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2, 0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA 的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（）．A．（4，B．（3，C．（4，D．（3，2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 6)，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线34y x=-上，则点B与其对应点B′间的距离为______．3.已知直线y＝2x＋(3－a)与x轴的交点在A(2, 0)，B(3, 0)之间（包括A、B两点）则a的取值范围是_____________．4.如图，在矩形ABCD中，AD＝15，点E在边DC上，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．如果AD＝3GD，那么DE＝_____．5.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，点D是BC的中点，将△ABC沿着直线EF折叠，使点A与点D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F，那么sin∠BED的值为____________．6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，把矩形ABCD沿直线MN翻折，点B落在边AD上的E点处，若AE＝2AM，那么EN的长等于．7.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，连结AC′．直线AC′与CB的延长线相交于点F．如果∠DAB＝∠BAF，那么BF＝______________．8.如图，已知Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝4，BC＝2，将△ACD沿直线CD折叠，点A落在点E处，连结AE，那么线段AE的长度等于__________．9.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＜BC，点M、N分别在AD、BC上，沿直线MN将四边形DMNC翻折，点C恰好与点A重合．如果此时在原图中△CDM与△MNC的面积比是1∶3，那么MNDM的值等于___________．10.如图，△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，BD平分∠ABC，BD交AC于点D．如果将△ABD沿BD翻折，点A 落在点A′处，那么△DA′C的面积为_______．11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．将△ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，折痕为BD．再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，若△BED与△ABC相似，则相似比BDAC＝___________．12.如图，已知扇形OAB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是AB上一点．将扇形AOB沿着EF 对折，使得折叠后的'A F恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则O到折痕EF的距离为__________．13.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为．14.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为（）．A B．C．D15.如图，将正方形ABCD沿MN折叠，使点D落在AB边上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为_________．16.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P为AD边上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为_______．17.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．18.如图，正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取得最小值时，四边形AEPQ的面积是____________．19.如图，已知钝角三角形ABC，∠A＝35°，OC为AB边的中线．将△AOC绕着点O顺时针旋转，点C落在BC 边上的点C′处，点A落在点A′处，连结BA′，如果A、C、A′在同一条直线上，那么∠BA′C′的度数为__________．20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC ABC绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′C′，连结C′B，则C′B的长为___________．21.如图，△ABC中，∠ABC＞90°，tan∠BAC＝34，BC＝4，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点C′处，点B落在点B′处，若C、B、B′恰好在一直线上，则AB的长为______________．22.如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、AB边上，如果AF＝BE，那么∠AOD的度数是__________．23.如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2B1C D124.如图，已知Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连结AF，则AF= ．25.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，则BM的长是___________．26.如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′//AB，则旋转角的度数为（）．A．35°B．40°C．50°D．65°27.已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处．延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．28.如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB＝AC＝5，BC＝6．△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝_________．29.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝3，点M、N分别是线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别是DM、MN的中点，则EF长度的最大值为．30.如图，正方形ABCD的边长为16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与B、C重合的一个动点，把△EBF 沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_______________．31.如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．32.在平面直角坐标系中，点A，B，动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）．A.2B.3C.4D.533.在平行四边形ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，AB＝ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在平行四边形ABCD所在的平面内，连结B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为_____________．34.如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB＝2，BC＝E、F分别是线段AB、AD上的点，连结CE、CF，当∠BCE＝∠ACF且CE＝CF时，AE＋AF＝______．35.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）．A．B．C．5 D．636.如图，过平行四边形ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG 的面积S 1与平行四边形HCFM 的面积S 2的大小关系是（）．A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．2S 1＝S 237.如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ，B 与D 两点之间用一根橡皮筋．．．拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误．．的是（）． A ．四边形ABCD 由矩形变为平行四边形； B ．BD 的长度增大；C ．四边形ABCD 的面积不变； D ．四边形ABCD 的周长不变．38.如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC 、BC ，分别以AC 、BC 为边向外作正方形ACDE 和正方形BCFG ，DE 、FG 、AC 、BC 的中点分别是M 、N 、P 、Q ．若MP ＋NQ ＝14，AC ＋BC ＝18，则AB 的长是（）． A. 29 B. 790 C. 13 D. 16 39.如图1，点P 是以r 为半径的⊙O 外一点，点P ′在线段OP 上，若满足OP ·OP ′＝r 2，则称点P ′是点P 关于⊙O的反演点．如图2，在Rt △ABO 中，∠B ＝90°，AB ＝2，BO ＝4，⊙O 的半径为2，如果点A ′、B ′分别是点A 、B 关于⊙O 的反演点，那么A ′B ′的长是____．40.如图，已知⊙O 1的半径为1，⊙O 2的半径为2，O 1O 2＝5，⊙O 分别与⊙O 1外切，与⊙O 2内切，那么⊙O 半径r 的取值范围是__________．41.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 为半径画弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分的面积是_________（结果保留π）．42.如图，半圆O 的直径AE ＝4，点B 、C 、D 均在半圆上，若AB ＝BC ，CD ＝DE ，连结OB 、OD ，则图中阴影部分的面积为_________．43.如图1，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，以点B 为圆心的圆与AD ，DC 相切，与AB 、CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为（）．A 2πB πC 2πD ．2π+44.如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于_____．45.如图，⊙O 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点（P 与A ，B ，C ，D 不重合），过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径长为_________． A. 4π B. 2π C. 6π D. 3π 46.如图，在平面直角坐标系中，已知点A (0, 1)，点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 的周长为1．点M 从点A 开始沿⊙P 按照逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N (n , 0) ，设点M 转过的路程为m （0＜m ＜1）．随着点M 的转动，当m 从13变化到23时，点N 相应移动的路程长为____________．47.已知⊙P 的半径为2，圆心在函数y=8x的图象上运动，当⊙P 与坐标轴相切于点D 时，则符合条件的点D 的个数为（）．A ．0B ．1C ．2D ．448.如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝6，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°．若M 、N 分别是AB 、BC 的中点，那么MN 长的最大值是__________．49.如图，正方形ABCD 的边长为1，中心为点O ，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ 绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD 内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为． 50.如图，正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（）． A ．x ＜－2或x ＞2 B ． x ＜－2或0＜x ＜2 C ．－2＜x ＜0或0＜x ＜2 D ．－2＜x ＜0或x ＞251.正比例函数y 1＝mx （m ＞0）的图象与反比例函数2k y x=（k ≠0）的图象交于A (n , 4)、B 两点，AM ⊥y 轴，垂足为M ，若△AMB 的面积为8，则满足y 1＞y 2的实数x 的取值范围是___________．52.如图，在平面直角坐标系中，四边形ODEF 和四边形ABCD 都是正方形，点F 在x 轴的正半轴上，点C 在边DE 上，反比例函数k y x=（k ≠0，x ＞0）的图象过点B 、E ．若AB ＝2，则k 的值为________．53.如图，点A 1、A 2依次在y =（x ＞0）的图象上，点B 1、B 2依次在x 轴的正半轴上，若△A 1OB 1、△A 2B 1B 2均为等边三角形，则点B 2的坐标为________．54.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x =在第一象限内的图象交于点B ，连结BO ，若S △OBC ＝1，tan ∠BOC ＝13，则k 2的值是（）．A ．－3B ．1C ．2D ．3 55.如图，在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，点A 的坐标为(a , a )．若曲线3y x=（x ＞0）与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是_____________． 56.如图，已知点A 在反比例函数k y x =（x ＜0）上，作Rt △ABC ，点D 为斜边AC 的中点，连结DB 并延长交y 轴于点E ，若△BCE 的面积为8，则k ＝．57.如图，已知∠AOB ＝90°，在∠AOB 的平分线ON 上依次取点C 、F 、M ，过点C 作DE ⊥OC ，分别交OA 、OB 于点D 、E ，以FM 为对角线作菱形FGMH ，已知∠DFE ＝∠GFH ＝120°，FG ＝FE ．设OC ＝x ，图中阴影部分的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（）． A. 223x y = B. 23x y = C. 232x y = D. 233x y = 58.如图1，正方形ABCD 的边长为3，动点P 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度沿着BC -CD -DA 运动，到达点A 停止运动；另一动点Q 同时从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿着BA 边向点A 运动，到达点A 停止运动．设点P 运动时间为x 秒，△BPQ 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（）．A ．B ．C ．D ．59.如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2, 2)，点P (m , n )在直线y ＝－x ＋2上运动．设△APO 的面积为S ，则下面能够反映S 与m 的函数关系的图象是（）．60.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8．以DEFG的一边在直线AB上，且点D与点A重合．现将正方形DEFG沿A→B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）．61.如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（）．图1 A．B．C．D．62.如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图像中，能表示y 与x的函数关系的图象大致是（）．63.函数x xx y2 2+=的图象为（）．A．B．C．D．。

折叠问题练习题(含答案)

专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片 ABC 使点 C 与点 A 重合，然后展开铺平，得到折痕 DE ；第二步：将△ABC 沿折痕 DE 展开，然后将△DEC 绕点 D 逆时针方向旋转得到△DFG ，点 E ，C 的对应点分别是点 F ，G ，射线 GF 与边 AC 交于点 M(点 M 不与点 A 重合)，与边 AB 交于点 N ，线段 DG 与边 AC 交于点 P.数学思考：（1）求 DC 的长；（2）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，试判断 MF 与 ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，探究下列问题：① 如图 2，当 GF ∥BC 时，求 AM 的长；② 如图 3，当 GF 经过点 B 时，AM 的长为③ 当△DEC 绕点 D 旋转至 DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线 GF ，并直接写出 AM 的长（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB =90°，AC =4，BC =3，E 、F 分别是AC 、AB 边上点，连接EF ．（1）图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF =3S △EDF ，求AE 的长；（2）如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使M F ∥CA ． ①试判断四边形AE M F 的形状，并证明你的结论；②求EF 的长；（3）如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN =1，CE =47，求AFBF 的值．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.4．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D．（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD．求证：AE＝ED；（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝√2AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离．专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（3）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（4）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明见解答．【分析】（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，再根据四边形ABCD是正方形，易证B'E=B'F，即可证明DF+BE=AF；（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明图（2）：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，根据CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B′AE=∠DAG，则∠GAF=∠DAE，则∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．【解答】解：（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，∴B'E=B'F，∴AF=AB'+B'F，即DF+BE=AF；（5）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB=∠EAD，∵∠BAE=∠B'AE，∴∠B'AE=∠DAG，∴∠GAF=∠DAE，∴∠AGD=∠GAF，∴GF=AF，∴BE+DF=AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∴∠BAM=∠FAD，AF=AM ∵ΔABE≌AB'E∴∠BAE=∠EAB′，∴∠MAE=∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM=∠DAE，∴∠MAE=∠AEM，∴ME=MA=AF，∴BE﹣DF=AF．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC 使点C 与点A 重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC 沿折痕DE 展开，然后将△DEC 绕点D 逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C 的对应点分别是点F，G，射线GF 与边AC 交于点M(点M 不与点A 重合)，与边AB交于点N，线段DG 与边AC 交于点P.数学思考：（1）求DC 的长；（2）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，试判断MF 与ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC 时，求AM 的长；②如图3，当GF 经过点B 时，AM 的长为③当△DEC 绕点D 旋转至DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线GF，并直接写出AM 的长（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）【答案】(1) DC＝5;(2)相等，理由见解析；（3）①AM＝3；②AM＝74；③AM＝10 3√5【分析】（1）理由勾股定理求出BC即可解决问题．（2）结论：MF=ME．证明Rt△DMF≌Rt△DME（HL），即可解决问题．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．由KM∥CH，推出AK AH =AMAC，求出AK，AH即可解决问题．②证明BM=MC，设BM=MC=x，在Rt△ABM中，根据BM2=AB2+AM2，构建方程即可解决问题．③尺规作图如图4-1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG=DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，△DFG即为所求．如图4-1中，连接DM，设DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG于J．易证△DEM≌△DHK（AAS），推出EM=HK，只要求出HK即可．【解答】解：（1）如图1中，∵DE⊥AC，∴∠DEC=∠A=90°，∴DE∥AB，∵AE=EC，∴BD=DC，在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=8，∴BC=√AB2+BC2=√62+82=10，∴CD=12BC=5．（2）结论：MF=ME．理由：如图1中，连接DM，∵∠DFM=∠DEM=90°，DM=DM，DF=DE，∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），∴MF=ME．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．易知AH=AB⋅ACBC =245，四边形DFKH是矩形，∴DF=KH=3，∴AK=AH-KH=95，∵KM∥CH，∴AKAH =AMAC，∴95245=AM8，∴AM=3．②如图3中，∵DG=DB=DC，∴∠G=∠DBG，∵∠G=∠C ，∴∠MBC=∠C ，∴BM=MC ，设BM=MC=x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2=AB 2+AM 2，∴62+（8-x ）2=x 2，∴x=254∴AM=AC-CM=8-254=74．故答案为74.③尺规作图如图4-1所示．作DR 平分∠CDF ，在DR 上截取DG=DC ，分别以D ，G 为圆心，DE ，CE 为半径画弧，两弧交于点F ，△DFG 即为所求．如图4-1中，连接DM ，设DG 交AC 于T ，作TH ⊥CD 于H ，作DK 平分∠CDG 交TH 于K ，作KJ ⊥DG 于J ．易证△DEM ≌△DHK （AAS ），推出EM=HK ，只要求出HK 即可．∵TE ⊥DE ，TH ⊥DC ，DG 平分∠CDE ，∴TE=TH ，设TE=TH=x ，在Rt △TCH 中，x 2+22=（4-x ）2，∴x=32， ∴DT =√32+(32)2=32√5， ∵DK 平分∠CDT ，KJ ⊥DT ，KH ⊥CD ，∴KJ=KH ，设KJ=KH=y ，在Rt △KTJ 中，y 2+(32√5−3)2=(32−y)2∴y =3√5−6，∴EM=3√5−6∴AM =AE −EM =4−(3√5−6)=10−3√5．2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB =90°，AC =4，BC =3，E 、F 分别是AC 、AB 边上点，连接EF ．（1）图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF =3S △EDF ，求AE 的长；（2）如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使M F ∥CA ． ①试判断四边形AE M F 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；（3）如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN =1，CE =47，求AFBF的值．【答案】（1）52；（2）①四边形AE M F 为菱形；②4√109；（3）32．【分析】试题分析：（1）先利用折叠的性质得到EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，则S △AEF ≌S △DEF ，则易得S △ABC =4S △AEF ，再证明Rt △AEF ∽Rt △ABC ，然后根据相似三角形的性质得到=（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE 的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF 为菱形；②连结AM 交EF 于点O ，如图②，设AE=x ，则EM=x ，CE=4﹣x ，先证明△CME ∽△CBA 得到==，解出x 后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM ，然后根据菱形的面积公式计算EF ；（3）如图③，作FH ⊥BC 于H ，先证明△NCE ∽△NFH ，利用相似比得到FH ：NH=4：7，设FH=4x ，NH=7x ，则CH=7x ﹣1，BH=3﹣（7x ﹣1）=4﹣7x ，再证明△BFH ∽△BAC ，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH 和BH ，接着利用勾股定理计算出BF ，从而得到AF 的长，于是可计算出的值．【解答】（1）如图①，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF≌S△DEF，∵S四边形ECBF=3S△EDF，∴S△ABC=4S△AEF，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵∠EAF=∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC，∴=（）2，即（）2=，∴AE=；（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，∵MF∥AC，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF，∴四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，∵四边形AEMF为菱形，∴EM∥AB，∴△CME∽△CBA，∴==，即==，解得x=，CM=，在Rt△ACM中，AM===，∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，∴EF=2×=；（6）如图③，作FH⊥BC于H，∵EC∥FH，∴△NCE∽△NFH，∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，∴FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC，∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=，∴FH=4x=，BH=4﹣7x=，在Rt△BFH中，BF==2，∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，∴=．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1.【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；【解答】（1）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴，∴，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，∴（负根已经舍弃），∴．（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD ∽△ACB ，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C ， ∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D ∥BC ， ∴△PA′D ∽△PBC ，∴，∴，即∴PC=1．4．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝7，点P 是边AC 上不与点A 、C 重合的一点，作PD ∥BC 交AB 边于点D ．（1）如图1，将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ，作AE ∥PD ．求证：AE ＝ED ；（2）将△APD 绕点A 顺时针旋转，得到△AP 'D '，点P 、D 的对应点分别为点P '、D '， ①如图2，当点D '在△ABC 内部时，连接P ′C 和D 'B ，求证：△AP 'C ∽△AD 'B ；②如果AP ：PC ＝5：1，连接DD '，且DD '＝√2AD ，那么请直接写出点D '到直线BC 的距离．【答案】(1)见解析；（2）①见解析；②点D '到直线BC 的距离为176或536 【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD ＝∠ADP ＝∠ADP '，即可得AE ＝DE ；（2）①由题意可证△APD ∽△ACB ，可得APAC =ADAB ，由旋转的性质可得AP ＝AP '，AD ＝AD '，∠PAD ＝∠P 'AD '，即∠P 'AC ＝∠D 'AB ，，则△AP 'C ∽△AD 'B ；②分点D '在直线BC 的下方和点D '在直线BC 的上方AP′AC =AD′AB两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD ＝356，通过证明△AMD '≌△DPA ，可得AM ＝PD ＝356，即可求点D '到直线BC 的距离．【解答】证明：（1）∵将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ， ∴∠ADP '＝∠ADP ， ∵AE ∥PD ， ∴∠EAD ＝∠ADP ， ∴∠EAD ＝∠ADP '， ∴AE ＝DE（2）①∵DP ∥BC ，∴△APD∽△ACB，∴APAC =ADAB，∵旋转，∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，∴∠P'AC＝∠D'AB，AP′AC =AD′AB，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴APAC =PDBC=56，∵BC＝7，∴PD＝356，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝12D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝DFAD ＝12D′DAD=√22ADAD√22，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝356，∵CM＝AM﹣AC＝356﹣3，∴CM ＝176，∴点D '到直线BC 的距离为176若点D '在直线BC 的上方，如图，过点D '作D 'M ⊥AC ，交CA 的延长线于点M ，同理可证：△AMD '≌△DPA ， ∴AM ＝PD ＝356，∵CM ＝AC +AM ， ∴CM ＝3+356＝356，∴点D '到直线BC 的距离为356综上所述：点D '到直线BC 的距离为176或536；。

2023年中考数学一轮专题练习图形的平移、折叠和旋转(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习 ——图形的平移、折叠和旋转2一、单选题（本大题共10小题）1. （天津市2022年）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（） A ．B ．C ．D ．2. （湖南省娄底市2022年）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3. （湖南省郴州市2022年）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4. （江苏省常州市2022年）在平面直角坐标系xOy 中，点A 与点1A 关于x 轴对称，点A 与点2A 关于y 轴对称．已知点1(1,2)A ，则点2A 的坐标是（） A ．(2,1)- B ．(2,1)--C ．(1,2)-D ．(1,2)--5. （湖南省长沙市2022年）在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是（） A ．(5,1)- B ．(5,1)- C ．(1,5) D ．(5,1)-- 6. （湖南省邵阳市2022年）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（） A ．等边三角形B ．圆C ．长方形D ．正方形7. （湖南省怀化市2022年）如图，△ABC 沿BC 方向平移后的像为△DEF ，已知BC =5，EC =2，则平移的距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．48. （湖南省衡阳市2022年）下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（）A ．可回收垃圾B ．其他垃圾C ．有害垃圾D ．厨余垃圾9. （四川省雅安市2022年）在平面直角坐标系中，点（a +2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b ），则ab 的值为（） A ．﹣4B ．4C ．12D ．﹣1210. （天津市2022年）如图，在△ABC 中，AB =AC ，若M 是BC 边上任意一点，将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论一定正确的是（）A ．AB AN = B ．AB NC ∥ C ．AMN ACN ∠=∠D ．MN AC ⊥二、填空题（本大题共8小题）11. （辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）在平面直角坐标系中，线段AB 的端点(3,2),(5,2)A B ，将线段AB 平移得到线段CD ，点A 的对应点C 的坐标是(1,2)-，则点B 的对应点D 的坐标是．12. （吉林省2022年）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角()0360αα︒<<︒后能够与它本身重合，则角α可以为度．（写出一个即可）13. （辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）如图，正方形ABCD 的边长为10，点G 是边CD 的中点，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE △沿BE 翻折得到FBE ，连接GF ．当GF 最小时，AE 的长是．14. （辽宁省大连市2022年）如图，对折矩形纸片ABCD ，使得AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 的对应点A '落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ．连接，若，，则的长是．15. （辽宁省大连市2022年）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是1,2，将线段OA 向右平移4个单位长度，得到线段BC ，点A 的对应点C 的坐标是．16. （江苏省扬州市2022年）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D；第MF MF BM ⊥6cm AB =ADcm2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若12BC =，则MP MN += ．17. （江苏省无锡市2022年）△ABC 是边长为5的等边三角形，△DCE 是边长为3的等边三角形，直线BD 与直线AE 交于点F ．如图，若点D 在△ABC 内，∠DBC =20°，则∠BAF ＝ °；现将△DCE 绕点C 旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF 长度的最小值是．18. （湖北省荆州市2022年）规定：两个函数，的图象关于y 轴对称，则称这两个函数互为“Y 函数”．例如：函数与的图象关于y 轴对称，则这两个函数互为“Y 函数”．若函数（k 为常数）的“Y 函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y 函数”的解析式为．三、解答题（本大题共5小题）19. （四川省自贡市2022年）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD ，把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．1y 2y 122y x =+222y x =-+()2213y kx k x k =+-+-(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB 由AB 旋转得到，所以EB AB =．我们还可以得到FC ＝， EF ＝；(2)进一步观察，我们还会发现EF ∥AD ，请证明这一结论；(3)已知BC 30,DC 80==cm cm ，若BE 恰好经过原矩形DC 边的中点H ，求EF 与BC 之间的距离．20. （湖北省十堰市2022年）已知90ABN ∠=︒，在ABN ∠内部作等腰ABC ，AB AC =，()090BAC αα∠=︒<≤︒．点D 为射线BN 上任意一点（与点B 不重合），连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转α得到线段AE ，连接EC 并延长交射线BN 于点F ．(1)如图1，当90α=︒时，线段BF 与CF 的数量关系是；(2)如图2，当090α︒<<︒时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)若60α=︒，AB =BD m =，过点E 作EP BN ⊥，垂足为P ，请直接写出PD 的长（用含有m 的式子表示）．21. （黑龙江省绥化市2022年）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．(1)如图一，在等腰ABC 中，AB AC =，BC 边上有一点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，过点C 作CG AB ⊥于G .利用面积证明：DE DF CG +=．(2)如图二，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，点B 落在B ′处，点G 为折痕EF 上一点，过点G 作GM FC ⊥于M ，GN BC ⊥于N .若8BC =，3BE =，求GM GN +的长．(3)如图三，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA AB ⊥，ED CD ⊥，连接BD ，且AB AECD DE=，BC =3CD =，6BD =，求ED EA +的长． 22. （天津市2022年）将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(3,0)A ，点(0,6)C ，点P 在边OC 上（点P 不与点O ，C 重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且30OPQ ∠=︒，点O 的对应点O '落在第一象限．设OQ t =．(1)如图①，当1t =时，求O QA ∠'的大小和点O '的坐标；(2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，,O Q O P ''分别与边AB 相交于点E ，F ，试用含有t 的式子表示O E '的长，并直接写出t 的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为t 的值可以是（请直接写出两个不同．．．．的值即可）．23. （湖北省鄂州市2022年）如图1，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角边OA 在y 轴的正半轴上，且OA =6，斜边OB =10，点P 为线段AB 上一动点．(1)请直接写出点B 的坐标；(2)若动点P满足∠POB=45°，求此时点P的坐标；(3)如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标；(4)如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．参考答案1. 【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；B．不是轴对称图形，故本选项错误；C．不是轴对称图形，故本选项错误；D．是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2. 【答案】D【分析】中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可．【详解】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意，故选：D．3. 【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确；C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项错误；D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误．故答案为B．4. 【答案】D【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，A点坐标，即可得出答案．2【详解】解：∵点1A的坐标为（1，2），点A与点1A关于x轴对称，∴点A的坐标为（1，-2），∵点A与点A关于y轴对称，2∴点A的坐标是（-1，﹣2）．2故选：D．5. 【答案】D【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】--．解：点(5,1)关于原点对称的点的坐标是(5,1)故选D．6. 【答案】B【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．【详解】解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．故选：B．7. 【答案】C【分析】根据题意判断BE的长就是平移的距离，利用已知条件求出BE即可．【详解】因为ABC沿BC方向平移，点E是点B移动后的对应点，所以BE的长等于平移的距离，由图可知，点B、E、C在同一直线上，BC=5，EC=2，所以BE=BC-ED=5-2=3,故选 C．8. 【答案】C【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】解：A．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，B．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，C．既是中心对称又是轴对称图形，D．是轴对称图形但不是中心对称图形，故选C．9. 【答案】D【分析】a b，可得a，b的值，再首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得240,20代入求解即可得到答案．【详解】解：点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），∴240,20a b，a b解得：6,2,ab12,故选D10. 【答案】C【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B，∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN，∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C．11. 【答案】(1,2)【分析】根据点的平移法则：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可．【详解】解：点A（3，2），点A的对应点C（-1，2），将点A（3，2）向左平移4个单位，所得到的C（-1，2），∴B（5，2）的对应点D的坐标为（1，2），故答案为：(1,2)．12. 【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可）【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角3601606︒∠==︒， 0360α︒<<︒， ∴角α可以为60︒或120︒或180︒或240︒或300︒，故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．13. 【答案】5【分析】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点（谁动谁定）；②动点轨迹；③最值模型（比如将军饮马模型）；④定线段；⑤求线段长（勾股定理、相似或三角函数），结合题意求解即可得到结论．【详解】解：①分析所求线段GF 端点：G 是定点、F 是动点；②动点F 的轨迹：正方形ABCD 的边长为10，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE △沿BE 翻折得到FBE ，连接GF ，则10BF BA ==，因此动点轨迹是以B 为圆心，10BA =为半径的圆周上，如图所示：③最值模型为点圆模型；④GF 最小值对应的线段为10GB -；⑤求线段长，连接GB ，如图所示：在Rt BCG ∆中，90C ∠=︒，正方形ABCD 的边长为10，点G 是边CD 的中点，则5,10CG BC ==，根据勾股定理可得BG =当G F B 、、三点共线时，GF最小为10，接下来，求AE 的长：连接EG ，如图所示根据翻折可知,90EF EA EFB EAB =∠=∠=︒，设AE x =，则根据等面积法可知EDG BCG BAE BEG S S S S S ∆∆∆∆=+++正方形，即()111111005105101022222DE DG BC CG AB AE BG EF x x ⎡⎤=⋅+⋅+⋅+⋅=-+⨯++⎣⎦整理得)120x =，解得2015x AE====，故答案为：5．14. 【答案】【分析】根据直角三角形的中线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，分别根据直角三角形中的三角函数求出AM 和DM ，从而得到答案．【详解】解：如下图所示，设A E '交BM 于点O ，连接AO ，∵点E 是中点，∴在Rt ABM 和 Rt A BM '中，,AO OM OB OA OB OM '====,∴,OAE OBE OBA OA B ''∠=∠∠=∠ ，∵OBE OBA '∠=∠，AOA M 'AOM∴OAE OA B '∠=∠ ，∵90,90OAE AOE OA B OA M ︒︒''∠+∠=∠+∠=，∴AOE OA M '∠=∠，∴//AO A M '，∵//AM OA '∴四边形AOA M '是平行四边形，∴AM OA '=∴AM AO OM ==,∴是等边三角形，∴∴ ∴∵，，∴，∴，∵， ∴∴故答案为：15. 【答案】()5,2【分析】由将线段OA 向右平移4个单位长度，可得点A 1,2向右边平移了4个单位与C 对应，再利用“右移加”即可得到答案．【详解】解：∵将线段OA 向右平移4个单位长度，∴点A 1,2向右边平移了4个单位与C 对应，∴14,2,C 即5,2,C故答案为：5,2.16. 【答案】6【分析】根据第一次折叠的性质求得12BD DB BB ''==和AD BC ⊥，由第二次折叠得到AM DM =，MN AD ⊥，进而得到MN BC ，易得MN 是ADC 的中位线，最后由三角形的中位线求解．【详解】AOM 60AMO OMA ︒'∠=∠=tan tan 60AB AMO AM ︒∠==AM =MF BM ⊥60OMA ︒'∠=30A MF ︒'∠=18015030DMF ︒︒︒∠=-=132DF AB ==tan 30DF MD ==︒AD AM MD =+=解：∵已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ， ∴12BD DB BB ''==，AD BC ⊥． ∵第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ，∴AM DM =，AN ND =，∴MN AD ⊥，∴MN BC ．∵AM DM =，∴MN 是ADC 的中位线， ∴12MP DB '=，12MN DC =． ∵12BC =，2BD DC CB BD BC +=+'=， ∴()111162222MP MN DB DC DB DB B C BC +=+=+='+''='．故答案为：6．17. 【答案】80 4##4【分析】利用SAS 证明△BDC ≌△AEC ，得到∠DBC =∠EAC =20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB =60°，推出A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，此时线段AF 长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC =BC ，DC =EC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60°，∴∠DCB +∠ACD =∠ECA +∠ACD =60°，即∠DCB =∠ECA ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （ SAS ），∴∠EAC =∠DBC ，∵∠DBC =20°，∴∠EAC =20°，∴∠BAF =∠BAC +∠EAC =80°；设BF 与AC 相交于点H ，如图：∵△ACE ≌△BCD∴AE =BD ，∠EAC =∠DBC ，且∠AHF =∠BHC ，∴∠AFB =∠ACB =60°，∴A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，∵点D 在以C 为圆心，3为半径的圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，∴此时线段AF 长度有最小值，在Rt △BCD 中，BC =5，CD =3，∴BD4，即AE =4，∴∠FDE =180°-90°-60°=30°，∵∠AFB =60°，∴∠FDE =∠FED =30°，∴FD =FE ，过点F 作FG ⊥DE 于点G ，∴DG =GE =32， ∴FE =DF =cos30DG ︒∴AF =AE -FE故答案为：80；18. 【答案】或【分析】分两种情况，根据关于y 轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．【详解】解：函数（k 为常数）的“Y 函数”图象与x 轴只有一个交点，函数（k 为常数）的图象与x 轴也只有一个交点，当k =0时，函数解析为，它的“Y 函数”解析式为，它们的图象与x 轴只有一个交点，23y x =-244y x x =-+-()2213y kx k x k =+-+-∴()2213y kx k x k =+-+-23y x =--23y x =-当时，此函数是二次函数，它们的图象与x 轴都只有一个交点，它们的顶点分别在x 轴上，，得，故k +1=0，解得k =-1，故原函数的解析式为，故它的“Y 函数”解析式为，故答案为：或．19. 【答案】(1)CD ，AD ；(2)见解析；(3)EF 于BC 之间的距离为64cm ．【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD 的各边的长度没有改变，可求解；（2）通过证明四边形BEFC 是平行四边形，可得结论；（3）由勾股定理可求BH 的长，再证明△BCH ∽△BGE ，得到BH CH BE EG=，代入数值求解EG ，即可得到答案．(1)解：∵ 把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．∴由旋转的性质可知矩形ABCD 的各边的长度没有改变，∴AB ＝BE ，EF ＝AD ，CF ＝CD ，故答案为：CD ，AD ；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∵AB ＝BE ，EF ＝AD ，CF ＝CD ，∴BE ＝CF ，EF ＝BC ，∴四边形BEFC 是平行四边形，∴EF BC ，∴EF AD ；(3)解：如图，过点E 作EG ⊥BC 于点G ， 0k≠∴()()2432104k k k k ---⎡⎤⎣⎦∴=10k k+=244y x x =---244y x x =-+-23y x =-244y x x =-+-∵DC ＝AB ＝BE ＝80cm ，点H 是CD 的中点，∴ CH ＝DH ＝40cm ，在Rt △BHC 中，∠BCH ＝90°，BH50=（cm ），∵ EG ⊥BC ，∴∠EGB ＝∠BCH ＝90°，∴CH EG ，∴ △BCH ∽△BGE ， ∴BH CH BE EG =， ∴， ∴EG ＝64，∵ EF BC ，∴EF 与BC 之间的距离为64cm ．20. 【答案】(1)BF =CF(2)成立；理由见解析 (3)62m PD =-或PD =0或62m PD =- 【分析】（1）连接AF ，先根据“SAS”证明ACE ABD ∆∆≌，得出90ACE ABD ∠=∠=︒，再证明Rt Rt ABF ACF ≌，即可得出结论；（2）连接AF ，先说明EAC BAD ∠=∠，然后根据“SAS”证明ACE ABD ∆∆≌，得出90ACE ABD ∠=∠=︒，再证明Rt Rt ABF ACF ≌，即可得出结论；（3）先根据60α=︒，AB =AC ，得出△ABC 为等边三角形，再按照60BAD ∠︒＜，60BAD ∠=︒，60BAD ∠︒＞三种情况进行讨论，得出结果即可．(1)解：BF =CF ；理由如下：连接AF ，如图所示：504080EG=根据旋转可知，90DAE α∠==︒，AE =AD ， ∵∠BAC =90°，∴90EAC CAD ∠+∠=︒，90BAD CAD ∠+∠=︒， ∴EAC BAD ∠=∠，∵AC =AB ，∴ACE ABD ∆∆≌（SAS ），∴90ACE ABD ∠=∠=︒，∴1809090∠=︒-︒=︒ACF ，∵在Rt △ABF 与Rt △ACF 中AB AC AF AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ABF ACF ≌（HL ），∴BF =CF ．故答案为：BF =CF ．(2)成立；理由如下：连接AF ，如图所示：根据旋转可知，DAE α∠=，AE =AD ， ∵BAC α∠=，∴EAC CAD α∠-∠=，BAD CAD α∠-∠=， ∴EAC BAD ∠=∠，∵AC =AB ，∴ACE ABD ∆∆≌，∴90ACE ABD ∠=∠=︒，∴1809090∠=︒-︒=︒ACF ，∵在Rt △ABF 与Rt △ACF 中AB AC AF AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ABF ACF ≌（HL ），∴BF =CF ．(3)∵60α=︒，AB =AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，AB AC BC === 当60BAD ∠︒＜时，连接AF ，如图所示：根据解析（2）可知，Rt Rt ABF ACF ≌， ∴1302BAF CAF BAC ∠=∠=∠=︒，∵AB = tan tan30BF BAF AB∴∠=︒=，即tan304BF AB =⨯︒==， 4CF BF ∴==，根据解析（2）可知，ACE ABD ∆∆≌， ∴CE BD m ==，∴4EF CF CE m =+=+，906030FBC FCB ∠=∠=︒-︒=︒， 60EFP FBC FCB ∴∠=∠+∠=︒， ∵90EPF ∠=︒，∴906030FEP ∠=︒-︒=︒， ∴()1142222m PF EF m ==+=+， 42622m m BP BF PF ∴=+=++=+，∴6622m m PD BP BD m =-=+-=-；当60BAD ∠=︒时，AD 与AC 重合，如图所示：∵60DAE ∠=︒，AE AD =，∴△ADE 为等边三角形，∴∠ADE =60°，∵9030ADB BAC ∠=︒-∠=︒，∴603090ADE ∠=︒+︒=︒，∴此时点P 与点D 重合，0PD =；当60BAD ∠︒＞时，连接AF ，如图所示：根据解析（2）可知，Rt Rt ABF ACF ≌， ∴1302BAF CAF BAC ∠=∠=∠=︒，∵AB = tan tan30BF BAF AB∴∠=︒=，即tan304BF AB =⨯︒==， 4CF BF ∴==，根据解析（2）可知，ACE ABD ∆∆≌， ∴CE BD m ==，∴4EF CF CE m =+=+，∵906030FBC FCB ∠=∠=︒-︒=︒，60EFP FBC FCB ∴∠=∠+∠=︒，∵90EPF ∠=︒，∴906030FEP ∠=︒-︒=︒， ∴()1142222m PF EF m ==+=+， 42622m m BP BF PF ∴=+=++=+， ∴6622m m PD BD BF m ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭；综上分析可知，62m PD =-或PD =0或62m PD =-． 21. 【答案】(1)证明见解析(2)4(3)【分析】（1）根据题意，利用等面积法ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，根据等腰ABC 中，AB AC =，即可得到结论；（2）根据题中条件，利用折叠性质得到AFE CFE ∠=∠，结合矩形ABCD 中AD BC ∥得到AFE FEC ∠=∠，从而有CFE FEC ∠=∠，从而确定EFC ∆是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到=GM GN FH +，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；（3）延长BA CD 、交于F ，连接EF ，过点B 作BG FC ⊥于G ，根据AB AE CD DE =，EA AB ⊥，ED CD ⊥，得到ABC ∆是等腰三角形，从而由（1）知ED EA BG +=，在Rt BCG ∆中，BG ==Rt BDG ∆中，6BD =，BG =BG =1x =，从而得到结论．(1)证明：连接AD ，如图所示：在等腰ABC 中，AB AC =，BC 边上有一点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，过点C 作CG AB ⊥于G ，∴由ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+得111222AB CG AB ED AC FD ⋅=⋅+⋅， ∴DE DF CG +=；(2)解：连接CG ，过点F 作FH BC ⊥于H ，如图所示：根据折叠可知AFE CFE ∠=∠，在矩形ABCD 中，AD BC ∥，则AFE FEC ∠=∠，CFE FEC ∴∠=∠，即EFC ∆是等腰三角形，在等腰EFC ∆中，FC EC =，EF 边上有一点G ，过点G 作GM FC ⊥于M ，GN BC ⊥于N ，过点F 作FH BC ⊥于H ，由（1）可得=GM GN FH +，在Rt ABE ∆中，90B ∠=︒，3,835BE AE EC BC BE ===-=-=，则4AB =，在四边形ABHF 中，90B BAF FHB ∠=∠=∠=︒，则四边形ABHF 为矩形，4FH AB ∴==，即4GM GN FH AB +===；(3)解：延长BA CD 、交于F ，连接EF ，过点B 作BG FC ⊥于G ，在四边形中，E 为线段上的一点，，，则，又，，，即是等腰三角形，由（1）可得，设，，，在中，在中，，，22. 【答案】(1)60O QA ∠='︒，点O '的坐标为32⎛ ⎝⎭ (2)36O E t '=-，其中t 的取值范围是23t <<(3)3，103．（答案不唯一，满足3t ≤< 【分析】（1）先根据折叠的性质得60O QA ∠='︒，即可得出30∠=︒'QO H ，作O H OA '⊥，然后求出O H '和OH ，可得答案；（2）根据题意先表示3=-QA t ，再根据12QA QE =，表示QE ，然后根据O E O Q QE =''-表示即可，再求出取值范围；ABCD BC EA AB ⊥ED CD ⊥90BAE CDE ∠=∠=︒AB AE CD DE=∴ABE DCE ∆∆ABE C ∴∠=∠ABC ∆∴ED EA BG +==GD x 90EDC BGC ∠=∠=︒BC =3CD =Rt BCG ∆BG Rt BDG ∆6BD =BG ∴BG =1x =BG ∴=ED EA BG +==（3）求出t =3时的重合部分的面积，可得从t =3之后重合部分的面积始终是求出P 与C 重合时t 的值可得t 的取值范围，问题得解．(1)在Rt POQ △中，由30OPQ ∠=︒，得9060OQP OPQ ∠=-∠=︒︒．根据折叠，知PO Q POQ '△≌△，∴O Q OQ '=，60︒∠=∠='O QP OQP ．∵180O QA O QP OQP ∠=︒--∠'∠'，∴60O QA ∠='︒．如图，过点O′作O H OA '⊥，垂足为H ，则90O HQ ∠='︒．∴在Rt O HQ '中，得9030QO H O QA ∠=︒-'∠='︒．由1t =，得1OQ =，则1O Q '=．由1122'==QH O Q ，222'+='O H QH O Q得32=+=OH OQ QH ，'=O H∴点O '的坐标为32⎛ ⎝⎭．(2)∵点(3,0)A ，∴3OA =．又OQ t =，∴3QA OA OQ t =-=-．同（1）知，'=O Q t ，60O QA ∠='︒．∵四边形OABC 是矩形，∴90OAB ∠=︒．在Rt EAQ △中，9030QEA EQA ∠=-∠=︒︒，得12QA QE =． ∴22(3)62QE QA t t ==-=-．又O E O Q QE =''-，∴36O E t '=-.如图，当点O ′与AB 重合时，OQ O Q t '==，60AQO '∠=︒，则30AO Q ∠='︒， ∴12AQ t =， ∴132t t +=，解得t =2，∴t 的取值范围是23t <<；(3)3，103．（答案不唯一，满足3t ≤< 当点Q 与点A 重合时，3AO '=，30DAO '∠=︒，∴cos 30AO AD '==︒则132ADP S =⨯⨯=∴t =3时，重合部分的面积是从t =3之后重合部分的面积始终是当P 与C 重合时，OP ＝6，∠OPQ ＝30°，此时t ＝OP ·tan30°＝由于P 不能与C 重合，故t <所以3t ≤<23. 【答案】(1)（8，6）(2)（67，6） (3)（112，6） (4)OG 的最小值为4，线段FP 扫过的面积为83π 【分析】（1）由勾股定理即可求解；（2）连接OP ，过点P 作PQ ⊥OB 于点Q ，因为∠POB =45°，所以PQ =OQ ，设PQ =OQ =x ，则BQ =10-x ，根据tan B 的值，即可求得x 的值，再利用勾股定理，即可求解；（3）令PA '交OB 于点D ，由点E 为线段OB 的中点，可得152A E AE OB '===，152BE OB ==，利用折叠的性质、正切函数、勾股定理，即可求解；（4）当以点F 为圆心，OF 的长为半径画圆，与AB 的交点即为点P ，再将线段FP 绕点F 顺时针方向旋转60°得线段FG ，此时OG 最小，利用三角函数、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，即可求解．(1)解：在Rt △OAB 中，8AB ===，∴点B 的坐标为（8，6）；(2)解：连接OP ，过点P 作PQ ⊥OB 于点Q ，如图，∵∠POB=45°，∴∠OPQ=45°，∴∠POB=∠OPQ，∴PQ=OQ，设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，在Rt△OAB中，6384 tanOABAB===，在Rt△BPQ中，3104 tanPQ xBBQ x===-，解得307x=，∴307 OQ PQ==，在Rt△POQ中，7OP==，在Rt△AOP中，67 AP==，∴点P的坐标为（67，6）；(3)解：令PA'交OB于点D，如图，∵点E为线段OB的中点，∴152AE OB==，152BE OB==，∵6384tan PD OA B BD AB ====，设3PD a =，则4BD a =，∴5BP a ==，54DE BE BD a =-=-∴85AP AB BP a =-=-，由折叠的性质，可得5A E AE '==，85A P AP a '==-，∴88A D A P PD a ''=-=-，在Rt △A DE 中，222A D DE A E ''+=，即22288545()()a a -+-=，解得121825，a a ==， ∵BD BE <，即45a <， ∴54a <， ∴12a =， ∴1118522A P '=-⨯=， ∴点P 的坐标为（112，6）； (4) 解：以点F 为圆心，OF 的长为半径画圆，与AB 的交点即为点P ，再将线段FP 绕点F 顺时针方向旋转60°得线段FG ，连接OG ，此时OG 最小，如图，由题可知，624FP FG FO OA AF ===-=-=，在Rt APF 中，2142cos AF AFP FP ∠===， ∴60AFP ∠=︒，∵60PFG ∠=︒，∴60OFG ∠=︒，∴OFG △是等边三角形，∴4OG FO ==，∴OG的最小值为4，∴线段FP扫过的面积=26048 3603ππ⨯=．。

2021年中考真题精选5——翻折、旋转

2021年中考真题精选5 ——翻折、旋转1.（2021•宿迁）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB＝8，AD＝4，则MN的长是（）A．B．2C．D．42.（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（）A．1B．C．D．3.（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（）A．+B．3C．2+D．+4.（2021•河南）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（）A．（2，0）B．（2，0）C．（2+1，0）D．（2+1，0）5.（2021•衡阳）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③6.（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（）A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°7.（2021•广西）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB＝：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则的值为（）A．B．C．D．8.（2021•台州）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A．（36）cm2B．（36）cm2C．24cm2D．36cm29.（2021•丽水）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为（）A．B．C．D．10.（2021•通辽）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（）A．B．C．或D．或11.（2021•自贡）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2．将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（）A．B．C．3D．12.（2021•自贡）如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（）A．πB．πC．πD．π13.（2021•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A．2B．C．D．314.（2021•南充）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48；③A′C﹣B′C的最大值为15；④A′C+B′C的最小值为9．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个15.（2021•鄂尔多斯）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N、M，则线段A′M的长为（）A．B．C．D．16.（2021•阜新）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0，2）．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是（）A．2020πB．1010π+2020C．2021πD．1011π+2020 17.（2021•桂林）如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是．18.（2021•东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若AE＝5，则GE的长为．19.（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是．20.（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝．21.（2021•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝__________时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．22.（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为．23.（2021•江西）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为．24.（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A 落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D′处，如图3．当点D′恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为．25.（2021•杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝度．26.（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为．27.（2021•资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB剪开，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为．28.（2021•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为；第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为．29.（2021•凉山州）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为．30.（2021•威海）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若∠AEF＝α，纸片宽AB＝2cm，则HE＝cm．31.（2021•泰安）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE 上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为．32.（2021•海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为，DD′的长为．33.（2021•本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（填序号即可）．34.（2021•广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．35.（2021•乐山）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE ＝；（2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．36.（2021•临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？37.（2021•菏泽）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H 处．（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．38.（2021•重庆）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．39.（2021•贵港）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．40.（2021•本溪）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．41.（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．42.（2021•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．43.（2021•鄂尔多斯）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM ＝cm．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC 于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积．44.（2021•徐州）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．（1）求证：①△PDF的面积S＝PD2；②EA＝FD；（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．45.（2021•毕节市）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．。

八年级下册数学之与直角有关的折叠、旋转问题导学案及习题(含答案)

与直角有关的折叠、旋转（导学案）一、知识过关1. 将直角三角形的性质有序地梳理打包，就明确了直角特征常见的思考角度．与直角有关的折叠、旋转问题，往往需要借助折叠、旋转转移条件，然后围绕直角特征的使用去组合、搭配． 2. 折叠与旋转都是____________，变换前后______________、_______________都相等，从而实现条件的转移．旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等，旋转出现______________；同样的，如果基本图形能够提供_____________（如等边三角形、等腰直角三角形等），可以考虑利用旋转思想解决问题．二、精讲精练1. 把一张矩形纸片ABCD 按如图所示方式折叠，使顶点B 和顶点D 重合，折痕是EF ．若BF =4，CF =2，则∠DEF =________．第1题图第2题图2. 如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE =2CE ，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C ，D 分别落在边BC 下方的点C ′，D ′处，且点C ′，D ′，B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F ，D ′F 与BE 交于点G ．设AB =t ，那么△EFG 的周长为_________（用含t 的代数式表示）．3. 如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A =__________．4. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若1CG GB k =，则ADAB=_________（用含k 的代数式表示）．5. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为________．D (B )A 1EABC D'C'G FE DC BAGABEC DF E D CB6. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm （玻璃杯厚度忽略不计）．第6题图第7题图7. 如图，把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt △AB ′C ′，点C ′恰好落在边AB 上，连接BB ′，则∠BB ′C ′=_________．8. 把一副三角板如图1放置，其中∠ACB =∠DEC =90°，∠A =45°，∠D =30°，斜边AB =6，DC =7，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，与D 1E 1交于点F ，连接AD 1，则线段AD 1的长为（）A．B ．5C ．4D9. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =50°，点D 在边BC 上，BD =2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0<m <180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m =______．10. 探究：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ，AE ⊥CD 于点E ．若AE =10，则四边形ABCD 的面积为__________．应用：如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =180°，AB =AD ，AE ⊥BC 于点E ．若AE =19，DC QA'PAB BACD C A蚂蚁蜂蜜C'B'C AB 图1图2E CBOAADB CF E 1D 1BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为__________．11.如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数．12.如图，P是正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3．求∠APB的度数．【参考答案】一、知识过关2．全等变换，对应边、对应角，等腰三角形；等线段共点．二、精讲精练1．60°2．3．30°4．25．2图1图2DAB E CCEBADAPCBAB CDP6．15 7．20° 8．B 9．80或120 10．100；152 11．150° 12．135°与直角有关的折叠、旋转（当堂过关）1. 如图，将矩形纸片ABCD 对折，得折痕MN ，展开后再沿过点A 的直线折叠，使点B 落在MN 上，得折痕AE ．若第1题图第2题图2. 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A =30°，AC =10，把上面一块绕直角顶点B 逆时针旋转到△A′BC′的位置，若点C′在AC 上，A′C′与AB 相交于点D ，则C′D =__________．【参考答案】1．22．52与直角有关的折叠、旋转（作业）例1：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =1，将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△A ′B ′C ，使得点A ′恰好落在AB 上，连接BB ′，则BB ′的长为_______．例2：将矩形纸片ABCD 按如图所示方式折叠，AE ，EF 为折痕，∠BAE =30°，AB ，折叠后，点AB E B'N M DCB AC'A'DC ACA BB'A'C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处，则BC的长为（）AB．2C．3D．例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长为_______．【思路分析】1．在Rt△ABC中，由∠ABC=30°，AC=1得，BC，∠A=60°；2．由旋转可得，∠ACA′=∠B′CB，A′C=AC，B′C=BC；3．由A′C=AC，∠A=60°可得，△AC A′是等边三角形，故∠B′CB=∠ACA′=60°；4．由∠B′CB=60°，B′C=BC可得，△BCB′是等边三角形，故BB′= BC例2：将矩形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE，EF为折痕，∠BAE=30°，AB，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处，则BC的长为（）AB．2C．3D．【思路分析】1．在Rt△ABE中，由∠BAE=30°，AB得，BE=1，AE=2；2．由矩形折叠得，△AEC1是等腰三角形；3．由∠EAC1=60°得，△EAC1是等边三角形，EC1= AE=2；4．由折叠得，EC=EC1=2，所以BC=BE+EC=3．FB1E CDC1AB30°1A'B' C30°3BA C1DCEB1F1. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ．若CF =1，FD =2，则BC 的长为（） A．B． C． D．第1题图第2题图2. 如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ．若AB =6cm ，∠EFH =30°，则边AD 的长是_______．3. 如图，在正方形纸片ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N ，折痕交CD 边于点M ，BM 与EF 交于点P ，再展开．有下列结论：①CM =DM ；②∠ABN =30°；③223CM AB =；④△PMN 是等边三角形．其中正确的有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第3题图第4题图4. 如图，两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起，若绕长直角边的中点M 转动，面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，∠A =30°，AC =10，则此时CC′=________． 5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =70°，点D 在边BC 上，BD :DC =2段DB 绕点D 逆时针旋转m （0<m <180）度后，若点B 的对应点恰好落在△ABC 的边上，则m =______________．6. 如图，O 是等边三角形ABC 内一点，OA =3，OB =4，OC =5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．有下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与点O′的距离为4；③∠AOB =150°；④S 四边形AOBO′=6+；⑤S △AOC +S △AOB=6+__________________． GF EDBCAH GC BA EDF NPFCMDEBAM C'A'B'BAC学霸数学CBAD O'BCOA7. 如图，有一个长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD =80cm ，高AB =60cm ，水深为AE =40cm ，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且EG =60cm ；一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵．（1）小虫应该怎样走才能使爬行的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线示意图．（2）求小虫爬行的最短路线长．8. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ．若四边形ABCD 的面积为24，求AC的长．【参考答案】1．B 2． 3．C 4．5 5．40或150 6．①②③⑤7．（1）略；（2）100 cm 8．。

与直角有关的旋转(人教版)(含答案)

与直角有关的旋转（人教版）一、单选题(共9道，每道11分)1.下列有关旋转的说法不正确的是( )A.旋转中心可以是图形上的一点，也可以是图形外的一点B.旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定C.图形上的每一点到旋转中心的距离都相等D.图形上每一点转动的角度都相等答案：C解题思路：选项C错误，图形上的每一点到旋转中心的距离不一定相等．正确表述为：图形上的每一组对应点到旋转中心的距离都相等．故选C试题难度：三颗星知识点：旋转的性质2.将两个斜边长相等的三角形纸片如图1放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到，如图2，AB与交于点O，连接，则的度数为( )A.7.5°B.10°C.15°D.20°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=6，可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°得到的，则线段的长为( )A. B.6C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，点D在BC上，．将线段DB绕点D逆时针旋转m度（0＜m＜180），若点B的对应点落在△ABC的边上，则m=（）度．A.40B.135C.40或135D.40或145答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：作图--旋转变换5.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3.5，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积为( )A. B.2C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转思想6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积为36，则AC的长为( )A. B.C. D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转思想7.如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到，已知=135°，，则( )A. B.1：2C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图，点D是等边三角形ABC内部一点，AD=BD=1，CD=，则∠ADC=( )A.105°B.115°C.135°D.150°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转思想9.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，有下列结论：①△AED≌△AEF；②∠FAD=90°；③BE+CD=DE；④．其中一定正确的是( )A.①③④B.②③④C.①②③D.①②④答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质。

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与直角有关的折叠、旋转
1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在
AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则CF 的长为（）
F
A
B
C
D
B
D
E
C
E
A
C
A ．6
B ．4
C ．2
D ．1
2．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，
点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3．则AB 的长为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
B
A
E
D
F
C
B D
第2题图第3题图第4题图
3．如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =8，将上
面的矩形纸片折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，点D 的对应点为点G ，连接DG ，则图中阴影部分的面积为（） A
．
3 B ．6 C ．185 D ．36
5
4．如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3，AB =6，
∠BCA =90°．在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为（） A ．6 B ．
3 C ．
D ．3
5．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE ，EF 为折痕，∠BAE =30°，
AB
C 落在A
D 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处，则BC 的长为（）
A
． B ．2 C ．3 D ．
B
A
C 1
D C
E
B 1
F C '
B 'A 'M C
B
A
第5题图第6题图
6．两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M 转动，
使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图，∠A ＝30°，AC ＝10，则此时两直角顶点C ，C 间的距离是________．
7．如图，把一正方形纸片ABCD 沿MN 折叠使得B 点恰好落在AD 边的中点E
处，试说明△AME 的三边之比为3:4:5．
A B
C
D
E
M
N
8．（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点，
则PB +PE 的最小值是__________；
（2）如图2，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一定点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．（要求画出示意图，写出解题过程）
C
A
O
A
图1 图2
9. 如图，四边形ABCD 是直角梯形，且AB =BC=2AD ，P A =1，PB =2，PC =3．
（1）求∠APB 的度数；（2）求AB 2；
（3）求梯形ABCD 的面积．
A
B
C
D
P
【参考答案】
1.C
2. D
3. C
4. C
5. C
6. 5
7.略 8.（1
（2） 9.（
1）135°；（2）
5 （3）
4。